Departamento de Administração
Manual de
Matemática
Financeira
Disciplina: Cálculo Financeiro
Professor: Aldery Silveira Júnior
Sumário
INTRODUÇÃO ...1
1 – CAPITALIZAÇÃO...2
1.1–CAPITALIZAÇÃO SIMPLES...2
1.1.1 – Fórmulas...2
1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples ...3
1.2–CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...5
1.2.1 – Fórmulas...5
1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta ...5
2 – ESTUDO DAS TAXAS ...8
2.1–EQUIVALÊNCIA DE TAXAS...8
2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples...8
2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos: ...8
2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas...9
2.2–TAXAS NOMINAIS...10
2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva ...10
2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais ...10
3 – DESCONTO...11
3.1–DESCONTO RACIONAL SIMPLES...12
3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples ...12
3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples ...12
3.2–DESCONTO COMERCIAL SIMPLES...15
3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples ...15
3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples ...16
3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples...16
3.3–DESCONTO RACIONAL COMPOSTO...19
3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto ...19
3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto ...20
4 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS ...22
4.1–EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL SIMPLES...22
4.2–EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO COMERCIAL SIMPLES...23
4.3–EXERCÍCIOS SOBRE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM JUROS SIMPLES...24
4.4–EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL COMPOSTO...27
5 – RENDAS (SÉRIE DE PAGAMENTOS OU ANUIDADE)...31
5.1–RENDAS DO MODELO BÁSICO:...33
5.1.1 – Fórmulas...33
5.1.2 – Exercícios sobre Rendas do Modelo Básico ...34
5.2–RENDAS NÃO CONSTANTE DO MODELO BÁSICO...37
5.2.1 – Fórmulas...37
5.2.2 – Exercícios sobre Rendas não constantes do Modelo Básico ...37
6 – USO DE TABELA FINANCEIRA...40
6.1–INTERPOLAÇÃO...41
6.2–EXERCÍCIOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELAS FINANCEIRAS...42
7 – INFLAÇÃO ...44
7.1–FÓRMULAS...44
7.2–EXERCÍCIOS SOBRE INFLAÇÃO...45
8 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE DIVIDA ...47
8.1–SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE –SAC...47
8.2–SISTEMA FRANCÊS...48
8.3–TABELA PRICE...48
8.4–EXERCÍCIOS SOBRE SISTEMAS AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS...48
9 – EMPRÉSTIMOS COM CORREÇÃO MONETÁRIA ...50
9.1–PLANILHA DE ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA...50
9.2–EXERCÍCIOS SOBRE EMPRÉSTIMO COM CORREÇÃO MONETÁRIA...51
10 – ENGENHARIA ECONÔMICA...54
10.1–ANÁLISE PELO MÉTODO DA TAXA MÉDIA DE RETORNO...55
10.2–ANÁLISE PELO MÉTODO DOS PERÍODOS DE PAY BACK...55
10.3–ANÁLISE PELO MÉTODO DO VALOR ATUAL...56
10.4–ANÁLISE PELO MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO...56
Introdução
O estudo da Matemática Financeira possui uma importância impar para os Agentes Econômicos, Administradores, Contadores, Economistas e Gestores das mais diferentes áreas empresariais, assim como também para as pessoas físicas comuns, já que permite aos mesmos realizarem cálculos mais apurados e realísticos nas suas realizações comerciais e de trabalho onde o conhecimento de Matemática Financeira se faz presente. A Matemática Financeira não é uma propriedade de uma categoria de profissionais ou de um ramo do conhecimento, como a Economia, a Administração, a Contabilidade ou o Direito. a Matemática Financeira possui uma linguagem própria, o que a caracteriza como um ramo do conhecimento.
A Matemática Financeira não deve estar restrita aos Agentes que operam o sistema de trocas e que a utilizam como ferramenta para mensurar suas diversas variáveis, o seu conhecimento é útil e necessário para todas as pessoas, independente da profissão que exerçam. As pessoas que desconhecem os princípios da Matemática Financeira são, às vezes, levadas a acreditarem em informações que não estão de acordo com a realidade. Ou seja, são “enganadas” e têm prejuízos em financeiros.
O conhecimento da Matemática Financeira possui uma significativa importância em nossa vida; proporciona o fim de uma escuridão e nos lança com maior clareza para o mundo em que vivemos diariamente, onde somos ativos e passivos a todo o momento, em termos de agente econômico. Esse conhecimento nos faz deixar de ser “vitimas” dos Agentes conhecedores e formadores de preço, juros, e taxas, para sermos pessoas ativas e questionadoras em relação à utilização do nosso dinheiro.
No mundo atual, os termos: juros, desconto, paridade de taxa, amortização de dívidas e engenharia econômica, entre tantos outros, fazem parte do nosso linguajar cotidiano e o conhecimento correto dos mesmos nos proporciona, sem nenhuma duvida, um ganho significativo e qualitativo nas nossas transações econômico-financeiras.
O presente Manual contém os apontamentos das aulas da disciplina Cálculo Financeiro e é fruto da contribuição do Aluno Alisson Robert Gomes Peixoto, que cursou esta disciplina no 2º semestre de 2006, e das atualizações efetuadas pelo professor da disciplinas nos semestres subseqüentes.
Para cada tópico da disciplina, são apresentados: i) as anotações básicas que serão devidamente explanadas pelo professor nas aulas; ii) os exemplos que serão resolvidos e explicados pelo professor; e iii) as listas de exercícios que serão resolvidas pelos alunos, sob a supervisão do professor, durante as aulas.
1 – Capitalização
Capitalização corresponde à operação destinada a calcular o valor futuro de um determinado valor presente, considerando uma taxa de juro previamente fixada.
Existem dois tipos de capitação, simples e composta, conforme o tipo de juro a que se refira: simples ou composto.
Conceitos Básicos
• Capital: valor que pode ser aplicado com a finalidade de rendimento de juros.
• Juros: é a remuneração do fator capital – é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro.
• Montante: soma do capital inicial mais os juros recebidos.
• Taxa de juros: relação entre juros traduzidos e uma unidade de tempo. Taxa de Juros
Existem dois tipos de taxas de juros: taxa percentual e taxa unitária. Nas fórmulas a serem utilizadas no presente curso, a taxa a ser adotada será a unitária.
• Taxa Percentual: é a utilizada na pratica. Ex: 5% ao mês (o todo é 100).
• Taxa Unitária: é uma taxa técnica. Ex: 0,05 ao mês (o todo é 1).
A taxa unitária é obtida dividindo-se a taxa percentual por 100. Ex: 5/100 = 0,05. Nesta taxa não se utiliza o símbolo da percentagem.
Simbologia:
P = Capital S = Montante J = Valor dos Juros i = Taxa de Juros n = Número de períodos de Capitalização.
1.1 – Capitalização Simples
Neste tipo de capitalização apenas o capital inicial rende juros, ou seja, os juros incidem apenas sobre o valor inicialmente aplicado.
1.1.1 – Fórmulas
(1)
S
= 1
P
(
+
.i
n
)
(2)
in 1 S P + =(3)
n 1 P S i − =(4)
i 1 P S n − =(5)
S
=
P
+
J
(6)
P = S – J(7)
J = S – PExemplos
(1)
Quanto deve ser aplicado hoje à taxa de 5% a.m., para que se resgate $ 3.300,00 ao final de seis meses?(2)
Caso você aplique $ 5.000,00 e após sete meses resgate $ 6.050,00 qual terá sido a taxa de juros dessa operação?(3)
Qual o juro produzido por um capital de $ 8.000,00 aplicado à taxa de 24% a.a durante 3 meses?1.1.2 – Exercícios de Capitalização Simples
1) O banco “X” empresta ao Sr. Carlos a quantia de $ 300.000,00, à taxa de 5% ao ano, para ser paga após três anos e meio. Calcule o montante dessa operação.
R: S = $ 352.500,00
2) A que taxa devemos aplicar um certo capital para que, em 8 meses, ele dobre de valor?
R: i = 12,5% a.m.
3) Um capital de $ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano e meio, à taxa de 15% a.s. Calcular os valores dos juros e do montante obtidos no final deste prazo.
R: J = $ 3.150,00; S = $ 10.150,00
4) Um capital de $ 900,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 5% a.a., sendo obtidos $ 15,00 de juros. Calcular o prazo de aplicação em meses.
R: n = 4 meses
5) A empresa Monitoria S/A aplicou o valor de $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m. e pretende sacar o valor após 12 meses. Qual o montante a ser regatado?
R: S = $ 5.900,00
6) Certo cliente adquire um titulo por $ 60.000,00 e resgata $ 119.350,00, após 9 meses. Qual a taxa de juros dessa operação?
R: i = 10,9% a.m.
7) Qual o juros recebido por um comerciante que investe $ 20.000,00, à taxa de 5% a.m., durante 2 meses?
R: $ 2.000,00
8) Calcular o prazo, em anos, necessário para um capital triplique de valor, caso seja aplicado à taxa de 10% a.t.
R: n = 5 anos
9) Um capital aplicado por 16 meses gerou $ 13.440,00 de juros. Sabendo que a taxa de juros mensal foi de 6%, calcule o valor do capital inicial.
10) Qual será o valor dos juros de um capital de $ 3.145,00, aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., durante 1 ano e meio?
R: J = $ 283,05
11) Um capital de $ 4.250,00, aplicado a uma taxa de 3% a.m., produziu um montante de $ 6.162,50. Qual foi o período de aplicação?
R: n = 15 meses = 1 ano e 3 meses
12) Danilo decidiu investir $ 1.035,00 em ma instituição financeira que opera com uma taxa de juros simples de 1,8% a.m., durante 1 ano. Qual será o montante ao final do período?
R: S = $ 1.258,56
13) Um empréstimo de $ 15.000,00 foi feito para ser pago em 24 meses, foi liquidado, ao final do período, por $ 23.000,00. Qual a taxa de juros utilizada?
R: i = 2,22% a.m.
14) Em quantos meses um capital de $ 750,00 renderá juros igual a um terço de seu valor, se aplicado a uma taxa de 6,67% a.m.?
R: n = 5 meses
15) Gilberto solicitou em seu banco um empréstimo de $ 6.000,00. O pagamento será feito em 36 meses com incidência de juros de 2,7% ao mês. Qual o valor a ser pago para liquidar a dívida?
R: S = $ 11.832,00
16) Por um empréstimo de $ 12.450,00, pagou-se $ 3.200,00 de juros. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada foi de 1,79% a.m., qual foi o período dessa operação?
R: n = 14 meses e 11 dias
17) Leonardo solicitou um empréstimo de $ 3.990,00 para pagar em 6 meses. A financeira cobrou juros de 1,97% a.m. Qual o valor dos juros a pagar?
R: J = $ 471,62
18) Qual a taxa de juros cobrado por um banco, sabendo que por um empréstimo de $ 500,00 pagou-se $ 115,00 de juros, em 3 meses?
R: i = 7,7% a.m.
19) Qual o capital que aplicado a juros simples de 12% a.a., durante 5 meses, gerou um montante de $ 1.260,00?
R: P = $ 1.920,00
20) Ao se aplica a importância de $ 5.000,00, à taxa de 8% a.a., obtém-se, após certo período, o montante de $ 6.000,00. Qual é o período de aplicação?
1.2 – Capitalização Composta
Nesse tipo de capitalização os juros produzidos em cada período são capitalizados, formando um novo capital que irá render juros no período seguinte.
P0 P0+J1 = P1 P1+J2 = P2 P2+J3 = P3 P3+J = S |---|---|---|---| 0 1 2 3 4
1.2.1 – Fórmulas
(1)
(
)
n i P S = 1+(2)
(
)
ni
S
P
+
=
1
(3)
(
)
n i S P = + − 1(4)
1 1 − = n P S i(5)
= n −1 P S i(6)
(
i)
Log P S Log n + = 1(7) S = P+J
(8) P = S – J (9)
J P(
i)
n P − + = 1(10)
J = P[
(
1+ i)
n −1]
(11)
(
)
1
1
+
−
=
Ni
J
P
Exemplos(1) Caso você aplique $ 3.500,00 em uma instituição financeira que pague juros de 2,75% a.m., quanto resgatará no final de sete meses?
(2) Caso você aplique $ 7.000,00 em uma instituição e ao final e cinco meses resgate a importância de $ 8.640,12 qual terá sido a taxa de juros dessa operação?
(3) Qual o tempo necessário para que um capital de $ 10.000,00 dobre de valor, se aplicado a taxa de 20% a.a.?
(4) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.500,00, aplicado a taxa de 15% a.a., durante seis meses?
1.2.2 – Exercícios sobre – Capitalização Composta
1) Calcule o montante de uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros compostos de 6% a.m.
2) Quanto deverei aplicar hoje para ter direito a receber a importância de $ 500.000,00 daqui a 5 anos, se a taxa de juro composto adotada for 15% ao ano?
R: P = $ 248.588,37
3) Jean conseguiu um vale em sua empresa no valor de $ 200,00 a serem descontados nos seus próximos 2 salários. Sabendo que a empresa vai descontar no final o valor de $ 230,00, qual será a taxa de juros compostos cobrada?
R: i = 7,24% a.m.
4) Em quanto tempo um capital de $ 1.650,00 produzirá um montante de $ 1.776,87, se aplicado a uma taxa composta de 2,5% a.m.?
R: n = 3 meses
5) Qual o valor dos juros produzidos por um capital de $ 2.500,00, aplicado à taxa de 4% a.m., durante 12 meses?
R: J = 1.502,58
6) Rivaldo, desejando viajar no próximo ano, decidiu aplicar $ 2.200,00 e resgatar daqui a 12 meses, fins custear a viagem. Sabendo que a instituição financeira paga juros compostos de 1,2% a.m., qual será o montante a ser resgatado ao final do período?
R: S = $ 2.538,57
7) Um capital de $ 7.000,00, aplicado durante 6 meses, proporcionou ao aplicador um montante de $ 8.117,85. Qual a taxa de juros compostos dessa operação?
R: i = 2,5% a.m.
8) O que é mais vantajoso? Investir $ 5.000,00 durante 2 anos a juros compostos de 2% a.m. ou investir $ 5.000,00 durante 2 anos, a juros simples de 3% ao mês.
R: Investir os 5.000 reais sob o regime de juros simples
9) Um investidor investiu $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m., durante um ano. Qual será o valor a ser resgatado ao final do período?
S = $ 5.978,09
10) Um capital de $ 5.000,00, aplicado à taxa de 20% a.m., produzirá um montante de $ 10.000,00 em quanto tempo?
R: n = 3 meses e 24 dias
11) Um investidor aplicou $ 45.000,00 em uma instituição financeira que opera com juros compostos de 3,55% a.t., pelo período de 1 ano. Qual o valor dos juros dessa operação?
R: J = $ 6.738,39
12) Saul contraiu uma dívida de $ 2.000,00 para ser quitada após 2 anos e meio. Ao final do prazo contratado, Saul quitou a dívida com um único pagamento de R$ 3.400,00. Qual a taxa de juro composta mensal dessa operação?
R: i = 1,78% a.m.
14) Um determinado título de capitalização, com valor de face de $ 6.000,00, remunera o aplicador com juros de 3% ao mês. O prazo de aplicação é de 18 meses. Qual será o valor de resgate desse título ao final do prazo contratado?
R: S = $ 10.214,60
15) Qual a taxa de juro composta mensal que faz um capital dobra de valor em 6 meses?
R: i = 12,25% a.m.
16) Uma pessoa tem uma dívida no valor de $ 900.000,00, a ser saldada daqui a 6 meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de 7% a.m. para que, ao final de 6 meses, disponha da importância necessária para saldar o seu compromisso, considerando o regime de juros compostos?
R: P = $ 600.000,00
17) Um capital de $ 5.000,00 produz juros de $ 800,00 em um período de 4 meses. Qual a taxa mensal de juros compostos?
R: i = 3,78 a.m.
18) Uma pessoa compra um lote de ações na Bovespa por $ 1.250,00. Depois de 1 mês resolve vender suas ações por $ 1.500,00. Qual foi a rentabilidade, em termos percentuais, auferida por essas ações?
R: i = 20% a.m.
19) Em quanto tempo um capital pode produzir juros a 70% de seu valor se aplicado a 5.72% ao mês?
R: 9 meses e 16 dias
20) Bruno pede emprestado a um colega a importância de $ 1.250,00 para consertar o seu carro. Tal amigo o empresta, porém cobra uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês. Ao final dos 6 meses, quanto Bruno deverá pagar ao seu amigo para liquidar a dívida?
2 – Estudo das Taxas
Neste tópico, estudaremos equivalência de taxas em juros simples e compostos, e as taxas nominais – taxas onde o período de capitalização difere do período do tempo.
2.1 – Equivalência de taxas
Duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo espaço de tempo, porém com períodos de aplicação diferentes, produzem o mesmo juro ou o mesmo montante.
2.1.1 – Equivalência de Taxas de Juros Simples
Formulas:
1) k i iK = 2) i=iK.k2.1.2 – Equivalência de Taxas em Juros Compostos:
Fórmulas:
1) i(
1 i)
k 1 K − + = . 2) i( )
1 i k 1 1 k = + − . 3) i k1 i 1 K = + − Exemplos(1) Se aplicado $ 3.000,00 à taxa de 3,2% a.m., quanto será resgatado ao final de 13 dias? (juros simples).
(2) Quanto deverá ser aplicado hoje, à taxa de 5,4% ao trimestre, para que se resgate $ 10.000,00 ao final de um ano? (juros simples).
(3) Qual o juro produzido por um capital de $ 6.000,00, aplicado à taxa de 13% a.a., durante cinco meses? (juros compostos).
Onde:
K
i = Taxa do menor período
i = Taxa do maior período
2.1.3 – Exercícios sobre Equivalência da Taxas
1) Qual o montante produzido por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 17,28% ao ano, durante 6 meses?
R: S = $ 1.086,80
2) Um capital $ 30.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 0,99% ao mês, durante um biênio, produzirá o montante de ...
R: P = $ 37.128,00
3) Qual é o valor dos juros produzidos por um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, durante 21 dias?
R: J = $ 35,00
4) Um determinado banco paga juros compostos de 6% ao trimestre. Se uma pessoa necessitar dispor de $ 6.000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar hoje nesse banco?
R: P = $ 2.981,82
5) Um banco publica em suas agências o seguinte anúncio: “Aplique $ 1000,00 hoje e receba $ 1.900,00 ao final de 6 meses”. Determinar as taxas semestral e mensal de juros compostos oferecidas por este banco.
R: i = 90% a.s. e 11,29% a.m.
6) Uma aplicação de $ 6.700,00, efetuada à taxa de 36% ao ano, durante 7 meses, produzirá juros no valor de ...
R: J = $ 1.316,27
7) Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada num empréstimo de $ 64.000,00, que deverá ser quitado no prazo de 117 dias, por $ 79.600,00?
R: i = 5,75% a.m.
8) Uma aplicação de $ 3.800,00 proporcionou um rendimento de $ 2.400,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros compostos dessa operação.
R: i = 0,24% a.d.; i = 7,32% a.m.; i = 23,59% a.t.; e i = 133,33% a.a.
9) Quanto uma pessoa resgatará ao final de 93 dias se aplicar $ 2.000,00 à taxa de 150% ao ano?
R: S = $ 2.534,14
10) Determinar o montante produzido por uma aplicação de $ 200.000,00, admitindo os seguintes prazos e taxas compostas:
a) i = 5% a.m., durante 2 anos b) i = 12% a.t., durante 1 ano e meio
2.2 – Taxas Nominais
Forma de apresentação: 72% a.a.c.c.m (ao ano com capitalização mensal)
Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, faz-se necessário se calcular a taxa efetiva, ou seja, devemos determinar qual a verdadeira taxa que está por trás da taxa nominal.
2.2.1 – Cálculo da Taxa Efetiva
Calcula-se a taxa efetiva por meio de dois passos:
1) Calcular a taxa efetiva do menor período utilizando a formula de equivalência de taxas de juros simples:
k
i
if
K=
2) Calcular a taxa efetiva do maior período utilizando a formula de equivalência de taxas de juros compostos:
(
1
if
)
1
i
f=
+
k k−
Resolução da taxa efetiva da taxa nominal 72% a.a.c.c.m.: Passo 1
if
K=
0
12
,
72
=
0
,
06
ao mêsPasso 2
i
f=
(
1
+
0
,
06
)
12−
1
=
101
,
22
%
ao ano.2.2.2 – Exercícios sobre Taxas Nominais
1) Determinar o valor dos juros produzidos por um capital de $ 15.000,00, aplicado às taxa de 48% a.a.c.c.m., durante 2 anos.
R: J = $ 23.449,56
2) Caso você aplique $ 3.000,00, às taxa de 6,78% a.m.c.c.d., por 7 meses, quanto resgatará ao final do período?
R: S = $ 4.819,53
3) O Banco Alfa opera com uma taxa de 15% a.t.c.c.m. Se você efetuar um empréstimo de $ 5.000,00 nesse banco, quanto desembolsará ao final de 2 anos para liquidar a dívida?
3 – Desconto
Desconto é uma operação inversa à Capitalização, ou seja, corresponde a trazermos um valor futuro para a data presente, descontando os juros que estão imbutidos no valor futuro. O Desconto propriamente ao abatimento obtido por se saldar uma dívida antes do vencimento.
Conceitos básicos:
• Valor de face: valor de um titulo na data de sua emissão.
• Valor nominal: valor de um titulo na data de seu vencimento.
• Valor atual: valor de um titulo em uma data intermediaria entre a de emissão e a de
vencimento.
Obs.: Titulo – denominação genérica para qualquer tipo de dívida (Nota Promissória,
Duplicata, etc.).
Tipos de Desconto
Existem dois tipos de descontos: Racional e Comercial. Ambos podem ser utilizados tanto em juros simples quanto em juros compostos.
O Desconto Racional corresponde à verdadeira operação de Desconto. O Desconto Comercial nada mais é do que uma variação do Desconto Racional adotada pelo Mercado. Racional (por dentro) Simples
Desconto:
Comercial (por fora) Composto
Quanto ao Desconto Comercial, na prática, o mesmo é utilizado somente sob o regime de juros simples.
Simbologia utilizada nas operações de desconto:
N - Valor Nominal
Dr - Valor do Desconto Racional Simples
Vr - Valor Atual Racional Simples Dc - Valor do Desconto Comercial Simples
Vc - Valor Atual Comercial Simples
Drc - Valor do Desconto Racional Composto Vrc - Valor Atual Racional Composto i - Taxa de Desconto
n - Número de períodos que faltam para
3.1 – Desconto Racional Simples
Neste tipo de Desconto, a taxa é aplicada sobre o Valor Atual, sobre o número de períodos que faltam para o vencimento da dívida.
3.1.1 – Fórmulas de Desconto Racional Simples
1) N=VR
(
1+ .in)
.in N VR + = 1n
V
N
i
R1
−
=
i
V
N
n
R1
−
=
. 2) N = Vr + Dr Vr = N – Dr Dr = N – Vr 3)n
.i
n
.i
.
N
D
R=
+
1
. Ex: N = 10.000,00 I = 10% ao mês n = 3 meses Dr = ? Vr = ?3
.
1
,
0
1
3
.
1
,
0
.
000
.
10
D
R+
=
Dr = 2.307,69. Vr = 10.000,00 – 2.307,69 Vr = 7.692,31.Exemplos de Desconto Racional Simples
(1) Caso você desconte um título de R$ 35.000,00 15 dias antes do vencimento, a uma taxa de 5,5% a.m., qual será a importância recebida?
(2) Um título foi descontado à taxa de 2% a.m. Sabendo-se que o valor nominal era $ 7.414,00 e o valor descontado racional $ 6.740,00, qual o prazo da antecipação? (3) Uma promissória com valor nominal de $ 275.820,00 e vencimento para 75 dias foi
descontada á taxa de 90% a.a. Qual o valor do desconto racional dessa operação?
3.1.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Simples
1) Marta descontou um Título no valor de $ 15.000,00, 1 mês e 15 dias antes do vencimento, considerando que a taxa cobrada foi de 4,5% a.m. Qual o valor do
2) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 9 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5,8% a.m. Sabendo que o valor descontado foi $ 5.250,00, qual era o valor nominal dessa Nota Promissória?
R: N = $ 7.990,50
3) Uma Nota Promissória com valor nominal de $ 25.000,00 foi descontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 4% a.m. Qual o valor do desconto racional simples?
R: Dr = $ 2.678,57
4) Paulo, ao resgatar um Título com valor nominal de $ 50.000,00 sob o critério de desconto racional simples, desembolsou a quantia de $ 32.000,00. Considerando que a operação foi efetuada com base em uma taxa de 23% a.a., calcule o período de antecipação.
R: n = 2 anos, 5 meses e 10 dias
5) Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 58.000,00, com vencimento para 60 dias, se for descontada sob o critério de desconto racional simples, a uma taxa de 3% a.m.?
R: Vr = $ 54.716,98
6) Por um Título com valor nominal de $ 1.200,00, com vencimento para 16 de outubro, Manuel obteve o valor de $ 1.110,00, em 1º de setembro do mesmo ano. Qual foi a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco?
R: i = 5,29% a.m.
7) Uma Nota Promissória foi descontada 1 ano antes do vencimento, a uma taxa de 20% ao ano. Usando o desconto racional simples e sabendo-se que valor atual foi de $ 30.000,00, qual seria o seu valor nominal?
R: N = $ 36.000,00
8) Uma dívida de $ 10.000,00 será saldada 2 meses antes de seu vencimento. Qual será o valor do desconto racional simples, se a taxa de juros for de 16% a.m.?
R: Dr = $ 2.424,24
9) Quanto devo pagar por um Título com valor nominal de $ 10.000,00, com vencimento para daqui a 60 dias, se desejo ter uma taxa de retorno de 24% ao ano? (desconto racional simples)
R: Vr = $ 7.142,86
10) Antecipando 3 meses um Título com valor nominal de $ 600,00, obtenho um desconto de $ 41,86. Qual é a taxa de desconto racional simples mensal dessa operação?
R: i = 2,5 % a.m.
11) Ao descontar um Título no valor de $ 46.800,00, a uma taxa de 6,7% a.m., 6 meses de antes do vencimento, o valor do desconto racional simples será ....
R: Dr = $ 13.419,11
12) Quanto devo pagar por uma Promissória com valor nominal de $ 24.000,00, com vencimento para 9 meses, se pretendo obter um rendimento de 12% a.t?
13) Uma Duplicata foi descontada a uma taxa de 4,5% a.m., 210 dias antes do vencimento. Sabendo que o valor atual racional foi $ 19.452,48, calcule o valor nominal dessa Duplicata.
R: N = $ 25.580,01
14) Em uma operação de desconto racional simples, com uma taxa de 12% a.m., o valor atual de um Título é igual à metade do seu valor nominal. Qual o tempo necessário para que isso ocorra?
R: n = 8 meses e 10 dias
15) $ 981,00 é o valor do desconto comercial simples de um Título com valor nominal de $ 10.900,00, se descontado 3 meses antes do vencimento. Calcule o valor do desconto racional simples desse Título, considerando a mesma taxa de desconto mensal.
R: Dr = $ 900,00
16) Se um Título for resgatado três meses antes do vencimento por $ 53.409,00, à taxa de desconto racional simples de 84% a.a., qual é o valor nominal desse Título?
R: N = $ 64.624,89
17) Uma Nota Promissória foi descontada racionalmente com 78 dias de antecipação por $ 3.652,00, à taxa de juros simples de 4% a.m. Qual o valor do desconto auferido nessa operação?
R: Dr = $ 379,80
18) Marina possui um CDB de $ 1.300,00, com vencimento para daqui a 3 meses. A fim de comprar um notebook que está em promoção para pagamento à vista, ela pretende
descontar esse Título hoje. Considerando o critério de desconto racional simples e taxa de 1,5% a.m., qual será o valor de resgate desse CDB?
R: Vr = $ 1.244,02
19) Diego resgatou um Título de $ 1.150,00, a uma taxa de desconto racional simples de 2% a.m., tendo recebido a importância de $ 1.045,45. Quanto foi o período de antecipação dessa operação?
R: n = 5 meses
20) Se uma dívida de $ 6.462,20 for quitada 60 dias antes do prazo estabelecido, à taxa de juros de 60% a.a., qual será o valor do desconto racional simples?
3.2 – Desconto Comercial Simples
Neste tipo de Desconto, a taxa de juros é aplicada sobre o Valor Nominal, vezes o número de períodos que falta para o vencimento da dívida.
3.2.1 – Fórmulas de Desconto Comercial Simples
1) Dc =N..in n .i Dc N= n . N Dc i= i. N Dc n = 2) N=Vc+Dc Vc=N−Dc Dc=N−Vc. 3) Vc=N
(
1− .in)
n .i 1 Vc N − = N 1 N Vc i + − = i 1 N Vc n + − = 4) Dc=Dr(
1+ .in)
n .i 1 Dc Dr + = Ex: N = 10.000,00 i = 10% a.m. n = 3 meses Dc = ? e Vc = ? Dc = 10.000,00. 0,1. 3 = 3.000,00. Vc = 10.000,00 – 3.000,00 = 7.000,00. Vc = 7.000,00Exemplos de Desconto Comercial Simples
(1) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um titulo de $ 4.000,00, descontados três meses antes do vencimento, a uma taxa de 7% a.m. Calcule a taxa efetiva de desconto comercial dessa operação.
(2) Uma duplicata de $ 180.000,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento. Considerando uma taxa de desconto simples de 60% ao semestre, calcule o valor do desconto e o valor recebido pelo detentor da duplicata.
(3) Um título a vencer em 120 dias, no valor de $ 13.000,00 foi descontado por $ 11.400,00. Calcular a taxa anual de desconto comercial simples e a taxa efetiva de desconto.
3.2.2 – Cálculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples
A taxa de Comercial Simples é uma taxa nominal, e, como tal, deve ser calculada a taxa efetiva, que é obtida utilizando-se a seguinte fórmula?
n
1
Vc
N
if
−
=
Ex: N = 10.000,00 i = 10% a.m. n = 3 meses Vc = 7.000,00 If = ?if
14
,
29
%
3
1
000
.
7
000
.
10
if
=
−
=
3.2.3 – Exercícios sobre Desconto Comercial Simples
1) Uma Duplicata com valor nominal de $ 12.000,00 foi descontada 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 17,17% ao ano. Qual foi o valor do desconto comercial simples?
R: Dc = $ 343,40
2) Uma Duplicata no valor nominal de $ 25.000,00 foi liquidada 12 meses antes do seu vencimento. Foi pago por ela a importância de $ 18.960,00. Calcule a taxa de desconto comercial simples da operação e a taxa efetiva que vigorou na transação.
R: i = 2,01% a.m.; if = 2,65% a.m.
3) André decide descontar um Título três meses antes do vencimento. Sabendo que o valor do título é $ 4.500,00 e que a taxa de desconto é de 1,5% a.m., qual o valor do desconto comercial?
R: Dc = $ 202,50
4) Qual o valor atual comercial de uma Duplicata com valor nominal de $ 5.000,00, que foi descontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto simples de 1,5% a.m.?
R: Vc = $ 4.775,00
5) Um Título foi descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa de 24% a.a. Sabendo que o valor atual comercial apurado foi de $ 17.860,00, qual era o valor nominal desse Título? (desconto comercial)
R: N = $ 19.000,00
6) Uma Duplicata com valor nominal de $ 45.000,00 é descontada 6 meses antes do vencimento, à taxa de 30% a.a. Qual o valor de desconto comercial?
7) O valor nominal de um Título é $ 35.000,00. Caso este Título seja descontado 1 mês antes do vencimento, a uma taxa de 3% a.t., qual será o valor do desconto comercial simples?
R: Dc = $ 350,00
8) Um título no valor nominal de $ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de $ 1.800,00, três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto.
R: i = 3%.
9) Uma Duplicata de valor nominal de $ 20.000,00 foi resgatada por $ 19.250,00. Se a taxa de desconto comercial simples era de 90% a.a., quanto tempo restava para o vencimento dessa Duplicata?
R: n = 15 dias
10) Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um Título no valor de $ 4.000,00, descontado 7 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6,5% a.m. Qual foi a taxa efetiva de desconto comercial aplicada na operação?
R: Vc = $ 2.180,00; if = 11,93% a.m.
11) Um Título com valor nominal de $ 6.000,00 foi descontado 5 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5% a.m. Qual o valor do desconto comercial simples e qual o valor do recebido pelo detentor do título?
R: Vc: $ 4.500,00; Dc = $ 1.500,00
12) Ao quitar uma dívida, obteve-se um desconto comercial simples. O valor nominal era de $ 15.000 e a taxa de desconto de 2,75% ao mês. A antecipação foi de 9 meses. Qual o valor pago pela dívida?
R: Vc = $ 11.287,50
13) Uma nota promissória de $ 22.000,00 é descontada 6 meses antes do vencimento, à uma taxa de desconto comercial simples de 1,6% a.m. Calcule o valor atual da nota.
R: Vc = $ 19.888,00
14) Calcule o valor atual comercial simples recebido por Diego pelo seu título no valor de $ 5.000,00, descontado 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 8,5% a.m. Calcule também a taxa efetiva de desconto comercial dessa operação?
R: Vc: $ 3.725,00 e If = 11,41% a.m.
15) Em uma operação de desconto comercial simples de um título com valor nominal de $ 250,00, o desconto auferido foi de $ 25,00. Considerando que a taxa utilizada foi de 10% ao mês, qual foi o tempo de antecipação?
R: n = 1 mês.
16) Uma duplicata com valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontada 8 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 24% a.a, determine o valor recebido pelo detentor do título.
R: Vc =$ 29.400,00
17) Por quanto tempo devo antecipar o pagamento de um título de $ 1.100,00 para obter um desconto comercial de $ 300,00, a uma taxa de 3,5% ao mês?
18) Qual o valor atual comercial recebido por um título de $ 900,00 descontado 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 1,5% ao mês?
R: Vc = $ 873,00
19) Qual taxa de juros devo descontar um título de $ 15.00,00 para obter um desconto comercial de $ 1.500,00, descontado 3 meses antes do vencimento?
R: i = 3,33% a.m.
20) Uma duplicata de $ 250.000,00 foi resgatada por $ 215.000,00, antes do seu vencimento. Calcular o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 3,5 % ao mês.
3.3 – Desconto Racional Composto
O princípio do Desconto Racional Composto é o mesmo do Desconto Racional Simples, sendo que agora os juros utilizados são os compostos.
Na prática, em se tratando de operações com juros compostos, utiliza-se apenas o Desconto Racional.
3.3.1 – Fórmulas de Desconto Racional Composto
A única diferença do Desconto Racional Composto em relação ao Desconto Racional Simples diz respeito apenas ao regime de juros, o princípio é o mesmo.
1)
(
)
n i Vrc N = 1+(
)
n i N Vrc + = 1 1 1 − = n Vrc N iLog
( )
Vrc
i
N
Log
n
+
=
1
2)
N=Vrc+Drc Vrc=N−Drc Drc=N−Vrc3)
(
)
+
−
=
n RCi
1
1
1
.
N
D
ouD
RCN
[
1
(
1
)i
n]
−+
−
=
Ex: N = 10.000,00 i = 10% a.m. n = 3 meses Drc = ? Vrc =?( )
− = 3 1 , 1 1 1 00 , 000 . 10 Drc Drc =10.000,001−1,3311 Drc = $ 2.486,85. Vrc = $ 7.513,15. Exemplos .(1) Qual o valor do desconto racional composto de um titulo de $ 8.000,00 descontado dois meses antes do vencimento a taxa de 5,5% a.m.
(2) Um titulo com valor nominal de $ 15.000,00 foi descontado antes do vencimento, tendo o detentor desse titulo recebido $ 13.870,00. Considerando uma taxa de 42% a.a., determine o período de antecipação (juros compostos).
(3) Caso desconte um titulo de $ 5.000,00 três meses antes do vencimento e receba $ 4.380,00 qual é a taxa de juros compostos dessa operação?
3.3.2 – Exercícios sobre Desconto Racional Composto
1) Quanto deverá ser o valor do desconto racional composto de um Título cujo valor nominal de $ 29.500,00, que será descontado 8 meses antes do vencimento, a uma taxa de 6,8% a.m.?
R: Drc = $ 12.071,82
2) O valor de certo Título no vencimento é de $ 175.000,00. O detentor do mesmo, desejando saldar algumas dívidas, resolveu antecipá-lo, recebendo um valor de $ 144.000,00, sendo utilizada, para tanto, uma taxa de desconto racional composto de 5,5% a.m. Qual foi o período de antecipação?
R: n = 3 meses e 19 dias
3) Carlos Alberto deseja antecipar o pagamento de um empréstimo no valor de $ 15.000,00, que vencerá daqui a 10 meses, tendo negociado com o credor o pagamento de $ 13.685,00 para liquidar a dívida. Qual foi a taxa de desconto racional composto acordada nessa operação?
R: i = 0,92% a.m.
4) Calcule o valor nominal de um Título cujo valor do desconto racional composto foi de $ 685,00, antecipação de 4 meses e taxa de juros de 3,67% a.m.?
R: N = $ 5.102,05
5) Um Título cujo valor nominal era de $ 55.000,00 foi antecipado em 3 meses, utilizando-se uma taxa de desconto racional composta de 6,35% a.m. Pergunta-utilizando-se: qual o valor líquido que foi recebido pelo dono do Título?
R: Vrc = $ 45.724,63
6) Um Titulo com valor nominal de $ 8.000,00, vencível em 3 meses, foi descontado à taxa de 4,5% a.m. Calcule o valor do desconto racional composto.
R: Drc = $ 2.226,66
7) Um investidor realizou a antecipação de um Titulo, obtendo um desconto racional de $ 1.186,22. A taxa composta de juros acordada foi de 12% a.a. e a antecipação foi de 6 meses. Qual era o valor nominal do titulo?
R: N = $ 2.404,33
8) Qual o valor do desconto racional de um título cujo valor nominal é $ 13.000,00, caso ele seja resgatado 4 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 4,2% a.m.?
R: Drc = 1.972,62
9) Um Titulo teve o seu resgate antecipado em 5 meses, a uma taxa composta de 2,5% a.m., obtendo-se um desconto de $ 1.250,00. Qual o valor nominal desse Título?
R: N = 10.762,34
10) Que desconto racional deve-se exigir na compra de um Título com valor nominal de $ 25.000,00, vencível em 3 meses, se a taxa de juro composto for de 5% a.m.?
11) Um Titulo com valor nominal de $ 18.000,00 foi descontado 5 meses antes de seu vencimento, obtendo-se um desconto de $ 500,00. Qual foi a taxa de desconto racional composto utilizada nessa operação?
R: i = 1,04% a.m.
12) Uma Duplicata foi liquidada 11 meses antes do vencimento, à taxa de 3,75% a.m. A operação resultou em um desconto de $ 2.555,00. Qual era o valor nominal da Duplicata?
R: N = $ 3.830,54.
13) A Mascavo S.A. está trocando seus ativos financeiros por títulos da dívida pública. Nesta semana comprou um Título com valor nominal de $ 138.503.39, que tem prazo de maturação de 180 dias. Calcule o valor de compra deste Título sabendo que o Governo brasileiro está adotando a taxa Selic de 14,5% a.a. como indexador de referência.
R: Vrc = $ 129.436.77
14) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 6 meses antes do vencimento. Sabendo que o valor nominal da mesma era de $ 79.500,00 e o valor do desconto racional foi de $ 8.750,00. Qual foi a taxa de juro composto empregada nessa operação?
R: i = 0,44% a.m.
15) O desconto de um título, pagável em 2 anos e 6 meses, é de $ 11.500,25. Calcular o valor nominal do título sabendo-se que a taxa empregada nessa transação é de 18% a.a, usando o Desconto Racional Composto.
R: N = $ 33.938,29
16) Qual é o valor do desconto racional composto sofrido por um Título com valor nominal de $ 6.688,78, descontado 55 dias antes do vencimento, à taxa de 6% a.a.?
R: Drc = $ 59,28
17) Um Título com valor nominal de $ 8.996,68 foi descontado 5 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 2,5% a m. Calcule o valor líquido recebido pelo detento do Título, tendo em vista que a operação foi realizada sob o critério de Desconto Racional Composto.
R: Vrc = $ 7.951,75
18) Uma dívida com valor de $ 8.560,00 foi descontada 5 meses antes do vencimento sob o critério de Desconto Racional Composto. Sabendo-se que a taxa de juros foi de 1,5% a.m., qual foi o valor do desconto obtido?
R: Drc = $ 2.220,85
19) Tenho uma divida de $ 50.000,00 e pretendo liquidá-la 5 meses antes de vencimento, a uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Considerando o desconto racional composto, quanto deverei pagar por essa dívida?
R: Vrc = $ 39.176,31
20) Bruna pretende descontar um título de $ 10.000 8 meses antes do vencimento. Se ela receber $ 7.500,00. Qual será a taxa de juros compostos dessa operação?
4 – Equivalência de Capitais Diferidos
Definição:
Um conjunto de capitais diferidos no tempo (um ou mais capitais) é considerado equivalente a outro conjunto de capitais também diferidos se, e somente se, for descontado para uma mesma data focal e em idênticas condições e produzir o mesmo valor.
• Data focal: data base de comparação dos valores diferidos.
• Idênticas condições: mesmo critério de desconto e mesma taxa de juros.
4.1 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional Simples
Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto racional simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento.Resolução: 5.000,00 10.000,00 |---|---|---|---|---|---| 0 1 2 3 4 5 6 7.000,00 X Obs.:
Usar a fórmula de Valor Nominal (ou Montante) Usar a fórmula de Valor Atual (ou Capital)
(
)
3 . 05 , 0 1 X 1 . 05 , 0 1 00 , 000 . 7 00 , 000 . 10 3 . 05 , 0 1 00 , 000 . 5 + + + = + +5.750,00+10.000,00 = 6.666,67+0,869565217X
X=9.083,33/0,869565217 = 10.445,83
4.2 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Comercial Simples
Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, com o valor de $ 10.000,00 com vencimento para três meses estão sendo negociadas por duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e a segunda para ser paga a seis meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, e data focal três e taxa de 5% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento.
Resolução: 5.000,00 10.000,00 |---|---|---|---|---|---| 0 1 2 3 4 5 6 7.000,00 X 5.000,00/1-0,05.3 + 10.000,00 = 7.000,00 (1-0,05.1) + X (1-0,05.3) 5.882,35 + 10.000,00 – 6.665,00 = 0,85X X = 9.232,35/0,85 = 10.861,59
Suponha que você deva $ 3.000,00 para pagamento daqui a cinco meses e queira renegociar essa divida para pagar em três pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento a trinta dias. Com desconto comercial simples e data focal três, calcule o valor dos pagamentos. Taxa de 3% ao mês.
Resolução:
3.000,00 |---|---|---|---|---| 0 1 2 3 4 5 X X X(
)
(
) (
)
2 . 03 , 0 1 X 1 . 03 , 0 1 X X 2 . 03 , 0 1 00 , 000 . 3 − + − + = − . 2.820,00 = X + 1,030927835X + 1,06382978X -> 911,22 094757622 , 3 00 , 820 . 2 X= =Refazer o exercício anterior considerando com a data focal zero e com o desconto racional simples 3.000,00 |---|---|---|---|---| 0 1 2 3 4 5 X X X + + + + + = + 1 0,05.3 1 2 . 05 , 0 1 1 1 . 05 , 0 1 1 X 5 . 05 , 0 1 00 , 000 . 3 X = 878,79
4.3 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros
Simples
1) Márcia tem duas dívidas, sendo uma de $ 3.500,00 com vencimento para 5 meses e outra de $ 1.500,00 com vencimento para hoje. Ela pretende renegociar essas dívidas para liquidá-las em um único pagamento com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o valor dessa nova dívida, considerando o critério de desconto racional simples, data focal quatro e taxa de 4% a.m.?
R: $ 5.105,38
2) De acordo com o exercício anterior, qual seria o valor do novo pagamento, caso fosse utilizado o critério de desconto comercial simples? Qual é a opção mais vantajosa para Márcia?
R: $ 5.145,71; é mais vantajosa a 1ª opção.
3) Caso você deva $ 15.000,00 para pagar daqui 10 meses e queira renegociar tal dívida para pagar em 3 prestações iguais, vencíveis nos meses 5, 6 e 7, qual seria o valor das prestações, se for adotado o critério de desconto racional simples, uma taxa de 3,5% a.m. e data focal sete?
R: $ 4.355,80
4) Caso a data focal do exercício anterior fosse a zero, qual seria o valor dos pagamentos?
R: $ 3.060,91
5) João tem uma dívida de $ 4.500,00 que vence no próximo mês, mas decide renegociá-la para pagar em duas prestações iguais e seguidas, sendo a primeira com vencimento em 3 meses. Qual o valor das prestações, se adotado o critério de desconto comercial simples, taxa de 2% a.m. e data focal quatro?
6) Uma loja de instrumentos musicais vende um violão Eagle por $ 1.899,00 à vista. Como opção, esse bem pode ser pago em duas parcelas mensais e iguais, vencíveis em 3 e 4 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 24% a.a., qual será o valor dos pagamentos, considerando data focal zero e critério de desconto racional simples?
R: $ 887,38
7) Pedro tem que pagar uma dívida daqui a 6 meses no valor de $ 4.000,00. Caso queira renegociar essa dívida para pagar em 3 parcelas mensais e iguais, com a primeira vencendo daqui a trinta dias, qual será o valor das parcelas se for considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 4% ao mês e data focal 6?
R: $ 1.118,31
8) Ao vender seu carro, João propôs uma entrada de $ 8.000,00 e outra parcela de $ 6.000,00 para 6 meses. O comprador propôs a seguinte alternativa: o pagamento de uma parcela em 3 meses no valor de $ 7.000,00 e o restante em 10 meses. Considerando uma taxa de juros de 2,25% a.m., qual o valor do segundo pagamento? (Data focal 6 e critério desconto racional simples)
R: $ 8.964,70
9) Juliana deseja substituir 3 títulos de $ 10.000,00, $ 20.000,00 e $ 30.000,00, com vencimentos respectivamente para 3, 6 e 9 meses, por um único titulo com vencimento para daqui a 1 ano. Qual será o valor desse novo titulo, uma vez que seja adotada uma taxa de 3% a.m., data focal 1 ano e critério de desconto comercial simples?
R: $ 69.000,00
10) Uma moto custa $ 6.000,00 à vista, porém, após um acordo feito entre o comprador e o vendedor, ficou acertado que o pagamento seria feito em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira daqui a 3 meses. Calcule o valor das parcelas sabendo que a taxa de juros é de 3% a.m., a data focal é a zero e o critério desconto racional.
R: $ 2.350,83
11) Nélio possuía um titulo no valor de $ 300,00 e necessitando de dinheiro adiantou o resgate desse titulo conseguindo um valor de $ 250,00. Considerando que a operação foi realizada sob o critério de desconto comercial simples, data focal zero e taxa de 4% a.m., qual foi o prazo de antecipação?
R: n = 5 meses
12) Uma televisão é vendida por $ 700,00 à vista ou duas parcelas trimestrais de $ 381,211. Considerando a data focal zero e o critério desconto racional simples, calcule a taxa de juros adotada pela loja.
R: i = 2% ao mês
13) Dois títulos: um de $ 15.000,00, com vencimento para hoje e outro de $ 70.000,00, com vencimento para 6 meses serão substituídos um por um único título com vencimento para 3 meses. Considerando o critério de desconto comercial simples, taxa de 84% a.a. e data focal 3, calcule o valor desse novo título.
R: $ 74.287,34
14) E uma concessionária de veículos, um determinado carro custa $15.000,00 à vista, mas na necessidade de limpar o estoque essa concessionária fez um super promoção: oferecendo o carro paga pagamento em 3 parcelas mensais e iguais, com a 1ª para 30
dias e reduziu os juros pela metade, cobrando agora só 2% a.m .Qual o valor das parcelas, uma vez que para o cálculo será adotado o critério de desconto racional simples e data focal zero?
R: $ 5.198,72
15) Uma empresa possuía duas dívidas junto a um determinado banco: $ 900,00 e $ 1.200,00, com vencimento para daqui a 5 e a 8 meses, respectivamente. O gerente do banco propôs transformar as duas dívidas em uma só, com vencimento para 10 meses, adotando-se, para tanto, uma taxa de 4% a.m., critério de desconto comercial simples e data focal zero. Calcule o valor da nova dívida.
R: $ 1.902,86
16) Ricardo comprou uma maquina fotográfica que custava $ 1.800,00 à vista para ser paga em 4 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira prestação daqui 3 meses, qual o valor dos pagamentos, uma vez que foi adotado o critério de desconto racional simples, taxa de 2% a.m. e data focal 6?
R: $ 436,89
17) Tenho uma divida de $ 3.000,00 para pagamento daqui a 4 meses e quero renegociar essa divida para ser paga em 3 pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento pra daqui trinta dias. Qual o valor das parcelas, sabendo que a data focal é 3, desconto comercial simples e taxa de 3% ao mês.
R: $ 3.038,31
18) Rosane possui um titulo no valor de $ 900,00, vencendo para daqui a 60 dias e outra no valor de $ 700,00, vencendo para daqui a 90 dias. Necessitando de dinheiro, Rosane desconta os dois títulos em uma financeira, tendo a operação sido efetuada sob o critério de desconto racional simples, taxa de 3,5% a.m. e data focal zero. Calcule o valor recebido pela mesma.
R: $ 1.474,60
19) Uma determinada motocicleta custa $ 6.000,00 à vista. Quero comprá-la em 3 pagamentos mensais e iguais com vencimento do primeiro pagamento para daqui 60 dias, com taxa de 3,75% a.m. Calcule o valor desses pagamentos considerando o critério de desconto comercial simples e data focal 2.
R: $ 1.778,82
20) Possuo uma divida no valor de $ 3.000,00 para pagamento daqui a três meses. No entanto, quero quitá-la hoje. Considerando o critério de desconto racional simples, taxa de 2,5% a.m. e data focal zero, quanto deverei?
4.4 – Equivalência de Capitais Diferidos com Desconto Racional
Composto
Em juros compostos, a determinação da data focal deixa de ter importância, pois qualquer data focal que venha a ser utilizada leva o resultado da operação ao mesmo valor.
Um determinado bem custa $ 5.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro um mês após a compra, qual será o valor dos pagamentos se for considerado o critério de Desconto Racional Composto e taxa de 3% ao mês? 5.000 |---|---|---| 0 1 2 3 X X X
(
) (
)
(
)
2,828611355 1.767,65 00 , 000 . 5 X 03 , 1 X 03 , 1 X 03 , 1 X 00 , 000 . 5 = + 2 + 3 ⇒ = = Exemplos:(1) Caso você deva pagar $ 15.000,00 daqui a 6 meses e $ 8.000,00 em 12 meses, e queira renegociar essas dívidas para pagar $ 5.000,00 hoje e o restante em 3 meses, qual será o valor dos pagamentos, se for considerado uma taxa de 37% ao ano e critério de desconto racional composto?
(2) Três dividas, a 1ª no valor de $ 3.000,00, a 2ª de $ 7.000,00 e a 3ª de $ 20.000,00, com vencimentos para 15 dias, 5 meses e 11 meses, respectivamente, estão sendo renegociadas para serem pagas hoje. Qual o valor desse pagamento se for usado taxa de 45% ao ano e critério de desconto racional composto?
4.5 – Exercícios sobre Equivalência de Capitais Diferidos com Juros
Compostos
1) Carlos possui duas dívidas, uma no valor de R$ 1.000,00 que vence hoje e outra no valor de R$ 1.500,00 que vence em três meses. Estas dívidas estão sendo negociadas por outras duas, sendo a primeira para daqui a 2 meses, no valor de R$ 750,00 e a segunda a ser paga daqui a 5 meses. Sabendo que taxa é de 2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento utilizando o critério de desconto racional composto.
R: $ 1.868,77
2) Uma máquina de lavar roupa custa R$ 7.000,00 a vista. Caso o cliente queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em três vezes iguais, vencendo o primeiro em um
mês após a compra. Qual será o valor das parcelas considerando a taxa de 3% e o critério de desconto racional composto?
R: R$ 2.474,71
3) Suponha que você tenha uma divida de $10.00,00 com vencimento para daqui a 8 meses, porém você quer negociá-la para pagar $ 7.000,00 e o restante em dois meses. Qual será o valor do segundo pagamento se for considerado a taxa mensal de 2,5% ao mês e o critério do desconto racional composto?
R: $ 1.268,59
4) João aplicou $ 30.000,00 em um banco que rende juros de 37% ao ano, pretendo assim retirar o montante em 9 meses. Entretanto decorrido 2 meses ele retirou $ 5.000,00. Qual o valor retirado por ele no fim de 9 meses?
R: $ 31.981,42
5) João Deve $ 35.000,00 para daqui um ano, porém inesperadamente ele recebeu um dinheiro de uma causa na justiça e propôs o refinanciamento de sua divida, comprometendo a liquidá-la em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira hoje. Quanto será o valor das parcelas se a taxa de juros composto cobrada é de 20% ao ano?
R $ 10.168,58
6) Uma divida de $ 7.350,00 para 12 meses e outra de $ 8.000,00 para 24 meses foi transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a primeira daqui a 6 meses. Qual é o valor das parcelas, se a taxa de juros considerada é de 34% ao ano?
R: $ 3.535,33
7) Henrique deseja comprar uma moto de $ 13.000,00. Ele dispõe de $ 7.000,00 para pagar a vista e pretende financiar o restante em 3 pagamentos iguais e trimestrais, com o primeiro pagamento para daqui a 90 dias. Considerando uma taxa trimestral de 4%, qual será o valor das prestações?
R: $ 2.162,09
8) Uma televisão está sendo vendida por $ 6.500,00 à vista ou pode ser adquirida com uma entrada de $ 2.000,00 mais 3 parcelas mensais, com a primeira vencimento para 60 dias. Sabe-se ainda que a taxa de juros anual é de 17%. Qual é o valor das prestações?
R: $ 1.559,96
9) Uma loja especializada em bicicletas anunciou que vende uma super bicicleta de corrida por $ 1.000,00 à vista ou em dois pagamentos mensais, sendo o primeiro para 3 meses e o segundo para 4 meses. Considerando uma taxa de 14% a.a., calcule o valor dos pagamentos.
R: $ 519,47
10) Uma loja de Móveis tinha uma dívida com seus fornecedores e decidiu negociá-la. O gerente dessa loja conseguiu substituir 3 dívidas de $ 5.000,00, $ 2.000,00 e $ 3.000,00 com prazo de vencimento de 30, 60 e 90 dias, respectivamente, por um único título vencível em 180 dias. Qual é o valor desse título, sabendo que a taxa é de
11) Uma dívida de $ 20.000 para ser paga em 1 ano e outra no valor de $ 30.000 para ser paga em 2 anos foram refinanciadas para serem pagas em 4 parcelas iguais e semestrais, sendo que a 1ª será para daqui 6 meses. Considerando uma taxa de 20% a.a., qual será o valor das parcelas?
R: $ 11.713,72
12) Um comerciante tem uma dívida de $ 14.500,00, vencendo em 5 meses e quer pagar esta dívida parceladamente. Ele conseguiu junto ao banco o parcelamento em 3 vezes iguais, a juros de 2,3% ao mês, vencendo a primeira em um mês. Qual o valor das prestações?
R: $ 4.513,83
13) Determine o valor nominal de um titulo com vencimento para 5 meses que substituirá outros dois no valor de $ 500,00 cada, vencendo em 30 e 60 dias, à taxa de 3% a.m.
R: $ 1.109,12
14) Faltam 3 prestações mensais e iguais de $ 700,00, vencendo a primeira em 30 dias, para quitar um financiamento de um imóvel. Quero renegociar para pagá-las uma única prestação daqui a 60 dias. Considerando uma taxa mensal de 4%, qual o valor deste pagamento?
R: $ 2.101,08
15) Duas dívidas, a primeira no valor de $ 500,00 com vencimento para hoje, e a segunda, com valor de $ 700,00 com vencimento para três meses, estão sendo negociadas por duas outras dívidas: a primeira no valor de $ 400,00, com vencimento para 4 meses e a segunda com vencimento para 6 meses. Considerando o critério de desconto racional composto e taxa de 5,2% ao mês, calcule o valor do segundo pagamento.
R: $ 1.050,04
16) Suponha que você deve $ 12.000,00 para daqui a 6 meses e queira renegociar essa dívida para pagar em três pagamentos bimestrais e iguais, vencendo o primeiro daqui a 60 dias. Considerando uma taxa de 7% ao mês, calcule o valor dos pagamentos.
R: $ 3.472,53
17) Um título com valor nominal de $ 75.000,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título?
R: $ 70.694,92
18) Um comerciante, devedor de um título de $ 400.000,00, com vencimento para 3 anos, deseja substituir essa dívida por dois pagamentos anuais e iguais: um para daqui a 1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo-se que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos.
R: $ 119.047,10
19) Uma televisão de plasma que custa $ 7.000,00 pode ser adquirida em 5 prestações mensais iguais, sendo a primeira na data da compra. Qual o valor de cada uma dessas prestações se for adotada uma taxa composta de 10% a.m.?
20) Um empresário possui dois títulos a pagar com valores de $ 50.000,00 e $ 70.000,00, vencíveis em 3 e 7 meses, respectivamente, a partir da data presente. Sem liquidez para quitar os débitos em suas datas, negocia com a Instituição bancária - que estipula juros compostos de 3% a.m. - para substituição das dívidas por duas outras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada débito nesta nova situação.
5 – Rendas (Série de Pagamentos ou Anuidade)
Há varias formas de pagamento de um bem: como o pagamento no ato da compra, não existindo uma diferença temporal entre o pagamento e o recebimento da mercadoria e, conseqüentemente, a incidência de juros, sendo, neste caso, chamado de pagamento à vista. Outra forma de pagamento é a que há hiato temporal entre o recebimento da mercadoria e o pagamento, havendo assim o pagamento de juros por essa diferença de tempo, já que o valor do dinheiro não é o mesmo no tempo, sendo essa forma chamada de pagamento no futuro. Outra forma é o pagamento parcelado.
O pagamento parcelado possui uma grande variedade de tipos, podendo ser efetuado em varias parcelas seqüencialmente, ou existindo um período de carência para o início dos pagamentos, ou ser pagas em períodos não seqüenciais, etc., dependendo do acordo ajustado entre as partes: o devedor e o credor. O que não diferencia em todos os tipos de Rendas é que sempre haverá a incidência de juros, proporcional ao tempo e/ou ao número das parcelas. Pagamento à vista: P |---| 0 n Pagamento no futuro: n S S = P(1 +i) |---| 0 n
Pagamento parcelado (Rendas ou Série de Pagamentos ou Anuidade):
S P R R R R R R |---|---|---|---|---|---| 0 1 2 3 4 5 6
Qualquer série de pagamento é uma Renda.
R
Variáveis de uma Renda e suas relações
P S
Existem dois tipos de Rendas:
• Rendas Certas ou Determinísticas, que são estudadas pela Matemática Financeira. • Rendas Aleatórias ou Probabilísticas, que são estudadas pela Matemática Atuarial. O nosso curso abordará apenas as Rendas Determinísticas.
Certa (determinística) = Matemática Financeira.
Renda
Aleatória (probabilística) = Matemática Atuarial.
Onde:
P = Valor Atual
R = Valor dos Termos S = Montante
Classificação das Rendas
Postecipadas Imediatas
Periódicas Constantes Antecipadas
Temporárias Diferidas
Certas Não Periódicas Variáveis
Rendas Perpétuas Aleatórias
Temporárias possuem início e fim
Perpetuas não possui um fim, é ad perpetum
Periódicas os pagamentos ou recebimentos ocorrem em todos os períodos Não-periódicas os pagamentos ou recebimentos não ocorrem em todos os períodos Constantes o valor de todos os termos são iguais em
Variáveis o valor de todos os termos não são iguais Imediatas os pagamentos ocorrem a partir do 1º período. Diferidas há uma carência para o início dos pagamentos. Postecipadas os pagamentos ocorrem no final dos períodos. Antecipadas os pagamentos ocorrem no início dos períodos.
Inicialmente, serão estudadas as Rendas constantes do Modelo Básico, que são as Rendas que apresentam as seguintes características:
Renda certa temporária periódica constante imediata postecipada
Simbologia
Nas operações com Rendas (ou Anuidades) será utilizada a seguinte simbologia:
R – Termos da Renda P – Valor Atual. S – Montante. i – Taxa de Juros. n – Número de Termos. Informações importantes:
• As operações com Rendas utilizam juros compostos.
• O montante de uma Renda (S) fica na “altura” do último termo.
5.1 – Rendas do Modelo Básico:
P R R R R R R R ... R |---|---|---|---|---|---|---|---| 0 1 2 3 4 5 6 8 ... n P = soma dos valores atuais de seu termos.
( ) ( ) ( )
2 3( )
N i 1 R i 1 R i 1 R i 1 R P + + + + + + = K5.1.1 – Fórmulas
1)(
(
)
)
+
−
+
=
i.
i
1
1
i
1
.
R
P
N N 2)(
(
)
)
−
+
+
=
1
i
1
i.
i
1
.
P
R
N N 3)(
)
+
−
=
i
1
i
1
.
R
S
N 4)(
)
−
+
=
1
i
1
i
.
S
R
NObs.: estas fórmulas são válidas somente para as Rendas do Modelo Básico.
Exercícios resolvidos:
Um determinado bem custa $ 10.000,00 à vista. Caso você queira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em 24 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra, qual será o valor do pagamento com taxa de 3% ao mês. P = 10.000,00 i = 3% a.m. n = 24 R=?
(
)
(
)
− + + = 1 03 , 0 1 03 , 0 . 03 , 0 1 00 , 000 . 10 R 24 24 R = 590,47Caso você queira dispor de $ 10.000,00 daqui a seis meses, quanto deverá depositar mensalmente em uma instituição financeira que pague juros de 2% ao mês par que no ultimo deposito obtenha a quantia desejada?
