5.3 Experimentos Num´ ericos de Reconstru¸c˜ ao da Fronteira
5.3.1 Experimentos Num´ ericos - Caso λ > 0
,
comj = 1, ..., N P. O valor do parˆametro dedamping,µ, no algoritmo de Levenberg-Marquardt, pode ser tomado fixo ou variando a cada itera¸c˜ao ou ainda variando de acordo com algum crit´erio estabelecido. Nos pr´oximos experimentos foi tomado εj = 10−5, para todo j = 1, ..., N P, e foi escolhido o valor inicial de µ = 0.001 e, a cada itera¸c˜ao, o valor de µ ´e multiplicado por 0.1. Este valor incial e a taxa de decaimento foram escolhidos de forma emp´ırica, ap´os v´arios experimentos.
5.3 Experimentos Num´ ericos de Reconstru¸ c˜ ao da Fronteira
5.3.1 Experimentos Num´ ericos - Caso λ > 0
Os experimentos num´ericos desta subse¸c˜ao foram feitos tomando o parˆametroλ= 1, ou seja, considerando a equa¸c˜ao de Helmholtz modificada. Em todos os experimentos foi adotado o n´umero de dire¸c˜oes igual a 36, ou seja, M = 36.
Al´em disso, em todos os experimentos foi considerada tamb´em a a¸c˜ao de ru´ıdo, ou seja, foi considerada uma margem de erro nos dados medidos. Os dois tipos de ru´ıdos considerados ser˜ao detalhados a seguir.
Oru´ıdo relativo ´e imposto sobre as medi¸c˜oes na fronteira discretizada do dom´ınio, ou seja, sobre os pontos de coloca¸c˜ao, segundo o m´etodo das solu¸c˜oes fundamentais.
Desta forma, o dado de Cauchy, em cada elemento desta lista, ´e multiplicado por uma fun¸c˜ao randˆomica que possui uma varia¸c˜ao (−ε1, ε1), ou seja, seg ´e o dado de Cauchy na fronteira, ent˜ao
˜
g =g(1 +ζ1)
´e o dado de Cauchy com ruido relativoζ1 ∈(−ε1, ε1).
Por outro lado, o ru´ıdo absoluto, apesar de tamb´em ser imposto sobre os pontos de coloca¸c˜ao do dom´ınio, o dado de Cauchy, em cada elemento desta lista, ´e somado a uma fun¸c˜ao randˆomica que possui uma varia¸c˜ao (−ε2, ε2), ou seja, seg ´e o dado de Cauchy na fronteira, ent˜ao
˜
g =g+ζ2
´e o dado de Cauchy com ruido absolutoζ2 ∈(−ε2, ε2).
A seguir, foram realizados 3 experimentos. No experimento 5.3.1, foi considerada somente a influˆencia do ru´ıdo relativo, no experimento 5.3.2, foi considerada a in-fluˆencia dos dois tipos de ru´ıdos expostos acima e no experimento 5.3.3 foi conside-rado que o suporte seja um quadconside-rado, sem considerar ru´ıdo.
Al´em disso, todos os experimentos num´ericos foram feitos no programaMathematica, vers˜ao 9, e rodados em um notebook com processador Intel core i7, 2.8 GHz, mem´oria RAM 4 GB, 1333 MHz DDR3 em um sistema operacional OS X 10.9.5 .
Experimento 5.3.1. Neste experimento foi considerado que a fronteira do suporte original, ∂ω, seja parametrizada por r(t) = (xc, yc) + (1.1 − 0.6 cos(3t))(cos(t), sen(t)), t ∈ [0,2π], onde (xc, yc) = (0.3,−0.1), e que o dom´ınio, Ω, seja o interior da circunferˆencia R(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈[0,2π], como ´e mos-trado na figura 5.1a, onde o dado de Dirichlet foi considerado identicamente nulo.
Al´em disso, foi considerado que o n´umero de parˆametros seja 7, ou seja, N P = 7.
Isto significa que estaremos considerando 7 termos na expans˜ao em s´erie de Fourier da fronteira.
Foi considerado tamb´em no problema original 200 pontos de coloca¸c˜ao e 100 pontos de fonte e no problema aproximado 160 pontos de coloca¸c˜ao e 80 pontos de fonte.
O vetor inicial dos parˆametros da reconstru¸c˜ao foi A(0) = (rM,0,0,0,0,0,0), onde o raio equivalente, rM = 0.321, foi calculado pela equa¸c˜ao (4.8).
Ap´os 7 itera¸c˜oes, de aproximadamente25scada, foi obtida a reconstru¸c˜ao sem ru´ıdo, mostrada na figura 5.1b, onde a figura em vermelho ´e a original e a figura em verde
´e a reconstru´ıda.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
(a)
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
(b)
Figura 5.1: Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ao, ap´os 7 itera¸c˜oes, sem ru´ıdo (b) Al´em disso, foram considerados ru´ıdo relativo de 1%,5% e 10% no dado de Neu-mann, dado correspondente `a derivada normal da solu¸c˜ao, pelo MFS, do problema direto para o suporte aproximado. Em todos os casos, obtemos boas reconstru¸c˜oes,
pois a partir da quinta itera¸c˜ao, os conjuntos j´a encontraram-se muito pr´oximos uns dos outros, como pode ser visto na figura 5.2. Novamente, a figura em vermelho ´e o suporte original, a figura em verde ´e o suporte reconstru´ıdo (melhor aproxima¸c˜ao) e as figuras em cinza s˜ao os suportes gerados em cada itera¸c˜ao.
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Até a iteração 10, sem ruido, M=36, N5=7, =0.001,=0.1 , 200 X 160
(a)
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Iteração 10, ruido rel. 5%abs. 0%, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(b)
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Iteração 10, ruido rel. 10%abs. 0%, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(c)
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Iteração 10, ruido rel. 30%abs. 0%, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(d)
Figura 5.2: Ru´ıdo Relativo: 1% (a) , 5% (b) , 10% (c), 30% (d)
Outro aspecto estudado foi a influˆencia da varia¸c˜ao do valor de λ na aproxima¸c˜ao pelo m´etodo. Nos experimentos anteriores, foi considerado λ = 1. A seguir, na figura 5.3, est˜ao as recontru¸c˜oes relativas a λ = 0.1, λ = 0.55, λ = 4 e λ = 10. ´E importante notar que, `a medida que o valor deλaumenta, o valor do raio equivalente tamb´em aumenta, como pode ser observado na figura 5.3d, onde a reconstru¸c˜ao continuou mostrando-se bastante eficiente.
Al´em disso, tamb´em foram feitos experimentos com o mesmo tipo de dom´ınio e fonte, mas com tamanhos diferentes. Na figura 5.4 , foi considerado o dom´ınio como o c´ırculo centrado na origem com raio 2 e suporte da fonte possuindo parametriza¸c˜ao da fronteira dada por r(t) = (0.3,−0.1) + (0.8−0.4 cos(3t))(cos(t), sen(t)). A re-constru¸c˜ao, sem ru´ıdo, foi bastante eficiente, pois a partir da terceira itera¸c˜ao n˜ao h´a altera¸c˜ao percept´ıvel, como pode ser visto na figura 5.4b.
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Iteração 10, ruido total 0%, k=0.1, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(a)
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Iteração 10, ruido total 0%, k=0.547723, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(b)
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Iteração 10, ruido total 0%, k=4, M=36, N5=7, =0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(c)
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4
Iteração 10, ruido total 0%, k=10, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(d)
Figura 5.3: Varia¸c˜ao emλ: λ= 0.1 (a) ,λ = 0.55 (b) ,λ= 4 (c), λ= 10 (d)
-2 -1 1 2
-2 -1 1 2
(a)
-0.5 0.5 1.0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
Iteração 10, ruido total 0%,raio=2,b1=0.8,b2=-0.4, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(b)
Figura 5.4: Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ao, ap´os 7 itera¸c˜oes, sem ru´ıdo (b) Outro experimento feito foi considerando o mesmo dom´ınio que o anterior, por´em o suporte da fonte possuindo parametriza¸c˜ao da fronteira dada porr(t) = (0.3,−0.1)+
(1.1−0.6 cos(3t))(cos(t), sen(t)). Neste experimento, existe uma parte da fronteira do suporte da fonte que est´a pr´oxima da fronteira do dom´ınio, como pode ser
ob-servado na figura 5.5a. A ideia do experimento foi verificar se, apesar desta proxi-midade, a reconstru¸c˜ao pelo m´etodo continuaria eficiente. De fato esta proximidade n˜ao influenciou na reconstru¸c˜ao, sem ru´ıdo, como pode ser observado na figura 5.5b.
Al´em disso, mesmo considerando ru´ıdo, a influˆencia deste parece ter sido menor, em compara¸c˜ao com o dom´ınio anterior, como pode ser observado na figura 5.6, onde foram considerados ru´ıdos relativos de 1%, 5%, 10% e 50%.
-2 -1 1 2
-2 -1 1 2
(a)
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0
Iteração 7, ruido total 0%,raio=2,b1=1.1,b2=-0.6, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(b)
Figura 5.5: Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ao, ap´os 7 itera¸c˜oes, sem ru´ıdo (b)
Experimento 5.3.2. Neste experimento foi considerado que a fronteira do suporte original, ∂ω, seja parametrizada por r(t) = (xc, yc) + (0.3 − 0.1 cos(5t))(cos(t), sen(t)), t∈[0,2π], onde, novamente,(xc, yc) = (0.3,−0.1), e que o dom´ınio, Ω, seja o interior da circunferˆencia R(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0,2π], como ´e mostrado na figura 5.7a, onde o dado de Dirichlet foi considerado identica-mente nulo.
Novamente foram consideradas 36 dire¸c˜oes diferentes para a reconstru¸c˜ao, ou seja, foi considerado M = 36. Al´em disso, foi considerado agora que o n´umero de parˆametros sejaN P = 11, ou seja, foi considerada uma expans˜ao com11termos na s´erie de Fourier, e que o valor inicial deµe sua taxa de decaimento permanecessem os mesmos como no experimento anterior.
Assim, o vetor inicial foi dado por A(0) = (rM,0,0, ...,0), onde o raio equivalente, rM = 0.320988, foi calculado pela equa¸c˜ao (4.8). Desta forma, ap´os 10 itera¸c˜oes, com aproximadamente 54s cada, foi obtida, sem ru´ıdo, a reconstru¸c˜ao que aparece em verde na figura 5.7b, onde a figura em vermelho ´e a original e os contornos em cinza s˜ao os suportes obtidos em cada itera¸c˜ao.
Neste experimento tamb´em foram considerados dois tipos de ru´ıdos, o relativo e o absoluto.
Primeiramente, considerando apenas a influˆencia do ru´ıdo relativo de 1%, 5% e 10%, as reconstru¸c˜oes mostraram-se mais sens´ıveis a este ru´ıdo do que aquelas do
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0
Iteração 7, ruido total 0%,raio=2,b1=1.1,b2=-0.6, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(a)
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0
Iteração 7, ruido relativo 5%,raio=2,b1=1.1,b2=-0.6, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(b)
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0
Iteração 7, ruido relativo 10%,raio=2,b1=1.1,b2=-0.6, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(c)
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0
Iteração 7, ruido relativo 50%,raio=2,b1=1.1,b2=-0.6, M=36, N5=7,=0.001,=0.1 , 200pt X 160pt
(d)
Figura 5.6: Ru´ıdo Relativo: 1% (a) , 5% (b) , 10% (c), 50% (d)
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
(a)
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Até a iteração 10, sem ruido, M=36, N5=11,=0.001,=0.1 , 240 X 200
(b)
Figura 5.7: Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ao, ap´os 10 itera¸c˜oes, sem ru´ıdo (b)
experimento anterior. Este fato ocorre, provavelmente, devido aos sistemas a se-rem resolvidos, tanto do m´etodo das solu¸c˜oes fundamentais para obter a solu¸c˜ao do problema direto, quanto do m´etodo de Levenberg-Marquardt para minimiza¸c˜ao
do funcional relativo ao erro cometido, estarem maiores, possuindo, possivelmente, maiores erros num´ericos.
Na figura 5.8, podem ser comparadas as reconstru¸c˜oes devido `a a¸c˜ao do ru´ıdo rela-tivo, ap´os10itera¸c˜oes. Na figura 5.8c, referente ao ru´ıdo relativo de 10%, o suporte em verde, correspondente `a melhor aproxima¸c˜ao, n˜ao foi relativo `a ´ultima iterac˜ao, como nos outros casos, e sim devido `a pen´ultima itera¸c˜ao.
Por outro lado, considerando apenas a influˆencia do ru´ıdo absoluto de0.01%, 0.05%
e 0.1%, as reconstru¸c˜oes mostraram-se mais sens´ıveis a este tipo de ru´ıdo do que ao ru´ıdo relativo, como era esperado. Na figura 5.9, podem ser comparadas as re-constru¸c˜oes devido ao ru´ıdo absoluto, ap´os 10 itera¸c˜oes. Observe que, considerando ru´ıdo absoluto de 0.05% e 0.1%, o suporte aproximado divergiu do original, como pode ser percebido nas figuras 5.9b e 5.9c, respectivamente. A ´unica reconstru¸c˜ao que convergiu e que est´a pr´oxima do original ´e a relativa ao ru´ıdo absoluto de0.01%, como pode ser observado na figura 5.9a.
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Iteração 10, ruido rel. 1%abs. 0%, M=36, N5=11,=0.001,=0.1 , 240pt X 200pt
(a)
0.2 0.4 0.6
-0.4 -0.2 0.2
Iteração 10, ruido rel. 5%abs. 0%, M=36, N5=11,=0.001,=0.1 , 240pt X 200pt
(b)
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.4 -0.2 0.2 0.4
Iteração 10, ruido rel. 10%abs. 0%, M=36, N5=11,=0.001,=0.1 , 240pt X 200pt
(c)
Figura 5.8: Ru´ıdo Relativo: 1% (a) , 5% (b) , 10% (c)
Experimento 5.3.3. Neste experimento foi considerado que a fronteira do suporte original,∂ω, seja o quadrado dado porr(t) = (xc, yc)+ξ(t)(cos(t), sen(t)), t∈[0,2π],
-0.2 0.2 0.4 0.6
Iteração 10, ruido rel. 0%abs. 0.05%, M=36, N5=11,=0.001,=0.1 , 240pt X 200pt
(b)
Iteração 10, ruido rel. 0%abs. 0.1%, M=36, N5=11, =0.001,=0.1 , 240pt X 200pt
(c)
que o dom´ınio, Ω, seja, novamente, o interior da circunferˆencia R(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0,2π], como ´e mostrado na figura 5.10a, onde o dado de Di-richlet foi considerado identicamente nulo.
Novamente foi considerado M = 36, N P = 11 e que o valor inicial de λ e sua taxa de decaimento permanecessem os mesmos como nos experimentos anteriores. Desta forma, ap´os 10 itera¸c˜oes, com aproximadamente 40s cada, a reconstru¸c˜ao obtida,
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
(a)
0.2 0.4 0.6
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1
(b)
Figura 5.10: Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ao, ap´os 10 itera¸c˜oes, sem ru´ıdo (b)
sem ru´ıdo, ´e mostrada na figura 5.10b.