2.2 REDE DE PETRI
2.2.2 Extensões da Rede de Petri
A rede de Petri clássica não apresenta nenhum vínculo temporal associado ao seu funcionamento. Contudo, a maioria das atividades, ações, associadas ao funciona- mento de sistemas tem como ponto essencial uma análise temporal. Com o objetivo de expandir a aplicação das PNs para modelar sistemas foram propostas inúmeras extensões temporizadas como complementos às PNs clássicas.
Segundo Murata (1989), as PNs temporizadas podem ser determinísticas, quando os atrasos são deterministicamente dados, ou estocásticas, quando os atrasos são probabilisticamente especi cados. A inserção destes atrasos nas transições e/ou lugares no modelo, permite, por exemplo, a análise de desempenho e de problemas em sistemas dinâmicos (MURATA, 1989).
Na representação de modelos, as transições por vezes, são representadas de maneiras distintas, de forma a demonstrar mais claramente o atraso ou a distribuição probabilística associada. Na gura 18 são mostradas algumas representações para as transições no software MOCA-RP.
Instantânea
Temporizada com tempo fixo
Temporizada com distribuição probabilística exponencial associada Temporizada com distribuição probabilística Weibull associada
Figura 18: Representação de transições no Software MOCA-RP Fonte:O Autor, 2019
As Redes de Petri Estocásticas (SPNs, do inglês Stochastic Petri Nets), podem ser de nidas como redes onde cada transição está associada a uma distribuição probabi- lística aleatória da variável que fornece o atraso para o disparo da transição (MURATA, 1989). Segundo Barroso e Almeida (1990) às SPNs permitem o cálculo e a análise de
medidas de desempenho de sistemas modelados a partir da associação da capacidade des- critiva das redes de Petri convencionais, a noção de tempo. Quando comparada a cadeia de Markov e outros modelos de espaço de estados as SPNs fornecem uma grande vantagem na aplicação para a análise de con abilidade e disponibilidade de sistemas, pois podem gerenciar e compreender relações entre ações e estados de maneira simples e concisa (Zeng et al., 2012).
Uma extensão da SPN permite a obtenção de uma Rede de Petri Estocástica Generalizada (GSPNs, do inglês Generalized Stochastic Petri Nets). Neste tipo de rede cada transição pode ser disparada em um tempo nulo, ou respeitando um tempo exponen- cialmente distribuído. Assim, as transições podem ser divididas em transições imediatas e transições temporizadas (Barroso; Almeida, 1990).
As transições imediatas possuem tempo de disparo igual a zero, tendo prio- ridade de disparo em relação as temporizadas, enquanto que as transições temporizadas apresentam tempos de disparo representadas através de variáveis aleatórias com distri- buição probabilística (ARTEIRO et al., 2007).
Para as transições imediatas pode-se atribuir peso, o qual corresponde a um fa- tor probabilístico considerado na escolha estocástica da próxima transição a ser disparada quando mais de uma transição imediata está habilitada, indicando seu nível de prioridade (ARTEIRO et al., 2007). Outra possibilidade quando transições imediatas são habilita- das simultaneamente é o desenvolvimento de lógicas por meio de variáveis auxiliares para gerenciamento do uxo da rede.
Outra extensão das SPNs, de particular interesse neste trabalho, são as Redes de Petri Estocásticas e Determinísticas (SDPNs, do inglês Stochastic Deterministic Pe- tri Nets), as quais foram utilizadas para o desenvolvimento do modelo proposto, sendo apresentadas na próxima seção de forma mais detalhada.
2.2.2.1 Redes de Petri Estocásticas e Determinísticas
As SDPNs permitem a utilização de transições imediatas e temporizadas, sendo que à última, pode ser atrelado um tempo deterministicamente ou estocastica- mente de nido (ARTEIRO et al., 2007). Formalmente, uma SDPN é uma 7-tupla N = (P, T , Π, I, O, M, W ), onde:
T = {t1, t2, . . . , tn} é um conjunto nito de transições;
Π : T → N é a função de prioridade, onde:
Π(t) =
≥ 1, se t ∈ T é uma transição imediata; 0, se t ∈ T é uma transição temporizada.
I : (T × P ) → N é a relação de entrada que de ne as multiplicidades de arcos direcionados de lugares para transições;
O : (T × P ) → N é a relação de saída que de ne as multiplicidades de arcos direcionados de transições para lugares;
M : P → N mapeia a marcação inicial (#), correspondente à quantidade de tokens em cada local p ∈ P . Em conjunto, as marcações de nem o estado atual do modelo. A marcação de um lugar p ∈ P é denotada #p;
W : T → R+ é a função de ponderação que representa um peso (wt∈ N), um atraso
determinístico (λdt ∈ R), ou um atraso estocástico (λst ∈ R), de tal modo que:
W (t) = wt≥ 0, se t ∈ T é imediato; λdt > 0, se t ∈ T o tempo é determinístico; λst > 0, se t ∈ T o tempo é estocástico.
A trajetória no espaço de estados de N depende das condições pré e pós de t, de nida respectivamente pelos conjuntos •t = {p ∈ P | I(t, p) > 0} e t• =
{p ∈ P | O(t, p) > 0}. Então, diz-se que t foi ativado em uma marcação M se, e somente se, ∀p ∈ •t, M (p) ≥ I(t, p). Portanto, um estado de N muda quando uma
transição habilitada é disparada. Somente transições habilitadas podem ser disparadas. As transições imediatas são disparadas assim que são habilitadas; Transições com tempo determinístico apresentam um atraso exato λdt de disparo; e transições com um tempo estocástico de atraso λst, são associadas a uma variável aleatória. Tempos de atraso de transições são inversamente proporcionais a frequência de disparo, relação que de ne suas taxas de ocorrência.
Quando uma transição habilitada é disparada, ela move os tokens do lugar de entrada para o de saída. Portanto, disparando uma transição t ∈ T habilita uma marcação M, causando uma nova marcação M0 de tal modo que ∀p ∈ (•t ∪ t•), M0(p) =
é limitado, se houver um limite k > 0 para o número de tokens em todos os lugares, garantindo um espaço de estado nito.
As SDPNs permitem que métricas sejam calculadas tanto via simulação quanto pela análise de espaço de estados. No caso de análise em espaço de estados, uma SDPNs é de fato convertida em uma cadeia de Markov para a análise. Além disso, elas permitem combinar transições exponenciais para modelar distribuições de tempo mais complexas, ampliando sua aplicabilidade em sistemas baseados em eventos.
2.3 DISPONIBILIDADE DE SISTEMAS