Linguagens Livres do Contexto: Propriedades

Exerc´ıcios

3.5 Linguagens Livres do Contexto: Propriedades

Nesta se¸cão, algumas propriedades das LLCs, com propósitos análogos àqueles da Se¸cão 2.4, serão apresentadas. Inicialmente, será mostrado o lema do bombeamento (LB) para LLCs, cuja aplica¸cão principal é a demonstra¸cão de que uma linguagem não é livre de contexto. Em seguida, serão apresentadas algumas propriedades de fechamento para essa classe de linguagens.

Na Se¸cão 2.4, o LB para linguagens regulares foi obtido raciocinando-se a partir dos autômatos que reconhecem tais linguagens. Já o LB para linguagens livres de contexto é mais facilmente obtido raciocinando-se a partir das gramáticas que geram tais linguagens. Mais especificamente, o LB será obtido a partir da estrutura das árvores de deriva¸cão associadas a GLCs.

Lema 57 _Seja _{L uma linguagem livre do contexto. Ent˜}_{ao existe uma constante} _{k > 0} tal que para qualquer palavra z ∈ L com |z| ≥ k existem u, v, w, x e y que satisfazem

as seguintes condi¸c˜oes:

• z = uvwxy; • |vwx| ≤ k; • vx 6= λ; e

• uvi_wxi_{y ∈ L para todo i ≥ 0.}

Prova

Se a LLC L é finita, o lema vale por vacuidade: basta tomar uma constante k maior que o tamanho da maior palavra de L. Assim, seja G = (V, Σ, R, P ) uma GLC sem regras λ, nem regras unitárias, que gere uma LLC L infinita. Como L é infinita, existe palavra em L de todo tamanho. No entanto, V e R são finitos. Isso nos leva a concluir que existe um número k > 0 tal que qualquer palavra z ∈ L com |z| ≥ k terá uma AD da forma mostrada na Figura 3.28, na qual X é uma variável que é um rótulo que se repete em algum caminho simples que se inicia na raiz. Nessa figura, u, v, w, x, y ∈ Σ∗ _{e qualquer uma dessas subpalavras pode ser λ. Mas, como G não tem}

regras λ nem unitárias, pelo menos um dentre v e x é diferente de λ. E pelo mesmo motivo, a repeti¸cão do rótulo X em uma subAD com raiz de rótulo X ocorre, no mais tardar, quando a subpalavra gerada correspondente à subAD, vwx, tem k s´ımbolos. Logo, tem-se que |vwx| ≤ k e vx 6= λ. Pela estrutura da AD, vê-se que:

• P ⇒ uXy;∗ • X ⇒ vXx; e∗ • X ⇒ w.∗

Tem-se, ent˜ao, que P ⇒ uXy∗ ⇒ uv∗ i_Xxi_{y, para i ≥ 0, e, portanto, P} _{⇒ uv}∗ i_wxi_y,

i ≥ 0. Assim, uvi_wxi_{y ∈ L para todo i ≥ 0.}

Para aqueles com tendˆencia para a formalidade, aqui vai um enunciado mais formal: L ´e LLC → ∃k ∈ N∀z ∈ L[|z| ≥ k → ∃u, v, w, x, y(z = uvwxy ∧ |vwx| ≤ k ∧ |vx| ≥ 1 ∧ ∀i ∈ Nuvi_wxi_y_{∈ L)].}

P X X .. . .. . u v w x y

Figura 3.28 Esquema de AD para palavra “grande”.

O exemplo a seguir ilustra como utilizar o LB para mostrar que uma linguagem n˜ao ´e livre do contexto.

Exemplo 100 A linguagem L = {an_bn_cn_{| n ∈ N} n˜ao ´e livre do contexto, como}

mostrado abaixo, por contradi¸c˜ao, aplicando-se o lema do bombeamento.

Suponha que L seja uma LLC. Seja k a constante referida no LB, e seja z = akbkck_. Como |z| > k, o lema diz que existem u, v, w, x e y de forma que as seguintes condi¸c˜oes se verificam:

• z = uvwxy; • |vwx| ≤ k; • vx 6= λ; e

• uvi_wxi_{y ∈ L para todo i ≥ 0.}

Suponha, ent˜ao, que ak_bk_ck_{= uvwxy, |vwx| ≤ k e vx 6= λ. Considera-se dois casos:}

• vx contém algum a. Como |vwx| ≤ k, vx não contém cs. Portanto, uv2_wx2_y

cont´em mais as que cs. Assim, uv2wx2y 6∈ L.

• vx não contém a. Como vx 6= λ, uv2_wx2_{y contém menos as que bs e/ou cs. Dessa}

forma, uv2wx2y 6∈ L.

Logo, em qualquer caso uv2wx2y 6∈ L, contrariando o LB. Portanto, a suposi¸cão original de que L é livre do contexto não se justifica. Conclui-se que L não é LLC.

Exemplo 101 A linguagem L = {0n_{| n é primo} não é livre do contexto, como pode}

ser observado a seguir.

Suponha que L seja uma LLC. Seja k a constante referida no LB, e seja z = 0n, em que n é um número primo maior que k. A existência de n é garantida pelo teorema provado no Exemplo 131 da Se¸cão A.1, página 282. Como |z| > k, o lema diz que existem u, v, w, x e y tais que:

• z = uvwxy; • |vwx| ≤ k; • vx 6= λ; e

• uvi_wxi_{y ∈ L para todo i ≥ 0.}

Para provar que L não é livre do contexto, basta então supor que z = uvwxy, |vwx| ≤ k e vx 6= λ, e encontrar um i tal que uvi_wxi_{y 6∈ L, contrariando o LB. Pelas informa¸cões}

anteriores, tem-se que uviwxiy = 0n+(i−1)(|vx|) (pois z = 0n). Assim, i deve ser tal que n + (i − 1)|vx| não seja um número primo. Ora, para isso, basta fazer i = n + 1, obtendo-se n + (i − 1)|vx| = n + n|vx| = n(1 + |vx|), que não é primo (pois |vx| > 0). Desse modo, uvn+1wxn+1y 6∈ L, contradizendo o LB. Logo, L não é LLC.

O fato de que as LLCs são fechadas sob as opera¸cões de união, concatena¸cão e fecho de Kleene pode ser demonstrado trivialmente utilizando-se gramáticas, como mostrado no próximo teorema. Antes, os métodos nos quais se baseia o teorema.

M´etodo 24 GLC para a uni˜ao

Sejam duas LLCs L1e L2com gram´aticas G1= (V1, Σ1, R1, P1) e G2 = (V2, Σ2, R2, P2),

com V1∩ V2 = ∅. Uma gram´atica para L1∪ L2 seria (V3, Σ3, R3, P3), em que:

• V3 = V1∪ V2∪ {P3};

• Σ3 = Σ1∪ Σ2;

• R3 = R1∪ R2∪ {P3→ P1, P3 → P2}; e

• P3 6∈ V1∪ V2.

M´etodo 25 GLC para a concatena¸c˜ao

Sejam duas LLCs L1e L2com gram´aticas G1= (V1, Σ1, R1, P1) e G2 = (V2, Σ2, R2, P2),

com V1∩ V2 = ∅. Uma gram´atica para L1L2 seria (V3, Σ3, R3, P3), em que:

• V3 = V1∪ V2∪ {P3};

• Σ3 = Σ1∪ Σ2;

• R3 = R1∪ R2∪ {P3→ P1P2}; e

• P3 6∈ V1∪ V2.

M´etodo 26 GLC para o fecho de Kleene

Seja uma LLC L com gram´atica G = (V, Σ, R, P ). Uma gram´atica para L∗ seria (V′_{, Σ, R}′_{, P}′_{), em que:}

• V′_{= V ∪ {P}′_};

• R′ _{= R ∪ {P}′_{→ P P}′_{, P}′ _{→ λ}; e}

Teorema 30 A classe das LLCs é fechada sob união, concatena¸cão e fecho de Kleene.

Prova

Segue trivialmente das t´ecnicas apresentadas nos M´etodos 24 a 26.

O seguinte teorema mostra que, ao contrário das linguagens regulares, as LLCs não são fechadas sob as opera¸cões de interse¸cão e complementa¸cão.

Teorema 31 A classe das LLCs não é fechada sob interse¸cão nem sob complementa¸cão.

Prova

Sejam as linguagens livres de contexto L1 = {anbnck| n, k ≥ 0} e L2 = {anbkck| n, k ≥

0}. Tem-se que L1 ∩ L2 = {anbncn| n ≥ 0}, que, como mostrado no Exemplo 100,

não é LLC. Dado esse contra-exemplo, conclui-se que as LLCs não são fechadas sob interse¸cão. De Morgan diz que L1∩ L2 = L1∪ L2. Logo, como as LLCs são fechadas

sob união, se elas fossem fechadas sob complementa¸cão, seriam fechadas também sob interse¸cão. Assim, as LLCs não são fechadas sob complementa¸cão.

Apesar de a classe das LLCs não ser fechada sob interse¸cão, a interse¸cão de uma LLC L com uma linguagem regular R é sempre uma LLC, como mostra o teorema seguinte. A idéia, concretizada no método a seguir, similar à utilizada para construir um AFD para L1∩ L2 a partir de AFDs para L1 e L2, é simular o funcionamento “em

paralelo” de um APN que reconhece L e de um AFD que reconhece R. Evidentemente, a pilha do APN resultante ´e aquela do APN que reconhece L.

M´etodo 27 APN para interse¸c˜ao de LLC com regular

Sejam M1 = (E1, Σ1, Γ, δ1, I, F1) um APN para L e M2 = (E2, Σ2, δ2, i, F2) um AFD

para R. Um APN que reconhece L ∩ R ´e M3 = (E3, Σ3, Γ, δ3, I′, F3), em que:

• E3 = E1× E2;

• Σ3 = Σ1∩ Σ2;

• para cada par de transi¸c˜oes [e′

1, z] ∈ δ1(e1, a, A) e δ(e2, a) = e′2, em que e1, e′1 ∈

E1, e2, e′2 ∈ E2, a ∈ Σ3, A ∈ Γλ, e z ∈ Γ∗, h´a uma transi¸c˜ao [(e′1, e′2), z] ∈

δ3((e1, e2), a, A); e para cada transi¸cão λ, [e′1, z] ∈ δ1(e1, λ, A), há transi¸cões

[(e′₁, e2), z] ∈ δ3((e1, e2), λ, A) para cada e2∈ E2.

• I′= I × {i}; e • F3= F1× F2.

Teorema 32 Seja L uma LLC e R uma linguagem regular. Ent˜aoL ∩ R ´e uma LLC. Prova

Sejam M1 um APN para L, M2 um AFD para R e M3 para L ∩ R como obtido no

M´etodo 27. Pode-se mostrar, por indu¸c˜ao sobre n, que para todo i1∈ I, w ∈ Σ∗, e1 ∈

E1e e2 ∈ E2, que [[i1, i], w, λ] n

⊢M3 [[e1, e2], λ, λ] se, e somente se, [i1, w, λ]

⊢M1 [e1, λ, λ]

e ˆδ2(i, w) = e2.

O exemplo a seguir usa o Teorema 32 para mostrar que uma linguagem n˜ao ´e LLC. Exemplo 102 A linguagem

L = {w ∈ {a, b, c}∗| w tem o mesmo número de as, bs e cs} não é livre do contexto, como se pode observar a seguir.

Suponha que L seja uma LLC. Então, como R = L(a∗b∗c∗) é uma linguagem regular, pelo Teorema 32 L ∩ R é LLC. Mas, L ∩ R = {an_bn_cn_{| n ∈ N}, que não é LLC, como}

mostrado no Exemplo 100. Logo, L n˜ao ´e LLC.

No Cap´ıtulo 2 mostrou-se que o problema de determinar se L(F) é vazia, em que F é um AF, ER ou GR qualquer, é decid´ıvel. Esse mesmo problema é decid´ıvel, caso F seja um AP ou uma GLC, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 103 Aqui, mostra-se que o problema de determinar se L = ∅, em que L é uma linguagem livre do contexto, é decid´ıvel. Já que um AP pode ser tranformado em uma GLC equivalente, e vice-versa, basta usar um dos dois formalismos, AP ou GLC. Seja uma GLC G = (V, Σ, R, P ) qualquer. Aplicando-se o algoritmo da Figura 3.19a, página 164, obtém-se o conjunto SG = {X ∈ V | X ⇒ w e w ∈ Σ∗ ∗}. Ora L(G) = ∅ se

e somente se P 6∈ SG.

Vários problemas decid´ıveis para as linguagens regulares não são decid´ıveis para linguagens livres do contexto. Alguns exemplos são (L, L1, L2 são LLCs):

• Determinar se L = Σ∗_.

• Verificar se L1∩ L2= ∅.

• Determinar se L1⊆ L2.

• Decidir se L1= L2.

A prova da indecidibilidade de alguns desses problemas, assim como de alguns outros, ser´a vista no Cap´ıtulo 5.

Exerc´ıcios

a) {w ∈ {0, 1}∗_{| w tem n´}_{umero par de 0s};}

b) {w ∈ {0, 1}∗| w tem n´umero igual de 0s e 1s}.

2. Use o lema do bombeamento para mostrar que as seguintes linguagens n˜ao s˜ao livres do contexto: a) {an2 | n ≥ 0}; b) {an_b2n_an_{| n ≥ 0};} c) {am_bn_ck_{| m < k e n < k};} d) {an_bn_ck_{| k ≥ n};} e) {an_bk_cn_dk_{| k, n > 0}.} 3. Sejam

L1 = {anbn| n ≥ 0} e L2 = {w ∈ {a, b}∗| |w| ´e m´ultiplo de 5}.

Mostre, para cada linguagem a seguir, que ela ´e ou n˜ao uma LLC: a) L1;

b) (L1L2)∗;

c) L1∩ L2;

d) L1∩ L2.

4. Para cada linguagem a seguir, mostre que ela é ou não é LLC: a) {w ∈ {a, b, c}∗_{| n} a(w) = nb(w)}; b) {w ∈ {a, b, c}∗_{| n} a(w) 6= nb(w)}; c) {w ∈ {a, b, c}∗| na(w) = nb(w) = nc(w)}; d) O complemento de {w ∈ {a, b, c}∗_{| n} a(w) = nb(w) = nc(w)}; e) {w ∈ Σ∗_{| |w| ≥ 100 e n}

f(w) = nt(w) = nc(w)}, sendo Σ o conjunto das 26

letras min´usculas do alfabeto da l´ıngua portuguesa; f ) {w ∈ {a, b, c}∗_{| n}

c(w) ´e quadrado perfeito};

g) {ak_bm_cn_{| m > k e m > n}.}

5. Dˆe exemplos de linguagens L1 e L2 tais que L1 ⊂ L2 e:

a) L1 é LLC e L2 também é.

b) L1 é LLC, mas L2 não é.

c) L1 não é LLC, mas L2 é.

d) L1 não é LLC e L2 também não é.

6. Mostre que sim ou que não ou que às vezes sim e às vezes não: L1− L2 é LLC

se:

b) L1 ´e regular e L2 ´e LLC;

c) L1 ´e LLC e L2 ´e LLC;

d) L1 não é LLC e L2 é regular.

7. Seja uma árvore estritamente binária ordenada (infinita) em que cada vértice tenha exatamente dois filhos, o da esquerda e o da direita. Um giro na árvore é uma sequência de movimentos de três tipos, para o filho da esquerda (e), para o

filho da direita (d) e para cima (para o pai) (c), em que: • o giro inicia e termina na raiz;

• na raiz, os ´unicos movimentos poss´ıveis s˜ao e e d;

• em um vértice diferente da raiz, qualquer um dos três movimentos é poss´ıvel; Desta forma, giros podem ser representados por palavras no alfabeto {e, d, c}. Seja a linguagem L = {w ∈ {e, d, c}∗_{| w representa um giro}. Por exemplo,}

λ, ec, edccec ∈ L, e c, edc 6∈ L. a) Prove que L não é regular. b) Mostre que L é livre do contexto.

8. Seja uma árvore estritamente binária ordenada (infinita) como na questão an- terior, e defina-se um giro econômico como um giro em que um movimento de

um vértice para cada um dos filhos pode ser efetuado no máximo uma vez. (Com isto, um movimento de um dos filhos para o pai é sempre efetuado uma única vez.) Exemplos de giros econômicos: λ, ec, ecdc, edccdc. Giros não econômicos: ecec, edccec. Fa¸ca uma GLC que gere {w ∈ {e, d, c}∗_{| w representa um giro}

econˆomico}.

9. Mostre que as LLCs s˜ao fechadas sob reverso.

10. Mostre que se L é uma LLC e R uma linguagem regular, então L − R é LLC. 11. Mostre que as LLCs não são fechadas sob diferen¸ca nem sob diferen¸ca simétrica. 12. Mostre que a classe das linguagens não inerentemente amb´ıguas não é fechada

sob as opera¸cões de união e interse¸cão.

13. Sejam as defini¸cões de homomorfismo e de substitui¸cão apresentadas nos Exerc´ıcios 26 e 28 da Se¸cão 2.9, página 126. Mostre que as LLCs são fechadas sob substitui¸c˜ao e sob homomorfismo. (Dica: Use gram´aticas para mostrar o fechamento sob substitui¸cão.)

14. Construa um AP para L1 = {w ∈ {0, 1}∗| n1(w) > n0(w)}. Construa um AFD

No documento Autômatos de Pilha. ( n x 0 +x 1 )+x 2 ) +x n ) (páginas 59-66)