Finitude da Equivalˆ encia Bi K-bi-Lipschitz

Teorema 5.7. (Teorema de Finitude) Seja Pk_{(n, p× q) o conjunto de todos os pares de}

germes de aplica¸c˜oes polinomiais (f, g) : (Rn_{, 0)→ (R}p_{× R}q_{, 0) onde f = (f}

1, ..., fp), g =

(g1, ..., gq) e o grau de f1, ..., fp, g1, ..., gq s˜ao menores ou iguais a k∈ N. Ent˜ao o conjunto

das classes de equivalˆencia de Pk_{(n, p}

× q), com respeito a Bi-K-bi-Lischitz equivalˆencia

´e finito.

Logo podemos tomar uma infinidade de representantes de pares de germes de aplica¸c˜oes (f1, g1) , (f2, g2) , ... , (fn, gn) , ...

os quais n˜ao s˜ao, dois a dois, Bi-_{K-bi-Lipschitz equivalentes. Para cada par de germes de} aplica¸c˜oes (fi, gi), defina um conjunto X(fi,gi), onde

X(fi,gi)={ (R

n_×{0}p

×{0}q) , (Rn_×Rp_×Rq_{−1×{0}) , ... , (R}n_×Rp_×{0}×Rq_{−1) ,}

(Rn_{× R}p−1_{× {0} × R}q_{) , ... , (R}n_{× {0} × R}p−1_{× R}q_{) , graf (f} i, gi) }

´e um conjunto formado por p + q + 2 subconjuntos alg´ebricos do Rn+p+q_{. Assim, obtemos}

uma sequˆencia infinita de fam´ılias de conjuntos alg´ebricos. X(f1,g1), X(f2,g2), ... , X(fn,gn), ...

Pelo Teorema 2.6, o conjunto das classes de equivalˆencia, com respeito a rela¸c˜ao fortemente bi-Lipschitz ´e um conjunto finito. Portanto, sem perca da generalidade, podemos supor que X(fi,gi)´e fortemente bi-Lipschitz equivalente a X(fj,gj) para algum i6= j. Isto ´e, existe

um germe de homeomorfismo bi-Lipschitz H : (Rn_{× R}p _{× R}q_{, 0) → (R}n _{× R}p _{× R}q_{, 0)}

que manda graf (fi, gi) no graf (fj, gj) e preserva os conjuntos alg´ebricos definidos

acima. Considere fi = (fi1, ..., fip), gi = (gi1, ..., giq), fj = (fj1, ..., fjp), gj = (gj1, ..., gjq).

Pela Afirma¸c˜ao 5.5.3, temos;

i) fir ≈ ±fjr◦ h, para todo 1 ≤ r ≤ p

ii) gis ≈ ±gjs◦ h, para todo 1 ≤ s ≤ q,

onde h : (Rn_{, 0)→ (R}n_{, 0) ´e o germe de homeomorfismo bi-Lipschitz, definido como sendo}

h(x) = πn(H(x, fi(x), gi(x))). Pelo Teorema 5.3, temos;

i) fir e fjr s˜ao K-bi-Lipschitz equivalente, para todo 1 ≤ r ≤ p

ii) gis e gjs s˜ao K-bi-Lipschitz equivalente, para todo 1 ≤ s ≤ q

preservando o mesmo germe de homeomorfismo bi-Lipschitz h. Isto ´e, para cada 1≤ r ≤ p e 1 ≤ s ≤ q, existem germes de homeomorfismos bi-Lipschitz Mr, Ns : (Rn× R, 0) →

(Rn_{× R, 0), tais que:} i) Mr(x, yr) = (h(x), Sr(x, yr)) ii) Mr(x, fir(x)) = (h(x), fjr◦ h(x)) iii) Mr(Rn× {0}) = Rn× {0}. iv) Ns(x, zs) = (h(x), Ts(x, zs)) v) Ns(x, gis(x)) = (h(x), gjs◦ h(x)) vi) Ns(Rn× {0}) = Rn× {0}.

Defina H : (Rn × Rp × Rq_{, 0)} → (Rn × Rp × Rq_{, 0) como sendo:} H(x, y, z) = (h(x), S1(x, y1), ..., Sp(x, yp), T1(x, z1), ..., Tq(x, zq))

Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.3, H ´e um germe de homeomorfismo bi-Lipschitz, onde: i) H(x, y, z) = (h(x), S(x, y), T (x, z)) ii) H(x, fi(x), gi(x)) = (h(x), fj◦ h(x), gj ◦ h(x)) ii) S(Rn × {0}p) = Rn × {0}p e T (Rn × {0}q) = Rn × {0}q.

Ent˜ao, (fi, gi) e (fj, gj) s˜ao Bi-K-bi-Lipschitz equivalente. Absurdo! 

Finitude da Equivalˆencia _{K-bi-Lipschitz}

Corol´ario 5.1. Seja Pk_{(n, p) o conjunto de todos os germes de aplica¸c˜oes polinomiais}

f = (f1, ..., fp) : (Rn, 0) → (Rp, 0), onde o grau de f1, ..., fp s˜ao menores ou iguais a k∈ N.

Ent˜ao o conjunto das classes de equivalˆencia de Pk_{(n, p), com respeito a K-bi-Lipschitz}

equivalˆencia ´e finito.

Demonstra¸c˜ao. Suponha, por absurdo, que existam infinita classes de equivalˆencia. Logo podemos tomar uma infinidade de representantes de germes de aplica¸c˜oes

f1 , f2 , ... , fn , ...

os quais n˜ao s˜ao, dois a dois, _{K-bi-Lipschitz equivalentes. Assim, obtemos uma nova} sequˆencia, de infinitos pares de germes de aplica¸c˜oes

(f1, f1) , (f2, f2) , ... , (fn, fn) , ...

Pelo Teorema 5.7, podemos supor, sem perda de generalidade, que (fi, fi) ´e Bi-K-bi-

Lipschitz equivalente a (fj, fj), para algum i6= j. Por´em, pela Proposi¸c˜ao 5.6, ter´ıamos

6 CONCLUS ˜AO

Na investiga¸c˜ao da finitude das classes de equivalˆencia, fornecida pela rela¸c˜ao Bi-K-bi-Lipschitz, encontramos resulatados bastantes interessantes.

No Cap´ıtulo 2, mostramos que quando estamos trabalhando com uma sequˆencia de subconjuntos alg´ebricos (X1, ..., Xp), do Rn, todos com complexidade limitada, temos

apenas um n´umero finito de classes de equivalˆencia, fornecida pela rela¸c˜ao fortemente bi-Lipschitz. Esse resultado pode ser visto como uma generaliza¸c˜ao, no sentido alg´ebrico, do teorema de finitude apresentado por MOSTOWSKI (1985).

No Cap´ıtulo 4, damos uma demonstra¸c˜ao de finitude para o n´umero de classes de equivalˆencia, fornecida pela rela¸c˜ao Bi-C0_{-K. Vale ressaltar a importˆancia da t´ecnica}

utilizada neste Cap´ıtulo. Pois a mesma nos da a esperan¸ca de encontrar-mos um invariante completo para essa rela¸c˜ao.

Por fim, no Cap´ıtulo 5, demonstramos o nosso Teorema Principal: Seja Pk_{(n, p×}

q) o conjunto de todos os pares de germes de aplica¸c˜oes polinomiais (f, g) : (Rn_{, 0) →}

(Rp_{× R}q_{, 0), onde f = (f}

1, ..., fp), g = (g1, ..., gq) e o grau de f1, ..., fp, g1, ..., gq s˜ao meno-

res ou iguais a k _{∈ N. Ent˜ao o conjunto das classes de equivalˆencia de P}k_{(n, p× q), com}

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