PROBLEMA INVERSO DE RECONSTRUC ¸ ˜ AO E IDENTIFICAC ¸ ˜ AO DE FONTES EM EQUAC ¸ ˜ OES EL´IPTICAS

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PROBLEMA INVERSO DE RECONSTRUC ¸ ˜ AO E IDENTIFICAC ¸ ˜ AO DE FONTES EM EQUAC ¸ ˜ OES EL´IPTICAS

Roberto Mamud Guedes da Silva

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Engenharia Nuclear, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´ arios

`

a obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Doutor em Engenharia Nuclear.

Orientadores: Nilson Costa Roberty Carlos Jos´ e Santos Alves

Rio de Janeiro

Mar¸co de 2016

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PROBLEMA INVERSO DE RECONSTRUC ¸ ˜ AO E IDENTIFICAC ¸ ˜ AO DE FONTES EM EQUAC ¸ ˜ OES EL´IPTICAS

Roberto Mamud Guedes da Silva

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS ´ ARIOS PARA A OBTENC ¸ ˜ AO DO GRAU DE DOUTOR EM CIˆ ENCIAS EM ENGENHARIA NUCLEAR.

Examinada por:

Prof. Nilson Costa Roberty, D.Sc.

Prof. Eduardo Gomes Dutra do Carmo, D.Sc.

Prof. Rolci de Almeida Cipolatti, D.Sc.

Prof. Cesar Javier Niche Mazzeo, D.Sc.

Prof. Antˆ onio Jos´ e da Silva Neto, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

MARC ¸ O DE 2016

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Silva, Roberto Mamud Guedes da

Problema Inverso de Reconstru¸c˜ ao e Identifica¸c˜ ao de Fontes em Equa¸c˜ oes El´ıpticas/Roberto Mamud Guedes da Silva. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2016.

XI, 97 p.: il.; 29, 7cm.

Orientadores: Nilson Costa Roberty Carlos Jos´ e Santos Alves

Tese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Nuclear, 2016.

Referˆ encias Bibliogr´ aficas: p. 92 – 97.

1. Problema Inverso. 2. Reconstru¸c˜ ao de Fonte.

3. Equa¸c˜ ao El´ıptica. I. Roberty, Nilson Costa et al.

II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Nuclear. III. T´ıtulo.

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Agradecimentos

A Deus, Senhor de todas as coisas, que sempre aben¸coou-me e proporcionou-me mais esta conquista importante.

A minha esposa, Rozieli, que sempre esteve ao meu lado em todos os momentos de minha vida, em particular, neste quatro anos de doutorado. Sou grato a Deus por ter me concedido uma esposa t˜ ao s´ abia, amorosa, carinhosa, paciente e que sempre me animou nos momentos mais dif´ıceis desta caminhada.

Aos meus pais, Magaly e Laercio, por sempre terem me incentivado e apoiado na minha vida, onde se esfor¸caram para manter acesos meus sonhos pessoais e acadˆ emicos. Ao meu irm˜ ao, Rodrigo, por sempre ter estado pronto a ouvir minhas preocupa¸c˜ oes e anseios da universidade e pelas conversas descontra´ıdas que sempre nos relaxaram e nos fizeram dar risadas. A toda minha fam´ılia pela compreens˜ ao nos momentos ausentes e pelo carinho demonstrado em toda minha vida. Aos meus sogros, Rosˆ angela e Gilmar, e cunhados, Rosana e Ramon, pelo acolhimento sincero e carinhoso que obtive em sua casa, onde percebi que fazia parte de mais uma fam´ılia.

Aos meus orientadores, Nilson e Carlos, por todo conhecimento adquirido nestes quatro anos. N˜ ao imaginava que conseguiria amadurecer academicamente de forma profunda em t˜ ao pouco tempo. Agrade¸co ao prof. Nilson, pelas conversas e ensi- namentos n˜ ao somente do conte´ udo, como tamb´ em da vida acadˆ emica. Agrade¸co ao prof. Carlos, pelo acolhimento durante os trˆ es meses de doutorado sandu´ıche no IST, Lisboa, al´ em do suporte recebido ap´ os meu retorno ao Brasil. Todas as contribui¸c˜ oes foram de grande valia para este trabalho.

Aos professores Eduardo Gomes Dutra do Carmo, Rolci de Almeida Cipolatti, Cesar Javier Niche Mazzeo e Antˆ onio Jos´ e da Silva Neto, por terem aceito o convite de participa¸c˜ ao da defesa e pelas sugest˜ oes para a vers˜ ao final desta tese.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ ogico (CNPq) pelo aux´ılio financeiro durante o per´ıodo de doutoramento no Brasil.

A Coordena¸c˜ ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES), pelo

aux´ılio financeiro durante o per´ıodo de doutorado sandu´ıche no Instituto Superior

T´ ecnico (IST), em Lisboa, Portugal.

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Resumo da Tese apresentada ` a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necess´ arios para a obten¸c˜ ao do grau de Doutor em Ciˆ encias (D.Sc.)

PROBLEMA INVERSO DE RECONSTRUC ¸ ˜ AO E IDENTIFICAC ¸ ˜ AO DE FONTES EM EQUAC ¸ ˜ OES EL´IPTICAS

Roberto Mamud Guedes da Silva Mar¸co/2016

Orientadores: Nilson Costa Roberty Carlos Jos´ e Santos Alves Programa: Engenharia Nuclear

Neste trabalho estamos interessados em estudar o problema inverso de fonte para Equa¸c˜ oes de Helmholtz. Supondo que o termo fonte seja dado por uma fun¸c˜ ao caracter´ıstica, apresentamos um novo resultado de reconstru¸c˜ ao do centro de gravi- dade (centroide) do suporte da fonte a partir de medi¸c˜ oes na fronteira. A recons- tru¸c˜ ao da fronteira deste suporte ´ e feita atrav´ es de um m´ etodo num´ erico computa- cional.

Al´ em disso, atrav´ es de uma nova classe de dados de Neumann, ´ e estabelecido um resultado de estabilidade condicional.

Experimentos num´ ericos relacionados com reconstru¸c˜ ao do centroide e da fronteira

do suporte e com estabilidade na reconstru¸c˜ ao de fontes s˜ ao apresentados.

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Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

INVERSE SOURCE RECONSTRUCTION AND IDENTIFICATION PROBLEM IN ELLIPTIC EQUATIONS

Roberto Mamud Guedes da Silva March/2016

Advisors: Nilson Costa Roberty Carlos Jos´ e Santos Alves Department: Nuclear Engineering

In this work, we are interested in study the inverse source problem for Helmholtz Equations. Supposing that the source term is given by a characteristic function, we present a new result about the reconstruction of gravity center (centroid) of the source support from boundary measurements. The reconstruction of boundary support is obtained by a computational numerical method.

Furthermore, through a new class of Neumann data, a conditional stability result is established.

Numerical experiments related to centroid and boundary support reconstruction and

to stability of source reconstruction are presented.

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Sum´ ario

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas xi

1 Revis˜ ao Bibliogr´ afica 1

2 M´ etodos Num´ ericos Computacionais 6

2.1 M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais . . . . 6

2.1.1 Objetivo Geral . . . . 6

2.2 O Algoritmo de Levenberg-Marquardt . . . 10

3 O Problema Inverso de Fonte para Equa¸ c˜ oes de Helmholtz 13 3.1 Apresenta¸c˜ ao dos Problemas Direto e Inverso . . . 13

3.2 O Funcional de Reciprocidade . . . 14

3.3 A Equivalˆ encia com o Problema Inverso de Salto . . . 16

4 A Reconstru¸ c˜ ao do Centroide de Fontes Caracter´ısticas para Equa¸ c˜ oes de Helmholtz 19 4.1 O Teorema de Caracteriza¸c˜ ao do Centroide . . . 19

4.2 Experimentos Num´ ericos para Determina¸c˜ ao do Centroide . . . 26

4.2.1 Experimento, via MFS, com solu¸c˜ ao anal´ıtica no caso circular 26 4.2.2 Experimentos Num´ ericos para Obten¸c˜ ao do Centroide - Caso N˜ ao-Circular . . . 29

4.3 O Caso de Fontes Pontuais . . . 32

5 A Reconstru¸ c˜ ao da Fronteira de Fontes Caracter´ısticas usando o M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais 35 5.1 O Problema Direto via MFS . . . 35

5.2 O Funcional a ser Minimizado . . . 39

5.3 Experimentos Num´ ericos de Reconstru¸c˜ ao da Fronteira . . . 41

5.3.1 Experimentos Num´ ericos - Caso λ > 0 . . . 41

5.3.2 Experimentos Num´ ericos - Caso λ < 0 . . . 49

(8)

6 O Problema de Estabilidade Condicional para Equa¸ c˜ oes de

Helmholtz 53

6.1 A Estabilidade em Problemas Inversos . . . 53 6.2 A Estabilidade Condicional em L ¹ e em L ^∞ . . . 55 6.3 Experimentos Num´ ericos de Estabilidade do Problema Inverso de Fonte 63 7 O Problema Inverso de Fonte para Equa¸ c˜ oes El´ıpticas 69 7.1 O Operador El´ıptico de Segunda Ordem . . . 69 7.2 O Problema de Advec¸c˜ ao-Difus˜ ao Estacion´ ario . . . 73 7.2.1 A Formula¸c˜ ao Variacional para o Problema El´ıptico Modificado 75 7.3 O Funcional de Reciprocidade para o Problema El´ıptico Modificado . 77 7.4 A F´ ormula do Centroide para o Problema El´ıptico Modificado . . . . 79 7.4.1 Caso Fonte Caracter´ıstica . . . 79 7.4.2 Caso Fonte Pontual . . . 87

8 Conclus˜ oes e Trabalhos Futuros 90

8.1 Conclus˜ oes . . . 90 8.2 Trabalhos Futuros . . . 91

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 92

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Lista de Figuras

4.1 Erro entre a solu¸c˜ ao anal´ıtica, Q, e a solu¸c˜ ao pelo MFS . . . 28 4.2 Dom´ınio do Problema - 7-Estrelado dentro da Elipse . . . 30 4.3 Dom´ınio do Problema - Caso Quadrado dentro do C´ırculo . . . 31 4.4 Dom´ınio do Problema - 3-Estrelado dentro c´ırculo, κ complexo . . . . 31 5.1 Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ ao, ap´ os 7 itera¸c˜ oes, sem ru´ıdo

(b) . . . 42 5.2 Ru´ıdo Relativo: 1% (a) , 5% (b) , 10% (c), 30% (d) . . . 43 5.3 Varia¸c˜ ao em λ: λ = 0.1 (a) , λ = 0.55 (b) , λ = 4 (c), λ = 10 (d) . . . 44 5.4 Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ ao, ap´ os 7 itera¸c˜ oes, sem ru´ıdo

(b) . . . 44 5.5 Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ ao, ap´ os 7 itera¸c˜ oes, sem ru´ıdo

(b) . . . 45 5.6 Ru´ıdo Relativo: 1% (a) , 5% (b) , 10% (c), 50% (d) . . . 46 5.7 Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ ao, ap´ os 10 itera¸c˜ oes, sem ru´ıdo

(b) . . . 46 5.8 Ru´ıdo Relativo: 1% (a) , 5% (b) , 10% (c) . . . 47 5.9 Ru´ıdo Absoluto: 0.01% (a) , 0.05% (b) , 0.1% (c) . . . 48 5.10 Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ ao, ap´ os 10 itera¸c˜ oes, sem ru´ıdo

(b) . . . 49 5.11 Caso λ < 0: Dom´ınio considerado (a) e reconstru¸c˜ ao, ap´ os 7 itera¸c˜ oes,

sem ru´ıdo (b) . . . 50 5.12 Caso κ Complexo: Ru´ıdo Relativo: 1% (a) , 10% (b) , 30% (c) . . . . 51 5.13 Caso κ complexo: Ru´ıdo Absoluto: 1% (a) , 5% (b) . . . 52 6.1 Dom´ınio Considerado (a) e dado de Neumann original, g _η (b) . . . 64 6.2 Ru´ıdo Absoluto 1%: Dado Artificial (a), Suporte Reconstru´ıdo (b),

Dado Original e o Calculado (c) . . . 64 6.3 Ru´ıdo Absoluto 5%: Dado Artificial (a), Suporte Reconstru´ıdo (b),

Dado Original e o Calculado (c) . . . 65

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6.4 Ru´ıdo Absoluto 10%: Dado Artificial (a), Suporte Reconstru´ıdo (b), Dado Original e o Calculado (c) . . . 66 6.5 Ru´ıdo Absoluto 20%: Dado Artificial (a), Suporte Reconstru´ıdo (b),

Dado Original e o Calculado (c) . . . 67 6.6 Ru´ıdo Absoluto 30%: Dado Artificial (a), Suporte Reconstru´ıdo (b),

Dado Original e o Calculado (c) . . . 68

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Lista de Tabelas

4.1 Erro do Centroide - Caso Circular . . . 28

4.2 Erro do Centroide - Caso Circular - Ru´ıdo Dirichlet fixo 1% . . . 29

4.3 Erro do Centroide - Caso Circular - Ru´ıdo Dirichlet fixo 10% . . . 29

4.4 Erro do Centroide - Caso 7-Estrelado . . . 30

4.5 Erro do Centroide - Caso Quadrado . . . 31

4.6 Erro do Centroide - Caso κ complexo . . . 32

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Cap´ıtulo 1

Revis˜ ao Bibliogr´ afica

Neste cap´ıtulo apresentamos uma revis˜ ao bibliogr´ afica dos temas estudados nesta tese.

Nas ´ ultimas trˆ es d´ ecadas, a teoria de problemas inversos tem se tornado cada dia mais presente na pesquisa cient´ıfica. Uma das raz˜ oes do porquˆ e esta ´ area vem ganhando mais visibilidade ´ e a grande quantidade de aplica¸c˜ oes em diversas ´ areas como a matem´ atica, a engenharia e a medicina.

Essencialmente, podemos separar os problemas inversos em duas categorias: proble- mas inversos de reconstru¸c˜ ao de fonte e reconstru¸c˜ ao de parˆ ametros.

Em problema inverso de reconstru¸c˜ ao de fonte, estamos interessados em determi- nar ou reconstruir o termo fonte a partir de informa¸c˜ oes j´ a conhecidas. Em geral, queremos determinar a partir do dado de Cauchy sobre a fronteira do dom´ınio em quest˜ ao. Dependendo do modelo estudado, estamos lidando com aplica¸c˜ oes diferen- tes, onde podemos citar alguns exemplos como a detec¸c˜ ao n˜ ao-destrutiva de objetos, a identifica¸c˜ ao de falhas materiais ou at´ e mesmo a detec¸c˜ ao de tumores atrav´ es de exames n˜ ao-invasivos, como a tomografia computadorizada, [1].

Em problemas inversos de reconstru¸c˜ ao de parˆ ametros, estamos interessados em determinar alguns parˆ ametros a partir de medi¸c˜ oes (dado de Cauchy) na fronteira do dom´ınio. Estes parˆ ametros informam sobre caracter´ısticas materiais, como por exemplo, a condutividade, a viscosidade, se¸c˜ oes de choque de espalhamento e cisa- lhamento. Como exemplo, podemos citar a identifica¸c˜ ao de propriedades materiais, como a condutividade, atrav´ es de medi¸c˜ oes externas e de algoritmos computaci- onais. Estas propriedades podem, imediatamente, reportar falhas, anomalias ou caracter´ısticas de materiais, [2], [3]. Al´ em disso, v´ arias t´ ecnicas utilizadas podem ser aplicadas em diferentes contextos, com as devidas modifica¸c˜ oes, e por conta disso esta ´ e uma ´ area em expans˜ ao. Outros exemplos podem ser encontrados em [4].

A quest˜ ao central ao estudarmos problemas inversos de fontes para modelos com operadores fortemente el´ıpticos e com dado de Cauchy na fronteira ´ e a unicidade.

Em [5] e [6], ´ e mostrado que somente um dado sobre a fronteira (dado de Dirichlet

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nulo) cont´ em toda informa¸c˜ ao espec´ıfica a ser usada na reconstru¸c˜ ao do termo fonte para as equa¸c˜ oes de Helmholtz e de Poisson, respectivamente. Logo, a falta de unicidade ´ e uma consequˆ encia disto.

Desta forma, o problema inverso de fonte ´ e mal-posto, no sentido de Hadamard, [7], n˜ ao s´ o por quest˜ oes associadas ` a regularidade do operador inverso (quest˜ ao relacionada ` a estabilidade), mas tamb´ em pela n˜ ao unicidade da fonte obtida com os dados na fronteira. Um exemplo desta situa¸c˜ ao ´ e mostrado no cap´ıtulo 7, para a equa¸c˜ ao de difus˜ ao-advec¸c˜ ao. Podemos citar outros 2 exemplos de n˜ ao-unicidade da reconstru¸c˜ ao do termo fonte: No problema inverso de fonte para o modelo de EEG - electroencephalography, El Badia e Ha Duong, [8], mostraram um exemplo de n˜ ao unicidade para fontes dipolares equivalentes. No problema inverso de fonte para equa¸c˜ ao de Helmholtz, El Badia e Nara, [9], mostraram que para fontes da forma λχ _ω , onde a intensidade λ e o subcojunto ω s˜ ao desconhecidos, n˜ ao ´ e poss´ıvel reconstruir estas duas informa¸c˜ oes a partir do mesmo dado de Cauhcy, com o mesmo n´ umero de onda.

Ao estudarmos a implementa¸c˜ ao num´ erica destes modelos, tamb´ em encontramos um problema relacionado com unicidade. Se a fonte n˜ ao pertencer a uma classe especial de fun¸c˜ oes, obteremos um sistema alg´ ebrico com posto deficiente, ver [10]. Por outro lado, se a fonte pertencer a alguma classe especial, os valores singulares do sistema alg´ ebrico de dimens˜ ao finita que aproxima o operador decai gradualmente a zero.

As principais ferramentas de regulariza¸c˜ ao a serem usadas nesta segunda situa¸c˜ ao, e consequentemente neste problema, s˜ ao trucamento, m´ etodo de Tikhonov e m´ etodos iterativos do tipo Landweber, ver [10] e [11], e m´ etodos semi iterativos baseados em espa¸co de Krilov, ver tamb´ em [12].

Logo, para contornar a falta de unicidade, podemos restringir a classe de fun¸c˜ oes que esperamos reconstruir. Desta forma, com esta informa¸c˜ ao a priori sobre o termo fonte, o problema inverso torna-se bem-posto. As principais classes de fun¸c˜ oes, F , consideradas s˜ ao:

• Fontes pontuais dadas por distribui¸c˜ oes do tipo delta de Dirac, δ: Neste caso, temos uma classe de fontes da forma

A = (

F =

m 1

X

j=1

λ _j δ _S _j +

m 2

X

k=1

p _k · ∇δ _C _k )

.

Podemos citar, por exemplo, [8], onde El Badia e Ha Doung consideraram como termo fonte uma combina¸c˜ ao de fontes mono e dipolar para equa¸c˜ ao que modela EEG,

−∇ · (σ∇u) = F.

Al´ em disso, em [13] foi considerado este tipo de fonte para a equa¸c˜ ao linear de

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difus˜ ao-dispers˜ ao-rea¸c˜ ao unidimensional para o estudo de difus˜ ao de poluentes.

A equa¸c˜ ao considerada foi

∂ _t u(x, t) − D∂ _xx u(x, t) + V ∂ _x u(x, t) + Ru(x, t) = λ(t)δ(x − S),

para 0 < x < l e 0 < t < T , onde u ´ e a concentra¸c˜ ao de poluente, V ´ e a velocidade do rio, D ´ e o coeficiente de dispers˜ ao, R ´ e o coeficiente de rea¸c˜ ao, 0 < S < l e λ(t) ∈ L ² (0, T ). Em [9] , foi considerada a equa¸c˜ ao de Helmholtz com fonte sendo uma combina¸c˜ ao linear de fontes monopolares.

• Fontes caracter´ısticas de subsconjuntos do dom´ınio do problema: Neste caso, temos a classe

A = {F = λχ _ω } .

Podemos citar, por exemplo, [14], onde Roberty e Alves consideraram o pro- blema inverso de Poisson de reconstru¸c˜ ao num´ erica de fonte a partir dos dados de Cauchy. Por outro lado, em [15], Sousa e Roberty consideraram o problema de difus˜ ao-advec¸c˜ ao estacion´ ario e propuseram um m´ etodo num´ erico, baseado na discretiza¸c˜ ao das vari´ aveis do problema e na resolu¸c˜ ao de um sistema linear associado, para determinar uma aproxima¸c˜ ao do subconjunto ω.

Em um trabalho cl´ assico de 1938, Novikov, [16], estabeleceu unicidade na reconstru¸c˜ ao de fontes caracter´ısticas a partir dos dados na fronteira para a equa¸c˜ ao de Poisson. A fonte considerada foi uma fun¸c˜ ao caracter´ıstica de um subconjunto estrelado do dom´ınio. Se consideramos a equa¸c˜ ao de Helmholtz, Novikov tamb´ em estabeleceu unicidade na reconstru¸c˜ ao de fon- tes caracter´ısticas de subconjuntos convexos do dom´ınio.

Tamb´ em podemos citar [17], [18], [19];

• Fontes regulares que perten¸cam a classes lineares do tipo C (λ, F ) =

f ∈ H ¹ (Ω); (∆ − λ)f = F ,

onde em [20], Alves et al. mostraram que se o termo fonte do problema de Pois- son pertence a esta classe linear, ent˜ ao este pode ser unicamente identificado pelo dado de Cauchy sobre a fronteira;

• Fontes f que podem ser escritas separando as vari´ aveis, ou seja, como um produto de fun¸c˜ oes de vari´ aveis diferentes, onde podemos citar, por exemplo, [6], que considerou este tipo de fonte para o problema de Poisson, supondo o conhecimento de observa¸c˜ oes em parte da fronteira do dom´ınio;

• Fontes ac´ usticas, onde s˜ ao considerados v´ arios n´ umeros de onda na equa¸c˜ ao

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de Helmholtz, por exemplo, como feito em [5]. Em [21], foi considerado que o termo fonte pudesse ser escrito como um produto de uma fun¸c˜ ao do n´ umero de onda (frequˆ encia), κ, por uma fun¸c˜ ao da vari´ avel espacial, com isto um resultado de identifica¸c˜ ao completa foi estabelecido usando a formula¸c˜ ao fraca do problema de valor de contorno

( ∇ · (a∇u) + κ ² bu = −h(κ)f (x), em Ω

∂ _ν u − Λu = 0, sobre ∂Ω

onde a, b ∈ L ^∞ (Ω), al´ em de supor algumas condi¸c˜ oes adicionais sobre a, b para trabalhar com um problema uniformemente el´ıptico.

Outro aspecto que podemos estudar do problema inverso ´ e a estabilidade. O problema inverso de estabilidade seria verificar se partindo de dados de Cauchy

”pr´ oximos”, em um certo sentido, conseguimos determinar fontes ”pr´ oximas”, em um certo sentido.

Em [22], Yamamoto considerou a equa¸c˜ ao do calor em um retˆ angulo

∂ _t u(x ₁ , x ₂ , t) = ∆u(x ₁ , x ₂ , t) + σ(t)f(x ₁ , x ₂ ), (x ₁ , x ₂ ) ∈ (0, 1) × (0, 1), 0 < t < T, com condi¸c˜ ao inicial nula e condi¸c˜ ao de Neumann nula, e provou que se σ ´ e conhe- cido, com σ(0) 6= 0, ent˜ ao f pode ser determinada unicamente a partir da fronteira da base u(x ₁ , 0, t), com 0 < x ₁ < 1 e 0 < t < T . Al´ em disso, se f estiver em um determinado espa¸co, ent˜ ao foi provada uma desigualdade entre a norma L ² de f e a norma H ¹ de u(·, 0, ·), com 0 < x ₁ < 1 e 0 < t < T .

Chamamos um resultado de estabilidade de ”condicional”se este resultado depende de hip´ oteses adicionais sobre os dados iniciais, dados de fronteira ou classe de fun¸c˜ oes consideradas.

Em [23], Blasten et al. consideraram problemas de valor de contorno para operadores de Schr¨ odinger bidimensionais da forma

L _q (x, D)u = ∆u + qu,

onde q ∈ L ^p (X), p > 2, ´ e a fun¸c˜ ao potencial, com X ⊂ R ² , subconjunto limitado com fronteira regular. Considerando uma classe de potenciais menos regulares, neste mesmo trabalho, Blasten et al. provaram uma estimativa de estabilidade condicional de ordem logar´ıtmica. Al´ em disso, provaram um resultado de unicidade na classe de potenciais L ^P , para p > 2.

Desta forma, este trabalho possui o interesse de estudar o problema inverso de fon-

tes para equa¸c˜ oes el´ıpticas de segunda ordem, com coeficientes constantes. Para

a equa¸c˜ ao de Helmholtz, vamos estabelecer um novo resultado de reconstru¸c˜ ao

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do centro de massa (centroide) para o problema inverso de fonte caracter´ıstica.

Para reconstruir a fronteira deste suporte, vamos utilizar o algoritmo de Levenberg- Marquardt para minimizar o funcional ”erro cometido”, que ser´ a definido de forma adequada posteriormente. Al´ em disso, atrav´ es de uma nova classe de dados de Neu- mann considerada, vamos apresentar um novo resultado de estabilidade condicional para o problema inverso de fonte posto para equa¸c˜ ao de Helmholtz.

Parte dos resultados novos desta tese podem ser encontrados em [24].

Desta forma, esta tese est´ a organizada da seguinte maneira:

No cap´ıtulo 2 s˜ ao apresentados dois m´ etodos num´ ericos que ser˜ ao usados neste trabalho. A saber, o m´ etodo das solu¸c˜ oes fundamentais, a ser usado para determinar solu¸c˜ ao num´ erica de problemas el´ıpticos e o algoritmo de Levenberg-Marquardt, a ser usado na minimiza¸c˜ ao de um funcional a partir de um conjunto de parˆ ametros.

No cap´ıtulo 3, s˜ ao apresentadas as equa¸c˜ oes de Helmholtz, e os respectivos pro- blemas direto e inverso relacionados a esta equa¸c˜ ao. Neste cap´ıtulo, tamb´ em s˜ ao definidos alguns operadores integrais que ser˜ ao importantes para os resultados que ser˜ ao apresentados posteriormente.

No cap´ıtulo 4, estabelecemos um novo resultado sobre reconstru¸c˜ ao do centro de massa (centroide) do suporte de uma fonte caracter´ıstica no problema inverso de fonte para equa¸c˜ oes de Helmholtz. Experimentos num´ ericos para a verifica¸c˜ ao da efic´ acia desta f´ ormula proposta tamb´ em s˜ ao apresentados.

No cap´ıtulo 5, estudamos o problema de reconstru¸c˜ ao da fronteira do suporte de fontes caracter´ısticas. Para isto, ser´ a estudado o problema direto com fonte carac- ter´ıstica para a equa¸c˜ ao de Helmholtz atrav´ es do m´ etodo das solu¸c˜ oes fundamentais, apresentado no cap´ıtulo 2. Com esta solu¸c˜ ao num´ erica e atrav´ es de um novo funcio- nal definido, s˜ ao realizados experimentos num´ ericos para a reconstru¸c˜ ao da fronteira de suportes de fontes caracter´ısticas

No cap´ıtulo 6, supondo a existˆ encia e a unicidade do problema inverso de fonte caracter´ıstica para o operador de Helmholtz, apresentamos um novo resultado sobre estabilidade condicional para problemas inversos de fonte. Experimentos num´ ericos relacionados ao problema de estabilidade, comparando suportes dos termos fontes e dados de Cauchy, s˜ ao apresentados.

No cap´ıtulo 7, estudamos o problema inverso de fonte para equa¸c˜ oes el´ıpticas de segunda ordem com coeficientes constantes e mostramos que, atrav´ es de duas mu- dan¸cas de vari´ aveis apropriadas, ´ e suficiente estudar as equa¸c˜ oes de Helmholtz.

Neste cap´ıtulo, tamb´ em ´ e estabelecida uma vers˜ ao da f´ ormula para reconstru¸c˜ ao do centroide para este tipo de equa¸c˜ ao.

Por fim, no cap´ıtulo 8, apresentamos as conclus˜ oes sobre o trabalho desenvolvido e

algumas propostas para trabalhos futuros.

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Cap´ıtulo 2

M´ etodos Num´ ericos Computacionais

Neste cap´ıtulo, vamos apresentar dois m´ etodos num´ ericos utilizados ao longo deste trabalho.

Na se¸c˜ ao 2.1, ser´ a apresentado o M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais para determinar solu¸c˜ ao num´ erica do problema direto considerado posteriormente.

Na se¸c˜ ao 2.2, ser´ a apresentado o M´ etodo de Levenberg-Marquardt para minimiza¸c˜ ao de funcional a partir de um conjunto de parˆ ametros. Este m´ etodo ser´ a usado para reconstru¸c˜ ao da fronteira do suporte da fonte caracter´ıstica.

2.1 M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais

O m´ etodo das solu¸c˜ oes fundamentais (method of fundamental solution - MFS), ´ e uma t´ ecnica usada para determinar solu¸c˜ ao num´ erica de certos problemas de valor de fronteira, [28]. Este m´ etodo foi proposto por Kupradze e Alekside na d´ ecada de 60, por exemplo, nos trabalhos [29], [30] e [31]. Al´ em disso, este m´ etodo ´ e associado

`

a classe dos m´ etodos de contorno. Um dos m´ etodos de contorno mais conhecidos ´ e o m´ etodo de elemento de contorno (boundary element method - BEM ), onde podemos citar, por exemplo, [32] e [33]. O MFS tem sido utilizado recentemente para resolver v´ arios tipos de problemas inversos, [43].

2.1.1 Objetivo Geral

Conforme comentado na introdu¸c˜ ao do cap´ıtulo, vamos definir o m´ etodo das solu¸c˜ oes fundamentais para determinar uma solu¸c˜ ao num´ erica para certas equa¸c˜ oes el´ıpticas homogˆ eneas. Vamos seguir as ideias de [28].

Defini¸ c˜ ao 2.1. Chamamos Φ(x, P ) de solu¸ c˜ ao fundamental para o operador dife-

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rencial parcial el´ıptico linear, L, se

LΦ(x, P ) = δ(x, P ),

onde δ(x, P ) denota a fun¸ c˜ ao delta de Dirac, centrada no ponto P . Desta forma, a fun¸ c˜ ao Φ(x, P ) est´ a definida em R ² , ou R ³ , exceto no ponto P , onde esta ´ e singular.

O ponto P ´ e chamado de singularidade para a solu¸ c˜ ao fundamental Φ.

O m´ etodo das solu¸c˜ oes fundamentais ´ e definido a seguir.

Defini¸ c˜ ao 2.2. Considere o problema em Ω, subconjunto de R ² ou R ³ ,

Lu = 0, (2.1)

onde L ´ e um operador diferencial el´ıptico linear. A solu¸ c˜ ao aproximada pelo M´ etodo das Solu¸ c˜ oes Fundamentais (MFS) para o problema (2.1) ´ e dada por

u A (x) =

M ^∗

X

i=1

c i Φ(x, P i ), x ∈ Ω,

onde as singularidades P _i , com i = 1, 2, . . . , M ^∗ , s˜ ao consideradas fora do dom´ınio Ω.

Observa¸ c˜ ao 2.1. Podemos supor que o conjunto de pontos singulares {P i }, tamb´ em chamados de conjunto de fontes pontuais ou de pontos de fonte, pertencem ` a fronteira de um conjunto Ω, com b Ω ⊂ Ω. A fronteira b ∂ Ω b ´ e chamada de fronteira fict´ıcia do problema MFS, ao passo que ∂Ω ´ e chamada de fronteira f´ısica do problema MFS.

Observa¸ c˜ ao 2.2. Kupradze e Alekside foram os primeiros a propor uma formula¸ c˜ ao para o MFS acima , na d´ ecada de 60, [29], [30] e [31].

Observa¸ c˜ ao 2.3. A posi¸ c˜ ao dos pontos de fonte s˜ ao pr´ e-assumidas ou s˜ ao deter- minadas junto com os coeficientes c _i , i = 1, 2, . . . , M ^∗ , de tal forma que a solu¸ c˜ ao fundamental tamb´ em satisfa¸ ca, em algum sentido, ` as condi¸ c˜ oes de fronteiras, quando houver. Este ”sentido”´ e usando m´ etodo de coloca¸ c˜ ao sobre a fronteira f´ısica, ∂Ω, com os respectivos dados sobre esta fronteira e resolvendo um sistema linear associ- ado.

Neste trabalho vamos considerar que os pontos de fonte tenham suas posi¸c˜ oes pr´ e- assumidas.

Em [60], Alves e Chen consideraram um problema de valor de contorno n˜ ao ho- mogˆ eneo da forma:

( Lu = f, em Ω

Bu = g, sobre ∂Ω, (2.2)

(19)

onde L, novamente, ´ e um operador diferencial el´ıptico linear, Ω um dom´ınio limitado e conexo de R ² , ou R ³ , com fronteira, ∂Ω, suficientemente regular, e B um operador linear de fronteira.

Em geral, para determinar solu¸c˜ ao do problema (2.2) procedemos da seguinte forma:

1. Encontrar uma solu¸c˜ ao particular, u _p , para equa¸c˜ ao Lu = f, em Ω;

2. Resolver o problema homogˆ eneo

( Lu _h = 0, em Ω

Bu _h = g − Bu _p , sobre ∂ Ω. (2.3) 3. A fun¸c˜ ao u := u _p + u _h ´ e solu¸c˜ ao de (2.2).

O passo 1 nem sempre ´ e f´ acil, dependendo do operador L. Desta forma, Alves e Chen, [60], consideraram L = ∆ − µ, onde µ ∈ C , e Bu = u. Com isto, o passo 1 foi resolvido usando MFS-D, ou seja, usando o MFS considerando pontos de fonte ao longo de todo o dom´ınio Ω, com o objetivo de aproximar a fun¸c˜ ao f . O passo 2 foi resolvido usando MFS-B, ou seja, usando o MFS usual, considerando os pontos de fonte ao longo de uma fronteira fict´ıcia.

Observa¸ c˜ ao 2.4. Tamb´ em ´ e poss´ıvel considerar uma expans˜ ao da solu¸ c˜ ao variando a frequˆ encia µ.

Nesta tese, vamos estudar o problema de valor de contorno posto para a equa¸c˜ ao de Helmholtz, onde estaremos seguindo as ideias de [60]. Este problema envolvendo MFS ser´ a definido de forma adequada no cap´ıtulo 5, se¸c˜ ao 5.1.

De maneira geral, vamos apresentar como ´ e posto para a equa¸c˜ ao de Helmholtz o problema de valor de contorno usando MFS.

Considere o seguinte problema: Dados λ ∈ R , f ∈ L ² (Ω) e g ∈ H ^1/2 (∂Ω), encontrar u ∈ H ¹ (Ω), tal que

( (−∆ + λ)u = f, em Ω

u = g, sobre ∂Ω. (2.4)

Observa¸ c˜ ao 2.5. No cap´ıtulo 5 ser´ a visto que o problema (2.4) est´ a relacionado com a resolu¸ c˜ ao num´ erica do problema direto para a equa¸ c˜ ao de Helmholtz.

Seja Φ _λ solu¸c˜ ao fundamental para o operador L = −∆ + λ e, ent˜ ao, suponha que u possa ser escrita como

u(x) =

p

X

i=1 q

X

j=1

α i,j Φ λ j ( p

λ j |x − y i |), (2.5)

(20)

onde λ _i 6= λ _j , se i 6= j, e {y _j } s˜ ao pontos colocados sobre uma fronteira fict´ıcia, tamb´ em chamada de conjunto de fontes admiss´ıveis Γ, ver [63] e [60], e b α _i,j s˜ ao constantes a serem determinadas.

Neste caso, substituindo (2.5) em (2.4), obtemos f (x) =

p

X

i=1 q

X

j=1

α _i,j (λ _j + λ)Φ _λ _j ( p

λ _j |x − y _i |), (2.6)

para x ∈ Ω, e

g(x) =

p

X

i=1 q

X

j=1

α _i,j Φ _λ _j ( p

λ _j |x − y _i |), (2.7) para x ∈ ∂ Ω.

Desta forma, tome pontos de coloca¸c˜ ao {x _l } e {x _m } em R ^d , d = 2 ou d = 3, tais que f (x _l ) =

p

X

i=1 q

X

j=1

α _i,j (λ _j + λ)Φ _λ _j ( p

λ _j |x _l − y _i |),

para x _l ∈ Ω ⊂ R ^d e

g(x m ) =

p

X

i=1 q

X

j=1

α i,j Φ λ j ( p

λ j |x m − y i |),

para x _m ∈ ∂Ω ⊂ R ^d . Neste sistema de coloca¸c˜ ao, devemos ter #{x _l } + #{x _m } ≥ p + q, onde #{·} representa a medida discreta ou a cardinalidade do conjunto. Em geral, considera-se #{x _l } + #{x _m } = 2(p + q)

Al´ em disso, a solu¸c˜ ao fundamental, Φ _λ , pode ser tomada como

Φ λ (x) =



 



 

 1 2π K ₀ ( √

λ|x|), se λ > 0,

− 1

2π log(|x|), se λ = 0, i

4 H ₀ ⁽¹⁾ ( √

−λ|x|), se λ < 0,

(2.8)

onde K ₀ ´ e a fun¸c˜ ao de Bessel modificada do segundo tipo, de ordem zero, H ₀ ⁽¹⁾ = J ₀ + iY ₀ ´ e a fun¸c˜ ao de H¨ ankel do primeiro tipo, de ordem zero, e J ₀ , e Y ₀ s˜ ao as fun¸c˜ oes de Bessel do primeiro e segundo tipo, respectivamente.

Portanto, nosso objetivo ´ e resolver um sistema de coloca¸c˜ ao como o exposto acima para determinar os coeficientes α _i,j e, ent˜ ao, determinar a aproxima¸c˜ ao da solu¸c˜ ao particular de (2.4). Al´ em disso, observe que estamos utilizando o M´ etodo das Solu¸c˜ oes Fundamentais no interior do dom´ınio Ω e na fronteira do dom´ınio ∂ Ω.

Observa¸ c˜ ao 2.6. Note que nas expans˜ oes (2.5), (2.6) e (2.7), est˜ ao sendo conside-

radas m´ ultiplas frequˆ encias, ou seja, m´ ultiplos valores para λ _j (autovalores do La-

(21)

placiano). Desta forma, quando consideramos m´ ultiplas frequˆ encias, obtemos apro- xima¸ c˜ oes mais precisas do termo fonte f e da solu¸ c˜ ao do problema direto u, ver [5]

e [60]. Estas aproxima¸ c˜ oes s˜ ao mais precisas devido aos seguintes resultados.

Teorema 2.1. Sejam Ω ⊂ R ^d , d = 2, 3, um conjunto aberto, {y ₁ , y ₂ , ..., y _n } ∈ / Ω e λ _j ∈ I, para j = 1, 2, ..., p, com I ⊂ R . Ent˜ ao as fun¸ c˜ oes

Φ _λ ₁ (x − y ₁ ), Φ _λ ₂ (x − y ₂ ), ..., Φ _λ _p (x − y _n ) s˜ ao linearmente independentes.

Demonstra¸ c˜ ao. Ver [60].

Teorema 2.2. Sejam Γ b um conjunto de fontes admiss´ıveis e I um intervalo aberto em (−∞, 0]. Ent˜ ao o espa¸ co

span n

Φ _λ (x − y)| _Ω ; y ∈ b Γ, λ ∈ I o

´ e denso em L ² (Ω).

Demonstra¸ c˜ ao. Ver [60].

No cap´ıtulo 5, vamos aplicar este m´ etodo para resolu¸c˜ ao de um problema de salto, tamb´ em conhecido como problema de crack, de detec¸c˜ ao de falhas materiais ou ainda problema de interface entre duas estruturas de mesma densidade.

Existem v´ arios trabalhos na literatura relacionada a MFS. Dentre eles podemos ci- tar [41] e [42]. Em [46], Chen, Karageorghis e Yan Li estudam sobre a escolha da melhor localiza¸c˜ ao dos pontos fontes no MFS que levam a uma melhor aproxima¸c˜ ao a um baixo custo computacional. Com uma aplica¸c˜ ao direta na engenharia, po- demos citar [45], onde Cola¸co e Alves propuseram uma metodologia para estimar condutˆ ancia t´ ermica sem medi¸c˜ oes intrusivas, atrav´ es do funcional de reciprocidade e do MFS. Em 2015, Cola¸co, Alves e Orlande, [44], estenderam esta metodologia para problemas transientes.

2.2 O Algoritmo de Levenberg-Marquardt

Nesta subse¸c˜ ao, vamos fazer um breve resumo do algoritmo de Levenberg-Marquardt para otimiza¸c˜ ao de funcionais.

Este algoritmo pode ser encontrado com maiores detalhes em [3] e [53], por exemplo.

O algoritmo de Levenberg-Marquardt ´ e um m´ etodo usado para resolver problemas

de minimiza¸c˜ ao por m´ınimos quadrados n˜ ao-linear.

(22)

Este m´ etodo foi desenvolvido por Kenneth Levenberg em 1944, ver [57], e, em 1963, foi aprimorado por Donald Marquardt, ver [58]. Al´ em disso, ´ e uma varia¸c˜ ao do m´ etodo de Newton, onde ´ e considerado peso.

Um dos objetivos principais deste m´ etodo ´ e resolver o seguinte problema:

Dados M pares de dados obtidos empiricamente (x _i , y _i ), com y = y(x), o problema consiste em otimizar o conjunto de parˆ ametros A da curva F (x, A), tal que o erro cometido (ou o desvio cometido)

E(A) =

M

X

i=1

(y _i − F (x _i , A)) ² (2.9) seja m´ınimo.

Neste procedimento iterativo ´ e necess´ ario dar um valor inicial para o vetor dos parˆ ametros A.

Observa¸ c˜ ao 2.7. Este valor inicial representa uma desvantagem no uso deste al- goritmo, pois dependendo da estimativa inicial, o algoritmo pode demorar mais a convergir.

Em cada passo de itera¸c˜ ao, o vetor dos parˆ ametros A ^(k) ´ e substitu´ıdo por um novo vetor A ^(k+1) = A ^(k) + δ ^(k) , onde o vetor ”incremento” δ ^(k) ´ e calculado em cada itera¸c˜ ao.

Desta forma, para determinar o vetor δ ^(k) , as fun¸c˜ oes F (x _i , A ^(k+1) ) s˜ ao aproximadas por suas lineariza¸c˜ oes

F (x _i , A ^(k+1) ) ≈ F (x _i , A ^(k) ) + J _i ^(k) δ ^(k) , onde J _i ^(k) = ∂F

∂A (x _i , A ^(k) ) ´ e o vetor gradiente com respeito a A.

Observa¸ c˜ ao 2.8. Esta aproxima¸ c˜ ao ´ e feita tomando o polinˆ omio de Taylor de grau 1 de F .

Com isso, temos a seguinte aproxima¸c˜ ao E(A ^(k+1) ) ≈

M

X

i=0

y _i − F (x _i , A ^(k) ) − J _i ^(k) δ ^(k) 2

.

Como estamos interessados em buscar os parˆ ametros que minimizam a fun¸c˜ ao E(·), ent˜ ao a derivada, com respeito a δ, de E(·) deve ser zero e, portanto, devemos ter

J ^(k) .δ ^(k) = Y − F(A ^(k) ),

onde J ^(k) ´ e a matriz Jacobiana cuja i-´ esima linha ´ e o vetor J _i ^(k) , Y = (y _i ) e F(A ^(k) ) =

(F (x _i , A ^(k) )). Logo, temos o seguinte sistema de equa¸c˜ oes lineares, que pode ser

(23)

resolvido para δ ^(k) ,

[(J ^(k) ) ^T J ^(k) ].δ ^(k) = [J ^(k) ] ^T [Y − F(A ^(k) )],

onde (J ^(k) ) ^T ´ e a matriz transposta de J ^(k) . O m´ etodo de Levenberg-Marquardt consiste em adicionar um termo de amortecimento µ > 0 no sistema acima, ou seja,

[(J ^(k) ) ^T J ^(k) + µL].δ ^(k) = [J ^(k) ] ^T [Y − F(A ^(k) )],

onde L pode ser a matriz identidade ou ainda a matriz diagonal formada pelos elementos da diagonal da matriz (J ^(k) ) ^T J ^(k) .

O valor do parˆ ametro µ ´ e ajustado em cada itera¸c˜ ao de forma emp´ırica.

Al´ em disso, se a fun¸c˜ ao erro E est´ a diminuindo rapidamente, ent˜ ao podemos tomar

µ cada vez menor, donde o m´ etodo se aproxima do m´ etodo de Gauss-Newton. Por

outro lado, se a fun¸c˜ ao erro E diminui mais lentamente, ent˜ ao podemos tomar valores

de µ maiores, donde o m´ etodo se aproxima do m´ etodo do Gradiente.

(24)

Cap´ıtulo 3

O Problema Inverso de Fonte para Equa¸ c˜ oes de Helmholtz

Neste cap´ıtulo faremos uma introdu¸c˜ ao ao tema estudado nesta tese, onde na se¸c˜ ao 3.1, vamos apresentar os problemas direto e inverso relacionados ` as equa¸c˜ oes de Helmholtz.

Na se¸c˜ ao 3.2, apresentamos o funcional de reciprocidade relacionado ao problema inverso de fonte posto para as equa¸c˜ oes de Helmholtz. Al´ em disso, tamb´ em apre- sentamos outro operador integral que ser´ a usado para estabelecer, nos pr´ oximos cap´ıtulos, a nova f´ ormula do centroide.

Por fim, na se¸c˜ ao 3.3, estabeleceremos um resultado que garante a equivalˆ encia entre o problema inverso de fonte caracter´ıstica e o problema inverso de salto.

3.1 Apresenta¸ c˜ ao dos Problemas Direto e Inverso

Nesta se¸c˜ ao vamos apresentar os problemas direto e inverso associados ` a equa¸c˜ ao de Helmholtz.

Seja Ω ⊂ R ^N um conjunto aberto, conexo e limitado com fronteira, ∂Ω, de classe C ¹ . Dado o termo fonte f ∈ L ² (Ω) e o dado de Dirichlet g ∈ H ^1/2 (∂Ω), considere o seguinte problema

( (−∆ + λ)u = f, em Ω,

u = g, sobre ∂Ω, (3.1)

onde estamos considerando os casos λ = 0 (equa¸c˜ ao de Laplace), λ = κ ² > 0 (equa¸c˜ ao de Helmholtz modificada), e o operador de Helmholtz usual com λ =

−κ ² < 0, com κ denotando o n´ umero de onda (ou frequˆ encia, no caso de ondas com velocidade de propaga¸c˜ ao unit´ aria).

O problema (3.1) admite uma ´ unica solu¸c˜ ao u ∈ H ¹ (Ω), a menos de alguns valores

(25)

de λ < 0 que s˜ ao autovalores do operador de Dirichlet-Laplace para Ω. Al´ em disso, pelo Teorema do Tra¸co, [47], determinamos ∂u

∂η ∈ H ^−1/2 (∂Ω).

Desta forma, definimos problema direto para o operador de Helmholtz como sendo o problema de encontrar ∂u

∂η ∈ H ^−1/2 (∂Ω), com u ∈ H ¹ (Ω), a partir do termo fonte f e do dado de Dirichlet g.

Por outro lado, o problema inverso de fonte para este operador ´ e posto da seguinte forma: Dada a condi¸c˜ ao de Cauchy {g, g _η } ∈ H ^1/2 (∂Ω) × H ^−1/2 (∂ Ω), encontrar o termo fonte f e uma fun¸c˜ ao u ∈ H ¹ (Ω), tal que



 

 

 

 

(−∆ + λ)u = f, em Ω,

u = g, sobre ∂Ω,

∂u

∂η = g _η , sobre ∂Ω,

(3.2)

onde λ ∈ R .

Podemos estudar este problema inverso atrav´ es de alguns operadores. A seguir vamos definir um destes, associado ao Funcional de Reciprocidade.

3.2 O Funcional de Reciprocidade

Nesta se¸c˜ ao, estaremos interessados em definir um operador integral relacionado ao problema variacional e estudar algumas propriedades deste.

Para isto, vamos definir o espa¸co das fun¸c˜ oes teste. Considere o seguinte espa¸co:

H _λ (Ω) = {v ∈ H ¹ (Ω); (−∆ + λ)v = 0},

com λ ∈ R , onde Ω ⊂ R ^N ´ e um conjunto aberto, conexo e limitado com fronteira de classe C ¹ .

Lema 3.1. Se λ e λ ² n˜ ao s˜ ao autovalores dos operadores de Laplace e Bilaplace, respectivamente, ent˜ ao,

L ² (Ω) = H _λ (Ω) ⊕ (−∆ + λ)(H ₀ ² (Ω)).

Demonstra¸ c˜ ao. Note que, pela Identidade de Green, Z

Ω

f vdx = − Z

∂Ω

g _η vdσ,

∀v ∈ H _λ (Ω), e, se f ∈ (H _λ (Ω)) ^⊥ , ent˜ ao R

Ω f vdx = 0. Desta forma, podemos consi-

derar a seguinte decomposi¸c˜ ao, L ² (Ω) = H _λ (Ω) ⊕ (H _λ (Ω)) ^⊥ .

(26)

Em [5], ´ e mostrado que (H _λ (Ω)) ^⊥ = (−∆ + λ)(H ₀ ² (Ω)) ^L ² ^(Ω) , ou seja, que (H _λ (Ω)) ^⊥

´ e o fecho uniforme, em L ² (Ω), do espa¸co (−∆ + λ)(H ₀ ² (Ω)).

Definimos o Funcional de Reciprocidade associado ao problema (3.2) como R[f](v) :=

Z

∂Ω

u ∂v

∂η − v ∂u

∂η dσ = Z

∂Ω

g ∂v

∂η − vg _η dσ, (3.3) para toda fun¸c˜ ao teste v ∈ H _λ (Ω).

Observa¸ c˜ ao 3.1. O conceito deste funcional tem sido bastante estudado nos ´ ultimos anos em trabalhos de identifica¸ c˜ ao e reconstru¸ c˜ ao de fontes, ver [56], [14], [52] e [5].

Al´ em disso, pela Identidade de Green, R[f](v) =

Z

∂Ω

g ∂v

∂η − vg η dσ = Z

Ω

vf dx, (3.4)

para toda v ∈ H _λ (Ω). Desta forma, ´ e poss´ıvel definir tamb´ em o seguinte operador F [f ](v ) :=

Z

Ω

vf dx, (3.5)

com v ∈ H _λ (Ω). Assim, a formula¸c˜ ao variacional para o problema inverso de fonte consiste em determinar uma fun¸c˜ ao f tal que

F [f ](v) = R[f ](v ), (3.6)

para toda v ∈ H _λ (Ω).

O operador F ser´ a estudado com mais detalhes no cap´ıtulo 4.

Observa¸ c˜ ao 3.2. No caso em que λ = κ ² > 0 (Helmholtz modificado), tamb´ em escrevemos H _κ ² (Ω) = H −∆+κ ² (Ω).

No pr´ oximo resultado estabelecemos uma equivalˆ encia entre a reconstru¸c˜ ao do termo fonte a partir do dado de Cauchy (considerando dado de Dirichlet nulo) e a partir do funcional de reciprocidade.

Teorema 3.1. O dado de Cauchy unicamente determina a fonte f se, e somente se, f ´ e unicamente determinada pelo funcional R[f](v), para toda v ∈ H _λ (Ω).

Demonstra¸ c˜ ao. De fato, considere as fontes f ₁ (x) e f ₂ (x) para o problema (3.2), com dado de Dirichlet nulo. Ent˜ ao, por defini¸c˜ ao,

R[f ₁ ](v) − R[f ₂ ](v) = Z

∂Ω

(u ₁ − u ₂ ) ∂v

∂η − v ∂u ₁

∂η − ∂u ₂

∂η

dσ.

(27)

Desta forma, se f ₁ e f ₂ geram o dado de Dirichlet nulo na fronteira , ent˜ ao R[f ₁ ](v) − R[f ₂ ](v) =

Z

∂Ω

(g _η ² − g _η ¹ )vdσ,

para toda v ∈ H λ (Ω). Note que para u ∈ H ¹ (Ω), pelo teorema do tra¸co, γ 1 u = g η ∈ H ^−1/2 (∂Ω). Logo, a integral

Z

∂Ω

g _η γ ₀ vdσ

define um produto de dualidade entre H ^−1/2 (∂Ω) × H ^1/2 (∂ Ω), tendo em vista que H _λ (Ω) ´ e homeomorfo a H ^1/2 (∂Ω), ver [5]. Assim, temos

R[f ₁ ](v) − R[f ₂ ](v) =

g ² _η − g ¹ _η , γ ₀ v

H ^−1/2 (∂Ω)×H ^1/2 (∂Ω) .

Portanto, R[f ₁ ] = R[f ₂ ], em H _λ (Ω), ´ e equivalente a g _η ² = g _η ¹ , em H ^−1/2 (∂Ω).

Observa¸ c˜ ao 3.3. Este teorema n˜ ao garante a unicidade da reconstru¸ c˜ ao de fonte.

Este resultado garante que o problema de determina¸ c˜ ao de fonte, f , a partir do dado de Neumann ou a partir do funcional de reciprocidade s˜ ao equivalentes.

3.3 A Equivalˆ encia com o Problema Inverso de Salto

Nesta se¸c˜ ao, mostramos que o problema inverso de fonte caracter´ıstica ´ e equivalente a um problema inverso de salto.

Defini¸ c˜ ao 3.1. Considere um conjunto aberto ω ⊂ Ω. Dizemos que ω ´ e um suporte de fonte admiss´ıvel se ω e Ω \ ω s˜ ao conexos e regulares.

Considere o problema (3.1) com fonte da forma f(x) = hχ _ω (x) =

( 0, se x / ∈ ω h, se x ∈ ω,

onde h 6= 0 ´ e constante e ω ⊂ Ω um suporte admiss´ıvel. Dizemos, neste caso, que temos uma fonte caracter´ıstica com intensidade h. Note que podemos reescrever este problema como o seguinte problema de transmiss˜ ao



 

 

(−∆ + λ)u ⁻ = h, em ω, (−∆ + λ)u ⁺ = 0, em Ω\ω, u ⁺ = g, sobre ∂Ω,

(3.7)

(28)

onde u ⁻ e u ⁺ denotam a parte interna e a externa da solu¸c˜ ao, respectivamente. Seja φ uma solu¸c˜ ao particular da equa¸c˜ ao

(−∆ + λ)φ = h.

Observe que se λ 6= 0, podemos tomar φ = h/λ e se λ = 0, podemos tomar φ(x) = hkxk ² /4. Logo, podemos dividir (3.7) em dois problemas com condi¸c˜ oes adicionais sobre a fronteira ∂ω



 

 

 

 

(−∆ + λ)u ⁺ = 0, em Ω\ω, u ⁺ = u ⁻ , sobre ∂ω,

∂u ⁺

∂η = ∂u ⁻

∂η , sobre ∂ω,

u ⁺ = g, sobre ∂Ω

e 

 

 

 

 

(−∆ + λ)(u ⁻ − φ) = 0, em ω, u ⁻ − φ = u ⁺ − φ, sobre ∂ω,

∂

∂η (u ⁻ − φ) = ∂u ⁺

∂η − ∂φ

∂η , sobre ∂ω.

Assim, considerando

ϑ =

( u ⁺ , em Ω\ω

u ⁻ − φ, em ω (3.8)

temos que, a menos de φ, o problema (3.7) ´ e equivalente ao problema inverso de salto



 

 

 

 

(−∆ + λ)ϑ = 0, em Ω\∂ω, [ϑ] = −φ, sobre ∂ω, ∂ϑ

∂η

= − ∂φ

∂η , sobre ∂ω,

ϑ = g, sobre ∂Ω,

(3.9)

onde [·] denota o salto sobre ∂ω, representando a diferen¸ca entre a parte interna e a parte externa da fun¸c˜ ao.

Portanto, denotando o funcional de reciprocidade deste problema como R[∂ω](·), estabelecemos o seguinte resultado.

Teorema 3.2. Se Ω\ω ´ e conexo, ent˜ ao R[χ _ω ] = R[∂ω]. Logo, o problema inverso de fonte caracter´ıstica (3.1) ´ e equivalente ao problema inverso de salto (3.9).

Demonstra¸ c˜ ao. O funcional de reciprocidade para o problema inverso de salto, com

(29)

v ∈ H _λ (Ω), aplicando a f´ ormula de Green ao conjunto conexo Ω \ ω, ´ ¯ e dado por R[∂ω](v) =

Z

∂Ω

ϑ ⁺ ∂v

∂η − v ∂ϑ

∂η

+ dσ =

= − Z

∂ω ⁺

ϑ ⁺ ∂v

∂η − v ∂ϑ

∂η

+ dσ +

Z

Ω\¯ ω

=0

z }| { ϑ ⁺ ∆v − ϑ∆u ⁺

dσ.

Observe que a orienta¸c˜ ao do vetor normal muda tomando ∂ω ⁻ como a fronteira de ω, ao inv´ es de ∂ω ⁺ como parte da fronteira de Ω \ ω. Al´ ¯ em disso, temos que

Z

∂ω ⁻

ϑ ⁻ ∂v

∂η − ϑ ∂u

∂η

−

dσ = Z

ω

=0

z }| { ϑ ⁻ ∆v − v∆ϑ ⁻

dσ = 0.

Logo, para toda v ∈ H _λ (Ω), R[∂ω](v ) =

Z

∂ω ⁺

ϑ ⁺ ∂v

∂η − v ∂ϑ

∂η

+

dσ = − Z

∂ω

[ϑ] ∂v

∂η − v ∂ϑ

∂η

dσ

= Z

∂ω

φ ∂v

∂η − v ∂φ

∂η

dσ = Z

ω

(φ∆v − v∆φ) dx

= Z

ω

f v dx = R[ω](v) por (3.4).

Observa¸ c˜ ao 3.4. Se Ω \ ω ¯ n˜ ao fosse conexo, esta equivalˆ encia n˜ ao seria verdadeira,

tendo em vista que ∂ω ⁺ 6= ∂ω ⁻ (= ∂ω).

(30)

Cap´ıtulo 4

A Reconstru¸ c˜ ao do Centroide de Fontes Caracter´ısticas para

Equa¸ c˜ oes de Helmholtz

Neste cap´ıtulo, vamos estudar o problema inverso de fonte para equa¸c˜ oes de Helmholtz, onde estaremos interessados em estudar fontes caracter´ısticas e fontes pontuais.

Na se¸c˜ ao 4.1, estabelecemos um resultado sobre uma nova f´ ormula proposta para reconstruir o centro de massa (centroide) do suporte de uma fonte caracter´ıstica de um subconjunto aberto, conexo e limitado do dom´ınio considerado.

Na se¸c˜ ao 4.2, apresentamos uma solu¸c˜ ao anal´ıtica, no caso circular, para a equa¸c˜ ao de Helmholtz modificada, onde esta fun¸c˜ ao ser´ a usada para realizarmos experimentos num´ ericos de reconstru¸c˜ ao do centroide.

Por fim, na se¸c˜ ao 4.3, estudamos o problema inverso de fonte para equa¸c˜ oes de Helmholtz para o caso de fontes pontuais.

4.1 O Teorema de Caracteriza¸ c˜ ao do Centroide

Nesta se¸c˜ ao, apresentamos um novo resultado de determina¸c˜ ao de centroide de um conjunto estrelado. Este conjunto ´ e considerado como o suporte de uma fonte carac- ter´ıstica no problema inverso posto para a equa¸c˜ ao de Helmholtz modificada (λ > 0) ou para a equa¸c˜ ao de Helmholtz (λ < 0). Al´ em disso, tamb´ em mostramos que a nova f´ ormula tamb´ em ´ e v´ alida para fontes pontuais.

Considere κ = √

λ 6= 0, onde κ ∈ R ^∗ , se λ > 0, e κ ∈ C \ R , se λ < 0, onde Re(κ)

representa a parte real do n´ umero complexo κ. Considere tamb´ em o termo fonte

f(x) = χ _ω (x), onde χ _ω ´ e a fun¸c˜ ao caracter´ıstica de um conjunto aberto, conexo,

limitado ω ⊂ Ω, cuja fronteira , ∂ω, ´ e de classe C ¹ , para o problema inverso (3.2),

(31)

onde S ^N ⁻¹ denota a fronteira da bola aberta unit´ aria em R ^N .

Logo, tomando a fun¸c˜ ao teste v _ϕ (x) = e ^{κϕ·(x−p)} ∈ H _λ (Ω), onde ϕ ∈ S ^N ⁻¹ e p ∈ R ^N s˜ ao arbitr´ arios, o funcional de reciprocidade para o problema (3.2) ´ e dado, por defini¸c˜ ao,

R[χ _ω ] e ^{κϕ·(x−p)}

= Z

∂Ω

gκ(ϕ · η)e ^{κϕ·(x−p)} − g _η e ^{κϕ·(x−p)} dσ.

Por outro lado, por (3.4), temos que R[χ _ω ] e ^{κϕ·(x−p)}

= Z

ω

e ^{κϕ·(x−p)} dx. (4.1)

Observa¸ c˜ ao 4.1. Note que

R[χ _ω ] e ^{κϕ·(x−p)}

= e ^−κϕ·p R[χ _ω ] (e ^κϕ·x ) .

Desta forma, ´ e poss´ıvel determinar uma mudan¸ ca de vari´ aveis tais que p ∈ R ^N seja a origem de um novo sistema de coordenada. Logo, definimos, para ϕ ∈ S ^N−1 ,

R[χ _ω ](ϕ) := R[χ _ω ] (e ^κϕ·x ) .

No que se segue, vamos supor que a origem do sistema de coordenadas, p, ´ e o centroide de um conjunto estrelado ω ⊂ Ω, cuja fronteira, ∂ω, ´ e parametrizada por uma fun¸c˜ ao R : S ^N−1 → R ⁺ ∗ , em L ¹ ( S ^N−1 ).

Assim, por (4.1),

R[χ _ω ] e ^{κϕ·(x−p)}

= Z

ω

e ^{κϕ·(x−p)} dx = Z

S ^N−1

Z R(θ) 0

e ^κρϕ·θ ρ ^N−1 dρdθ.

Por outro lado, por (3.5), podemos reescrever o operador F como F [R](ϕ) =

Z

S ^N−1

Z R(θ) 0

e ^κρϕ·θ ρ ^N−1 dρdθ.

Logo, temos que

F [R](ϕ) = R[χ _ω ] e ^{κϕ·(x−p)}

= e ^−κϕ·p R[χ _ω ] (ϕ) , (4.2) para toda ϕ ∈ S ^N ⁻¹ .

Proposi¸ c˜ ao 4.1. Seja ω ⊂ Ω um conjunto estrelado, cuja fronteira, ∂ω, ´ e parame- trizada pela fun¸ c˜ ao R ∈ L ¹ ( S ^N−1 ). Ent˜ ao

F [R](ϕ) = F [R](−ϕ), ∀ϕ ∈ S ^N−1 .

(32)

Demonstra¸ c˜ ao. De fato, seja ϕ ∈ S ^N−1 uma dire¸c˜ ao arbitr´ aria. Considere os con- juntos

S ^ϕ ± := {θ ∈ S ^N ⁻¹ ; ±ϕ · θ > 0}

e

S ^ϕ 0 := {θ ∈ S ^N ⁻¹ ; ϕ · θ = 0}.

Logo, S ^N−1 = S ^ϕ − ∪ S ^ϕ 0 ∪ S ^ϕ + e, ent˜ ao, F [R](ϕ) =

Z

S ^N−1

Z R(θ) 0

e ^κρϕ·θ ρ ^N−1 dρdθ

= Z

S ^ϕ +

Z R(θ) 0

e ^κρϕ·θ ρ ^N ⁻¹ dρdθ + Z

S ^ϕ 0

Z R(θ) 0

ρ ^N−1 dρdθ

+ Z

S ^ϕ −

Z R(θ) 0

e ^κρϕ·θ ρ ^N−1 dρdθ.

Por outro lado, note que F [R](−ϕ) =

Z

S ^N−1

Z R(θ) 0

e ^{κρ(−ϕ)·θ} ρ ^N ⁻¹ dρdθ

= Z

S ^N−1

Z R(θ) 0

e ^{−κρϕ·θ} ρ ^N ⁻¹ dρdθ

= Z

S ^−ϕ +

Z R(θ) 0

e ^{−κρϕ·θ} ρ ^N−1 dρdθ + Z

S ^−ϕ 0

Z R(θ) 0

ρ ^N−1 dρdθ

+ Z

S ^−ϕ −

Z R(θ) 0

e ^{−κρϕ·θ} ρ ^N ⁻¹ dρdθ.

Assim, como S ^−ϕ ± = S ^ϕ ∓ e S ^−ϕ 0 = S ^ϕ 0 , ent˜ ao Z

S ^−ϕ +

Z R(θ) 0

e ^{−κρϕ·θ} ρ ^N ⁻¹ dρdθ = Z

S ^ϕ −

Z R(θ) 0

e ^κρϕ·θ ρ ^N ⁻¹ dρdθ,

e

Z

S ^−ϕ −

Z R(θ) 0

e ^{−κρϕ·θ} ρ ^N−1 dρdθ = Z

S ^ϕ +

Z R(θ) 0

e ^κρϕ·θ ρ ^N ⁻¹ dρdθ.

Portanto,

F [R](ϕ) = F [R](−ϕ).

Desta forma, como ϕ ´ e arbitr´ ario, temos que F [R](ϕ) = F [R](−ϕ), para todo ϕ ∈ S ^N−1 .

Observe que, pela proposi¸c˜ ao 4.1 e por (4.2),

e ^−κϕ·p R[χ _ω ](ϕ) = e ^κϕ·p R[χ _ω ](−ϕ).

(33)

Portanto,

e ^2κϕ·p = R[χ _ω ](ϕ) R[χ ω ](−ϕ) , ou seja,

ϕ · p = 1 2κ ln

R[χ _ω ](ϕ) R[χ _ω ](−ϕ)

. (4.3)

Desta forma, estabelecemos o seguinte resultado novo de caracteriza¸c˜ ao e identi- fica¸c˜ ao do centroide de suportes estrelados no problema inverso de fonte.

Teorema 4.2. Seja ω ⊂ Ω um conjunto estrelado e seja f(x) = χ _ω (x) o termo fonte para o problema inverso (3.2). Ent˜ ao o centroide, p, de ω pode ser determinado por

ϕ · p = 1 2κ ln

R[χ _ω ](ϕ) R[χ _ω ](−ϕ)

, (4.4)

onde ϕ ∈ S ^N−1 .

Corol´ ario 4.1. Sejam f ₁ = χ _ω ₁ e f ₂ = χ _ω ₂ duas fontes caracter´ısticas para o problema inverso (3.2), com ω 1 , ω 2 ⊂ Ω subconjuntos estrelados. Se estas fontes geram o mesmo dado de Cauchy sobre a fronteira, ent˜ ao estas fontes possuem o mesmo centroide determinado por (4.4).

Demonstra¸ c˜ ao. De fato, sejam p ₁ e p ₂ centroides dos conjuntos ω ₁ e ω ₂ , respectiva- mente. Se χ _ω ₁ e χ _ω ₂ geram o mesmo dado de Cauchy sobre a fronteira, ent˜ ao estas fontes geram o mesmo funcional de reciprocidade com fun¸c˜ ao teste exponencial, ou seja,

R[χ _ω ₁ ](ϕ) = R[χ _ω ₂ ](ϕ),

para toda ϕ ∈ S ^N−1 . Ent˜ ao, pelo teorema, ϕ · p ₁ = ϕ · p ₂ , para toda ϕ ∈ S ^N−1 . Portanto, p ₁ = p ₂ .

Observa¸ c˜ ao 4.2. Note que a volta do teorema 4.2 n˜ ao ´ e verdadeira. De fato, se as fontes χ _ω ₁ e χ _ω ₂ possuem o mesmo centroide, ent˜ ao n˜ ao ´ e verdade que estas fontes geram o mesmo dado de Cauchy sobre a fronteira ou o mesmo funcional de reciprocidade. Se estas fontes possuem o mesmo centroide, ent˜ ao ´ e verdade que

R[χ _ω ₁ ](ϕ)

R[χ _ω ₂ ](ϕ) = R[χ _ω ₁ ](−ϕ) R[χ _ω ₂ ](−ϕ) , para toda ϕ ∈ S ^N−1 .

No caso em que duas fontes caracter´ısticas χ _ω ₁ e χ _ω ₂ possuem o mesmo centroide,

com R ₁ e R ₂ parametrizando as fronteiras ∂ω ₁ e ∂ω ₂ , respectivamente, ent˜ ao temos

o seguinte resultado sobre o comportamento do operador F [·].

(34)

Teorema 4.3. Dados R ₁ , R ₂ ∈ L ¹ ( S ^N ⁻¹ ), ent˜ ao existe uma constante C = C(N, R ₁ , R ₂ ) > 0, tal que

kF [R ₁ ] − F [R ₂ ]k _L ¹ ₍ _S ^N−1 ₎ ≤ CkR ₁ − R ₂ k _L ¹ ₍ _S ^N−1 ₎ , ou seja, o operador F ´ e cont´ınuo em L ¹ ( S ^N−1 ).

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam R ₁ , R ₂ parametriza¸c˜ oes L ¹ ( S ^N−1 ) das fronteiras dos conjuntos ω ₁ ⊂ Ω e ω ₂ ⊂ Ω, respectivamente, com o mesmo centroide. Note que

|F [R ₁ ](ϕ) − F [R ₂ ](ϕ)| = Z

S ^N−1

Z R 1 (θ) R 2 (θ)

e ^κrϕ·θ r ^N ⁻¹ drdθ .

Considerando a seguinte mudan¸ca de coordenadas para a integral acima r = ρ(R ₁ (θ) − R ₂ (θ)) + R ₂ (θ),

temos

|F [R ₁ ](ϕ) − F [R ₂ ](ϕ)| = Z

S ^N−1

(R ₁ (θ) − R ₂ (θ))G _ϕ (θ)dθ

≤ Z

S ^N−1

|R ₁ (θ) − R ₂ (θ)||G _ϕ (θ)|dθ, onde

G _ϕ (θ) :=

Z 1 0

e ^κ(ρ(R ¹ ^(θ)−R ² ^(θ))+R ² ^(θ))ϕ·θ [ρ(R ₁ (θ) − R ₂ (θ)) + R ₂ (θ)] ^N−1 dρ.

Como |R ₁ (θ) − R ₂ (θ)| < diam(Ω) e ρ ≤ 1, onde diam(Ω) denota o diˆ ametro de Ω, temos que

|ρ(R ₁ (θ) − R ₂ (θ)) + R ₂ (θ)| ^N−1 ≤ (2diam(Ω)) ^N−1 ,

tendo em vista que R ₂ < diam(Ω) e |R ₁ (θ) − R ₂ (θ)| < diam(Ω). Analogamente, como ϕ · θ ≤ 1, temos que

κ(ρ(R ₁ (θ) − R ₂ (θ)) + R ₂ (θ))ϕ · θ ≤ 2κdiam(Ω).

Desta forma,

|G _ϕ (θ)| ≤ (2diam(Ω)) ^N ⁻¹ e ^2κdiam(Ω) , e, ent˜ ao,

kF [R 1 ] − F [R 2 ]k _L ¹ ₍ _S ^N−1 ₎ ≤ kR 1 − R 2 k _L ¹ ₍ _S ^N−1 ₎ (2diam(Ω)) ^N ⁻¹ e ^2κdiam(Ω)

µ( S ^N ⁻¹ ),

(35)

onde µ( S ^N−1 ) denota a medida de Lebesgue de S ^N ⁻¹ .

Portanto, denotando C := (2diam(Ω)) ^N−1 e ^2κdiam(Ω) µ( S ^N−1 ) > 0, obtemos kF [R ₁ ] − F [R ₂ ]k _L ¹ ₍ _S ^N−1 ₎ ≤ CkR ₁ − R ₂ k _L ¹ ₍ _S ^N−1 ₎ .

O pr´ oximo resultado ´ e sobre a coercividade do operador F [·].

Teorema 4.4. Se ω ⊂ Ω ´ e um conjunto estrelado com fronteira parametrizada por uma fun¸ c˜ ao R ∈ L ¹ ( S ^N ⁻¹ ), ent˜ ao F [R] ∈ L ¹ ( S ^N−1 ). Al´ em disso, vale a seguinte desigualdade

kF [R]k _L ¹ ₍ _S ^N−1 ₎ ≥ CkRk ^N _L 1 ( S ^N−1 ) , onde a constante C ´ e dada por C = e ^{−κdiam(Ω)} /N > 0.

Demonstra¸ c˜ ao. De fato, observe que a fun¸c˜ ao h(x) := e ^{κϕ·(x−p)} ´ e cont´ınua. Como ω ⊂ Ω, com Ω limitado, ent˜ ao ω ´ e compacto, al´ em de conexo, por ser estrelado.

Logo, h assume, pelo menos, um m´ aximo e um m´ınimo em ω.

Desta forma, considerando um caminho cont´ınuo γ (t), t ∈ [0, 1], com γ([0, 1]) ⊂ ω, ligando estes dois pontos, ent˜ ao, pelo teorema do valor m´ edio para integrais, ver [59], existe x ∈ γ((0, 1)), tal que

F [R](ϕ) = e ^κρϕ·θ Z

S ^N−1

Z R(θ) 0

ρ ^N ⁻¹ dρdθ. (4.5)

Assim, obtemos

F [R](ϕ) = e ^κρϕ·θ Z

ω

1dx = µ(ω)e ^κρϕ·θ > 0, ou seja,

kF [R]k _L ¹ ₍ _S ^N−1 ₎ = Z

S ^N−1

|F [R](ϕ)|dϕ = µ(ω) Z

S ^N−1

e ^κρϕ·θ dϕ < ∞.

Por outro lado, por (4.5),

F [R](ϕ) = e ^κρϕ·θ Z

S ^N−1

Z R(θ) 0

ρ ^N−1 dρdθ

= e ^κρϕ·θ N

Z

S ^N−1

(R(θ)) ^N dθ. (4.6)

Logo, como a fun¸c˜ ao a 7→ a ^N ´ e convexa, visto que N = dim( R ^N ) ∈ Z ⁺ ∗ , pela