4.4 Aspectos geométricos de uma EDE com retardo e saltos
4.4.1 Fibrado de bases e levantamento horizontal
Seja 𝑀 uma variedade diferenciável, com dimensão 𝑛. O fibrado de bases associado a essa variedade, que denotamos por 𝐵𝑀, é o conjunto de todos os isomorfismos lineares
𝑝 : 𝑅𝑛 → 𝑇
𝑥𝑀 para 𝑥 ∈ 𝑀. A projeção 𝜋 : 𝐵𝑀 → 𝑀 mapeia 𝑝 ao correspondente 𝑥 ∈ 𝑀.
𝐵𝑀 é um fibrado principal sobre 𝑀, com ação a direita do grupo de Lie 𝐺𝐿(𝑛, R), dado
pela composição com os isomorfismos lineares.
Dado 𝑝 na variedade diferenciável 𝐵𝑀, cada espaço tangente 𝑇𝑝𝐵𝑀 pode ser decomposto
como uma soma direta de subespaços horizontal e vertical, que denotamos por 𝐻𝑝𝐵𝑀 e
𝑉𝑝𝐵𝑀, respectivamente. O subespaço vertical é determinado por 𝑉𝑝𝐵𝑀 = 𝐾𝑒𝑟(𝜋*(𝑝)),
onde 𝜋* denota a derivada da projeção 𝜋. Por outro lado, o subespaço horizontal 𝐻𝑝𝐵𝑀 fica
estabelecido pela conexão ∇ em 𝑀.
Neste contexto, podemos considerar o levantamento horizontal de um vetor 𝑣 ∈ 𝑇𝑥𝑀 em
𝑝 ∈ 𝜋−1(𝑥) como o único vetor tangente 𝑣𝐻 ∈ 𝐻𝑝𝐵𝑀 tal que 𝜋*(𝑝)(𝑣𝐻) = 𝑣.
Dizemos que a curva diferenciável 𝛼 : 𝐼 → 𝐵𝑀 é horizontal quando sua derivada pertence ao subespaço 𝐻𝛼(𝑡)𝐵𝑀 para todo 𝑡 ∈ 𝐼. De fato, dada uma curva diferenciável por partes,
um resultado importante é a existência do seu levantamento horizontal segundo a conexão ∇, que transcrevemos a seguir (veja [13]):
Proposição 4.4.1. Seja 𝛽 : [0, 𝑇 ) → 𝑀 uma curva diferenciável por partes, e fixe um
a propriedade que 𝜋(𝛽𝐻(𝑡)) = 𝛽(𝑡) para todo 𝑡 no domínio. A curva 𝛽𝐻 é denominada o
levantamento horizontal de 𝛽.
Mais precisamente, temos que o levantamento horizontal de uma curva diferenciável 𝛽 no ponto 𝑝 é a curva no fibrado de bases 𝐵𝑀 dada por 𝛾𝐻
𝑝 (𝑡) := 𝑃0,𝑡∇(𝛾) ∘ 𝑝, onde 𝑃0,𝑡∇ representa
o transporte paralelo de vetores ao longo da curva 𝛽 entre os tempos 0 e 𝑡 segundo a conexão ∇ (veja [7]).
Vale considerar que, se 𝛾 é uma curva càdlàg com saltos, com o transporte paralelo sobre
𝛾 que definimos anteriormente, faz sentido falar em levantamento horizontal ao fibrado de
bases desta curva, desde que fixada uma família de curvas que ‘preenchem suas lacunas’. Destacamos ainda que cada elemento 𝐴 na álgebra de Lie 𝒢𝑙(𝑛, R) correspondente ao grupo de Lie 𝐺𝐿(𝑛, R) determina um campo de vetores vertical em 𝐵𝑀 em um ponto
𝑝 ∈ 𝐵𝑀, dado por:
𝐴*(𝑝) = 𝑑
𝑑𝑡 (𝑝 · exp 𝐴𝑡)|𝑡=0.
A função 𝒢𝑙(𝑛, R) ↦→ 𝑉𝑝𝐵𝑀 é claramente sobrejetiva.
Nosso resultado principal desta seção caracteriza o levantamento da solução de uma EDE com retardo e saltos em 𝑀 como a solução de uma EDE com retardo no fibrado de bases
𝐵𝑀. No entanto, para que possamos definir uma equação deste tipo em 𝐵𝑀, precisamos de
uma conexão nesta variedade.
Existem muitas maneiras de estender uma conexão ∇ de 𝑀 ao fibrado de bases 𝐵𝑀. Neste trabalho, estamos particularmente interessados na conexão ∇𝐻, denominada levanta-
mento horizontal de ∇, que é definida (para uma conexão ∇ livre de torção), como a única conexão em 𝐵𝑀 que satisfaz:
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∇𝐻 𝐴*𝐵* = (𝐴𝐵)* ∇𝐻 𝐴*𝑋𝐻 = 0 ∇𝐻 𝑋𝐻𝐴 * = 0 ∇𝐻 𝑋𝐻𝑌𝐻 = (∇𝑋𝑌)𝐻 (4.4.1)
Mais detalhes sobre esta conexão podem ser encontrados em Cordero, Dodson e de Leon [10]. Uma propriedade importante da conexão ∇𝐻 é que o transporte paralelo comuta com
o levantamento horizontal. Mais precisamente, tomando uma curva diferenciável 𝛼 em 𝐵𝑀, para qualquer vetor 𝑣 ∈ 𝑇𝜋∘𝛼(0)𝑀, temos que 𝑃∇
𝐻
0,𝑡 (𝛼)(𝑣𝐻) = (𝑃0,𝑡∇(𝜋∘𝛼)(𝑣))𝐻 (a esse respeito,
veja [7]).
A partir desta propriedade, Catuogno e Ruffino provam que, no caso contínuo, o levan- tamento horizontal da solução de uma EDE com retardo é também solução de uma EDE no correspondente fibrado de bases 𝐵𝑀, em relação à conexão ∇𝐻. Nesse sentido, transcrevemos
Proposição 4.4.2. Seja 𝛼 solução da seguinte equação diferencial com retardo no caso determinístico: ⎧ ⎨ ⎩ 𝑑𝑥 𝑑𝑡(𝑡) = 𝑃 ∇ 𝑡−𝑑,𝑡(𝑥) 𝑋(𝑥(𝑡 − 𝑑)) 𝑥(𝑡) = 𝛼(𝑡) for 𝑡 ∈ [−𝑑, 0], (4.4.2)
onde ∇ é uma conexão em 𝑀, 𝑋 é campo de vetores em 𝑀 e 𝛼 : [−1, 0] → 𝑀 é uma curva diferenciável. Então o levantamento horizontal 𝛼𝐻
𝑝 é solução de: ⎧ ⎨ ⎩ 𝑑𝑥 𝑑𝑡(𝑡) = 𝑃 ∇𝐻 𝑡−𝑑,𝑡(𝑥) 𝑋𝐻(𝑥(𝑡 − 𝑑)) 𝑥(𝑡) = 𝛼𝐻 𝑝 (𝑡) for 𝑡 ∈ [−𝑑, 0]. (4.4.3)
Na próxima seção, generalizamos esse resultado para soluções do nosso modelo de EDE com retardo em relação a um semimartingale com saltos.
4.4.2
Resultados principais
Assim como na seção anterior, inicialmente tratamos de sistemas determinísticos. Nesse sentido, usando a conexão estendida ∇𝐻 definida anteriormente, vamos mostrar que o le-
vantamento horizontal de nosso modelo determinístico de equações com retardo e saltos é solução de uma equação correspondente em 𝐵𝑀.
Seja 𝐹 : 𝑀 → 𝑇 𝑀 um campo de vetores diferenciável, e 𝛽0 : [−𝑑, 0] → 𝑀 uma curva
diferenciável (condição inicial). Considere 𝛾 a solução da seguinte equação diferencial com retardo e saltos em 𝑀: ⎧ ⎨ ⎩ 𝑑𝑥(𝑡) = 𝑃𝑡−𝑑,𝑡∇ (𝑥) 𝐹 (𝑥(𝑡 − 𝑑)) 𝑑𝑆𝑡 𝑥(𝑡) = 𝛽0(𝑡) for 𝑡 ∈ [−𝑑, 0],
Esta solução induz naturalmente a família ℬ𝐹 de curvas ao longo do fluxo determinístico
nos saltos, como definimos na seção 4.3.1. Fixe 𝑝 ∈ 𝜋−1(𝛾(−𝑑)). Considere 𝛽𝐻
0 : [−𝑑, 0] →
𝐵𝑀 o levantamento horizontal de 𝛽0 no ponto 𝑝, e seja 𝐹𝐻 o levantamento horizontal do
campo de vetores 𝐹 . Nessas condições:
Teorema 4.4.3. O levantamento horizontal 𝛾𝐻,ℬ𝐹
𝑝 é solução da seguinte equação diferencial
com retardo e saltos em 𝐵𝑀 com respeito a conexão ∇𝐻:
⎧ ⎨ ⎩ 𝑑𝑢(𝑡) = 𝑃𝑡−𝑑,𝑡∇𝐻 (𝑢) 𝐹𝐻(𝑢(𝑡 − 𝑑)) 𝑑𝑆 𝑡 𝑢(𝑡) = 𝛽𝐻 0 (𝑡) for 𝑡 ∈ [−𝑑, 0]. (4.4.4)
Demonstração. Seja (𝑡𝑛)𝑛∈Na sequência crescente de descontinuidades do integrador 𝑆𝑡. Seja
𝑢 : [0, ∞) → 𝐵𝑀 a solução da equação (4.4.4), cuja existência e unicidade é garantida na
Seção 4.3.1. Vamos mostrar, por indução no número de saltos, que 𝑢(𝑡) = 𝛾𝐻,ℬ𝐹
𝑝 (𝑡) para todo
tempo 𝑡 ≥ 0.
Note que, para 𝑡 ∈ [0, 𝑡1), a solução 𝑢(𝑡) é dada por uma equação diferencial com retardo
e sem saltos. Dessa forma, podemos aplicar diretamente a Proposição 4.4.2 para o caso contínuo, e obtemos a igualdade. Em particular, defina 𝑝1 := lim
𝑠→𝑡1−
𝑢(𝑠) = lim
𝑠→𝑡1−
𝛾𝐻,ℬ𝐹
𝑝 (𝑠).
No tempo 𝑡1, quando o primeiro salto ocorre, tome a curva 𝛽1 ∈ ℬ𝐹. Vale recordar que
esta curva é solução da EDO 𝑦′(𝑡) = 𝐽
1𝐹(𝑦), com condição inicial 𝑦(0) = 𝜋(𝑝1). Considere
o seu levantamento horizontal 𝛽𝐻
1 em 𝑝1. Como 𝛽1𝐻 é a solução de 𝑧′(𝑡) = 𝐽1𝐹𝐻(𝑧), com
condição inicial 𝑧(0) = 𝑝1, temos que 𝑢(𝑡1) = 𝛾𝑝𝐻,ℬ𝐹(𝑡1). Agora, argumentando por indução,
suponha que 𝑢(𝑡) = 𝛾𝐻,ℬ𝐹
𝑝 (𝑡) para todo 𝑡 ∈ [−𝑑, 𝑡𝑚], com 𝑚 ≥ 1.
Afirmamos que essa igualdade também é válida no intervalo (𝑡𝑚, 𝑡𝑚+1]. Seja 𝑘 o número
de saltos no intervalo (𝑡𝑚 − 𝑑, 𝑡𝑚). Vamos considerar duas possibilidades, de acordo com o
tempo decorrido entre os saltos 𝑚 − 1 e 𝑚.
Inicialmente, para o caso (𝑡𝑚+1− 𝑡𝑚) > 𝑑, temos:
𝑡𝑚 < 𝑡𝑚−𝑘+ 𝑑 < . . . < 𝑡𝑚−1+ 𝑑 < 𝑡𝑚+ 𝑑 < 𝑡𝑚+1,
e aqui é suficiente analisar cada um desses (𝑘 + 2) subintervalos. Para o primeiro deles, ou seja, (𝑡𝑚, 𝑡𝑚−𝑘+ 𝑑), consideramos uma equação diferencial com retardo (𝑑 + 𝑘 + 1), onde a
condição inicial é dada pela concatenação das seguintes curvas: • 𝑢𝑡, no intervalo [𝑡𝑚− 𝑑, 𝑡𝑚−𝑘); • 𝛽𝐻 𝑚−𝑘, no intervalo [0,1]; • 𝑢𝑡, no intervalo [𝑡𝑚−𝑘, 𝑡𝑚−𝑘+1); • 𝛽𝐻 𝑚−𝑘+1, no intervalo [0,1]; ... • 𝑢𝑡, no intervalo [𝑡𝑚−1, 𝑡𝑚); • 𝛽𝐻 𝑚, no intervalo [0,1].
Dessa forma, para 𝑡 ∈ (𝑡𝑚, 𝑡𝑚−𝑘+𝑑), temos uma equação diferencial com um retardo maior
que o original, mas sem saltos. Aplicando a Proposição 4.4.2, concluímos que a igualdade é válida neste subintervalo.
Para o 𝑛-ésimo subintervalo, com 𝑛 < (𝑘 + 2), a ideia é similar. Considere a equação diferencial com retardo (e sem saltos), onde a condição inicial concatena de forma apropriada
𝑢𝑡 e 𝛽𝑖𝐻, com 𝑖 ∈ {𝑚 − 𝑘 + 𝑛 − 1, . . . , 𝑚}.
Para o último subintervalo, (𝑡𝑚 + 𝑑, 𝑡𝑚+1), tome a equação diferencial com retardo 𝑑 e
condição inicial 𝑢𝑡, e novamente vale a igualdade desejada.
No outro caso, ou seja, quando (𝑡𝑚+1−𝑡𝑚) ≤ 𝑑, o argumento é essencialmente o mesmo. A
diferença é que aqui consideramos um número menor de subintervalos. Portanto, concluímos que 𝑢(𝑡) = 𝛾𝐻,ℬ𝐹
𝑝 (𝑡) para 𝑡 ∈ (𝑡𝑚, 𝑡𝑚+1). Em particular, tome:
𝑝𝑚+1 := lim 𝑠→𝑡−𝑚+1 𝑢(𝑠) = lim 𝑠→𝑡−𝑚+1 𝛾𝐻,ℬ𝐹 𝑝 (𝑠). Finalmente, considere 𝛽𝐻
𝑚+1 o levantamento horizontal da curva diferenciável 𝛽𝑚+1 no
ponto 𝑝𝑚+1. A igualdade em 𝑡𝑚+1 também se verifica: 𝑢(𝑡𝑚+1) = 𝛾𝑝𝐻,ℬ𝐹(𝑡𝑚+1), pelo mesmo
argumento usado no primeiro salto, o que conclui a demonstração.
Usando o princípio da transferência (veja, por exemplo, Emery [14], podemos obter um resultado similar para o caso estocástico. Neste sentido, com a mesma notação anterior, seja
𝛼 a solução da equação diferencial estocástica com retardo e saltos na variedade 𝑀:
⎧ ⎨
⎩
𝑑𝑥(𝑡) = 𝑃𝑡−𝑑,𝑡∇ (𝑥) 𝐹 (𝑥(𝑡 − 𝑑)) ◇ 𝑑𝐿𝑡
𝑥(𝑡) = 𝛽0(𝑡) for 𝑡 ∈ [−𝑑, 0],
Como vimos na Seção 4.3.2, esta solução induz uma família aleatória ℬ𝐹(𝜔) de curvas
diferenciáveis ao longo do fluxo determinístico em cada um dos saltos. Portanto:
Teorema 4.4.4. O levantamento horizontal 𝛼𝐻,ℬ𝐹(𝜔)
𝑝 de 𝛼 é a solução da seguinte equação
diferencial estocástica com retardo e saltos em 𝐵𝑀 , com respeito à conexão ∇𝐻:
⎧ ⎨ ⎩ 𝑑𝑢(𝑡) = 𝑃𝑡−𝑑,𝑡∇𝐻 (𝑢) 𝐹𝐻(𝑢(𝑡 − 𝑑)) ◇ 𝑑𝐿 𝑡 𝑢(𝑡) = 𝛽𝐻 0 (𝑡) for 𝑡 ∈ [−𝑑, 0]. (4.4.5)
Demonstração. No demonstração do resultado similar para o caso determinístico, verificamos
que, em cada passo, a solução é dada por uma equação diferencial com retardo (sem saltos), e o seu levantamento é a solução da equação correspondente em 𝐵𝑀. Então, usando a mesma ideia de [7], basta aplicar sucessivamente o princípio da transferência antes do primeiro salto, em cada um dos saltos, bem como no intervalo entre os saltos para obter o resultado no caso estocástico.
Vale acrescentar que os teoremas desta seção possibilitam obter uma abordagem geomé- trica sobre equações diferenciais com retardo e saltos, por meio do levantamento da equação ao fibrado de bases correspondente. Nossa intenção neste capítulo não é esgotar o assunto, mas abrir possibilidades em geometria estocástica.
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