Extensão de isomorfismos de ideais em conjuntos parcialmente ordenados

(1)

Instituto de Matem´

atica, Estat´ıstica e Computac

¸˜

ao

Cient´ıfica

Marcos Vinicius Pereira Spreafico

Extens˜

ao de isomorfismos de ideais em conjuntos

parcialmente ordenados

CAMPINAS 2016

(2)

Extens˜

ao de isomorfismos de ideais em conjuntos parcialmente

ordenados

Tese apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estat´ıstica e Computa¸cão Ci-ent´ıfica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exi-gidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Matemática.

Orientador: Marcelo Firer

Este exemplar corresponde `a vers˜ao final da Tese defendida pelo aluno Marcos Vinicius Pereira Spreafico e orientado pelo Prof. Dr. Marcelo Firer.

CAMPINAS 2016

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Spreafico, Marcos Vinicius Pereira,

Sp77e SprExtensão de isomorfismos de ideais em conjuntos parcialmente ordenados / Marcos Vinicius Pereira Spreafico. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.

SprOrientador: Marcelo Firer.

SprTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Spr1. Conjuntos parcialmente ordenados. 2. Códigos posets. I. Firer, Marcelo,1961-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Extension of isomorphisms of ideals in partially ordered sets Palavras-chave em inglês:

Partially ordered sets Poset codes

Área de concentração: Matemática Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora:

Marcelo Firer [Orientador] José Plínio de Oliveira Santos

Antonio Carlos de Andrade Campello Junior Marcelo Muniz Silva Alves

Robson da Silva

Data de defesa: 24-10-2016

Programa de Pós-Graduação: Matemática

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Prof(a). Dr(a). MARCELO FIRER

Prof(a). Dr(a). JOSE PLINIO DE OLIVEIRA SANTOS

Prof(a). Dr(a). ANTONIO CARLOS DE ANDRADE CAMPELLO JUNIOR

Prof(a). Dr(a). MARCELO MUNIZ SILVA ALVES

Prof(a). Dr(a). ROBSON DA SILVA

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadˆemica do aluno.

(5)

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`

A minha fam´ılia, pelo suporte em toda a trajetória da minha vida. Sem dúvidas, este doutorado só foi poss´ıvel através do apoio que me deram desde a infância e apesar de procurar, não encontrei palavras que descrevessem toda minha gratidão aos meus pais.

`

A minha esposa, por todo amor e apoio que me dedicou.

Ao Marcelo pela orienta¸cão, conversas nem sempre acadêmicas e também pela apre-senta¸cão de alguns artistas dos mais diferentes(por não achar melhor palavra para des-crevê-los) que já tinha visto.

Aos membros da banca de defesa, pelos comentários e sugestões que ajudaram na ultima versão desta tese.

Aos amigos do Lab, em especial ao Jerry, sempre me ajudando com uma carona, dividindo seu quarto e discussões que levaram à resultados presentes nesta tese. Sobre as discussões devo agradecer também ao Roberto e ao Luciano um irmão pra toda obra, com quem tive o prazer de dividir uma Rep.

Aos amigos da Rep Hostel (moradores e frequentadores) pelas discussões sobre futebol, pol´ıtica, religião e etc. Em especial, pelas discussões das quartas-feiras de 2012 sempre acompanhadas de bons churrascos, os quais contribu´ıram para a evolu¸cão de um f´ıgado para uma picanha.

Aos colegas e servidores do DMAT/UEM, IMECC/UNICAMP, e INMA/UFMS. `

(7)

posets, mostramos que um tipo espec´ıfico destas identidades é caracterizada por conjuntos parcialmente ordenados (posets) que satisfazem a propriedade de extensão de ideais, isto é, posets com a propriedade de que ideais isomorfos estão em uma mesma órbita do grupo de automorfismo do poset. Na dire¸cão de classifica¸cão de tais posets, apresentamos algumas classes de posets que se apresentam como condi¸cões suficientes para a propriedade de extensão. Além disso ao se considerar P e Q posets com a propriedade de extensão e _{∗ uma opera¸cão binária entre posets, são} determinadas condi¸cões necessárias e condi¸cões suficientes para que_{P ∗ Q satisfa¸ca} a propriedade de extensão. No caso de posets série-paralelos, são obtidas condi¸cões necessárias e suficientes, o que permite a classifica¸cão dos posets série-paralelos que satisfazem a propriedade de extensão de ideais.

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When we take into account MacWilliams type identities for poset codes, natural questions arise about invariants that play the rule of weight enumerators of codes in the poset case, these invariants are linked to isomorphisms of order ideals. This lead us to investigate partially ordered sets (posets) that satisfies the ideal extension pro-perty, i.e., posets whose each isomorphism of order ideals extend to automorphism of the poset. In the direction of classification of such posets, we give some suficient conditions, necessary conditions (but not both simultaneously) and we answer the question: let _{P and Q be two posets having the ideal extension property, and ∗ be} a poset operation, is the extension property preserved by the operation _∗. Further-more, for the case of series-parallel posets we obtain a full classification for those satisfying the ideal extension property.

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Introdu¸c˜ao 10

1 Conjuntos Parcialmente Ordenados 12

1.1 Defini¸c˜oes e exemplos . . . 12

1.2 Classes Especiais de Posets . . . 14

1.3 Morfismos de ordem . . . 16

1.4 Conexidade . . . 18

2 M´etricas poset e identidades de tipo MacWilliams 20 2.1 Identidades de tipo MacWilliams em espa¸cos poset . . . 22

2.2 Rela¸c˜ao ES e extens˜ao de isomorfismos . . . 26

3 Propriedade de Extens˜ao de Ideais 30 3.1 Homogeneidade de Ideais . . . 31

3.2 Comportamento da PEI sob opera¸c˜oes em posets . . . 38

3.2.1 Soma Direta . . . 38

3.2.2 Soma Ordinal . . . 41

3.2.3 Produto Ordinal . . . 46

3.2.4 Produto Direto . . . 49

3.2.5 Produto Direto por n´ıvel . . . 55

3.2.6 Exponencial . . . 57

Perspectivas Futuras 61

Referˆencias 62

(10)

Introdu¸

c˜

ao

O problema de extensão de isomorfismos entre subestruturas é um problema estudado desde o come¸co dos anos 1950s, com o pioneiro trabalho de R. Fraissé [11], o qual considera uma estrutura relacional genérica _{M, uma subfam´ılia A ⊆ 2}M _{e diz-se que}

M é uma estrutura homogênea se todo isomorfismo entre elementos de _{A pode ser estendido a} um automorfismo de _{M. Este trabalho motivou vários outros, que focam no estudo,} constru¸cão e classifica¸cão de classes particulares de estruturas homogêneas. Dentre estas classes, destacamos as estruturas de grafos, grafos direcionados e posets de cardinalidade enumerável. Além do estudo de estruturas homogêneas em si, existem outras variantes do problema considerando, por exemplo, versões que restringem os isomorfismos que devem ser estendidos, a extensão por monomorfismos (ao invés de automorfismos) e outras mais. Neste trabalho, consideramos uma fam´ılia particular de estruturas, os conjuntos finitos parcialmente ordenados, ou posets (partially ordered set, em inglês). Considerando os posets finitos, introduzimos uma varia¸cão do conceito de homogeneidade, que chamamos de Propriedade de Extensão de Ideais, ou abreviadamente PEI, onde consideramos _A como sendo a fam´ılia de todos os ideais do poset.

A PEI surgiu de maneira natural no contexto de códigos corretores de erros. Em mea-dos da década de 90, come¸cou-se a estudar códigos corretores de erros em espa¸cos munimea-dos de métricas determinadas por posets [4]. Dentro deste contexto, um dos problemas mais desafiadores foi a generaliza¸cão do Teorema de Dualidade de MacWilliams, que relaciona a distribui¸cão de pesos de um código com a distribui¸cão de pesos do código dual. Um avan¸co significativo nesta dire¸cão foi feito por Choi et. al. [7]. Neste trabalho, os autores perceberam que o peso de vetores fornece apenas um tipo de rela¸cão de equivalência entre palavras códigos, e generalizaram o problema de dualidade, obtendo rela¸cões e identidades de tipo MacWilliams. Neste mesmo trabalho, os autores devotam aten¸cão especial a três tipos de rela¸cões, a saber, a determinada por automorfismos do poset EAut, a determinada

por isomorfismos de ideais ES e a rela¸c˜ao determinada pela cardinalidade dos ideais EC,

com a hierarquia de inclus˜oes: EAut ⊆ ES ⊆ EC. As condi¸c˜oes para termos EAut = EC ou

ES = EC s˜ao conhecidas, mas restaram desconhecidas condi¸c˜oes que garantam EAut = ES.

Ao trabalhar (em [2]) na busca de invariantes que classifiquem órbitas do grupo de isometrias de um espa¸co poset no caso particular de poset árvore(uniraiz), chegou-se ao problema bem conhecido na teoria de grafos, que é a verifica¸cão de quando árvores (unira´ızes) são ou não isomorfas [1]. Este problema, considerando posets quaisquer, con-forme veremos no Cap´ıtulo 2, é exatamente a PEI, que, por sua vez, é condi¸cão necessária e suficiente para termos EAut = ES.

A tese está organizada do seguinte modo. No Cap´ıtulo 1, introduzimos algumas propri-edades básicas de conjuntos parcialmente ordenados necessárias para o desenvolvimento do tema. No Cap´ıtulo 2, fazemos uma breve introdu¸cão à identidade de tipo

(11)

MacWil-liams para códigos poset, a fim de introduzir o principal conceito tratado nesta tese, a saber, a propriedade de extensão de ideais, o qual surge naturalmente neste contexto. No Cap´ıtulo 3, investigamos a propriedade de extensão de ideais, apresentamos algumas classes de posets que satisfazem tal propriedade, condi¸cões necessárias para um poset satisfazer a propriedade e estudamos o comportamento da propriedade em opera¸cões de posets. Com o objetivo de classifica¸cão dos posets que satisfazem a propriedade, obte-mos diversas respostas parciais. Em seguida, apresentaobte-mos algumas perspectivas futuras, problemas que permanecem sem solu¸cões. Para leitores pouco familiares com o assunto, apresentamos ainda dois apêndices, o primeiro com conceitos básicos sobre Códigos Corre-tores de Erros e o segundo dedicado a uma breve pincelada sobre estruturas homogêneas, com especial ênfase em estruturas formadas por grafos e posets.

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1 Conjuntos Parcialmente Ordenados

Nesta se¸c˜ao, introduzimos, de forma breve, alguns conceitos e propriedades relativas a conjuntos parcialmente ordenados, de modo a contextualizar o assunto principal do trabalho: a propriedade de extens˜ao de isomorfismo de ordem.

1.1 Defini¸

c˜

oes e exemplos

Seja P um conjunto não vazio. Uma rela¸cão de ordem parcial _{definida em P , é uma} rela¸cão que satisfaz, para a, b, c_{∈ P :}

(i) a a (reflexiva);

(ii) se a_{b e b a então a = b (anti-simétrica); e} (iii) se a_{b e b c então a c (transitiva).}

O par (P,) é chamado conjunto parcialmente ordenado, usualmente abreviado por poset, devido a nomenclatura em inglês partially ordered set, e denotado simplesmente por _{P. Quando necessário, a fim de evitar ambiguidades, usaremos a nota¸cão}P, para

indicar que a rela¸cão está definida no conjunto P . Abusamos da nota¸cão e escrevemos a_{∈ P significando a ∈ P . Eventualmente, chamamos o conjunto P de conjunto de rótulos} do poset_P.

Dois elementos a, b_{∈ P são ditos comparáveis se a b ou b a, caso contrário, são} ditos não comparáveis. Diremos que b cobre a se a b e não existe c 6= a e c 6= b em P tal que a c e c b. Neste caso, denotaremos a−≺ b, e por vezes diremos que b é filho de a. Por exemplo, considerando o conjunto dos números naturais com a ordem usual, temos que 3 cobre 2, 2 cobre 1 mas 3 não cobre 1.

Exemplo 1.1 Se quaisquer dois pontos distintos de_{P são não comparáveis então o poset} é chamado de anticadeia. Se um conjunto P tem cardinalidade finita n, então o poset anticadeia(P,) é denotado simplesmente por An, e o conjunto de rótulos, salvo men¸cão

contr´aria, ser´a _{JnK := {1, 2, ..., n}.}

Como um exemplo ant´ıpoda ou complementar ao acima temos:

Exemplo 1.2 Um poset_{P é chamado cadeia ou linear se quaisquer dois elementos de P} são comparáveis. Neste texto, usaremos a primeira nomenclatura, cadeia. Um exemplo de cadeia é o conjunto dos números naturais munido com a rela¸cão de “menor do que”_{(N, <).} Se um conjunto P tem cardinalidade finita n, então o poset cadeia (P,) é denotado simplesmente por _Cn, e o conjunto de rótulos, salvo men¸cão contrária, será JnK.

(13)

Podemos ainda, construir posets a partir de rela¸c˜oes j´a conhecidas, conforme os dois exemplos a seguir.

Exemplo 1.3 Seja X um conjunto finito e considere _{P(X) o conjunto das partes de X,} isto é, a fam´ılia de todos subconjuntos do conjunto X, e defina para A, B _{∈ P(X), A B} se A_{⊂ B. ´}E claro que a rela¸cão “está contido”satisfaz as condi¸cões de ordem parcial, ou seja, (P(X), ) é um poset.

Exemplo 1.4 Dados X _{⊂ N e a, b ∈ X definimos uma ordem parcial em X, a b se, e} somente, a divide b.

Para a próxima defini¸cão precisamos das seguintes no¸cões de grafos: Um grafo orien-tado G é um par ordenado G = (VG, EG), onde VG é um conjunto não vazio, chamado

conjunto de v´ertices de G e EG ⊂ VG× VG ´e o conjunto de arestas orientadas.

Quando consideramos um poset finito, podemos representa-lo convenientemente usando a rela¸c˜ao de cobertura (a qual determina, unicamente, o poset) entre os elementos de P . O diagrama de Hasse de um poset P = (P, ) ´e o grafo orientado G = (VP, EP) onde

VP = P e dados a, b∈ P , (a, b) ∈ EP se, e somente se, a−≺ b. Usualmente, desenhamos o

diagrama de Hasse de um poset finito no plano de maneira que, se b cobre a, então o ponto representando b está acima do ponto representando a. Assim, se torna desnecessário o desenho da orienta¸cão das arestas, pois as dire¸cões das flechas estão impl´ıcitas. Observe o exemplo a seguir.

Exemplo 1.5 Se _{N ´e o poset definido por N := (J4K, 1 3, 2 3 e 2 4) o diagrama} de Hasse de _{N ser´a:} 1q q 3 @ @@q 2 q 4

No exemplo acima, denotamos o poset constru´ıdo pela letra semelhante ao seu dia-grama de Hasse. Outros posets, que usualmente s˜ao denotados por letras s˜ao:

Exemplo 1.6 Sejam Λ, V e X os posets definidos em J3K, J3K e J5K, respectivamente, definidos conforme diagramas abaixo.

1q q 3 A AAq 2 2_q A A A q 1 q 3 1q q 3 A A A A A A q 2 4_q 5_q

(14)

Dados (P,_{) um poset e S ⊂ P um subconjunto de P . Diremos que (S, ) é um} subposet de P se considerarmos em S a ordem induzida pela restri¸cão da ordem de P . Assim, dizemos que S ⊂ P é uma cadeia de P se o subposet (S, P) for uma cadeia.

Dizemos que I ⊆ P, não vazio, é um ideal de P se, dado b ∈ I e a b em P, então a _{∈ I. Dado um conjunto A ⊂ P , denotaremos o menor ideal de P (com respeito a} ordem _{⊆) contendo A por hAi. Um ideal I ⊂ P é dito principal se existe a ∈ I tal que} I =_{hai, onde abusamos da nota¸cão ao escrever hai = h{a}i. Denotaremos o conjunto dos} ideais de P por_{I(P). Definimos o poset dual de P = (P,}P), denotado porP∗, como o

poset (P,P∗), tal que a _P∗ b sempre que b _P a, onde a, b ∈ P . Os ideais de P∗ s˜ao

chamados filtros de_{P e o conjunto dos filtros de P ´e denotado por F(P).}

Se A_{⊂ P, indicamos por M(A) e m(A), o conjunto dos elementos maximais e minimais} de A, respectivamente, ou seja,

M(A) = _{{a ∈ A : se b ∈ A e a b, ent˜ao a = b} e}

m(A) =_{{b ∈ A : se a ∈ A e a b, ent˜ao a = b}.}

Dados um poset _{P e a ∈ P, o posto de a é o comprimento da maior cadeia de P que} tem a como elemento máximo e é denotado por rP(a), onde o ´ındice é omitido se não

causar ambiguidades, ou seja,

r(a) = m´ax_{{|C|; C ⊂ hai e C ´e cadeia}.}

O posto r(_{P) de um poset P ´e o comprimento da maior cadeia contida em P.}

O i-´esimo n´ıvel de _{P, denotado por P}(i), ´e o subconjunto de P contendo todos

ele-mentos de posto i em P, isto ´e, P(i) := {a ∈ P; r(a) = i}. A estrutura-n´ıvel de P ´e a

sequˆencia das cardinalidades dos n´ıveis deP:

N(P ) := (n1, n2, ..., nr(P)),

onde ni =|P(i)|.

No Exemplo 1.5, temos que, r(_{N ) = 2 e N}(1) = {1, 2} e N(2) = {3, 4}, logo, a

estrutura-n´ıvel deN ´e N(N ) = (2, 2).

1.2 Classes Especiais de Posets

Recordamos e apresentamos a seguir algumas fam´ılias de posets que acompanharão todo o desenvolvimento deste trabalho. Estas fam´ılias são aquelas mais estudadas no contexto de códigos corretores de erros que discutiremos no Cap´ıtulo 3.2.6.

Exemplo 1.7 (Anticadeia) O poset anticadeia em _{JnK, j´}a apresentado anteriormente, ser´a denotado por _An e no caso de n= 5, seu diagrama de Hasse ´e

(15)

q

1 q2 q3 q4 q5

Figura 1: Poset anticadeia_A5

Exemplo 1.8 (Cadeia) O poset cadeia em_{JnK, j´}a definido anteriormente será denotado por _Cn e no caso de n= 5 sua representa¸cão em diagrama de Hasse é

q1 q2 q3 q4 q5

Figura 2: Poset cadeia _C5

Exemplo 1.9 ( Árvore) Uma árvore (uniraiz) é um poset conexo (propriedade estudada mais adiante) que satisfaz a propriedade: _{hai é uma cadeia para todo elemento a do poset,} isto é, cada ideal principal do poset é uma cadeia. Uma árvore pode ser caracterizada da seguinte maneira: Um poset _{P é uma árvore se, e somente se, para cada a ∈ P, hai é} uma cadeia e todo subconjunto finito não-vazio de _{P possui um menor elemento em P.}

q 1 P P P P P P q 2 q @ @ q5 q6 4 q 3 @ @ q7 q8 q9

Figura 3: Um poset ´arvore em _J9K

Exemplo 1.10 (Neiderreiter-Rosenbloom-Tsfasman) A uni˜ao finita e disjunta de m cadeias de mesmo comprimento s, chamaremos de ordem de Neiderreiter-Rosenbloom-Tsfasman, ou simplesmente, poset NRT_JmsK.

q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12

Figura 4: Poset NRTJ12K com m = 3 e s = 4

Exemplo 1.11 (Coroa) Chamamos de poset coroa o poset sobre J2mK, com as rela¸c˜oes definidas por 1_{m + 1, 1 2m, i m + i e i m + i − 1, para todo i = 2, 3, ..., m, e o} denotamos por CR_J2mK.

(16)

q 1 q \ \ \ \ 6 q2 q \ \ \ \ 7 q3 q \ \ \ \ 8 q4 q \ \ \ \ 9 q5 q 10

Figura 5: Poset cadeia CRJ10K

Exemplo 1.12 (Hier´arquico) Sejam n1, n2,· · · , ntinteiros positivos com n1+n2+· · ·+

nt = n. Definimos, H(n; n1, n2,· · · , nt), o poset hier´arquico sobre JnK, com t n´ıveis, no conjunto _{{(i, j)|1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ n}i} com a rela¸c˜ao de ordem dada por (i, j) ≺ (l, m) ⇔

i < l. 1 q 4 q A A A A A @ @ @ @ @ q 2 q 5 A A A AAq 3

Figura 6: Poset hier´arquico _{H(5; 3, 2)}

Note que as classes de posets apresentadas acima não são classes disjuntas. A classe de posets hierárquicos e a classe posets NRT se intersectam nas classes anticadeia ou cadeia que por sua vez também se intersectam quando n = 1. Observe ainda que, o poset coroa com 4 elementos é hierárquico.

Dizemos que um poset_{P ´e regular por n´ıvel se a quantidade de filhos de um elemento} depende apenas do n´ıvel em que ele se encontra. Em outras palavras, se a_{∈ P}(i) ent˜ao

a possui di filhos, para i = 1, ..., r(P) − 1. S˜ao exemplos de posets regulares por n´ıvel,

NRT, hierárquicos e coroas. Árvores não são necessariamente regulares por n´ıveis, mas, se o forem, esta é essencialmente determinada pela hierarquia de descendentes dada por (d1, d2..., dr(P)−1). Como dois elementos distintos de um poset árvore não possuem filhos

comuns, as cardinalidades dos n´ıveis deP satisfazem ni+1 = di·ni para i = 1, ..., r(P)−1.

Um caso especial de ´arvore regular por n´ıvel surge quando d1 = d2 = · · · = dr(P)−1 = q,

neste caso, _{P é chamado árvore regular (q-ária). Note que, uma árvore regular por n´ıvel} P com hierarquia de descendentes dada por (d1, d2..., dr(P)−1), possui n = 1 + d1+ d1d2+

· · · + d1d2dr(P)−1 elementos. Vamos denotar, a partir de agora, um poset ´arvore regular

por n´ıvel de posto t, _{T = (JnK, ≺}T), com hierarquia de descendentes (n1, n2, ..., nt−1) e

n= 1 +Pt−1 i=1 Qi j=1nj , por_{T (n; (n}1, n2, ..., nt−1)).

1.3 Morfismos de ordem

Dados dois posets P e Q, dizemos que uma aplica¸cão φ : P → Q é um homomorfismo de ordem, ou simplesmente homomorfismo, se, dados a, b_{∈ P com a}P b então φ(a) Q

(17)

P = q b A A A AAq a q c q q 1 2 Q =

A aplica¸c˜ao φ : P → Q, definida por φ(a) = 1, φ(b) = 2 e φ(c) = 2, ´e um homomor-fismo de ordem entreP e Q.

A próxima proposi¸cão segue naturalmente das defini¸cões.

Proposi¸c˜ao 1.13 [25] Dado S _{⊆ P , seja}S uma ordem em S. Temos que (S,S) ´e

um subposet do poset (P,P) se, e somente se, a aplica¸cão inclusão i : S → P é um

homomorfismo de ordem.

Proposi¸c˜ao 1.14 [25] A imagem φ(Cn) de uma cadeia Cn por um homomorfismo de

ordem φ ´e tamb´em uma cadeia.

Demonstra¸c˜ao: Considere, φ : Cn → P um homomorfismo de ordem e a, b ∈ φ(Cn).

Ent˜ao, existem x, y_{∈ C}n tais que φ(x) = a e φ(y) = b. ComoCn´e uma cadeia, temos que

x e y s˜ao compar´aveis, i.e., x Cn y ou y Cn x. Como φ preserva ordem, no primeiro

caso, teremos a φ(Cn) b, enquanto, no segundo caso, teremos b φ(Cn) a, ou seja, os

elementos a, b∈ φ(Cn) são comparáveis e, portanto, φ(Cn) é uma cadeia.

Como consequência direta da defini¸cão, qualquer fun¸cão que possui uma anticadeia como dom´ınio é um homomorfismo de ordem.

O exemplo a seguir, nos mostra que, a aplica¸c˜ao inversa de um homomorfismo entre posets, caso exista, nem sempre ´e um homomorfismo de ordem.

Exemplo 1.15 Considere P ={1, 2, 3} e Q = {a, b, c} dois posets definidos a partir dos seus respectivos diagramas de Hasse:

P = q 1 q 2 q 3 q q q a b c Q =

A aplica¸cão g : P _{→ Q, definida por g(1) = a, g(2) = c e g(3) = b, é um} homomor-fismo de ordem entre P e Q, pois a única rela¸cão de P é preservada por g, i.é, 1 P 2

e g(1) = a Q c = g(2). Uma vez que, essa fun¸cão é uma bije¸cão, a aplica¸cão inversa

(g−1) de g existe. Entretanto, a aplica¸c˜ao g−1 n˜ao preserva ordem, pois 1 P 2 mas

(18)

A partir desse exemplo, chegamos na ideia para a defini¸c˜ao de o que ´e um isomorfismo entre dois posets.

Sejam (P,P) e (Q,Q) dois posets e φ : (P,P) → (Q, Q) um homomorfismo de

ordem. Caso a inversa de φ exista e também seja um homomorfismo então dizemos que φ é um isomorfismo entre (P,P) e (Q,Q). Neste caso, dizemos ainda que P e Q são

posets isomorfos e denotamos por_{P ' Q. Podemos caracterizar isomorfismos da seguinte} maneira. Uma aplica¸c˜ao bijetora φ, entre os posets_{P e Q ´e um isomorfismo se, e somente} se, para quaisquer a, b_{∈ P,}

aP b se, e somente se, φ(a)Q φ(b).

Enfraquecendo a defini¸cão de isomorfismo, pela retirada da condi¸cão de sobrejetivi-dade, obtemos o conceito de mergulho. Se existe um mergulho de_{P em Q, diremos que P} é mergulhável em _{Q, ou ainda, que P pode ser mergulhado em Q. Um mergulho fornece} uma maneira de incluir um poset em outro.

Um isomorfismo definido de um poset nele mesmo ´e chamado um automorfismo. De-notamos o grupo de automorfismo de um poset P por Aut(_P).

Propriedades elementares de isomorfismos nos permitem afirmar que “ser isomorfo a” é uma rela¸cão de equivalência em qualquer classe de posets. Neste sentido, sempre que dois posets são isomorfos, eles podem ser considerados essencialmente os mesmos, de fato, são representantes da mesma classe de equivalência, distingu´ıveis apenas pelo rotulamento dos elementos. Por isso, algumas vezes, não rotulamos o diagrama de Hasse de alguns posets, e neste caso, estamos nos referindo a qualquer poset na mesma classe de equivalência que possui tal diagrama de Hasse. Por abuso de nota¸cão, algumas vezes usamos rótulos para referenciar vértices, isto é, se a é um elemento do poset e λ(a) um rotulamento para a, algumas vezes escreveremos a = λ(a), o que é um abuso de nota¸cão pois, a é um elemento do poset e λ(a) é uma palavra (sequência de s´ımbolos) associado à a. Dizemos que um posetP = (JnK, ) está rotulado naturalmente, ou ainda, que o rótulo de P é natural se para a, b ∈ P com a P b têm-se λ−1(a) ≤ λ−1(b), onde ≤ é a ordem

usual dos n´umeros naturais restrita a JnK.

1.4 Conexidade

Em algumas demonstra¸c˜oes que apresentaremos, utilizaremos argumentos que referem-se `a conexidade de poreferem-sets. Por isso, discutimos brevemente este conceito aqui.

Dizemos que um poset_{P ´e conexo se, e somente se, dados a, b ∈ P, existe um conjunto} {c1, c2,· · · , cn} ⊂ P, tal que a ↔ c1 ↔ c2 ↔ · · · ↔ cn ↔ b, onde u ↔ v significa que

u e v são comparáveis, ou seja, u _{v ou v u. Neste caso, dizemos que a sequência} a, c1,· · · , cn, bé um caminho entre a e b. Se definirmos a rela¸cão a∼ b em P se existir um

(19)

em _{P, cujas classes de equivalência [a] = {b ∈ X : a ∼ b}, são chamadas de componentes} conexas de P. Assim, P é conexo se, e só se, P possuir uma única componente conexa. Em outras palavras, P é conexo se, e somente se, o seu diagrama de Hasse for um grafo conexo. Vale observar que [a] é o subposet conexo maximal deP contendo a.

O resultado a seguir fornece uma rela¸c˜ao entre homomorfismo e conexidade.

Proposi¸cão 1.16 Sejam _{P e Q posets finitos com P conexo, e seja φ : P → Q um} homomorfismo. Então, a imagem φ(P) é também um poset conexo.

Demonstra¸c˜ao: Dados b1, b2 ∈ φ(P). Sejam a1, a2 ∈ P tais que φ(a1) = b1 e φ(a2) = b2.

Como_{P ´e conexo, ent˜ao a}1 ∼ a2, ou seja, existe um caminho a1, c1,· · · , cn, a2, entre a1 e

a2 e ainda, como φ ´e um homomorfismo, temos que φ(a1), φ(c1),· · · , φ(cn), φ(a2) tamb´em

(20)

2 M´

etricas poset e identidades de tipo

MacWilliams

O principal objeto de estudo desta tese é uma propriedade relativa a posets, que surgiu como relevante no contexto de Códigos Corretores de Erros. Neste cap´ıtulo fazemos uma brev´ıssima introdu¸cão de alguns poucos conceitos básicos de códigos corretores de erros1_,

apenas o suficiente para introduzir as métricas definidas por ordens parciais e explicar as identidades de tipo MacWilliams, onde o conceito de Propriedade de Extensão de Ideais adquire um significado relevante, que será apresentado no Teorema 2.13.

Como o nome diz, a teoria de códigos corretores de erros visa detectar e corrigir erros que podem ocorrer no processo de transmissão de mensagens. A possibilidade de detectar ou corrigir erros depende de acréscimo de algum tipo de redundância. Apesar do modelo de erros ser um modelo probabil´ıstico, em muitas situa¸cões a teoria é desenvolvida considerando-se estruturas métricas.

O contexto mais comum considera que o conjunto de mensagens poss´ıveis ´e um espa¸co vetorial n-dimensional Fn

q, onde Fq´e um corpo finito com q elementos. Um c´odigo corretor

de erros ´e um subconjunto pr´oprio_{C ⊂ F}n

q. Os elementos de Fnq s˜ao chamados de palavras

e os elementos de _{C são chamados de palavras código. Ao se transmitir uma palavra} código x ∈ C, alguma fonte de ru´ıdo, pode causar erros, de modo que o receptor recebe uma palavra y = x + e, onde e é o vetor de erro. O primeiro objetivo é tentar detectar a existência de erros, o que, de modo geral, pode ser feito a partir de um algoritmo de busca em todas as palavras códigos: se y /∈ C, então há a certeza de haver ocorrido um erro. O processo de deteçcão de erros pode ser significativamente simplificado (em termos de complexidade de algoritmo) ao se assumir que_{C é um subespa¸co vetorial, chamado de} código linear, e isto é comumente assumido. Dizemos que _{C é um [n, k]}_q-código linear, onde k é a dimensão de_{C como espa¸co vetorial. Dentro deste contexto, para possibilitar} a corre¸cão de erros, é necessária alguma estrutura adicional. Dois tipos de estruturas são geralmente consideradas: estrutura probabil´ıstica e estrutura métrica, esta última sendo o foco deste trabalho.

Dada uma m´etrica d : Fn

q × Fnq → N, ao se receber uma mensagem y /∈ C, procura-se

pela palavra código x∈ C que seja mais próxima de y, ou seja, d (x, y) = min {d (z, y) : z ∈ C}. Esta palavra pode não ser única, de modo que busca-se condi¸cões para, dentre outras coi-sas, garantir esta unicidade em circunstâncias adequadas. Para isto são considerados uma série de parâmetros métricos, considerados como figura de mérito de códigos. Antes de apresentar alguns destes parâmetros, introduziremos aquela que é, sem dúvida, a principal métrica utilizada no contexto de códigos corretores de erros: a métrica de Hamming.

1_{O objeto principal do trabalho, propriedades de ideais em ordens parciais, é desenvolvido em um} contexto de códigos corretores de erros. Em aten¸cão aos leitores não familiares com o contexto, um apanhado breve, mas um pouco mais amplo, pode ser encontrado no Apêndice 3.2.6

(21)

Defini¸c˜ao 2.1 (Peso de Hamming) Se x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Fnq define-se o peso de

Hamming ωH de x por

ωH(x) =|{i : xi 6= 0}|.

Defini¸c˜ao 2.2 (M´etrica de Hamming) Dados x, y _{∈ F}n

q, a distˆancia de Hamming dH

entre x e y por

dH(x, y) = ωH(x− y).

Em outras palavras, se x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn)∈ Fnq ent˜ao

dH(x, y) = |{i : xi 6= yi,1≤ i ≤ n}|

é o número de coordenadas distintas de x e y. A fun¸cão dH é uma métrica e o par (Fnq,

dH) ´e denominado espa¸co de Hamming.

Uma caracter´ıstica importante de um código linear _{C é a distribui¸cão de pesos, a} sequência formada pelo número de vetores do código com mesmo peso, sintetizada no polinômio enumerador de pesos, definido por

W(C, z) =X c∈C zω(c) = n X i=0 Aizi,

onde, Ai = Ai(C) = |{x ∈ C : ωH(x) = i}| é o número de palavras-código de peso i em C.

Neste contexto, temos um resultado clássico denominado Identidade de MacWilliams, que afirma a existência de uma rela¸cão entre a distribui¸cão de pesos de um código com a distribui¸cão de pesos de seu dual, a qual pode ser mais simples de ser determinada.

Definimos o dual de um c´odigo, de forma usual utilizando um produto interno formal. Se x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) s˜ao vetores em Fnq, considere (x· y) o produto interno

(formal)entre x e y, definido por (x· y) =Pn

i=1xiyi (mod q). Ainda que a nomenclatura

sugere que esta fun¸cão binária seja um produto interno, apesar de ser simétrica e bilinear, não faz sentido falar de positividade, visto que o corpo não é ordenado e há vetores que são auto ortogonais: se wH(x) for múltiplo de q, então (x, x) = 0. Ainda assim, o conjunto

de vetores ortogonais a um c´odigo linear C _{⊂ F}n

q ´e um subespa¸co vetorial C ⊥

⊂ Fn q,

chamado de código dual de C. Observamos que se _{C for um [n, k]}_q código linear, então Pn

i=0Ai = qk e a determina¸cão dos Ai’s, a priori, é tão dif´ıcil quanto qk for grande. Se

observarmos que dim (_{C) + dim C}⊥_{= n, temos que maior dificuldade na determina¸c˜ao}

deW (C, z) implica em menor dificuldade na determina¸c˜ao de W C⊥_{, z. Neste sentido,}

a identidade de MacWilliams [1963,[36]], que estabelece uma rela¸cão expl´ıcita entre estas duas expressões, é um resultado clássico e dos mais importantes da área.

A importância da métrica de Hamming é inquestionável, pois esta é adequada ao estudo de códigos no contexto em que o ruido que causa erros é o pior poss´ıvel (canal q-ário simétrico). Não obstante, ao menos teoricamente, outras métricas podem ser adequadas a

(22)

outros tipos de ru´ıdos. O ponto de partida deste trabalho é o estudo de códigos corretores de erros, mais especificamente, no estudo de generaliza¸cões da Identidade de MacWilliams, com uma abordagem estritamente métrica, considerando uma fam´ılia de métricas que generalizam a métrica de Hamming (as métricas poset), sendo o termo generaliza¸cão utilizado no sentido de conter a métrica de Hamming como caso particular.

Uma primeira fam´ılia de m´etricas poset foi introduzida em 1991 por Niederreiter [26, 27, 28] e pouco depois generalizada por Brualdi et al. [4], nos termos apresentados a seguir.

Se _{P ´e um poset com n elementos, a partir de P definimos uma m´etrica em F}n q, de

modo an´alogo como feito em espa¸cos de Hamming.

Dado x = (x1, ..., xn)∈ Fnq, definimos o suporte de x como

supp(x) ={i ∈ [n] : xi 6= 0}

e o _{P-peso de x como a cardinalidade do menor ideal de P gerado pelo suporte de x}

ωP(x) =| hsupp(x)i |.

Usando a fun¸c˜ao _{P-peso, definimos a P-distˆancia em F}n

q, de modo an´alogo a

proprie-dade estabelecida anteriormente entre distˆancia e peso de Hamming, mais precisamente: Defini¸c˜ao 2.3 Dada uma ordem _{P sobre} _{JnK e x, y ∈ F}n

q definimos a P-distˆancia entre

x e y por:

dP(x, y) = ωP(x− y).

Ao tratarmos de c´odigo no contexto do espa¸co poset Fn

q, dP, chamamos Fnq, dP

de espa¸co poset, ou _{P-espa¸co e dizemos que C é um código poset ou, se quisermos ser} mais espec´ıficos, que_{C é um P-código. Conceitos como esferas em (F}n

q, dP), distribui¸c˜ao

de pesos e polinômio enumerador de pesos de um código são definidos como em espa¸cos de Hamming. Dessa forma, considerando uma métrica poset em Fn

q, quest˜oes sobre a

validade de proposi¸cões estabelecidas em espa¸cos de Hamming surgem naturalmente. Em termos de nota¸cão, dada uma métrica poset dP, denotamos o enumerador de pesos de um

P-c´odigo C por WP(C, z) = n X i=0 AP_i zi onde AP i = APi (C) = |{x ∈ C : ωP(x) = i}|.

2.1 Identidades de tipo MacWilliams em espa¸

cos poset

O primeiro trabalho a considerar a identidade de MacWilliams para c´odigos poset abordou duas fam´ılias bastante restritas, os posets cadeias e os posets com dois n´ıveis

(23)

e com um ´unico elemento minimal [16]. Um trabalho mais abrangente foi realizado por Kim e Oh em [18], os autores mostraram que:

1. Existem c´odigos _C1,C2 ⊂ Fnq tais que WP(C1, z) = WP(C2, z) mas WP C₁⊥, z 6=

WP C₂⊥, z;

2. Considerando_{P como um poset hier´arquico e P}∗ _{o poset dual, ent˜ao para todo par}

de c´odigos C1,C2 ⊂ Fnq

WP(C1, z) =WP(C2, z) ⇐⇒ WP∗ C⊥

1, z = WP∗ C ⊥

2, z . (1)

Em outras palavras, Kim e Oh demonstraram a validade da identidade de MacWilliams em um P-espa¸co se P for poset hierárquico. Vale acrescentar, que no sentido estrito (considerando códigos duais e posets duais), a identidade (1) é válida (para todo código linear) apenas se _{P for hierárquico.}

Uma compreensão mais geral e profunda acerca da natureza da identidade de MacWil-liams foi feita por Choi et. al. [7], onde os autores definiram o que seriam rela¸cões de equivalência de tipo MacWilliams em espa¸cos poset. Os autores come¸cam por considerar rela¸cões entre ideais de um poset e por definir o que seria a rela¸cão dual:

Defini¸cão 2.4 [7] Sejam_{P um poset em}_{JnK e E uma rela¸}cão de equivalência definida em I(P). Dizemos que E∗ _´_{e a rela¸}_c˜_{ao dual de E em}

I(P∗_{) se satisfaz a seguinte propriedade:}

se(I, J)_{∈ E est´a definido pela propriedade (A) em I(P), ent˜ao (I}c_{, J}c₎_{∈ E}∗ _est´_{a tamb´}_em

definido pela propriedade (A) em _I(P∗).

Note que, o conjunto E∗ ₌

{((Ic_{, J}c_{)) : (I, J)}_{∈ E} ´e definido como a rela¸c˜ao dual de}

E se e somente se, os pares de E∗ _{s˜ao caracterizados pela mesma propriedade que define}

os pares de E.

As rela¸c˜oes tratadas por Choi s˜ao as seguintes:

EH: definida por automorfismos de um poset. Mais precisamente, dado subgrupo H ⊆

Aut(_{P), (I, J) ∈ E}H se, e somente se, os ideais I, J ∈ I(P) est˜ao em uma mesma

´orbita de H, isto ´e, existe σ ∈ H tal que σ(I) = J.

ES: definida por isomorfismos no conjunto de ideais de um poset. Mais precisamente,

(I, J)∈ ES se, e somente se, I e J s˜ao ideais isomorfos de P.

EC: definidas pela cardinalidade no conjunto de ideais de um poset. Mais precisamente,

(I, J)_{∈ E}C se, e somente se,|I| = |J|.

(24)

1q q 3 @ @@q 2 q 4

o poset dual de _{N , ´e o poset N}∗ dado pelo diagrama de Hasse

4q q 2 @ @@q 3 q 1

e o conjuntos de ideais de _{N ´e dados por}

I(N ) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}, {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}.

Assim,

EC = {(I, J) : I, J ∈ I(P) e |I| = |J|}

= {(∅, ∅), ({1}, {1}), ({2}, {2}), ({1}, {2}), ({2}, {1}), ({1, 2}, {1, 2}), ({2, 4}, {2, 4}), ({1, 2}, {2, 4}), ({2, 4}, {1, 2}), ({1, 2, 3}, {1, 2, 3}), ({1, 2, 4}, {1, 2, 4}),

(_{{1, 2, 3}, {1, 2, 4}), ({1, 2, 4}, {1, 2, 3}), ({1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4})}.}

Uma vez que, para I, J _{∈ I(P) temos que}

|I| = |J| ⇒ |Ic

| = |Jc

|

segue que, cada par (Ic_{, J}c₎ _{∈ E}∗

C ´e caracterizado por |Ic| = |Jc|. Neste caso, EC∗ ´e a

rela¸c˜ao dual de EC em I(N∗):

E_C∗ = {(Ic

, Jc) : (I, J)∈ EC}

= _{{({1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}), ({2, 3, 4}, {2, 3, 4}), ({1, 3, 4}, {1, 3, 4}), ({2, 3, 4}, {1, 3, 4})} (_{{1, 3, 4}, {2, 3, 4}), ({3, 4}, {3, 4}), ({1, 3}, {1, 3}), ({1, 3}, {3, 4}), ({3, 4}, {1, 3})} ({3}, {3}), ({4}, {4}), ({3}, {4}), ({4}, {3}), (∅, ∅)}.

Considerando a rela¸c˜ao em _I(N∗) dada por isomorfismos, ES, temos

ES = {(I, J) : I, J ∈ I(P) e I ' J}

= _{{(∅, ∅), ({1}, {1}), ({2}, {2}), ({1}, {2}), ({2}, {1}), ({1, 2}, {1, 2}), ({2, 4}, {2, 4}),} ({1, 2, 3}, {1, 2, 3}), ({1, 2, 4}, {1, 2, 4}), ({1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4})}.

(25)

Note que, (_{1}c_,_{2}c₎ _{∈ E}∗

S, entretanto, {1}c = {2, 3, 4} e {2}c = {1, 3, 4} n˜ao s˜ao

ideais isomorfos em _N∗. Logo, o conjunto E_S∗ não é a rela¸cão dual de ES. Assim, não

existe a rela¸c˜ao dual de ES em N .

´

E imediato constatar que EAut(P) ⊆ ES ⊆ EC. Uma quest˜ao que surge naturalmente

diz respeito a determinar condi¸cões para distinguir quando estas inclusões são ou não estritas. Choi et. al. já observaram que, do fato de a igualdade 1 valer para todo código se, e somente se, P for um poset hierárquico, segue que EAut(P) = EC se, e somente se,

P é hierárquico. Ao se considerar a inclusão ES ⊆ EC, temos que a igualdade ES = EC

também é equivalente ao poset ser hierárquico, conforme demonstrado em [21].

Condi¸cões que caracterizem a igualdade ES = EAut(P) são bem mais complexas, e é

este nosso foco: procuramos condi¸cões para que dois ideais de _{P sejam isomorfos se, e} somente se, eles pertencem a mesma órbita do grupo de automorfismos de_{P. Estudaremos} tal propriedade a partir da próxima se¸cão.

A fim de apresentar a defini¸cão de rela¸cões de tipo MacWilliams, faz se necessário a apresenta¸cão de estruturas métricas baseadas em rela¸cões de equivalência.

Dado um posetP, para I ∈ I(P), a I-esfera SI(x) e a Ic-esfera SIc(x) centradas em

x_{∈ F}n_q s˜ao definidas por

SI(x) = {y ∈ Fnq :hsupp(x − y)iP = I};

SIc(x) = {y ∈ Fn_q :hsupp(x − y)i_P∗ = Ic}.

E, considerando as classes de equivalˆencia definidas pela rela¸c˜ao E em_{I(P) podemos} definir a ¯I-esfera S_I,E¯ (x) e a Ic, E¯ ∗-esfera S_I¯c(x) centradas em x∈ Fn_q com respeito a E e

E∗ como

S_I,E¯ (x) = {y ∈ Fn_q : (hsupp(x − y)iP, I)∈ E};

S_I¯c_,E∗(x) = {y ∈ Fn_q : (hsupp(x − y)i_P∗, Ic)∈ E∗}.

Para um c´odigo poset C ⊂ Fn

q, define-se a distribui¸c˜ao de pesos de C com respeito a

E (ou equivalentemente, a distribui¸c˜ao de E- pesos)

W(C, P, E) =A_I,E¯ (C)_I∈I(P)/E_¯

onde A_I,E¯ (C) =S_I,E¯ (0)∩ C.

Para tal distribui¸c˜ao de E-pesos temos a seguinte defini¸c˜ao de identidade do tipo MacWilliams.

Defini¸cão 2.6 Seja _{P um poset em}_{JnK, E uma rela¸}cão de equivalência definida em_I(P) e E∗ a rela¸cão dual de E definida em _I(P∗). Dizemos que uma rela¸cão E em _{I(P) é}

(26)

uma rela¸c˜ao de tipo MacWilliams se, para quaisquer _{P-c´odigos lineares C}1 e C2 em Fnq,

W(C1,P, E) = W(C2,P, E) =⇒ W(C1⊥,P ∗

, E∗) =_W(C₂⊥,_P∗, E∗).

Note que, se_{P for uma anticadeia, ent˜ao E}Aut(P) = ES = EC = EC∗ e SI,E¯ ´e o conjunto

de vetores de Fn

q com peso de Hamming igual a|I|, enquanto, SI¯c_,E∗´e o conjunto de vetores

de Fn

q com peso de Hamming igual a n− |I|. Dessa forma, a distribui¸c˜ao de EC - pesos

de um código linear C,_{W(C, P, E) coincide com a distribui¸cão de pesos de Hamming de} C, e neste caso, essa identidade coincide com a identidade de MacWilliams para códigos lineares em espa¸cos de Hamming. Portanto, a defini¸cão acima, neste sentido, estende a identidade estabelecida originalmente por MacWilliams.

Encerramos esta se¸cão apresentando o resultado estabelecido por Choi et al. que fornece as condi¸cões necessárias e suficientes para as rela¸cões de equivalência apresentadas serem de tipo MacWilliams, antes precisamos da seguinte defini¸cão.

Defini¸cão 2.7 Um poset _{P é um poset complemento isomorfismo se a seguinte condi¸cão} é válida: para quaisquer I e J em _I(P),

I _{' J se, e somente se, I}c_{' J}c.

Teorema 2.8 [7] Seja _{P um poset em} _{JnK. Ent˜}ao,

(i) EH é uma rela¸cão do tipo MacWilliams, onde H é um subgrupo de Aut(P).

(ii) ESé uma rela¸cão do tipo MacWilliams se, e somente se, P é um poset complemento

isomorfismo.

(iii) EC é uma rela¸cão do tipo MacWilliams se, e somente se, P é hierárquico.

2.2 Rela¸

c˜

ao E

_S

e extens˜

ao de isomorfismos

Esta se¸cão apresenta as contribui¸cões originais deste cap´ıtulo, referentes ao estudo de identidades de tipo MacWilliams. Apresentamos a defini¸cão do principal conceito tratado nesta tese, a propriedade de extensão de ideais e mostramos algumas consequências da propriedade em espa¸cos poset.

Defini¸cão 2.9 Dizemos que um poset _{P satisfaz a propriedade de extensão de ideais (ou,} P satisfaz a PEI) se, para quaisquer I, J ∈ I(P) se φ : I → J é um isomorfismo, existe Φ um automorfismo de_{P tal que Φ estende φ.}

A abordagem de Skriganov [35], no estudo de identidades de tipo MacWilliams, con-siderando fun¸c˜oes associadas a ´orbitas de GLP(n) (o grupo de isometrias lineares do

(27)

P-espa¸co Fn

q) em espa¸cos poset NRT, naturalmente motiva generaliza¸c˜oes da quest˜ao

para P-espa¸cos. Dado x∈ Fn

q, a fim de simplificar nota¸c˜ao, denotaremos o ideal hsupp(x)i por hxi.

Defini¸c˜ao 2.10 Dizemos que um espa¸_{co poset (F}n

q, dP) possui as ´orbitas determinadas

por ideais (propriedade ˜I) se existe uma isometria linear T _{∈ GL}P(n) tal que T (x) = y

se, e somente se, _{hxi ' hyi, onde x, y ∈ F}n_q.

Exemplo 2.11 Seja _{P o poset definido pelo diagrama a seguir}

P = q 1 q 2 q 3 O poset_{P induz em F}3

2 uma métrica poset cujas órbitas de GLP(n) não são determinadas

por ideais de _{P. Com efeito, temos que os ideais {1} e {2} s˜ao claramente isomorfos,} entretanto, n˜ao existe T _{∈ GL}P(n) tal que T (1, 0, 0) = (0, 1, 0), pois GLP(n) ={Id_F3

2}.

Exemplo 2.12 De modo geral, se _{P é um poset hierárquico, GL}P(n) é transitivo em

esferas de um raio fixo e centradas na origem e, além disso, ideais em_{P são isomorfos se,} e somente se, possuem mesma cardinalidade [21]. Logo, se x, y_{∈ F}n_q, _{hxi ' hyi ⇔ |hxi| '} |hyi| ⇔ existe T ∈ GLP(n) tal que T (x) = y. Portanto, se P é um poset hierárquico o

P-espa¸co (Fn

q, dP) possui as ´orbitas de GLP(n) determinadas por ideais de P.

O resultado a seguir nos mostra que a propriedade ˜I (propriedade do espa¸co poset) e a propriedade extensão de isomorfismos de ideais (propriedade do poset) são equivalentes. A prova é baseada na estrutura do grupo de isometrias lineares do espa¸co poset e faz uso da descri¸cão deste grupo apresentada por Panek et al [30] (que pode ser encontrada no apêndice 3.2.6 desta tese).

Teorema 2.13 Um poset _{P satisfaz a PEI se, e somente se, o espa¸co poset (F}n q, dP)

possui a propriedade ˜I.

Demonstra¸c˜ao: (PEI _{→ ˜}I) Precisamos mostrar que, dados x, y _{∈ F}n

q, existe uma

isometria linear T _{∈ GL}P(n) tal que T (x) = y se, e somente se,hxi ∼ hyi.

Para tanto, suponha inicialmente que _{P satisfaz a PEI. Seja (e}i) a base canˆonica de

Fnq. Dado T ∈ GLP(n) tal que T (x) = y, segue do Teorema .58 que φT ´e um automorfismo

deP e claramente, φT(hxi) = hyi.

Suponha agora que, hxi ∼ hyi. Como P satisfaz a PEI, existe um automorfismo φ ∈ Aut(P) tal que φ(hxi) = hyi. Seja Tφ: Fq → Fq a aplica¸c˜ao definida por Tφ(x1, ..., xn) =

(xφ(1), ..., xφ(n)). Claramente, Tφ ´e uma isometria linear. Usando um abuso de nota¸c˜ao,

escrevemos M (x) para denotar o conjunto dos elementos maximais de _{hxi. Para x =} (x1, ..., xn)∈ Fnq denote por ˆx= (ˆx1, ...,xˆn) o vetor que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

(28)

(i) M (x) = M (ˆx) (ii) supp(ˆx) = M (x) e

(iii) Se i∈ supp(ˆx) ent˜ao ˆxi = 1.

Considere a matriz A = (aij) ∈ GLP(n) tal que aii = x−1i se i ∈ M(x), aii = 1 se

i /_{∈ M(x) e a}ij = 0 para i6= j. Seja Ax = (x01, ..., x 0 n), ent˜ao x 0 i = 1 se i∈ M(x) e x 0 i = xi

caso contr´ario. Considere agora a matriz B = (bij)∈ GP definida por:

bij = 1 se i = j

bij = −x−1i se xi 6= 0 e j = max {k ∈ M(x); i ≺ k}

bij = 0 caso contr´ario,

onde max refere a ordem usual ≤ dos n´umeros naturais.

Seja Tx := BA. Por constru¸c˜ao, temos que B ∈ GP e BAx = ˆx. Logo, temos que

T = T−1

y ◦ Tφ◦ Tx ´e uma isometria linear tal que T (x) = y.

( ˜I _{→ PEI) Reciprocamente, suponha agora que ˜}I ´e satisfeita pelo P-espa¸co, vamos mostrar que o poset _{P possui a propriedade de extens˜ao. Sejam I, J ∈ I(P) ideais} isomorfos de _{P. Sejam x, y ∈ F}n

q tais que, xi = 1 se i ∈ M(I) e xi = 0 caso contr´ario e

yi = 1 se i∈ J e yi = 0 caso contr´ario. Assim,hxi ' hyi e ent˜ao, como o P -espa¸co possui

a propriedade ˜I, existe T _{∈ GL}P(n) tal que T (x) = y. Considere ent˜ao φT ∈ Aut(P),

dada pelo Teorema .58. ´E claro que, φT(hxi) = hxi, dessa forma, φT ´e um automorfismo

deP, com φT(I) = J. Portanto, P possui a propriedade de extens˜ao.

Lembrando que, um filtro de um poset P ´e um ideal do poset dual P∗_{, a seguir,}

definimos o conceito dual da propriedade de extens˜ao.

Defini¸cão 2.14 Dizemos que um poset _{P satisfaz a propriedade de extensão de filtros} (PEF) se, para cada par de filtros F1 e F2 de P se, F1 e F2 são isomorfos então existe

φ_{∈ Aut(P) tal que φ(F}1) = σ(F2).

Quando as ´orbitas de GLP(n) em Fn_q s˜ao determinadas por filtros, dizemos que o

P-espa¸co tem a propriedade ˜I⊥.

Teorema 2.15 Um poset _{P satisfaz a PEF se, e somente se, o espa¸co poset (F}n q, dP)

satisfaz a propriedade ˜I⊥.

A demonstra¸cão é completamente análoga à anterior, com efeito, basta considerar o poset dual e o resultado segue do Teorema 2.13.

Observe que, a PEI não implica na PEF (e vice-versa). De fato, considere _{P um} poset árvore regular binária, com 7 elementos, rotulado naturalmente, conforme veremos

(29)

no pr´oximo cap´ıtulo, _{P possui a PEI, entretanto, F}1 = {4, 5} e F2 = {5, 6} s˜ao filtros

isomorfos deP e n˜ao existe um automorfismo φ ∈ Aut(P) tal que φ(F1) = F2. Entretanto,

quando tal fato ocorre, ou seja, quando o posetP possui ambas propriedades PEI e PEF, temos que ´e poss´ıvel definir no espa¸co poset (Fn

q, dP) uma rela¸c˜ao de tipo MacWilliams.

N˜ao obstante, temos uma descri¸c˜ao de posets que satisfa¸cam ambas as propriedades (PEI E PEF):

Proposi¸cão 2.16 Considere _{P um poset em} _JnK. Se _{P satisfaz a PEI e a PEF,} simul-taneamente, então _{P é um poset complemento isomorfismo.}

Demonstra¸c˜ao: Dados I, J _{∈ I(P), se I ∼ J ent˜ao, pela PEI, existe φ ∈ Aut(P) tal} que φ(I) = J, e assim, φ(Ic_{) = J}c_{, logo, I}c _{∼ J}c_{. Reciprocamente, suponha que I}c_{∼ J}c_,

como I e J s˜ao ideais de P, segue que Ic _{e J}c _{s˜ao filtros de P , dessa forma, pela PEF,}

existe σ∈ Aut(P) tal que σ(Ic_{) = J}c_{, e assim, σ(I) = J, isto ´e, I} _{∼ J. Portanto, P ´e um}

poset complemento isomorfismo.

Conjecturamos que a rec´ıproca dessa proposi¸cão também é verdadeira, isto é, se _P é um poset complemento isomorfismo então _{P possui a propriedade de extensão PEI e} PEF.

Como consequência da Proposi¸cão 2.16 e Teorema 2.8, temos o seguinte corolário.

Corolário 2.17 Se um poset _{P possui as propriedades PEI e PEF. Então, E}S é uma

rela¸c˜ao do tipo MacWilliams em _P.

Se enfraquecermos a defini¸c˜ao de poset complemento isomorfismo, de modo que, P ´e um poset complemento isomorfismo∗ se, para qualquer I e J em I(P),

I _{∼ J ⇒ I}c_{∼ J}c,

ent˜ao temos que,

Corolário 2.18 Considere _{P um poset em} _JnK. Se _{P tem a PEI então P é um poset} complemento isomorfismo∗.

Note que, este resultado nos fornece uma condi¸c˜ao de obstru¸c˜ao para um poset satis-fazer a PEI.

(30)

3 Propriedade de Extens˜

ao de Ideais

As propriedades que abordamos no cap´ıtulo anterior, PEI e PEF, podem ser consi-deradas como casos particulares de propriedades de extensão ou, para utilizar uma ter-minologia consagrada em rela¸cões mais genéricas que as rela¸cões de ordem, as chamadas estruturas homogêneas.

No come¸co da década de 1950, Fraissé [11] formula um problema de extensão de isomorfismos em Teoria de Modelos, o qual é apresentado a seguir de maneira concisa mas suficiente para inserir as propriedades citadas em um contexto amplo. Alguns detalhes, incluindo enunciados precisos de resultados citados, podem ser encontrados no Apêndice 3.2.6.

Estamos interessados em uma estrutura relacional binária M = (X, R) onde X é um conjunto não vazio e R ⊆ X × X é um subconjunto não vazio, chamado de rela¸cão binária. Estas estruturas contém uma série de exemplos importantes, como um grafo (bastando impor que (x, y) _{∈ R ⇐⇒ (y, x) ∈ R e (x, x) /}_{∈ R, ∀x ∈ X ), grafos} direcionados ((x, x) /_{∈ R, ∀x ∈ X) e posets (grafos direcionados sem ciclos). Apesar} de ser poss´ıvel definir estruturas homogêneas em um contexto mais amplo de teoria de modelos (veja, por exemplo o survey de MacPherson sobre o asssunto [22]), para fins deste trabalho é suficiente considerarmos as rela¸cões binárias. Dizemos que M0 _{= (X}0_,_R0_{) é}

uma subestrutura de M = (X, R) se X0 _{⊆ X e R}0 ₌ _{{(x, y) ∈ R : x, y ∈ X}0_{}. Um}

homomorfismo entre duas estruturas relacionais bin´ariasM1 = (X1,R1) eM2 = (X2,R2)

´e uma aplica¸c˜ao φ : X1 → X2 tal que (x, y) ∈ R1 implica em (φ(x), φ(y)) ∈ R2. Um

isomorfismoé um homorfismo bijetor, tal que sua inversa também é um homorfismo. Um isomorfismo de _{M em M é chamado automorfismo de M.}

Defini¸cão 3.1 Seja _{M uma estrutura e A uma cole¸cão de subestruturas finitas de M.} Dizemos que, _{M é uma estrutura A-homogênea se todo isomorfismo entre elementos de} A pode ser estendido a um automorfismo de M.

Quando não causar preju´ızos, escreveremos apenas estruturas homogêneas sem espe-cificar a cole¸cão de subestruturas.

Muitos trabalhos sobre o assunto focam na constru¸cão de classes de estruturas ho-mogêneas, no estudo de exemplos espec´ıficos de estruturas homogêneas ou na classifica¸cão destas.

Em [22], encontramos um panorama dos principais resultados relativos a classifica¸cão de estruturas relacionais binárias. Originalmente, no caso de M ser um grafo finito e A a cole¸cão de todos os subgrafos a classifica¸cão foi apresentada em([31], Ronse, 1978) e o caso de M ser um poset enumerável e A ser a classe de todos os subposets finitos, em ([34], Schmerl, 1979). Detalhes sobre estes dois resultados podem ser encontrados no Apêndice 3.2.6.

(31)

Vale ressaltar que, como caso particular do teorema de classifica¸cão de Schmerl, con-siderando P como um poset finito e A a classe de todos os subposets, temos que P é A-homogêneo se, e somente se, P for uma anticadeia. Isto é um fato quase que ele-mentar, que segue do fato que quaisquer dois átomos são subposets isomorfos e caso se encontrem em n´ıveis diferentes, então é claro que não existe um automorfismo do poset que estende tal isomorfismo, uma vez que automorfismos preservam a estrutura de n´ıveis de um poset.

Se considerarmos _{M = P e A = I(P), dizer que a estrutura P é I(P)-homogênea é} claramente equivalente a dizer que _{P satisfaz a PEI. Neste sentido, podemos dizer que a} PEI é um caso particular de estrutura homogênea sobre _{P aparentemente não abordado} na literatura, motivado por uma questão que surge naturalmente no contexto de códigos poset: identidades de tipo MacWilliams, ou de modo mais preciso, conforme apresentado no Cap´ıtulo 2, determinar quando ES = EAut(P). Nosso objetivo neste cap´ıtulo é estudar

esta questão. Nas sessões seguintes, são apresentadas condi¸cões necessárias e condi¸cões suficientes (mas não necessárias e suficientes) para um poset P ser I(P)-homogêneo ou, equivalentemente, para_{P satisfazer a PEI.}

3.1 Homogeneidade de Ideais

Os problemas de homogeneidade no contexto de posets são estudados em diversas va-riantes, algumas delas expostas com breves detalhes no Apêndice 3.2.6. O foco principal deste trabalho é no problema de classifica¸cão de posets finitos _{I(P)-homogêneos.} Inici-amos esta se¸cão com alguns exemplos a fim de tornar o conceito de PEI mais claro, em seguida, apresentamos algumas fam´ılias de posets que satisfazem a PEI, ou seja, condi¸cões suficientes para um poset satisfazer a PEI. Vale ressaltar que as fam´ılias de posets apre-sentadas são as mais tratadas no contexto de códigos poset e que introduzimos uma nova fam´ılia neste contexto, a saber, as árvores (unira´ızes) regulares por n´ıvel. Mais adiante, apresentamos algumas condi¸cões necessárias para um poset satisfazer a PEI.

Exemplo 3.2 Trivialmente, os posets com 1 e 2 elementos possuem a propriedade de extensão. Para posets com3 elementos temos que, o único poset, a menos de isomorfismo, que não possui a propriedade de extensão é _C2+ 1, cujo diagrama de Hasse é apresentado

abaixo. 1q q 3 q 2

Com efeito, os ideais _{{1} e {2} s˜ao trivialmente isomorfos, mas n˜ao existe um} au-tomorfismo de _C2+ 1 que estenda qualquer isomorfismo entre esses ideais, uma vez que,

Aut(_C2 + 1) ={Id}, o único automorfismo de C2 + 1 é a aplica¸cão identidade. No caso

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1q q 3 @ @@q 2 q 4

o qual não possui a propriedade de extensão. De fato, os ideais _{{1} e {2} são trivialmente} isomorfos, mas não existe um automorfismo de_{N que estenda qualquer isomorfismo entre} esses ideais, uma vez que, Aut(_{N ) = {Id}.}

Considerando posets com 4 elementos, é poss´ıvel verificar que dos 16 posets (não rotulados) existentes, temos que exatamente 9 possuem a propriedade de extensão, e destes, 8 são hierárquicos e o outro é um NRT. Os próximos dois resultados, nos mostram que essas duas fam´ılias de posets possuem a propriedade de extensão, não só para posets de cardinalidade 4 mas para quaisquer posets finitos.

Relembre algumas nota¸c˜oes: I(P) denota o conjunto de ideais de o poset P, Aut(P) denota o grupo de automorfismos do poset P, P(i) denota o i-´esimo n´ıvel de P e M(A)

denota o conjunto dos elementos maximais em A.

Teorema 3.3 Se _{P é um poset hierárquico então P satisfaz a propriedade de extensão.}

Demonstra¸c˜ao: Seja _{H(n, n}1, n2,· · · , nt) um poset hier´arquico com t-n´ıveis em n

ele-mentos. A fim de simplificar a nota¸c˜ao denotaremos o poset _{H(n, n}1, n2,· · · , nt) por H.

Sejam I, J _{∈ I(H) e φ : I → J um isomorfismo. Devemos construir Φ ∈ Aut(H) tal que} Φ|I = φ.

´

E claro que,

(i) _{|M(I)| = |M(J)|; e}

(ii) M (I), M (J)⊂ H(r), para algum r∈ {1, 2, ..., n}. Como H ´e hier´arquico, se a ∈ H(i)

e b∈ H(i+1) ent˜ao b cobre a (a−≺ b).

Temos então que φ_|H_(r) é uma bije¸cão entre M (I) e M (J). Naturalmente, esta pode

ser extens´ıvel a uma permuta¸c˜ao Φr : H(r) → H(r). Observamos que, I(i) = J(i) = H(i)

para todo i < r, poisH é hierárquico. Logo, φ|H(i) é uma permuta¸cão de H(i).

Defina, Φ :H → H, dada por,

Φ(x) =      φ(x) se x_{∈ H}(i) e 1 ≤ i ≤ r − 1; Φr(x) se x∈ NrH; x se x_{∈ N}_iH e r + 1≤ i ≤ t.

Dessa forma, Φ é claramente uma bije¸cão e preserva a estrutura de n´ıveis deH. Logo, dados a, b ∈ H, temos que, a ≺H b se, e só se, a está em um n´ıvel abaixo ao n´ıvel de b

(33)

de Φ(b), e sendo _{H hier´arquico, segue que Φ(a) ≺}H Φ(b). Em outras palavras, Φ ´e um

automorfismo deH que estende φ.

Relembrando que posets anticadeias são posets hierárquicos com apenas um n´ıvel e posets cadeias são posets hierárquicos de largura um, temos o seguinte resultado.

Corolário 3.4 Se _{P é um poset Cadeia ou Anticadeia então P satisfaz a propriedade de} extensão.

Como já mencionado, posets obtidos como união disjunta de cadeias de mesmo com-primento, isto é, posets NRT, possuem a propriedade de extensão.

Teorema 3.5 Se _{P é um poset NRT então P satisfaz a propriedade de extensão.}

Demonstra¸c˜ao: Considere P o poset NRT com m cadeias de comprimento s. Sem perda de generalidade, podemos escrever,

P = C1 s · ∪ C2 s · ∪ · · ·∪ C· m s , onde Ci

s ´e uma cadeia de posto s, para cada i = 1, ..., m.

Introduzimos um rotulamento dos v´ertices de P , da seguinte maneira, a cada elemento a _{∈ P , associamos o par (i, j) com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ s, onde i denota a cadeia C}_si, a qual cont´em a, e j denota o posto (altura) de a (p(a) = j). Note que, com este rotulamento, se a, b _{∈ P com a = (i}1, j1) e b = (i2, j2), temos que, a P b se, e somente

se, i1 = i2 e j1 ≤ j2 (≤ denota a ordem usual dos naturais).

Sejam I, J _{∈ I(P) dois ideais isomorfos e f o isomorfismo correspondente. Vamos} construir F _{∈ Aut(P ) tal que F |}I = f . Para a ∈ I, defina F (a) = f(a). agora, para

a_{∈ P \I, considere a decomposi¸c˜ao de I e J em uni˜oes disjuntas:}

I = Ii1 _{∪ I}· i2 _{∪ · · · I}· ik _{e J = J}j1 _{∪ J}· j2 _{∪ · · · J}· jk

de modo que, Iir ⊂ Cir

s e Jjr ⊂ Csjr, e f (Iir) = Jjr, para 1 ≤ r ≤ k. Dessa forma, f

induz uma bije¸c˜ao σf : {i1, ..., ik} → {j1, ..., jk}. Considere agora δf : JmK\{i1, ..., ik} → JmK\{j1, ..., jk} uma bije¸c˜ao qualquer.

Se_{hai ∩ I 6= ∅ ent˜ao a ∈ C}ir

s para algum r ∈JkK, definimos F(a) = F (ir, j) := (σf(ir), j) = (jr, j) =: b.

Se_{hai ∩ I = ∅, definimos}

(34)

´

E claro que F está bem definida e, além disso, F é um isomorfismo. Com efeito, se a1 ≺P a2 então, é claro que, a1 e a2 pertencem a mesma cadeia e assim, a1 = (i, j1)

a2 = (i, j2) com j1 < j2. Dessa forma, se i ∈ {i1, ..., ir} ent˜ao F (a1) = (σf(i), j1)

e F (a2) = (σf(i), j2) e ent˜ao, como j1 < j2 segue que, F (a1) ≺P F(a2). Agora, se

i _∈ _JmK\{i1, ..., ir} ent˜ao, F (a1) = (δf(i), j1) e F (a2) = (δf(i), j2), logo, como j1 < j2

segue que, F (a1) ≺P F(a2). Portanto, F ∈ Aut(P ) e F |I = f , ou seja, P possui a

propriedade de extens˜ao.

Em [2], mostramos que poset ´arvore regular por n´ıvel tamb´em possui a PEI.

Teorema 3.6 Se _{P é um poset árvore regular por n´ıvel, então P satisfaz a propriedade} de extensão.

Demonstra¸c˜ao: Seja P uma ´arvore regular por n´ıvel com n elementos e hierarquia de descendentes dada (d1, d2..., dp(P )−1).

Assim como no resultado anterior, vamos introduzir um rotulamento de P, que será conveniente para nosso propósito. Para cada a _{∈ P, associamos o rótulo definido pela} sequência de inteiros λ(a) = α1α2...αj, tais que, αm ∈ JdmK, com m = 1, ..., j . Note que esse rotulamento é consistente com a ordem de P , isto é, dados a, b _{∈ P com λ(a) =} α1α2...αj e λ(b) = β1β2...βk então aP b se e só se, j ≤ k e βi = αi para todo i = 1, ..., j,

ou seja,

λ(b) = (λ(a)|βj+1...βk).

Para c∈ I denote por Λc,I o conjunto dos filhos de c que n˜ao pertencem a I, ou seja,

Λc,I ={1 ≤ j ≤ dp(c): (λ(c)|j) /∈ I}.

Note que, Λc,I =∅ se c /∈ M(I).

Sejam I, J _{∈ P, dois ideais isomorfos e f o isomorfismo correspondente. A fim de} mostrar que _{P possui a propriedade de extensão vamos construir F ∈ Aut(P) tal que} F_|I = f . Para tanto, defina a aplica¸cão F : P → P, nos elementos de I como a própria

f, ou seja, para a∈ I, F (a) = f(a). Assim, j´a garantimos que F |I = f .

Se a∈JnK\I , pela defini¸c˜ao de ´arvore temos:

1. hci ´e uma cadeia para todo c ∈JnK.

2. Qualquer par de ideais de P possui interse¸c˜ao n˜ao vazia.

Logo, _{hai ∩ I 6= ∅. Considere ent˜ao a}I o elemento maximal dehai ∩ I (a existˆencia de

aI ´e garantida pelo segundo item acima, enquanto, a unicidade ´e garantida pelo primeiro

item), e b1, b2, ..., br(a)−r(aI)−1 ∈ P elementos de P tais que,

(35)

E, considere o rotulamento de a:

λ(a) = (λ(aI)|βr(aI)+1, ..., βr(a))

Como_{P é regular por n´ıvel e I e J são ideais isomorfos (f preserva posto), segue que} o número de filhos de aI que não estão em I e o número de filhos de f (aI) que não estão

em J s˜ao iguais, isto ´e,

|ΛaI,I| = |Λf (aI),J|.

Note que, ΛaI,I 6= ∅, uma vez que, ao menos (λ(aI)|β1)∈ ΛaI,I. Logo, existe uma bije¸c˜ao

γaI :Jdp(aI)K → Jdr(f (aI))K tal que, γaI(ΛaI,I) = Λf (aI),J e (λ(f (aI))|γaI(j)) = λ(f (λ(aI)|j)),

para j ∈Jdp(aI)K\ΛaI,I. Em outras palavras, γaI induz uma aplica¸c˜ao que coincide com f

nos filhos de aI que est˜ao em I.

Podemos agora definir F (a), como o elemento de P que possui o r´otulo

(λ(f (aI))|γaI(βr(aI)+1)βr(aI)+2...βr(a)).

Dessa forma, como γaI é uma bije¸cão eP é regular por n´ıvel, F está bem definida. Mais

ainda, F é isomorfismo pois, dados a, b∈JnK\I com a ≺P b, λ(b) = (λ(a)|βr(a)+1...βr(b)) = (λ(aI)|αr(aI)+1...αr(a)βr(a)+1...βr(b)) e então, F (b) e F (a) são os elementos de P rotulados

por

(λ(f (aI))|γaI(αr(aI)+1)αr(aI)+2...αr(a)βr(a)+1...βr(b)) e

(λ(f (aI))|γaI(αr(aI)+1)αr(aI)+2...αr(a)),

respectivamente. Logo, F (a) _≺P F(b). Portanto, F ∈ Aut(P) e F |I = f , ou seja, P

satisfaz a PEI.

Passamos agora a estudar de modo mais gen´erico posets que satisfazem a PEI.

Proposi¸c˜ao 3.7 Seja _{P um poset que satisfaz a PEI e A e B anticadeias em P. Ent˜ao,}

hAi ' hBi =⇒ hAi ' hBi

onde, X ={y ∈ P : x−≺ y, para algum x ∈ X} ´e o conjunto dos filhos de X ⊂ P.

Demonstra¸cão: De fato, se hAi ' hBi e P satisfaz a propriedade de extensão, então existe um automorfismo φ deP tal que φ(hAi) = hBi, mais ainda, devemos ter, φ(A) = B (φ deve levar elementos maximais de hAi em elementos maximais de hBi). E como, φ preserva a rela¸cão de cobertura, isto é, x−≺ y ⇔ φ(x)−≺ φ(y), devemos ter que,

(36)

Corolário 3.8 Se um poset _{P satisfaz a propriedade de extensão então,}

hAi ' hBi =⇒ |A| = |B|.

Exemplo 3.9 Se CR_{J2mK e m ≥ 2, ´}e um poset coroa, então satisfaz a PEI se, e só se, m _{≤ 3. Com efeito, a condi¸cão de suficiência é uma simples verifica¸cão que os posets} CR_{J4K e C RJ6K satisfazem a PEI. Para a condi¸}cão necessária, suponha que m > 3, e que CR_{J2mK est´}a rotulado naturalmente. Assim, os ideais_{{1, 2} e {1, 3} são isomorfos, uma} vez que, são anticadeias de mesmo comprimento. Entretanto,_{{1, 2} = {m+1, m+2, 2m}} e _{{1, 3} = {m + 1, m + 2, m + 3, 2m}, assim, |{1, 2}| 6= |{1, 3}|, logo, do corolário acima,} CR_{J2mK com m > 3 n˜}ao possui a propriedade de extensão.

Note que, CR_{J4K ´}e um poset hierárquico enquanto CR_{J6K n˜}ao está em alguma fam´ılia dos posets que possuem a propriedade de extensão, apresentados anteriormente.

De modo análogo à proposi¸cão anterior, podemos mostrar que

Proposi¸cão 3.10 Se um poset _{P satisfaz a propriedade de extensão então,}

hAi ' hBi =⇒ h bA_{i ' h b}B_i

onde, bX = _{{y ∈ P : x−≺ y, para todo x ∈ X} ´e o conjunto dos filhos comuns dos} elementos de X.

No esfor¸co para encontrar condi¸cões necessárias e suficientes para um poset satisfazer a PEI, foram feitas diversas tentativas que se mostraram infrut´ıferas. Por seu caráter ilustrativo, vamos enunciar aqui algumas destas propriedades, come¸camos com algumas defini¸cões e observa¸cões.

Um poset graduado ´e um poset P munido com uma fun¸c˜ao posto ρ : P → N satisfa-zendo as propriedades:

• A fun¸cão posto preserva ordem (considerando em N a ordem usual dos números naturais), isto é, para quaisquer x, y _{∈ P com x}P y então ρ(x)≤ ρ(y);

• A fun¸cão posto preserva a rela¸cão de cobertura, isto é, para quaisquer x, y ∈ P se y cobre x, x−≺P y, então ρ(y) = ρ(x) + 1.

Um poset ranqueado ´e um poset _{P, que satisfaz ao menos uma das trˆes seguintes} propriedades:

• P ´e um poset graduado;

• Para todo x ∈ P, cada cadeia maximal que possui x como elemento maximal possui mesmo comprimento;

(37)

• Toda cadeia maximal em P possui mesmo comprimento.

Perguntamo-nos então sobre as seguintes possibilidades de obstru¸cão à PEI.

1. Se P satisfaz a PEI ent˜ao P ´e um poset graduado.

2. Se P satisfaz a PEI e |m(P)| = 1 então, P é um poset graduado. 3. Se _{P satisfaz a PEI então P é um poset ranqueado.}

4. Se um poset_{P possui a propriedade de extens˜ao ent˜ao, dados x, y ∈ P com x}P y,

todas as cadeias maximais com elementos minimal x e elemento maximal y tˆem mesmo comprimento.

Todas estas conjecturas mostraram-se falsas, refutadas pelo mesmo contraexemplo. Considere o poset _{P dado pelo diagrama de Hasse abaixo.}

Observe que, o poset _{P satisfaz a PEI, entretanto não é graduado, pois qualquer} fun¸cão posto definida emP não preserva a rela¸cão de cobertura, uma vez que o elemento maximal de P cobre dois elementos com diferentes postos. E ainda, é fácil ver que P possui cadeias maximais com tamanhos diferentes, logoP não é ranqueado.

Segundo Schmerl [34], o estudo de estruturas homogêneas é facilitado por uma técnica, bastante usada neste contexto que, considera a classe de estruturas finitas mergulháveis nelas. Schmerl, neste contexto, se refere às classifica¸cões das estruturas homogêneas.

Conjecturamos que é poss´ıvel mergulhar um poset que não satisfaz a PEI em um poset que a satisfaz. A ideia consiste, basicamente, em adicionarmos vértices e arestas ao poset original de modo a tornar cada n´ıvel o mais regular poss´ıvel, sem alterar as rela¸cões já existentes do poset, isto é, se dois vértices são não comparáveis, no poset original, eles continuarão não comparáveis. Por exemplo, nos diagramas a seguir, claramente o poset à esquerda não satisfaz a PEI, dentre as razões para tanto destaca-se que existem dois elementos no primeiro n´ıvel que possuem um elemento filho comum e outros dois elementos no primeiro n´ıvel que não possuem algum filho em comum. Assim, adicionando um vértice e duas arestas, como na figura, o tornamos uma coroa com 6 elementos, a qual satisfaz a PEI. Note que, no poset obtido quaisquer dois elementos no primeiro n´ıvel possuem um filho em comum.