(valor 0) quando o evento for localizado e��Ö� Ø�ÓÒespecificado que o zero buscado
acontece num processo descrescente (valor -1), crescente (valor 1) ou ambos (valor 0). Destacamos que podem ser buscamos simultaneamente qualquer quantidade de even- tos; neste caso,Ú�ÐÙ�,�×Ø�ÖÑ�Ò�Ðe��Ö� Ø�ÓÒdevem ser definidaos como arrays
coluna, no qual cada elemento descreve essas três propriedades para um evento. A função de evento deve ser uma função apenas deØeÜ, de modo que a parame-
trizamos como
�Ú�ÒØÓ � ´Ø¸Üµ Ë� �ÓÌÖ�Ò×Ú�Ö×�дظֵܸ;
em seguida, devemos incluir este evento como uma opção extra deÓ����como
ÇÔ Ó�× � Ó��×�Ø´³�Ú�ÒØ׳¸�Ú�ÒØÓµ�
�ظܸØ�¸Ü�¸��℄ � Ó����´�¸�Ø� Ø�℄¸Ü¼¸ÇÔ Ó�×µ;
onde os arrays extras de respostaØ�contém os instantes nos quais qualquer evento
aconteceu,Ü�contém os valores aproximados da solução nestes instantes e cada linha
de��identifica qual evento aconteceu nas linhas correspondentes de�e�, por meio
do índice utilizado em sua definição prévia.
11.7 Exercícios
Exercício 11.1. Seja F : R2→ R2um campo de vetores de classe C1sem singularida-
des e tal que divF = 0. Prove que toda orbita de F é un conjunto fechado.
Exercício 11.2. Seja F : R2→ R2 um campo de vetores C1 com número finito de
pontos estacionários e tal que o divergente divF é negativo em todo ponto. Conclua que para toda trajetóriaγcontida num compacto o conjuntoω(γ) contém algum ponto estacionário.
Exercício 11.3. Um ciclo de um campo de vetores F de classe C1é uma sequência
finita de pontos estacionários p1, . . . , pm, pm+1= p1e órbitas regularesγ1, . . . ,γmtais
queα(γi) = pieω(γi) = pi+1para cada i. Seja F um campo de vetores na esfera S2
de classe C1e com um número finito de pontos estacionários. Suponha que para todo
ponto estacionário p ou p é um repulsor ou o número de trajetórias cujo conjuntoα- limite coincide com {p} é finito. Prove que, para toda trajetóriaγ, se o conjuntoω(γ) contém dois pontos estacionários, p1e p2, então ele contém algum ciclo que contém
p1e p2.
Exercício 11.4. Seja F : R2→ R2um campo de vetores C1tal que
F(x + m,y + n) = F(x,y) para todo (x,y) ∈ R2e (m,n) ∈ Z2.
Suponha que a primeira coordenada do campo de vetores é diferente de zero em todo ponto. Mostre que a trajetória de todo ponto (0,y0) contém exatamente um ponto
da forma (1,y1). Além disso, a funçãoπ : R → R definida porπ(y0) = y1satisfaz
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Exercício 11.5. Seja F : R2→ R2uma função contínua e suponha que a equação dife-
rencial x′= F(x) tem a propriedade de existência e unicidade de soluções. Mostre que
se a equação tem alguma solução periódica então ela tem alguma solução constante. Exercício 11.6. Seja F : U → R um campo de vetores de classe C1num aberto U ⊂ R
e seja Z ⊂ U o conjunto (fechado) dos pontos estacionários de F. Mostre que, para todo ponto regular p ∈ U ,
1. se { ft(p) : t � 0} está contida num compacto K ⊂ U entãoω(p) está formado
por um dos pontos extremos da componente conexa de U \ Z que contém x; 2. caso contrário, ft(p) converge para o bordo de U eω(p) é o conjunto vazio.
Além disso, valem as afirmações correspondentes para o conjuntoα–limite.
Exercício 11.7. No contexto do Teorema de Poincaré–Bendixson, mostre que dados dois pontos estacionários distintos existe no máximo uma trajetória regularγ⊂ω(p) ligando esses dois pontos, ou seja, tal queα(γ) é um desses pontos eω(γ) é o outro. [Observação: É importante que os pontos estacionários sejam distintos: ω(p) pode conter qualquer número de conexões homoclínicas de um mesmo ponto estacionário, conforme ilustrado na Figura 11.20.]
??
Figura 11.20: O ω–limite de uma trajetória no plano pode conter várias trajetórias homoclínicas de um mesmo ponto ponto estacionário.
Exercício 11.8. Mostre que a trajetória periódica da equação de van der Pol (11.3)– (11.2) é única.
Exercício 11.9. Prove o Teorema 11.15.
Exercício 11.10. Considere na esfera S2a relação de equivalência ∼ definida por p ∼
−p para todo p. O espaço quociente, ou seja, o espaço das classes de equivalência de ∼ é chamado espaço projetivo e é representado por P2. Verifique que P2é uma superfície
compacta e que o Teorema de Poincaré–Bendixson permanece válido para campos de vetores em P2.
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11.7. EXERCÍCIOS 353
Exercício 11.11. Seja F um campo de vetores de classe C1preservando uma forma de
área numa superfície compacta M e seja p ∈ P, ou seja, um ponto periódico do fluxo de F.
1. Mostre que vale exatamente uma das seguintes possibilidades:
(a) existe uma seção transversal S ao fluxo no ponto p formada por pontos periódicos e que é maximal com essa propriedade: toda seção transversal que contém S intersecta alguma trajetória não periódica;
(b) ou existe uma curva simples fechada S ⊂ M transversal ao fluxo de F em todo ponto e formada por pontos periódicos.
2. Verifique que, num caso e no outro, a curva S intersecta cada trajetória do fluxo de F em não mais que um ponto.
3. Deduza que a componente conexa de P que contém p é homeomorfa ao cilindro S1× (0,1) no caso (a), ou ao toro T2, no caso (b). Além disso, no segundo caso M = T2.
[Dica: Na parte 1. considere uma cobertura finita de M por caixas adaptadas e use-as para estender uma seção transversal qualquer. Na parte 2. argumente por contradição, usando o fato de que a transformação de primeiro retorno a S preservaβ–medida.] Exercício 11.12. Seja F um campo de vetores de classe C1sem pontos estacionários,
preservando uma forma de área em M = T2. Mostre que
1. existe uma curva simples fechada transversal ao fluxo de F em todo ponto de M; 2. o fluxo de F é diferenciavelmente conjugado ao fluxo (11.14) para algum valor
de a.
Em particular, as trajetórias de F são todas periódicas ou todas densas no toro. Exercício 11.13. Seja F um campo de vetores de classe C1preservando uma forma de
área numa superfície compacta M e cujos pontos estacionários são selas generalizadas. Mostre que se χ(M) �= 0 e o fluxo de F não tem conexões de sela então todas as
trajetórias regulares são densas em M.
[Observação: Dizemos que o fluxo de F é minimal.]
Exercício 11.14. Seja F um campo de vetores de classe C1preservando uma forma de
área numa superfície compacta M e cujos pontos estacionários são selas generalizadas. Mostre que as trajetórias fechadas do fluxo não podem ser homotopicamente triviais, ou seja, não podem limitar um disco D ⊂ M. Além disso, trajetórias em componentes periódicas distintas não podem ser homotópicas, ou seja, não podem constituir o bordo de um cilindro C ⊂ M.
[Observação: Pode deduzir-se da segunda afirmação que o número de componentes periódicas nunca excede −(3/2)χ(M), e que este majorante é o melhor possível.]
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Exercício 11.15. Seja F um campo de vetores de classe C1preservando uma forma de
área numa superfície compacta M e cujos pontos estacionários são selas generalizadas. Mostre que se o fluxo é minimal, no sentido do Exercício 11.13 então para toda seção transversal S existe uma transformação de primeiro retorno P : S → S definida em todo ponto, embora descontínua.
Exercício 11.16. Seja F um campo de vetores de classe C1num aberto de R2 que
contém o anel A = {x ∈ Rd: 1 �| x |� 2}. Suponha que F não se anula e é transversal
à fronteira de A, apontando para dentro. Prove que: 1. Existe uma órbita periódica contida em A.
2. Se f tem exatamente 7 órbitas periódicas em A, uma delas tem órbitas conver- gindo para ela dos dois lados.
Exercício 11.17. Dizemos que dois campos de vetores F e G numa variedade M co- mutamse os seus fluxos ( ft)
te (gt)t satisfazem
ft◦ gs= gs◦ ft para quaisquer s,t ∈ R.
Prove que se F e G são campos de vetores de classe C1na esfera S2que comutam então
eles têm um ponto estacionário em comum.
Exercício 11.18. Seja F um campo C1no plano R2. Verifique que:
1. Se p é ponto regular de F tal que p ∈ω(p) então p é um ponto periódico. 2. Dada qualquer trajetóriaγde F, ouω(γ) ∩α(γ) = /0 ou entãoω(γ) ∩α(γ) é um
ponto estacionário.
Exercício 11.19. Seja p um ponto estacionário de uma equação diferencial x′= F(x),
onde F : U → Rdé lipschitziana.
1. Suponha que p é estável no sentido de Lyapunov. Prove que se p ∈α(q) então q = p e que se p ∈ω(q) entãoω(q) = {p}.
2. Suponha que p é assintoticamente estável. Prove que existe uma vizinhança W de p tal queα(q) ∩W �= /0 implica p = q.
3. Suponha que d = 2 e que o ponto estacionário p é isolado, estável no sentido de Lyapunov mas não assintoticamente estável. Prove que toda vizinhança de p contém uma orbita periódica não trivial.
Exercício 11.20. Sejaγuma orbita periódica isolada de um campo de vetores F : U →
R2de classe C1. Prove que existe uma vizinhança V deγtal que para todo p ∈ V tem-se
α(p) =γ ouω(p) =γ.
Exercício 11.21. Verifique as afirmações no Exemplo 11.22.
Exercício 11.22. Seja F um campo de vetores de classe C1na esfera S2tal que todos
os pontos estacionários são hiperbólicos, não há conexões de sela e todas as trajetórias periódicas são hiperbólicas. Mostre que F é campo de vetores de tipo gradiente.
DRAFT
11.7. EXERCÍCIOS 355
Exercício 11.23. Seja F um campo de vetores de classe C1numa superfície compacta
Me seja p um ponto recorrente (no futuro ou no passado) que não é nem estacionário nem periódico.
1. Mostre que existe uma curva simples fechadaσ que passa por p e é transversal ao fluxo em todo ponto.
2. Supondo que todos os pontos estacionários de F são hiperbólicos, mostre que o conjuntoσ′dos pontos deσ cuja trajetória futura (respectivamente, passada)
regressa aσ é uma uniao de segmentos (q1, q2) ⊂σ cujos extremos estão em
separatrizes estáveis (respectivamente, instáveis) de selas.
3. Se a transformação de primeiro retorno está definida em todoσ então M = T2
ou M = K2.
[Dica: Cubra um segmento adequado da trajetória de p com caixas de fluxo tubular. É conveniente distinguir os casos em que M é orientável e não orientável. Lembre também do Exercício 11.11.]
Exercício 11.24 (Teorema de Peixoto no círculo). Dizemos que um campo de vetores Fde classe C1no círculo S1é de tipo gradiente se todo ponto estacionário (se existir)
é hiperbólico. Mostre que
1. Se F é de tipo gradiente então ele tem um número finito de pontos estacionários. 2. Se F é de tipo gradiente então ele é estruturalmente estável.
3. O subconjunto dos campos de vetores de tipo gradiente é aberto e denso em Xk(S1) para todo k ∈ N ∪ {∞}.
4. Se F ∈ Xk(S1) é estruturalmente estável então F é de tipo gradiente.
Exercício 11.25. Seja X um compacto invariante pelo fluxo ( ft)
t de um campo de
vetores F : U → Rdde classe C1. Suponha que X é minimal, ou seja, que os únicos
subconjuntos compactos invariantes são o conjunto vazio e o próprio X. Prove que: 1. A trajetória de qualquer ponto x ∈ X é densa em X.
2. α(x) =ω(x) = X , para todo x ∈ X.
3. Para todo aberto U ⊂ U tal que U ∩ X �= /0 existe T > 0 tal que para todo x ∈ X e todo t0∈ R, existe t ∈ (t0− T,t0+ T ) tal que ft(x) ∈ U.
Exercício 11.26. Prove as seguintes afirmações a respeito do atartor de Lorenz (??): 1. a origem (0,0,0) é um ponto estacionário, para todos os valores do parâmetro:
um atrator se r < 1 e uma sela se r > 1;
2. para r > 1 existem mais dois pontos estacionários,
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3. para cada s e b existe r0> 1 tal que os pontos estacionários p±são atratores para
r ∈ (1,r0) e selas para r > r0.
Exercício 11.27 (C). Considere a equação de Duffing (8.70) com δ = 0, 02,β = 1,
α= 5,γ= 8 eω= 0, 5. Escreva uma função em código do MATLAB/Octave ou outro ambiente computacional que calcule a transformação de Poincaré
f : �x(0),x′(0)� �→ �x(4π), x′(4π)�.
Estude o comportamento das trajetórias dessa transformação. Consegue verificar que ela apresenta um “atrator estranho” tal como descrito na Figura 11.21?
Figura 11.21: Um “atrator estranho” da equação de Duffing comα= 1,β = 5,δ = 0,02,γ= 8 eω= 0, 5.
11.8 Notas
Ivar Otto Bendixson (1861–1935) foi um matemático sueco que realizou a maior parte da sua carreira nas Universidades de Estocolmo e de Uppsala e no Instituto Real de Tecnologia da Suécia. Ele é conhecido por seu trabalho em Topologia Geral (provou que todo conjunto fechado não enumerável é a união de um conjunto perfeito com um conjunto enumerável) e em Equações Diferenciais. O Teorema de Poincaré–Bendixson foi enunciado inicialmente por Poincaré [104], em 1892, com uma demonstração in- completa. Bendixson [12] deu uma prova rigorosa com hipóteses mais fracas, em 1901. O Teorema 11.18 foi provado em 1924 por Kneser [52]. O Teorema 11.20 foi pro- vado em 1963 pelo matemático americano Arthur Schwartz [112]. O caso do toro T2
havia sido tratado em 1932 por Denjoy [26], o qual também deu um exemplo mostrando que o enunciado não é verdadeiro, em geral, para campos de vetores que são apenas de classe C1. Hellmuth Kneser (1898–1973) foi um matemático de família alemã, nas-
cido na Estônia, que deu importantes contribuições à teoria dos grupos e à topologia. Arnaud Denjoy (1884–1974) foi um matemático francês que ficou conhecido por seu trabalho em Análise Harmônica e Equações Diferenciais.
A equação de van der Pol foi proposta em 1920 pelo físico e engenheiro holandês Balthasar van der Pol (1889–1959) da empresa Philips. Van der Pol observou em [132,
DRAFT
11.8. NOTAS 357
133] que tais circuitos podem exibir oscilações estáveis, que ele chamou oscilações de relaxação, e o Teorema 11.10 explica essa observação. O teorema foi provado por Liénard [62] em 1928 e vale sempre que g é uma função de Liénard. Alfred- Marie Liénard (1869–1958) foi um físico e engenheiro francês que trabalhou como engenheiro de minas e professor nas École des Mines de Saint-Étienne e de Paris. É conhecido por seu trabalho em Eletromagnetismo, Termodinâmica e Hidrodinâmica.
O Teorema 11.21 foi provado originalmente em [69, 70] pelo matemático soviético Artemiy Grigoryevich Mayer (1905–1951) e foi redescoberto algumas vezes em dife- rentes contextos matemáticos. A nossa apresentação é adaptada do livro de Kurt Stre- bel [124, § III], o qual está motivado por questões importantes de Análise Complexa. Na verdade, o enunciado é muito mais geral, aplicando-se a folheações não necessa- riamente orientáveis (ou seja, não precisa existir campo de vetores tangente às folhas) em superfícies que também não precisam ser orientáveis. Em particular, é possível (e conveniente) considerar selas generalizadas modeladas por F(z) = zn/2(multiplici-
dade m = n/2) para todo n ∈ N e também para n = −1. Com esta última extensão, existem exemplos na esfera S2e também existem exemplos com pontos estacionários
no toro T2. O leitor interessado pode encontrar uma discussão bastante completa em
Viana [134, Capítulo 3].
O conceito de estabilidade estrutural foi proposto em 1937 pelos soviéticos Andro- nov e Pontryagin [4], respectivamente físico e matemático. Aleksandr Aleksandrovich Andronov (1901–1952) é conhecido por seu trabalho em Sistemas Dinâmicos e pela teoria matemática da auto-oscilação. Lev Semyonovich Pontryagin (1908–1988) foi um dos grandes matemáticos do século 20, e um dos mais influentes, apesar de ter perdido a visão na adolescência devido a um acidente doméstico. Deu contribuições fundamentais em diversas áreas da Matemática, especialmente na Topologia Algébrica e na Topologia Diferenciável.
O Teorema 11.40, publicado pelo matemático e engenheiro brasileiro Maurício Ma- tos Peixoto [88] em 1962, forneceu a primeira classe importante de sistemas estrutural- mente estáveis e foi o ponto de partida de progresso notável nesta área. Peixoto nasceu em Fortaleza em 1921 e foi um dos pioneiros do estudo da estabilidade estrutural em todo o mundo. Juntamente com Lélio Gama e Leopoldo Nachbin, ele foi também um dos fundadores do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Nachbin e Peixoto também foram os primeiros matemáticos brasileiros a proferirem palestras no Congresso Internacional de Matemáticos, respectivamente, em 1962 (Estocolmo) e 1974 (Vancouver).
No caso k = 1 é possível estender a conclusão do Teorema de Peixoto para qual- quer superfície, orientável ou não, usando o seguinte resultado do matemático ame- ricano Charles Pugh [105, 106], que é conhecido como Closing Lemma: se p é um ponto recorrente, existem campos de vetores arbitrariamente próximos na topologia C1para os quais p é um ponto periódico. A razão pela qual isto só dá o caso k = 1
do teorema é que o closing lemma não é conhecido para as topologias Ckcom k > 1.
Para k ∈ N ∪ {∞} arbitrário, não é difícil estender o Teorema de Peixoto para o espaço projetivo P2, usando o fato de que o Teorema de Poincaré–Bendixson vale nessa su-
perfície (Exercício 11.10). O teorema também foi estendido para as superfícies não orientáveis de gênero 1 (garrafa de Klein K2) e 2, por Nelson Markley [67] e Carlos
DRAFT
teorema é falso para qualquer variedade compacta de dimensão maior que 2 (exceto, possivelmente, para k = 1 e dimM = 3). De fato, para tais variedades o conjunto dos campos de vetores estruturalmente estáveis nunca é denso.
O trabalho de Peixoto motivou o matemático americano Stephen Smale a se inte- ressar pela área de Sistemas Dinâmicos. A essa altura, Smale estava trabalhando na demonstração da Conjectura de Poincaré em dimensão 5 e maior, pela qual viria a ga- nhar a Medalha Fields em 1966. Inspirado em parte por técnicas usadas nesse trabalho, tais como a Teoria de Morse, Smale propôs a noção de sistema de tipo gradiente (ou de Morse–Smale) e conjecturou que tais sistemas sempre formariam um subconjunto denso, ou seja, que o Teorema de Peixoto seria válido em qualquer variedade.
Mas, durante uma visita ao IMPA em 1960 (confira [117, 118]), Smale recebeu uma carta apontando para o trabalho dos matemáticos ingleses Mary Cartwright (1900– 1998) e John Edensor Littlewood (1885–1977) e do americano Norman Levinson (1912– 1975) que contradizia a sua conjectura. Isso o levou a introduzir o conceito de ferra- dura, que iniciou toda uma revolução na teoria dos Sistemas Dinâmicos, na qual a escola brasileira teve um papel fundamental. Os Teoremas 11.37 e Teorema 11.38 fo- ram provados, em qualquer dimensão, por outro matemático brasileiro, Jacob Palis, em sua tese de doutorado [83, 86]. Nascido em Uberaba em 1940, Palis viria a se tornar um dos líderes mundiais da área de Sistemas Dinâmicos, além de ter sido diretor do IMPA, de 1993 a 2003, e presidente da União Matemática Internacional, de 1998 a 2002.
O modelo de convecção discutido na Seção 11.6 foi proposto no trabalho [108] do físico britânico John William Strutt (1842-1919), mais conhecido como Lord Ray- leigh, ganhador do prêmio Nobel da Física em 1904. A equação (??) foi introduzida nos trabalhos dos meteorologistas americanos Barry Saltzman [110] e Edward Norton Lorenz [64]. A existência de um atrator estranho nesta equação foi provada na tese do matemático sueco Warwick Tucker [131], por meio de computação rigorosa. A teoria matemática deste tipo de atratores foi desenvolvida no Brasil, por Morales, Pacifico, Pujals [75]. Confira o livro de Araújo, Pacifico [6]. Uma apresentação detalhada deste tema foi dada por Viana [135].