fibrados de Higgs

Considerando o suporte das branas, iremos nos referir a uma subvariedade de ℳ𝐺

como sendo do tipo 𝐴 ou 𝐵 com respeito a cada uma das estruturas complexas (𝐼, 𝐽, 𝐾). Logo, pode-se estudar branas de quatro possíveis tipos: (𝐵, 𝐵, 𝐵), (𝐵, 𝐴, 𝐴), (𝐴, 𝐵, 𝐴) e (𝐴, 𝐴, 𝐵), onde o pares duais previsto pela simetria do espelho homológica são

(𝐵, 𝐴, 𝐴) ←→ (𝐵, 𝐵, 𝐵), (𝐴, 𝐴, 𝐵) ←→ (𝐴, 𝐴, 𝐵), (𝐴, 𝐵, 𝐴) ←→ (𝐴, 𝐵, 𝐴).

Consideremos um exemplo onde podemos identificar algumas dessas branas. Seja

𝐺= GL(1, C) e Σ = 𝑇 o toro complexo. Apensar de 𝑔(𝑇 ) = 1, se considerarmos o espaço

moduli dos fibrados de Higgs de dimensão um e grau zero, os teoremas citados ao longo do texto também valem para este caso [23]. Aqui temos que o campo de Higgs 𝜑 é apenas um elemento de 𝐻0_{(𝑇, 𝐾). Além disso, a base de Hitchin 𝒜 coincide com 𝐻}0_{(𝑇, 𝐾).}

Denote por ℳ o espaço moduli dos fibrados de Higgs de dimensão um sobre 𝑇 . Perceba que temos a seguinte identificação

ℳ ≃Jac(𝑇 ) × 𝐻0(𝑇, 𝐾). Portanto, a fibração de Hitchin neste caso é da forma,

ℎ: Jac(𝑇 ) × 𝐻0(𝑇, 𝐾) → 𝐻0(𝑇, 𝐾)

(𝐸, 𝜑) ↦→ 𝜑.

Como Jac(𝑇 ) = 𝑇 e 𝐻0_{(𝑇, 𝐾) ≃ R}2_{, segue que ℳ = R}2_{× 𝑇}2_{. Sejam 𝑥}

0, 𝑥1 coorde-

nadas de R2 _{e 𝑥}

2, 𝑥3 coordenadas de 𝑇 . As formas simpléticas correspondentes são:

𝜔_𝐼 = 𝑑𝑥0∧ 𝑑𝑥1+ 𝑑𝑥2∧ 𝑑𝑥3,

𝜔𝐽 = 𝑑𝑥0∧ 𝑑𝑥2− 𝑑𝑥1∧ 𝑑𝑥3,

𝜔𝐾 = 𝑑𝑥0∧ 𝑑𝑥3+ 𝑑𝑥1∧ 𝑑𝑥2.

As estruturas complexas 𝐼, 𝐽 e 𝐾 são determinadas por essas formas simpléticas. Com respeito as seguintes coordenadas holomorfas

𝑧𝐼 = 𝑥0+ 𝑖𝑥1 𝑤𝐼 = 𝑥2+ 𝑖𝑥3

𝑧𝐽 = 𝑥0+ 𝑖𝑥2 𝑤𝐽 = 𝑥3+ 𝑖𝑥1

os operadores 𝐼, 𝐽 e 𝐾 agem como multiplicação por 𝑖, isto é 𝐼 · 𝑑𝑧𝐼 = 𝑖𝑑𝑧𝐼 e 𝐼 · 𝑑𝑤𝐼 = 𝑖𝑑𝑤𝐼

e assim por diante.

As subvariedades lagrangianas de (𝑋, 𝜔𝐽) incluem:

• 𝐿 = R2_×pt.

• 𝐿 = pt × 𝑇2 _{que coincide com uma fibra da fibração de Hitchin.}

Em ambos exemplos acima, 𝐿 é holomorfa com respeito a estrutura complexa 𝐼 e lagrangianas com respeito a 𝜔𝐽 e 𝜔𝐾. Desta forma, temos que estas subvariedades definem

um (𝐵, 𝐴, 𝐴)-branas.

Um exemplo de uma (𝐴, 𝐵, 𝐴)-brana em R2_{× 𝑇}2 _{são os cilindros}

{𝑥1 = pt} × {𝑥3= pt},

{𝑥0 = pt} × {𝑥2= pt}.

Similarmente, como exemplo de (𝐴, 𝐴, 𝐵)-branas temos os cilindros {𝑥1 = pt} × {𝑥2= pt},

{𝑥0 = pt} × {𝑥3= pt}.

No entanto, não é possível produzir exemplos de (𝐴, 𝐵, 𝐵)-branas, de (𝐵, 𝐴, 𝐵)-branas ou (𝐵, 𝐵, 𝐴)-branas. Isso ocorre pois, se uma lagrangiana é holomorfa com respeito a duas das estruturas complexas, então esta necessariamente é holomorfa em relação a terceira.

As (𝐵, 𝐵, 𝐵)-branas existem e são especiais. Estas são raras de ser encontradas em outros exemplos de variedades hiperkähler. No entanto, (𝐵, 𝐵, 𝐵)-branas aparecem no espaço moduli de Hitchin devido a sua não compacidade. Exemplos triviais de (𝐵, 𝐵, 𝐵)- branas incluem toda a variedade e pontos munidos de feixe skyscraper. Exemplos não triviais são difíceis de serem produzidos.

As (𝐵, 𝐵, 𝐵)-branas são duais a (𝐵, 𝐴, 𝐴)-branas. Portanto, construindo (𝐵, 𝐴, 𝐴)- branas é uma maneiras de se obter exemplos de (𝐵, 𝐵, 𝐵)-branas. Abaixo temos alguns exemplos de (𝐵, 𝐴, 𝐴)-branas:

• Considere 𝑧 = 𝑧𝐼 = 𝑥0+ 𝑖𝑥1 e 𝑤 = 𝑤𝐼 = 𝑥2+ 𝑖𝑥3, coordenadas holomorfas com

respeito a estrutura complexa 𝐼. Para cada função holomorfa 𝑓, a variedade defi- nida por {𝑓(𝑧, 𝑤) = 0} é holomorfa em 𝐼 e lagrangiana com respeito as estruturas simpléticas 𝜔𝐽 e 𝜔𝐾.

• Considere o espaço todo 𝐿 = ℳ como uma subvariedade. Seja ℒ → 𝑋 um fibrado de linha holomorfo com classe de Chern 𝑐1(ℒ) = 𝜔𝐼.(Isso nos dá que o fibrado é

hol. em relacão a 𝐼). Seja ∇ um conexão sobre ℒ tal que 𝐹∇ = 𝜔𝐼. Esta é uma 𝐵-brana com respeito as formas simpléticas 𝜔𝐽 e 𝜔𝐾 uma vez que a equação não

linear (𝐹𝐴𝜔−1)2 = −Id é satisfeita, ou seja, ambas as equações (𝜔𝐼𝜔𝐽−1)2 = −Id e

(𝜔𝐼𝜔𝐾−1)2 = −Id.

Em casos mais gerais, de acordo com a literatura física, a simetria do espelho sugere que também deve existir uma correspondência entre (𝐵, 𝐴, 𝐴)-branas em ℳ𝐺e (𝐵, 𝐵, 𝐵)-

branas em ℳ𝐿

𝐺. Essa correspondência em particular foi estudada por Hitchin [35], e mais

recentemente em [18][19]. Uma fibra suave da fibração de Hitchin é uma (𝐵, 𝐴, 𝐴)-brana e corresponde a feixes skycraper de pontos sobre a fibra correspondente em ℳ𝐿_𝐺[42] [31].

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Ap ˆendice

A

Verificação das condições para branas

coisotrópicas

Segue aqui o código desenvolvido no software Mathematica, que foi utilizado na veri- ficação das condições 6.3.2 para o caso que se refere a Proposição 6.3.1.

In[1]:= P= {{r, 0, a1+I a2, b1+I b2},{0, s, b1+I b2, d1+I d2}, {r, 0, a1-I a2, b1-I b2},

{0, s, b1-I b2, d1-I d2}} (*Defining the extended period Matrix*)

P// MatrixForm Out[1]= {{r, 0, a1+ⅈa2, b1+ⅈb2},{0, s, b1+ⅈb2, d1+ⅈd2}, {r, 0, a1-ⅈa2, b1-ⅈb2},{0, s, b1-ⅈb2, d1-ⅈd2}} Out[2]//MatrixForm= r 0 a1+ⅈa2 b1+ⅈb2 0 s b1+ⅈb2 d1+ⅈd2 r 0 a1-ⅈa2 b1-ⅈb2 0 s b1-ⅈb2 d1-ⅈd2

In[3]:= J=Simplify[I*Inverse[P].{{1, 0, 0, 0},{0, 1, 0, 0}, {0, 0,-1, 0},{0, 0, 0,-1}}.P]

(*Finding the complex structure J on the abelian variety*)

JJJ =ArrayFlatten [{{-J, 0},{0, Transpose [J]}}] (*generalized complex structure diag(-J,J^T) *)

Out[3]=  -b1 b2+a1 d2 b22_{-a2 d2} , a2 b1 s-a1 b2 s b22_{r-a2 d2 r} , a2 b1 2 -2 a1 b1 b2-a2 b22+a12d2+a22d2 b22_{r-a2 d2 r} , - b12b2+b23-a2 b1 d1+a1 b2 d1-a1 b1 d2-a2 b2 d2 b22r-a2 d2 r , -b2 d1 r+b1 d2 r b22-a2 d2s , -b1 b2+a2 d1 b22-a2 d2 ,- b12_b2+b23_{-a2 b1 d1+a1 b2 d1-a1 b1 d2-a2 b2 d2} b22s-a2 d2 s , -2 b1 b2 d1+b12d2-b22d2+a2d12+d22 b22_{-a2 d2s}  ,  d2 r -b22+a2 d2 , b2 s b22-a2 d2 , b1 b2-a1 d2 b22-a2 d2 , b2 d1-b1 d2 b22-a2 d2 ,  b2 r b22-a2 d2 , a2 s -b22+a2 d2 , a2 b1-a1 b2 -b22+a2 d2 , b1 b2-a2 d1 b22-a2 d2 

Out[4]= - -b1 b2+a1 d2 b22-a2 d2 ,-a2 b1 s-a1 b2 s b22r-a2 d2 r ,-a2 b1 2 -2 a1 b1 b2-a2 b22+a12_d2+a22_d2 b22r-a2 d2 r , b12b2+b23-a2 b1 d1+a1 b2 d1-a1 b1 d2-a2 b2 d2 b22r-a2 d2 r , 0, 0, 0, 0, --b2 d1 r+b1 d2 r b22-a2 d2s ,--b1 b2+a2 d1 b22-a2 d2 , b1 2 b2+b23-a2 b1 d1+a1 b2 d1-a1 b1 d2-a2 b2 d2 b22s-a2 d2 s , --2 b1 b2 d1+b1 2 d2-b22d2+a2d12+d22 b22_{-a2 d2s} , 0, 0, 0, 0_, - d2 r -b22_{+a2 d2},- b2 s b22_{-a2 d2},- b1 b2-a1 d2 b22_{-a2 d2} ,- b2 d1-b1 d2 b22_{-a2 d2} , 0, 0, 0, 0, - b2 r b22-a2 d2 ,- a2 s -b22+a2 d2 ,-a2 b1-a1 b2 -b22+a2 d2 ,-b1 b2-a2 d1 b22-a2 d2 , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -b1 b2+a1 d2 b22_{-a2 d2} , -b2 d1 r+b1 d2 r b22_{-a2 d2s} , d2 r -b22_{+a2 d2} , b2 r b22_{-a2 d2} , 0, 0, 0, 0, a2 b1 s-a1 b2 s b22r-a2 d2 r , -b1 b2+a2 d1 b22-a2 d2 , b2 s b22-a2 d2 , a2 s -b22+a2 d2 , 0, 0, 0, 0, a2 b1 2 -2 a1 b1 b2-a2 b22+a12_d2+a22_d2 b22r-a2 d2 r , -b1 2 b2+b23-a2 b1 d1+a1 b2 d1-a1 b1 d2-a2 b2 d2 b22s-a2 d2 s , b1 b2-a1 d2 b22-a2 d2 , a2 b1-a1 b2 -b22+a2 d2 , 0, 0, 0, 0,-b1 2 b2+b23-a2 b1 d1+a1 b2 d1-a1 b1 d2-a2 b2 d2 b22_{r-a2 d2 r} , -2 b1 b2 d1+b12d2-b22d2+a2d12+d22 b22-a2 d2s , b2 d1-b1 d2 b22-a2 d2 , b1 b2-a2 d1 b22-a2 d2 

In[5]:= m2 =JJJ ;(*switching rows and collumns of GCS

In[6]:= m2[[{1, 5}]] = m2[[{5, 1}]];

m2[[{3, 7}]] = m2[[{7, 3}]];

m2[[All ,{1, 5}]] =m2[[All ,{5, 1}]]; m2[[All ,{3, 7}]] =m2[[All ,{7, 3}]];

Omega2 =Simplify[-Inverse[Take[m2,{1, 4},{5, 8}]]] (*Matrix of the mirror symplectic structure *)

Omega2 // MatrixForm Out[10]= 0, -a2 b1 s+a1 b2 s b12+b22r , 0, b12_b2+b23_{-a2 b1 d1+a1 b2 d1-a1 b1 d2-a2 b2 d2} b12r+b22r , (a2 b1-a1 b2)s b12+b22r , 0, b2 s b12+b22 , 0,0,- b2 s b12+b22 , 0, -b2 d1+b1 d2 b12+b22 , -b1 2_b2-b23_{+a2 b1 d1-a1 b2 d1+a1 b1 d2+a2 b2 d2} b12+b22r , 0, b2 d1-b1 d2 b12+b22 , 0 Out[11]//MatrixForm= 0 -a2 b1 s+a1 b2 s b12₊ b22_ r 0 b12 b2+b23 -a2 b1 d1+a1 b2 d1-a1 b1 d2-a2 b2 d2 b12 r+b22 r a2 b1-a1 b2s b12₊ b22_ r 0 b2 s b12₊ b22 0 0 - b2 s b12 +b22 0 -b2 d1+b1 d2 b12 +b22 -b12 b2-b23 +a2 b1 d1-a1 b2 d1+a1 b1 d2+a2 b2 d2 b12₊ b22_ r 0 b2 d1-b1 d2 b12₊ b22 0

In[12]:= coefw = Simplify[Omega2[[1, 2]] *Omega2[[3, 4]] +Omega2[[1, 4]] *Omega2[[2, 3]]]

(*Omega squared coefficient *) Out[12]=

b22-a2 d2s

b12+b22r

In[13]:= Bfield2 = Simplify[(-Omega2).Take[m2,{1, 4},{1, 4}]](*Matrix of the B-field*)

Out[13]= 0,- (a1 b1+a2 b2)s b12+b22r , 0, b13-b2(a2 d1+a1 d2) +b1b22-a1 d1+a2 d2 b12+b22r , (a1 b1+a2 b2)s b12_+b22_r , 0,- b1 s b12_+b22 , 0_,_0, b1 s b12_+b22 , 0, b1 d1+b2 d2 b12_+b22  , -b1 3 -b2(a2 d1+a1 d2) +b1b22-a1 d1+a2 d2 b12+b22r , 0,- b1 d1+b2 d2 b12+b22 , 0

In[14]:= coefB = Simplify[Bfield2[[1, 2]] *Bfield2[[3, 4]] +Bfield2[[1, 4]] *Bfield2[[2, 3]]] (*B-field squared coefficient *)

Out[14]= -

b12_{+a2 d2s}

b12+b22r

In[15]:= t=Simplify [coefw -coefB](*coefficient of w²-B²*)

Out[15]=

s r

In[16]:= otimesb = Simplify[Omega2[[1, 2]] *Bfield2[[3, 4]] +Omega2[[1, 4]] *Bfield2[[2, 3]] +

Omega2[[3, 4]] *Bfield2[[1, 2]] +Omega2[[2, 3]] *Bfield2[[1, 4]]](*w \wedge B*) Out[16]= 0

No documento Fibrados de Higgs e aplicações (páginas 125-135)