e Computação Científica
Leonardo Schultz Araujo
Fibrados de Higgs e Aplicações
CAMPINAS 2020
Fibrados de Higgs e Aplicações
Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Cientí-fica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a ob-tenção do título de Mestre em Matemática.
Supervisor: Lino Anderson da Silva Grama
Este exemplar corresponde à versão final da dis-sertação defendida pelo aluno Leonardo Schultz Araujo e orientada pelo Prof. Dr. Lino Ander-son da Silva Grama.
Campinas 2020
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Araujo, Leonardo Schultz,
Ar15f AraFibrados de Higgs e aplicações / Leonardo Schultz Araujo. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.
AraOrientador: Lino Anderson da Silva Grama.
AraDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Ara1. Fibrados de Higgs. 2. Simetria do espelho. 3. Branas coisotrópicas. I. Grama, Lino Anderson da Silva, 1981-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Higgs bundles and applications Palavras-chave em inglês:
Higgs bundles Mirror symmetry Coisotropic branes
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Lino Anderson da Silva Grama [Orientador] Eder de Moraes Correa
Ricardo Miranda Martins
Data de defesa: 18-08-2020
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a) - ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0003-3285-2753 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/0089621275608370
aprovada pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof. Dr. LINO ANDERSON DA SILVA GRAMA
Prof. Dr. RICARDO MIRANDA MARTINS
Prof. Dr. EDER DE MORAES CORREA
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comiss˜ao Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Disserta¸c˜ao/Tese e na Secretaria de P´os-Gradua¸c˜ao do Instituto de Ma-tem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica.
À minha mãe, Elaine, que sempre me apoiou e me ajudou de todas as formas possíveis a buscar meus sonhos.
Ao meu irmão, Adrian, que divide comigo inúmeras aventuras e histórias que jamais serão esquecidas por mim.
À Thais, que esteve ao meu lado durante essa jornada e que me fez feliz mesmo diante de todas as dificuldades.
Ao meu orientador, Lino Grama, que me aceitou como orientando, me guiou durante toda minha formação e me forneceu orientação necessária para a conclusão dessa disser-tação.
Ao meus amigos da Ruberlei, Maico, Hugo, Ronaldo e Flávio os quais fizeram dos meus anos na UNICAMP inesquecíveis e dignos de saudade.
Ao meu amigo Matheus Manzatto, que não só me motivou e me acompanhou em meus estudos, mas que ao longo dos anos foi um dos maiores responsáveis por eu ser quem sou hoje.
Aos meus demais amigos, que sempre estiveram presentes. Aos professores e funcionários do IMECC.
À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), pelo apoio financeiro durante o mestrado por meio do processo n∘ 2017/23192-3. Além do apoio
financeiro referente a Bolsa de Estágio de Pesquisa no Exterior (processo n∘
2019/05331-1) ocorrido também durante o mestrado.
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.
Esta dissertação é focada na introdução do conceito de fibrados de Higgs e no seu es-paço moduli. Cobrindo grande parte dos pré-requisitos teóricos, apresentaremos algumas das surpreendestes correspondências entre fibrados de Higgs e outros já bem conhecidos objetos matemáticos. Estudando a rica geometria do espaço moduli, veremos como este surge no contexto da simetria do espelho como uma excelente fonte de exemplos para da interação de branas sobre a dualidade espelho.
Nós também introduzimos a teoria da simetria do espelho e, em especial, discutimos a aparição de branas coisotrópicas e sua relação com a multiplicação complexa sobre o produto de duas curvas elípticas. Mostramos que a multiplicação complexa não é necessária para o surgimento de tais branas. Concluímos usando a fibração de Hitchin e a estrutura hyperkähler do espaço moduli dos fibrados de Higgs para estudarmos a ação da simetria do espelho sobre este espaço.
Palavras-chave:
This dissertation is focused on introducing the concept of Higgs bundles and its moduli space. Covering most of the background theory, we will present some of the surprising correspondence between Higgs bundles and other well-known objects in mathematics. Studying the rich geometry of the moduli space, we will see how this object emerges in Mirror Symmetry as an excellent source of examples on branes interaction under the Mirror duality.
We also introduce the Mirror Symmetry theory and, in particular, we discuss the ap-pearance of coisotropic branes and their relation with the complex multiplication over the product of two elliptic curves. We show that the complex multiplication is not necessary to produce such branes. We conclude by using the Hitchin fibration and the special hy-perkähler structure on the moduli space of Higgs bundles to understand the action of the Mirror Symmetry over this particular space.
Key-words:
Introdução 12
1 Fibrados Vetoriais 15
1.1 Definição e Exemplos . . . 15
1.2 Subfibrados e Quocientes . . . 21
1.3 Somas e Produtos Tensoriais . . . 23
1.4 Pull-Backs e a Classificação de Fibrados Vetoriais . . . 24
1.5 Conexões em fibrados Vetoriais . . . 30
1.6 Transporte Paralelo em um Fibrado Vetorial . . . 33
1.7 Curvatura de uma Conexão . . . 35
2 Fibrados Principais 36 2.1 Ações de Grupos de Lie . . . 36
2.2 Definição e Exemplos . . . 38
2.3 Redução do Grupo de Estrutura . . . 40
2.4 O Fibrado Associado . . . 45
2.5 Conexões em Fibrados Principais . . . 49
2.6 Curvatura em Fibrados Principais . . . 53
2.7 Curvatura no Fibrado Associado . . . 55
3 Conexões Planas e Representações do Grupo Fundamental 56 3.1 Estruturas Planas . . . 56
3.2 Fibrados Vetoriais Planos e Representações do Grupo Fundamental . . . . 60
4 Variedades Complexa 67 4.1 Superfícies de Riemann . . . 67
4.2 Estrutura Quase Complexa . . . 72
4.3 Formas Holomorfas em Fibrados Vetoriais . . . 75
4.4 Fibrados Vetoriais Holomorfos . . . 79
4.5 O Fibrado Tangente Holomorfo de uma Variedade Complexa . . . 79
4.6 Estruturas Holomorfas . . . 82
4.7 Conexões em Fibrados Vetoriais Hermitianos . . . 87
5 Fibrados de Higgs 90 5.1 Espaço moduli dos fibrados vetoriais . . . 90
5.5 Espaço moduli dos SL(2, C)-fibrados de Higgs . . . 103
5.6 A correspondência de Hitchin-Kobayashi . . . 105
5.7 𝐺-fibrados de Higgs . . . 107
5.8 Fibração de Hitchin e curvas espectrais . . . 109
6 Simetria do Espelho 112 6.1 SYZ e HMS . . . 113
6.1.1 Simetria do espelho entre o toro complexo e o toro simplético . . . 114
6.2 Branas . . . 116
6.2.1 A-Branas . . . 116
6.2.2 B-Branas . . . 117
6.3 Branas Coisotrópicas . . . 117
6.3.1 A multiplicação complexa . . . 117
6.3.2 Branas coisotrópicas para variedades Abelinas de dimensão 2 . . . . 121
6.4 Simetria do espelho para o espaço moduli dos fibrados de Higgs . . . 124
6.5 𝐴-branas e 𝐵-branas no espaço moduli dos 𝐺-fibrados de Higgs . . . 125
Referências Bibliográficas 127
Introdução
Um fibrado de Higgs sobre uma superfície de Riemann é um par consistindo de um fibrado vetorial holomorfo ℰ e uma seção holomorfa do fibrado End(ℰ) ⊗ 𝐾, também conhecida como campo de Higgs. Estes objetos surgiram no final dos anos 80 nos trabalhos de Hitchin [37] a cerca das equações de auto-dualidade e nos trabalhos de Simpson sobre teoria de Hodge não-abeliana [63]. Desde então, Fibrados de Higgs vem se tornando um objeto central em geometria Kähler e hiperkähler, teoria de Hodge não-abeliana, teoria de representações, sistemas integráveis e, mais recentemente, simetria do espelho e dualidade de Laglands.
A simetria do espelho (Mirror symmetry) é um fenômeno descoberto dentro da física matemática que relaciona dois sistemas físicos de uma maneira não trivial. De maneira geral, ela permite transportar problemas de uma variedade, para um problema equiva-lente na variedade espelho. Este foi o início do que é hoje a simetria do espelho como uma área da matemática que tem como objetivo descrever, estudar e aplicar as relações entre variedades espelho. Para mais detalhes a respeito da história da teoria, ver [39]. Uma importante característica da simetria do espelho é a relação que ela estabelece entre a geo-metria simplética (𝐴-modelo) de um variedade Calabi-Yau 𝑀 com a geogeo-metria complexa (𝐵-modelo) da variedade Calabi-Yau espelho 𝑀∨. Existem duas principais conjecturas
que visão formalizar o fenômeno da simetria do espelho: a conjectura da simetria do espe-lho homológica (HMS) [46] proposta por Kontsevich e a conjectura e SYZ [67], proposta por Strominger, Yau e Zaslow.
A formulação de Kontsevich propõe que a relação entre as variedades espelho duais
𝑀 e 𝑀∨ deve ser traduzida como uma relação entre categorias triangularizadas, onde
de um lado temos a categoria derivada de feixes coerentes D𝑏Coh(𝑀), e do outro lado,
a categoria de Fukaya Fuk(𝑀∨). Os objetos de D𝑏Coh(𝑀) são complexos limitados de
feixes coerentes, enquanto os objetos de Fuk(𝑀∨) devem ser pensados como fibrados
vetoriais complexos sobre subvariedades lagrangianas de 𝑀∨ munidos de um conexão
unitária plana.
A conjectura HMS foi provada para o caso de curvas elípticas [56]. No entanto, Ka-pustin e Orlov [41] apresentaram um argumento mostrando que, no caso do produto de duas curvas elípticas munido de uma multiplicação complexa, a categoria de Fukaya da variedade simplética espelho precisa ser modificada para que a conjectura HMS continue válida. O argumento mostra que uma brana coisotrópica, ou seja, um fibrado vetorial com suporte sobre uma subvariedade coisotrópica munido de uma conexão satisfazendo certas condições, deve ser adicionado a Fuk(𝑀∨) para que possa existir a equivalência de
categorias.
complexa e branas coisotrópicas. Seria a existência da multiplicação complexa necessária para o surgimento de branas coisotrópicas? Mostraremos que a resposta para esta per-gunta é não. Este resultado será obtido através da construção de variedades espelho duais para variedades abelianas que necessariamente possuem esse tipo de brana.
Esta dissertação possui dois principais objetivo. O primeiro, é a introdução do conceito de fibrados de Higgs e apresentação dos resultados clássicos da teoria. De maneira geral, discutiremos a construção dos espaços moduli dos fibrados de Higgs e suas propriedades. O segundo objetivo, é introduzir a simetria do espelho, discutir o aparecimento de branas coisotrópicas e a relação dessas branas com a multiplicação complexa.
Estrutura do Texto e Resultados Principais
Essa dissertação de mestrado é dividida em 6 capítulos.
Capítulo 1
O primeiro capítulo é uma introdução a teoria de fibrados vetoriais. Apresentamos aqui os conceitos de conexão e curvatura, juntamente com vários resultados e exemplos que são largamente utilizados ao longo da tese.
Capítulo 2
O capítulo de número dois é dedicado a teoria de fibrados principais. Aqui são apre-sentados os conceitos de conexão e curvatura de fibrados principais, além das relação entre este tipo de informação com os equivalentes no contexto de fibrados vetoriais.
Capítulo 3
O capítulo de número três é dedicado a teoria de fibrados vetoriais planos. Neste capítulo provamos com detalhes a correspondência entre o espaço moduli dos fibrados vetoriais planos e o espaço das classes de conjugação das representações do grupo funda-mental, também conhecido espaço moduli de Betti.
Capítulo 4
No quarto capítulo apresentamos o teoria de variedades complexas. Aqui introduzimos conceitos como fibrados vetoriais holomorfos, a métrica de Chern e o espaço tangente a uma variedade complexa.
Capítulo 5
O quinto capítulo é inteiramente dedicado a teoria de fibrados de Higgs. Começamos apresentado as definições e os detalhes da construção de um fibrado de Higgs que surge das soluções das equação de auto-dualidade através do processo de redução dimensional. Introduzimos o conceito de estabilidade que dão origem aos espaços moduli de fibrados de Higgs. Em seguida, comentamos a caracterização dada por Hitchin do espaço moduli dos ℳSL(2,C). Continuado a discussão do terceiro capítulo, apresentamos o teorema
de Hitchin-Kobayachi que, por sua vez, dá origem ao teorema da correspondência não-abeliana de Hogde, que diz que o espaço moduli dos ℳSL(2,C)-fibrados de Higgs deve
ser homeomorfo ao espaço moduli de Betti 𝜒(Σ, SL(2, C)). Finalmente, introduzimos o conceito de fibração de Hitchin e apresentamos como as curvas espectrais são usadas para obter informações sobre as fibras desta fibração.
Capítulo 6
No último capítulo desta dissertação, introduzimos os conceitos da teoria da simetria do espelho. Apresentamos exemplos importantes, como a construção do espelho dual do toro simplético e a ação da transformada de Fourier. Em seguida, focamos no argumento de Kapustin e Orlov mostrando a relação entre a aparição de branas coisotrópicas e a multiplicação complexa no caso do produto de duas curvas elípticas. Apresentamos uma extensão deste argumento para variedades abelianas que mostra que a multiplicação complexa não é necessária para o surgimento de tais branas. Este último resultado, em particular, é parte do trabalho desenvolvido pelo aluno juntamente com dois colaboradores durante seu estágio de pesquisa na universidade de Miami sob a supervisão do professor Ludmil Katzarkov. Finalmente, ilustramos a ação da simetria do espelho sobre o espaço moduli dos fibrados de Higgs levando em conta sua estrutura hiperkähler.
Cap´ıtulo
1
Fibrados Vetoriais
1.1
Definição e Exemplos
Sejam 𝑀 e 𝐸 variedades diferenciáveis e 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 uma função diferenciável. Uma carta de trivialização de dimensão 𝑟 para 𝜋 é um par (𝑈, 𝜑), onde 𝑈 ⊂ 𝑀 é um aberto e
𝜑 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑟 é um difeomorfismo, tal que se 𝜋1 : 𝑈 × R𝑟 → 𝑈 é a projeção na
primeira entrada, o seguinte diagrama é comutativo:
𝜋−1(𝑈) 𝑈 ×R𝑟 𝑈 𝜋 𝜑 𝜋1 (1.1.1) Seja 𝐸𝑝 = 𝜋−1(𝑝) a fibra sobre 𝑝 ∈ 𝑈. Definimos o isomorfismo 𝜑𝑝 : 𝐸𝑝 → R𝑟 como
sendo a composição:
𝜑𝑝: 𝐸𝑝 𝜑
−→{𝑝} ×R𝑟 𝜋2
−→R𝑟
onde 𝜋2 : 𝑈 × R𝑟 → R𝑟 é a projeção na segunda entrada. Logo, se 𝑣 ∈ 𝐸𝑝, podemos
escrever:
𝜑(𝑣) = (𝑝, 𝜑𝑝(𝑣)).
Como 𝜑 é bijeção, podemos utilizá-lo para induzir a estrutura de espaço vetorial de R𝑟
em 𝐸𝑝 definindo:
𝑣+ 𝑤 := (𝜑𝑝)−1(𝜑𝑝(𝑣) + 𝜑𝑝(𝑤))
para quaisquer 𝑣, 𝑤 ∈ 𝐸𝑝.
Definição 1.1.1. Uma estrutura de fibrado vetorial de posto 𝑟 sobre uma variedade 𝑀 é
uma tripla 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀), onde 𝐸 é uma variedade diferenciável e 𝜋 : 𝐸 → 𝑀 é uma função diferenciável admitindo uma coleção de cartas trivializantes 𝒞 = {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼) : 𝛼 ∈ Δ} de
dimensão 𝑟, satisfazendo:
(i) {𝑈𝛼 : 𝛼 ∈ Δ} é uma cobertura aberta de 𝑀.
(ii) As cartas são compatíveis: Para quaisquer 𝛼, 𝛽 ∈ Δ e qualquer 𝑝 ∈ 𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽, as
funções de transição 𝑔𝛼𝛽(𝑝) = 𝜑𝑝𝛼∘(𝜑 𝑝
(iii) 𝒞 é maximal: Se (𝑈, 𝜑) é uma carta trivializante de dimensão 𝑟 com a propriedade que para cada 𝛼 ∈ Δ, os mapas 𝜑𝑝
𝛼∘(𝜑𝑝)−1 e 𝜑𝑝∘(𝜑𝑝𝛼)−1 são isomorfismos, então
(𝑈, 𝜑) ∈ 𝒞.
Neste caso chamamos 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) de um fibrado vetorial de posto 𝑟.
Exemplo 1.1.1. Seja 𝑉 um espaço vetorial de dimensão 𝑘 sobre R. Se 𝑀 é uma
vari-edade diferenciável então 𝑀 × 𝑉 é um fibrado vetorial de posto 𝑘 sobre 𝑀 com projeção 𝜋: 𝑉 × 𝑀 → 𝑀 dada por 𝜋(𝑣, 𝑝) = 𝑝. Este é chamado de fibrado trivial sobre 𝑀.
Exemplo 1.1.2. Seja 𝑀 uma variedade de dimensão 𝑚. Definimos o fibrado tangente
como sendo
𝑇 𝑀 = {(𝑝, 𝑣) : 𝑝 ∈ 𝑀 e 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑀 }.
Defina 𝜋 : 𝑇 𝑀 → 𝑀 como 𝜋(𝑝, 𝑣) = 𝑝. Munimos 𝑇 𝑀 da topologia dada por
{𝜋−1(𝑈) : 𝑈 ⊂ 𝑀 é aberto}.
Vejamos que 𝑇 𝑀 tem estrutura de variedade de dimensão 2𝑚. Seja 𝒜 um atlas de 𝑀 e
tome 𝜑𝑖 : 𝑈𝑖 ⊂ 𝑀 → R𝑚 uma carta em 𝒜. Induzimos uma parametrização em 𝜋−1(𝑈𝑖)
como:
Φ𝑖: 𝜑𝑖(𝑈𝑖) × R𝑚 → 𝜋−1(𝑈𝑖)
(𝑥, 𝑣) ↦→ (𝜑−1(𝑥), 𝑑𝜑(𝑥)−1𝑣).
Perceba que, ao mesmo tempo que as parametrizações Φ𝑖 dão a 𝑇 𝑀 uma estrutura de
variedade diferenciável, estas fazem de 𝑇 𝑀 um fibrado vetorial cujas funções de transição são 𝑔𝛼𝛽(𝑝) = 𝑑𝜑𝛼(𝑝)−1∘ 𝑑𝜑𝛽(𝑝).
Exemplo 1.1.3. Analogamente, podemos definir o fibrado cotangente definido como sendo
o conjunto:
𝑇*𝑀 = {(𝑝, 𝜉) : 𝑝 ∈ 𝑀, 𝜉 ∈ (𝑇𝑝𝑀)*}.
Seja 𝒜 um atlas de 𝑀 e tome 𝜑 : 𝑈 ⊂ 𝑀 → R𝑚 uma carta em 𝒜. Dado 𝜉 ∈ (𝑇
𝑝𝑀)*,
então 𝜉 =∑︀
𝑖𝜉𝑖(𝑑𝜑𝑖)𝑝, onde (𝑑𝜑𝑖)𝑝 é o dual do vetor 𝑑𝜑−1𝑒𝑖. Definimos então a carta,
Ψ : 𝜋−1(𝑈) → 𝜑(𝑈) × R𝑚
(𝑝, 𝜉) ↦→ (𝜑(𝑝), 𝜉1, . . . , 𝜉𝑚).
Exemplo 1.1.4 (Fibrado tautológico). Considere o conjunto 𝐸 = {([𝑥], 𝑣) : [𝑥] ∈ RP𝑛
, 𝑣 ∈ span(𝑥)}, onde [𝑥] denota a classe de equivalência de 𝑥 ∈ 𝑆𝑛 em RP𝑛.
Defina a projeção 𝜋 : 𝐸 → RP𝑛 dada por 𝜋([𝑥], 𝑣) = [𝑥]. Munimos 𝐸 da topologia dada
por:
{𝜋−1(𝑈) : 𝑈 ⊂ RP𝑛 é aberto}.
Considere um aberto 𝑉 ⊂ 𝑆𝑛 tal que 𝑉 não possui pontos antípodas. Denote por 𝑈 o
aberto correspondente a 𝑉 no espaço projetivo. Defina:
Φ : 𝑈 × R → 𝜋−1(𝑈)
([𝑥], 𝑡) ↦→ ([𝑥], 𝑡𝑥)
para qualquer 𝑥 ∈ 𝑉 . Perceba que Φ é bem definido devido a escolha de 𝑉 . Sendo Φ um difeomorfismo, temos que sua inversa é a trivialização procurada. Denotamos o fibrado tautológico sobre RP𝑚 por 𝛾
Definição 1.1.2. Seja 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) um fibrado vetorial e 𝑈 ⊂ 𝑀 um aberto. Uma
função diferenciável 𝑠 : 𝑈 → 𝐸 é dita uma seção sobre 𝑈 se 𝜋 ∘ 𝑠 é identidade em 𝑈. As seções sobre 𝑈 formam um espaço vetorial real que será denotado por Γ(𝑈, 𝐸). Se
𝜉 tem posto 𝑟, um conjunto de seções {𝑠1, . . . , 𝑠𝑟}sobre 𝑈 é dito um referencial em 𝑈 se,
∀𝑝 ∈ 𝑈 o conjunto {𝑠1(𝑝), . . . , 𝑠𝑟(𝑝)} é uma base para 𝐸𝑝. Quando 𝑈 = 𝑀, dizemos que
a seção é uma seção global.
Exemplo 1.1.5 (Seção nula). Seja 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) um fibrado vetorial. Defina 𝑠0 como
sendo a seção tal que, para cada 𝑥 ∈ 𝑀, 𝑠0(𝑥) corresponde ao vetor nulo da fibra 𝐸𝑥.
Podemos também definir esta seção através das trivializações. Seja 𝑈 ⊂ 𝑀 um aberto e 𝜑: 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑟 uma trivialização. Definimos então 𝑠0|𝑈(𝑝) = 𝜑−1(𝑝, 0).
Exemplo 1.1.6. Considere o fibrado trivial 𝑀 × R𝑚, como no exemplo 1.1.1. Defina:
𝑠𝑖: 𝑀 → 𝑀 × R𝑚 𝑝 ↦→(𝑝, 𝑒𝑖),
para 𝑖 = 1, . . . , 𝑚. Temos que cada 𝑠𝑖 é uma seção e o conjunto {𝑠1, . . . , 𝑠𝑚} é um referencial em 𝑀. Note que, como todo fibrado é localmente trivial, podemos usar esta mesma construção para obtermos referenciais locais. Mais precisamente, se 𝑈 ⊂ 𝑀 é um aberto e 𝜑 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑟 uma trivialização. Definimos então 𝑠
𝑖(𝑝) = 𝜑−1(𝑝, 𝑒𝑖).
Definição 1.1.3. Sejam 𝜉1= (𝜋1, 𝐸1, 𝑀1) e 𝜉2 = (𝜋2, 𝐸2, 𝑀2) dois fibrados vetoriais. Um
morfismo de fibrados é uma função Ψ : 𝐸1 → 𝐸2 que mapeias as fibras de 𝜉1 linearmente
nas fibras de 𝜉2 i.e, existe uma função diferenciável 𝜓 : 𝑀1 → 𝑀2 tal que o seguinte
digrama é comutativo: 𝐸1 𝐸2 𝑀1 𝑀2 Ψ 𝜋1 𝜓 𝜋2
e, para cada 𝑝 ∈ 𝑀1, a função definida sobre fibras
Ψ𝑝 := Ψ|
(𝐸1)𝑝 : (𝐸1)𝑝 −→(𝐸2)𝜓(𝑝)
é uma transformação linear. Neste caso dizemos que Ψ cobre a função 𝜓.
Definição 1.1.4. Dois fibrados 𝜉1 e 𝜉2 são ditos:
• Equivalentes: Se existe um morfismos Ψ : 𝜉1 → 𝜉2 inversível. Neste caso Ψ cobre
um difeomorfismo 𝜓 : 𝑀1 → 𝑀2 e cada Ψ𝑝 : (𝐸1)𝑝 →(𝐸2)𝜓(𝑝) é isomorfismo linear.
• Isomorfos: Se 𝑀 = 𝑀1 = 𝑀2 e existe um morfismo inversível Ψ : 𝜉1→ 𝜉2 cobrindo
a identidade de 𝑀.
Exemplo 1.1.7. Sejam 𝑉 e 𝑊 dois espaço vetoriais reais de dimensão 𝑚 e 𝑀 uma
variedade diferenciável. Considere 𝑀 × 𝑉 e 𝑀 × 𝑊 os fibrados vetoriais triviais sobre
𝑀 como descrito no exemplo 1.1.1. Denote por 𝑇 : 𝑉 → 𝑊 um isomorfismo entre 𝑉 e
𝑊. Defina Ψ : 𝑀 × 𝑉 → 𝑀 × 𝑊 por Ψ(𝑝, 𝑣) = (𝑝, 𝑇 (𝑣)). Note que Ψ é um morfismo
de fibrados cobrindo a identidade. Logo 𝑀 × 𝑉 ≃ 𝑀 × 𝑊 . Denotamos a classe de
Definição 1.1.5. Dizemos que um fibrado vetorial 𝜉 é trivial se 𝜉 ≃ 𝜀𝑚, para algum
𝑚 ∈N.
Vale notar, que o isomorfismo na definição anterior é equivalente a dizer que existe uma trivialização (𝑈, 𝜑), onde 𝑈 = 𝑀.
Vimos no exemplo 1.1.6, que se 𝜉 é um fibrado vetorial trivial, então este admite uma referencial global. Vejamos que a recíproca deste fato também é verdadeira.
Proposição 1.1.1. Seja 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑁) um fibrado vetorial de posto 𝑚. Suponha que 𝜉
admita um referencial global {𝑠1, . . . , 𝑠𝑚}. Então 𝜉 é trivial. Demonstração. Defina a seguinte função:
𝜑 : 𝑁 × R𝑚 → 𝐸, (𝑝, 𝑡1, . . . , 𝑡𝑚) ↦→ 𝑚
∑︁
𝑖=1
𝑡𝑖𝑠𝑖(𝑝)
com 𝑝 ∈ 𝑁 e (𝑡1, . . . , 𝑡𝑚) ∈ R𝑚. Perceba que 𝜑 é diferenciável uma vez que cada 𝑠𝑖 o
é. Além disso, a inversa de 𝜑 também é dada em função dos 𝑠𝑖, donde segue que 𝜑 é
difeomorfismo. Claramente 𝜑 leva fibras em fibras. Portanto, segue que 𝜑 é isomorfismo de fibrados vetoriais.
Proposição 1.1.2. O fibrado tautológico 𝛾𝑚 é não trivial.
Demonstração. Suponha por absurdo que 𝛾𝑚 seja trivial. Seja 𝜑 : RP𝑚×R → 𝐸 uma
trivialização. Defina a seção 𝑠 : RP𝑚→ 𝐸 por 𝑠([𝑥]) = 𝜑([𝑥], 1). Perceba que 𝑠 nunca se
anula, dado que 𝜑𝑞 é isomorfismo para todo 𝑞 ∈ RP𝑚. Seja 𝑝 : 𝑆𝑚 → RP𝑚 a projeção
canônica. Considere a seguinte função:
𝜓 : 𝑆𝑚 → 𝐸
𝑥 ↦→ 𝑠 ∘ 𝑝(𝑥)
Como 𝜓 é contínua e 𝜋 ∘ 𝑠 ∘ 𝑝(𝑥) = [𝑥] para todo 𝑥 ∈ 𝑆𝑚, temos que existe uma função
contínua 𝑡 : 𝑆𝑚 →R tal que,
𝜓(𝑥) = ([𝑥], 𝑡(𝑥)𝑥).
Uma vez que 𝜓(𝑥) = 𝜓(−𝑥), então −𝑡(𝑥) = 𝑡(−𝑥). Logo, se 𝑡(𝑥) ≥ 0 então 𝑡(−𝑥) ≤ 0. Sendo assim, da conexidade de 𝑆𝑚, temos que existe 𝑥
0 ∈ 𝑆𝑚 tal que 𝑡(𝑥0) = 0. Disso
segue que 𝑠 se anula em [𝑥0], o que é um absurdo.
Proposição 1.1.3. Seja 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) um fibrado vetorial de posto 𝑟. Se (𝑈𝛼, 𝜑𝛼),
(𝑈𝛽, 𝜑𝛽) e (𝑈𝛼, 𝜑𝛼) são cartas de trivialização, então valem as seguintes identidades: (i) 𝑔𝛼𝛽(𝑝) ∘ 𝑔𝛽𝛾(𝑝) = 𝑔𝛼𝛾(𝑝), ∀𝑝 ∈ 𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽∩ 𝑈𝛾.
(ii) 𝑔𝛼𝛼(𝑝) = Id, ∀𝑝 ∈ 𝑈𝛼. (iii) 𝑔𝛽𝛼(𝑝) = 𝑔𝛼𝛽(𝑝)−1, ∀𝑝 ∈ 𝑈𝛼.
Demonstração. Seja 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) um fibrado vetorial de posto 𝑟. Se (𝑈𝛼, 𝜑𝛼) e (𝑈𝛽, 𝜑𝛽)
são cartas de trivialização e 𝑔𝛼𝛽 : 𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽 →GL(𝑟) é a função de transição, então 𝜑𝛼∘(𝜑𝛽)−1(𝑝, 𝑣) = (𝑝, 𝑔𝛼𝛽(𝑝)𝑣).
Sendo assim, temos
(𝑝, 𝑔𝛼𝛾(𝑝)𝑣) = 𝜑𝛼∘(𝜑𝛾)−1(𝑝, 𝑣) = 𝜑𝛼∘(𝜑𝛽)−1∘ 𝜑𝛼∘(𝜑𝛾)−1(𝑝, 𝑣) = (𝑝, 𝑔𝛼𝛽(𝑝) ∘ 𝑔𝛽𝛾(𝑝)𝑣)
como as funções de transição são invertíveis e a igualdade vale para todo 𝑣 ∈ R𝑟, temos
que vale 𝑔𝛼𝛽(𝑝) ∘ 𝑔𝛽𝛾(𝑝) = 𝑔𝛼𝛾(𝑝). O item (ii) segue do primeiro tomando 𝛼 = 𝛽 = 𝛾, e o
item (iii) segue do primeiro e do segundo tomando 𝛾 = 𝛼.
Lema 1.1.1. Sejam 𝜉 e 𝜂 fibrados vetoriais sobre 𝑀 com trivializações {𝜑𝛼} e {𝜑′𝛼} subordinadas a mesma cobertura aberta {𝑈𝛼}de 𝑀. Denote por {𝑔𝛼𝛽} e {𝑔′𝛼𝛽} as corres-pondentes funções de transição. Se 𝜉 é isomorfo a 𝜂, então, para cada 𝛼 ∈ 𝛿, existe uma funções suave 𝜆𝛼 : 𝑈𝛼→GL(𝑟) tal que:
𝑔𝛼𝛽′ = 𝜆𝛼(𝑝) ∘ 𝑔𝛼𝛽(𝑝) ∘ 𝜆−1𝛽 (𝑝), 𝑝 ∈ 𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽. (1.1.2)
Demonstração. Seja 𝜓 : 𝜉 → 𝜂 um isomorfismo. Para cada 𝑈𝛼 basta definimos os mapas
𝜆𝛼: 𝑈𝛼 →GL(𝑟) por:
𝜆𝛼(𝑝) = 𝜑′𝛼𝑝 ∘ 𝜓 ∘(𝜑𝑝𝛼)−1
Definição 1.1.6. Dada uma variedade 𝑀, chamamos uma família de funções 𝑔𝛼𝛽 : 𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽 → GL(𝑟) de cocliclos subordinados a cobertura {𝑈𝛼}𝛼∈Δ se a família satisfizer as
propriedades (𝑖), (𝑖𝑖) e (𝑖𝑖𝑖) da Proposição 1.1.3. Dois cociclos {𝑔𝛼𝛽}e {𝑔
′
𝛼𝛽}subordinados
a uma mesma cobertura são ditos equivalentes, se para cada 𝛼 ∈ Δ, existe uma função diferenciável 𝜆𝛼 : 𝑈𝛼→GL(𝑟) satisfazendo a equação 1.1.2.
Proposição 1.1.4. Seja {𝑈𝛼} uma cobertura de 𝑀 e {𝑔𝛼𝛽} um cociclo. Então existe um fibrado vetorial 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) que admite uma trivialização na qual as funções de transição são {𝑔𝛼𝛽}. Além disso, cociclos equivalentes determinam fibrados isomorfos. Demonstração. Comecemos definindo,
𝐸 = {︂ ⋃︁ 𝛼∈Δ {𝛼} × 𝑈𝛼×R𝑟 }︂⧸︂ ∼,
onde a relação é definida por: (𝛽, 𝑥, 𝑣) ∼ (𝛼, 𝑥, 𝑔𝛼𝛽(𝑥)(𝑣)), para todo 𝛼, 𝛽 ∈ Δ, 𝑥 ∈ 𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽 e 𝑣 ∈ R𝑟. Perceba que a relação ∼ é reflexiva pela propriedade (ii), simétrica
pela propriedade (iii) e transitiva pela propriedade (i). Portanto, ∼ é uma relação de equivalência. Considere a topologia quociente em 𝐸 (assumindo que Δ está munido da topologia discreta), e tome 𝑞 :⋃︀
𝛼∈Δ{𝛼} × 𝑈𝛼×R𝑟 → 𝐸 a função quociente. Defina: 𝜋: 𝐸 → 𝑀
[𝛼, 𝑥, 𝑣] ↦→ 𝑥
Note que 𝜋 está bem definida. Se 𝛽 ∈ Δ e 𝑊 é um subconjunto de 𝑈𝛽×R𝑘, definindo ℎ𝛼𝛽 : (𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽) × R𝑟 →(𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽) × R𝑟
obtemos
𝑞−1(𝑞({𝛽} × 𝑊 )) = ⋃︁ 𝛼∈Δ
{𝛼} × ℎ𝛼𝛽(𝑊 ).
Em particular, se {𝛽} × 𝑊 é um subconjunto aberto de {𝛽} × 𝑈𝛽×R𝑟, então 𝑞−1(𝑞({𝛽} × 𝑊)) é um subconjunto aberto de⋃︀
𝛼∈Δ{𝛼} × 𝑈𝛼×R𝑟. Portanto, 𝑞 é função aberta. Uma
vez que a restrição 𝑞𝛼 := 𝑞|{𝛼}×𝑈𝛼×R𝑟 é uma função injetiva, temos que:
(𝑞𝛼({𝛼} × 𝑈𝛼×R𝑟), 𝑞−1𝛼 )
é uma carta de 𝐸. Perceba que as transições 𝑞−1
𝛽 ∘ 𝑞𝛼 são tais que 𝑞𝛽−1∘ 𝑞𝛼(𝛼, 𝑥, 𝑣) =
(𝛽, ℎ𝛼𝛽(𝑣)), e portanto, {(𝑞𝛼({𝛼} × 𝑈𝛼×R𝑟), 𝑞𝛼−1)}𝛼∈Δ forma um atlas diferenciável em 𝐸. Perceba que 𝜋 é diferenciável em relação a esta estrutura diferenciável uma vez que
para qualquer carta 𝑞−1
𝛼 , a composição 𝜋 ∘ 𝑞𝛼coincide com a projeção 𝜋1de {𝛼} × 𝑈𝛼×R𝑟
em 𝑈𝛼. Uma vez que,
𝜋1= 𝜋 ∘ 𝑞𝛼 : {𝛼} × 𝑈𝛼×R𝑟 → 𝑈𝛼
temos que 𝑞𝛼 induz uma estrutura de espaço vetorial em cada fibra 𝐸𝑥 = 𝜋−1(𝑥). De
fato, basta definirmos,
[𝛼, 𝑥, 𝑣] + [𝛼, 𝑥, 𝑤] := 𝑞𝛼(𝑞−1𝛼 ([𝛼, 𝑥, 𝑣]) + 𝑞−1𝛼 ([𝛼, 𝑥, 𝑤])), 𝑘[𝛼, 𝑥, 𝑣] := 𝑞𝛼(𝑘𝑞−1𝛼 ([𝛼, 𝑥, 𝑣]), para todo 𝑘 ∈ R.
Uma vez que as restrições de ℎ𝛼𝛽 a {𝑥} × R𝑟, para 𝑥 ∈ 𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽, é um isomorfismo de
espaços vetoriais, as estruturas de espaço vetorial definidas em 𝐸𝑥 por diferentes cartas 𝑞𝛼 e 𝑞𝛽 coincidem. Desta forma, obtemos que 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) é um fibrado vetorial de
posto 𝑟.
Considere agora 𝜂 = (𝜏, 𝐹, 𝑀) um fibrado vetorial tal que para a mesma cobertura {𝑈𝛼}𝛼∈Δ de 𝑀, o cociclo associado é {𝑔𝛼𝛽}. Vejamos que 𝜉 ≃ 𝜂. Considere {𝑈𝛼, ℎ𝛼}𝛼∈Δ
o atlas trivializante de 𝜂. Defina: ˜
𝑓 : 𝐹 → 𝐸
𝑣 ↦→ [𝛼, ℎ𝛼(𝑣)]
se 𝜋(𝑣) ∈ 𝑈𝛼. Vejamos que ˜𝑓 está bem definida. Tome 𝑧 ∈ 𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽. Então,
[𝛽, ℎ𝛽(𝑧)] = [𝛼, ℎ𝛼𝛽(ℎ𝛽(𝑧))] = [𝛼, ℎ𝛼(𝑧)] ∈ 𝐸′.
Portanto, ˜𝑓 está bem definida. É imediato que 𝜋 ∘ ˜𝑓 = 𝜏. Perceba que,
𝑞𝛼−1∘ ˜𝑓 ∘ ℎ−1𝛼 : 𝑈𝛼×R𝑘 → 𝑈𝛼×R𝑘
é a função identidade. E portanto, ˜𝑓 é diferenciável. Uma vez que a restrição de 𝑞𝛼 e ℎ𝛼 a cada fibra é um isomorfismo, segue que ˜𝑓 também será. Concluímos então que ˜𝑓 é
isomorfismo.
Considere agora dois cociclos equivalentes {𝑔𝛼𝛽} e {𝑔
′
𝛼𝛽} subordinados a uma mesma
cobertura {𝑈𝛼}𝛼∈Δ. Seja 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) e 𝜂 = (𝜏, 𝐹, 𝑀) os fibrados vetoriais associados
aos cociclos {𝑔𝛼𝛽}e {𝑔
′
𝛼𝛽}, respectivamente. Denote por {𝜆𝛼}𝛼∈𝛿 a família de funções
di-ferenciáveis que satisfaz 1.1.2. Utilizando os atlas trivializantes construídos anteriormente, definimos:
𝑓 : 𝐹 → 𝐸
[𝛼, 𝑥, 𝑣] ↦→ [𝛼, 𝑥, 𝜆−1
Vejamos que 𝑓 está bem definida. De fato, para 𝑥 ∈ 𝑈𝛼∩ 𝑈𝛽, 𝑓([𝛽, 𝑥, 𝑔𝛽𝛼′ (𝑥)(𝑣)]) =
[𝛽, 𝑥, 𝜆−1
𝛽 (𝑥)𝑔′𝛽𝛼(𝑥)𝑣]. Mas, como 𝑔𝛽𝛼′ = 𝜆𝛽∘ 𝑔𝛽𝛼∘ 𝜆−1𝛼 , segue que:
[𝛽, 𝑥, 𝜆−1 𝛽 (𝑥)𝑔 ′ 𝛽𝛼(𝑥)𝑣] = [𝛽, 𝑥, 𝑔𝛽𝛼(𝑥) ∘ 𝜆−1𝛼 (𝑥)𝑣] = [𝛼, 𝑥, 𝑔𝛼𝛽(𝑥)𝑔𝛽𝛼(𝑥) ∘ 𝜆−1𝛼 (𝑥)𝑣] = [𝛼, 𝑥, 𝜆−1 𝛼 (𝑥)𝑣]
Portanto, 𝑓 está bem definida. A diferenciabilidade de 𝑓 e da sua inversa seguem da diferenciabilidade dos mapas {𝜆𝛼}𝛼∈Δ.
Esta Proposição tem duas consequências que valem ser destacadas neste momento. A primeira delas, que será discutida de um outro ponto de vista na próxima seção, é que dados dois fibrados vetoriais sobre uma mesma variedade, podemos definir operações entre eles através das operações entre os cociclos. O que é interessante, apesar da construção acima não nos dar muita intuição a respeito de como é o fibrado vetorial resultante da operação.
1.2
Subfibrados e Quocientes
Um fibrado vetorial 𝜂 = (𝜏, 𝐹, 𝑁) é dito um subfibrado de um fibrado vetorial 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀). Se 𝐹 é uma subvariedade de 𝐸 e a inclusão 𝐹 ˓→ 𝐸 é um morfismo de fibrados vetoriais.
Exemplo 1.2.1. Todo fibrado vetorial 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) pode ser restrito a uma subvariedade
𝑁 ⊂ 𝑀. A restrição 𝜉𝑁 é um fibrado vetorial com espaço total
𝐸𝑁 = {𝐸𝑝: 𝑝 ∈ 𝑁} e a projeção 𝜋𝑁 : 𝐸𝑁 → 𝑁 a restrição de 𝜋 a 𝐸𝑁.
Na próxima Proposição daremos um critério para uma família de subespaços de cada fibra, determine um subfibrado.
Proposição 1.2.1. Seja 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) um fibrado vetorial de dimensão 𝑚. Para cada
𝑝 ∈ 𝑀, seja 𝐹𝑝 ⊂ 𝐸𝑝 um subespaço de dimensão 𝑟. Defina 𝐹 := ⨆︀𝑝∈𝑀𝐹𝑝. Então são
equivalentes:
(i) 𝐹 admite estrutura de fibrado vetorial sobre 𝑀 e é um subfibrado de posto 𝑟 de 𝜉. (ii) Existe uma cobertura {𝑈𝛼}𝛼∈Δ de 𝑀, onde em cada 𝑈𝛼 existem seções 𝑠1, . . . , 𝑠𝑟,
tal que o conjunto {𝑠1(𝑝), . . . , 𝑠𝑟(𝑝)} gera 𝐹𝑝, para cada 𝑝 ∈ 𝑈𝛼.
(iii) Existe uma cobertura {𝑈𝛼}𝛼∈Δ de 𝑀, onde em cada 𝑈𝛼 existe {𝑠1, . . . , 𝑠𝑚} um referencial, tal que o conjunto {𝑠1(𝑝), . . . , 𝑠𝑟(𝑝)} gera 𝐹𝑝, para cada 𝑝 ∈ 𝑈𝛼.
(iv) Existe uma coleção de cartas trivializantes {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼) : 𝛼 ∈ Δ} de 𝜉 e um subespaço
Demonstração. (𝑖) ⇒ (𝑖𝑖) : Se {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼) : 𝛼 ∈ Δ} é uma coleção de cartas trivializantes
do fibrado (𝜏, 𝐹, 𝑀), em cada 𝑈𝛼 podemos definir tais seções como: 𝑠𝑖(𝑝) = 𝜑−1𝛼 (𝑝, 𝑒𝑖), ∀𝑝 ∈ 𝑈𝛼.
Como 𝜑𝑝
𝛼 é um isomorfismo para cada 𝑝, temos que o conjunto {𝑠1(𝑝), . . . , 𝑠𝑟(𝑝)} gera 𝐹𝑝,
para cada 𝑝.
(𝑖𝑖) ⇒ (𝑖𝑖𝑖) : Considere {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼) : 𝛼 ∈ Δ} é uma coleção de cartas trivializantes do
fibrado 𝜉. Tome 𝑝 ∈ 𝑈𝛼 e sejam 𝑣𝑟+1, . . . , 𝑣𝑚 ∈ 𝐸𝑝 tais que o conjunto
{𝑠1(𝑝), . . . , 𝑠𝑟(𝑝), 𝑣𝑟+1, . . . , 𝑣𝑚} é base de 𝐸𝑝. Existem 𝑤𝑟+1, . . . , 𝑤𝑚 ∈R𝑚 tais que 𝑣𝑖 = 𝜑−1𝛼 (𝑝, 𝑤𝑖). Defina 𝑠𝑖(𝑥) = 𝜑−1𝛼 (𝑥, 𝑤𝑖), para 𝑥 ∈ 𝑈𝛼. Desta forma, como o conjunto
{𝑠1(𝑝), . . . , 𝑠𝑚(𝑝)} é linearmente independente em 𝐸𝑝, segue pela continuidade do
determinante, que existe uma vizinhança de 𝑝, 𝑊𝑝
𝛼 ⊂ 𝑈𝛼, tal que {𝑠1(𝑥), . . . , 𝑠𝑚(𝑥)} é
linearmente independente para cada 𝑥 ∈ 𝑊𝛼. Logo a cobertura {𝑊𝛼𝑝 : 𝛼 ∈ Δ e 𝑝 ∈ 𝑀}
satisfaz a propriedade desejada.
(𝑖𝑖𝑖) ⇒ (𝑖𝑣) : Dada a cobertura {𝑈𝛼}𝛼∈Δ, suponha que temos em cada 𝑈𝛼 seções como
no item anterior. Logo, se 𝑊 = span{𝑤𝑟+1, . . . , 𝑤𝑚}, temos da definição dos 𝑠𝑖, que 𝜑𝛼(span{𝑠𝑟+1(𝑥), . . . , 𝑠𝑚(𝑥)}) = {𝑥} × 𝑊 para cada 𝑥 ∈ 𝑈𝛼. Desta forma, como 𝐹𝑥= span{𝑠1(𝑥), . . . , 𝑠𝑟(𝑥)}, segue que 𝜑(𝐹𝑥) = {𝑥} × 𝑉 , onde R𝑚 = 𝑉 ⊕ 𝑊 . Donde
temos que a restrição de 𝜑𝛼 toma valores em 𝑈𝛼× 𝑉.
(𝑖𝑣) ⇒ (𝑖) : Basta identificar 𝑉 ≃ R𝑟 e tomar 𝜏 : 𝐹 → 𝑀 a projeção no conjunto dos
índices para obtermos que (𝜏, 𝐹, 𝑀) é um fibrado vetorial.
Seja Ψ : 𝜂 → 𝜉 um morfismo de fibrados vetoriais cobrindo a identidade. Dizemos que Ψ tem posto constante igual a 𝑘 se o posto de Ψ𝑝 é 𝑘 para todo 𝑝.
Exemplo 1.2.2. Para um morfismo Ψ : (𝜋, 𝐸, 𝑀) → (𝜏, 𝐹, 𝑁) de posto constante,
pode-mos definir os seguintes subfibrados sobre M:
• O núcleo de Ψ é o subfibrado vetorial Ker Ψ ⊂ 𝐸 cujo espaço total é {𝑣 ∈ 𝐸 : Ψ(𝑣) =
0};
• A imagem de Ψ é o subfibrado vetorial Im Ψ ⊂ 𝐹 cujo espaço total é {Ψ(𝑣) ∈ 𝐹 : 𝑣 ∈ 𝐸};
Podemos também estender a noção de quociente para o contexto de fibrados vetoriais. Para isto consideremos o seguinte caso, seja (𝜏, 𝐹, 𝑁) um subfibrado vetorial de dimensão
𝑟 de (𝜋, 𝐸, 𝑀), fibrado vetorial de dimensão 𝑚. Como cada 𝐹𝑝 é subespaço vetorial de 𝐸𝑝, podemos considerar o quociente 𝐸𝑝/𝐹𝑝, para cada 𝑝 ∈ 𝑁. Seja
𝐸/𝐹 := ⨆︁
𝑝∈𝑁
𝐸𝑝/𝐹𝑝
e defina ˜𝜋 : 𝐸/𝐹 → 𝑁 a projeção no conjunto dos índices. Por construção, a fibra ˜𝜋−1(𝑝) é um espaço vetorial para cada 𝑝 ∈ 𝑁. Pela Proposição 1.2, existe uma família de trivializações {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼) : 𝛼 ∈ 𝐴} de 𝐸|𝑁 e um subespaço 𝑉 ⊂ R𝑚 de dimensão 𝑟, tal que
a restrição de 𝜑𝛼 a 𝐹 toma valores em 𝑈𝛼× 𝑉. Para cada 𝜑𝛼, definimos a função 𝜓𝛼 : ˜𝜋−1(𝑈𝛼) → 𝑈𝛼×R𝑚−𝑟
onde fizemos a identificação R𝑚−𝑟 ≃ R𝑚/𝑉, e 𝑝
2 é projeção na segunda entrada. Para
checarmos a diferenciabilidade das funções de transição, tomamos os complementar 𝑉̃︀
de 𝑉 em R𝑚, e seja 𝜆 : R𝑚/𝑉 → R𝑚 a função que associa a cada classe seu único
representante em𝑉̃︀. Além disso, seja pr : R𝑚 →R𝑚/𝑉 a projeção natural. Uma vez que
𝜓𝛽∘ 𝜓−1𝛼 se decompõe como
𝜓𝛽∘ 𝜓𝛼−1= (id × pr) ∘ (𝜑𝛽∘ 𝜑−1𝛼 ) ∘ (id × 𝜆),
temos que 𝜓𝛽∘ 𝜓𝛼−1 é diferenciável. Portanto, a família {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼) : 𝛼 ∈ 𝐴} são
trivializa-ções. Donde segue que (𝐸/𝐹, 𝑁, ˜𝜋) é um fibrado vetorial de dimensão 𝑚 − 𝑟.
Exemplo 1.2.3. Considerando um morfismo Ψ : (𝜋, 𝐸, 𝑀) → (𝜏, 𝐹, 𝑁) de posto
cons-tante, podemos definir o subfibrado co-núcleo de Ψ, dado pelo quociente
coKer Ψ = 𝐹/Im Ψ.
Mais concretamente, é o fibrado vetorial coKer Ψ cujo espaço total é o quociente 𝐹/∼,
onde ∼ é a relação de equivalência 𝑤1 ∼ 𝑤2 se e somente se 𝑤1 e 𝑤2 estão na mesma
fibra e 𝑤1− 𝑤2 = Ψ(𝑣), para algum 𝑣 ∈ 𝐸.
Exemplo 1.2.4. Seja 𝑀 uma variedade e 𝑁 ⊂ 𝑀 uma subvariedade. O fibrado tangente
𝑇 𝑁 é um subfibrado vetorial de 𝑇𝑁𝑀. O fibrado quociente 𝜈(𝑁) = 𝑇𝑁𝑀/𝑇 𝑁 é chamado
de fibrado normal a 𝑁 em 𝑀.
1.3
Somas e Produtos Tensoriais
Sejam 𝜂 = (𝜏, 𝐹, 𝑀) e 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) fibrados vetoriais sobre 𝑀. A soma direta de 𝜉 e 𝜂 é o fibrado vetorial 𝜉 ⊕ 𝜂 cujo espaço total é
𝐸 ⊕ 𝐹 = {(𝑣, 𝑤) ∈ 𝐸 × 𝐹 : 𝜋(𝑣) = 𝜏(𝑤)}
e projeção definida por
𝐸 ⊕ 𝐹 → 𝑀, (𝑣, 𝑤) ↦→ 𝜋(𝑣) = 𝜏(𝑤).
Perceba que, definido dessa maneira, as fibras de 𝜉 ⊕ 𝜂 sobre 𝑝 ∈ 𝑀 são a soma direta
𝐸𝑝⊕ 𝐹𝑝. Para checar a condição de trivialização basta verificar que se {𝜑𝛼} e {𝜓𝛼} são
trivializações de 𝜉 e 𝜂, subordinadas a uma mesma cobertura, com cociclos {𝑔𝛼𝛽}e {ℎ𝛼𝛽}
então as trivializações de 𝜉 ⊕ 𝜂 são dadas por
{(𝜓𝛼× 𝜑𝛼) : 𝐸 ⊕ 𝐹 },
as quais correspondem aos cociclos definidos por
𝑔𝛼𝛽⊕ ℎ𝛼𝛽 = [︃ 𝑔𝛼𝛽 0 0 ℎ𝛼𝛽 ]︃ .
Consideremos agora o fibrado 𝜉 ⊗ 𝜂. Definimos 𝐸 ⊗ 𝐹 =⋃︀
𝑥∈𝑀 𝐸𝑥⊗ 𝐹𝑥 com projeção
˜𝜋(𝑣 ⊗ 𝑤) ↦→ 𝜋(𝑣) = 𝜏(𝑤). A topologia em 𝐸 ⊗ 𝐹 é dada da seguinte forma: Seja 𝑈 ⊂ 𝑀 aberto trivializante de ambos os fibrados 𝜉 e 𝜂. Denote por 𝜑0 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑛 e
𝜓0 : 𝜏−1(𝑈) → 𝑈 × R𝑚 as respectivas trivializações. Logo, a topologia em ˜𝜋−1(𝑈) é tal
que a função
𝜑0⊗ 𝜓0 : ˜𝜋(𝑈)−1→ 𝑈 ×(R𝑚⊗R𝑛)
𝑣 ⊗ 𝑤 ↦→(𝑥, 𝜑𝑥0⊗ 𝜓0𝑥(𝑣 ⊗ 𝑤))
onde ˜𝜋(𝑣 ⊗ 𝑤) = 𝑥, é homeomorfismo. Vale notar que, apesar de estarmos definindo a função apenas para tensores decomponíveis, a definição pode ser estendida para toda a fibra por linearidade. Vejamos que a topologia de ˜𝜋−1(𝑈) independe da escolha das
trivializações. Considere 𝜙1e 𝜓1um segundo par de trivializações definidas sobre ˜𝜋−1(𝑈).
Sendo assim, temos a composição de homeomorfismos
𝜋−1(𝑈)−→𝑈 ×𝜑0 R𝑚Id×𝑔−→ 𝑈 ×1,0 R𝑚 𝜑
−1 1
−→𝜋−1(𝑈),
onde 𝑔1,0 : 𝑈 → GL(𝑚, R) é a função de transição associado as correspondentes
triviali-zações. Da mesma forma, temos
𝜏−1(𝑈)−→𝑈 ×𝜓0 R𝑛Id×ℎ−→ 𝑈 ×1,0 R𝑛 𝜓
−1 1
−→𝜏−1(𝑈),
onde ℎ1,0: 𝑈 → GL(𝑛, R) denota a função de transição. Como as funções 𝑔1,0 e ℎ1,0 são
funções diferenciáveis temos que 𝑔1,0⊗ ℎ1,0 também será, o que nos dá a composição de
homeomorfismos
˜𝜋−1(𝑈)𝜑−→ 𝑈 ×0⊗𝜓0 (R𝑚⊗R𝑛)Id×(𝑔−→1,0⊗ℎ1,0)𝑈 ×(R𝑚⊗R𝑛)(𝜑0⊗𝜓0)
−1
−→ ˜𝜋−1(𝑈).
E portanto, a topologia induzida em ˜𝜋−1(𝑈) por ambas as trivializações coincide. Desta
forma, obtemos um atlas trivializante para 𝐸 ⊗ 𝐹 . Este mesmo atlas induz naturalmente um estrutura diferenciável em 𝐸 ⊗ 𝐹 . Portanto, 𝜉 ⊗ 𝜂 é um fibrado vetorial com triviali-zações 𝜑 ⊗ 𝜓, onde 𝜑 é trivialização de 𝜉 e 𝜓 é trivialização de 𝜂.
Vale notar que, se 𝑠1 e 𝑠2 são seções de 𝜉 e 𝜂 respectivamente, então 𝑠1⊗ 𝑠2 será uma
seção de 𝜉 ⊗ 𝜂.
Através de uma construção análoga, definimos os seguintes fibrados:
• O produto tensorial 𝜉 ⊗ 𝜂 é o fibrado vetorial cujas fibras são 𝐸𝑝⊗ 𝐹𝑝. Este é obtido
através do cociclo 𝑔𝛼𝛽⊗ ℎ𝛼𝛽.
• O fibrado dual 𝜉* é o fibrado vetorial cujas fibras são 𝐸*
𝑝 e o coclico correspondente
é (𝑔𝑡 𝛼𝛽)−1.
• A potência exterior⋀︀𝑘
𝜉é o fibrado cujas fibras são⋀︀𝑘
𝐸𝑝e o coclico correspondente
é ⋀︀𝑘
𝑔𝛼𝛽.
• O fibrado dos homomorfismos de 𝜉 em 𝜂, ou Hom(𝜉, 𝜂), é o fibrado vetorial cujas fibras são Hom(𝐸𝑝, 𝐹𝑝).
1.4
Pull-Backs e a Classificação de Fibrados Vetoriais
Definição 1.4.1. Seja 𝜓 : 𝑁 → 𝑀 uma função diferenciável e 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) um fibrado
vetorial de posto 𝑟 sobre 𝑀. O pull-back de 𝜉 por 𝜓 é o fibrado vetorial 𝜓*𝜉 = (ˆ𝜋, 𝜓*𝐸, 𝑁)
de posto 𝑟, com espaço total dado por:
e projeção definida por:
˜𝜋: 𝜓*𝐸 → 𝑁
(𝑝, 𝑣) ↦→ 𝑝.
Perceba que, definido desta maneira, as fibras do pull-back do fibrado 𝜉 por 𝜓 nada mais são do a copia de cada uma das fibras 𝐸𝜓(𝑝), pela identificação 𝜓*𝐸𝑝 ≃ 𝐸𝜓(𝑝).
Para vermos que 𝜓*𝜉é de fato um fibrado vetorial, precisamos de algumas ferramentas.
Definição 1.4.2. Sejam 𝑀 e 𝑁 duas variedades e 𝑆 uma subvariedade de 𝑁. Dizemos
que uma função diferenciável 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 é transversal a 𝑆, denotado por 𝑓−t𝑆, se para
cada 𝑥 ∈ 𝑓−1(𝑆) e 𝑧 = 𝑓(𝑥), vale:
𝑑𝑓(𝑥)(𝑇𝑥𝑀) + 𝑇𝑥𝑆 = 𝑇𝑧𝑁.
Temos então o seguinte Teorema, cuja demonstração pode ser encontrada [30].
Teorema 1.4.1. Sejam 𝑓 : 𝑀 → 𝑁 e 𝑓−t𝑆, onde 𝑆 ⊂ 𝑁 é subvariedade. Então 𝑓−1(𝑆) é uma subvariedade de 𝑀 de codimensão igual a de 𝑆 em 𝑁.
Note que se Δ ⊂ 𝑀 × 𝑀 é a diagonal, então
𝜓*𝐸 = (𝜓 × 𝜋)−1(Δ).
Logo, para checarmos que 𝜓*𝐸 é de fato uma variedade, pelo Teorema 1.4.1, basta
che-carmos que (𝜓 × 𝜋)−tΔ. Primeiramente note que 𝜋 é submersão. Isto ocorre pois, do
diagrama 1.1.1:
𝜋1∘ 𝜑= 𝜋
como 𝜋1 é submersão e 𝜑 é difeomorfismo, segue que 𝜋 é submersão. Logo, para todo
𝑣 ∈ 𝐸, 𝑑𝜋(𝑣)(𝑇𝑣𝐸) = 𝑇𝜋(𝑣)𝑀. Como 𝑇(𝑥,𝑥)Δ ≃ 𝑇𝑥𝑀, segue que vale a igualdade 𝑑(𝜓 × 𝜋)(𝑝, 𝑣)(𝑇(𝑝,𝑣)𝑁 × 𝐸) + 𝑇(𝑥,𝑥)Δ = 𝑇(𝑥,𝑥)(𝑀 × 𝑀),
para cada (𝑝, 𝑣) ∈ (𝜓 × 𝜋)−1(Δ), com 𝑥 = 𝜓(𝑝) = 𝜋(𝑣). Portanto, segue do Teorema que
(𝜓 × 𝜋)−1(Δ) é uma variedade diferenciável.
Para vermos que 𝜓*𝜉 possui um coleção de cartas trivializantes, considere {(𝑈
𝛼, 𝜑𝛼) : 𝛼 ∈Δ} uma trivialização de 𝜉. Podemos construir uma trivialização para ˜𝜑𝛼 subordinada
a cobertura {𝜓−1(𝑈 𝛼)}𝛼∈Δ, onde ˜ 𝜑𝛼 : ˆ𝜋−1(𝜓−1(𝑈𝛼)) → 𝜓−1(𝑈𝛼) × R𝑑 (1.4.1) (𝑝, 𝑣) ↦→ (𝑝, 𝜑𝜓(𝑝) 𝛼 (𝑣)).
Segue do fato que 𝜑𝛼 é difeomorfismo que ˜𝜑𝛼 também o é. Além disso, vale notar que,
por definição, ˜𝜑(𝑝,𝑣)
𝛼 = 𝜑𝜓(𝑝)𝛼 . Portanto, ˜𝜑(𝑝,𝑣)𝛼 é isomorfismo. Donde obtemos que ˜𝜑𝛼 é de
fato uma carta de trivialização. Consideremos agora a função
Ψ : 𝜓*𝜉 → 𝜉 (1.4.2)
Note que esta é um morfismo de fibrados vetoriais cobrindo a função 𝜓. De fato, perceba que Ψ é diferenciável uma vez que Ψ ∘ ˜𝜑−1
𝛼 (𝑝, 𝑤) = 𝜑𝛼∘(𝜑𝜓(𝑝)𝛼 )−1(𝑤) = (𝜓(𝑝), 𝑤). Além
isso, Ψ𝑝 é a própria identidade uma vez que 𝜓*𝐸
𝑝= 𝐸𝜓(𝑝).
Disso temos que a construção do fibrado pull-back nos permite completar o seguinte diagrama: 𝜓*𝐸 𝐸 𝑁 𝑀 ˆ𝜋 Ψ 𝜓 𝜋
A seguinte propriedade universal caracteriza o pull-back a menos de isomorfismo:
Proposição 1.4.1. Seja 𝜓 : 𝑀 → 𝑁 uma função diferenciável, 𝜂 = (𝜏, 𝐹, 𝑀) e 𝜉 =
(𝜋, 𝐸, 𝑁) fibrados vetoriais e Φ : 𝜂 → 𝜉 um morfismo de fibrados vetoriais cobrindo 𝜓.
Então existe um único morfismo de fibrados vetoriais ˜Φ : 𝜂 → 𝜓*𝜉 cobrindo a identidade
tal que o seguinte diagrama comuta: 𝐹 𝜓*𝐸 𝐸 𝑀 𝑁 Φ 𝜏 ˜ Φ Ψ ˜𝜋 𝜋 𝜓
Além disso, ˜Φ é um isomorfismo se e somente se Φ𝑝: 𝐹
𝑝→ 𝐸𝜓(𝑝) é um isomorfismo para
todo 𝑝 ∈ 𝑀.
Demonstração. Para que o diagrama comute, temos as seguintes condições:
Ψ ∘ ˜Φ(𝑥) = Φ(𝑥) (1.4.3)
𝜏(𝑥) = ˜𝜋 ∘ ˜Φ(𝑥) (1.4.4)
Da maneira como definimos o morfismo Ψ, aplicando a condição 1.4.3, obtemos que para cada 𝑥 ∈ 𝐹 , existe um 𝑝𝑥 ∈ 𝑀, tal que
˜
Φ(𝑥) = (𝑝𝑥,Φ(𝑥)).
Utilizando agora a condição 1.4.4, vemos que existe um única escolha para 𝑝𝑥, pois 𝜏(𝑥) =
˜𝜋 ∘ ˜Φ(𝑥) = ˜𝜋(𝑝𝑥, ˜Φ(𝑥)) = 𝑝𝑥. Portando ˜Φ é unicamente determinada pelas condições 1.4.3
e 1.4.4. Assim temos a unicidade. Como ˜
Φ(𝑥) = (𝜏(𝑥), Φ(𝑥)), segue que ˜Φ é diferenciável e ˜Φ𝑥 = Φ𝑥, identificando 𝜓*𝐸
𝜏 (𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥). Logo, segue que
se Φ𝑥 é isomorfismo para todo 𝑥, então ˜Φ𝑥 também o é. E portanto, ˜Φ é isomorfismo de
Proposição 1.4.2. Sejam 𝜂 = (𝜏, 𝐹, 𝑁) e 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑁) fibrados vetoriais e Φ : 𝜂 → 𝜉 um
morfismo de fibrados vetoriais cobrindo a identidade. Se 𝜓 : 𝑀 → 𝑁 é uma função suave,
então o morfismo de fibrados vetoriais cobrindo a identidade 𝜓*(Φ) : 𝜓*(𝜉) → 𝜓*(𝜂)
definido por 𝜓*(Φ)(𝑝, 𝑣) = (𝑝, Φ(𝑣)), faz com que o seguinte diagrama comute:
𝜓*𝐸 𝜓*𝐹 𝐸 𝐹 𝑀 𝑀 𝑁 𝑁 𝜓*(Φ) Φ 𝜓 𝜓
Demonstração. Para mostrarmos que 𝜓*(Φ) faz com que o diagrama seja comutativo,
precisamos checar as seguintes igualdades
˜𝜋(𝑝, 𝑣) = ˜𝜏 ∘ 𝜓*(Φ)(𝑝, 𝑣), (1.4.5)
Φ ∘ Ψ𝜉 = Ψ𝜂∘ 𝜓*(Φ), (1.4.6)
onde Ψ𝜉 : 𝜓*𝐸 → 𝐸 e Ψ𝜂 : 𝜓*𝐹 → 𝐹 são definidas em 1.4.2. A equação 1.4.5, segue das
igualdades,
˜𝜏 ∘ 𝜓*(Φ)(𝑝, 𝑣) = ˜𝜏(𝑝, 𝜑(𝑣)) = 𝑝 = ˜𝜋(𝑝, 𝑣). Já para a equação 1.4.6, temos
Φ ∘ Ψ𝜉(𝑝, 𝑣) = Φ(𝑣) = Ψ𝜂∘ 𝜓*(Φ)(𝑝, 𝑣).
O que conclui a demonstração.
Proposição 1.4.3. Seja 𝜓 : 𝑀 → 𝑁 uma função suave. Então:
(i) O pull-back do fibrado trivial de fibrados vetoriais é o fibrado trivial: 𝜓*(𝜀𝑟
𝑁) = 𝜀𝑟𝑀. (ii) Se 𝜑 : 𝑄 → 𝑀 é uma função suave, então (𝜓 ∘ 𝜑)*𝜉= 𝜑*(𝜓*𝜉), para qualquer fibrado
vetorial 𝜉 sobre 𝑁.
(iii) O pull-back do morfismo identidade é a identidade: 𝜓*(id
𝜉) = id𝜓*𝜉.
(iv) Se Φ : 𝜉 → 𝜂 e Ψ : 𝜂 → 𝜃 são morfismos de fibrados vetoriais sobre a identidade, então 𝜓*(Ψ ∘ Φ) = 𝜓*(Ψ) ∘ 𝜓*(Φ).
Demonstração. (i) Usando ˜𝜑 como em 1.4.1, se 𝜑 : 𝐹 → 𝑁 × R𝑟 é carta que trivialize
o fibrado trivial 𝜂 = (𝜏, 𝐹, 𝑁), então ˜
𝜑: 𝜓*𝐸 → 𝑀 ×R𝑟
(𝑝, 𝑣) ↦→ (𝑝, 𝜑𝜓(𝑝)(𝑣)).
A função ˜𝜑 é obtida utilizando que 𝜓−1(𝑁) = 𝑀 e que ˜𝜋−1(𝑀) = 𝜓*𝐸. Donde
(ii) Note que, como conjunto, vale a igualdade (𝜓 ∘ 𝜑)*𝜉 = 𝜑*(𝜓*𝜉). Pela construção em
1.4.1, ambos terão a mesma família de cartas trivializantes. Portanto, a igualdade também vale como fibrados vetoriais.
(iii) Por definição, 𝜓*(Id
𝜉)(𝑝, 𝑣) = (𝑝, Id𝜉(𝑣)) = (𝑝, 𝑣). Portanto, 𝜓*(id𝜉) = id𝜓*𝜉.
(iv) Aplicando ambos os lados da equação em um ponto, temos
𝜓*(Ψ ∘ Φ)(𝑝, 𝑣) = (𝑝, Ψ ∘ Φ(𝑣)) = 𝜓*(Ψ)(𝑝, Φ(𝑣)) = 𝜓*(Ψ) ∘ 𝜓*(Φ)(𝑝, 𝑣).
Donde segue a igualdade desejada.
A demonstração do seguinte resultado pode ser encontrada em [47].
Teorema 1.4.2 (Invariância homotópica). Se 𝜓 : 𝑀 → 𝑁 e 𝜑 : 𝑀 → 𝑁 são funções
diferenciáveis homotópicas e 𝜉 é um fibrado vetorial sobre 𝑁, então os pull-backs 𝜓*𝜉 e
𝜑*𝜉 são fibrados vetoriais isomorfos.
Corolário 1.4.1. Todo fibrado vetorial sobre uma variedade contrátil é trivial.
Demonstração. Seja 𝜉 um fibrado vetorial sobre uma variedade 𝑀. Se 𝑀 é uma variedade
contrátil, então existe um ponto 𝑝 ∈ 𝑀 tal que se 𝑐𝑝: 𝑀 → {𝑝} denota a função contante
igual a 𝑝, então Id𝑀 ≃ 𝑐𝑝. Logo, pelo Teorema anterior, Id*𝑀𝜉 e 𝑝*𝜉 são isomorfos. Por
um lado, 𝑝*𝜉 é necessariamente trivial, uma vez que está definido sobre um único ponto.
Por outro lado, Id*
𝑀𝜉= 𝜉. Donde segue que 𝜉 é trivial.
Como exemplo de aplicação da teoria até agora construída, estudaremos o caso de fibrados de linha sobre 𝑆1. Em particular, nosso objetivo nesta seção é mostrar o seguinte
resultado.
Teorema 1.4.3. A menos de isomorfismo, existem apenas dois fibrados de linhas sobre
𝑆1.
Seja 𝜉 um fibrado de linha sobre 𝑆1. Considere 𝑈 = 𝑆1∖ {𝑝
𝑁} e 𝑉 = 𝑆1∖ {𝑝𝑆} dois
abertos de 𝑆1, onde 𝑝
𝑁 e 𝑝𝑆 denotam o polo norte e o polo sul, respectivamente. Pelo
corolário 1.4.1, temos que 𝜉|𝑈 e 𝜉|𝑉 são triviais, uma vez que ambos 𝑈 e 𝑉 são contráteis.
Sejam 𝜑𝑈 : 𝜋−1(𝑈) → 𝑈 × R e 𝜑𝑉 : 𝜋−1(𝑉 ) → 𝑉 × R cartas trivializantes. Denote por 𝑔𝑈 𝑉 : 𝑈 ∩ 𝑉 → R ∖ {0} a função de transição associada as cartas 𝜑𝑈 e 𝜑𝑉. Temos que
o fibrado 𝜉 é completamente determinado pela função de transição. Perceba que 𝑈 ∩ 𝑉 possui duas componentes conexas. Logo, temos apenas duas opções: 𝑔𝑈 𝑉 possui o mesmo
sinal em ambas as componentes ou não. Veremos que esta condição determina os dois únicos fibrados de linha sobre 𝑆1.
Lema 1.4.1. Se 𝑔𝑈 𝑉 possui o mesmo sinal em ambas as componentes de 𝑈 ∩ 𝑉 , então 𝜉 é trivial.
Demonstração. Construiremos aqui um referencial definido em todo 𝑆1. Para isso,
consi-dere a função 𝜆 : 𝑆1∖ {𝑝
𝑁, 𝑝𝑆} → 𝐸, definida por 𝜆(𝑥) = 𝜑−1𝑈 (𝑥, 𝑔𝑈 𝑉(𝑥)).
Vejamos que é possível criar um referencial através de 𝜆. Para definir 𝜆 em 𝑝𝑁, perceba
Basta então checarmos que 𝑠𝑉 coincide com 𝜆 em todos os pontos de 𝑆1∖ {𝑝𝑁, 𝑝𝑆}. Temos
então as seguintes igualdades:
𝑠𝑉(𝑥) = 𝜑−1𝑈 ∘ 𝜑𝑈 ∘ 𝑠𝑉(𝑥) = 𝜑𝑈−1∘ 𝜑𝑈 ∘ 𝜑−1𝑉 (𝑥, 1) = 𝜑−1𝑈 (𝑥, 𝑔𝑈 𝑉(𝑥)) = 𝜆(𝑥),
para todo 𝑥 ∈ 𝑆1∖ {𝑝
𝑁, 𝑝𝑆}. Portanto, 𝑠𝑉 estende 𝜆 em 𝑆1∖ {𝑝𝑆}. Considere agora a
seguinte parametrização de 𝑆1:
𝜙(𝜃) = (cos(𝜃), sin(𝜃)), 𝜃 ∈ [0, 2𝜋].
Tome 0 < 𝜖 < 𝜋/2. No intervalo [3𝜋 2 − 𝜖,
3𝜋
2 + 𝜖] definiremos a seguinte função:
𝛾(𝜃) = (1 − 𝛿(𝜃))𝑔𝑈 𝑉(𝜙(𝜃)) + 𝛿(𝜃),
onde 𝛿 é uma bump function definida em [0, 2𝜋] tal que 0 ≤ 𝛿(𝜃) ≤ 1, 𝛿(𝜃) = 1 se
𝜃 ∈ [3𝜋2 − 𝜖3,3𝜋2 +3𝜖] e 𝛿(𝜃) = 0 se 𝜃 /∈ [3𝜋−𝜖2 ,3𝜋+𝜖2 ]. Dado que 𝑔𝑈 𝑉 não muda de sinal,
segue que 𝛾 é estritamente positiva. Por fim, defina 𝑠 : 𝑆1→ 𝐸 por:
𝑠(𝜙(𝜃)) = ⎧ ⎨ ⎩ 𝜑−1𝑈 (𝜙(𝜃), 𝛾(𝜃)) se 𝜃 ∈ [3𝜋2 − 𝜖, 3𝜋2 + 𝜖] 𝑠𝑉(𝜙(𝜃)) caso contrário
Da maneira como construímos 𝑠 é diferenciável, e portanto define um referencial em 𝜉. Da Proposição 1.1.1, segue que 𝜉 é trivial.
Para concluirmos o Teorema, construiremos um fibrado não trivial sobre 𝑆1, e
obte-remos assim, a segunda classe de fibrados. Para facilitar a notação, considere 𝑆1 como o
círculo unitário em C. Seja 𝑀 a fita de Möbius definida da seguinte forma: 𝑀 := R2/∼,
onde a relação de equivalência é definida por (𝑠1, 𝑡1) ∼ (𝑠2, 𝑡2) se, e somente se, existe um
𝑘 ∈Z tal que 𝑠1 = 𝑠2+ 2𝜋𝑘 e 𝑡2 = (−1)𝑘𝑡1. Definimos a projeção,
𝜋 : 𝑀 → 𝑆1, 𝜋([(𝑠, 𝑡)]) := 𝑒𝑖𝑠.
Note que as fibras serão 𝑀𝑒𝑖𝑠 = 𝜋−1(𝑒𝑖𝑠) = {[(𝑠, 𝑡)] : 𝑡 ∈ R}. Para cada 𝑠 ∈ R, defina
𝜆[(𝑠, 𝑡1)] + [(𝑠, 𝑡2)] := [(𝑠, 𝜆𝑡1+ 𝑡2)], 𝜆, 𝑡1, 𝑡2∈R.
Desta forma, cada fibra possui estrutura de espaço vetorial de dimensão um. Para cons-truir as trivializações locais, escolhemos 𝑈±:= 𝑆1∖ {±1}, e definimos as funções
𝜑± : 𝜋−1(𝑈±) → 𝑈±×R, 𝜑±([(𝑠, 𝑡)]) := (𝑒𝑖𝑠, 𝑡),
onde no caso de 𝜑+e 𝜑−, o representante (𝑠, 𝑡) de [(𝑠, 𝑡)] usado para calcular o lado direito
é tomado em (0, 2𝜋) × R e em (−𝜋, 𝜋) × R, respectivamente.
Lema 1.4.2. O fibrado (𝜋, 𝑀, 𝑆1) é não trivial.
Demonstração. Assuma por absurdo que o fibrado é trivial. Então, como vimos nos
exemplo 1.1.6 deve existir um referencial global 𝑠 : 𝑆1 → 𝑀. Sendo assim, 𝑠 deve ser
uma curva fechada em 𝑀. Logo, 𝑠 é uma curva fechada em 𝑀, dando uma única volta. Então, necessariamente ele deve cruzar a seção nula, o que é um absurdo.
1.5
Conexões em fibrados Vetoriais
Seja 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) um fibrado vetorial e Γ(𝐸) o conjunto das seções suaves do fibrado
𝜉. Dizemos que uma seções do fibrado ⋀︀𝑘
𝑇 𝑀*⊗ 𝐸 é um 𝑘-forma a valores no fibrado. Denotamos por Γ𝑘(𝐸) o conjunto das 𝑘-formas a valores em 𝐸. Continuaremos a denotar
por Γ0(𝑈, 𝐸) o conjunto das seções definidas em um subconjunto 𝑈 ⊂ 𝑀.
Definição 1.5.1. Uma conexões em um fibrado vetorial 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) é uma função
linear
∇: Γ(𝐸) → Ω1(𝐸), que satisfaz, para cada 𝑓 ∈ C∞(𝑀) e 𝑠 ∈ Γ(𝐸),
∇(𝑓𝑠) = 𝑑𝑓 ⊗ 𝑠 + 𝑓∇𝑠 (1.5.1)
Seja 𝑈 ⊂ 𝑀 um aberto onde 𝜉 é trivial. Em 𝑈 escolhemos um referencial {𝑠1, . . . , 𝑠𝑟}
para 𝜉|𝑈. Sendo assim, dada qualquer outra seção 𝑠 de 𝜉|𝑈, existem únicas 𝑓1, . . . , 𝑓𝑟
funções reais diferenciáveis, tais que
𝑠 = 𝑓1𝑠1+ · · · + 𝑓𝑟𝑠𝑟.
Uma conexão ∇ em 𝜉𝑈 é completamente determinada pela imagem das seções pertencentes
ao referencial por ∇. De fato,
∇(𝑠) = 𝑟 ∑︁ 𝑖=1 ∇𝑓𝑖𝑠𝑖 = 𝑟 ∑︁ 𝑖=1 𝑑𝑓𝑖⊗ 𝑠𝑖+ 𝑓𝑖∇𝑠𝑖.
Exemplo 1.5.1. Seja 𝜉 = (𝜋, 𝐸, 𝑀) um fibrado trivial de posto 𝑟. Temos que 𝜉 admite
um referencial {𝑠1, . . . , 𝑠𝑟}. Dada esta escolha de base, podemos definir uma conexão em 𝜉 por:
∇𝑠𝑖 = 0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑟.
Um fato importante é que se ∇1 e ∇2 são duas conexões sobre um mesmo fibrado
vetorial 𝜉, então, dada qualquer função 𝑓 ∈ C∞(𝑀), a combinação
𝑓 ∇1+ (1 − 𝑓)∇2,
também define uma conexão em 𝜉. Para ver isso, basta checarmos se vale a equação 1.5.1, uma vez que a linearidade é clara. Note então que, dados 𝑔 ∈ C∞(𝑀) e 𝜎 ∈ Γ(𝐸)
(𝑓∇1+ (1 − 𝑓)∇2)(𝑔𝑠) = 𝑓(𝑑𝑔 ⊗ 𝑠 + 𝑔∇1𝑠) + (1 − 𝑓)(𝑑𝑔 ⊗ 𝑠 + 𝑔∇2𝑠)
= 𝑑𝑔 ⊗ 𝑠 + 𝑓𝑔∇1𝑠+ (1 − 𝑓)𝑔∇2𝑠
= 𝑑𝑔 ⊗ 𝑠 + 𝑔(𝑓∇1𝑠+ (1 − 𝑓)∇2)𝑠
.
Utilizando deste fato, podemos provar a seguinte Proposição.
