Cálculo em uma variável real - Táboas

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Reitora Vice-reitor Diretor-presidente Presidente Vice-presidente Diretora Editorial Edito ras -assistentes

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Suely Vilela Franco Maria Lajolo

EDITORA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Plinio Martins Filho

COMISSÃO EDITORIAL

José Mindlin

Carlos Alberto Barbosa Dantas Benjamin Abdala Júnior Carlos Augusto Monteiro

Maria Arminda do Nascimento Arruda Nélio Marco Vincenzo Bizzo Ricardo Toledo Silva Silvana Biral Marilena Vizentin Carla Fernanda Fontana

Copyright © 2008 by Plácido Zoega Táboas

Ficha catalográfica elaborada pelo Departamento Técnico do Sistema Integrado de Bibliotecas da USP Táboas, Plácido Zoega.

Cálculo em uma Variável Real/Plácido Zoega Táboas.­ São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2008.

344 p.; 19,5 x ₂₇ em. - (Acadêmica; 70).

Inclui referências bibliográficas. Inclui índice remissivo. ISBN 978-85-314-1031-4

I. Cálculo absoluto. 2. Cálculo de variações. 3. Mate­ mática. I. Título.

Direitos em reservados _à

Edusp - Editora da Universidade de São Paulo Av. Prof. Luciano Gualberto, Travessa J, ₃₇₄

6° andar - Ed. da Antiga Reitoria - Cidade Universitária

05508-900 - São Paulo - SP - Brasil

Divisão Comercial: Te!. _{(11) 3091-4008 / 3091-4150} SAC (lI) _3091-2911 -Fax (lI) 3091-4151

www.edusp.com.br- e-mail: edusp@usp.br Printed in Brazil 2008

Foi feito o depósito legal

P REFÁCIO 1 FATOS BÁSICOS 1. 1 A reta real . 1.2 Funções . 1.3 Exercícios . 2 LIMITE E CONTINUIDADE 2. 1 Limites . . . . SUMÁRIO

2.2 Propriedades dos limites . . . . 2.3 Limites no infinito e limites infinitos

2.3 . 1 Seqüências convergentes 2.4 Continuidade 2.5 Exercícios 3 A DERIVADA 3 . 1 O conceito d e derivada 3.2 Diferenciabilidade e continuidade 3.3 Regras de derivação . 3.4 Velocidade . . . 3.5 A Regra da Cadeia . . . 3. 6 Derivada da função inversa . 3.7 Derivadas de ordem superior

3.8 Derivadas de funções definidas implicitamente

7 1 1 11 21 38 41 41 48 56 66 69 80 87 87 92 97 100 102 105 109 111

3.9 O Teorema do Valor Médio . 1 13

3. 10 A Regra de L 'Hópital . 121

3. 1 1 Funções convexas e pontos de inflexão . 1 23

3. 1 1 . 1 Funções convexas deriváveis 128

3 . 1 2 Máximos e mínimos . 1 33

3. 12. 1 Esboço do gráfico de funções . 139

3.13 A diferencial e a fórmula de Taylor 142

3. 13. 1 A diferencial . 143

3. 13.2 A Fórmula de Taylor 147

3. 14 Exercícios 152

4 A INTEGRAL 161

4. 1 Integrabilidade e definição de integral 162

4.2 Propriedades da integral 1 73 4.3 Teoremas clássicos 1 76 4.4 O logaritmo e a exponencial 1 88 4.4. 1 A função logaritmo 190 4.4.2 A função exponencial . 192 4.4.3 As funções hiperbólicas . 202

4.5 Algumas técnicas do Cálculo Integral 206

4.5 . 1 Substituições trigonométricas 207

4.5.2 Completamento do quadrado 209

4.5.3 Potências de funções trigonométricas 213

4.5.4 Funções racionais 214

4.6 Definição alternativa de integral 21 8

4.7 Algumas aplicações da integral . . 219

4.7. 1 Área de conjuntos planos . 219

4.7.2 Comprimento de arco . 227

4.7.3 Volume de um sólido de revolução . 234

4.7.4 Área de uma superfície de revolução 236

4.7.5 Massa de um líquido, conhecida a função densidade 241

4.8 Integrais impróprias 242

4.8. 1 Integrais em intervalos não-limitados 243

4.8.2 Convergência absoluta 254

4.8.3 Integrais com integrandos não-limitados 255

4.9 Exercícios 263

5 SEQÜÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 271

5. 1 Seqüências . 271

5.2 Séries 281

5.4 Séries alternadas . . . . 5.5 Convergências absoluta e condicional 5.6 Séries de potências

5.7 Exercícios . . . .

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ÍNDICE REMISSIVO

RESPOSTAS DE ALGUNS EXERcícIOS

Sumário • 5 292 295 301 313 319 321 325

Até meados da década de 1960, os cursos de Cálculo no Brasil, em geral di­ rigidos à formação de engenheiros, superavam no rigor e na extensão grande parte dos de hoje em dia, proporcionando aos alunos boa compreensão dos conceitos e habilidade em calcular. Tanto a precisão quanto a abrangência foram sendo relegadas ao longo dos anos, dando lugar a alguns cursos extre­ mamente informais. Entre as crenças que muito fortaleceram essa tendência está a de que conceitos como ponto de acumulação e até mesmo os argumen­ tos dos epsilons e deltas são muito sofisticados ou desprovidos de interesse para a média dos alunos de engenharia, o que, convenhamos, não se ajusta à verdade.

Mesmo admitindo a necessidade de realizar adequações naqueles cursos, é preciso reconhecer que eles proporcionavam uma boa formação ao estu­ dante. Também não se pode negar que um profissional das ciências exatas, mesmo as mais voltadas às aplicações, necessita bom domínio dos conceitos fundamentais do Cálculo e esta necessidade não tem diminuído com o passar dos anos.

Estas ponderações nos levaram a escrever esta introdução ao Cálculo,

que procuramos situar mais próxima do rigor que do informalismo. Foi pla­

nejada inicialmente como texto para disciplinas do campus de São Carlos, da Universidade de São Paulo, mas, considerando as semelhanças curriculares de nossas universidades, pensamos que pode ser útil além dos limites deste

campus. Cobre o que entendemos necessário no tocante às funções de uma variável real. Incluímos, entretanto, trechos em caracteres diferenciados, en­ tre barras horizontais, ocasionalmente descartáveis, mas indispensáveis a

8 • Prefácio

estudantes que vão se dedicar profissionalmente à matemática. Referindo-se a aspectos interessantes ou a fatos mais refinados da teoria, esses apêndices estão longe de tornar exaustivo o texto, nem mesmo chegam a representar substancial acréscimo de conteúdo. Esperamos apenas que possam estimular o estudante a ir mais longe nesta sua primeira incursão pelo Cálculo.

Este livro deve ser um ponto de partida para iniciativas pessoais do es­ tudante. Acreditamos que os textos didáticos, assim como as aulas, não se esgotam em si mesmos e nem devem ter essa pretensão. Aulas são boas não só pelo conhecimento que transmitem, mas, principalmente, pelo despertar da curiosidade, o acender da motivação para o estudo. Pode ser muito o que se aprende em sala de aula, mas isso nem se compara ao que podem ser as conquistas do esforço persistente e solitário do trabalho individual. O pro­ cesso de aprendizagem que se inicia nas aulas depende fundamentalmente do esforço pessoal do estudante e deve envolver outras leituras. Alguns títulos da bibliografia apresentada no final podem ser um bom começo dessa prá­ tica; observamos que livros de Cálculo não comportam os requintes de obras sobre análise real, mas há exceções, como o livro Calculus, de M. Spivak, ou o antigo livro Advanced Calculus, de D. Widder, por exemplo.

Ultimamente, algumas escolas têm envidado esforços para implantar o uso dos computadores no ensino do Cálculo. Este recurso pode ser útil na busca de caminhos para soluções de um ou outro problema ou para a compre­ ensão de algum fato. Na verdade tornou-se indispensável em praticamente todas as áreas da atividade humana. Pensamos, entretanto, que as práticas computacionais devem ser paralelas às disciplinas de Cálculo e não parte delas, mesmo porque o uso dos computadores deve ser estimulado não só como apoio ao Cálculo, mas também a outras áreas da matemática e, em geral, do conhecimento.

Sendo o primeiro curso de Cálculo, em poucas palavras, uma introdução a processos-limite para funções reais de uma variável real, o mais natural seria iniciarmos com as funções mais elementares: as seqüências. Ao es­ colhermos aqui uma outra ordem estamos nos rendendo a uma razão de natureza puramente curricular: muito cedo o aluno precisa aplicar as deri­ vadas e as integrais em outras disciplinas; convém, portanto, não retardar a apresentação desses assuntos.

O capítulo 1 é pré-requisito para os que se seguem. Visa, principalmente, delinear uma linguagem e deixar estabelecidos alguns conceitos básicos. En­ tendemos que partes dele podem ser tratadas de modo ligeiro, mas, dado seu caráter fundamental, o capítulo como um todo deve permanecer como refe­ rência durante todo o desenvolvimento do Cálculo. Conhecimentos básicos de geometria analítica plana são admitidos.

conceitos de limite e continuidade. O capítulo 3 é dedicado ao cálculo dife­ rencial e algumas de suas aplicações. No capítulo 4, apresentamos a integral de Riemann, introduzimos algumas técnicas do cálculo integral e fazemos algumas aplicações. Nele também definimos as funções logaritmo e expo­ nencial. No capítulo 5, apresentamos as seqüências e séries numéricas e as séries de potências. No final de cada capítulo há uma lista de exercícios e no final do livro, uma lista de respostas de boa parte deles. Uns, mais práticos,

visam treinar a manipulação de técnicas; outros, mais conceituais, firmar os fundamentos e idéias da teoria. O estudante deve se sentir desafiado por qualquer um que lhe provoque dificuldades.

No desenvolvimento do livro pudemos manter alguns diálogos extre­ mamente profícuos, em especial com os colegas José Luis Arraut Vergara, Alexandre Nolasco de Carvalho, Janey Antonio Daccach, Luiz Augusto da Costa Ladeira, Selma Helena de Jesus Nicola e Miguel Vinícius Santini Frasson que, na fase de diagramação, também colocou a nosso dispor seu bom gosto e seu conhecimento do programa �TEX. É um prazer deixar-lhes aqui registrado o nosso agradecimento. Agradecemos ainda a Vanda Biazi, Ires Dias e Benito Pires Frazão, por contribuições numa versão preliminar e por fim, mas não menos, ao Departamento Editorial da Edusp nas pessoas de Marilena Vizentin, editora assistente, e Silvana I3iral, diretora editorial, por sua disponibilidade, profissionalismo e simpatia. Obviamente, nenhuma das pessoas aqui mencionadas é responsável pelas imperfeições remanescentes.

1

FATOS BÁSICOS

Neste capítulo acertamos alguns pontos de linguagem e introduzimos alguns conceitos fundamentais. Seu conteúdo é referência para os subseqüentes. Deve-se dar especial atenção ao Axioma da Completeza, página 18, e não seguir em frente sem entender o que vem a ser um ponto de acumulação,

definição 1 . 1 . 2 1 , página 19. Estes assuntos são cruciais no desenvolvimento do Cálculo e envolvem certa sutileza, mas não chegam a ser complicados. 1 . 1 A RETA REAL

o conjunto dos números reais será denotado por ]R. e, como pode ser re­ presentado por uma reta orientada, será também chamado de reta real ou, simplesmente, reta. Em ]R. consideramos conhecida a relação de ordem " � ",

menor ou igual. A notação a < b significa a � b e a =1= b. A notação a > b é a negação de a � b e a ;? b é a negação de a < b.

Dados a, b, c E ]R., a relação " � ", por ser de ordem, goza das três pro-priedades a seguir:

( 1 ) a � a, [reflexiva]

(2) Se a � b e b � a, então a = b,

(3) Se a � b e b � c, então a � c. [ anti-simétrica] [transitiva 1

Valem também:

(4) Para quaisquer a, b E ]R., tem-se a � b ou b � a,

(5) Se a � b e c � d, então a + c � b + d,

(6) a � b =?

{

ca � cb, quando c> O,

Em outras palavras, (4) quer dizer que dois elementos, a, b E IR, são sem­

pre comparáveis. Diz-se que a ordem " � " é total por valer essa propriedade.

A propriedade (5) é chamada invariância por translação.

Como conseqüência de (6) , se a, b E IR temos: a < b ::::} -a > -b.

Agregam-se à reta real dois símbolos: +00 [a breviado por 00] e -00, que não são números. Isto é, fica definida por IR* = IR U { -00, +oo} a reta

real estendida. Neste caso, para qualquer x E IR está satisfeita a relação

-00 < x < 00.

DEFINIÇÃO 1.1.1. Dados a, b E IR, a � b e -00 < c � 00, os seguintes subconjuntos de IR são chamados intervalos:

(a, b) = {x E IR I a < x < b} [a, b] = {x E IR I a � x � b} [a, b) = {x E IR I a � x < b} (a, b] = {x E IR I a < x � b} (-00, a] = {x E IR I x � a} (-00, c) = {x E IR I x < c} [a, 00) = {x E IR I x ;? a} (a, 00) = {x E IR I x > a}

Observe que, ao admitirmos a possibilidade a = b, estamos considerando

que o conjunto vazio é um intervalo [(a, a] = 0] e que qualquer subconjunto

unitário da reta é um intervalo [ [a, a] = {a}], chamado intervalo degenerado.

Note também que, se c = 00, temos o intervalo (-00,00) = IR.

DEFINIÇÃO 1.1.2. Para todo x E IR, o módulo, ou valor absoluto, de x é o número I x l definido por

I xl =

{

x,

-x,

se x ;? O

se x < O. A definição 1 . 1 . 2 implica as seguintes propriedades:

1.Ixl=l-xl, VxElR,

2. Ix l ;? O, V x E IR,

3. x � Ix l , 'í/x E IR,

4. Ixyl = I x l lyl , 'í/ x, y E IR,

A reta real • 1 3

---<011111111111111111111111111111111111111111111111IIO>---+--a O a

Figura 1.1.1: {x E IR Ilxl < a} = (-a,a)

EXEMPLO 1 . 1 . 3. ( 1 ) Dado a E IR, temos:

I xl < a {:} -a < x < a, como está indicado na figura 1 . 1 . 1 .

( 1 . 1 . 1 ) De fato, multiplicando a desigualdade -a < x < a por - 1 , obtemos a equivalência -a < x < a {:} -a < -x < a. Logo

-a < x < a :::::} -a < -x < a e -a < x < a :::::} I xl < a, uma vez que, sempre, I x l = x ou Ix l = -x. Reciprocamente, de acordo com

as propriedades 1 e 3, acima, podemos escrever

Ix l < a :::::} l -x l < a e Ix l < a :::::} -x < a e x < a :::::} -a < x < a.

(2) Dado a E IR, temos

I x l > a {:} x < -a ou x > a. De fato, como I x l = x ou I xl = -x, temos

I x l > a {:} -x > a ou x > a.

Faça uma figura do tipo da figura 1 . 1 . 1 para este caso.

(3) Resolver uma desigualdade como, por exemplo, Ix -31 < 2,

é descrever o conjunto dos x E IR que a satisfazem. Vamos resolvê-la. Do

item anterior temos -2 < x -3 < 2, logo 1 < x < 5.

---....,If---<OlllllllllllllllllllllllllllllllllllllllIIIIIIIIIIO>---____+_

O a-E a a+E

Figura 1.1. 2: {x E IR I I x - a I < E} = (a -E, a + E)

De um modo geral, se c é um número positivo e a E IR é dado, temos: Ix - a i < c {:} a - c < x < a + c,

isto é, X E (a - c, a + c), veja a figura 1. 1.2.

(4) Se c é um número positivo e a E lR é dado, temos:

I x - ai > c {::} x < a - c ou x > a + c.

Isto é, x E (-00, a - c) U (a + c, 00) = lR \ [a -c, a + c] Use o item (2) para

justificar esta afirmação e faça uma figura análoga à figura 1. 1.2 para este caso. [Se A e B são dois subconjuntos de um conjunto U, a notação A \ B, lê-se "A menos B ", tem o significado A \ B = {x E U I x E A e x ti:- B}].

Cada um dos ítens de (1) a (4) do exemplo 1. 1.3 tem uma versão óbvia com "::;;" e " ;? " em vez de " < " e "> ", respectivamente.

DESIGUALDADE TRIANGULAR. Para quaisquer a, b E lR:

l a + bl ::;; lal + I bl· (1. 1.2)

Demonstração. Pela propriedade 3 subseqüente à definição 1. 1.2, página 12,

valem as seguintes desigualdades:

-I al ::;; a::;; lal, -I bl ::;; b::;; I bl.

Somando membro a membro vem

-(I al + I bl) ::;; a + b ::;; l al + Ibl

e, de acordo com a equivalência (1.1.1) com "::;;" em vez de " < ", temos

la + bl ::;; l al + I bl· O

A razão do nome desigualdade triangular é que, no cálculo vetorial, se

a e b são vetores e se as barras I . I denotam o módulo de vetores, então, em geral, os números l a l, I bl e l a + bl são os comprimentos dos lados de um triângulo e vale a desigualdade (1.1.2) . Nesse contexto, ela significa que o comprimento de um lado de um triângulo é sempre menor ou igual à soma dos comprimentos dos outros dois [a igualdade ocorre apenas em casos de triângulos degenerados, quando o vetor b é múltiplo de a].

A desigualdade triangular tem a seguinte conseqüência:

PROPOSIÇÃO 1.1.4. Para quaisquer a, b E lR:

A reta real • 1 5

Demonstração. Dados a, b E IR, pela desigualdade triangular, temos

10,1 = I (a - b) + bl � l a - bl + I bl ,

ou seja, 10,1 - I bl � l a - bl· D

Trocando os papéis de a e b em ( 1 . 1.3) , temos I bl - I al � I b -0,1, ou sej a, -

(

I al - I bl

)

� l a - bl· (1. 1. 4)

Assim, pela definição de módulo, juntando (1. 1.3) e (1. 1. 4), temos o seguinte melhoramento da proposição 1. 1. 4:

Il a l - l b l

l

� l a - bl , \j a, b E ]R. (1. 1. 5) DEFINIÇÃO 1.1. 5. Diz-se que um subconjunto A de IR é limitado, se existe um número L > ° de modo que

x E A:::} Ixl � L. Se vale a condição mais fraca:

x E A :::} x � L,

diz-se que o conjunto A é limitado superiormente e o número L é chamado

cota superior ou limitante superior de A. Analogamente, diz-se que o con­ junto A é limitado inferiormente quando existe um número fJ tal que

e neste caso fJ é chamado cota inferior ou limitante inferior de A.

Observação 1.1.6. Um conjunto A C IR é limitado se e somente se A for

limitado superior e inferiormente. O conjunto vazio, 0, é limitado.

EXEMPLO 1.1.7. (1) A = (0, 1] é um conjunto limitado, portanto limitado superior e inferiormente.

(2) O conjunto dos números naturais N = {O, 1, 2, . . . } não é limitado, mas é limitado inferiormente. Qualquer número real não positivo é uma cota inferior de N. O conjunto Z = { .

.

. , -2, -1, 0, 1, 2, . . . } dos números inteiros

não é limitado inferiormente nem superiormente.

(3) B = {(2n -1)/2n I n E N} é limitado, pois para todo n E N, tem-se:

[ O que ocorre quando tomamos n muito grande ?]

DEFINIÇÃO 1.1.8. Seja A C IR, A i=- 0, um conjunto limitado superior­ mente. Diz-se que um número L é o supremo de A se L é urna cota superior de A e, para toda cota superior !v! de A, tem-se L � !v!. Denota-se

L = supA.

Por exemplo, 1 é o supremo do conjunto B = { (2T! - 1 ) /2T! I n E N},

considerado no item (3) do exemplo 1.1.7. Portanto qualquer número maior ou igual a 1 é urna cota superior de B.

Em outras palavras, a definição 1.1.8 diz que o supremo de A é a sua menor cota superior. Isto sugere a seguinte reformulação da definição 1. 1.8

que, embora seja apenas urna reformulação, vamos adotar corno definição alternativa por ser, em rrmitas situações, a mais adequada:

DEFINIÇÃO 1.1. 9. Seja A C IR, A i=- 0, um conjunto limitado superior­ mente. Diz-se que o número L é o supremo de A se estiverem satisfeitas as seguintes condições:

( a) L é uma cota superior.

(b) Dado é > ° qualquer, existe a E A tal que a > L - é.

Observação 1.1.10. O item (b) da definição 1.1.9 diz que, subtraindo-se de L um número positivo qualquer, por menor que ele seja, o número obtido não será urna cota superior de A.

O supremo de um conjunto A não necessariamente pertence a A. Este é o caso nos exemplos 1.1.7 - (3),(4) e no exemplo 1. 1. 13 a seguir.

DEFINIÇÃO 1.1.11. Se o supremo AI de um conjunto A C IR pertence a A, ele é chamado máximo de A, e denota-se M = max A.

EXEMPLO 1.1.12. Em relação aos conjuntos A = (0, 1], N = {O, 1 , 2, . . . },

B = { (2T! - 1 ) /2T! I n E N} e C = { (2n - 1 ) /n I n = 1 , 2, . . . }, dados no

exemplo 1.1.7, página 15, valem as seguintes afirmações: 1 = max A; não

existe sup N; 1 = sup B e 2 = sup C [Na verdade a gamntia da inexistência

de sup N é o teorema 1.1.18, apresentado mais adiante, conhecido como "propriedade arquimediana dos números reais", e as duas últimas afirmações seguem do corolário 1.1.19 desse teorema].

EXEMPLO 1.1.13. Sempre denotaremos com Q o conjunto dos números racionais. Seja A = Q n [O, J2]. O número L = J2 satisfaz as condições (a)

A reta real • 1 7

É imediato que a condição (a) está satisfeita. Para verificar (b), podemos aplicar um algoritmo da raiz quadrada para obter aproximações sucessivas de v'2 por falta: ro = 1, rI = 1,4, r2 = 1,41, . . . , rn , . . . , que, por terem

expansão decimal finita, são números racionais. Essas aproximações satisfa­ zem: v'2 - lO-n < rn < v'2, n = 0, 1 , 2, . . . . Dado E > 0, existe n tal que

lO-n < E. Assim, rn > v'2 - lO-n > v'2 - E e, como r n E A, a condição (b)

está satisfeita [Aqui, uma vez que lO-n < l/n, n = 1 , 2, . . . , voltamos a usar

um argumento que depende da propriedade arquimediana, mais exatamente, de seu corolário 1.1.19].

Estamos rondando um ponto muito delicado. De nossas considerações deve ter ficado, ao menos inconscientemente, a impressão de que todo subconjunto da reta não vazio e limitado superiormente tem um supremo. Por exemplo, na discussão do exemplo

1.1.13, acima, admitimos tacitamente que o número real J2 existe. Isto não é óbvio.

É conseqüência do fato da reta real ser completa, o que quer dizer, grosso modo,

que ela não tem furos. Este fato só foi estabelecido rigorosamente com a definição precisa dos números reais, no final do século XIX. Admitimos também que o número

J2 não está no conjunto Q dos racionais. Isto é, que a reta racional não é completa. Já a descoberta deste fato é bem antiga, tem mais de dois milênios.

Na Grécia antiga, antes do século V a.c., os números conhecidos eram os racionais e aceitava-se que dois segmentos quaisquer eram sempre comensuráveis. Isto é, dados dois segmentos, U e r, U podia ser dividido em q segmentos congruentes, UI, U2, ... ,

uq, de modo que cada um destes coubesse exatamente p vezes em r. Assim, tomando­

se U como unidade de comprimento, os segmentos Ui C U, i = 1, 2, . .. , q, teriam comprimento l/q e o comprimento de r seria o número racional p/q. Por exemplo,

na figura 1.1.3 temos q = 3, p = 5. Em outras palavras, dados dois segmentos quaisquer, acreditava-se que o comprimento de um era sempre múltiplo racional do comprimento do outro.

U

UI

Figura l . l .3 : Segmentos comensuráveis

Atribui-se a Pitágoras a descoberta de que o comprimento J2 da diagonal de um quadrado de lado unitário não se exprime como uma fração p/q, isto é, a diagonal e o lado de um quadrado são incomensuráveis. O ponto correspondente ao número

J2 na reta real não tem representante na reta racional. Diz-se que J2 é um número irracional, isto é, J2 E IR \ Q. Vejamos uma prova simples e pouco conhecida desta afi rmação, extra ída do I ivro de G. H. Hardy [3J.

"Suponhamos temporariamente que exista uma fração positiva p/q, irredutível, de modo que (p/q? = 2, isto é, p2 = 2q2. Isto implica (2q - p)2 = 2 (p - q)2. Logo

2q - p p-q

também é a raiz quadrada de 2. Mas, claramente, q < p < 2q, logo p - q < q. Assim, encontramos uma outra fração igual ao número p/q com um denominador menor, o que contraria a hipótese de p/q ser irredutível e encerra a prova."

Além desta prova, encontram-se no livro de Hardy outros fatos interessantes, como a seguinte generalização: "Se a fração m/n é irredutível e ao menos um dos números m e n não é um quadrado perfeito, então Jm/n é irracional. Por conse­ guinte, dado um número inteiro positivo k, ou k é um quadrado perfeito ou Jk é um número irracional."

Como não vamos nos aprofundar nas fascinantes questões relativas ao texto entre barras, acima, encerramos o assunto com o seguinte axioma:

AXIOMA DA COMPLETEZA. Se A C � é um conjunto não vazio e limitado superiormente, então existe L = sup A E K

Por exemplo, J2 é o supremo do conjunto A = {r E Q I r2 < 2 } .

S e A C �, A =1= 0 é limitado inferiormente, seu ínfimo, denotado por inf A, é a maior cota inferior de A. Em outros termos,

DEFINIÇÃO 1.1.14. Seja A C �, A =1= 0, limitado inferiormente. O número

f é chamado ínfimo de A se goza das duas seguintes propriedades: ( a) f é uma cota inferior.

(b) Dado um número c > O qualquer, existe a E A tal que a < f + c. Adaptações óbvias podem ser feitas no que foi apresentado sobre o supremo

para se estabelecerem propriedades e conceitos análogos relativos ao ínfimo

de um conjunto A.

DEFINIÇÃO 1.1.15. Se o Ínfimo fi. de um conjunto A C � pertencer a A,

diz-se que fi. é o mínimo de A e se denota fi. = min A.

Do axioma da completeza decorre que todo conjunto A C � não vazio e

limitado inferiormente tem Ínfimo.

As duas proposições seguintes estabelecem relações importantes entre os números racionais e irracionais:

A reta real • 1 9

PROPOSIÇÃO 1.1.16. O produto de um número racional r #- O por um irracional é um número irracional.

Demonstração. De fato, suponhamos por um momento que existam núme­ ros r E Q, r #-O, e x E � \ Q tais que rx = q E Q. Então :r: = q/r é racional,

uma contradição. O

PROPOSIÇÃO 1.1.17. A soma de um número racional p com um irracional é um número irracional.

Demonstração. Suponhamos temporariamente que existam números p E Q

e x E � \ Q de modo que p + x = q E Q. Este fato nos leva à contradição

x = (q � p) E Q. O

o teorema abaixo é chamado propriedade arquimediana de R

TEOREMA 1.1.18. Se x, y E �, x > O, então existe n E N tal que nx > y.

Demonstração. Consideremos o conjunto A = {nx I n = 0,1, . . . } e supo­ nhamos temporariamente que o teorema seja falso. Então y é uma cota supe­

rior de A. Como A#-0, pelo axioma da completeza existe L = sup A. Pelo

item (b) da definição 1.1. 9, página 16, existe mx E A tal que L � x < mx.

Então L < (m + l)x E A, uma contradição. O

Denotando x = E e tomando y = 1, temos imediatamente o corolário

COROLÁRIO 1.1.19. Para todo número E> O, existe n E N tal que l /n < E.

DEFINIÇÃO 1.1.20. Uma vizinhança de a E � é qualquer intervalo aberto

contendo a. Se a vizinhança for da forma (a � 5, a + 5), 5 > O, é chamada

vizinhança de raio 5 de a e denotada por Vb (a).

DEFINIÇÃO 1.1.21. Diz-se que a E � é um ponto de acumulação de B C �

se toda vizinhança de a contém um ponto de B distinto de a .

Analisando o exemplo a seguir, vemos que um ponto de acumulação de um conjunto não precisa pertencer a ele. Pontos que pertencem a um conjunto também não são necessariamente pontos de acumulação.

EXEMPLO 1.1.22. (1) A = (a, b), a < b. O conjunto dos pontos de acumu­

lação de A é o intervalo fechado [a, b].

(2) B = Z, o conjunto dos números inteiros. Não existem pontos de

acumulação de B.

(3) C = Q. Todo número real é ponto de acumulação de C [veja o

corolário 1.1. 24 a seguir].

(4) D = { l/n I n = 1, 2, . . . }. O número O é o único ponto de acumula­

ção do conjunto D.

Qualquer vizinhança de um ponto de acumulação de um conjunto B C IR

contém infinitos pontos de B [por que ?]. Conseqüentemente, os subconjuntos finitos de IR não podem ter pontos de acumulação.

Observação 1.1.23. Dizer que a é ponto de acumulação de B C IR significa

que a pode ser aproximado por pontos de B. Precisamente, dado um número

6 > O, por menor que seja, sempre existe x E B, x -# a, tal que I x - ai < 6. Costuma-se dizer que os pontos de B podem tender a a.

O seguinte corolário da propriedade arquimediana de IR, revela como os

números racionais se espalham por toda a reta IR:

COROLÁRIO 1.1.24. Qualquer intervalo (a, b) C R, a < b, contém um nú­

mero racional.

Demonstração. Seja a � O com a < b. Pelo corolário 1.1. 19 da propriedade arquimediana, existe n E N tal que O < l/n < b - a. Sejam q = l/n

e A = {m E N I mq > a} e tomemos k = min A [existe k, pois A -# 0 é

limitado inferiormente e, como A não tem pontos de acumulação, inf A E A. Veja o exercício 18.] Afirmamos que o número racional kq pertence a (a, b).

De fato, kq > a e, pela escolha de k, (k - l)q :::;; a logo kq - a :::;; q < b - a,

ou seja, kq < b. Portanto kq E (a, b).

Suponhamos agora a < o. Pela propriedade arquimediana podemos es­ colher n E N de modo que - a < n. Como a + n > O, pela primeira parte da prova existe um racional p E (a + n, b + n) . Então p - n é um racional

pertencente a (a, b). O

Uma conseqüência do corolário 1.1.24 é que todo intervalo aberto (a, b),

a < b, contém infinitos números racionais [por que ?].

Pelo fato de Q ter a propriedade estabelecida no corolário 1. 1.24 diz-se, numa linguagem mais técnica, que o conjunto Q dos números racionais é

denso na reta IR.

Os números irracionais gozam da mesma propriedade: todo intervalo

Funções • 21

seja n E N tal que n(b - a) > l al . Neste caso, a + ( I al /n) = a(n ± 1)/n é um

irracional pertencente a (a, b). Se a E Q, sejam x > ° um irracional e n E N tal que n( b - a) > x. Então a + (x / n) é um irracional pertencente a (a, b).

1.2 FUNÇOES

DEFINIÇÃO 1.2.1. Dados dois conjuntos A, B #-0, uma função f definida em A com valores em B ou, simplesmente, de A em B, que se denota

f : A ---+ B, é uma lei que associa a cada x E A um único elemento de

B, indicado por f (x) .

Às vezes uma função f : A ---+ B é denotada por x E A 1---+ f(x) E B.

D EFINIÇÃO 1.2.2. Dada uma função f : A ---+ B, os conjuntos A e B são chamados, respectivamente, domínio e contm-domínio de f . Os elementos

x do domínio são chamados variáveis independentes e os elementos y do contra-domínio, variáveis dependentes. Se Yo = f(xo), então Yo é chamado

imagem de Xo por f. Para quaisquer D C A e C C B definem-se f(D) C B

e f-1(C) C A por

f(D) = {y E B I y = f(x) , para algum x E D},

f-1(C) = {x E A I f(x) E C}.

o conjunto f(D) é chamado imagem de D por f e f-1(C) é chamado

imagem inversa de C por f.

EXEMPLO 1.2.3. Denotaremos sempre com �+, o conjunto dos números reais não negativos, isto é, �+ = [0, 00).

(1) Se A = B, um exemplo simples de função é f : A ---+ A tal que

f(x) = x, para todo x E A. Esta função é chamada identidade de A e é

usualmente denotada por I, ou IA. Assim, I(x) = x, '\Ix E A.

(2) Se 2Z C Z é o conjunto dos números inteiros pares, isto é,

2Z = { . . . , -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ... },

podemos definir a função f : 2Z ---+ Z por f(n) = n/2, para todo n E 2Z.

(3) Seja c E � um número fixado. A função f : � ---+ � dada por

f (x) = c, para todo x E �, é chamada função constante.

(4) Podemos definir f: � ---+ �+ por f(x) = x2 , para todo x E R

(5) Um exemplo relacionado com o anterior é a função g : �+ ---+ �,

dada por g(x) = Vi, '\Ix E �+.

(6) Observe que a lei que associa a cada número real positivo x as suas raízes quadradas ±Vi não define uma função, pois a cada elemento do

domínio deveria ser associado um único elemento do contra-domínio, o que não é o caso aqui. Pode ocorrer, entretanto, de um ponto Yo do contra­

domínio de uma função ser imagem de dois ou mais elementos distintos do domínio, como em (4), onde, por exemplo, f(-l) = 1 = f(l).

(7) h: IR \ {I, -I} � IR, dada por h(x) = 1/(x2 - 1).

(8) Se a função f : IR � [1, (0) é dada por f(x) = 2X2 + 1, para todo

x E IR, se D = (-1, 2) e C = (2, 9], então

f(D) = [1, 9) e f-1(C) = [-2, -V2/2) U (V2/2, 2].

(9) As funções f : IR � IR da forma f(x) = cx, para todo x E IR, onde

c E IR é uma constante, são chamadas funções lineares.

Observação 1.2.4 . Como vimos, para definir uma função é preciso especi­ ficar três entes: o domínio, o contra-domínio e uma lei que associa a cada elemento do domínio um único do contra-domínio. As funções aqui consi­ deradas, com poucas exceções, serão definidas em subconjuntos de IR com valores em IR [funções reais de uma variável real ]. Assim, vamos adotar a atitude simplificadora de especificar somente a lei de associação. Numa lin­ guagem um tanto imprecisa, corriqueiramente podemos dizer "função f" ou "função y = f(x)" ou ainda "x 1---+ f(x)". A menos de menção explícita em

contrário, ficará subentendido que o domínio é o maior subconjunto de IR onde a lei faz sentido. Assim, por exemplo, para a função f (x) = V2 - x2 ,

entendemos que o domínio é [- y2, y2 ]. Para g(x) = 1/ (2x - x:{) , o

domí-nio é IR \ {O, ±y2}.

DEFINIÇÃO 1.2.5. Dados uma função f : A � B e D C A, a restrição de

f a D é urna função de D em B, denotada por f I D e definida por \:Ix E D.

Ou seja, a restrição de f ao conjunto D é a função dada pela mesma lei de associação f, só que o seu domínio é o subconjunto D de A.

DEFINIÇÃO 1.2.6. Dadas duas funções f : A � B e 9 : D � B , com

e A C D, diz-se que 9 é urna extensão de f ou, mais precisamente, urna

extensão de f a D, se

Dada urna função f : A � B e um conjunto D C IR, com A C D, a frase

estender a função f ao conjunto D significa especificar urna função 9 nas

condições da definição 1.2.6. Neste caso, para todo x E D \ A, costuma-se

Funçôes • 23

EXEMPLO 1. 2 .7. As funções gl : ffi. ---+ ffi. e g2 : ffi. ---+ ffi., definidas por g1 (x) = x e g2(X) = Ixl , são extensões da função f dada por f(x) =

�,

cujo domínio é [0, (0).

Em geral, os domínios das funções estudadas até o capítulo 4 são reuniões de intervalos não-degenerados [isto é, corn extr-ernos distintos]. No entanto,

há uma classe de funções importantes no Cálculo que não se enquadram nessa categoria. Elas têm como domínio o conjunto N = {O, 1, 2 , . . . } ; são as

seqüências. Mais exatamente, temos a seguinte definição:

DEFINIÇÃO 1 . 2 .8. Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto

N dos números naturais, f : N ---+ R

Há uma terminologia própria associada às seqüências f. A imagem f (n) de

n E N é denotada por Xn [ou anJ YnJ etc. ] e se chama ter-rno da seqüência,

enquanto a própria seqüência f é denotada por

{xrJ , ou _{{xn} nEN'} ou _{{xn} n=O,1,2, ...}

·

A variável independente n é chamada índice e diz-se que a sequencia é indexada em n E N. Também se usa a expressão: a seqüência xo, Xl, X2 , . . . , ou ainda: a seqüência Xn E ffi., n = 0, 1, . . . . Talvez por influência das notações, é comum pensar-se erroneamente que uma seqüência é o conjunto formado por seus termos, {xn E ffi. I n = 0, 1, . . . }. Note-se, entretanto, que

a seqüência { ( - l )n} , por exemplo, é diferente da seqüência { (_l )n+l} e, apesar disso, ambas têm o mesmo conjunto de termos, { 1, -1}.

EXEMPLO 1. 2 . 9 . ( 1) Se

1

f(n) = n + l' n E N, denota-se

(2) Podemos usar 0, 1, 4, 9, . . . , n2 , . . . , para denotar _{{n2 } nEN'} (3) Para

{

n + 2

}

pode-se usar: 2, 3/2, 4/3, . . . .

n + _{1 nEN'}

DEFINIÇÃO 1.2.10. Dadas f : A ---+ ffi. e 9 : A ---+ ffi., definem-se a função

sorna, f + g, a função pmduto, fg, e a função quociente, f /g, por: (f + g)(x) = f (x) + g(x), x E A

(fg)(x) = f(x)g(x), x E A L(x)

= f(x) x E A com g(x) =/: O.

EXEMPLO 1. 2 . 11. Se f(x) = .yx e g(x) = x tem-se, para todo x E ]R.,

f .yx

(f + g)(x) = .yx + x, (fg)(x) = x.yx e, para x -I- 0, -(x) = -.

9 x

DEFINIÇÃO 1. 2 . 12 . O gráfico de uma função f : A ---+ B , A, B C ]R., é o subconjunto C(f) de A x B C ]R.2 dado por:

C(f) = {(x, f(x)) E]R.2 I x E A}.

As figuras 1.2 . 1, 1.2.2 e 1.2.3 mostram gráficos de algumas funções conheci­ das. Se x E ]R., o símbolo [xl indica o maior número inteiro menor ou igual

a x que é chamado parte inteira de x.

Figura 1 . 2 . 1 : f(x) = x2 e f(x) = Vx

c

Figura 1 . 2 . 2 : f(x) = Ixl e f(x) = c (constante)

Figura 1 . 2 . 3 : y = [xl

Em geral, ao traçar o gráfico de uma função não se busca a precisão, mas um desenho qualitativo contendo características essenciais da função. Isso facilita o entendimento de muitos problemas.

Observação 1.2.13. A cada elemento de A uma função f : A ---+ ]R. associa um único número. Assim, cada reta vertical x = c, com c E A, cruza o gráfico de f em um único ponto. Por exemplo, o conjunto mostrado na figura 1.2.4 não pode ser gráfico de uma função.

Funções • 25

c

Figura 1 . 2.4: Um conjunto que não é gráfico de função

DEFINIÇÃO 1.2.14. Quando f(A) = B, a função f : A ---+ B se diz sobreje­

tom ou sobre. Quando a elementos distintos de A estão associados elementos distintos de B, isto é,

a função f se diz injetom ou biunívoca ou, ainda, um-a-um. Quando f for biunívoca e sobre, também será chamada bijetom.

Observação 1.2. 15. Seja f : A ---+ B, com A, B C R Se f é injetora, toda reta horizontal y = d, com d E B, tem no máximo um ponto em comum com o gráfico de f. Se f é sobrejetora, toda reta horizontal y = d, com

d E B, cruza o gráfico de f. Se f é bijetora, toda reta horizontal y = d, com

d E B, tem um único ponto em comum com o gráfico de f.

Esboçando os gráficos das funções do exemplo 1. 2. 3 podemos conferir as observações acima. A função do item (2) e as funções do item (9) com c i- O

[em particular, a função identidade 1 são bijetoras. No item (4), a função f

é sobrejetora e não injetora, mas a restrição f

l

[o,oo) é bijetora. No item (5),

9 é injetora, mas não sobre. No item (7), h não é biunívoca nem sobre. DEFINIÇÃO 1.2.16. Dadas f : A ---+ B e 9 : B ---+ C, define-se a função

composta, 9 o f : A ---+ C, por (g o 1)

(

x

)

= 9 (J

(

x

) )

, para todo x E A. Em outras palavras, obtém-se a imagem de x por 9 o f aplicando-se f a x e, depois, 9 a f(x).

Nem sempre se pode definir a função composta 9 o f. Para se definir a função 9 o f : A ---+ C foi necessário que a imagem de A por f estivesse contida no domínio de g.

Dadas funções f : A ---+ B, 9 : B ---+ C e h : C ---+ D , tem-se

gof

Figura 1 .2 . 5 : Composição de f e 9

isto é, vale a propriedade associativa para a composição. Qualquer dos mem­ bros da igualdade acima é denotado por fogo h. Sob convenientes condições, pode-se aplicar sucessivamente a associatividade para definir a composição de um número finito qualquer de funções.

EXEMPLO 1 . 2 . 17. ( 1 ) Sejam f : IR. � (0, 1] , 9 : (O, 1] � [1, (0), tais que

f (x) = 1/(1 + x2) e g(x) = l/x. Então, (g o f) (x) = 1 + x2 . Daria para

definir f o g7 Em caso afirmativo, defina-a.

(2) Se f : IR. � IR. e 9 : [- 1, ₍₀) � IR. são dadas por f (x) = x2 + 2x - 2

e g(x) = Vx+1, então a composição 9 o f não pode ser definida porque

f (IR.) = [- 3, (0) não está contido no domínio [- 1, (0) de g.

(3) Se f : IR. � [O, (0), 9 : IR. � IR. e h : IR. � IR. são dadas por f (x) = x2 ,

g(x) = X + 1 e h(x) = ex, e E IR. constante, temos h o 9 o f (x) = e(x2 + 1 ) .

DEFINIÇÃO 1 . 2 . 18. Diz-se que f : A � B é invertível se existe uma função

f-I: B � A tal que f-I o f = IA e f o f-I = IB. Neste caso, diz-se que

f-I é a inversa de f.

Em outros termos, f-Io f(x) = X e f o f-I(y) = y, para quaisquer x E A

e y E B. É claro que, se a definição 1 .2. 18 está satisfeita, então a função

f-I também é invertível e (f-I rI = f.

.

Funções • 27

Uma conseqüência da definição 1 . 2 . 18 é que f : A -'> B será invertível se e somente se for bijetora. Ou seja, f será invertível se e só se cada reta y = d,

com d E B, tiver exatamente um ponto em comum com o gráfico de f. Para

visualizar o gráfico de f-I podemos considerar o gráfico de f e imaginar o eixo y como o da variável independente. Para representá-lo da forma usual basta considerar a reflexão do gráfico de f em relação à diagonal y = x,

como representa a figura 1 .2.6, pois

C(j-l) = { (y, f-1(y) ) 1 y E B} = { (j(x) , x) 1 x E A}.

EXEMPLO 1.2.19. (1) Sejam a =I- O e b E � dados. Se f(x) = ax + b, então

f é invertível e 9 = f-I é dada por g(x) = (x - b)ja.

(2) Se tivermos f : � -'> �+ tal que f(x) = x2 , para todo x E �, como

no item (4) do exemplo 1 .2.3, página 2 1 , e considerarmos a restrição f l[o,oo)

e se para 9 : �+ -'> �, dada por g(x) = y'x, Vx E �+, como no item (5)

daquele exemplo, for tornado �+ corno contra-domínio de g, teremos dois exemplos de funções invertíveis, sendo cada uma a inversa da outra.

DEFINIÇÃO 1.2.20. Uma função f : A -'> � se diz monotônica, ou mo­

nótona, se puder ser classificada corno crescente, estritamente crescente, decrescente ou estritamente decrescente, segundo as definições abaixo:

Crescente, se x, y E A x < y � f (x) � f(y) .

Estritamente crescente, se x, y E A x < y � f (x) < f(y) .

Decrescente, se x, y E A x < y � f (x) � f(y) .

Estritamente decrescente, se x, y E A x < y � f(x) > f(y) . Uma função constante, g(x) = c, para todo x E � é crescente e de­

crescente ao mesmo tempo. Se f (x) = x2 , então função f não é crescente

nem decrescente, mas a função fl[o,oo) é estritamente crescente. A função

h(x) = y'x é estritamente crescente. Se k(x) = 2 (x - I? + 3, a função

kl[l.oo) é estritamente crescente. As funções lineares u(x) = cx, onde c E � é

uma constante, são estritamente crescentes se c > O e estritamente decres­ centes se c < O. A função v(x) = [xl é crescente.

As funções lineares, f : � -'> �, definidas na página 22, no item (9) do exemplo 1 .2.3, são aquelas que têm a propriedade ilf (ax) = af(x), x E �,

para todo a E � li. Veja o exercício 29. Se f for estritamente crescente, a

condição de f satisfazer esta propriedade apenas nos a inteiros é suficiente para que ela seja linear, como garante a proposição a seguir.

PROPOSIÇÃO 1.2.21. Seja f : � -'> � estritamente crescente e suponhamos

que f (nx) = nf (x), para quaisquer x E � e n E Z. Então existe c > O tal

Demonstração. Se f satisfaz as hipóteses, tomando n = O vem f(O) = O. Dado q = (m/n) E Q, temos nf(qx) = f(nqx) = f (mx) = mf (x) , para todo x E IR, portanto

m

f (qx) = -f(x) = qf(x) ,

n x E IR, q E Q.

Seja e = f ( l ) > f (O) = O. Se q E Q, temos f(q) = f (q . 1) = qf ( l) = eq. Suponhamos temporariamente que exista x E IR com f(x) i- ex, digamos,

f (x) < ex [o caso f (x) > cx é análogo]. Tomemos um racional q tal que

f(x)

< q < x,

e

donde f (x) < eq = f (q) , uma contradição, pois f é estritamente crescente.

Logo f(x) = cx, para todo x E IR. O

COROLÁRIO 1.2.22. Seja f : [O, ()()) ---+ IR uma função estritamente cres­

cente com f (nx) = nf(x), para x � O, n E N. Então existe e > O tal que

f(x) = ex, para todo x � O .

Uma prova pode ser feita definindo a função g : IR ---+ IR por g(x) = f(x), para x � O, e g(x) = -g( -x) , para x < O, e aplicando a proposição 1 .2 . 2 1 . EXEMPLO 1.2.23. Dada uma circunferência de raio r, u m seu arco d e com­ primento s determina um setor circular cuja área gf é

1 gf = -sr.

2 ( 1 . 2 . 1 )

Para fixar um contexto, seja uma circunferência de centro n a origem O e

raio r, A = (r, O) e o arco AB de comprimento s de acordo com a figura 1 .2 . 7

[na seção 4.7.2, página 227, definiremos o que vem a ser o comprimento de um arco].

Antes de tudo, é preciso entender bem a fórmula ( 1 .2. 1 ) . Se s > 27fT, partes do setor se sobrepõem. Neste caso, as áreas dessas partes são con­ tadas multiplamente, dependendo de quantas vezes elas se sobrepõem. Por exemplo, se s = 57f /2 , a área do primeiro quadrante é computada duas vezes. Segundo (1.2.1), sz1 = (57f)4)r2, ou seja, sz1 é 5/4 da área do círculo. Provemos a fórmula ( 1 . 2 . 1 ) . A área gf = gf(s) é função não negativa estritamente crescente de s e gf(ns) = ngf(s) , para n E N. Logo, pelo corolário 1 . 2.22, existe c > O tal que

gf(s) = es, s � O.

Admitindo que a área do círculo é 7fT 2 , podemos escrever gf (27fr) = 7fT 2 ,

Funções • 29

o

Figura 1 . 2 .7: O setor circular OAB

Vamos definir agora as funções trigonométricas. Como o conceito de comprimento de arco é preponderante em nossa abordagem, ela é intuitiva, mas aceitável neste momento. Na página 261, damos definições precisas das funções seno e cosseno.

Seja C a circunferência de raio 1 e centro na origem do plano xy, a

chamada circunferência unitária. Definamos a função c : IR -+ C de modo

que o ponto O E IR seja levado no ponto A = (1, O) E C e cada t E IR,

t > O, no ponto c(t) E C, extremo do arco de C de extremo inicial A e comprimento t, medido no sentido anti-horário. Se t < O a construção de

c( t) E C é análoga, tomando c( t) o extremo do arco de extremo inicial A

e comprimento Itl medido no sentido horário. Veja a figura 1.2.8 a seguir. Como o comprimento da circunferência C é 27f, temos para todo t E IR,

c(t + 2n7f) = c(t) , n E Z.

t

o

DEFINIÇÃO 1.2.24. Para cada número real t, cos t e sen t são as coordena­ das de c( t), isto é,

c(t) = (cost, sent), t E IR.

As funções cos e sen são chamadas, respectivamente, cosseno e seno. Seguem imediatamente desta definição a identidade fundamental,

cos2 t + sen2 t = 1, t E lFt,

e as propriedades

cos(t + 2mr) = cost e sen(t + 2mr) = sent, t E lFt, n E Z,

cos -t = cos t e sen -t = -sen t, t E lFt.

Figura 1 . 2 .9: Gráficos do seno [acima] e do cosseno [abaixo]

Deixamos como exercício a tarefa de determinar os valores que cos e sen assumem nos pontos t + 7r, t + �, 7r -t e � - t em termos de cos t ou sen t,

t E IR. A figura 1.2.9 apresenta esboços do gráficos do seno e do cosseno.

Dados x, y E lFt, valem as seguintes fórmulas:

sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y,

cos (x + y) = cos x cos y - sen x sen y,

em particular, para todo x E lFt ternos

sen 2x = 2 sen x cos x,

cos 2x = cos2 X - sen2 x

e esta, combinada com a identidade fundamental fornece, para todo x E lFt, 2 cos2 X = (1 + cos 2x) ,

Funçôes • 31

Figura 1 . 2 . 10: Gráficos da tangente e da secante

Observação 1.2.25. Um radiano é o ângulo central determinado por um arco de C de comprimento 1. Assim, o arco de extremos A e c( t) define um ângulo central e de t radianos [figura 1.2.8]. Por isso, o seno e o cosseno são às vazes entendidos como funções do ângulo e em vez da variável real t.

Definem-se as funções tangente, cotangentc, sccantc c cossccante, res­ pectivamente, por sen t tant = --, cost cos t cott = --, sen t 1 sect = -­ cos t ' 1 csct = --, sen t

para todo t E IR onde os denominadores não se anulam. Os gráficos da

cotangente e da cossecante são análogos aos da tangente e da secante, res­ pectivamente, apresentados na figura 1.2. 10 [e podem ser obtidos por uma translação horizontal destes].

DEFINIÇÃO 1.2.26. Diz-se que f : A � IR é par se f ( -x) = f (x) , para todo x E A e que é ímpar se f( -x) = -f(x) , para todo x E A.

A definição 1.2.26 presume que A tem a seguinte propriedade de simetria:

x E A =} -x E A.

Por exemplo, os conjuntos IR, [-1,1], Z e IR \ Z têm essa propriedade. Como conseqüência direta da definição 1.2.26, o gráfico de uma função par, y = f (x) , é simétrico com relação ao eixo y e o gráfico de uma função

ímpar é simétrico com relação à origem do plano xy. Vej a a figura 1.2. 11. EXEMPLO 1.2.27. A função seno e a função y = x3 são ímpares. A função

Figura 1.2 . 1 1: Simetrias de funções pares e ímpares

Examine os exemplos anteriores desta seção, procurando classificar as fun­ ções como pares ou ímpares, quando isto for possível.

DEFINIÇÃO 1.2.28. Sejam f : A ---+ IR e w > O. Diz-se que f é uma função

periódica de período w ou, abreviadamente, w-periódica, se

f(x) = f(x + w) , x E A.

Dado w > O, a definição 1 . 2.28 presume que A satisfaz x E A =} (X±W) E A.

Os conjuntos IR, wíZ = {wn I ±n = 0, I , 2, . . . } e IR \ wíZ, por exemplo, possuem essa propriedade.

Se uma função é w-periódica, então ela é nw-periódica, n = 1 , 2 , 3, . . . . Se f é periódica e se existe Wo = min { w > O I w é período de f }, então Wo é chamado período mínimo de f.

EXEMPLO 1.2.29. ( 1) As funções f(x) = sen x e g(x) = cos x são 27r­

periódicas e 27r é seu período mínimo.

(2) A função g(x) = cos 27rX é l-periódica. Mais geralmente, pode-se verificar que se f : IR ---+ IR é w-periódica e c > O é um número real dado,

então a função 9 dada por g(x) = f(cx) , x E IR, é (wjc)-periódica.

(3) As funções tan x e cot x são 7r-periódicas. Ambas são quocientes de funções 27r-periódicas, mas 27r não é seu período mínimo.

(4) Sejam f : IR ---+ IR uma função w-periódica e p/ q um número racional,

com p, q E íZ+ . A função g: IR ---+ IR dada por g(x) = f((p/q) x), para todo

x E IR, é qw-periódica. De fato, para todo x E IR temos

Funções • 33

Conseqüentemente, a função cos [(3/5)x] é 107r-periódica [qual é seu período mínimo? Compare com o item (2)].

(5) Para todo x E lR, lembrando que [x] indica o maior número inteiro menor ou igual a x, a função f dada por f(x) = x - [x] é l-periódica. A

figura 1 . 2 . 12 mostra o gráfico desta função.

Figura 1 .2 . 1 2 : f(x) = x - [xl (6) A função f(x) =

{I,

O, se x E Q se x E lR \ Q

é periódica de período q , para qualquer racional q > O, portanto não tem período mínimo.

DEFINIÇÃO 1.2.30. Uma função f : A ----7 lR se diz limitada se o conjunto

f(A) for limitado ou, equivalentemente, se existirem números f e L tais que

f � f(x) � L,

para todo x E A. Neste caso, f é chamado uma cota inferior, ou limitante inferior, de f e L, uma cota superior, ou limitante superior. Diz-se que

f : A ----7 lR é limitada superiormente se f(A) for limitado superiormente e

que f é limitada inferiormente se f (A) for limitado inferiormente.

Observe que f : A ----7 lR ser limitada é equivalente a dizer-se que existe

um número K > O tal que If(x)1 � K, para todo x E A.

DEFINIÇÃO 1.2.31. Sej am f : A ----7 lR e B C A. Diz-se que a função f é

limitada em B se a restrição f

I

_{B for uma função limitada.}

EXEMPLO 1.2.32. ( 1 ) A função f(x) = x/ ( l + I x l ) , cujo gráfico é esboçado

na figura 1 .2. 13, é limitada.

(2) É claro que uma função limitada f : A ----7 lR é limitada em qualquer

subconjunto B de A. A função f(x) = l /x, definida em lR \ {O} , não é

1

- 1

Figura 1 .2 . 13: f (x) = x/ ( l + I x l )

DEFINIÇÃO 1.2.33. S e f : A ---+ ffi. é limitada superiormente e L é a menor

cota superior de f, isto é, L = sup f(A) , então L é chamado supremo da

função f e escreve-se

L = sup f(x) .

xEA

Se existir Xo E A de modo que L = f(xo ) , isto é, L

diz-se que L é o máximo de f e se escreve L = max f(x) .

XE A

max f (A) , então

Se L = f (xo) = maxA, então f(xo) é chamado o valor máximo de f e

Xo é chamado um ponto de máximo.

Para uma função f : A ---+ ffi. limitada inferiormente, definem-se ana­

logamente o seu ínfimo e o seu mínimo, bem como o seu valor mínimo

e o seu ponto de mínimo. Esta tarefa consiste basicamente em inverter as desigualdades e é deixada como exercício.

Observe que, se f : A ---+ ffi. é limitada inferiormente,

inf f(x) = - sup( -f (x) ) .

xE A _xEA

Por exemplo, se f(x) = x2 - 1 , então f é limitada inferiormente e

inf f (x) = - sup( - f (x)) = - sup{ _x2 + I } = - 1 .

Assim, f : A ---+ ffi. tem mínimo se -f tem máximo e

Por exemplo,

min f(x) = - max( -f(x) ) .

xEA xEA

min ( cos x - I) = - max ( - cos x + 1 ) = -2.

Funções • 35

1

Figura 1.2.14: y = (Ixl - l)/lxl

EXEMPLO 1 . 2 . 34 . ( 1 ) A função f(x) = cos x é uma função limitada, sendo

os valores de máximo e de mínimo:

1 = max f (x) ,

-oo<x<oo - 1 = min f (x) .

-oo<x<oo

Os números Xk = 2br, ±k = 0, 1 , . . . , são os pontos de máximo. Quais são

os pontos de mínimo?

(2) Usualmente se define a função arco tangente, denotada por arctan, como a inversa da função tangente restrita ao intervalo (-1["/2, 1["/2) . Assim, a função f (x) = arctan x é limitada, com

1["

2 -oo<x<oo sup f(x) , 2 -oo<x<oo inf f(x) , mas não existem máximo ou mínimo de f.

(3) f(x) = l/x não é limitada, mas podemos escrever

sup f(x) = O = inf f(x) .

x<ü x>ü

Veja a figura 2.2. 1 do próximo capítulo, página 5 1 .

(4) f (x) = x2 não é limitada, mas é limitada inferiormente com valor de

mínimo O = mÜLoo<x<oo f (x) .

(5) A função f(x) = (I xl - l)/l xl é limitada superiormente e

I xl - 1

sup I xl = 1 .

1f

"2

� 2

Figura 1 . 2 . 1 5 : y = I tan xl e y = Ix2 -2 1

Para esboçar o gráfico de y = I f (x) I, uma boa estratégia é esboçar o gráfico de y = f (x) e depois, lembrando que Iyl = -y, se y < 0, refletir em

torno do eixo x da parte do gráfico que fica abaixo do eixo x. A figura 1 . 2 . 15

mostra os gráficos de y = I tan xl , para -1f/2 < x < 1f/2 , e y = Ix2 - 2 1 .

EXEMPLO 1 . 2 . 35 . ( 1 ) Vamos resolver a desigualdade x2 - 2 � I x - 1 1 .

Considerando os gráficos das funções f(x) = x2 - 2 e g (x) = I x - 1 1

sobrepostos como na figura 1 .2. 16, fica fácil visualizar o conjunto S dos

x E ffi. tais que f (x) � g (x) . Este conjunto é a solução do nosso problema. Assim, S = [a, b] , onde a é a raiz negativa de x2 - 2 = - (x - 1 ) e b é a raiz

positiva de x2 - 2 = x - 1 , ou seja,

S =

[

- ( 1 + V13)/2 , ( 1 + )5)/2

]

.

Funções • 37

(2) Vejamos agora um outro exemplo mais envolvente. Resolvamos a seguinte desigualdade:

1+v'Í7

-2 - 3+v'Í7 -2

-Figura 1 . 2 . 17: Ix2 - 2x - 31 ::::; Ix - 1 1

Procedendo analogamente ao item ( 1 ) , sobrepondo os gráficos das fun­ ções f(x) = Ix2 - 2x - 31 e g(x) = Ix - 1 1 , como na figura 1 .2. 17, vê-se

facilmente o conjunto S dos x E ffi. para os quais f (x) � g (x)

x E

[

( 1 - vl7)/2, (3 - vl7)/2

]

U

[

( 1 + vl7)/2 , (3 + vl7)/2

]

.

Os extremos dos intervalos envolvidos na expressão acima são determinados na análise da figura 1 . 2 . 1 7 para definir o conjunto dos pontos x onde o gráfico da função y = Ix2 - 2x - 3 1 está abaixo do gráfico de y = Ix - 1 1 , ou

seja, os extremos dos intervalos são dados pelas interseções dos gráficos das funções f e g ,

(a) ( 1 - V17)/2 é a raiz negativa de x2 - 2x - 3 = -x + 1;

(b) (3 - V17)/2 é a raiz negativa de -x2 + 2x + 3 = -x + 1 ;

(c) ( 1 + V17)/2 é a raiz positiva de -x2 + 2x + 4 = x - 1 ;

1.3 EXERCÍCIOS Resolva as desigualdades 1) - 12) 1) 12 - 13xl � 39 7) Ix + 1 1 � l x - 2 1 2) 1 20x - 3 1 > 5 8) I x I < 1 2x - 1 1 3) 1 (5 - 2x)/3 1 � 3 9) I x2 - 4x - 5 1 � 1 4) I (x + 3)/4 1 < 5 10) 1 36x - 271 > 5 5) 1 2x - 5 1 < I x + 3 1 1 1 ) I x2 - 4 x - 5 1 � Ix - 1 1 6) 1 3x + 5 1 > 1 2x - 1 1 12) I x2 - 4x - 5 1 � 1 2x + 1 1

13) Dê exemplo em que a, b E ]R. e l a + bl < l al + I bl . O que dizer dos sinais de a e b? Se a, b, c E ]R., mostre que l a + b + cl � l al + Ibl + l ei

-14) Se r é um número racional, r i=- O, e x um irracional, mostre que rx é irracional e, por conseqüência, não existe racional cujo quadrado seja 32. 15) Indique sup, inf, max e min dos seguintes conjuntos, se existirem:

A = {n E Z I I nl < lO} , B = {n E Z I l nl � lO}, C = {x E Q I l xl � y'3} , D = [- 1 , 1 ) U ( y'3, 4) , E = {x E ]R. I x2 - 4x + 4 > O e x2 - 3x < O } , F = { x E ]R. I Ixl = m + ( l/n) , m, n = 1 , 2 . . . }, G = { x E ]R. I x = l/(m + n) ; m, n = 1 , 2, . . . }, H = {x E ]R. I x = ( l/m) + ( l/n) ; m, n = 1 , 2, . . . }, I = { x E Q I l x - )21 < 2}, 16) Se A, B C ]R. e a E ]R., defina A + B = {z I z = x + y, x E A, y E B} , I A I = { z I z = I xl , x E A} , aA = {z I z = ax, x E A}.

o que se pode dizer de sup(A + B) , sup I A I , sup aA, em termos de sup ou inf de A e B? Considere separadamente os casos, a > O, a < O e a = O.

1 7) Dado um conjunto P C ]R., denota-se com P' o conjunto de todos os

seus pontos de acumulação. Considerando os conjuntos abaixo:

A = [- 1 , 1 ) U (y'3, 4) ,

B = {n E Z I I nl < lO} ,

C = {n E Z I Inl � lO},

E = {x E � I Ix l = m + � , m, n = 1 , 2 . . . },

F = {x E � 1 x = m�n ' m, n = 1 , 2, . . . },

G = {x E � 1 x = � + � , m, n = 1 , 2, . . . },

Exer"CÍcios • 39

indique quais são os conjuntos A', B', C' , D' , E' , F' e G'

18) Sejam A C �, A #- 0, limitado superiormente, e L = sup A. Mostre que L = max A ou L é ponto de acumulação de A. Formule uma propriedade análoga para o caso em que A é limitado inferiormente.

19) Em cada caso abaixo, qual é o domínio da função f? ( a) f ( x) = J x2 / (x - 2)

(b) f(x) = J2x/(x + 1)

(c) f(x) = J( 1 + 3x) (2 - x) (d) f (x) = vx=--I/ (x + 2)

20) Verifique que qualquer função monotônica definida num intervalo fe­ chado e limitado é limitada. O intervalo precisa ser fechado?

21) Se fl , h : A � � são duas funções limitadas, demonstre que

sup [fl (x) + 12 (x)] :(: sup fl (x) + sup h (x)

xE A xEA xE A

e inf[Jl(x) + 12 (x)] ?: inf fl (x) + inf 12 (x) .

xE A xE A x E A

Mostre através de exemplos que as desigualdades estritas podem ocorrer. 22) A função seno não é monotônica, mas a sua restrição a convenientes intervalos é. Quais são os maiores intervalos onde sen x é estritamente decres­ cente? [o termo "maiores " significa que esses intervalos não estão contidos propriamente em intervalos onde o seno é estritamente decrescente].

23) Esboce o gráfico das seguintes funções: ( a) f ( x) = sen ( 1 / x ) (b) f (x) = x sen( l /x) ( c) f ( x) = x2 sen ( l /x) (d) f(x) = x + x/ lx l (e) f (x) =-- V1=X (f) f (x) = [x2] .

24) Classificar as funções abaixo, quando possível, quanto a serem monotô­ nicas, limitadas, pares ou ímpares, sobrejetoras, injetoras, ou bijetoras: (a) f : � � � tal que f (x) = Ix l . Considerar também o caso em que o

contra-domínio é �+ . (b) f ( x) = x + l/x.

(c) f : ( -7r/2, 7r/2) � � tal que f (x) = tan x.

( d) f (x) = sen 2 x + cos x. ( e ) f ( x) = sen ( 1/ x4 ) .

25) O produto de duas funções pares, f, 9 : A � lR, é par? O que se pode

dizer do produto de duas funções ímpares? E do produto de uma par por uma ímpar?

26) Suponha que a função f(x) dependa somente de potências de x com

expoentes pares. Mostre que f é uma função par. E se depender apenas de potências de x com expoentes ímpares? A função f (x) = cos(x3 + x7) é par

ou ímpar? E a função f(x) = x3 + I?

27) Se f, 9 : lR � lR são ambas pares, verifique que f o 9 e 9 o f são funções

pares. Mostre também que se f e 9 são ambas ímpares, então f o 9 e 9 o f

são ímpares. O que se pode dizer das composições f o 9 e 9 o f se f é par e

9 é ímpar?

28) Seja f : A � B (A, B C lR) uma função sobrejetora. Mostre que se f

é estritamente crescente (ou estritamente decrescente) , então f é invertível. Vale a recíproca? Isto é: se f é invertível, então poder-se-ia afirmar que ou f é estritamente crescente ou f é estritamente decrescente?

29) Nos termos do exemplo 1 .2.3 em seu item (9) , página 22, mostre que uma condição necessária e suficiente para que uma função f : lR � lR seja

linear é que, dada qualquer constante a E ]R, tenhamos f (ax) = af (x),

2

LIMITE E CONTINUIDADE

o conceito de limite é o mais fundamental do Cálculo; a derivada e a integral,

seus principais objetos de estudo, às quais se dedicam os capítulos 3 e 4, são, ambas, formas de limite. Além disso, a idéia de limite permeia nossos argumentos em todo o transcorrer dos cursos de Cálculo e de suas aplicações.

2.1 LIMITES

Antes de entrarmos no assunto propriamente, vamos fazer uma pequena digressão bem informal. Tomemos uma função f : B ---+ IR. , B C IR. , e sej a

a E IR. não necessariamente pertencente a B. Suponhamos que exista I! E IR.

tal que f (x) se aproxima de I!, quando fazemos x se aproximar de a, embora

x #-a. Quando isto ocorre, dizemos que I! é o limite de f em a [ou o limite

de f (x) quando x tende a a] e escrevemos lim f(x) = t

x -+ a

Por exemplo, suponhamos que f seja dada por 2X2 � 4x

f (x) = x2 � 3x + 2 '

logo o domínio é B = IR. \ { I , 2 } . Vemos que f coincide em seu domínio com

a função g(x) = 2xj (x � 1), definida em IR. \ { I } . Observamos que f (x) pode

próximo de 2. Então escrevemos

2X2 � 4x

lim = 4.

x-->2 x2 � 3x + 2

Note que, ao considerar o limite de f em a, estamos vendo se é possível saber

para onde vai f(x), quando x se aproxima de a. Não estamos interessados

em quanto vale f (a), nem mesmo em saber se f (a) existe.

Estando por trás dos conceitos centrais do Cálculo, a noção de limite está por trás de muitos conceitos das ciências. Não podemos nos conformar, portanto, com uma "definição" tão precária como a que temos até aqui. Não é claro, por exemplo, o significado de uma variável aproximar-se de a E ]R..

É necessário colocar as coisas em termos precisos.

DEFINIÇÃO 2.1.1. Dados f : B � ]R. e um ponto de acumulação a do

conjunto B, diz-se que g E ]R. é o limite de f em a se está satisfeita a

seguinte condição:

Para todo E > O, existe um número 6 = 6(E) > O tal que

x E B, O < I x � ai < 6 => I f(x) _� gl < E.

Escreve-se: lim f(x) = g ou f(x) � g, com x � a .

x-->a

Damos preferência à primeira notação.

(2. 1. 1)

Observação 2.1.2. (1) A definição 2.1.1 traduz a idéia de pontos próximos,

mas distintos, de a serem levados por f a pontos próximos de g.

(2) No contexto da definição 2.1.1 não importa quão pequeno seja E > O; é possível encontrar 6 > O tal que a frase (2. 1. 1) sej a verdadeira.

(3) Dada f : B � ]R., a notação limx-->a f(x) = g presume que a é ponto

de acumulação de B. Mesmo que este fato não esteja mencionado, não se abre mão de a ser ponto de acumulação de B, pois (2. 1. 1) é imposta sob a condição de existir x E B tal que O < I x � ai < 6.

Analisemos a definição 2.1. 1 num caso concreto. Seja, por exemplo,

f (x) = 2 (x2 � 1) .

(x � 1)

Note que f não está definida em x = 1. No entanto, para x =1= 1 temos

f(x) = 2(x + 1), o que sugere limx-->l f(x) = 4. Mostremos que este é o caso

[veja a figura 2.1.1.]. Se x =1= 1 podemos escrever

-= 4 a = 1

Figura 2.1.1: lirnx-tl 2 (x2 - l ) /(x - 1) = 4 [o = c/2]

Assim, dado c > O, se escolhermos 6 = c/2 obtemos

Limites • 43

O < Ix - 1 1 < 6 =? 2 1 x - 1 1 < 26 =? I f (x) - 41 < 26 = c.

Com esta discussão e os exemplos que damos a seguir, visamos exclusiva­ mente aclarar a definição de limite. Logo veremos, por exemplo, que algumas propriedades permitem mostrar que limx-t2 (x2 + 1 ) = 5 de um modo muito

mais direto do que o apresentado no item (4) do exemplo a seguir.

EXEMPLO 2 . l . 3 . ( 1 ) Se considerarmos f(x) = c (constante) , temos talvez

o exemplo mais simples deste capítulo: lim c = c.

x-ta

Conferindo com a definição 2. 1 . 1 , dado c > O, qualquer 6 > O nos serve, pois sempre ternos I f (x) - cl = O < c.

(2) Se f(x) = x, temos limx-ta x = a. De fato, dado c > O, se tornarmos

6 = c temos

O < Ix - ai < 6 =? I f(x) - ai = I x - ai < 6 = c.

(3) limx-t2 (3x + 4) = 10.

Antes d e iniciar , é útil observar que nos termos d a definição 2.1.1, acima,

a = 2 e I f (x) - fi = 1 (3x + 4) - 10 1 = 3 1 x - 2 1 . Sej a c > O dado, tornando

6 = c/3, ternos:

O < I x - 2 1 < 6 =? I f (x) - f I = 3 1 x - 2 1 < 36 = c.

De fato, dado e > O qualquer, vamos procurar um 6 > O sob a restrição 6 � 1 . Assim, I x -2 1 < 6 implica 1 < x < 3 e, portanto, I x + 2 1 < 5 , ou seja

I (x2 + 1 ) - 5 1 = I x + 2 1 1 x -2 1 < 5 1 x - 2 1·

Logo, tomando O < 6 � min{ l , e/5 } ,

O < I x - 2 1 < 6 =? I (x2 + 1) - 5 1 < 5 1 x - 2 1 < 56 � e. (5) limx--->a cos x = cos a .

Observe inicialmente que I COS Xl - cos x2 1 < IXl - x2 1 , se Xl , X2 E IR, Xl #-X2 , pois IXl - x2 1 é o comprimento do arco de extremos Xl e X2 ; veja a figura 2 . 1 . 2 [estamos admitindo que o comprimento do arco XlX2 é maior do que o da corda Xl X2] .

Dado e > O , tomando 6 = e vem

O < I X - a I < 6 =? I cos x - cos a I < I x - a I < 6 = e.

(6) limx--->a sen x = sen a .

Pode ser provado de modo análogo ao caso do cosseno.

PROPOSIÇÃO 2.1.4. Suponhamos que exista o limite de f : B ----+ IR em um

ponto a . Então ele é único.

Demonstração. Suponhamos que limx--->a f(x) = fI , limx--->a f (x) = f2 e seja

e > O dado. Tomando c/2 no papel de e, de acordo com a definição 2. 1 . 1 , página 42, existem 61 , 62 > O de modo que, se x E B :

O < Ix - ai < 61 =? O < Ix - ai < 62 =?

I f(x) - fl l < e/2, I f (x) - f2 1 < e/2.

Limites • 45

Escolhendo 6 = min{ 61 , 62 } , se x E B e O < Ix - ai < 6, temos

O � Il\ - R2 1 = I Rl - f(x) + f(x) - R2 1 �

I f(x) - Rl l + I f (x) - R2 1 < c/2 + c/2 = c.

Assim, O � I R1 - R2 1 < c, qualquer que seja c > 0, o que equivale a I Rl - R2 1 = O

portanto RI = R2 . O

Observação 2.1.5. Dados f : B ---+ 1Ft e D C B , seja a um ponto de acu­ mulação do conjunto D. Se limx---+a f(x) = R, é claro que também para a

restrição de f a D temos

pois na definição 2. 1 . 1 , página 42, se vale a implicação (2. 1 . 1 ) , ela tem de valer com a variável x restrita a D .

Para se compreender um conceito é bom entender sua negação. Damos a seguir dois exemplos em que não existe o limite.

. x

FIgura 2 . 1 .3: f (x) = R

x

EXEMPLO 2 . 1 . 6 . ( 1 ) limx---+o

�

não existe.

De fato, seja f (x) = x/ l x l , x E 1Ft \ { O } . Veja a figura 2. 1 .3. Como

f (x) = 1 , para x > O, e f (x) = - 1 , para x < 0, se existisse limx---+o f (x) , de

acordo com a observação 2. 1 .5, acima, teríamos lim f (x) = limf

l

(o ) (x) = 1 ,

x---+o x---+o , 00

lim f(x) = limfl(� O) (x)

= - 1 ,

x---+O x---+O 00 ,