Em juros compostos, a determinação da data focal deixa de ter importância, pois qualquer data focal que venha a ser utilizada leva o resultado da operação ao mesmo valor.
Um determinado bem custa $ 5.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro um mês após a compra, qual será o valor dos pagamentos se for considerado o critério de Desconto Racional Composto e taxa de 3% ao mês? 5.000 |---|---|---| 0 1 2 3 X X X
(
) (
)
(
)
2,828611355 1.767,65 00 , 000 . 5 X 03 , 1 X 03 , 1 X 03 , 1 X 00 , 000 . 5 = + 2 + 3 ⇒ = = Exemplos:(1) Caso você deva pagar $ 15.000,00 daqui a 6 meses e $ 8.000,00 em 12 meses, e queira renegociar essas dívidas para pagar $ 5.000,00 hoje e o restante em 3 meses, qual será o valor dos pagamentos, se for considerado uma taxa de 37% ao ano e critério de desconto racional composto?
(2) Três dividas, a 1ª no valor de $ 3.000,00, a 2ª de $ 7.000,00 e a 3ª de $ 20.000,00, com vencimentos para 15 dias, 5 meses e 11 meses, respectivamente, estão sendo renegociadas para serem pagas hoje. Qual o valor desse pagamento se for usado taxa de 45% ao ano e critério de desconto racional composto?
4.5 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros
Compostos
1) Carlos possui duas dívidas, uma no valor de R$ 1.000,00 que vence hoje e outra no valor de R$ 1.500,00 que vence em três meses. Estas dívidas estão sendo negociadas por outras duas, sendo a primeira para daqui a 2 meses, no valor de R$ 750,00 e a segunda a ser paga daqui a 5 meses. Sabendo que taxa é de 2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento utilizando o critério de desconto racional composto.
R: $ 1.868,77
2) Uma máquina de lavar roupa custa R$ 7.000,00 a vista. Caso o cliente queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro em um
mês após a compra. Qual será o valor das parcelas considerando a taxa de 3% e o critério de desconto racional composto?
R: R$ 2.474,71
3) Suponha que você tenha uma divida de $10.00,00 com vencimento para daqui a 8 meses, porém você quer negociá-la para pagar $ 7.000,00 e o restante em dois meses. Qual será o valor do segundo pagamento se for considerado a taxa mensal de 2,5% ao mês e o critério do desconto racional composto?
R: $ 1.268,59
4) João aplicou $ 30.000,00 em um banco que rende juros de 37% ao ano, pretendo assim retirar o montante em 9 meses. Entretanto decorrido 2 meses ele retirou $ 5.000,00. Qual o valor retirado por ele no fim de 9 meses?
R: $ 31.981,42
5) João Deve $ 35.000,00 para daqui um ano, porém inesperadamente ele recebeu um dinheiro de uma causa na justiça e propôs o refinanciamento de sua divida, comprometendo a liquidá-la em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira hoje. Quanto será o valor das parcelas se a taxa de juros composto cobrada é de 20% ao ano?
R $ 10.168,58
6) Uma divida de $ 7.350,00 para 12 meses e outra de $ 8.000,00 para 24 meses foi transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a primeira daqui a 6 meses. Qual é o valor das parcelas, se a taxa de juros considerada é de 34% ao ano?
R: $ 3.535,33
7) Henrique deseja comprar uma moto de $ 13.000,00. Ele dispõe de $ 7.000,00 para pagar a vista e pretende financiar o restante em 3 pagamentos iguais e trimestrais, com o primeiro pagamento para daqui a 90 dias. Considerando uma taxa trimestral de 4%, qual será o valor das prestações?
R: $ 2.162,09
8) Uma televisão está sendo vendida por $ 6.500,00 à vista ou pode ser adquirida com uma entrada de $ 2.000,00 mais 3 parcelas mensais, com a primeira vencimento para 60 dias. Sabe-se ainda que a taxa de juros anual é de 17%. Qual é o valor das prestações?
R: $ 1.559,96
9) Uma loja especializada em bicicletas anunciou que vende uma super bicicleta de corrida por $ 1.000,00 à vista ou em dois pagamentos mensais, sendo o primeiro para 3 meses e o segundo para 4 meses. Considerando uma taxa de 14% a.a., calcule o valor dos pagamentos.
R: $ 519,47
10) Uma loja de Móveis tinha uma dívida com seus fornecedores e decidiu negociá-la. O gerente dessa loja conseguiu substituir 3 dívidas de $ 5.000,00, $ 2.000,00 e $ 3.000,00 com prazo de vencimento de 30, 60 e 90 dias, respectivamente, por um único título vencível em 180 dias. Qual é o valor desse título, sabendo que a taxa é de
11) Uma dívida de $ 20.000 para ser paga em 1 ano e outra no valor de $ 30.000 para ser paga em 2 anos foram refinanciadas para serem pagas em 4 parcelas iguais e semestrais, sendo que a 1ª será para daqui 6 meses. Considerando uma taxa de 20% a.a., qual será o valor das parcelas?
R: $ 11.713,72
12) Um comerciante tem uma dívida de $ 14.500,00, vencendo em 5 meses e quer pagar esta dívida parceladamente. Ele conseguiu junto ao banco o parcelamento em 3 vezes iguais, a juros de 2,3% ao mês, vencendo a primeira em um mês. Qual o valor das prestações?
R: $ 4.513,83
13) Determine o valor nominal de um titulo com vencimento para 5 meses que substituirá outros dois no valor de $ 500,00 cada, vencendo em 30 e 60 dias, à taxa de 3% a.m.
R: $ 1.109,12
14) Faltam 3 prestações mensais e iguais de $ 700,00, vencendo a primeira em 30 dias, para quitar um financiamento de um imóvel. Quero renegociar para pagá-las uma única prestação daqui a 60 dias. Considerando uma taxa mensal de 4%, qual o valor deste pagamento?
R: $ 2.101,08
15) Duas dívidas, a primeira no valor de $ 500,00 com vencimento para hoje, e a segunda, com valor de $ 700,00 com vencimento para três meses, estão sendo negociadas por duas outras dívidas: a primeira no valor de $ 400,00, com vencimento para 4 meses e a segunda com vencimento para 6 meses. Considerando o critério de desconto racional composto e taxa de 5,2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento.
R: $ 1.050,04
16) Suponha que você deve $ 12.000,00 para daqui a 6 meses e queira renegociar essa dívida para pagar em três pagamentos bimestrais e iguais, vencendo o primeiro daqui a 60 dias. Considerando uma taxa de 7% ao mês, calcule o valor dos pagamentos.
R: $ 3.472,53
17) Um título com valor nominal de $ 75.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título?
R: $ 70.694,92
18) Um comerciante, devedor de um título de $ 400.000,00, com vencimento para 3 anos, deseja substituir essa dívida por dois pagamentos anuais e iguais: um para daqui a 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo-se que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos.
R: $ 119.047,10
19) Uma televisão de plasma que custa $ 7.000,00 pode ser adquirida em 5 prestações mensais iguais, sendo a primeira na data da compra. Qual o valor de cada uma dessas prestações se for adotada uma taxa composta de 10% a.m.?
20) Um empresário possui dois títulos a pagar com valores de $ 50.000,00 e $ 70.000,00, vencíveis em 3 e 7 meses, respectivamente, a partir da data presente. Sem liquidez para quitar os débitos em suas datas, negocia com a Instituição bancária - que estipula juros compostos de 3% a.m. - para substituição das dívidas por duas outras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada débito nesta nova situação.
5 – Rendas (Série de Pagamentos ou Anuidade)
Há varias formas de pagamento de um bem: como o pagamento no ato da compra, não existindo uma diferença temporal entre o pagamento e o recebimento da mercadoria e, conseqüentemente, a incidência de juros, sendo, neste caso, chamado de pagamento à vista. Outra forma de pagamento é a que há hiato temporal entre o recebimento da mercadoria e o pagamento, havendo assim o pagamento de juros por essa diferença de tempo, já que o valor do dinheiro não é o mesmo no tempo, sendo essa forma chamada de pagamento no futuro. Outra forma é o pagamento parcelado.
O pagamento parcelado possui uma grande variedade de tipos, podendo ser efetuado em varias parcelas seqüencialmente, ou existindo um período de carência para o início dos pagamentos, ou ser pagas em períodos não seqüenciais, etc., dependendo do acordo ajustado entre as partes: o devedor e o credor. O que não diferencia em todos os tipos de Rendas é que sempre haverá a incidência de juros, proporcional ao tempo e/ou ao número das parcelas. Pagamento à vista: P |---| 0 n Pagamento no futuro: n S S = P(1 +i) |---| 0 n
Pagamento parcelado (Rendas ou Série de Pagamentos ou Anuidade):
S P R R R R R R |---|---|---|---|---|---| 0 1 2 3 4 5 6
Qualquer série de pagamento é uma Renda.
R
Variáveis de uma Renda e suas relações
P S
Existem dois tipos de Rendas:
• Rendas Certas ou Determinísticas, que são estudadas pela Matemática Financeira. • Rendas Aleatórias ou Probabilísticas, que são estudadas pela Matemática Atuarial. O nosso curso abordará apenas as Rendas Determinísticas.
Certa (determinística) = Matemática Financeira.
Renda
Aleatória (probabilística) = Matemática Atuarial.
Onde:
P = Valor Atual
R = Valor dos Termos S = Montante
Classificação das Rendas
Postecipadas Imediatas
Periódicas Constantes Antecipadas
Temporárias Diferidas
Certas Não Periódicas Variáveis
Rendas Perpétuas Aleatórias
Temporárias possuem início e fim
Perpetuas não possui um fim, é ad perpetum
Periódicas os pagamentos ou recebimentos ocorrem em todos os períodos Não-periódicas os pagamentos ou recebimentos não ocorrem em todos os períodos Constantes o valor de todos os termos são iguais em
Variáveis o valor de todos os termos não são iguais Imediatas os pagamentos ocorrem a partir do 1º período. Diferidas há uma carência para o início dos pagamentos. Postecipadas os pagamentos ocorrem no final dos períodos. Antecipadas os pagamentos ocorrem no início dos períodos.
Inicialmente, serão estudadas as Rendas constantes do Modelo Básico, que são as Rendas que apresentam as seguintes características:
Renda certa temporária periódica constante imediata postecipada
Simbologia
Nas operações com Rendas (ou Anuidades) será utilizada a seguinte simbologia:
R – Termos da Renda P – Valor Atual. S – Montante. i – Taxa de Juros. n – Número de Termos. Informações importantes:
• As operações com Rendas utilizam juros compostos.
• O montante de uma Renda (S) fica na “altura” do último termo.