No planejamento din^amico integrado da expans~ao da capacidade do sistema de energia
eletrica,asdecis~oessobreosinvestimentosnagerac~aoenatransmiss~aos~aorealizadassimultane-
amente,aolongodosanosqueconstituemohorizontedeplanejamento. Apartirdasinformac~oes
referentesaosvaloresdedemandaprevistosparacadaano,juntamentecom ascapacidadesins-
taladas e candidatas de gerac~ao e de transmiss~ao (com seus respectivos custos de operac~ao e
instalac~ao),determina-seondeequandodevemserrealizadosinvestimentosdemodoqueovalor
presentedocusto total de operac~ao e expans~ao do sistemaeletrico sejaminimizado.
Na formulac~ao do problema de otimizac~ao correspondente, o contnuo crescimento da de-
manda e da gerac~ao ao longo do tempo | que e delimitado pelo horizonte considerado | e
aproximadoporcrescimentosdiscretosqueocorrememanosespec cosquev~aode nirosdiver-
sos estagios representados. Aposcada um dos estagios, considera-se que o sistema permanece
inalterado ate o estagiosubsequente,conforme ilustraaFigura 3.2.
Como na formulac~ao estatica, a func~ao objetivo deste problema de otimizac~ao apresenta
uma parcela relacionada com o investimento, representada porc(x) e outra relacionadacom a
operac~ao,representadapord(y). Na Figura3.3,tem-se umarepresentac~aonotempodoscustos
envolvidosna expans~ao dacapacidade ena operac~ao do sistema. Oanot
0
serve debasepara o
t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 D 3 D 2 D 1 D 0 D 4 T 1 T 2 T 3 T 4 Demanda[MW] t[ano]
Figura3.2: Durac~ao dosestagios.
o perodo de tempo considerado. Observar que os equipamentos vinculados aos investimentos
do estagio tdevemestardisponveis paraoperac~ao apartir doinstantet
t .
Paraoproblemadin^amico,apartedafunc~aoobjetivo,z,relacionadacomoinvestimentocor-
respondeaosomatoriodovalorpresentedosrecursosnecessariosparaaconstruc~aodasunidades
geradoras, linhas de transmiss~ao e transformadores nos diversos estagios considerados | par-
celas c 1 (x);c 2 (x);;c T
(x) da Figura 3.3. A parte de z relacionada com o uso corresponde
ao somatorio do valor presente dos custos anuais de operac~ao do sistema ao longo de todo o
horizonteconsiderado| parcelas d
1 (y);d 2 (y);;d T (y) daFigura 3.3.
Considerandoa taxa de desconto anual I, osvalorespresentesdoscustos de investimento e
operac~ao, noano base t
0 ,s~ao dados por: c(x) = (1 I) t1 t0 c 1 (x)+(1 I) t2 t0 c 2 (x)++(1 I) t T t0 c T (x) (3.15) d(y) = t 2 1 X t=t 1 (1 I) t t0 d 1 (y)+ t 3 1 X t=t 2 (1 I) t t0 d 2 (y)++ t T+1 1 X t=t T (1 I) t t0 d T (y) (3.16)
Para simpli car a notac~ao, o fator de desconto utilizado para converter em valor presente
o custo de investimento do estagio t da express~ao (3.15) sera representado por Æ t
inv
e o fator
utilizado paraconverterem valorpresente ocusto de operac~ao do estagio tda express~ao (3.16)
serarepresentadoporÆ t oper . De ne-se, assim: c(x) = Æ 1 inv c 1 (x)+Æ 2 inv c 2 (x)++Æ T inv c T (x) (3.17) d(y) = Æ 1 d 1 (y)+Æ 2 d 2 (y)++Æ T d T (y) (3.18)
Operac~ao Ano base Investimento Estagio1 Investimento Estagio2 Investimento EstagioT c1(x) d1(y) d1(y) d1(y) Estagio2 Estagio1 c2(x) c3(x) d 3 (y) t0 d2(y) d2(y) d2(y) c(x) t2+1 t3 1 t3 tT tT +1 EstagioT cT(x) dT(y) dT(y)dT(y) t T+1 1 t1 t1+1 t2 1 t2 d(y) tT +1 Investimento t[ano] t[ano]
Figura3.3: Determinac~aodo valor presente{ problemadin^amico.
em que: Æ t inv = (1 I) t t t 0 (3.19) Æ t oper = t t+1 1 t 0 X p=tt t0 (1 I) p (3.20)
Deformaanalogaasexpress~oesestaticas(videpagina 16),naexpress~ao (3.19),considera-se
que o desembolso do investimento sera realizado no momento em que o equipamento estiver
disponvelparaosistema,ouseja, noinciodoprimeiroanode suaoperac~ao. Damesmaforma,
em (3.20),asparcelas anuais referentes aoperac~aodo sistemas~aoiguaise computadas comose
fossem pagas noinciode cadaano.
Deacordocomo modeloderedeutilizadopararepresentarosistemade transmiss~ao,o pro-
blemadoplanejamentodin^amicointegradodaexpans~aodossistemasdegerac~aoedetransmiss~ao
podeser formuladode diversasmaneiras, como mostrado aseguir.
3.3.1 Modelo de transportes
a seguinte forma: Min v= T X t=1 h Æ t inv P ij c ij n t ij + P i C i N t i +Æ t oper P i OC t i G t i + P j oc t j g t j + P k r t k i s.a. Sf t +G t +g t +r t =d t jf t ij j P t m=1 n m ij +n 0 ij f ij P t m=1 N m i G i G t i P t m=1 N m i G i g t j g t j g t j 0r t d t n t ij n t ij n t ij N t i N t i N t i P T t=1 n t ij n ij P T t=1 N t i N i n t ij e N t i inteiros f t ij irrestrito t=1;2;;T (3.21) em que:
v { valor presente do custo total de expans~ao e operac~ao do sistema ao longo de todosos
anos queconstituem ohorizonte de planejamento [$];
Æ t
inv
{ fatordedescontoparadeterminarovalorpresentedoinvestimento realizadonoestagio
t |videEquac~ao 3.19;
n t
ij
{ numerode linhas adicionadasao corredorij no estagiot;
N t
i
{ numerode geradores candidatos iadicionadosno estagio t;
Æ t
oper
{ fator de desconto alterado paraconsiderar tambem a durac~aoem anosdo estagio t|
videEquac~ao3.20 [ano];
OC t
i
{ custo de operac~ao dogeradorcandidato ino estagiot [$/ano];
G t
i
{ injec~aode pot^encia ativado geradorcandidato ino estagiot [pu];
oc t
j
{ custo de operac~ao dogeradorjainstaladoj no estagio t[$/ano];
g t
j
{ injec~aode pot^encia ativado geradorja instaladoj no estagio t[pu];
{ fator paracompatibilizar aunidadede custo comcorte de carga [$/ano];
r t
k
{ corte de carga nabarra k noestagio t[pu];
S { matriz incid^encia no-ramoda redeinicial edosramos candidatos;
f t
{ vetor dos uxosde pot^encia ativanos ramosno estagiot [pu];
G t
{ vetor dasinjec~oesde pot^encia ativa dosgeradores candidatos no estagiot [pu];
g t
{ vetor dasinjec~oesde pot^encia ativa dosgeradores ja instaladosno estagio t[pu];
r t
{ vetor doscortes de carganasbarras noestagio t[pu];
d t
{ vetor dasdemandas de pot^enciaativa no estagiot [pu];
f t
ij
{ uxo de pot^encia ativa no ramoij no estagio t[pu];
n 0
f
ij
{ uxo maximo de pot^encia ativano ramo ij [pu];
G
i
{ gerac~ao mnimado geradorcandidato i[pu];
G
i
{ gerac~ao maxima dogerador candidatoi[pu];
g t
j
{ gerac~ao mnimado geradorja instaladoj no estagio t[pu];
g t
j
{ gerac~ao maxima dogerador jainstaladoj no estagio t[pu];
n t
ij
{ numeromnimode linhas queprecisamser adicionadasno corredor ij noestagio t;
n t
ij
{ numeromaximo delinhas quepodemser adicionadasnocorredor ij no estagiot;
N t
i
{ numeromnimode geradores candidatos ique precisamser adicionadosno estagiot;
N t
i
{ numeromaximo degeradores candidatosique podemser adicionadasno estagio t;
n
ij
{ numerototal maximo de linhasquepodemser adicionadasno corredorij;
N
i
{ numerototal maximo de geradores candidatosique podem seradicionados;
T { numerode estagios considerados.
As variaveis de investimento s~ao representadas pelo numero de equipamentos de gerac~ao,
N t i ,ede transmiss~ao,n t ij
,aseremadicionadosnosdiversosestagiost=1;2;;T. Asvariaveis
de operac~ao, relativas ao estagio t=1;2;;T, s~ao representadas pelas injec~oes dosgeradores
candidatos adicionados, G t i , e existentes, g t j
, e pelos uxos de pot^encia ativa nos ramos, f t
ij .
Alemdisto,umainjec~ao ctciaadicional,r t
k
,eutilizadaparaquanti carocustoden~aoatender
parcialmente ou totalmente o valorprevisto parasuademanda.
Os limites mnimos n t ij e N t i
s~ao empregados para contemplar as decis~oes previas em in-
vestimentos que podem n~ao ser otimos para (3.21) mas que ja est~ao em curso de realizac~ao e
precisam serrespeitados. Os limitesmaximosn t
ij eN
t
i
representamrestric~oesrelacionadas com
aviabilidadedaconstruc~aonotempoeoslimitesn
ij eN
i
representamoslimitesnaturaissobre
a capacidade fsica.
Do mesmo modo como foi observado na pagina 19, o problema assim formulado torna-se
de um problema convexo de programac~ao linear inteira mista (PLIM) e permite resolver o
planejamento da expans~ao de sistemas eletricos mesmo quando a rede de transmiss~ao n~ao e
conexa.
3.3.2 Modelo do uxo de carga CC
Quandoarede detransmiss~ao existenteeaslinhas etransformadores candidatoss~ao repre-
Min v= T X t=1 h Æ t inv P ij c ij n t ij + P i C i N t i +Æ t oper P i OC t i G t i + P j oc t j g t j + P k r t k i s.a. B t t +G t +g t +r t =d t P t m=1 n m ij +n 0 ij j t i t j j P t m=1 n m ij +n 0 ij ij P t m=1 N m i G i G t i P t m=1 N m i G i g t j g t j g t j 0r t d t n t ij n t ij n t ij N t i N t i N t i P T t=1 n t ij n ij P T t=1 N t i N i n t ij e N t i inteiros t i irrestrito t=1;2;;T (3.22) em que: B t
{ matriz suscept^ancia da redeiniciale dosramoscandidatosno estagio t[pu]:
t
{ vetor dos^angulos defase dofasor tens~ao nodalno estagiot [radianos];
t
i
{ ^angulo de fasedo fasor tens~ao nodaldabarra ino estagiot [radianos].
Comonomodelodetransportes,asvariaveisde investimentos~aorepresentadaspelonumero
deequipamentosdegerac~ao,N t
i
,edetransmiss~ao,n t
ij
,aseremadicionadosnosdiversosestagios
t=1;2;;T. As variaveis de operac~ao,relativasao estagio t=1;2;;T,s~ao representadas
pelasinjec~oesdosgeradorescandidatosadicionados, G t
i
,eexistentes, g t
j
,e pelos ^angulosde fase
dos fasores tens~ao nodal, t
i
. A injec~ao ctciaadicional, r t
k
,e acrescentada as barrasde carga
para quanti car o custo de n~ao atender parcialmenteou totalmente o valor previsto para sua
demanda.
Como observado na pagina 21, o problema assim formulado e de um problema de progra-
mac~ao n~aolinear inteiramista (PNLIM).
3.3.3 Modelo hbrido
Quando a rede de transmiss~ao existente e representada atraves das equac~oes do uxo de
Min v= T X t=1 h Æ t inv P ij c ij n t ij + P i C i N t i +Æ t oper P i OC t i G t i + P j oc t j g t j + P k r t k i s.a. B 0 t +S 1 f t +G t +g t +r t =d t j t i t j j ij 8ij 2 0 jf t ij j P t m=1 n m ij f ij 8ij 2 1 P t m=1 N m i G i G t i P t m=1 N m i G i g t j g t j g t j 0r t d t n t ij n t ij n t ij N t i N t i N t i P T t=1 n t ij n ij P T t=1 N t i N i n t ij e N t i inteiros t i e f t ij irrestritos t=1;2;;T (3.23) em que: t
{ vetor dos ^angulosde fasedo fasor tens~ao nodal dasbarras da rede inicialno estagio t
[radianos];
f t
{ vetor dos uxosde pot^encia ativanos ramoscandidatos no estagiot [pu];
t
i
{ ^angulo de fasedo fasor tens~ao nodaldabarra ida redeinicial noestagio t[radianos];
f t
ij
{ uxo de pot^encia ativa no ramocandidato ij noestagio t [pu].
As variaveis de investimento continuam sendo o numero de equipamentos de gerac~ao, N t i , e de transmiss~ao, n t ij
, a serem adicionados nos diversos estagios t = 1;2;;T. As variaveis
de operac~ao, relativas ao estagio t=1;2;;T, s~ao representadas pelas injec~oes dosgeradores
candidatos adicionados, G t i ,e existentes, g t j
, pelos ^angulos de fasedos fasores tens~ao nodaldas
barras que fazem parte da rede inicial, t
i
, e pelos uxos de pot^encia ativa nos ramos da rede
candidata, f t
ij
. Observar que os ^angulos de fase das tens~oes nodais so s~ao de nidos para as
barras quefazem parte da rede inicial,8ij 2
0
. Poroutro lado,as variaveis relacionadas com
o uxo depot^encia ativa nosramossos~ao de nidasparaosramos candidatos,8ij 2
1 .
Comomencionadonapagina22,omodelohbridoassimformuladomantemascaractersticas
desejaveisdomodelodetransporteseconstituiumproblemadeprogramac~aolinearinteiramista
Decomposic~ao de Benders e o
planejamento din^amico integrado da
expans~ao
4.1 Introduc~ao
Comoapresentadono Captulo3, oproblemade expans~ao dascapacidadesde gerac~ao ede
transmiss~ao dos sistemas de energia eletrica pode ser representado pelo seguinte problemade
otimizac~ao [Pereira etal.,1985]:
Min z=c(x)+d(y)
s. a. A(x)b
E(x)+F(y)h
(4.1)
Neste problema, as variaveis x representam as decis~oes a respeito das capacidades de gerac~ao
e de transmiss~ao e as variaveis y representam as decis~oes a respeito do modo de operac~ao do
sistema. A(x)bs~aoasrestric~oesassociadasasdecis~oesdeinvestimentoeE(x)+F(y)hs~ao
asrestric~oesassociadasasdecis~oesdeoperac~ao|paraumadescric~aomaisdetalhada,consultar
a pagina 14.
Considerando a decomposic~ao natural entre as decis~oes de investimento e de operac~ao, o
problema do planejamento da expans~ao pode ser representado por um processo de decis~ao em
duas etapas:
Etapa 1 (Subproblema de Investimento) { Determina-se uma decis~ao de investimento
factvelx
,ouseja, tal queA(x
)b.
Etapa 2(Subproblemade Operac~ao) {Utilizando adecis~aode investimentox
e operadoda forma maise ciente possvel, istoe,minimizandoo custo deoperac~ao d(y):
Min d(y)
s. a. F(y)h E(x
)
(4.2)
Observarquena restric~aodoproblema(4.2) otermoE(x
)passaparaoladodireito,pois
e conhecido.
Neste processo de decis~ao, o objetivo e minimizar a soma dos custos de operac~ao e de
investimento, conformeilustraa Figura4.1.
+
Etapa1(Investimento)
A(x
)b
Etapa2(Operac~ao)
Min d(y) s. a. F(y)h E(x ) d(y ) Min c(x ) x y
Figura4.1: Processo de decis~ao emduasetapas.
A metodologia de decomposic~ao e baseada nasseguintes observac~oes:
Os custosde operac~ao d(y
), ondey
e asoluc~ao otimado problema(4.2), pode ser visto
como uma func~ao (x) da decis~ao de investimento x, talque:
(x) = Min d(y)
s. a. F(y)h E(x)
(4.3)
O problema da expans~ao da capacidade do sistema da equac~ao (4.1), pode ser reescrito
em termos dasvariaveis xda seguinte maneira:
Min z=c(x)+ (x)
s. a. A(x)b
A func~ao (x) fornece informac~ao sobre as consequ^encias das decis~oes de investimento x
em termos de custos de operac~ao. Em outras palavras, o problema da Etapa 2 e mapeado no
problemadaEtapa1atravesde (x)[PereiraePinto,1983]. Seestafunc~aoestivessedisponvel,
o problema da expans~ao da capacidade poderiaser resolvidosem uma representac~ao explcita
do subproblema de operac~ao. Como isto geralmente n~ao ocorre, a func~ao (x) precisa ser
determinadaeometododadecomposic~aodeBenderseutilizadoparaconstru-la,comaprecis~ao
requerida,a partirda soluc~ao dosubproblema de operac~ao, comoemostrado na Figura 4.2.
Iniciarcomuma
aproximac~ao (x)~
Resolveroproblema
aproximadodeinvestimento
Dadouminvestimento,
resolveroproblemaexato
deoperac~ao
Usarosresultadospara
construirumamelhor
aproximac~aode (x)~
Figura 4.2: Decomposic~ao de Benders.
No metodo da decomposic~ao de Benders, os problemas das Etapas 1 e 2 s~ao resolvidos
iterativamente doseguintemodo [Pereira etal.,1985]:
1. Iniciar comuma aproximac~ao (x)~ queeum limiteinferiorpara (x).
2. Etapa 1 { Subproblema de Investimento: Resolver uma aproximac~ao do problema
de expans~ao da capacidade(4.4):
Min z=c(x)+ (x)~
s. a. A(x)b
(4.5)
3. Asoluc~aootimadoproblema(4.5)eumlimiteinferiorparaoproblemageraldaexpans~ao
da capacidade (4.1):
4. Etapa 2 { Subproblema de Operac~ao: Resolvero problemadeoperac~ao: Min d(y) s. a. F(y)h E(x ) (4.7) onde x
e a soluc~ao do problema (4.5). Observar que o problema(4.7) e escrito somente
em termos dasvariaveis y porquex
e conhecido.
5. Sejay
asoluc~aodoproblema(4.7),ent~aoopar(x
;y
)eumasoluc~aofactveldoproblema
geralde expans~ao da capacidade(4.1) mas n~ao necessariamenteasoluc~ao otima. Ovalor
correspondente da func~aoobjetivo:
z=c(x )+d(y ) (4.8)
e, portanto, umlimitesuperiordo valor da soluc~aootima do problemageralde expans~ao
dacapacidade (4.1).
6. Se z z e menor do que uma dada toler^ancia, o processo termina e o par (x
;y
) e a
soluc~ao otima do problema (4.1). Caso contrario, gerar uma nova aproximac~ao (x)~ a
partirdasoluc~aodoproblema(4.7)|estaaproximac~aocontinuasendoumlimiteinferior
para (x). Retornar paraoPasso 2.
OsPassos1{6descrevemaslinhasgeraisdo esquema dadecomposic~aode Benders. Deve-se
observarqueasetapasdeinvestimento(problema(4.5)doPasso2)edeoperac~ao(problema(4.7)
do Passo 4) s~ao resolvidos separadamente, explorando, matematicamente, a decomposic~ao na-
tural entre asdecis~oes de investimento e operac~ao.
Outracaracterstica importantedometododa decomposic~ao deBenderse adisponibilidade
doslimitesinferioresuperiordasoluc~aootima acadaiterac~ao. Esseslimitespodemserutilizados
para umcriterio efetivo deconverg^encia, como mostrado noPasso 6.
A atualizac~ao da aproximac~ao (x)~ e realizadaa partirdosmultiplicadoresdeLagrange da
soluc~ao do problema(4.7). Tais multiplicadoresavaliam asmudancasno custo de operac~ao do
sistema causadasporvariac~oesmarginais noplano deinvestimentosemteste enascapacidades
das linhas e podem ser empregados para produziruma restric~ao linear, escrita em termos das
variaveis de investimento x. Essasrestric~oes, conhecidascomoCortes de Benders, s~ao incorpo-
radasao subproblemade investimento,queemodi cadoenovamenteresolvidoparadeterminar
um novoplano de investimento paraser testado.