Exponencial

SejamP e Q dois posets. Considere QP _{o conjunto das aplica¸c˜oes que preservam ordem}

(morfismo de ordem) deP em Q. Dadas φ, ψ ∈ QP_{, definimos φ}

exp ψ se φ(a)≤Q ψ(a)

para todo a∈ P. O par (QP_{, }

exp) ´e um poset, chamado o poset exponencial de Q com

respeito aP.

Os exemplos a seguir tem por objetivo tornar mais clara a defini¸c˜ao.

Exemplo 3.41 Se _{P = 1 e Y = C}3. Ent˜ao, o poset exponencial de C3 com respeito a 1

´e dado por,

C₃1 ={φ1, φ2, φ3 : φi(1) = i e φ1 exp φ2 exp φ3}

cujo diagrama de Hasse ´e como a seguir:

s φ1 s φ2 s φ3

Claramente, temos que C1

3 ´e isomorfo a C3.

Mais geralmente, se Q ´e um poset arbitr´ario ent˜ao Q1 _{´e isomorfo a Q.}

O resultado a seguir, j´a conhecido na literatura especializada, nos fornece algumas propriedades da opera¸c˜ao exponencial.

Proposi¸c˜ao 3.42 ([25]) Sejam _{P, Q e R posets arbitr´arios. Ent˜ao s˜ao v´alidas as} afirma¸c˜oes:

1. _P(Q+R) _=PQ_{× P}R_;

3. (_PQ₎R ₌

P(Q×R)_;

4. Se _PQ ´e conexo, ent˜ao _{P ´e conexo.}

No caso geral, a opera¸c˜ao exponencial n˜ao preserva a propriedade de extens˜ao, con- forme exemplo a seguir,

Exemplo 3.43 Seja C2 o poset cadeia emJ2K e P o poset ´arvore bin´aria regular de altura 3 rotulado como na figura abaixo.

a

b c

d e f g

O poset exponencial de _{P com respeito a C}2, PC2 consiste de todas os morfismos

de ordem de C2 em P, ie, f ∈ PC2 se, e somente se, f : J2K → P satisfaz f(1) ≤P f(2). Vamos representar estes morfismos pelos pares (f (1), f (2)). Dessa forma, o poset exponencial de_{P com respeito a C}2, consiste dos pares(x, y), tais que, x, y ∈ P e x ≤P y,

dessa forma, _PC2 ₌{(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (a, f), (a, g), (b, b), (b, d), (b, e), (d, d),

(e, e), (c, c), (c, f ), (c, g), (f, f ), (g, g)} cujo diagrama de Hasse ´e como a seguir:

aa ab ac ad _bb ae af ag bd be dd ee cc cf cg ff gg

Note que, os ideais I = _{h{(a, d), (b, b)}i e J = h{(a, d), (a, e)}i s˜ao isomorfos. En-} tretanto, n˜ao existe um automorfismo φ _{∈ Aut(P}C2) tal que φ(I) = J, com efeito,

(a, d), (b, b)_PC2 (b, d), contudo, n˜ao existe um elemento (x, y)∈ PC2 tal que(a, d), (a, e)PC2

(x, y). Portanto, _PC2 _{n˜ao satisfaz a PEI.}

Sejam _{P um poset que possui a PEI,}

Dexp(P) := {A : PA possui a PEI}

o conjunto de todos os posets A, tais que a PEI ´e preservada na exponencial de P com respeito a A.

Observe que, P ´e um poset que possui a PEI, ent˜ao Dexp(P) 6= ∅. Como, P1 ' P

e _{P satisfaz a PEI, segue que, P}1 _{tamb´em possui, ou seja, 1 ∈ D}

exp(P ), e portanto,

O ´ultimo exemplo, nos mostra que, de modo geral, o conjunto Dexp(P ) n˜ao ´e fechado

em rela¸c˜ao `a soma ordinal, uma vez que, 1 ∈ Dexp(P ) e PC2 = P1⊕1 n˜ao possui a PEI,

isto ´e, 1⊕ 1 /∈ Dexp(P ).

Com rela¸c˜ao ao comportamento de Dexp(·), temos ainda que, Dexp(·) n˜ao ´e fechado pra

soma direta pois, V1+1_{n˜ao possui a PEI apesar de V}1_{possuir. Lembre que, V}1+1 _{= V×V .}

O mesmo para a soma ordinal, isto ´e, Dexp(·) n˜ao ´e fechado pra soma ordinal, uma vez

que, V1⊕1 _{n˜ao satisfaz a PEI apesar de V}1 _satisfazer.

Conclu´ımos este cap´ıtulo, lembrando os principais resultados obtidos na tentativa de classifica¸c˜ao de posets que possuem a propriedade de extens˜ao.

1. Condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para a soma direta (Teorema 3.13) e a soma ordinal (Teorema 3.17) preservarem a PEI;

2. Caracteriza¸c˜ao dos posets s´erie-paralelo que satisfazem a PEI (Corol´ario 3.20).

Vale ressaltar que, para as outras opera¸c˜oes de posets consideradas (produto direto, produto direto por n´ıvel, produto ordinal e exponencial) ainda restam diversas quest˜oes em aberto. N˜ao obstante, diversos casos particulares de posets satisfazem a PEI e s˜ao resumidos na seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 3.44 Os posets apresentados a seguir, possuem a propriedade de extens˜ao.

1. _{H(n; n}1, n2,· · · , nt), o poset hier´arquico, com t n´ıveis, e n elementos.

(a) Se t= 1, _{H(n; 1) = A}n, o poset hier´arquico ´e uma anticadeia.

(b) Se n1 = n2 = · · · = nt = 1, H(n; 1, 1, · · · , 1) = Cn, o poset hier´arquico ´e uma

cadeia.

2. T (n; (n1, n2, ..., nt−1)), o poset ´arvore regular por n´ıvel, com t n´ıveis e n elementos.

3. Posets obtidos identificando-se as folhas de um poset ´arvore regular por n´ıvel com as folhas de seu dual.

4. Cn× Cn, o produto direto de cadeias de mesmo comprimento.

5. Os casos espec´ıficos, CR_{J6K, Coroa com 6 elementos, e o poset W :}

6. Os casos desconexos, s˜ao aqueles obtidos como somas diretas de posets conexos que possuem apenas um elemento minimal e satisfazem a propriedade de extens˜ao. Por exemplo,

(a) NRT_{JmnK, uni˜}ao disjunta de m cadeias de comprimento n; (b) Floresta de ´arvores regulares por n´ıvel, duas a duas isomorfas. (c) Somas diretas de posets isomorfos `aqueles de 3.

Perspectivas Futuras

O problema de classifica¸c˜ao de posets que satisfazem a PEI continua sem solu¸c˜ao. Dessa forma, os resultados apresentados formam um ponto de partida para a classifica¸c˜ao completa. Acreditamos que quest˜oes plaus´ıveis de serem tratadas a curto prazo, s˜ao as conjecturas apresentadas nesta tese, como por exemplo, a generaliza¸c˜ao de que o produto direto de duas cadeias de mesmo comprimento satisfaz a PEI, considerando o produto de um n´umero finito de cadeias de mesmo comprimento.

Outras quest˜oes abordadas no contexto geral de estruturas homogˆeneas podem ser traduzidas para nosso contexto, como por exemplo, se trocarmos na defini¸c˜ao da PEI, automorfismos por homomorfismos. Neste contexto, al´em das fam´ılias de posets que satisfazem a PEI, uma grande fam´ılia que surge com essa propriedade ´e a de posets ´arvores unira´ızes (qualquer). De fato, se P ´e um poset ´arvore uniraiz sobreJnK e φ : I → J ´e um isomorfismo entre os ideais I e J de _{P. Dado a ∈ P, seja a}I := max(hai ∩ I). Note que,

aI est´a bem definido, uma vez que, em um poset ´arvore todo ideal principal ´e um poset

cadeia e quaisquer dois ideais possuem interse¸c˜ao n˜ao nula, logo a interse¸c˜ao possui um m´aximo, e ainda, caso a_{∈ I ent˜ao a}I = a. Considere ent˜ao Φ :P → P o homomorfismo

definido por Φ(a) = φ(aI), para todo a∈ P. Note que, Φ|I = φ e Φ ´e um homomorfismo

pois, dados aP b∈ P ent˜ao existem trˆes poss´ıveis casos:

1. a, b∈ I;

2. a∈ I e b ∈ P\I; ou 3. a, b_{∈ P\I.}

No primeiro caso, Φ(a) = φ(aI) = φ(a) P φ(b) = φ(bI) = Φ(b). No segundo caso,

Φ(a) = φ(aI) = φ(a)P φ(bI) = Φ(b). Por fim, no terceiro caso, Φ(a) = φ(aI) = φ(bI) =

Φ(b). Logo, temos que Φ(a)_P Φ(b), em qualquer um dos poss´ıveis casos. Portanto, Φ ´e

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Apˆendices

C´odigos Corretores de Erros

A fim de contextualizar o problema tratado nesta tese, neste apˆendice apresentamos conceitos b´asicos da teoria de c´odigos corretores de erros, abordamos com alguns detalhes o contexto de onde surgiu a PEI, que ´e a Identidade de MacWilliams em espa¸co de Hamming e sua equivalˆencia para espa¸cos poset. Comentamos ainda alguns resultados importantes da teoria de c´odigos munidos com uma m´etrica poset e outros interessantes por si s´o.

M´etrica de Hamming

Apesar de ser poss´ıvel trabalhar com c´odigos corretores de erros em conjuntos de n-uplas com coeficientes em um conjunto n˜ao vazio qualquer, para nossos objetivos ´e suficiente considerar os espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre corpos finitos. Seja Fnq o espa¸co vetorial das n-uplas com coeficientes no corpo finito com q elementos Fq.

Podemos equipar Fn

q com uma m´etrica a fim de tornar precisa a ideia de proximidade

entre palavras. A m´etrica mais usada, no contexto de c´odigos corretores de erros em espa¸cos finitos, ´e estabelecida pela distˆancia de Hamming dH, pois traduz muito bem as

caracter´ısticas de um canal q-´ario sim´etrico.

Dado x = (x1, x2, ..., xn)∈ Fnq definimos o peso de Hamming ωH de x por:

ωH(x) =|{i : xi 6= 0}|.

Dadas duas palavras x, y _{∈ F}n

q, definimos a distˆancia de Hamming dH entre x e y

como o n´umero de coordenadas distintas de x e y, i.e. dH(x, y) = ωH(x− y), em outras

palavras, se x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn)∈ Fnq ent˜ao

dH(x, y) =|{i : xi 6= yi,1≤ i ≤ n}|.

A distˆancia de Hamming define uma m´etrica em Fn

q, isto ´e, ´e uma fun¸c˜ao positiva-

definida, sim´etrica e satisfaz a desigualdade triangular.

Como em todo espa¸co m´etrico, podemos definir no espa¸co de Hamming (Fn

q, dH) as

esferas relativas `a m´etrica dH. Dados x ∈ Fnq e r um inteiro n˜ao negativo, a esfera de

Hamming de centro em x e raio r´e o conjunto

SH(x, r) ={y ∈ Fnq : dH(x, y)≤ r}

de todos os vetores em Fn

Como dH(x, y) = ωH(x− y) = dH(x− y, 0), o n´umero de vetores em uma esfera de raio

r independe do centro e ´e igual a

|SH(x, r)| = r X t=0 n t  (q− 1)t .

Chamamos de c´odigo C de comprimento n, qualquer subconjunto n˜ao vazio C _{⊂ F}n q.

Os elementos de C s˜ao chamados palavras-c´odigos. A fim de maximizar a prote¸c˜ao de erros em um sistema de comunica¸c˜ao, ´e necess´ario que palavras-c´odigos tenham entre si distˆancia suficientemente grande. A fim de tornar mais preciso, definimos a distˆancia m´ınima de um c´odigo C _{⊂ F}n_q denotada por d(C) por

d(C) = min_{{d(x, y) : x 6= y ∈ C}.}

No caso de espa¸cos de Hamming, a capacidade de corre¸c˜ao de erros de um c´odigo C com distˆancia m´ınima d ´e dada por

e=_bd− 1 2 c.

Onde_{btc ´e o maior inteiro menor do que ou igual a t. A raz˜ao desta nomenclatura deve-se} ao fato que, na transmiss˜ao de uma palavra-c´odigo x_{∈ C, se a palavra recebida y possui} at´e e erros (isto ´e, difere de x em at´e e coordenadas) ent˜ao, a palavra y est´a mais pr´oxima de x do que de qualquer outra palavra-c´odigo.

Neste contexto, uma importante caracter´ıstica de um c´odigo ´e o raio de empacota- mento, definido como o maior inteiro positivo ρ tal que esferas de raio ρ centradas em cada palavra-c´odigo s˜ao mutuamente disjuntas, em outras palavras, para um c´odigo C ⊂ Fn

q o

raio de empacotamento ρ de C ´e dado por

ρ(C) = max{r ∈ N : S(x, r) ∩ S(y, r) = ∅ para x, y ∈ C}.

´

E bem conhecido que no espa¸co de Hamming o raio de empacotamento de um c´odigo ´e univocamente determinada pela distˆancia m´ınima do c´odigo e ´e igual a bd−1

2 c. Note

que o raio de empacotamento de um c´odigo em um espa¸co de Hamming coincide com a capacidade de corre¸c˜ao de erros.

Al´em da capacidade de corre¸c˜ao de erros, outra importante caracter´ıstica de um c´odigo ´e o raio de cobertura, o qual nos diz qu˜ao longe de um c´odigo C _{⊂ F}n

q, uma palavra

x_{∈ F}n

q pode estar, onde a distˆancia entre uma palavra e um c´odigo ´e dada por d(x, C) :=

min_{{d(x, c) : c ∈ C}. O raio de cobertura R, de um c´odigo C ⊂ F}n

q, ´e definido por

R = max_{{d(x, C) : x ∈ F}n q}.

A nomenclatura se deve ao fato que bolas de centro nas palavras-c´odigos de C e raio R _{cobrem o espa¸co inteiro F}n

q, isto ´e,

Fnq ⊆

[

c∈C

B(c, R).

A partir dos raios de empacotamento e cobertura podemos definir um importante conceito da teoria de c´odigos corretores de erros. De fato, se para um c´odigo C ⊂ Fn q

o raio de empacotamento coincidir com o raio de cobertura dizemos que C ´e um c´odigo perfeito. Equivalentemente, seja C ⊂ Fn

q um c´odigo com distˆancia m´ınima d e ρ =bd−12 c.

Se as bolas de raio ρ e centros na palavras-c´odigos de C cobrem o espa¸co Fn

q, em outras

palavras,

[

x∈C

B_{(x, ρ) = F}n_q

ent˜ao dizemos que C ´e um c´odigo perfeito. Tal nomenclatura se deve ao fato que, consi- derando em um sistema de comunica¸c˜ao um c´odigo perfeito, decodificadores por m´axima verossimilhan¸ca n˜ao possuem ambiguidades, ou seja, se at´e ρ erros ocorrem em uma transmiss˜ao a mensagem recebida ´e decodifica corretamente.

Considerando determinadas estruturas internas no c´odigo C podemos tornar a cons- tru¸c˜ao e an´alise de c´odigos muito mais simples do que em sua ausˆencia. Para nossos objetivos ´e suficiente considerar que o c´odigo C _{⊂ F}n

q possui a estrutura de espa¸co veto-

rial, neste caso, dizemos que C _{⊂ F}n

q ´e um c´odigo linear de comprimento n sobre Fq, se

C _{for um subespa¸co vetorial de F}n

q. Uma das mais importantes quest˜oes que aparece no

contexto de c´odigos corretores de erros ´e o de encontrar um c´odigo linear de comprimento n _{e de dimens˜ao k sobre F}q, com a maior distˆancia m´ınima poss´ıvel.

Dado um c´odigo linear C, definimos o peso de C, ω(C), como o menor dos pesos dos elementos n˜ao nulos de C, isto ´e,

ω(C) = min{ω(x) : x ∈ C \ {0}}.

Um dos ganhos que obtemos por considerar estruturas internas no c´odigo, est´a na complexidade para determinar a distˆancia m´ınima de um c´odigo linear. Com efeito, na ausˆencia de estruturas internas de C, a priori, para determinar a distˆancia m´ınima de C deve-se calcular a distˆancia entre todos |C|₂
pares de palavras-c´odigos de C. Enquanto que, para c´odigos lineares essa complexidade cai para apenas _{|C| − 1, uma vez que, para} c´odigos lineares a distˆancia m´ınima coincide com o peso do c´odigo.

Identidade de MacWilliams

Estudando propriedades de c´odigos lineares, frequentemente, ´e importante saber quan- tas palavras-c´odigos possuem um determinado peso.

Seja C _{⊂ F}n

q um c´odigo linear. Ent˜ao o enumerador de pesos W(C, z) de C ´e dado

por W(C, z) =X c∈C zω(c)= n X i=0 Aizi,

onde, Ai ´e o n´umero de palavras-c´odigo de peso i em C.

Um dos principais resultados cl´assicos na teoria de c´odigos ´e a identidade de MacWilli- ams no espa¸co de Hamming, o qual afirma que o enumerador de peso de um c´odigo linear ´e unicamente determinado pelo de seu c´odigo dual. Mais especificamente, em 1963, F.J. MacWilliams mostrou que o enumerador de pesos de um c´odigo linear C e de seu c´odigo dual C⊥ _{s˜ao relacionados pelo pr´oximo teorema.}

Se x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) s˜ao vetores em Fnq. Considere (x, y) o produto

interno usual entre x e y, (x, y) =

n

X

i=1

xi · yi. Mesmo que a nomenclatura sugere que

esta fun¸c˜ao bin´aria seja um produto interno, apesar de ser sim´etrica e bilinear, ela n˜ao ´e positiva-definida, ou seja, temos exemplos de vetores n˜ao nulos ortogonais a si mesmo, com efeito, todo vetor x _{∈ F}n

2, com peso de Hamming par, ´e ortogonal a si mesmo, no

sentido que, (x, x) = 0. Ainda assim, o conjunto de vetores ortogonais a um c´odigo linear C_{⊂ F}n

q ´e um subespa¸co vetorial C⊥ ⊂ Fnq, que chamamos de c´odigo dual de C.

Teorema .45 (MacWilliams) Seja_{W(C, z) o enumerador de pesos de um c´odigo linear} q-´ario e seja _W(C⊥, z) o enumerador de pesos do c´odigo dual C⊥_{. Ent˜ao,}

W(C⊥, z) = 1 |C|(1 + (q− 1)z) n W  C, 1− z 1 + (q_{− 1)z}  = 1 |C| n X i=0 Ai(1− z)i(1 + (q− 1)z)n−1.

Para um c´odigo linear o conhecimento do enumerador de pesos se torna muito ´util para an´alise de seu desempenho. Por exemplo, considerando um c´odigo linear bin´ario no canal bin´ario sim´etrico, se P re denota a probabilidade que um decodificador por m´axima

verossimilhan¸ca faz uma decodifica¸c˜ao errˆonea, isto ´e, enquanto uma palavra-c´odigo foi transmitida, a palavra recebida est´a mais pr´oxima de outra palavra-c´odigo, diferente da enviada. O enumerador de pesos pode ser usado para limitar a probabilidade P re de

decodifica¸c˜ao incorreta, conforme segue

Teorema .46 ([36]) A probabilidade P re de um decodificador por m´axima verossimi-

lhan¸ca decodificar incorretamente uma palavra recebida, quando uma palavra-c´odigo de um c´odigo linear com enumerador de pesos W(z) tiver sido transmitida, satisfaz

P re ≤ W



Para maiores detalhes sobre teoria de c´odigos corretores de erros, veja [36].

M´etricas ponderadas - C´odigos Poset

Teoria de c´odigos pode ser considerada como o estudo do espa¸co de Hamming (Fn q, dH).

Diversas generaliza¸c˜oes de problemas cl´assicos da teoria de c´odigos tˆem sido desenvolvi- das introduzindo-se novas m´etricas em Fn

q, como por exemplo, Niederreiter [26, 27, 28]

generaliza o problema de encontrar a maior distˆancia m´ınima poss´ıvel de um c´odigo linear sobre Fq de comprimento n e dimens˜ao k dados. Brualdi et al. [4] generalizam o problema

de Niederreiter introduzindo o conceito de m´etricas ponderadas (ou, m´etricas poset), o qual trataremos a seguir.

Consideremos o espa¸co vetorial Fn

q das n-uplas com coeficientes no corpo Fq e um

poset_{P sobreJnK. Considerando a natural correspondˆ}encia (biun´ıvoca) entre o conjunto dos ´ındices de vetores de Fn

q e o conjunto dos elementos deP, usando o conceito de ideais

deP podemos induzir uma m´etrica em Fn

q da seguinte maneira.

Dado x = (x1, ..., xn) ∈ Fnq, lembre que o suporte de x ´e o conjunto dos ´ındices das

coordenadas de x que s˜ao n˜ao nulas, ou seja,

supp(x) = {i ∈ [n] : xi 6= 0}.

Definimos o_{P-peso de x como a cardinalidade do menor ideal de P gerado pelo suporte} de x:

ωP(x) =| hsupp(x)i |.

Usando a fun¸c˜ao P-peso, definimos a P-distˆancia em Fn

q, de modo an´alogo a proprie-

dade estabelecida anteriormente entre distˆancia e peso de Hamming, mais precisamente:

Defini¸c˜ao .47 Dada uma ordem _{P sobre JnK e x, y ∈ F}n

q definimos a P-distˆancia entre

x e y por:

dP(x, y) = ωP(x− y).

Note que, a _{P-distˆancia ´e invariante por transla¸c˜ao, i.e., dados vetores x, y, z ∈ F}n q

ent˜ao dP(x + z, y + z) = ωP(x + z− (y + z)) = ωP(x− y) = dP(x, y). Por este motivo, ´e

adequado o estudo de c´odigos lineares em espa¸cos posets, uma vez que, diversos aspectos da teoria cl´assica de c´odigos continuam v´alidos como por exemplo, distˆancia m´ınima e peso m´ınimo coincidem, decodifica¸c˜ao por s´ındrome, entre outros. Entretanto, nem todas as caracter´ısticas continuam v´alidas, como por exemplo, a rela¸c˜ao entre raio de empacotamento e distˆancia m´ınima, ρ =_bd−1

2 c estabelecida no caso de Hamming. No caso

de espa¸cos posets estes dois conceitos podem at´e n˜ao estar relacionados, isto ´e, existem c´odigos lineares em determinados _{P-espa¸cos com mesma distˆancia m´ınima e diferentes} raios de empacotamento. Al´em deste, identidade de MacWilliams, a qual estabelece,

no caso de Hamming, que a distribui¸c˜ao de pesos do c´odigo determina univocamente a distribui¸c˜ao de pesos de seu c´odigo dual, tamb´em n˜ao vale em geral, na pr´oxima se¸c˜ao apresentaremos mais detalhes neste assunto.

Os exemplos a seguir ilustram e ajudam a esclarecer essa defini¸c˜ao.

Exemplo .48 Considere n= 4, q = 2 e _{P = C}4 o poset cadeia de cardinalidade 4 onde

1≺C4 2≺C4 3≺C4 4. Dessa forma,

dC4((1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)) = 3 pois,

ωC4(0, 1, 1, 0) =| hsupp(0, 1, 1, 0)i | = | h{2, 3}i | = |{1, 2, 3}| = 3.

Exemplo .49 Se n= 4, q = 2 e _{N = {1, 2, 3, 4} o poset definido no exemplo 1.5 tal que} 1_≺N 3, 2 ≺N 3 e 2 ≺N 4 ent˜ao dN((1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1)) = 2. Com efeito,

ωN(0, 1, 0, 1) =| hsupp(0, 1, 0, 1)i | = | h{2, 4}i | = |{2, 4}| = 2.

Proposi¸c˜ao .50 ([4]) Se _{P ´e um poset de cardinalidade n, ent˜ao a P-distˆancia d}P(·, ·)

´e uma m´_{etrica em F}n q.

Chamaremos a fun¸c˜ao distˆancia dP de P-m´etrica e o espa¸co m´etrico (Fnq, dP) de P-

espa¸co ou espa¸co poset, quando n˜ao houver ambiguidades.

Note que, considerando P o poset anticadeia, ent˜ao o P -peso e a P -m´etrica coincidem com o peso de Hamming e a m´etrica de Hamming, respectivamente. De fato, basta observar que, em uma anticadeia P , todo subconjunto de P ´e um ideal. Dessa forma, ωP(x) = | < supp(x) > | = |supp(x)| = ω(x). E, portanto, A P -m´etrica ´e de fato, uma

generaliza¸c˜ao da m´etrica de Hamming.

Se P ´e a uni˜ao disjunta de cadeias de mesmo comprimento ent˜ao ωP e dP coincidem

respectivamente com o peso e a m´etrica de Neiderreiter-Rosenbloom-Tsfasman, introdu- zidas em [32], agora se justifica a nomenclatura que usamos para o poset obtido como uni˜ao disjunta de cadeias de mesmo comprimento, o poset NRT.

De maneira usual, definimos em (Fn

q, dP) as P-esferas e as P-bolas

SP(x, r) = {y ∈ An : dP(x, y) = r}

BP(x, r) = {y ∈ An : dP(x, y)≤ r},

respectivamente.

Uma vez que aP-m´etrica ´e invariante por transla¸c˜ao, a cardinalidade de uma esfera (e tamb´em de bola) ´e independente de seu centro, por esta raz˜ao, algumas vezes suprimimos o centro da esfera (e das bolas) em problemas que envolvam apenas contagem.

dada por: |SP(0, r)| = ( 1 se r = 0 Pr j=1(q− 1) j_qr−j_Ω j(r) se r > 0

onde Ωj(i) ´e o n´umero de ideais emP de cardinalidade i, contendo exatamente j elementos

maximais. A cardinalidade de uma P-bola de raio r ´e dada por

|BP(r)| = 1 + r X i=1 i X j=1 (q_{− 1)}j_qi−j_Ω j(i).

Para espec´ıficas _{P-m´etricas a express˜ao para o tamanho das P-bolas se torna bem} simples.

Exemplo .51 Se Cn ´e uma cadeia em JnK. Ent˜ao, todo ideal de Cn ´e principal, logo, Ωj(i) = 0 se j 6= 1 e para cada i ∈JnK, mais ainda, Ω1(i) = 1, para cada i∈JnK. Assim,

|BCn(r)| = 1 + r X i=1 i X j=1 (q_{− 1)}j_qi−j_Ω j(i) = 1 + r X i=1 (q_{− 1)q}i−1 _{= q}r_.

Uma propriedade, que julgamos ser interessante por si s´o, que ocorre em espa¸cos posets, ´e que posets n˜ao isomorfos podem induzir espa¸cos posets com bolas de mesmo tamanho, em outras palavras, a distribui¸c˜ao de pesos de um espa¸co poset n˜ao determina (de modo geral) a m´etrica ou o poset que induz tal distribui¸c˜ao de pesos. Conforme

No documento Extensão de isomorfismos de ideais em conjuntos parcialmente ordenados (páginas 57-80)