Dinâmica de semimartingales com saltos : decomposição e retardo

Leandro Batista Morgado

Dinâmica de semimartingales com saltos:

decomposição e retardo

CAMPINAS 2015

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Morgado, Leandro Batista,

M82d MorDinâmica de semimartingales com saltos : decomposição e retardo / Leandro Batista Morgado. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

MorOrientador: Paulo Regis Caron Ruffino.

MorTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Mor1. Equações diferenciais estocásticas. 2. Sistemas dinâmicos diferenciais. 3. Geometria estocástica. 4. Fluxo estocástico. I. Ruffino, Paulo Regis Caron,1967-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Dynamics of semimartingales with jumps : decomposition and delay Palavras-chave em inglês:

Stochastic differential equations Differentiable dynamical systems Stochastic geometry

Stochastic flow

Área de concentração: Matemática Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora:

Paulo Regis Caron Ruffino [Orientador] Pedro José Catuogno

Eduardo Garibaldi Marcelo Sobottka

Fabiano Borges da Silva

Data de defesa: 25-05-2015

Programa de Pós-Graduação: Matemática

Abstract

The main subject of this thesis is the theory of stochastic differential equations driven by semimartingales with jumps. We consider applications in the decomposition of stochastic flows in differentiable manifolds, and geometrical aspects about these equations. Initially, in a differentiable manifold endowed with a pair of complementary distributions, we discuss the decomposition of continuous stochastic flows, that is, flows generated by SDEs driven by Brownian motion. Previous results guarantee that, under some assumptions, there exists a decomposition in diffeomorphisms that preserves the distributions up to a stopping time. Using the so called Marcus equation, and a technique that we call ‘stop and go’ equation, we construct a stochastic flow close to the original one, with the property that the constructed flow can be decomposed further on the stopping time. After, we deal with the decomposition of stochastic flows in the discontinuous case, that is, processes generated by SDEs driven by semimartingales with jumps. We discuss the existence of this decomposition, and obtain the SDEs for the respective components, using an extension of the Itô-Ventzel-Kunita formula. Finally, we propose a model of stochastic differential equations including delay and jumps. The idea is to describe some phenomena such that the information comes to the receptor by different channels: continuously, with some delay, and in discrete times, instantaneously. We deal with geometrical aspects related with this subject: parallel transport in càdlàg curves, and lifting of solutions of these equations to the linear frame bundle of a differentiable manifold.

Resumo

Este trabalho aborda alguns aspectos da teoria de equações diferenciais estocásticas em relação a semimartingales com saltos, suas aplicações na decomposição de fluxos estocásticos em variedades, bem como algumas implicações de natureza geométrica. Inicialmente, em uma variedade munida de distribuições complementares, discutimos o problema da decom-posição de fluxos estocásticos contínuos, isto é, gerados por EDE em relação ao movimento Browniano. Resultados anteriores garantem a existência de uma decomposição em difeomor-fismos que preservam as distribuições até um tempo de parada. Usando a assim denominada equação de Marcus, bem como uma técnica que denominamos equação ’stop and go’, vamos construir um fluxo estocástico próximo ao original, com a propriedade adicional que o fluxo construído pode ser decomposto além do tempo de parada inicial. Em seguida, trataremos da decomposição de fluxos estocásticos no caso descontínuo, isto é, para processos gerados por uma EDE em relação a um semimartingale com saltos. Após uma discussão sobre a exis-tência da decomposição, obtemos as EDEs para as componentes respectivas, a partir de uma extensão que propomos da fórmula de Itô-Ventzel-Kunita. Finalmente, propomos um modelo de equações diferenciais estocásticas com retardo incluindo saltos. A ideia é modelar certos fenômenos em que a informação pode chegar ao receptor por diferentes canais: de forma contínua, mas com retardo, e em tempos discretos, de forma instantânea. Vamos abordar aspectos geométricos relacionados ao tema: transporte paralelo em curvas diferenciáveis com saltos, bem como possibilidade de levantamento de uma solução do nosso modelo de equação para o fibrado de bases de uma variedade diferenciável.

Sumário

Dedicatória xiii

Agradecimentos xv

Introdução 1

1 Preliminares e equação de Marcus 5

1.1 Elementos básicos de cálculo estocástico . . . 5

1.2 Integrais estocásticas de Itô e Stratonovich . . . 7

1.3 EDE em relação a semimartingales no sentido de Marcus . . . 9

2 Extensão no tempo da decomposição de fluxos estocásticos contínuos 13 2.1 O problema da decomposição de fluxos estocásticos . . . 13

2.2 Extensão da decomposição via equação de Marcus . . . 15

2.2.1 Exemplo inicial . . . 15

2.2.2 Resultados principais . . . 16

2.3 Extensão da decomposição via equação ‘stop and go’ . . . 21

2.3.1 Resultado principal . . . 22

3 Decomposição de fluxos estocásticos com saltos 25 3.1 Generalidades . . . 25

3.2 Uma extensão da fórmula de Itô-Ventzel Kunita . . . 26

3.3 Decomposição de fluxos estocásticos gerados por EDEs com saltos . . . 29

3.3.1 Existência da decomposição . . . 29

4 Equações diferenciais estocásticas com retardo e saltos 33

4.1 Equações diferenciais estocásticas com retardo em variedades . . . 34

4.2 Transporte paralelo ao longo de uma curva com saltos . . . 35

4.3 Modelo de equação diferencial estocástica com retardo e saltos . . . 36

4.3.1 Caso determinístico . . . 36

4.3.2 Caso estocástico . . . 38

4.4 Aspectos geométricos de uma EDE com retardo e saltos . . . 40

4.4.1 Fibrado de bases e levantamento horizontal . . . 40

4.4.2 Resultados principais . . . 42

Dedico este trabalho aos meus amores Michelle, Gabriel e Lucas,

Agradecimentos

Agradeço a Deus pela maravilhosa oportunidade de realizar um sonho.

Agradeço aos meus queridos amigos de Doutorado, em especial Steve, Leandro, Rodrigo, Charles, entre tantos outros, pela parceria nos estudos e momentos alegres que compartilha-mos durante todo este período.

Agradeço ao meu orientador e amigo, Paulo Ruffino, por todo o incentivo, paciência, par-ceria, e pela oportunidade única de trabalhar ao seu lado nesses anos.

Agradeço aos professores Jorge Mujica, Pedro Catuogno, Eduardo Garibaldi, Luiz San Martin, Ricardo Miranda, Plamen Koshlukov, Márcio Rosa e Fernando Torres, que passei a admirar pelas excelentes aulas ministradas.

Agradeço ao pessoal da secretaria pela simpatia e disponibilidade. Agradeço a FAPESP pelo apoio financeiro ao projeto.

Introdução

Apesar da importância e aplicações do movimento Browniano como ruído de equações diferenciais estocásticas, a continuidade de seus caminhos limita a sua aplicação em algumas situações práticas. Isso porque a presença de saltos é comum em fenômenos naturais e osci-lações de mercado financeiro que, por vezes, pretendemos modelar via processos estocásticos. Nesse sentido, considerar a teoria das equações diferenciais estocásticas em relação a processos descontínuos representa uma extensão natural, com relevância em diversas áreas do conhecimento.

Em Matemática Financeira, verificamos que os modelos que permitem saltos (Processos de Levy, por exemplo) apresentam uma alternativa em relação àqueles restritos ao Movimento Browniano com um certo ‘drift’ (Applebaum [2]). De fato, no mercado financeiro, o valor das ações pode apresentar grandes variações de forma praticamente instantânea, o que pode ser descrito por meio de descontinuidades no modelo correspondente.

Em Biologia, as Cadeias de Markov em tempo contínuo (que são processos estocásticos de puro salto), possuem diversas aplicações em modelos de nascimento-morte de populações, controle de epidemias, predador-presa, entre outros (a esse respeito Allen [1]). Em Física, o nível de energia de uma partícula pode ser alterado instantaneamente a partir de choques ou reações com outras partículas cuja emissão é aleatória, fenômeno este que também representa um salto no processo estocástico correspondente (veja por exemplo Van Kampen [18]).

Nesse contexto, o presente trabalho aborda alguns aspectos da teoria de equações diferen-ciais estocásticas em relação a semimartingales com saltos, suas aplicações na decomposição de fluxos estocásticos em variedades diferenciáveis, bem como algumas implicações de natu-reza geométrica.

Inicialmente, no primeiro capítulo, apresentaremos as noções iniciais e pré-requisitos para que a discussão posterior possa ser feita. A Seção 1.1 trata de aspectos básicos de cálculo estocástico, podendo eventualmente ser omitida por um leitor com experiência nessa área.

Em seguida, na Seção 1.2, após comentários gerais sobre integrais de Itô e Stratono-vich, abordaremos a interpretação tradicional de uma integral de Itô em relação a processos denominados semimartingales, onde a presença de saltos já é permitida.

A Seção 1.3 é de importância central para este trabalho. Nela discutimos uma interpre-tação alternativa para as soluções de uma EDE em relação a um semimartingale. Trata-se da assim denominada equação de Marcus, que tem como característica principal o fato de que os saltos da solução ocorrem na direção do fluxo determinístico gerado pelo campo de vetores. Veremos posteriormente que essa interpretação possibilita considerar tais equações em um contexto de variedades diferenciáveis mergulhadas no espaço Euclideano, assunto dos próximos capítulos.

No segundo capítulo, nossa intenção principal será estender a decomposição de fluxos estocásticos contínuos, isto é, gerados por EDE em relação a um movimento Browniano.

Veremos, na Seção 2.1, que resultados em Catuogno, Silva e Ruffino [6] garantem, em um ambiente de variedades diferenciáveis, a existência de uma decomposição cujas componentes preservam certas folheações. No entanto, essa decomposição somente se verifica até um tempo de parada. Ocorre que, para estudos sobre o comportamento assintótico do fluxo estocástico correspondente, prosseguir quando possível a decomposição além deste tempo de parada pode ser muito útil.

Nesse contexto, na Seção 2.2, assumindo certas condições em relação ao campo de vetores, usamos as EDEs com saltos no sentido de Marcus para construir um fluxo arbitrariamente próximo ao original, com a propriedade adicional de admitir a referida decomposição para todo tempo.

No caso geral, discutido na Seção 2.3, que trata de campos de vetores que não comutam entre si, introduzimos uma ferramenta adicional denominada equação ‘stop and go’, que nos permite construir um processo que também é decomponível e próximo ao fluxo original.

No terceiro capítulo, nossa intenção é tratar do mesmo tema de decomposição de fluxos, só que agora no caso descontínuo, ou seja, com foco em processos estocásticos gerados por uma EDE em relação a um semimartingale com saltos no sentido de Marcus.

Inicialmente, na Seção 3.1, descrevemos o nosso ambiente de trabalho neste capítulo, que consiste em uma variedade diferenciável compacta munida de um par de distribuições (no sentido de seções no fibrado Grassmaniano) que geram os subgrupos de difeomorfismos em que ocorre a decomposição do fluxo correspondente.

Na Seção 3.2, apresentamos uma importante ferramenta para os resultados posteriores. Trata-se de uma generalização da fórmula clássica de Itô-Ventzel-Kunita, para composição de fluxos gerados por EDE em relação ao mesmo semimartingale com saltos.

Em seguida, na Seção 3.3, última seção deste capítulo, discutimos a existência da de-composição para este tipo de fluxos estocásticos, além de exibir as respectivas equações diferenciais estocásticas no sentido de Marcus para cada uma das componentes.

es-tocásticas com retardo incluindo saltos. A ideia é descrever certos fenômenos em que a informação pode chegar ao receptor por diferentes canais: de forma contínua (mas com um certo retardo), e em tempos discretos, de uma forma praticamente instantânea.

Na Seção 4.1, relembramos alguns aspectos da teoria de equações diferenciais com retardo em uma variedade diferenciável. Aqui, a conexão tem um papel essencial, pois permite transportar vetores de um espaço tangente para outro ao longo de uma curva diferenciável.

O objetivo da Seção 4.2 é definir o transporte paralelo ao longo de curvas càdlàg com saltos. Nesse contexto, consideramos que esse transporte será feito em relação a uma família de curvas diferenciáveis que, concatenadas de forma apropriada, ‘preenchem as lacunas’ nos pontos de descontinuidade da curva original.

Em seguida, na Seção 4.3, tratamos especificamente de aspectos geométricos de nosso modelo de equações diferenciais com retardo e saltos, em especial estudando a possibilidade de levantamento de soluções para o fibrado de bases da variedade diferenciável em questão.

Vale considerar que, nos Capítulos 3 e 4, assumimos que o número de saltos do integrador da equação diferencial estocástica é quase sempre finito em intervalos limitados. Esta ideia tem paralelo na teoria de conjuntos controláveis por cadeia (a esse respeito veja, por exemplo, Patrão e San Martin [38]).

Finalmente, ressaltamos que os Capítulos 2, 3 e 4 desta tese foram baseados, respectiva-mente, nas referências [33], [28] e [34].

Capítulo 1

Preliminares e equação de Marcus

1.1

Elementos básicos de cálculo estocástico

Considere um espaço de probabilidade dado por (Ω, F, P), onde Ω é um conjunto, F é uma 𝜎-álgebra e P uma medida de probabilidade. Uma família {F𝑡 : 𝑡 ≥ 0} de sub 𝜎-álgebras

de F é uma filtração se F𝑠 ⊆ F𝑡 quando 𝑠 ≤ 𝑡. Um espaço de probabilidade munido de uma

filtração é denominado um espaço de probabilidade filtrado. Nesse contexto, definimos a classe de processos estocásticos adaptados:

Definição 1.1.1. Seja 𝑋 = {𝑋𝑡 : 𝑡 ≥ 0} um processo estocástico definido em um espaço de

probabilidade filtrado (Ω, F, F𝑡, P). Dizemos que 𝑋 é adaptado se para todo 𝑡 ≥ 0, 𝑋𝑡 é F𝑡

mensurável.

Temos que 𝑋 é adaptado a sua filtração natural, definida por F𝑋

𝑡 = 𝜎{𝑋𝑠: 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡}, que

é a menor filtração que torna 𝑋 um processo adaptado. Em nossos resultados, assumiremos as assim denominadas hipóteses usuais em uma filtração, ou seja, completude (F0 contém

todos os conjuntos de P-medida zero) e continuidade a direita.

Outra classe de processos importante para integração estocástica é a de processos predizí-veis. Nesse sentido, seja 𝒟 a classe das funções 𝑓 : [0, ∞) × Ω ↦→ R, satisfazendo as seguintes condições:

• 𝑓 é ℬ × F mensurável, onde ℬ é a 𝜎-álgebra dos borelianos restrita a [0, ∞); • 𝑓(𝑡, ·) é mensurável segundo F𝑡 para todo 𝑡 ∈ [0, ∞);

• 𝑓(𝑡, ·) é contínua a esquerda para todo 𝜔 ∈ Ω.

Agora, seja 𝒫 a menor sub 𝜎-álgebra de ℬ×F na qual todas as funções em 𝒟 são mensuráveis. Nesse sentido, definimos:

Definição 1.1.2. Um processo estocástico 𝑋 = {𝑋𝑡: 𝑡 ≥ 0} em um espaço de probabilidade

filtrado (Ω, F, F𝑡, P) é predizível se a aplicação (𝑡, 𝜔) ↦→ 𝑋(𝑡, 𝜔) é mensurável segundo 𝒫.

Como exemplo de processos predizíveis, temos os processos adaptados contínuos a es-querda. Mais exemplos e discussões adicionais podem ser encontrados em Marques e San Martin [27]. Destacamos ainda a noção de quando podemos considerar que dois processos estocásticos constituem essencialmente o mesmo processo. Nesse sentido, temos os conceitos de modificação e indistinguibilidade, dados por:

Definição 1.1.3. Sejam 𝑋 = {𝑋𝑡 : 𝑡 ≥ 0} e 𝑌 = {𝑌𝑡 : 𝑡 ≥ 0} processos estocásticos.

Dizemos que 𝑋 é modificação de 𝑌 se para todo 𝑡 ≥ 0, 𝑋𝑡 e 𝑌𝑡 coincidem quase sempre. Se,

por outro lado, existe 𝑁 ⊆ Ω, com P(𝑁) = 0, tal que se 𝜔 /∈ 𝑁, então 𝑋(𝑡)(𝜔) = 𝑌 (𝑡)(𝜔) para todo 𝑡 ≥ 0, dizemos que os processos 𝑋 e 𝑌 são indistinguíveis.

Neste trabalho, estamos interessados na integração estocástica em relação a uma classe de processos denominados semimartingales. Por definição, tais processos são aqueles que podem ser expressos como uma soma entre processos mais elementares (variação finita e martingale local), cujas definições relembramos a seguir. Inicialmente, apresentamos a importante noção de martingale:

Definição 1.1.4. Seja 𝑋 um processo adaptado tal que E(|𝑋𝑡|) < ∞ para todo 𝑡 ≥ 0.

Dizemos que 𝑋 é martingale se dado 𝑠 < 𝑡, temos E(𝑋𝑡| F𝑠) = 𝑋𝑠. Nas mesmas condições, o

processo 𝑋 é denominado submartingale (supermartingale) se dado 𝑠 < 𝑡, temos E(𝑋𝑡| F𝑠) ≥

𝑋𝑠 (E(𝑋𝑡 | F𝑠) ≤ 𝑋𝑠).

Seja 𝜏 um tempo de parada, e 𝑋 um processo estocástico. Considere o processo parado dado por 𝑋𝜏 _{= 𝑋}

𝑡∧𝜏, ou seja, 𝑋𝜏 é idêntico ao processo original até o tempo de parada, a

partir do qual permanece constante. Nesse contexto, obtemos a noção de martingale local, dada por:

Definição 1.1.5. Seja 𝑋 um processo adaptado. Dizemos que 𝑋 é martingale local se existe

uma sequência de tempos de parada 𝜏𝑛 tal que lim𝑛→∞𝜏𝑛 = ∞ q.s., e para todo 𝑛 ∈ N, o

processo 𝑋𝜏𝑛 é uma martingale.

Dado um processo estocástico 𝑋, definimos a sua variação sobre o intervalo [0, 𝑇 ] por

𝑉𝑋([0, 𝑇 ]) = sup∑︀𝑛𝑖=1|𝑋𝑡𝑖 − 𝑋𝑡𝑖−1|, onde o supremo é tomado sobre as partições da forma

0 = 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛 = 𝑇 para algum 𝑛 ∈ N. Se 𝑉𝑋([0, 𝑇 ]) < ∞ q.s., dizemos que o processo

é de variação finita no intervalo [0, 𝑇 ]. E finalmente, conectando as noções apresentadas, definimos:

Definição 1.1.6. Seja 𝑍𝑡um processo càdlàg adaptado. Dizemos que 𝑍𝑡é um semimartingale

se este pode ser representado como uma soma de dois processos: um martingale local 𝑀𝑡 e

um processo de variação finita 𝐴𝑡, com 𝑀0 = 𝐴0 = 0. Nesse caso, escrevemos:

𝑍𝑡 = 𝑍0 + 𝑀𝑡+ 𝐴𝑡. (1.1.1)

De fato, como veremos na seção seguinte, a representação acima é usada para definir integração estocástica em relação a um semimartingale. Em outras palavras, para integrar um processo em relação a um semimartingale, basta integrar este processo em relação à martingale local e ao processo de variação finita correspondentes. Um detalhe importante é a possível presença de descontinuidades (saltos) em 𝑍𝑡. Como exemplos de processos com

esta propriedade, destacamos os processos de Levy. Nesse sentido:

Definição 1.1.7. Seja 𝑋 = {𝑋(𝑡) : 𝑡 ≥ 0} um processo estocástico. Dizemos que 𝑋 é

processo de Levy quando satisfaz as seguintes condições: • 𝑋(0) = 0 quase sempre;

• 𝑋 tem incrementos independentes e estacionários;

• 𝑋 é estocasticamente contínuo, ou seja, ∀𝑎 > 0, ∀𝑠 ≥ 0, temos lim

𝑡→𝑠 P

(︁

|𝑋(𝑡) − 𝑋(𝑠)|> 𝑎)︁= 0.

Um resultado fundamental na teoria de processos de Levy é a decomposição de Levy-Itô (a esse respeito, veja Applebaum [2]). Este resultado permite decompor um processo de Levy como a soma entre um termo linear, um movimento Browniano, um martingale descontínuo (pequenos saltos) e uma componente com saltos finitos em intervalos de tempo compactos. Portanto, segue diretamente da decomposição de Levy-Itô que os processos de Levy são exemplos de semimartingales.

1.2

Integrais estocásticas de Itô e Stratonovich

Nesta seção, apresentamos alguns comentários gerais sobre teoria de integração estocás-tica, tópico fundamental na área de análise estocástica. Mais detalhes e resultados podem ser encontrados em Protter [39], Revuz e Yor [40], entre outros.

Note inicialmente que a teoria de integração de Stieltjes exclui como possíveis integradores o movimento Browniano, em função das trajetórias destes processos não terem variação limitada em um conjunto de probabilidade total. Por outro lado, a teoria estocástica de Itô permitiu dar um significado preciso para estas integrais.

Nesse sentido, dado um processo adaptado 𝑋𝑡, podemos definir a integral de Itô de 𝑋𝑡

em relação a um semimartingale contínuo 𝑌𝑡, denotada por

∫︀𝑇

0 𝑋𝑡 𝑑𝑌𝑡. A ideia é definir

a respectiva integral inicialmente para processos simples, e considerar uma sequência de processos simples que convergem em probabilidade para o processo 𝑋𝑡 em questão.

Precisamente, tomando uma sequência de partições (𝑃𝑛)𝑛∈N do intervalo [0, 𝑇 ], com a

propriedade que a norma das partições desta sequência convirja a zero, temos que:

∫︁ 𝑇 0 𝑋𝑡 𝑑𝑌𝑡 = lim_𝑛→∞ ∑︁ 𝑡𝑖∈𝑃𝑛 𝑋𝑡𝑖(𝑌𝑡𝑖+1 − 𝑌𝑡𝑖).

No entanto, como neste trabalho nosso foco é a dinâmica dos fluxos gerados por equações diferenciais estocásticas, é interessante considerar a integração no sentido de Stratonovich, que satisfaz algumas propriedades básicas do cálculo usual, tais como regra da cadeia e mudança de variáveis.

Nesse sentido, mantendo a notação anterior, a integral estocástica de Stratonovich 𝑋𝑡em

relação a 𝑌𝑡 é dada por:

∫︁ 𝑇 0 𝑋𝑡∘ 𝑑𝑌𝑡 = lim_𝑛→∞ ∑︁ 𝑡𝑖∈𝑃𝑛 1 2(𝑋𝑡𝑖 + 𝑋𝑡𝑖+1) · (𝑌𝑡𝑖+1 − 𝑌𝑡𝑖).

Destacamos ainda que podemos passar da integral de Stratonovich para a integral de Itô por uma fórmula de conversão, onde o termo de correção é dado pela variação quadrática entre os processos. Nesse sentido, temos que:

∫︁ 𝑇 0 𝑋𝑡∘ 𝑑𝑌𝑡= ∫︁ 𝑇 0 𝑋𝑡 𝑑𝑌𝑡+ 1 2[𝑋, 𝑌 ]𝑇.

Essa teoria pode ser estendida para martingales em geral, bem como martingales locais, em função da existência de variação quadrática nesses processos. Nessa extensão, a classe dos processos que podem ser integrados é mais restrita, limitando-se aos processos predizíveis.

A integral estocástica de Itô em relação ao semimartingale 𝑍𝑡 é definida usando a sua

representação em (1.1.1). Nesse sentido, se 𝐻𝑡 é um processo predizível, temos que:

∫︁ 𝑇 0 𝐻𝑡 𝑑𝑍𝑡= ∫︁ 𝑇 0 𝐻𝑡 𝑑𝑀𝑡+ ∫︁ 𝑇 0 𝐻𝑡 𝑑𝐴𝑡,

onde a integração em relação ao processo de variação finita 𝐴𝑡 é feita trajetória a trajetória

(integral de Stieltjes), e a integral em relação ao martingale local 𝑀𝑡 é uma extensão da

integral clássica de Itô mencionada anteriormente.

Como a representação de um semimartingale não é única, é importante verificar que a integração acima está bem definida. De fato, se são válidas as representações dadas por

local de variação finita. Mas, nesse caso, a integral em relação ao martingale local coincide com a integral de Stieltjes, e assim segue que:

∫︁ 𝑇 0 𝐻𝑡 𝑑𝑀𝑡1+ ∫︁ 𝑇 0 𝐻𝑡 𝑑𝐴1𝑡 = ∫︁ 𝑇 0 𝐻𝑡 𝑑𝑀𝑡2+ ∫︁ 𝑇 0 𝐻𝑡 𝑑𝐴2𝑡.

Temos também que ∫︀𝑇

0 𝐻𝑡 𝑑𝑍𝑡 é um semimartingale. Isso segue do fato que a integral

em relação a um processo de variação finita é também um processo de variação finita, e a mesma propriedade vale para integração em relação a um martingale local (veja Protter [39]). Ademais, temos que os pontos de descontinuidade da integral ocorrem precisamente nos saltos do semimartingale 𝑍𝑡. Mais especificamente, destacamos o seguinte resultado em

[39]:

Teorema 1.2.1. Seja 𝑍𝑡semimartingale, e 𝐻𝑡um processo predizível. O processo estocástico

de saltos Δ(︁ ∫︀𝑡

0 𝐻𝑡 𝑑𝑍𝑡

)︁

𝑠 é indistinguível do processo 𝐻𝑠(Δ𝑍𝑠).

Essa caracterização dos saltos na integral de Itô será importante para determinar como ocorrem os saltos das soluções de uma equação diferencial estocástica no sentido de Marcus, assunto da próxima seção.

1.3

EDE em relação a semimartingales no sentido de

Marcus

Em [26], o engenheiro elétrico Steven Marcus apresentou uma interpretação alternativa para as soluções de equações diferenciais estocásticas em relação a um semimartingale com saltos. Resultados importantes sobre unicidade, existência, regularidade das soluções, bem como vantagens dessa interpretação podem ser encontrados em Kurtz, Pardoux e Protter [22]. Nesta seção, apresentaremos alguns aspectos da assim denominada ‘equação de Marcus’, que usaremos nos capítulos posteriores. Nesse sentido, considere:

𝑑𝑥𝑡= 𝑚

∑︁

𝑖=0

𝑋𝑖(𝑥𝑡) ◇ 𝑑𝑍𝑡𝑖, (1.3.1)

com condição inicial 𝑥(0) = 𝑥0. A sua forma integral é dada por:

𝑥𝑡 = 𝑥0+ 𝑚 ∑︁ 𝑖=0 ∫︁ 𝑡 0 𝑋𝑖(𝑋𝑠) ◇ 𝑑𝑍𝑠𝑖 =: 𝑥0+ ∫︁ 𝑡 0 𝑋(𝑥𝑠) ◇ 𝑑𝑍𝑠 (1.3.2)

onde 𝑥𝑡 é processo estocástico adaptado tomando valores em R𝑑; o integrador {𝑍𝑠𝑖 : 𝑠 ≥ 0} é

R𝑑 _{para todo 𝑖 ∈ {0, 1, . . . , 𝑚}. A solução da equação de Marcus deve ser interpretada como}

um processo estocástico que satisfaz a equação:

𝑥𝑡= 𝑥0+ ∫︁ 𝑡 0 𝑋(𝑥𝑠−) 𝑑𝑍𝑠 + 1 2 ∫︁ 𝑡 0 𝑋′𝑋(𝑥𝑠) 𝑑[𝑍, 𝑍]𝑐𝑠 + ∑︁ 0<𝑠≤𝑡 {︁ 𝜙(𝑋Δ𝑍𝑠, 𝑥𝑠−) − 𝑥𝑠−− 𝑋(𝑥𝑠−)Δ𝑍𝑠 }︁ . (1.3.3)

Passamos à análise de cada um dos termos respectivos: o primeira integral do lado direito da equação (1.3.3) é uma integral de Itô do processo predizível {𝑋(𝑥𝑡−)} com respeito ao

semimartingale 𝑍𝑡, com a interpretação da seção anterior. Por outro lado, o segundo termo

funciona como termo de correção entre as integrais de Itô e Stratonovich. Trata-se de uma integral de Stieltjes com respeito à parte contínua da variação quadrática de 𝑍𝑡.

Finalmente, no terceiro termo, 𝜙(𝑋Δ𝑍𝑠, 𝑥𝑠−) indica a solução em tempo 𝑡 = 1 da EDO

com campo de vetores 𝑋Δ𝑍𝑠, e condição inicial 𝑥𝑠−.

Conforme o Teorema 1.2.1, o possível salto de∫︀𝑡

0𝑋(𝑥𝑠−) 𝑑𝑍𝑠em um tempo 𝑡0é descrito por

𝑋(𝑥𝑡0−)·Δ𝑍𝑡0, a menos de indistinguibilidade. Nesse sentido, a ideia do último termo do lado

direito da equação 𝑋(𝑥𝑠−) · Δ𝑍𝑠 é precisamente anular os saltos da primeira integral. Assim,

os saltos da equação de Marcus ocorrem exclusivamente na direção do fluxos determinísticos dados pelos campos de vetores 𝑋Δ𝑍𝑠. Assim, se o processo estocástico 𝑥𝑡 é solução da

equação de Marcus, o seu processo de saltos é dado por:

(Δ𝑥)𝑣 = 𝜙(𝑋Δ𝑍𝑣, 𝑥𝑣−) − 𝑥𝑣−. (1.3.4)

Essa propriedade é fundamental para que possamos considerar um processo estocástico gerado pela equação de Marcus em um contexto de variedades diferenciáveis. Nesse sentido, se 𝑀 é uma subvariedade mergulhada em um espaço Euclideano, e os campos de vetores da equação (1.3.1) pertencem ao seu fibrado tangente então, dada uma condição inicial em 𝑀, a solução permanece em 𝑀 quase sempre. Nesse sentido é o resultado que transcrevemos de [22]:

Proposição 1.3.1. Seja 𝑀 uma variedade classe 𝐶2 _{mergulhada em 𝑅}𝑑 _{e suponha que}

{𝑋𝑖_{(𝑥) : 𝑥 ∈ 𝑀} são campos de vetores ao longo de 𝑀 para todo 𝑖 ∈ {0, 1, . . . , 𝑚}. Então}

dado um processo 𝑌𝑡 solução da equação (1.3.1) com a propriedade que P(𝑌0 ∈ 𝑀) = 1,

segue que P(𝑌𝑡∈ 𝑀, 𝑡 ≥0) = 1.

Ademais, condições de regularidade nos campos de vetores 𝑋 e suas derivadas impli-cam que existe um único fluxo estocástico de difeomorfismos 𝜙𝑡 que é solução da equação

(1.3.1). Nesse contexto, destacamos os importantes resultados, cuja demonstrações podem ser encontradas em [22]:

Teorema 1.3.2. Suponha que os campos de vetotes 𝑋 e 𝑋′𝑋 em (1.3.1) sejam globalmente

Lipschitz. Então existe um único processo càdlàg que é solução da equação (1.3.1), e este processo é um semimartingale.

Teorema 1.3.3. Suponha que os campos de vetores 𝑋 em (1.3.1) sejam 𝐶∞, e que todas as

derivadas de 𝑋 e 𝑋′_{𝑋 sejam limitadas. Então o fluxo 𝜑 : 𝑦 ↦→ 𝑥}

𝑡(𝑦, 𝜔) da solução da equação

(1.3.1) é um difeomorfismo em R𝑑_.

Agora, sejam 𝑋, 𝑌 campos de vetores diferenciáveis em R𝑑_{, e considere 𝐺}

𝑡 o processo

𝑑-dimensional que é solução da equação de Marcus dirigida pelo semimartingale 𝑍𝑡, com

respeito ao campo de vetores 𝑌 , ou seja, 𝑑𝐺𝑡 = 𝑌 (𝐺𝑡) ◇ 𝑑𝑍𝑡. Recordamos a definição da

integral de Stratonovich de 𝑋(𝐺𝑡) com respeito a 𝑍𝑡 (Definição 4.1 em [22] para o caso

particular em que 𝑋 é campo de vetores diferenciável):

∫︁ 𝑡 0 𝑋(𝐺𝑠) ◇ 𝑑𝑍𝑠:= ∫︁ 𝑡 0 𝑋(𝐺𝑠−) 𝑑𝑍𝑠+ 1 2 Tr ∫︁ 𝑡 0 𝑋′(𝐺𝑠)𝑑[𝑍, 𝑍]𝑐𝑠 𝑌(𝐺𝑠)𝑡 + ∑︁ 0<𝑠≤𝑡 (︂∫︁ 1 0 [𝑋(𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑠 , 𝐺𝑠−, 𝑢)) − 𝑋(𝐺𝑠−)] 𝑑𝑢 )︂ Δ𝑍𝑠, (1.3.5)

onde 𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑠, 𝐺𝑠−, 𝑢) tem uma interpretação similar a anterior: é a solução da EDO no

tempo 𝑡 = 𝑢, gerada pelo campo de vetores 𝑌 Δ𝑍𝑠 e condição inicial 𝐺𝑠−. Mais uma vez,

temos que o último termo 𝑋(𝐺𝑠−)·Δ𝑍𝑠anula os saltos de ∫︀0𝑡𝑋(𝐺𝑠−) 𝑑𝑍𝑠, e assim, o processo

de saltos da integral definida em (1.3.5) é dado por: Δ(︂∫︁ 𝑡 0 𝑋(𝐺𝑠) ◇ 𝑑𝑍𝑠 )︂ 𝑣 = (︂∫︁ 1 0 𝑋(𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑣, 𝐺𝑣−, 𝑢))𝑑𝑢 )︂ Δ𝑍𝑣.

A interpretação dinâmica da expressão acima é que, após abrir um intervalo unitário com uma ‘curva fictícia’ que conecta 𝑋(𝐺𝑡0−) e 𝑋(𝐺𝑡0), o salto da integral é dado pela média de

𝑋 ao longo desta curva multiplicado pelo salto do semimartingale 𝑍𝑡.

Nos capítulos seguintes, assumimos que o número de saltos no integrador 𝑍𝑡 é q.s. finito

em intervalos limitados. Nesse sentido, note que apesar de não conter os processos de Levy em geral, esta hipótese inclui a classe de processos denominada ‘Levy-jump diffusion’

𝑍𝑡= 𝐵𝑡+ 𝑁𝑡

∑︁

𝑘=0

𝐽𝑘,

onde 𝐵𝑡 é movimento Browniano, 𝑁𝑡 é um processo de Poisson e as variáveis aleatórias (𝐽𝑘)

Capítulo 2

Extensão no tempo da decomposição

de fluxos estocásticos contínuos

2.1

O problema da decomposição de fluxos estocásticos

Seja 𝜙𝑡 um fluxo estocástico de difeomorfismos locais em uma variedade diferenciável 𝑀.

Em muitas circunstâncias, a decomposição de 𝜙𝑡em componentes que pertencem a subgrupos

de Diff(𝑀) evidencia certas propriedades dinâmicas ou geométricas do sistema.

Na literatura, este tipo de decomposição tem sido estudada em diversos trabalhos, com enfoque em diferentes subgrupos. Entre outros, destacamos Bismut [3], Kunita [20], [21], Ming Liao [25], Ruffino [41], Colonius e Ruffino [8], bem como Catuogno, Silva e Ruffino [5]. Nos últimos trabalhos mencionados, assumindo certas condições geométricas em uma variedade Riemanniana, foi demonstrada a existência de uma decomposição, onde a primeira componente pertence ao subgrupo de isometrias ou transformações afins.

Em particular, em Catuogno, da Silva and Ruffino [6], os autores consideram um par de distribuições complementares em uma variedade diferenciável compacta 𝑀, no sentido que cada espaço tangente é decomposto em uma soma direta de dois subespaços que dependem diferenciavelmente dos pontos em 𝑀. Essas distribuições foram denominadas distribuição horizontal e vertical. Neste artigo, os autores mostram que localmente, até um tempo de parada, um fluxo estocástico 𝜙𝑡 pode ser decomposto na forma 𝜙𝑡 = 𝜉𝑡 ∘ 𝜓𝑡, caracterizando

as componentes respectivas. Nesse sentido, vale transcrever o resultado em questão:

Teorema 2.1.1. Sejam Δ𝐻 e Δ𝑉 duas distribuições complementares em 𝑀 que preservam

a transversalidade ao longo de Diff(Δ𝐻_{, 𝑀). Dado um fluxo estocástico contínuo 𝜙}

𝑡, até um

tempo de parada 𝜏 existe uma decomposição da forma 𝜙𝑡 = 𝜉𝑡∘ 𝜓𝑡, onde 𝜉𝑡 é uma difusão

em Diff(Δ𝐻_{, 𝑀}) e 𝜓

𝑡 é um processo em Diff(Δ𝑉, 𝑀).

tempo em que o fluxo pode ser decomposto) deve-se a uma explosão na equação de uma das componentes. Assim, esse fenômeno ocorre em função da escolha das distribuições, e não em função de propriedades intrínsecas do fluxo estocástico 𝜙𝑡. Dessa forma, podem existir

intervalos de tempo consideráveis após esse tempo de parada que permitam a decomposição do fluxo respectivo nas componentes 𝜓𝑡 e 𝜉𝑡.

Neste capítulo, a ideia principal é apresentar técnicas para construir um novo fluxo es-tocástico 𝜙̃︀𝑡 que aproxima o fluxo original, com a propriedade que 𝜙̃︀𝑡 pode ser decomposto

para todo 𝑡 > 0. Essa construção permite, entre outras coisas, estudar o comportamento assintótico das componentes da decomposição original.

Aqui, trabalhamos em uma ambiente simplificado em relação a [6]. Assumimos, inicial-mente, que as distribuições são integráveis, ou seja, que a variedade 𝑀 possui localmente um par de folheações complementares. Trata-se de uma estrutura natural, visto que qualquer sistema de coordenadas em 𝑀 gera tais folheações.

Ademais, temos que localmente a variedade é difeomorfa a um conjunto aberto em R𝑛 = R𝑝 × R𝑛−𝑝_{, onde 𝑝 e 𝑛 − 𝑝 são as dimensões das folheações horizontal e vertical,}

respectivamente. Por meio dessa mudança de coordenadas, considere um difeomorfismo

𝜙: 𝑈 ⊂ R𝑝_{× R}𝑛−𝑝 _{→ 𝜙(𝑈) ⊂ R}𝑝_{× R}𝑛−𝑝_{, em que 𝑈 é um conjunto aberto de R}𝑛_.

Escrevemos em coordenadas 𝜙 = (𝜙1_{(𝑥, 𝑦), 𝜙}2_{(𝑥, 𝑦)). Então, pelo teorema da função}

inversa, existe uma decomposição local do fluxo se e somente se a matriz 𝜕𝜙2_(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦 , de ordem

(𝑛 − 𝑝) × (𝑛 − 𝑝), é invertível. Mais precisamente, esta decomposição é dada por:

𝜙= (𝜉1(𝑥, 𝑦), 𝐼𝑑2) ∘ (𝐼𝑑1, 𝜙2(𝑥, 𝑦)),

onde 𝐼𝑑1 e 𝐼𝑑2 representam a identidade em R𝑝 e R𝑛−𝑝, respectivamente. Assim, com a

mesma notação acima, definimos:

Definição 2.1.2. Um difeomorfismo 𝜙 : 𝑈 ⊂ R𝑝 _{× R}𝑛−𝑝 _{→ 𝜙(𝑈) ⊂ R}𝑝 _{× R}𝑛−𝑝 _é

𝑝-decomponível em uma vizinhança de (𝑥, 𝑦) se det𝜕𝜙2_𝜕𝑦(𝑥,𝑦) ̸= 0.

O tempo de explosão 𝜏 da decomposição do fluxo estocástico está relacionado com o fato que 𝜙𝜏 não possui a propriedade acima. Para ilustrar essa situação, consideremos o exemplo

básico de uma rotação linear, cuja decomposição é dada por:

𝜙𝑡= (︃ cos 𝑡 − sin 𝑡 sin 𝑡 cos 𝑡 )︃ = (︃ sec 𝑡 − tan 𝑡 0 1 )︃ (︃ 1 0 sin 𝑡 cos 𝑡 )︃ .

Dessa forma, temos que 𝜙𝑡não é 1-decomponível quando 𝑡 = 𝜋₂+𝑘𝜋, com 𝑘 ∈ Z. O tempo

de parada descrito em [6] é dado por 𝜏 = 𝜋

2. No entanto, é evidente que a decomposição

pode ser feita em intervalos de tempo arbitrariamente grandes maiores que 𝜏.

Note que, neste exemplo, imediatamente após este tempo de parada, cos 𝑡 troca de si-nal e 𝜓𝑡 inverte a orientação. Quando isso ocorre, essa componente deixa o subgrupo dos

difeomorfismos gerados pelos campos de vetores verticais, mas ainda pertence ao subgrupo dos difeomorfismos que preservam as folhas verticais da folheação, não necessariamente na componente conexa da identidade. Portanto, aqui Diff(Δ𝐻_{, 𝑀) e Diff(Δ}𝑉_{, 𝑀) incluem}

dife-omorfismos que não preservam a orientação.

Uma das motivações para esta decomposição é que ela mostra se o sistema respectivo está próximo de preservar as folhas horizontais, e isso acontece quando a componente vertical está próxima da identidade.

A extensão da decomposição no tempo é descrita por meio de duas técnicas: na primeira (Seção 2.2), assumimos que os campos de vetores do sistema comutam entre si. Neste caso, usamos, de forma apropriada, os saltos de uma equação diferencial no sentido de Marcus para construir um fluxo 𝜙̃︀𝑡 próximo ao original, que evita os difeomorfismos que não podem ser

decompostos. Esse fluxo construído possui a propriedade de ser 𝑝-decomponível para todo

𝑡 ≥ 0, e coincide com o original a menos de um conjunto com probabilidade arbitrariamente

pequena (Teorema 2.2.1).

O caso geral, isto é, quando os campos de vetores não comutam entre si, é abordado na Seção 2.3. Por meio de uma técnica (que denominamos equação ‘stop and go’), construímos um processo que segue o processo original nas ‘zonas favoráveis’ à decomposição, e perma-nece estacionário nas ‘zonas desfavoráveis’ (Proposição 2.3.1). Posteriormente, daremos um significado preciso a essas regiões.

2.2

Extensão da decomposição via equação de Marcus

2.2.1

Exemplo inicial

Apresentamos um exemplo simples que ilustra a técnica utilizada na demonstração dos resultados principais da Seção 2.2.2. Conforme mencionado anteriormente, a ideia é usar a equação estocástica de Marcus para construir um novo fluxo 𝜙̃︀𝑡, decomponível para todo 𝑡 ≥ 0, e ao mesmo tempo próximo do fluxo original 𝜙𝑡. Considere novamente a rotação linear

no plano, cujo fluxo é dado por:

𝜙𝑡 = (︃ cos 𝑡 − sin 𝑡 sin 𝑡 cos 𝑡 )︃ .

Temos que 𝜙𝑡 é solução da equação linear 𝑑𝑥𝑡 = 𝐴𝑥𝑡 𝑑𝑡, onde 𝐴 é anti-simétrica. Vamos

construir um integrador 𝑍𝑡 de modo que o fluxo solução 𝜙̃︀𝑡 da equação de Marcus 𝑑𝑥𝑡= 𝐴𝑥𝑡◇ 𝑑𝑍𝑡

salta os tempos em que o fluxo original não é decomponível, com a propriedade adicional que

̃︀

pequena.

Vale lembrar que, neste exemplo, os pontos em que o fluxo original não é decomponível ocorrem em 𝑡 = 𝜋

2 + 𝑘𝜋, onde 𝑘 ∈ Z. Nesse sentido, fixe 𝜀 > 0 e escolha uma sequência de

pontos 𝑝𝑛 que pertecem aos intervalos a seguir:

𝑝𝑛 ∈( 𝜋 2 + 𝑛𝜋 − 𝜀 2𝑛, 𝜋 2 + 𝑛𝜋) para todo inteiro não negativo 𝑛.

Intuitivamente, tais pontos indicam o início do que chamamos (na demonstração do pró-ximo teorema) ‘zona vermelha’ da decomposição correspondente, região esta que contém os pontos onde o fluxo não é decomponível. Assim, defina:

𝑍𝑡= ⎧ ⎨ ⎩ 𝑝𝑛 se 𝑡 ∈ [𝑝𝑛,(2𝑛 + 1)𝜋 − 𝑝𝑛); 𝑡 caso contrário.

Temos que 𝑍𝑡 é um semimartingale, pois é soma de um processo de variação finita e um

processo de puro salto, e a solução da equação

𝑑𝑥𝑡= 𝐴𝑥𝑡◇ 𝑑𝑍𝑡

interpretada no sentido de Marcus é dada por:

̃︀ 𝜙𝑡= (︃ cos(𝑍𝑡) − sin(𝑍𝑡) sin(𝑍𝑡) cos(𝑍𝑡) )︃ .

Por construção, temos que𝜙̃︀𝑡é 1-decomponível para todo 𝑡 ≥ 0 e, dependendo da escolha

dos pontos 𝑝𝑛, está arbitrariamente próximo de 𝜙𝑡.

2.2.2

Resultados principais

Nesta seção, assumimos que o fluxo estocástico 𝜙𝑡 é gerado pela seguinte equação

dife-rencial estocástica de Stratonovich:

𝑑𝑥𝑡= 𝑋0(𝑥𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑚 ∑︁ 𝑖=1 𝑋𝑖(𝑥𝑡) ∘ 𝑑𝐵𝑖𝑡 onde (𝐵1

𝑡, . . . , 𝐵𝑡𝑚) ∈ R𝑚é um movimento Browniano em um espaço de probabilidade filtrado

(Ω, ℱ, ℱ𝑡, P); 𝑋𝑖, com 𝑖 ∈ {0, 1, 2, . . . , 𝑚} são campos de vetores diferenciáveis em R𝑛. Aqui,

assumimos também que os fluxos determinísticos gerados por tais campos de vetores, que denotamos por 𝜑𝑋𝑖

Dado 𝑢 = (𝑡0, 𝑡1, . . . , 𝑡𝑚) ∈ R𝑚+1, considere 𝜑(𝑢) a composição de tais fluxos

determinís-ticos. Precisamente, temos que:

𝜑(𝑢) = 𝜑𝑋0 𝑡0 ∘ 𝜑 𝑋1 𝑡1 ∘ . . . ∘ 𝜑 𝑋𝑚 𝑡𝑚 .

Escrevemos (𝑥, 𝑦) ∈ R𝑝 _{× R}𝑛−𝑝 _{= R}𝑛 _{e 𝜑(𝑢)(𝑥, 𝑦) = (𝜑(𝑢)}1_{, 𝜑(𝑢)}2_{). Dada uma condição}

inicial, considere 𝑃 = {𝑢 ∈ R𝑚+1 _{: det}𝜕𝜑(𝑢)2

𝜕𝑦 = 0}, o conjunto associado aos difeomorfismos

que não são 𝑝-decomponíveis.

Teorema 2.2.1. Assuma que 𝑃 tem medida de Lebesgue nula. Então, dados 𝜀 > 0 e 𝑎 >0, existe um semimartingale 𝑍𝑡 ∈ R𝑚+1 tal que o fluxo solução𝜙̃︀𝑡 da equação diferencial

estocástica 𝑑𝑥𝑡 = 𝑚

∑︁

𝑖=0

𝑋𝑖(𝑥𝑡) ◇ 𝑑𝑍𝑡𝑖 é 𝑝-decomponivel para todo 𝑡 ≥ 0. Ademais, o conjunto

𝐶(𝜔) = {𝑡 ≥ 0 : 𝜙𝑡(𝜔) ̸=𝜙̃︀𝑡(𝜔)} é Lebesgue mensurável quase sempre e P[𝜇(𝐶) > 𝑎] ≤ 𝜀. Demonstração. Inicialmente, fixe 𝜀 > 0 e 𝑎 > 0. Dado 𝑡 ≥ 0, considere o processo 𝑈𝑡 = (𝑡, 𝐵𝑡1, . . . , 𝐵𝑡𝑛). Como por hipótese 𝑃 tem medida de Lebesgue nula, dado 𝛿 > 0,

existe um conjunto aberto 𝐴𝛿, tal que 𝐴𝛿⊇ 𝑃 e 𝜇(𝐴𝛿) < 𝛿. Por propriedades do movimento

Browniano, dado 𝑑 > 0, temos que:

P[ 𝑈𝑠 ∈ 𝐴𝛿 ∀𝑠 ∈[𝑡, 𝑡 + 𝑑] | 𝑈𝑡∈ 𝐴𝛿] → 0 quando 𝛿 → 0.

Dessa forma, para cada 𝑘 ∈ N, existe um conjunto aberto 𝐴𝑘 que contém 𝑃 com medida de

Lebesgue suficientemente pequena tal que:

P [︂ 𝑈𝑠 ∈ 𝐴𝑘 ∀𝑠 ∈[𝑡, 𝑡 + 𝑎 2𝑘] | 𝑈𝑡∈ 𝐴𝑘 ]︂ < 𝜀 2𝑘.

Podemos assumir que a sequência de conjuntos (𝐴𝑘)_𝑘∈N é decrescente. Ademais, como

0 /∈ 𝑃 , também assumimos que 0 /∈ 𝐴𝑘 para todo 𝑘 ∈ N.

Aplicando o lema de Urysohn, obtemos funções contínuas 𝐹𝑘 : R𝑚 → [0, 1] tais que

𝐹_𝑘−1(1) = (𝐴𝑘)𝐶 e 𝐹𝑘−1(0) = 𝑃 . Para cada 𝑘 ∈ N, considere a seguinte partição de R𝑚+1 nas

regiões a seguir: • ‘Zona verde’ 𝐺𝑘:= 𝐹𝑘−1(1); • ‘Zona amarela’ 𝑌𝑘 = 𝐹𝑘−1( 1 2,1); • ‘Zona vermelha’ 𝑅𝑘 = 𝐹𝑘−1[0,12].

Figura 2.1: Esboço das zonas verde, amarela e vermelha em R2.

A zona vermelha corresponde a um conjunto em que, por meio de tempos de parada, não permitiremos que a dinâmica do sistema original atue, a fim de garantir que o fluxo construído via equação de Marcus seja 𝑝-decomponível.

Por outro lado, a zona verde contém uma certa margem de segurança em relação aos pontos críticos da decomposição, e assim deixamos a dinâmica do sistema original agir livre-mente. Finalmente, a zona amarela representa uma região de transição entre as anteriores.

Por construção, a origem de R𝑚+1 _{pertence a zona verde para todo 𝑘 ∈ N. Ademais, a}

zona verde é um conjunto crescente com 𝑘. Definimos por indução a seguinte sequência de tempos de parada: 𝑇0 = 0, 𝑇𝑖 = inf{𝑡 > 𝑇𝑖−1 : 𝑈𝑡 ∈ 𝑅𝑖} e 𝑇𝑖 = inf{𝑡 > 𝑇𝑖 : 𝑈𝑡 ∈ 𝐺𝑖}. A

zona amarela garante que as desigualdades entre os tempos de parada são estritas, ou seja,

𝑇𝑖−1< 𝑇𝑖 < 𝑇𝑖 para todo 𝑖 ∈ N.

Em seguida, definimos o semimartingale {𝑍𝑡 : 𝑡 ≥ 0} como segue:

𝑍𝑡= ⎧ ⎨ ⎩ 𝑈𝑡, se 𝑡 ∈ [𝑇𝑘−1, 𝑇𝑘) para algum 𝑘 ∈ 𝑁; 𝑈𝑇𝑘, se 𝑡 ∈ [𝑇𝑘, 𝑇𝑘).

Note que 𝑍𝑡 é constante desde o tempo em que 𝑈𝑡 atinge a zona vermelha, até regressar

estocástica em relação ao semimartingale 𝑍𝑡, interpretada no sentido de Marcus: 𝑑𝑥𝑡= 𝑚 ∑︁ 𝑖=0 𝑋𝑖(𝑥𝑡) ◇ 𝑑𝑍𝑡𝑖,

cujo fluxo solução é dado por:

̃︀ 𝜙𝑡= 𝜑𝑍𝑡 = 𝜑 𝑋0 𝑍0 𝑡 ∘ 𝜑 𝑋1 𝑍1 𝑡 ∘ . . . ∘ 𝜑 𝑋𝑚 𝑍𝑚 𝑡 .

Segue diretamente da construção que 𝜙̃︀𝑡 é 𝑝-decomponível para todo 𝑡 ≥ 0. Em relação

à parte final do teorema, note que 𝐶(𝜔) é Lebesgue mensurável quase sempre, pois 𝜙𝑡 e 𝜙̃︀𝑡

são mensuráveis com respeito a 𝜎-álgebra produto em R ⊗ Ω. Além disso, 𝜙𝑡(𝜔) =𝜙̃︀𝑡(𝜔) se 𝑈𝑡(𝜔) = 𝑍𝑡(𝜔), e assim:

𝐶(𝜔) ⊆ ⋃︁

𝑘∈N

(𝑇𝑘(𝜔), 𝑇𝑘(𝜔)).

Finalmente, uma condição necessária para 𝜇(𝐶(𝜔)) > 𝑎 é que, para algum 𝑘 ∈ N, tenha-mos 𝑇𝑘(𝜔) − 𝑇𝑘(𝜔) > ₂𝑎𝑘. Então, segue que:

P[𝜇(𝐶) > 𝑎] ≤ P ⎡ ⎣ ⋃︁ 𝑘∈N {︂ 𝜔 : (𝑇𝑘− 𝑇𝑘) > 𝑎 2𝑘 }︂ ⎤ ⎦ ≤ ∑︁ 𝑘∈N P [︂ (𝑇𝑘− 𝑇𝑘) > 𝑎 2𝑘 ]︂ ≤ ∑︁ 𝑘∈N 𝜀 2𝑘 = 𝜀. (2.2.1)

Observação 2.2.2. Genericamente, na topologia 𝐶1, quando a equação diferencial

estocás-tica possui um único campo de vetores, o conjunto 𝑃 ⊂ R tem medida de Lebesgue nula. De fato, a condição na segunda componente dada por det𝜕𝜑2

𝑡

𝜕𝑦 = 0 não se mantém mediante

pequenas perturbações nas suas derivadas. Além disso, para campos de vetores lineares,

𝑃 ⊂ R é discreto pois det𝜕𝜑2𝑡

𝜕𝑦 é função analítica não nula.

No caso em que o conjunto 𝑃 (com a mesma notação acima) possui uma medida de Le-besgue arbitrária, vale uma versão mais fraca do resultado. Nesse sentido, ainda é possível construir um semimartingale 𝑍𝑡 próximo ao processo 𝑈𝑡, de forma que os fluxos

correspon-dentes 𝜙̃︀𝑡 and 𝜙𝑡 também estejam próximos.

O problema é que nesse caso perdemos a abordagem probabilística, no sentido de controlar a medida do conjunto 𝐶(𝜔). Assim, com a mesma notação, considere a seguinte proposição:

Proposição 2.2.3. Dado 𝜀 > 0 e um conjunto aberto 𝐴 ⊇ 𝑃 tal que 𝜇(𝐴 ∖ 𝑃 ) < 𝜀, existe

um semimartingale 𝑍𝑡 satisfazendo as seguintes propriedades:

1. O fluxo solução da equação 𝑑𝑥𝑡= 𝑚

∑︁

𝑖=1

𝑋𝑖(𝑥𝑡) ◇ 𝑑𝑍𝑡𝑖 é 𝑝-decomponível para todo 𝑡 ≥ 0;

2. Se 𝑈𝑡(𝜔) /∈ 𝐴, então 𝑍𝑡(𝜔) = 𝑈𝑡(𝜔), e portanto 𝜙̃︀𝑡(𝜔) = 𝜙𝑡(𝜔).

Demonstração. Como 0 /∈ 𝑃 , podemos assumir (reduzindo 𝐴, se necessário), que 0 /∈ 𝐴.

Aplicando o Lema de Urysohn, existe uma função contínua 𝐹 : R𝑚+1 _{→ [0, 1], tal que}

𝐹−1(1) = 𝐴𝐶 _{e 𝐹}−1_{(0) = 𝑃 . De maneira análoga à prova do Teorema 2.2.1, considere uma}

partição de R𝑚+1 dada por:

• ‘Zona verde’ 𝐺 = 𝐹−1_(1);

• ‘Zona amarela’ 𝑌 = 𝐹−1₍1 2,1);

• ‘Zona vermelha’ 𝑅 = 𝐹−1_[0,1 2].

Note que, diferente do teorema anterior, neste resultado as zonas verde, amarela e ver-melha permanecem fixas durante todo o processo, pois a necessidade de modificá-las a cada passo decorria da aproximação em probabilidade. Por indução, considere a seguinte sequência de tempos de parada: 𝑇0 = 0, 𝑇𝑖 = inf{𝑡 > 𝑇𝑖−1 : 𝑈𝑡 ∈ 𝑅} e 𝑇𝑖 = inf{𝑡 > 𝑇𝑖 : 𝑈𝑡 ∈ 𝐺}.

Defina o semimartingale com saltos {𝑍𝑡: 𝑡 ≥ 0} como segue:

𝑍𝑡= ⎧ ⎨ ⎩ 𝑈𝑡, se 𝑡 ∈ [𝑇𝑘−1, 𝑇𝑘) para algum 𝑘 ∈ 𝑁; 𝑈𝑇𝑘, se 𝑡 ∈ [𝑇𝑘, 𝑇𝑘).

Finalmente, note que se 𝑈𝑡(𝜔) /∈ 𝐴, então 𝑈𝑡(𝜔) está contido na zona verde. Dessa forma,

neste caso temos 𝑈𝑡(𝜔) = 𝑍𝑡(𝜔) e 𝜙𝑡(𝜔) =𝜙̃︀𝑡(𝜔).

Exemplo 2.2.4. Apresentamos aqui um exemplo em que o conjunto 𝑃 não tem medida de

Lebesgue nula. Seja 𝑓 : R → [−𝜋/2, 𝜋/2] uma função diferenciável tal que: 𝑓(𝑥) = −𝜋/2 se

𝑥 ≤ −𝜋/2 e 𝑓(𝑥) = 𝜋/2 se 𝑥 ≥ 𝜋/2. Considere a seguinte EDO determinística em R3_:

⎛ ⎜ ⎝ 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ ⎞ ⎟ ⎠= ⎛ ⎜ ⎝ −𝑓′_(𝑧)𝑦 𝑓′(𝑧)𝑥 1 ⎞ ⎟ ⎠

𝜙(𝑡)(𝑥0, 𝑦0,0) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ cos 𝑓(𝑡) −sin 𝑓(𝑡) 0 sin 𝑓(𝑡) 0 cos 𝑓(𝑡) 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 𝑥0 𝑦0 𝑡 ⎞ ⎟ ⎠.

Considere agora a 1-decomposição do fluxo em R × R2_{. O determinante da submatriz}

destacada acima corresponde a det𝜕𝜑2

𝑡

𝜕𝑦 na definição do conjunto 𝑃 . Dessa forma, dada uma

condição inicial no plano horizontal (𝑥, 𝑦, 0), temos que 𝑃 = [𝜋/2, ∞). Geometricamente, a dinâmica do plano horizontal {(𝑥, 𝑦, 0); 𝑥, 𝑦 ∈ R} é simplesmente uma rotação por 𝑓(𝑡) ao longo do eixo 𝑧, com velocidade crescente nesta coordenada. Portanto, no tempo 𝑡 ≥ 𝜋

2,

a imagem de 𝑒1 intersecta o plano {(0, 𝑦, 𝑧); 𝑦, 𝑧 ∈ R} = R2, que corresponde à folheação

vertical.

2.3

Extensão da decomposição via equação ‘stop and

go’

Inicialmente, vale considerar que, no caso geral, isto é, quando os campos de vetores não comutam entre si, a técnica da seção anterior (via equação diferencial estocástica no sentido de Marcus) não permite gerar um fluxo de difeomorfismos 𝜙̃︀𝑡 próximo ao fluxo original com

a propriedade de ser 𝑝-decomponível.

De fato, os saltos na equação de Marcus ocorrem na direção do fluxo determinístico, não alcançando, por exemplo, as direções de colchetes de Lie entre os campos. Em outras palavras, via equação de Marcus, não podemos garantir que𝜙̃︀𝑡e 𝜙𝑡 estejam próximos apenas

controlando os semimartingales 𝑍𝑡 e 𝑈𝑡.

A ideia desta seção é propor uma ferramenta para gerar um processo 𝜙̃︀𝑡, de forma que,

quando necessário, permaneça estacionário em um certo ponto e, em tempos apropriados, salte para alcançar o fluxo original 𝜙𝑡.

Esta ferramenta, que denominamos equação ‘stop and go’, nos permite obter um resultado análogo à Proposição 2.2.3 para o caso geral de campos de vetores que não comutam entre si. Usando a mesma notação anterior, considere a equação diferencial estocástica de Stratonovich em relação ao movimento Browniano dada por:

𝑑𝑥𝑡= 𝑋0(𝑥𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑚

∑︁

𝑖=1

𝑋𝑖(𝑥𝑡) ∘ 𝑑𝐵𝑡𝑖, (2.3.1)

cuja solução é dada pelo fluxo de difeomorfismos 𝜙𝑡. Considere uma sequência arbitrária 𝑇

de tempos de parada dada por:

Denotamos a equação ‘stop and go’ como segue: 𝑑𝑥𝑡= 𝑚 ∑︁ 𝑖=0 𝑋𝑖(𝑥𝑡) 𝑇 𝑑𝑈𝑡𝑖, (2.3.2)

onde, novamente 𝑈𝑡 = (𝑡, 𝐵𝑡1, . . . , 𝐵𝑡𝑚) e cuja solução deve ser interpretada, em termos de

ação de difeomorfismos, como o processo:

̃︀ 𝜙𝑡= ⎧ ⎨ ⎩ 𝜙𝑡, if 𝑡 ∈ [𝑇𝑗, 𝑇𝑗+1); 𝜙𝑇𝑗, if 𝑡 ∈ [𝑇𝑗, 𝑇𝑗).

A partir da equação acima, vamos construir na próxima seção um processo 𝑝-decomponível

̃︀

𝜙𝑡 que aproxime o fluxo de difeomorfismos correspondente.

2.3.1

Resultado principal

Considere uma equação da forma (2.3.1) e o seu fluxo estocástico correspondente 𝜙𝑡. Dada

uma condição inicial, para cada 𝜔 ∈ Ω, defina o conjunto 𝑃 (𝜔) = {𝑡 ∈ R : det𝜕𝜙2

𝑡

𝜕𝑦 (𝜔) = 0},

que é um conjunto aleatório (ao contrário da seção anterior). Nessas condições, vale o seguinte resultado:

Teorema 2.3.1. Dado 𝜀 > 0, e um conjunto aberto aleatório 𝐴(𝜔) ⊇ 𝑃 (𝜔) tal que 𝜇(𝐴(𝜔) ∖ 𝑃(𝜔)) < 𝜀, existe uma sequência 𝑇 de tempos de parada tal que:

• O processo 𝜙̃︀𝑡, solução da equação ‘stop and go’ (2.3.2), tem a propriedade de ser 𝑝-decomponível para todo 𝑡 ≥ 0;

• 𝜙̃︀𝑡(𝜔) = 𝜙𝑡(𝜔) se 𝑡 /∈ 𝐴(𝜔).

Demonstração. Como 0 /∈ 𝑃 (𝜔) para todo 𝜔 ∈ Ω, podemos assumir (reduzindo o conjunto 𝐴(𝜔), se necessário), que 0 /∈ 𝐴(𝜔). Definimos uma partição aleatória de R de maneira

análoga aos resultados anteriores. Tome, para cada 𝜔, uma função contínua 𝐹𝜔 : R → [0, 1]

com a propriedade que 𝐹−1

𝜔 (1) = 𝐴𝐶(𝜔) e 𝐹𝜔−1(0) = 𝑃 (𝜔), e defina: • ‘Zona verde’ 𝐺𝜔 = 𝐹𝜔−1(1); • ‘Zona amarela’ 𝑌𝜔 = 𝐹𝜔−1( 1 2,1); • ‘Zona vermelha’ 𝑅𝜔 = 𝐹𝜔−1[0,12].

Defina por indução uma sequência de tempos de parada 𝑇 , da seguinte maneira: 𝑇0 = 0,

𝑇𝑖(𝜔) = inf {𝑡 > 𝑇𝑖−1(𝜔) : 𝑡 ∈ 𝑅𝜔} e 𝑇𝑖(𝜔) = inf {𝑡 > 𝑇𝑖(𝜔) : 𝑡 ∈ 𝐺𝜔}.

Note que a sequência 𝑇 foi construída de forma que det𝜕𝜙_̃︀2

𝑡

𝜕𝑦 (𝜔) não se anula. Nesse

sentido, o processo gerado pela equação ‘stop and go’ 𝜙̃︀𝑡 é p-decomponível para todo 𝑡 ≥ 0.

Em relação à segunda parte do resultado, note que se 𝑡 /∈ 𝐴(𝜔), então:

𝑡 /∈ ⋃︁

𝑘∈N

(𝑇𝑘(𝜔), 𝑇𝑘(𝜔)),

Capítulo 3

Decomposição de fluxos estocásticos

com saltos

3.1

Generalidades

Neste capítulo, voltamos ao assunto da decomposição de fluxos, mas agora com foco na existência da decomposição para o caso descontínuo. Assim, seja 𝑀 uma variedade diferenciável compacta, e Diff(𝑀) o grupo de Lie de dimensão infinita dos difeomorfismos em

𝑀, gerado pela álgebra de Lie dos campos de vetores diferenciáveis.

Considere 𝜙𝑡um fluxo gerado por uma equação diferencial estocástica em relação a um

se-mimartingale com saltos 𝑍𝑡. Assumimos que este semimartingale tem a propriedade de saltos

finitos em intervalos de tempo compactos, como descrito no capítulo inicial. Nossa inten-ção aqui é estudar a decomposiinten-ção do fluxo 𝜙𝑡 em componentes que pertencem a subgrupos

específicos de Diff(M).

Tais subgrupos são similares aos considerados em Catuogno, Ruffino e Silva [6]. Nesse sentido, consideramos que a variedade diferenciável 𝑀 possui (localmente) um par de distri-buições no sentido de seções no fibrado Grassmaniano de 𝑀. A primeira delas será deno-minada distribuição horizontal, que denotamos por Δ𝐻 : 𝑈 ⊆ 𝑀 → 𝐺𝑟

𝑘(𝑀), e a segunda

será denominada distribuição vertical, dada por Δ𝑉 _{: 𝑈 ⊆ 𝑀 → 𝐺𝑟}

𝑛−𝑘(𝑀). Ademais,

assu-mimos também que as distribuições horizontal e vertical são complementares, ou seja, para cada 𝑥 ∈ 𝑈, Δ𝐻(𝑥) ⊕ Δ𝑉(𝑥) = 𝑇

𝑥𝑀.

Dessa forma, dois subgrupos de Lie de Diff(𝑀) surgem naturalmente: Diff(Δ𝐻_{, 𝑀) e}

Diff(Δ𝑉_{, 𝑀}), que correspondem aos difeomorfismos gerados pelos campos de vetores que

pertencem às distribuições horizontal e vertical, respectivamente.

Nesse contexto, estamos interessados na decomposição do fluxo estocástico como

após uma breve discussão sobre a existência da decomposição até um tempo de parada (que decorre do caso contínuo), vamos exibir ainda as EDEs no sentido de Marcus para cada uma das componentes respectivas.

Um dos pontos principais para obter as equações referentes às componentes 𝜉𝑡 e 𝜓𝑡 é

uma extensão da fórmula clássica de Itô-Ventzel-Kunita, resultado que apresentaremos na próxima seção. Esta extensão aplica-se a fluxos gerados por EDEs de Stratonovich em relação ao mesmo semimartingale com saltos. Vale acrescentar ainda que, para obter essa extensão, apresentamos uma generalização da definição de integração de Marcus com respeito a uma mudança de variáveis em Kurtz, Pardoux and Protter [22].

3.2

Uma extensão da fórmula de Itô-Ventzel Kunita

No caso contínuo, temos a clássica fórmula de Itô-Ventzel-Kunita, que consiste em um resultado para a composição de dois processos estocásticos. Inicialmente, recordamos esta fórmula para integrais de Stratonovich. Neste sentido, seja 𝜙𝑡 um fluxo estocástico de

difeo-morfismos, solução da seguinte EDE de Stratonovich:

𝑑𝑥𝑡= 𝑚

∑︁

𝑖=0

𝑋𝑖(𝑥𝑡) ∘ 𝑑𝑁𝑡𝑖,

onde 𝑁𝑖 são semimartingales contínuos, e 𝑋𝑖 são campos de vetores diferenciáveis em R𝑑,

para 𝑖 ∈ {0, 1, . . . , 𝑚}. Sejam 𝑈𝑡= (𝑈𝑡1, . . . , 𝑈𝑡𝑑) semimartingales contínuos. Então:

Teorema 3.2.1. (Itô-Ventzel-Kunita fórmula para o caso contínuo) 𝜙𝑡(𝑈𝑡) = 𝜙0(𝑈0) + 𝑚 ∑︁ 𝑖=0 ∫︁ 𝑡 0 𝑋_𝑠𝑖(𝑈𝑠) ∘ 𝑑𝑁𝑠𝑖+ 𝑑 ∑︁ 𝑖=1 ∫︁ 𝑡 0 𝜕𝜙𝑠 𝜕𝑥𝑖(𝑈 𝑠) ∘ 𝑑𝑈𝑠𝑖. (3.2.1)

Para uma demonstração deste resultado, veja por exemplo Kunita [21]. Um corolário direto da fórmula acima é uma espécie de ‘regra de Leibniz’ para a composição de fluxos estocásticos de difeomorfismos no caso contínuo. Mais precisamente, podemos escrever

𝑑(𝜙 ∘ 𝑈)𝑡 = 𝑑𝜙𝑡∘ 𝑈𝑡+ (𝜙𝑡)* ∘ 𝑑𝑈𝑡,

onde a forma diferencial é tomada no sentido de integrais do tipo Stratonovich. Na prova do resultado principal desta seção, precisamos de uma extensão dessa regra de Leibniz para fluxos gerados por EDE de Stratonovich em relação a semimartingales com saltos.

Nesse sentido, sejam 𝜓𝑡 e 𝜉𝑡 fluxos de difeomorfismos gerados por equações de Marcus

com respeito ao mesmo semimartingale com saltos 𝑍𝑡, ou seja:

onde 𝑋, 𝑌 são campos de vetores diferenciáveis. Generalizando a fórmula de composição (1.3.5) de Kurtz, Pardoux e Protter [22], definimos a seguinte integral:

∫︁ 𝑡 0 𝜓𝑠*𝑌(𝜉𝑠) ◇ 𝑑𝑍𝑠 := ∫︁ 𝑡 0 𝜓𝑠*𝑌(𝜉𝑠−)𝑑𝑍_𝑠 +1 2 ∫︁ 𝑡 0 (𝑋 ′_{(𝑌 (𝜉} 𝑠)) + 𝜓𝑠*(𝑌′𝑌)) 𝑑 [𝑍, 𝑍]𝑐𝑠 + ∑︁ 0≤𝑠≤𝑡 {︂ 𝜑(𝑋Δ𝑍𝑠, 𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑠, 𝜓𝑠−(𝜉_𝑠−))) − 𝜓_𝑠−(𝜉_𝑠−) − (︂∫︁ 1 0 𝑋(𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑠, 𝜉𝑠−, 𝑢))𝑑𝑢 − 𝜓_𝑠−_*(𝑌 (𝜉_𝑠−)) )︂ Δ𝑍𝑠 }︂ . (3.2.2)

Explicamos brevemente o sentido de cada uma das parcelas acima. O primeiro termo no lado direito de (3.2.2) é a integral padrão de Itô do processo predizível 𝜓𝑠*(𝑌 (𝜉𝑠−)). O

segundo termo corresponde a uma integral de Stieltjes em relação a parte contínua da variação quadrática de 𝑍𝑡. Aqui vale considerar que este termo é compatível com a fórmula clássica

de Itô-Ventzel-Kunita (3.2.1).

No somatório, usamos a notação 𝜑(𝑋, 𝑥0, 𝑢) para a solução da EDO com respeito ao

campo de vetores 𝑋 e condição inicial 𝑥0 no tempo 𝑢 (se este último parâmetro for omitido,

consideramos 𝑢 = 1). Vale considerar que a definição da equacão (3.2.3) estende a definição de uma EDE de Stratonovich no sentido de Marcus (equação 1.3.3): se 𝜓𝑡 é a identidade,

então 𝑋 ≡ 0 e recuperamos a equação correspondente.

Nesse sentido, temos que o processo de saltos da integral (3.2.2) é dado por: Δ(︂∫︁ 𝑡 0 𝜓_𝑠*𝑌(𝜉𝑠) ◇ 𝑑𝑍𝑠 )︂ 𝑣 = 𝜑(𝑋Δ𝑍 𝑣, 𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑣, 𝜓𝑣−(𝜉_𝑣−))) − 𝜓_𝑣−(𝜉_𝑣−) − (︂∫︁ 1 0 𝑋(𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑣, 𝜉𝑣−, 𝑢))𝑑𝑢 )︂ Δ𝑍𝑣. (3.2.3)

Agora, com a mesma notação anterior, apresentamos uma extensão da fórmula de Itô-Ventzel-Kunita dada por:

Teorema 3.2.2. (Itô-Ventzel-Kunita para EDE de Stratonovich com saltos) Suponha que

os fluxos estocásticos 𝜓𝑡 e 𝜉𝑡 estão definidos no intervalo [0, 𝑎]. Então, para todo 𝑡 ∈ [0, 𝑎]:

𝜓𝑡(𝜉𝑡) = 𝜓0(𝜉0) + ∫︁ 𝑡 0 𝑋(𝜉𝑠) ◇ 𝑑𝑍𝑠+ ∫︁ 𝑡 0 𝜓_𝑠*(𝑌 (𝜉𝑠)) ◇ 𝑑𝑍𝑠. (3.2.4)

Demonstração. Considere

𝑡0 = sup {𝑠 ∈ [0, 𝑎] tal que a relação acima é válida em [0, 𝑠]}.

Vamos mostrar que 𝑡0 = 𝑎. A prova segue por contradição considerando dois casos: quando o

integrador 𝑍𝑡 é contínuo em 𝑡0, ou quando 𝑡0 é ponto de descontinuidade de 𝑍𝑡. No primeiro

caso, se 𝑡0 < 𝑎, existe q.s. 𝜀 > 0 de forma que o processo 𝑍𝑡 é contínuo em [𝑡0, 𝑡0+ 𝜀). Então,

pela fórmula de Itô-Ventzel-Kunita para o caso contínuo, a relação é válida até o tempo 𝑡0+𝜀,

e assim, temos uma contradição.

Em relação ao segundo caso, se o processo 𝑍𝑡 tem uma descontinuidade em 𝑡0, e 𝑡0 < 𝑎,

vamos mostrar que a relação também é válida para 𝑡0 acrescido de um certo 𝜀. De fato:

𝜓𝑡0(𝜉𝑡0) = 𝜓𝑡₀−(𝜉𝑡−₀) + 𝜑(𝑋Δ𝑍𝑡0, 𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑡0, 𝜓𝑡−₀(𝜉𝑡−₀))) − 𝜓𝑡−₀(𝜉𝑡−₀) = 𝜓0(𝜉0) + ∫︁ 𝑡−₀ 0 𝑋(𝜉𝑠) ◇ 𝑑𝑍𝑠+ ∫︁ 𝑡−₀ 0 𝜓_𝑠*(𝑌 (𝜉𝑠)) ◇ 𝑑𝑍𝑠 + (︂∫︁ 1 0 𝑋(𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑡0, 𝜉𝑡0−, 𝑢))𝑑𝑢 )︂ Δ𝑍𝑡0 + 𝜑(𝑋Δ𝑍𝑡0, 𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑡0, 𝜓𝑡−₀(𝜉𝑡−₀))) − 𝜓_𝑡− 0 (𝜉𝑡 − 0) − (︂∫︁ 1 0 𝑋(𝜑(𝑌 Δ𝑍𝑡0, 𝜉𝑡0−, 𝑢))𝑑𝑢 )︂ Δ𝑍𝑡0 = 𝜓0(𝜉0) + ∫︁ 𝑡0 0 𝑋(𝜉𝑠) ◇ 𝑑𝑍𝑠+ ∫︁ 𝑡0 0 𝜓_𝑠*(𝑌 (𝜉𝑠)) ◇ 𝑑𝑍𝑠. (3.2.5)

Então, a fórmula também é válida para 𝑡 = 𝑡0. Como estamos assumindo que o integrador

tem a propriedade de saltos finitos, existe quase sempre um 𝜀 > 0 tal que 𝑍𝑡 é contínuo em

(𝑡0, 𝑡0+ 𝜀). Aplicando novamente a fórmula clássica de Itô-Ventzel-Kunita, chegamos a uma

contradição. Logo, 𝑡0 = 𝑎.

Lembre que, por hipótese, estamos assumindo que 𝑍𝑡 tem a propriedade de saltos finitos.

Nesse sentido, existe quase sempre 𝜀 > 0 tal que o processo 𝑍 é continuo em (𝑡0, 𝑡0 + 𝜀),

com (𝑡0 + 𝜀) < 𝑎. Aplicando a fórmula de Itô-Ventzel-Kunita para o caso contínuo, temos

novamente uma contradição, e portanto devemos ter 𝑡0 = 𝑎, como queríamos mostrar.

De nossa generalização da fórmula de Itô-Ventzel-Kunita, segue diretamente o seguinte corolário:

Corolário 3.2.3. Sejam 𝜓 e 𝜉 fluxos gerados por EDEs do tipo Stratonovich no sentido de

Marcus, com respeito ao mesmo semimartingale 𝑍𝑡, que assumimos com a propriedade de

saltos finitos. Então: