Exerc´ıcios Adicionais - Exerc´ıcios - Autômatos de Pilha. ( n x 0 +x 1 )+x 2 ) +x n )

Exerc´ıcios

3.6 Exerc´ıcios Adicionais

1. Para cada linguagem a seguir, fa¸ca um APD, se poss´ıvel. Se não for poss´ıvel, construa um APN e explique por que não há APD.

a) {0n₁n_{| n ≥ 0}{0}n₁n_{| n ≥ 0};} b) {0n₁n₂k_{| n, k ≥ 0};} c) {0n₁n₀k_{| n, k ≥ 0};} d) {0n₁n₀k_{| n ≥ 1 e k ≥ 0};} e) {02n(120)n_{| n ≥ 0};} f ) {02n₍₀₁₂₎n_{| n ≥ 0};}

g) {w ∈ {0, 1}∗| w tem algum prefixo com mais 1s que 0s}; h) {w ∈ {0, 1}∗_{| w tem algum sufixo com mais 1s que 0s}.}

i) {w ∈ {0, 1}∗| n1(w) = n0(w) + 1}.

j) {w ∈ {0, 1, 2}∗_{| n}

2(w) = n0(w) + n1(w)}.

2. Seja o conjunto das express˜oes booleanas (EBs), definido recursivamente como segue:

a) V e F s˜ao EBs;

b) se α é uma EB, então (∼α) é uma EB;

c) se α e β são EBs, então (α&β), (α|β), (α->β) e (α<->β) são EBs.

Os s´ımbolos V e F significam verdadeiro e falso. Os parênteses são usados para delimitar com precisão o escopo de cada operador (observe que não são permitidos parênteses a mais nem a menos). Os operadores cujos significados são dados pelas tabelas da Figura A.1, página 277, são representados por: ∼ (nega¸cão), & (conjun¸cão), | (disjun¸cão), -> (condicional) e <-> (bicondicional). Construa um APD que reconhe¸ca as EBs.

3. Sejam M1 e M2 APNs. Mostre como construir APNs para:

a) L(M1) ∪ L(M2);

b) L(M1)L(M2);

c) L(M1)∗.

4. Seja um AP cuja pilha pode conter, no máximo, n s´ımbolos. Que limita¸cões terá tal tipo de AP? Justifique sua resposta.

5. Mostre como obter um APN P a partir de um AFNλ M , tal que L(P ) = L(M ), e que P deve ter apenas dois estados e a pilha deve conter no m´aximo um s´ımbolo.

Dica: Fa¸ca o alfabeto de pilha igual ao conjunto de estados do AFNλ.

6. Considere a classe das linguagens reconhecidas por APDs por estado final. Mostre que ela não é fechada sob as opera¸cões:

a) uni˜ao; e b) interse¸c˜ao.

7. Um autômato de duas pilhas é uma sêxtupla M = (E, Σ, Γ, δ, I, F ), em que: • E, Σ, Γ,I e F são como em APNs; e

• δ ´e uma fun¸c˜ao de E × (Σ ∪ {λ}) × (Γ ∪ {λ}) × (Γ ∪ {λ}) para D, sendo D constitu´ıdo pelos subconjuntos finitos de E × Γ∗_{× Γ}∗_.

Uma transi¸cão nesse tipo de autômato manipula duas pilhas simultaneamente. Assim, a transi¸cão [e′, z1, z2] ∈ δ(e, a, A1, A2), que pode ser representada em um

diagrama de estados por:

e a, A1/z1, A2/z2 e′

significa, no caso em que nenhuma das entidades envolvidas for λ, que “estando no estado e, se o próximo s´ımbolo de entrada for a, o s´ımbolo no topo da pilha 1 for A1 e o s´ımbolo no topo da pilha 2 for A2, há uma transi¸cão para o estado

e′_{, A}

1 é desempilhado e z1 é empilhado na pilha 1, e A2 é desempilhado e z2 é

empilhado na pilha 2. Fa¸ca autˆomatos de duas pilhas que reconhe¸cam: a) {ww | w ∈ {a, b}∗_};

b) {an_bn_cn_{| n ≥ 0};}

c) {an_bn_cn_dn_{| n ≥ 0}.}

8. Na Figura 2.48, página 120, está ilustrado um AFD com fita bidirecional, isto é, um AFD cujo cabe¸cote de leitura pode se movimentar para a esquerda ou para a direita após a leitura de um s´ımbolo. Seja um AP com esse mesmo tipo de fita bidirecional. Fa¸ca uma formaliza¸cão desse conceito. Em seguida, construa, se poss´ıvel, APs com fitas bidirecionais que reconhe¸cam:

a) {an_bn_cn_{| n ≥ 0};}

b) {an_bn_cn_dn_{| n ≥ 0}.}

9. Seja a gram´atica G = ({A, B}, {0, 1}, R, A) em que R tem apenas as regras: A → 0A1 | B

B → 1B0 | λ a) O que ´e L(G)?

b) Prove que L(G) não é regular. c) Fa¸ca uma gramática que gere L(G).

10. Construa gram´aticas livres do contexto para as linguagens: a) {am_bn_c2(m+n)_{| m, n ≥ 0};}

b) {w ∈ {a, b, c}∗_{| n}

a(w) = nb(w) + nc(w)}.

c) {w ∈ {a, b}∗| na(w) = 2nb(w)};

d) {w ∈ {a, b}∗_{| n}

a(w) 6= nb(w)};

e) {w ∈ {a, b}∗_{| w nao ´e pal´ındromo};}

f ) {am_bn_ck_{| n > m ou n > k};}

g) {am_bn_ci_{| m + n > i};}

h) {am_bn_cp_dq_{| m + n ≥ p + q};}

i) {w ∈ {a, b}∗_{| w n˜ao ´e da forma xx}.}

11. Fa¸ca uma GLC que gere todas as express˜oes regulares sobre o alfabeto {0, 1}. 12. Seja G a gram´atica ({P, A, B}, {a, b}, R, P ), em que R consta de:

P → AP B | λ A → a_{Ab | λ} B → bBa | ba

a) Construa uma deriva¸c˜ao mais `a esquerda de aabbba.

b) Desenvolva a árvore de deriva¸cão para a deriva¸cão constru´ıda em (a). c) Defina L(G) utilizando nota¸cão de conjunto.

13. Quantas deriva¸cões levam à AD da Figura 3.16, página 158? Encontre uma forma de calcular o número de deriva¸cões correspondentes a uma AD qualquer.

14. Seja a gram´atica G: P → a+P | A A → P +b | c

a) Qual ´e a linguagem gerada por G? b) Mostre que G ´e amb´ıgua.

c) Construa uma GLC n˜ao amb´ıgua equivalente a G. 15. Seja G a gram´atica

P → aP a | bP b | aAb A → aA | Ab | λ

a) Que linguagem ´e gerada por G? b) Mostre que G ´e amb´ıgua.

c) Construa uma gram´atica n˜ao amb´ıgua equivalente a G. 16. Seja a GLC G = ({B}, {0, 1}, R, B), em que R consta das regras:

a) Que linguagem ´e L(G)? b) Mostre que G ´e amb´ıgua.

c) A seguinte GLC ´e equivalente a G: B → 0B1 | C

C → 0C11 | D D → 0D111 | λ

Mostre que esta GLC tamb´em ´e amb´ıgua.

17. Mostre que a gramática a seguir é amb´ıgua e construa uma equivalente não amb´ıgua:

P → AB A → aA | λ B → bBb | a | λ

18. Mostre que linguagens regulares n˜ao s˜ao inerentemente amb´ıguas. 19. Seja a GLC G = ({A}, {(, )}, R, A), em que R consta das regras:

A → (A)A | (A) | λ a) Mostre que G ´e amb´ıgua.

b) Construa uma GLC equivalente a G n˜ao amb´ıgua. c) Construa um APD que reconhe¸ca L(G).

20. Sejam L1= {ambn| m 6= n} e L2 = {bmcn| m 6= n}. A GLC a seguir gera L1∪L2:

P → X | Y X → aXb | A | B Y → bY c | B | C A → aA | a C → cC | c B → bB | b

a) Mostre que essa GLC ´e amb´ıgua.

b) Fa¸ca uma GLC equivalente n˜ao amb´ıgua, se poss´ıvel.

21. Sejam G1 = (V1, Σ, R1, P1) e G2= (V2, Σ, R2, P2) GLCs n˜ao amb´ıguas, e considere

a GLC G3 = (V1∪ V2∪ {P }, Σ ∪ {#}, R3, P ) tal que:

• V1∩ V2= ∅;

• P 6∈ V1∪ V2; e

A gram´atica G3 pode ser amb´ıgua? Dica: Considere 2 casos: (a) # ∈ Σ e (b)

# 6∈ Σ.

22. Construa uma GLC n˜ao amb´ıgua que gere {w ∈ {0, 1}∗_{| n}

0(w) = n1(w)}.

23. Seja G uma GLC que contenha, entre outras, as regras: hcmdi → se hexp-reli ent˜ao hcmdi

hcmdi → se hexp-reli ent˜ao hcmdi sen˜aohcmdi

em que hcmdi e hexp-reli são variáveis úteis e se, então e senão são terminais. Mostre que G é amb´ıgua. Como eliminar a ambiguidade causada por tais regras? 24. Seja G a gramática

P → aP | aP bP | λ

Prove que L(G) = {x ∈ {a, b}∗_{| todo prefixo de x tem no m´ınimo tantos as}

quantos bs}. Construa um APD M tal que LF(M ) = L(G).

25. Prove que toda linguagem livre do contexto pode ser reconhecida por um AP sem transi¸cões λ. Para isso, mostre como obter um AP a partir de uma GLC na forma normal de Greibach, de forma similar àquela do Exemplo 98, porém sem as transi¸cões λ lá explicitadas.

26. Prove que toda linguagem livre do contexto é gerada por uma gramática na qual cada uma das regras é de uma das formas:

i. P → λ ii. A → a iii. A → aB iv. A → aBC

sendo P a vari´avel de partida e A, B, C ∈ V e a ∈ Σ. (Dica: Vocˆe pode partir de uma gram´atica na forma normal de Greibach.)

27. Prove que o processo do passo 5 do Método 21, de obten¸cão de GLC na FNG (página 177), termina com nenhuma regra X sendo da forma X → Y w em que Y é uma variável e o número de X é menor ou igual ao de Y .

28. Prove que existe procedimento de decis˜ao para determinar se uma LLC ´e: a) vazia;

b) finita.

29. Prove que existe procedimento de decis˜ao para determinar, para uma palavra w e uma GLC G arbitr´arias, se w ∈ L(G).

a) L é uma linguagem livre do contexto; b) L não é uma linguagem livre do contexto.

31. Prove que as seguintes linguagens n˜ao s˜ao linguagens livres do contexto: a) {02n| n ∈ N};

b) {w ∈ {0, 1}∗| n1(w) = n2+ n0(w) para algum n ∈ N};

c) {0m₁n₂k_{| m < n < k};}

d) {0m₁n_ck_{| k = min(m, n)} (min(m, n) ´e o menor valor entre m e n.)}

e) {0n₁n2

| n ≥ 0}; f ) {0n₁n₂k_{| n ≤ k ≤ 2n};}

g) {ww | w ∈ {0, 1}∗_};

h) {wwR_{w | w ∈ {0, 1}}∗_}.

32. Prove que as seguintes afirmativas são ou não verdadeiras, considerando os casos em que (i) X é finita e (ii) X é regular.

a) se L é uma LLC, então L − X é uma LLC;

b) se L não é uma LLC, então L − X não é uma LLC; c) se L não é uma LLC, então L ∪ X não é uma LLC.

33. Mostre que a classe das linguagens livres do contexto é fechada sob as seguintes opera¸cões (a é um certo s´ımbolo do alfabeto de L):

a) pref_a(L) = {x | xa ∈ L}; b) suf_a(L) = {y | ay ∈ L};

c) restoa(L) = {xy | xay ∈ L}.

d) pref(L) = {x | xy ∈ L}. e) suf(L) = {y | xy ∈ L}.

No documento Autômatos de Pilha. ( n x 0 +x 1 )+x 2 ) +x n ) (páginas 66-71)