EXERCÍCIOS Resolva as desigualdades 1) 12)

1) 12 - 13xl � 39 7) Ix + 1 1 � l x - 2 1 2) 1 20x - 3 1 > 5 8) I x I < 1 2x - 1 1 3) 1 (5 - 2x)/3 1 � 3 9) I x2 - 4x - 5 1 � 1 4) I (x + 3)/4 1 < 5 10) 1 36x - 271 > 5 5) 1 2x - 5 1 < I x + 3 1 1 1 ) I x2 - 4 x - 5 1 � Ix - 1 1 6) 1 3x + 5 1 > 1 2x - 1 1 12) I x2 - 4x - 5 1 � 1 2x + 1 1

13) Dê exemplo em que a, b E ]R. e l a + bl < l al + I bl . O que dizer dos sinais de a e b? Se a, b, c E ]R., mostre que l a + b + cl � l al + Ibl + l ei -

14) Se r é um número racional, r i=- O, e x um irracional, mostre que rx é irracional e, por conseqüência, não existe racional cujo quadrado seja 32. 15) Indique sup, inf, max e min dos seguintes conjuntos, se existirem:

A = {n E Z I I nl < lO} , B = {n E Z I l nl � lO}, C = {x E Q I l xl � y'3} , D = [- 1 , 1 ) U ( y'3, 4) , E = {x E ]R. I x2 - 4x + 4 > O e x2 - 3x < O } , F = { x E ]R. I Ixl = m + ( l/n) , m, n = 1 , 2 . . . }, G = { x E ]R. I x = l/(m + n) ; m, n = 1 , 2, . . . }, H = {x E ]R. I x = ( l/m) + ( l/n) ; m, n = 1 , 2, . . . }, I = { x E Q I l x - )21 < 2}, 16) Se A, B C ]R. e a E ]R., defina A + B = {z I z = x + y, x E A, y E B} , I A I = { z I z = I xl , x E A} , aA = {z I z = ax, x E A}.

o que se pode dizer de sup(A + B) , sup I A I , sup aA, em termos de sup ou

inf de A e B? Considere separadamente os casos, a > O, a < O e a = O.

1 7) Dado um conjunto P C ]R., denota-se com P' o conjunto de todos os

seus pontos de acumulação. Considerando os conjuntos abaixo:

A = [- 1 , 1 ) U (y'3, 4) ,

B = {n E Z I I nl < lO} ,

C = {n E Z I Inl � lO},

E = {x E � I Ix l = m + � , m, n = 1 , 2 . . . },

F = {x E � 1 m, n = 1 , 2, . . . },

G = {x E � 1 x = � + � , m, n = 1 , 2, . . . },

Exer"CÍcios • 39

indique quais são os conjuntos A', B', C' , D' , E' , F' e G'

18) Sejam A C �, A #- 0, limitado superiormente, e L = sup A. Mostre que L = max A ou L é ponto de acumulação de A. Formule uma propriedade análoga para o caso em que A é limitado inferiormente.

19) Em cada caso abaixo, qual é o domínio da função f? ( a) f ( x) = x2 / (x - 2)

(b) f(x) = + 1)

20) Verifique que qualquer função monotônica definida num intervalo fe chado e limitado é limitada. O intervalo precisa ser fechado?

21) Se fl , h : A � � são duas funções limitadas, demonstre que

sup [fl (x) + 12 (x)] :(: sup fl (x) + sup h (x)

xE A xEA xE A

e inf[Jl(x) + 12 (x)] ?: inf fl (x) + inf 12 (x) .

xE A xE A x E A

Mostre através de exemplos que as desigualdades estritas podem ocorrer. 22) A função seno não é monotônica, mas a sua restrição a convenientes intervalos é. Quais são os maiores intervalos onde sen x é estritamente decres cente? [o termo "maiores " significa que esses intervalos não estão contidos propriamente em intervalos onde o seno é estritamente decrescente].

23) Esboce o gráfico das seguintes funções: ( a) f ( x) = sen ( 1 / x ) (b) f (x) = x sen( l /x) ( c) f ( x) = x2 sen ( l /x) (d) f(x) = x + x/ lx l (e) f (x) =-- V1=X (f) f (x) = [x2] .

24) Classificar as funções abaixo, quando possível, quanto a serem monotô nicas, limitadas, pares ou ímpares, sobrejetoras, injetoras, ou bijetoras: (a) f : � � � tal que f (x) = Ix l . Considerar também o caso em que o

contra-domínio é �+ . (b) f ( x) = x + l/x.

( d) f (x) = sen 2 x + cos x. ( e ) f ( x) = sen ( 1/ x4 ) .

25) O produto de duas funções pares, f, 9 : A � lR, é par? O que se pode

dizer do produto de duas funções ímpares? E do produto de uma par por uma ímpar?

26) Suponha que a função f(x) dependa somente de potências de x com

expoentes pares. Mostre que f é uma função par. E se depender apenas de potências de x com expoentes ímpares? A função f (x) = cos(x3 + x7) é par

ou ímpar? E a função f(x) = x3 + I?

27) Se f, 9 : lR � lR são ambas pares, verifique que f o 9 e 9 o f são funções

pares. Mostre também que se f e 9 são ambas ímpares, então f o 9 e 9 o f

são ímpares. O que se pode dizer das composições f o 9 e 9 o f se f é par e

9 é ímpar?

28) Seja f : A � B (A, B C lR) uma função sobrejetora. Mostre que se f

é estritamente crescente (ou estritamente decrescente) , então f é invertível. Vale a recíproca? Isto é: se f é invertível, então poder-se-ia afirmar que ou f é estritamente crescente ou f é estritamente decrescente?

29) Nos termos do exemplo 1 .2.3 em seu item (9) , página 22, mostre que uma condição necessária e suficiente para que uma função f : lR � lR seja

linear é que, dada qualquer constante a E ]R, tenhamos f (ax) = af (x),

LIMITE E CONTINUIDADE

o conceito de limite é o mais fundamental do Cálculo; a derivada e a integral,

seus principais objetos de estudo, às quais se dedicam os capítulos 3 e 4, são, ambas, formas de limite. Além disso, a idéia de limite permeia nossos argumentos em todo o transcorrer dos cursos de Cálculo e de suas aplicações.

2.1 LIMITES

Antes de entrarmos no assunto propriamente, vamos fazer uma pequena digressão bem informal. Tomemos uma função f : B ---+ IR. , B C IR. , e sej a

a E IR. não necessariamente pertencente a B. Suponhamos que exista I! E IR.

tal que f (x) se aproxima de I!, quando fazemos x se aproximar de a, embora

x #-a. Quando isto ocorre, dizemos que I! é o limite de f em a [ou o limite

de f (x) quando x tende a a] e escrevemos lim f(x) = t

x -+ a

Por exemplo, suponhamos que f seja dada por 2X2 � 4x

f (x) = x2 � 3x + 2 '

logo o domínio é B = IR. \ { I , 2 } . Vemos que f coincide em seu domínio com

a função g(x) = 2xj (x � 1), definida em IR. \ { I } . Observamos que f (x) pode

próximo de 2. Então escrevemos

2X2 � 4x

lim = 4.

x-->2 x2 � 3x + 2

Note que, ao considerar o limite de f em a, estamos vendo se é possível saber

para onde vai f(x), quando x se aproxima de a. Não estamos interessados

em quanto vale f (a), nem mesmo em saber se f (a) existe.

Estando por trás dos conceitos centrais do Cálculo, a noção de limite está por trás de muitos conceitos das ciências. Não podemos nos conformar, portanto, com uma "definição" tão precária como a que temos até aqui. Não é claro, por exemplo, o significado de uma variável aproximar-se de a E ]R..

É necessário colocar as coisas em termos precisos.

DEFINIÇÃO 2.1.1. Dados f : B � ]R. e um ponto de acumulação a do

conjunto B, diz-se que g E ]R. é o limite de f em a se está satisfeita a

seguinte condição:

Para todo E > O, existe um número 6 = 6(E) > O tal que

x E B, O < I x � ai < 6 => I f(x) _�gl < E.

Escreve-se: lim f(x) = g ou f(x) � g, com x � a .

x-->a

Damos preferência à primeira notação.

(2. 1. 1)

Observação 2.1.2. (1) A definição 2.1.1 traduz a idéia de pontos próximos,

mas distintos, de a serem levados por f a pontos próximos de g.

(2) No contexto da definição 2.1.1 não importa quão pequeno seja E > O; é possível encontrar 6 > O tal que a frase (2. 1. 1) sej a verdadeira.

(3) Dada f : B � ]R., a notação limx-->a f(x) = g presume que a é ponto

de acumulação de B. Mesmo que este fato não esteja mencionado, não se abre mão de a ser ponto de acumulação de B, pois (2. 1. 1) é imposta sob a condição de existir x E B tal que O < I x � ai < 6.

Analisemos a definição 2.1. 1 num caso concreto. Seja, por exemplo,

f (x) = 2 (x2 � 1) .

(x � 1)

Note que f não está definida em x = 1. No entanto, para x =1= 1 temos

f(x) = 2(x + 1), o que sugere limx-->l f(x) = 4. Mostremos que este é o caso

[veja a figura 2.1.1.]. Se x =1= 1 podemos escrever

= 4 a = 1

Figura 2.1.1: lirnx-tl 2 (x2 - l ) /(x - 1) = 4 [o = c/2]

Assim, dado c > O, se escolhermos 6 = c/2 obtemos

Limites • 43

O < Ix - 1 1 < 6 =? 2 1 x - 1 1 < 26 =? I f (x) - 41 < 26 = c.

Com esta discussão e os exemplos que damos a seguir, visamos exclusiva mente aclarar a definição de limite. Logo veremos, por exemplo, que algumas propriedades permitem mostrar que limx-t2 (x2 + 1 ) = 5 de um modo muito

mais direto do que o apresentado no item (4) do exemplo a seguir.

EXEMPLO 2 . l . 3 . ( 1 ) Se considerarmos f(x) = c (constante) , temos talvez

o exemplo mais simples deste capítulo: lim c = c.

x-ta

Conferindo com a definição 2. 1 . 1 , dado c > O, qualquer 6 > O nos serve, pois sempre ternos I f (x) - cl = O < c.

(2) Se f(x) = x, temos limx-ta x = a. De fato, dado c > O, se tornarmos

6 = c temos

O < Ix - ai < 6 =? I f(x) - ai = I x - ai < 6 = c.

(3) limx-t2 (3x + 4) = 10.

Antes d e iniciar , é útil observar que nos termos d a definição 2.1.1, acima,

a = 2 e I f (x) - fi = 1 (3x + 4) - 10 1 = 3 1 x - 2 1 . Sej a c > O dado, tornando

6 = c/3, ternos:

O < I x - 2 1 < 6 =? I f (x) - f I = 3 1 x - 2 1 < 36 = c.

De fato, dado e > O qualquer, vamos procurar um 6 > O sob a restrição 6 � 1 . Assim, I x -2 1 < 6 implica 1 < x < 3 e, portanto, I x + 2 1 < 5 , ou seja

I (x2 + 1 ) - 5 1 = I x + 2 1 1 x -2 1 < 5 1 x - 2 1·

Logo, tomando O < 6 � min{ l , e/5 } ,

O < I x - 2 1 < 6 =? I (x2 + 1) - 5 1 < 5 1 x - 2 1 < 56 � e. (5) limx--->a cos x = cos a .

Observe inicialmente que I COS Xl - cos x2 1 < IXl - x2 1 , se Xl , X2 E IR, Xl #-X2 , pois IXl - x2 1 é o comprimento do arco de extremos Xl e X2 ; veja a figura 2 . 1 . 2 [estamos admitindo que o comprimento do arco XlX2 é maior do que o da corda Xl X2] .

Dado e > O , tomando 6 = e vem

O < I X - a I < 6 =? I cos x - cos a I < I x - a I < 6 = e.

(6) limx--->a sen x = sen a .

Pode ser provado de modo análogo ao caso do cosseno.

PROPOSIÇÃO 2.1.4. Suponhamos que exista o limite de f : B ----+ IR em um

ponto a . Então ele é único.

Demonstração. Suponhamos que limx--->a f(x) = fI , limx--->a f (x) = f2 e seja

e > O dado. Tomando c/2 no papel de e, de acordo com a definição 2. 1 . 1 , página 42, existem 61 , 62 > O de modo que, se x E B :

O < Ix - ai < 61 =? O < Ix - ai < 62 =?

I f(x) - fl l < e/2, I f (x) - f2 1 < e/2.

Limites • 45

Escolhendo 6 = min{ 61 , 62 } , se x E B e O < Ix - ai < 6, temos

O � Il\ - R2 1 = I Rl - f(x) + f(x) - R2 1 �

I f(x) - Rl l + I f (x) - R2 1 < c/2 + c/2 = c.

Assim, O � I R1 - R2 1 < c, qualquer que seja c > 0, o que equivale a I Rl - R2 1 = O

portanto RI = R2 . O

Observação 2.1.5. Dados f : B ---+ 1Ft e D C B , seja a um ponto de acu mulação do conjunto D. Se limx---+a f(x) = R, é claro que também para a

restrição de f a D temos

pois na definição 2. 1 . 1 , página 42, se vale a implicação (2. 1 . 1 ) , ela tem de valer com a variável x restrita a D .

Para se compreender um conceito é bom entender sua negação. Damos a seguir dois exemplos em que não existe o limite.

. x

FIgura 2 . 1 .3: f (x) = R

EXEMPLO 2 . 1 . 6 . ( 1 ) limx---+o

�

não existe.

De fato, seja f (x) = x/ l x l , x E 1Ft \ { O } . Veja a figura 2. 1 .3. Como

f (x) = 1 , para x > O, e f (x) = - 1 , para x < 0, se existisse limx---+o f (x) , de

acordo com a observação 2. 1 .5, acima, teríamos lim f (x) = limf

l

(o ) (x) = 1 ,

x---+o x---+o , 00

lim f(x) = limfl(� O) (x)

= - 1 ,

x---+O x---+O 00 ,

(2) limx--+() sen - não existe.

x ₁

De fato, suponhamos, por contradição, que exista f! = limx--+o sen - . x Dado qualquer [ > O, digamos, [ = 1 , deve existir 6 > O tal que

O < I x I < 6 =?

I

sen

l -

I

< 1 . (2. 1 . 2) Considerando Xn = 2/ (4n + 1)1f e Yn = 2/ (4n - 1 )1f, n = 1 , 2 . . . , temos

. 1

FIgura 2 . l .4: Y = sen

sen ( l /xrJ = 1 e sen(l/Yn) = - 1 . Se n é suficientemente grande, temos

O < Xn , Yn < 6 e de (2. 1 .2) segue a contradição 2 =

I

sen �

-

seu �

I

sen �

-

f! + f!

-

sen �

I

�

Xn Yn Xn Yn

�

I

sen � -E

I

-

sen �

I

< 1 + 1 = 2.

Xn Yn

Por inspiração do item ( 1 ) do exemplo 2. 1 .6, vamos tratar agora dos

limites laterais. Necessitamos da seguinte definição:

DEFINIÇÃO 2 . 1 . 7. Um número a é chamado ponto de acumulação à direita

para B C IR se a é ponto de acumulação de B n (a, (0). O número a é ponto

de acumulação à esquerda para B, se é ponto de acumulação de Bn( - 00 , a).

EXEMPLO 2 . 1 . 8 . O ponto a é ponto de acumulação à direita para o in

tervalo [a, b), a < b, [embora ele se localize à esquerda de [a, b) ; é que os

pontos de [a, b) se acumulam em a pela direita de al o O ponto b é ponto de

acumulação à esquerda para [a, b). Os pontos c, a < c < b, são tanto pontos de acumulação à esquerda como à direita para [a, b).

Limites • 4 7

DEFINIÇÃO 2.1.9. Consideremos uma função f : B ---+ IR, B C IR, e a um

ponto de acumulação à esquerda para B. Diz-se que € E IR é o limite lateral à esquerda de f em a se limx--+a f I Bn( -oo,a) (x) = € e denota-se:

lim f(x) = € ou f(a- ) = t

x----+a-

o encargo de definir limite lateral à direita de f, quando x tende a a,

em termos de f I Bn(a,oo) ' é deixado como exercício. Neste caso a notação é lim f(x) = € ou f(a+) = t

x--+a+

Às vezes, ao nos referirmos a limites do tipo acima, omitimos, por brevi dade, o adjetivo lateral. A figura 2 . 1 .5 mostra como é tipicamente o gráfico de uma função que tem limites laterais distintos num ponto a.

f(a+ )

f(a- )

Figura 2 . 1 . 5 : Limites laterais distintos

O bservação 2.1. 10. Suponhamos que a seja ponto de acumulação à esquerda

e à direita para o domínio de f. Neste caso, existe o limite € de f em a a se

e somente se existem os dois limites laterais e ambos são iguais a €, isto é,

lim f (x) = € {::} lim f(x) = € = lim f(x) .

x --+ a x --+ a - x--+a+

Embora possa ser considerada óbvia, a observação 2 . 1 . 10 é um bom recurso em muitas situações. No item ( 1 ) do exemplo 2. 1 .6 temos

x x

lim - = - 1 e lim -I I = 1 ,

x--+o- I x I x--+o+ x

por isso concluímos que o limite em questão não existe. EXEMPLO 2.1. 11. A função

f(x) = max{O, x2 + (xl lxl ) } ,

definida em IR \ {O} , cujo gráfico é mostrado na figura 2 . 1 .6, tem limites laterais em O distintos, limx--+o- f(x) = O e limx--+o+ f(x) = 1 , portanto não

Figura 2 . 1 .6: f(x) = max{O, x2 + (x/lxl) }, x i- O

2.2 PROPRIEDADES DOS LIMITES

Veremos a partir de agora algumas propriedades que, em muitos casos, tor nam desnecessário recorrer-se à definição de limite para o cálculo. São pro priedades muito úteis, uma vez que freqüentemente a definição de limite não é muito manejável .

N a seguinte proposição está subentendido que as funções f e 9 têm o

mesmo domínio e que a variável independente x sempre pertence a esse domínio. Adotamos essa prática em geral para não carregar os enunciados com condições óbvias.

P ROPOSIÇÃO 2.2.1. Se limx->a f(x) = e e limx->a g(x) = m, então

1. limx->a (J(x) + g(x) ) = e + m,

2. limx->a f (x)g (x) = em,

3. limx->a f(x)/g(x) = e/m, se m -I o.

Demonstração. Seja c > O dado e tomemos 61 , 62 > O tais que

O < Ix - ai < 61 ==? O < I x - a I < 62 ==? Tomando 6 = min { 61 , 62 } > O, temos

I f(x) - el < c/2, Ig(x) - ml < c/2. O < I x -ai < 6 ==? I f (x) + g(x) - (e + m) 1 �

I f(x) - el + Ig(x) - m l < c/2 + c/2 = c,

o que prova o item 1 .

Tomemos agora k max{ lel , Iml } e suponhamos k > O, isto é , pelo menos um dos números e e m é não nulo. Usaremos a identidade

f(x)g(x) - em

Propriedades dos limites • 49

Seja c > O dado e tomemos 61 , 62 > O de modo que O < Ix - a i < 61 =?

O < Ix - a i < 62 =?

I f(x) - RI < min{ v03, c/3k} , Ig(x) - ml < min{ v03, c/3k} . Em (2.2. 1 ) , a condição O < I x - a i < 6 = min{ 61 , 6d implica

J f(x)g (x) - Rm l � I f(x) - Rl lg (x) - mJ + k lg (x) - m l +

+ k l f (x) - RI <

v03v03

+ kc/3k + kc/3k = c,

o que prova o item 2 a menos do caso R = m = O, que é muito mais simples

e deixamos como exercício.

Para provar o item 3 é suficiente mostrar que limx-->a (l/g (x)) = l/m e

usar o item 2, com f (x) /g (x) = f(x) ( l/g(x) ) .

Vem da definição 2. 1 . 1 , de limite, página 42, que existe 61 > O tal que O < I x - a i < 61 =? Ig(x) - mJ < Im l /2,

portanto I ml - lg (x) 1 � I m - g(x) 1 < Iml /2, ou seja,

Ig(x) l > I ml /2. (2.2.2)

Dado c > O, existe 6 > O , que pode ser tomado menor do que 61 , tal que O < I x - a i < 6 =? Ig(x) - ml < I mI 2c/2.

Portanto, de acordo com (2.2.2) e (2.2.3) , O < Ix - a i < 6 implica 1 1 /g (x) - l /m l = I (g (x) - m) /mg(x) 1 < 2 Ig (x) - m l / l m J 2 < c.

Ou seja, limx-->a (l/g (x)) = l/m.

(2.2.3)

Observação 2.2.2. ( 1 ) O item 1 e o item 2 da proposição 2.2 . 1 , acima, se

estendem para um número qualquer de funções. Assim, por exemplo, se limx-->a f(x) = R, tem-se limx-->a [f(x)r = Rn , n E N.

(2) Dado um polinômio P(x) = anxn + an_1xn-1 + . . . + ao , notando que

limx-->a x = a e combinando o item ( 1 ) acima com as propriedades enuncia das na proposição 2.2. 1 , tem-se

lim P(x) = P(a) .

Mais ainda, os ítens (5) e (6) do exemplo 2.1.3 nos dão: lim P ( cos x) = P ( cos a) ,

x----+a

lim P(sen x) = P(sen a),

x---+a

lim tan x = tan a, se cos a =I- O,

x-+a

lim cot x = cot a, se sen a =I- O,

x-+a

lim sec x = sec a, se cos a =I- O e

x-+a

lim csc x = csc a, se sen a =I- o.

x-+a

o item (4) do exemplo 2.1.3, página 43, onde o limite limx-+2(x2+1) = 5 é

calculado, decorre imediatamente da observação 2.2.2, não sendo necessário o uso direto da definição de limite.

PROPOSIÇÃO 2.2.3. Seja 1 : B � ]R tal que exista f = limx-+a 1(x) . Então

existe uma vizinhança V (a) de a tal que 1 é limitada em V (a) n B.

Demonstração. Seja E = 1. Como limx-+a 1(x) = f, existe 6 > O tal que

x E B, O < Ix - 0,1 < 6 :::} 11(x) - fi < I

:::} 11(x) I - lfl < 1 :::} 1 1(x) 1 < I fl + 1.

Logo, se V(a) = (a - 6, 0, + 6) , x E V(a) n B \ {a} implica 1 1(x) 1 < Ifl + 1.

Assim, 11(x) 1 :S; Ifl + I + 11(0,) 1 , para todo x E V(a) n B. Ou seja, 1 é

limitada em V(a) n B. D

Seja 1 : B � ]R uma função, e seja a um ponto de B ou um ponto de

acumulação de B. Se existe uma vizinhança V (a) de a tal que 1 é limitada em V (a) n B [ou seja, vale a con c lusão da proposição 2. 2. 3], diz-se que 1 é localmente limitada no ponto a. Diz-se que uma função é localmente

limitada em um conjunto B C ]R se for localmente limitada em cada ponto

de B. Neste contexto, a proposição 2.2.3 poderia ser enunciada:

"Seja 1 : B � ]R e suponhamos que exista fi = limx-+a 1 (x). Então 1 é

localmente limitada em a. "

Observação 2. 2. 4. Obviamente, qualquer função limitada 1 : A � ]R é lo

calmente limitada em A. Entretanto, não vale a recíproca desta afirmação

pois, pelo que já sabemos, a função identidade !(x) = x, x E ]R, é local

mente limitada em ]R [pois existe o limite em cada ponto de ]R], mas é claro

que a função identidade não é uma função limitada. A função 1(x) = l/x é

Propriedades dos limites • 51

;ti = l/x

Figura 2.2.1: Não existem os limites para x ---t O

A proposição 2.2.3, acima, pode ser vista como um critério de não exis

tência do limite: "Se uma função não é localmente limitada num ponto a,

então não existe limx---+a f (x) . "

EXEMPLO 2.2.5. (1) Não existem limx---+o(l/x) e limx---+o(1/x2 ) , pois l/x e 1/x2 não são funções localmente limitadas em O. Veja as figuras 2 . 2 . 1.

(2) Com o mesmo argumento vê-se que as funções csc x e cot x não têm limite nos pontos a = k7r, ±k: = 0, 1, . . ..

(3) A função f(x) = sen(l/x) é localmente limitada no ponto x = O,

mas, como já vimos, não existe limx---+o sen(l/x) . Isto é, não vale a recíproca da proposição 2.2.3.

Quando uma função f satisfaz limx---+a f (x) = O, usa-se dizer que f é

um infinitésimo em a. A proposição abaixo diz, em outros termos, que o produto de uma função limitada por um infinitésimo é um infinitésimo. PROPOSIÇÃO 2.2.6. Sejam f, h : B --+ IR, limx---+a f(x) = O e h localmente

limitada em a, então limx---+a h(x) f(x) = O.

Demonstração. Sejam 61 > O tal que h é limitada em V'h (a) n B e K > O tal que Ih(x) 1 � K, para todo x E 1181 (a) n B.

Seja c > O qualquer e tomemos 6, 61 > 6 > O, tal que x E B, O < Ix - ai < 6 =} If(x) 1 < c/ K.

Assim, se x E B,

O < Ix -ai < 6 =} Ih(x) f(x)1 = Ih(x) llf(x) 1 < K K c = c.

Figura 2.2.2: g(x) = x sen

EXEMPLO 2.2.7. (1) limx-->ox sen

_�

= 0, pois este é o limite do produto de

uma função limitada, h(x) = sen

�

, por um infinitésimo em 0, f(x) = x. A

figura 2.2.2 mostra o gráfico da função par g(x) = x sen

�

(2) limx-->o x2 sec x cos3

_�

= 0, pois a função considerada é o produto de

uma função localmente limitada em 0, h(x) = sec x cos3

�

, por um infinité

simo em 0, f(x) = x2 .

(3) A hipótese de h ser localmente limitada na proposição 2.2.6 é es

sencial. Por exemplo, se tivermos f(x) = x [portanto limx-->o f(x) = O] e

h(x) = l/x, que não é localmente limitada em 0, será inválida a conclusão

da proposição 2.2.6, pois limx-->o f(x) h(x) = 1. Na verdade, quando essa hi

pótese não é imposta nada se pode dizer, pois se tomarmos agora f(x) = x2

e mantivermos h( x) = l/x, teremos limx-->o f(x) h(x) = O.

TEOREMA DA COMPARAÇÃO. Sejam f,g : B ---t IR com f(x) � g(x), para

todo x E B . Se existem limx-->a f (x) e limx-->a 9 (x), então

lim f (x) � lim 9 ( x ) .

x----+a x----+a

Demonstração. Suponhamos por contradição que

Se fi = fil - fi2 , temos

fil = lim f(x) > lim g(x) = fi2.

x----+a x-ta

lim (J (x) - 9 (x) ) = lim f (x) - lim 9 (x) = fi > O.

x---ta x---+a x----+a

Propriedades dos limites • 53

Tomando E = f!/2, segue-se à definição 2. l. 1 que existe 6 > O tal que, se

x E B e O < Ix

_-

ai < 6, então

If (x) - g(x) - f!1 < f!/2,

-f!/2 < (f (x)

_-

g(x)

₎

- f! < f!/2.

Assim, O < f!/2 < f (x)

_-

o que é uma contradição, uma vez que

f(x) :( g(x) , para todo x E B. D

EXEMPLO 2.2.8. (1) limx->2 (sen2 x + x cos2 x) :( 3.

Note inicialmente que o limite existe. Como x ---t 2, podemos considerar

x > O. Portanto

sen 2 X + X cos2 X :( 1 + x

e, como limx->2 (1+x)

=

3, a afirmação decorre do Teorema da Comparação.

(2) Mesmo que f(x) < g(x) , x E B, não se pode trocar ":(" por "<" em

(2.2.4). De fato, se g(x) = x e f (x) = -x, para x E (0, 1) , temos f (x) < g(x)

em (0, 1) e

lim f (x) = lim g(x) = O.

x---+O x---+O

(3) Se para alguma função f existe limx---+a 1 = f!, o Teorema da

C _ . l' 1

. f (x)

omparaçao lInp lca , pOIS 1 + If (x)1 .

U ma das conseqüências do Teorema da Comparação é o Teorema do Confronto, conhecido popularmente como Teorema do Sanduíche.

TEOREMA DO CONFRONTO. Sejam f, g, h : B ---t ]R tais que f (x) :( g(x) :( h(x) ,

para todo x E B, então

lim f (x)

=

lim h(x) = f! =? lim g(x) = f!.

x->a x---+a x---+a

Demonstração. Seja E > O dado e tomemos 61, 62 > O tais que

x E B, O < Ix - a i < 61 => x E B, O < Ix

_-

ai < 62 =? Logo, se 6 = min{61, 6d > O e x E B, f

-

E < f (x) < f + E, f!

_-

E < h(x) < f! + E. O < Ix - ai < 6 =? f! - E < f (x) :( g(x) :( h(x) < f! + E =? Ig(x) - f!1 < E. Ou seja, limx->a g(x) = f!. D

Figura 2.2.3: Teorema do Confronto

A figura 2. 2. 3 representa uma situação típica dos gráficos de J, 9 e h nas

condições do Teorema do Confronto.

Observação 2.2.9. O fato lim x sen -

=

O, apresentado no exemplo 2. 2.7-

x--+O _x

(1), página 52, decorre também do Teorema do Confronto, urna vez que

- Ixl � x sen - � Ixl

x e limx--+o - I x I

=

limx--+o I x I

=

PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL.

lim sen x

=

1. x--+O x

sen x ,

Demonstração. Corno -- e uma função par, é suficiente mostrar que

x sen x

limx--+o+ --

=

1 [veja o exercício 48].

Seja O < x < 7r /2. Na figura 2.2.4 representamos o arco AB de compri-

mento x da circunferência unitária. Sejam 51 a área do triângulo OAB, 52 a

do setor circular OAB e 53 a do triângulo OAG. Corno as alturas dos triân

gulos OAB e OAG, relativas à base OA, são sen x e tan x, respectivamente,

de acordo com o exemplo 1. 2. 23, página 28, podemos escrever:

Propriedades dos limites • 55

Como o setor contém o primeiro triângulo e está contido no segundo, temos 51 < 52 < 5;{, logo sen x < x < tan x. Dividindo por sen x e invertendo.

sen x

--

> cos x. x

Passando ao limite, com x ---+ 0+, a conclusão agora é conseqüência direta

do Teorema do Confronto, pois limx--->o + cos x = 1. O

Figura 2.2.4: 6 OAB C Setor OAB C 60AC

EXEMPLO 2.2.10. (1)

sen2 x

lim

--

= O.

x--->o x

sen2:r

(

sen X

)

De fato, limx--->o = (limx--->o sen x) limx--->o

(2)

tan x lim -- = 1. x--->o x

= 0·1 = O.

De fato, limx--->o tan x =

(

limx--->o

(

limx-+o seu X

)

= 1 . 1 = 1.

x cos x x

(3) A função g(x)

=

x sen-, tratada no exemplo 2.2.7, página 52, sa

tü;[az lim g(x) = lim g(x) = 1.

x--+oo X-t-CX)

Finalizamos esta seção antecipando dois fatos sobre raízes n-ésimas e

expoentes fracionários que serão provados mais tarde. O primeiro, que é um

caso particular do segundo, é também conseqüência direta da proposição

2. 4. 21, página 78 [veja o exemplo 2.4.23, subseqüente a essa proposição]. O

PROPOSIÇÃO 2.2.11. Se n é um inteiro positivo, então

lim ifi =

y'a,

x-+a

sempre que :çra exista em IR..

Mais geralmente,

PROPOSIÇÃO 2.2.12. Suponhamos limx-+a f(x) = fi E ]R e seja n um nú mero inteiro positivo. Suponhamo8 ainda fi > O se n for par. Então

lim f(x) = V1. (2. 2. 5)

x-+a

Em outros termos, esta proposição diz que a ordem dos sinais de limite e de radiciação pode ser trocada, isto é,

lim f (x) = n lim f ( x ) .

x-+a x-+a

A hipótese fi > O no caso n par é necessária. De fato, tomemos fi = O e

consideremos a função f(x) = -x2, n par e a = 0, por exemplo. Todas as

hipóteses da proposição 2. 2. 12 estão satisfeitas, mas a equação (2. 2. 5) não faz sentido neste caso.

EXEMPLO 2.2.13. (1) Se a > O; m, n = 1, 2, . . . , temos

lim

_{( ifi)}

m = lim yrxm

=

vc;m =

( y'a)

m .

x-+a x-+a

Em outros termos,

x-+a

(2) Ainda como conseqüência da proposição 2. 2. 12 temos

lim -5x - 36 = - 2.

x-+4

2.3 LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS

Não existe limx-+o (1/x2 ) , uma vez que a função g(x) = 1/x2 não é localmente

limitada [veja figura 2. 2. 1, página 51]. Os valores 1/.1:2 podem ser feitos

arbitrariamente grandes tomando-se x suficientemente próximo de O. Por

esta razão, embora não exista o limite de 9 em O -e isto deve ficar claro, pois

não existe um número fi satisfazendo a definição de limite, definição 2.1.1,

página 42 - ainda assim se escreve

1 lim ----:2 = 00.

x-+ox De um modo geral, temos:

Limites no infinito e l'imites infinitos • 57

DEFINIÇÃO 2.3.1. Sejam f : B ---+ IR e a um ponto de acumulação de B. Diz-se que o limite de f (x) é infinito quando x tende a a e se denota

lim f(x) = 00

X----+(l

se, dado qualquer número K > O, existe 6 = 6(K) > O tal que

x E B, O < _{Ix -ai < 6} _{f(x) > K.}

Esboce os gráficos das funções dadas no exemplo 2.3.2 a seguir. EXEMPLO 2.3.2. (1) Se f(x) = l/Ix -ai, então lirnx--->a f(x) = 00 .

De fato, dado K > O, _{tomemos 6}

=

_{1/ K. Então}

Ix -ai < 6 =} 1 1 Ix -ai> b = K.

(2) limx--->oj[l/xll = 00, onde [xl denota a parte inteira de x. De fato,

antes de tudo note que l[l/xll + 1 ;? lI/xi, para todo x #- o. Dado K > O,

tomemos 6 = l/(K + 1). Então

Ixl < 6 =} l[l/xll;? 11/xl-1 > (1/6) -1 = K.

A função f(x) = l[l/xll é par?

(3) Se f(x) = 1/x2 + sen(l/x), então limx--->o f(x)

=

00.

De fato, dado K > O, tomemos 6 = Então

I

� + sen �

I

;? � -1 > � -1 = K.

x2 X x2 62

PROPOSIÇÃO 2.3.3. Sejam _f,9 : B ---+ IR, com g(x) > O, x E B, e supo nhamos que existam _{limx--->a f (x)}= P > O e limx--->a 9 (x) = O. Então

. f(x) 11m = 00.

x--->a 9 X

Demonstração. _{Tomando E}= P/2, existe 6 > O tal que

x E B, O < _{Ix -ai < 6 =} If(x) -PI < P/2 =} f(x) > P/2 >}o.

Considerando agora E = P/(2K) e tomando 6 menor, se necessário, podemos

garantir também [note que g(x) > O]

x E B, O < _{Ix -ai < 6 =} g(x) < P/(2K),}

f(x) P/2

x E B, O < _{Ix -ai < 6 =}}

EXEMPLO 2.3.4. _{limx-t7f I cot xl}

=

00, pela proposição 2.3.3.

É _{natural escrever limx--->ü -I/x2}

=

-00, pois o número negativo -I/x2 pode ser arbitrariamente grande, em módulo, se tomarmos x suficientemente próximo de O. Mais geral e precisamente,

DEFINIÇÃO 2.3.5. _{Sejam f}: B --+ ffi. e a um ponto de acumulação de B.

Diz-se que o limite de f(x) é -00 quando x tende a a e se denota lim f(x)

=

-00

x--->a

se, dado um número K > O, _{existe 5}= 5(K) > O tal que x E B, O < Ix -ai < 5 f(x) < - K.

É _{claro que limx--->a f(x)}

=

-00 se e somente se limx-ta -f(x) = 00.

A _{função f(x)}

=

l/x [veja a figura 2. 2. 1] _nãoé _{localmente limitada em} O e não tem limite 00 nem -00 em O. Seu comportamento para x próximo de O, _{no entanto, inspira a definição de limites laterais infinitos.}

DEFINIÇÃO 2.3.6. _{Dada f}: B --+ ffi., B C ffi., se a é ponto de acumulação

à esquerda para B e se limx--->a f

I

Bn( �oo,a) (x)

=

00, diz-se que o limite à esquerda de f em a é 00 e se denota lim f(x) _x----.--ta-

=

00.

Figura 2. 3. 1: y = tanx

EXEMPLO 2.3.7.

lim tan.1: = 00 e lim tan x = -00.

x--->(�+k7f)� x--->(�+k7f)+

Limites no infinito e limites infinitos • 59

Sejam f : B ---7 IR. e a ponto de acumulação à esquerda e à direita de

B C IR.. Então decorre imediatamente das definições acima que

lim f(x)

=

00 {:} lim f(x) = lim f(x)

=

00.

x-ra x----+a- x----+a+

x+1 Consideremos agora a função f (x)

= --

x+l Figura 2. 3.2: f(x) = -

Vê-se que f (x) pode estar ar bi trariamente próximo de 1 tomando-se x > O suficientemente grande. Veja a figura 2.3.2.

Esta situação, que se denota por

inspira a seguinte definição:

x+1 lim --

=

x->(X) _x

DEFINIÇÃO 2.3.8. _{Seja f :}A ---7 e suponhamos que A C IR. não seja

limitado superiormente. Diz-se que € E IR. é o limite de f (x) q'uando x ---7 00

e se denota

lim f(x) = €,

X-r(XJ

se dado um número E > O, _{existe um número K}= K(E) > O tal que

No documento Cálculo em uma variável real - Táboas (páginas 41-87)