Seção 4.1
1. Resolva 3 x– 9≤4(3 – x) e represente graficamente a
solução. 2. Resolva 2
5 x≤ x+ 4 e represente graficamente a solu-
ção.
3. Resolva 5 x+ 1≥ 23 ( x– 6) e represente graficamente
a solução. 4. Resolva 4 32 1 6 3 ( x ) x − ≥ − e represente graficamente a solução.
5. Determine se as expressões a seguir representam in- tervalos abertos, fechados ou semi-abertos. Escreva cada uma delas em notação de intervalo:
(a) 0≤ x≤5 (b) 3≤ x< 7
(c) –3 < x< 2
6. Escreva a inequação representada por cada um dos seguintes intervalos ou gráfico:
(a) ( –1 , 16) (b) [–12, –8]
(c) –3 –2 –1 0 1 2 3
Seção 4.2
Nos Problemas 7 a 10, represente graficamente o conjun- to solução de cada inequação ou sistema de inequações.
7. 2 x+ 3 y≤ 12 8. 4 x+ 5 y≥100 9. x y x y x y + ≤ + ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 20 3 10 80 0, 0 10. 3 4 2 4 5 x y x y x y x + ≥ + ≥ − + ≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ Seção 4.3
Nos Problemas 11 e 12, são fornecidos uma função e o gráfico de uma região viável. Em cada caso, encontre o va- lor máximo e o valor mínimo da função e o ponto no qual cada um deles ocorre.
11. f = – x+ 3 y 12. f = 6 x+ 4 y 4 8 12 4 8 12 x y (10, 6) (5, 10) 5 16 32 48 16 32 48 x y (17, 23) (8, 14) 40 30
Resolva os Problemas de programação linear 13 a 20 empregando métodos gráficos. Restrinja x ≥0 e y≥0.
13. Maximize f = 5 x+ 6 ysujeita a
x+ 3 y≤24
4 x+ 3 y≤42
2 x+ y≤20
14. Maximize f = 9 x+ 5 ysujeita às restrições do Problema
13.
15. Maximize f = x+ 4 ysujeita a
7 x+ 3 y≤105
2 x+ 5 y≤ 59
x+ 7 y≤ 70
16. Maximize f = 2 x + ysujeita às restrições do Proble-
ma 15.
17. Minimize g= 5 x+ 3 ysujeita a
3 x+ y≥12
x+ y≥ 6
x+ 6 y≥11
18. Minimize g= 3 x+ 5 ysujeita às restrições do Problema
17.
19. Minimize g= x+ 5 ysujeita a
8 x+ y≥ 85
x+ y≥ 50
x+ 4 y≥ 80
20. Minimize g = 7 x + y sujeita às restrições do Proble-
ma 19.
Seção 4.4
Use o método simplex para resolver os Problemas 21 a 24 de programação linear. Suponha que todas as variá- veis sejam não-negativas.
21. Maximize f = 7 x + 12 y sujeita às restrições do
Problema 15.
22. Maximize f = 3 x+ 4 ysujeita a
x+ 4 y≤160
x+ 2 y≤100
4 x+ 3 y≤300
23. Maximize f = 3 x+ 8 ysujeita às restrições do Proble-
ma 22.
24. Maximize f = 39x + 5 y+ 30zsujeita a
x+ z≤ 7
3 x+ 5 y≤30
3 x+ y≤18
Os Problemas 25 e 26 possuem soluções não-únicas. Se não houver nenhuma solução, indique este fato; caso haja soluções múltiplas, encontre duas soluções diferen- tes. Use o método simplex com x ≥0, y≥0.
25. Maximize f = 4 x+ 4 ysujeita a
x+ 5 y≤ 500
x+ 2 y≤ 230
x+ y≤ 160
26. Maximize f = 2 x+ 5 ysujeita a
–4 x+ y≤40
x– 7 y≤70
Seção 4.5
Forme o dual e use o método simplex para resolver os Problemas de minimização 27 a 30 com y1, y2e y3≥0.
27. Minimize g= 7 y1+ 6 y2sujeita a
5 y1+ 2 y2≥16
3 y1+ 7 y2≥27
28. Minimize g= 3 y1+ 4 y2sujeita a
3 y1+ y2≥ 8
y1+ y2≥ 6
2 y1+ 5 y2≥ 18
29. Minimize g = 2 y1 + y2 sujeita às restrições do Pro-
blema 28.
30. Minimize g= 12 y1+ 48 y2+ 8 y3sujeita a
y1+ 3 y2≥1
4 y1+ 6 y2+ y3≥3
4 y2+ y3≥1
Seção 4.6
Nos Problemas 31 a 34, use o método simplex.
31. Maximize f = 3 x+ 5 ysujeita a
x+ y≥ 19
– x+ y≥ 1
– x+ 10 y≤190
x≥0, y ≥ 0
32. Maximize f = 4 x+ 6 ysujeita a
2 x+ 5 y≤37
5 x– y≤34
– x+ 2 y≥ 4
x≥0, y≥0
33. Minimize f = 10 x+ 3 ysujeita a
– x+ 10 y≥5
4 x+ y≥62
x+ y≤50
x≥0, y ≥ 0
34. Minimize f = 4 x+ 3 ysujeita a
– x+ y≥ 1 x+ y≤45 10 x+ y≥45 x≥0, y≥0 APLICAÇÕES Seção 4.3
35. Manufatura Uma empresa fabrica balanços para
jardins e quintais de dois tamanhos diferentes. O maior requer 5 horas de trabalho para ser finalizado, ao passo que o menor requer 2 horas, e há 700 horas de trabalho disponíveis por semana. O departamen- to de embalagem é capaz de embalar no máximo 185 balanços por semana. Se o lucro for de $ 100 em cada balanço maior e de $ 50 no modelo menor, quantas unidades de cada modelo deveriam ser produzidas para se alcançar o lucro máximo? Qual é este lucro máximo? Use métodos gráficos.
36. Produção Uma empresa produz aço com qualida-
des diferentes, A e B, em duas fábricas distintas, 1 e 2. A tabela a seguir sintetiza a capacidade produtiva das fábricas, os custos operacionais diários e o núme- ro de unidades de cada tipo de aço que é necessário para atender os pedidos de compra de seus clientes.
Fábrica 1 Fábrica 2
Quantidade Encomendada
Aço tipo A 1 unidade 2 unidades 80 unidades Aço tipo B 3 unidades 2 unidades 140 unidades Custo diário ($) 5.000 6.000
Quantos dias cada fábrica deveria operar para aten- der os pedidos a um custo mínimo? Qual é este custo mínimo? Use métodos gráficos.
Use o método simplex para resolver os Problemas 37 a 43.
Seção 4.4
37. Produção Uma pequena fábrica produz dois arti-
gos, I e II. Ela opera a plena capacidade e obtém um lucro de $ 6 em cada artigo I e de $ 4 em cada artigo II. A tabela a seguir fornece as horas necessárias para produzir cada artigo e as horas disponíveis por dia.
I II Horas Disponíveis
Montagem 2 horas 1 hora 100 Embalagem &
inspeção
1 hora 1 hora 60
Encontre o número de artigos que deveriam ser pro- duzidos por dia para maximizar os lucros, e o lucro máximo diário.
38. Produção A Pinnochio Crafts faz dois tipos de
brinquedos de madeira artesanais: escadas e loco- motivas. A fabricação desses artefatos exige etapas de carpintaria e de acabamento. Cada escada requer 1 hora de acabamento e 1
2 hora de carpintaria. Cada
locomotiva requer 1 hora de acabamento e 1 hora de carpintaria. A Pinnochio Crafts pode obter toda a matéria-prima necessária, porém estão disponíveis, por semana, apenas 120 horas para a etapa de acaba- mento e 75 horas para a etapa de carpintaria. Além disso, a demanda por escadas é limitada a no máxi- mo 100 unidades por semana. Se a Pinnochio Crafts obtiver um lucro de $ 3 em cada escada e de $ 5 em cada locomotiva, quantas unidades de cada ela deve- ria produzir por semana para maximizar os lucros? Qual é o lucro máximo?
Seção 4.5
39. Nutrição Um nutricionista quer determinar a com-
binação menos onerosa de dois alimentos que atenda às necessidades mínimas diárias em termos de forne-
cimento de certas vitaminas, isto é, 5 unidades de A e 30 unidades de B. Cada 500 g do alimento I fornece 2 unidades de A e 1 unidade de B, e cada libra do alimento II fornece 10 unidades de A e 10 unidades de B. Se uma libra do alimento I custar 30 centavos e uma libra do alimento II, 20 centavos, quantas libras de cada alimento forneceriam estas vitaminas e mi- nimizariam os custos?
40. Nutrição Um laboratório deseja adquirir dois ti-
pos diferentes de ração, A e B, para seus animais. A tabela a seguir sintetiza o conteúdo nutricional de cada uma destas rações, as quantidades necessárias de cada ingrediente e o custo de cada tipo de ração.
Ração A Ração B Necessidades
Carboidratos 1 unidade/ libra 4 unidades/ libra 40 unidades Proteínas 2 unidades/ libra 1 unidade/ libra 80 unidades Custo ($) 14 centavos/ libra 16 centavos/ libra
Quantas libras de cada tipo de ração o laboratório deveria comprar para satisfazer suas necessidades a um custo mínimo?
41. Produção Uma empresa fabrica três produtos, I, II
e III, em três fábricas diferentes. Na fábrica A ela é capaz de produzir 10 unidades de cada produto por dia. Na fábrica B ela é capaz de produzir 20 unidades do produto II e 20 unidades do produto III por dia. Já na fábrica C ela é capaz de produzir 20 unidades de I, 20 unidades de II e 10 unidades de III por dia. A empresa tem pedidos de 200 unidades de I, 500 unidades de II e 300 unidades de III. Se os custos diários forem de $ 200 na fábrica A, de $ 300 na B e de $ 500 na C, encontre o número de dias que cada fábrica deveria operar de modo a atender os pedidos a um custo mínimo. Encontre o custo mínimo.
Seção 4.6
42. Lucro Uma empresa fabrica mistura para panque-
cas e para bolos. Cada libra de mistura para panquecas usa 0,6 lb de farinha e 0,4 lb de margarina. Cada libra de mistura para bolos usa 0,1 lb de farinha, 0,1 lb de margarina e 0,4 lb de açúcar. Os fornecedores po- dem entregar no máximo 600 lb farinha, pelo menos 500 lb de margarina e no máximo 1200 lb de açúcar. Se o lucro a cada libra for de $ 0,35 para a mistura de panquecas e de $ 0,25 para a mistura para bolos, quantos quilos de cada mistura deveriam ser produ-
zidas para se obter o lucro máximo? Qual é o lucro máximo?
43. Manufatura Uma empresa fabrica mesas para es-
critório e para computadores em suas fábricas loca- lizadas no Texas e na Louisiana. Na fábrica do Texas os custos de produção são de $ 12 para cada mesa de escritório e de $ 20 para cada mesa de computador e esta unidade fabril é capaz de produzir no máxi- mo 120 unidades por dia. Na fábrica de Louisiana os custos de produção são de $ 14 para cada mesa de escritório e de $ 19 para cada mesa de compu-
tador e esta unidade fabril é capaz de produzir no máximo 150 unidades por dia. A empresa recebe um pedido urgente de 130 mesas de escritório e de 130 mesas para computador em um momento em que a fábrica do Texas está ainda mais limitada pelo fato de o número de mesas para computador que ela produz ter de ser pelo menos de 10 unidades a mais do que o número de mesas para escritório. Como programar a produção em cada local para atender o pedido a um custo mínimo? Qual é este custo mínimo?