Finitude para pares de germes de aplicações BiKbiLipschitz equivalentes

a CENTRO DE CIˆENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ´OS-GRADUAC¸ ˜AO EM MATEM ´ATICA

EDVALTER DA SILVA SENA FILHO

FINITUDE PARA PARES DE GERMES DE APLICAC¸ ˜OES BI-K-BI-LIPSCHITZ EQUIVALENTES

FINITUDE PARA PARES DE GERMES DE APLICAC¸ ˜OES BI-_K-BI-LIPSCHITZ EQUIVALENTES

Tese apresentada ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal do Cear´a, como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica. Area de concentra¸c˜ao: Ma-´ tem´atica.

Orientador:

Prof. Dr. Lev Birbrair Coorientador:

Prof. Dr. Alexandre Cesar Gurgel Fernandes

Biblioteca Universitária

Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

S477f Sena Filho, Edvalter da Silva.

Finitude para pares de germes de aplicações Bi-K-bi-Lipschitz equivalentes / Edvalter da Silva Sena Filho. – 2016.

61 f.

Tese (doutorado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em Matemática , Fortaleza, 2016.

Orientação: Prof. Dr. Lev Birbrair.

Coorientação: Prof. Dr. Alexandre Cesar Gurgel Fernandes.

1. C^0-K equivalência,. 2. K-bi-Lipschitz equivalência. 3. Finitude. I. Título.

FINITUDE PARA PARES DE GERMES DE APLICAC¸ ˜OES BI-_K-BI-LIPSCHITZ EQUIVALENTES.

Tese apresentada ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departa-mento de Matem´atica da Universidade Federal do Cear´a, como parte dos re-quisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica. ´Area de concentra¸c˜ao: MATEM ´ATICA.

Aprovada em: 27/05/2016.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Lev Birbrair (Orientador) Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Alexandre Cesar Gurgel Fernandes (Coorientador) Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Carlos Humberto Soares Junior Universidade Federal do Piau´ı (UFPI)

Prof. Dra. Miriam da Silva Pereira Universidade Federal da Para´ıba (UFPB)

Em primeiro lugar, agrade¸co a Deus pelo dom da vida, por ter me dado for¸cas para continuar e chegar aonde cheguei.

Aos meus pais Edvalter Sena e Antonia Maria por todo apoio, carinho, compre-ens˜ao e incentivo no decorre dessa caminhada. Tamb´em, por todo o cuidado que tiveram com a minha forma¸c˜ao, por que mesmo com as dificuldades, sempre souberam priorizar meus estudos.

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A minha namorada Raquel Alencar pelo amor, carinho e compreens˜ao ao longo dessa jornada.

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A minha fam´ılia Carla Val´eria, Jos´e Newton, Anderson Ricardo, Erineuda Sena, Cintia Luziane, Douglas Alisson, Jaqueline Patricia por sempre terem acreditado no meu sucesso. Agrade¸co todos os dias a Deus a fam´ılia que tenho.

Ao meu orientador Prof. Dr. Lev Birbrair pela paciˆencia, disponibilidade e valiosos ensinamentos.

Ao Prof. Dr. Alexandre Fernandes, meu coorientador, pelo apoio, incentivo e o aprendizado que obtive em suas aulas.

Aos meus amigos Alex Sandro, Antonio Kelson, Antonio Grangeiro, Cleiton Cunha, Cristiane Cunha, Daniel da Costa, Davi Ribeiro, Franciane Vieira, Israel Evan-gelista, Jo˜ao Franscisco, Maria Vieira, Raimundo Nonato, Valdir Ferreira pela amizade, pelas v´arias conversas, brincadeiras e momentos de descontra¸c˜ao que alegravam bastante o dia.

Aos meus amigos de Singularidade Edson Sampaio, Joserlan Perote, Maria Selene e Rodrigo Mendes pelas v´arias conversas sobre Matem´atica ao longo desses anos.

Aos meus amigos da P´os-gradua¸c˜ao C´ıcero Tiarlos, Davi Lustosa, Elaine Sam-paio, Fabricio Figueredo, Halyson Baltazar, Ivaldo Tributino, Janiele Gon¸calves, Jos´e Tiago, Marcos Raniere, Rafael Diogenes, Renivaldo Sena, Wanderley Silva e a todos os outros que, direta ou indiretamente, estiveram presente ao longo desta caminhada.

Aos professores Jose Edson Sampaio, Miriam da Silva Pereira e Carlos Hum-berto Soares Junior por aceitarem o convite de participar da minha banca examinadora, bem como pelas corre¸c˜oes e valiosas sugest˜oes dadas neste trabalho. Tamb´em ao professor Jo˜ao Carlos Ferreira Costa, que mesmo com a distˆancia, sempre foi bastante solicito.

Aos professores da P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFC pelo aprendizado proporcionado.

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A Andrea e Jessyca, pela competˆencia, educa¸c˜ao e agilidade. `

Neste trabalho, iremos analisar o comportamento das classes de equivalˆencia, fornecida pela rela¸c˜ao Bi-K-bi-Lipschitz. Mostramos que, quando estamos trabalhando com pares de germes de aplica¸c˜oes polinomiais (f, g) : (Rn_{,0) → (}Rp _× Rq_{,0), onde o grau de} f1, ...fp, g1, ..., gq s˜ao menores ou iguais a k ∈ N, temos apenas uma quantidade finita de classes de equivalˆencia. Tamb´em mostraremos neste trabalho que o conjuntos das classes de equivalˆencia com respeito a rela¸c˜ao fortemente bi-lipschitz ´e finito.

In this paper, we analyze the behavior of equivalence classes provided by the relation Bi-K-bi-Lipschitz. We show that when we are working with germs pairs of polynomial applications (f, g) : (Rn_,0)→(Rp_×Rq_{,0), with degree of f1, ..., fp, g1, ..., gq less than or}

equal tok _∈N_{, we have only a finite number of equivalence classes. We will also show in}

this work that the sets of equivalence classes with respect to strongly bi-lipschitz relation is finite.

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 9

2 PRELIMINARES . . . 12

2.1 Conjuntos Alg´ebricos, Semialg´ebricos . . . 12

2.2 Germes de Conjuntos e Aplica¸c˜oes . . . 14

2.3 Tipos Topol´ogicos . . . 14

2.4 Tipos bi-Lipschitz . . . 18

3 _R EQUIVALˆENCIA E _A EQUIVALˆENCIA . . . 23

3.1 R equivalˆencia . . . 23

3.2 A equivalˆencia . . . 25

4 C0_{-K EQUIVALˆENCIA E BI-C}0_{-K EQUIVALˆENCIA . . . . 27}

4.1 _C0_{-K equivalˆencia . . . . 27}

4.2 Bi-_C0_{-K equivalˆencia . . . . 33}

4.2.1 Finitude da Equivalˆencia Bi-_C0_{-K . . . . 35}

5 _K-BI-LIPSCHITZ EQUIVALˆENCIA E BI-_K-BI-LIPSCHITZ EQUIVALˆENCIA. . . 40

5.1 _K-bi-Lipschitz equivalˆencia . . . 40

5.1.1 Invariantes da Equivalˆencia K-bi-Lipschitz . . . 52

5.2 Bi-K-bi-Lipschitz equivalˆencia . . . 54

5.2.1 Finitude da Equivalˆencia Bi-K-bi-Lipschitz . . . 55

6 CONCLUS ˜AO . . . 58

1 INTRODUC¸ ˜AO

A palavra Singularidade ´e uma no¸c˜ao quem tem a sua origem no voc´abulo latino: Singularitate. Trata-se do estudo das caracter´ısticas daquilo que ´e singular: pouco frequente, fora do comum, ou extraordin´ario. A singularidade, por conseguinte, ´e a qua-lidade que distingue algo de outras coisas do mesmo gˆenero. Ela pode ser descrita ent˜ao como a qualidade que uma pessoa ou ser vivo pode possuir para diferenciar-se do restante de seus semelhantes. Por exemplo, podemos falar de singularidade de uma planta que apresenta um tipo de caracter´ıstica diferente do restante de seu tipo, ou de um animal que, por exemplo, em vez de ter uma cor, apresenta uma tonalidade diferente. No caso do ser humano, o conceito de singularidade ´e muito mais complexo, uma vez que pode ser atribu´ıdo `as caracter´ısticas f´ısicas, bem como aos tra¸cos da personalidade e a´ı o limite ´e muito subjetivo e dif´ıcil de estabelecer.

Matem´aticamente, h´a muitas singularidades. Uma singularidade ´e, por exem-plo, o que acontece em situa¸c˜oes como a divis˜ao por zero. A singularidade marca um ponto de transi¸c˜ao entre dois dom´ınios, ou dois mundos, num ponto ou instante.

No estudo de aplica¸c˜oesf :U _→Rp_{, ondeU ´e um aberto doR}n_{ef ´e de classe} C∞_{, este conceito aparece naturalmente. Dizemos que um ponto x∈U ´e um ponto cr´ıtico}

def se a matriz das derivadas parciais calculadas nesse ponto x n˜ao tem posto m´aximo. O objetivo inicial da Teoria de Singularidades foi justamente estudar esses pontos cr´ıticos e suas imagens porf, que s˜ao chamadas de singularidades de f. Este estudo teve como primeiro objetivo obter umaclassifica¸c˜ao dessas singularidades.

O que seria Classifica¸c˜ao? A classifica¸c˜ao ´e a ac¸c˜ao e o efeito de classificar (ordenar ou dispor por classes). A classifica¸c˜ao biol´ogica, por exemplo, ´e a Taxonomia. No seu sentido mais lato, trata-se da ciˆencia da classifica¸c˜ao, que consiste em ordenar os organismos num sistema de classifica¸c˜ao composto por hierarquia de grupos taxonˆomicos. O principal objetivo da taxonomia ´e organizar a ´arvore filogen´etica num sistema de classi-fica¸c˜ao. A classifica¸c˜ao peri´odica, por sua vez, ´e aquela que corresponde ´a tabela peri´odica dos elementos. Esta ´e uma organiza¸c˜ao que, atendendo a diversos crit´erios, distribui os distintos elementos qu´ımicos de acordo com certas caracter´ısticas. A tabela costuma ser atribu´ıda a Dimitri Mendeleiev, quem se lembrou de ordenar os elementos com base na varia¸c˜ao computacional das propriedades qu´ımicas.

Visto um pouco da aplicabilidade da classifica¸c˜ao, agora estamos interessado em analisar o comportamento das classes, fornecida por uma determinada rela¸c˜ao.

V1, ..., Vp, W1, ..., Wp subconjuntos alg´ebricos do Rn. A sequˆencia de conjuntos alg´ebricos (V1, ..., Vp) ´e dita fortemente bi-lipschitz equivalente a sequˆencia (W1, ..., Wp) se existir um

germe de homeomorfismo bi-lipschitzh: (Rn_,0)→(Rn_{,0) tal queh(V1) =W1, ..., h(Vp) =} Wp. Seja Ft = (Vt1, ..., Vtp) uma fam´ılia de subconjuntos alg´ebricos do Rn, com

comple-xidade limitada. Ent˜ao, mostraremos neste trabalho que o conjunto de classes de equi-valˆencia com respeito a rela¸c˜ao fortemente bi-lipschitz ´e finito. Este resultado pode ser visto como uma generaliza¸c˜ao, no sentido alg´ebricos, do teorema de finitude Lipschitz, aprensentado por MOSTOWSKI (1985). Com isso, em particular, obtemos uma nova de-monstra¸c˜ao para a prova da finitude das classes de equivalˆencia dos conjuntos alg´ebricos, com complexidade limitada, bi-Lipschitz equivalentes.

Considere f, g : (Rn_{,0) → (}Rp_{,0) dois germes de aplica¸c˜oes cont´ınuas.}

Di-zemos que f e g s˜ao bi-Lipschitz-R equivalentes quando existir um germe de home-morfismo bi-Lipschitz h : (Rn_{,0) → (}Rn_{,0), tal que f = g ◦ h. HENRY and}

PA-RUSINSKI (2003) mostraram que a bi-Lipschitz-R equivalˆencia de germes de fun¸c˜oes anal´ıticas reais tem moduli, isto ´e, existem infinitas classes de bi-Lipschitz-Requivalˆencia para estes germes. Considere a fam´ılia de 1-parˆametro Ft : (R2,0) → (R,0) dada por

Ft(x, y) = x3 _−3t2_xy4 _+y6_{, t ∈ R. Ent˜ao, para quaisquer t 6= t}′

, t, t′ > 0 temos que Ft n˜ao ´e bi-Lipschitz _R equivalente a F_t′, ou seja, n˜ao existe um germe de homeomorfismo bi-LipschitzH : (R2_,0)→(R2_{,0) tal queFt=F}

t′ ◦H.

Diremos que dois germe de aplica¸c˜oes f, g : (Rn_{,0) → (}Rp_{,0) s˜ao C}0_-A

equi-valentes quando existem dois germes de homeomorfismos h : (Rn_{,0) → (}Rn_{,0) e φ :}

(Rp_{,0) → (}Rp_{,0), tais que f = φ ◦g ◦h. Para o problema da classifica¸c˜ao de germes}

de fun¸c˜oes polinomiais C0_{-A equivalentes, um teorema de finitude foi apresentado por}

FUKUDA (1976). Seja Pk_{(n, p) o conjunto de todos os germes de aplica¸c˜oes polinomiais}

f : (Rn_{,0)→ (}Rp_{,0) , onde o grau de f1, ..., fp s˜ao menores ou iguais a k ∈} N_{. Fukuda}

prova que o n´umero de classes de equivalˆencia de Pk_{(n, p), com respeito a C}0_-A

equi-valˆencia ´e finito. J´a THOM (1962) mostra que o n´umero de classes de equivalˆencia de

P12_{(3,3), com respeito aC}0_{-A equivalˆencia ´e infinito.}

Nesta Tese, estudamos a equivalˆencia de contato, definida para pares de germes de aplica¸c˜oes (f, g) : (Rn_{,0)→ (}Rp_×Rq_{,0), na vers˜ao topol´ogica e na vers˜ao Lipschitz.}

Isto ´e, a Bi-C0_{-K equivalˆencia e a Bi-K-bi-Lipschitz equivalˆencia. Dois pares de germes}

de aplica¸c˜oes (f1, g1),(f2, g2) : (Rn,0)→ (Rp ×Rq,0) s˜ao Bi-K-bi-Lipschitz equivalentes

quando existem dois germes de homeomorfismos bi-Lipschitz H : (Rn_×Rp _×Rq_{,0) →}

(Rn_×Rp_×Rq_{,0) e h: (}Rn_,0)→(Rn_{,0), tais que: H(}Rn_×Rp_{× {0}}q_{) =}Rn_×Rp_{× {0}}q_, H(Rn_{× {0}}p

×Rq_{) = R}n _{× {0}}p

×Rq_{, H(graf(f}

1, g1)) = graf(f2, g2) e a aplica¸c˜ao H

´e escrita da seguinte maneira H(x, y, z) = (h(x), H1(x, y), H2(x, y)), onde H1 : (Rn × Rp_,0)→(Rp_{,0) e H}

2 : (Rn×Rq,0)→(Rq,0).

outro problema de finitude; A finitude de germes de conjuntos alg´ebricos, de complexidade limitada. Isto ´e, iremos reformular um problema alg´ebrico para um problema geom´etrico. Seja Pk_{(n, p×q) o conjunto de todos os pares de germes de aplica¸c˜oes} poli-nomiais (f, g) : (Rn_{,0) → (}Rp _×Rq_{,0) , onde o grau de f1, ..., fp, g1, ..., gq s˜ao menores}

ou iguais a k ∈ N_{. No decorre deste trabalho, mostramos que o conjunto das classes de}

equivalˆencia dePk_{(n, p×q), com respeito a Bi-K-bi-Lipschitz equivalˆencia ´e finito. Como} consequˆencia direta deste resultado, mostramos que o conjunto das classes de Pk_{(n, p)} quocientado com a rela¸c˜ao _K-bi-Lipschitz tamb´em ´e finito. Esse segundo resultado, de finitude para as classes de equivalˆencia fornecida pela rela¸c˜ao_K-bi-Lipschitz, j´a havia sido provado por RUAS and VALETTE (2011).

No Cap´ıtulo 1, daremos algumas defini¸c˜oes b´asicas e necess´arias, para que possamos dar continuidade neste trabalho. No final deste Cap´ıtulo, enunciaremos e de-monstraremos uma generaliza¸c˜ao alg´ebrica, do teorema de finitude Lipschitz, apresentado por MOSTOWSKI (1985).

No Cap´ıtulo 2, faremos um breve estudo sobre a R equivalˆencia e a A equi-valˆencia, tanto no sentido topol´ogico quanto no sentido Lipschitz.

No Cap´ıtulo 3, daremos a defini¸c˜ao das rela¸c˜oes: _C0_{-K e Bi-C}0_{-K. Faremos}

algumas compra¸c˜oes entre as rela¸c˜oes: _C0_-R,C0_{-A e C}0_{-K. No final deste cap´ıtulo,}

dare-mos uma demonstra¸c˜ao topol´ogica, para o teorema de finitude das classes de equivalˆencia, fornecida pela rela¸c˜ao Bi-_C0_-K.

2 PRELIMINARES

2.1 Conjuntos Alg´ebricos, Semialg´ebricos

Um conjunto alg´ebrico ´e o conjunto de zeros de uma fam´ılia de polinˆomios, e constitui o objeto principal de estudo da geometria alg´ebrica. Pelo conceito de conjunto alg´ebrico ´e poss´ıvel constituir uma rela¸c˜ao entre a ´algebra e a geometria, que permite se reformular problemas geom´etricos em termos alg´ebricos, e vice-versa. Inicialmente, esta-vamos interessados em provar a finitude do n´umero de classes de equivalˆencia de germes de aplica¸c˜oes polinomiais C0_{-K equivalentes. A primeira grande descoberta foi observar}

que esse problema de finitude estava diretamente relacionado a um outro problema: A finitude de uma fam´ılia de conjuntos alg´ebricos, no sentidofortemente topol´ogico.

Defini¸c˜ao 2.1. Um conjunto X _⊂ Rn _{´e alg´ebrico se existem fun¸c˜oes polinomiais f} i :

Rn_{→R, i= 1, ..., k tais que}

X ={x∈Rn_{|f1(x) =...=fk(x) = 0}.}

Observa¸c˜ao 2.1. O conjuntoX´e alg´ebrico se existir uma fun¸c˜ao polinomialf :Rn_→R_,

tal que X ={x∈Rn _{|f(x) = 0}. Basta considerar f(x) = f1}2_{(x) +...+fk}2_(x).

Examplo 2.1. A c´uspide X = {(x, y) ∈ R2 _{| x}3 _{= y}2_{} ´e um conjunto alg´ebrico, pois}

considere a fun¸c˜ao polinomialf :R2 _→R _{dada por f(x, y) = x}3_−y2_.

Proposi¸c˜ao 2.1. Sejam X, Y ⊂ Rn _{conjuntos alg´ebricos. Ent˜ao, X ∪Y e X∩Y s˜ao}

conjuntos alg´ebricos.

Demonstra¸c˜ao. Sejam f, g : Rn _→ R _{fun¸c˜oes polinomiais, onde X = f}−1_{(0) e Y =} g−1_{(0). Considere agora as seguintes fun¸c˜oes polinomiais φ, ψ : R}n _{→ R, onde φ(x) =}

f(x).g(x) e ψ(x) = f2_{(x) +g}2_{(x). Note que: X∪Y =φ}−1_{(0) e X∩Y =ψ}−1_(0).

Defini¸c˜ao 2.2. Um conjunto A _⊂Rn _{´e dito semialg´ebrico b´asico quando existem fun¸c˜oes}

polinomiais f, g1, ..., gp :Rn →R, tais que:

A=_{x_∈Rn_{;f(x) = 0} ∩(∩i}p_=1{x∈Rn_;gi(x)>0})

Dizemos que f, g1, ..., gp definem o conjunto A. Observe que se f ´e a fun¸c˜ao polinomial identicamente nula, apenasg1, ..., gp definem o conjunto A.

Defini¸c˜ao 2.3. Um conjunto semialg´ebrico ´e a reuni˜ao finita de conjuntos semialg´ebricos b´asicos. Ou seja,A _⊂Rn _{´e semialg´ebrico se existem fun¸c˜oes polinomiais f}

i, gij :Rn →R, tais que:

A=_∪pj=1({x∈R

n

;fj(x) = 0} ∩(∩ sj

i=1{x∈R

n

Observa¸c˜ao 2.2. Todo conjunto alg´ebrico ´e semialg´ebrico.

Examplo 2.2. Um conjunto de finitos pontos no Rn _{´e um conjunto semialg´ebrico. De}

fato, seja A = {z1, ..., zp} ⊂ Rn. E para cada zi = (zi1, ..., zin) defina fi : Rn → R dada por fi(x1, ..., xn) = (x1−zi1)2+...+ (xn−zin)2. Ent˜ao, A= ∪pi=1{x∈ Rn;fi(x) = 0} ´e,

claramente, um conjunto semialg´ebrico.

Defini¸c˜ao 2.4. Seja A ⊂Rn_{. Dizemos que a fun¸c˜ao f :A⊂}Rn _→R _{´e semialg´ebrica se}

seu gr´afico Γ(f) =_{(x, f(x));x_∈A_{} ⊂}Rn+1 _{´e um conjunto semialg´ebrico.}

Teorema 2.1. (Tarski-Seidenberg) A imagem de um conjunto semialg´ebrico A _⊂ Rn+1

por uma proje¸c˜aoπ :Rn+1_→Rn _{pr´opria ´e um conjunto semialg´ebrico.}

Corol´ario 2.1. Sejam X _⊂Rn _{um conjunto semialg´ebrico e F :}Rn _→Rp _{uma aplica¸c˜ao}

polinomial. Ent˜ao F(X) ´e um conjunto semialg´ebrico.

Defini¸c˜ao 2.5. Sejam A⊂Rn _{e B ⊂}Rp_{. Uma aplica¸c˜ao F :A→ B ´e semialg´ebrica se}

suas fun¸c˜oes coordenadas s˜ao semialg´ebricas ou, equivalentemente, se seu gr´afico Γ(F)⊂

Rn+p _{´e um conjunto semialg´ebrico.}

Corol´ario 2.2. Sejam f : A ⊂ Rn _→ Rp _{e g : B ⊂} Rp _→Rk _{aplica¸c˜oes semialg´ebricas,}

com f(A)_⊂B. Ent˜ao g_◦f :A_⊂Rn_→Rk _{´e uma aplica¸c˜ao semialg´ebrica.}

Demonstra¸c˜ao. Por hip´otese, temos que os conjuntos f(A) _⊂ B, Γ(f) = _{(x, f(x)) _∈

Rn_×Rp _{| x ∈A} e Γ(g) = {(y, g(y)) ∈ R}p_×Rk _{| y ∈ B} s˜ao conjuntos semialg´ebricos.} Logo,

L=_{(x, f(x), g(f(x))) _∈Rn_×Rp_×Rk _|x∈A}

´e tamb´em semialg´ebrico. Tomando a proje¸c˜ao π : Rn_×Rp _×Rk _→ Rn_×Rk _{dada por} π(x, y, z) = (x, z), temos que Γ(g ◦f) = π(L). Pelo Teorema 2.1, π(L) ´e um conjunto semialg´ebrico. Logog◦f ´e uma aplica¸c˜ao semialg´ebrica.

Trivializa¸c˜ao Semialg´ebrica

A aplica¸c˜ao cont´ınua semialg´ebrica p : A → Rk _{´e dita semialg´ebrica trivial}

a um subconjunto semialg´ebrico C ⊂ Rk _{se existir um conjunto semialg´ebrico F e um}

homeomorfismoh :p−1_{(C)→C×F, tal que o diagrama comuta}

A⊃p−1_(C)

p

'

'

h _/

/_C×F

π

y

y

O homeomorfismo h ´e chamado de trivializa¸c˜ao semialg´ebrica de p em C. Diremos que a trivializa¸c˜ao h ´e compat´ıvel com o subconjunto semialg´ebrico B _⊂ A se existir um subconjunto semialg´ebrico G⊂F tal que h(B∩p−1_{(C)) =C×G.}

Teorema 2.2. (Trivializa¸c˜ao Semialg´ebrica de Hardt’s) Seja A ⊂ Rn _{um subconjunto}

semialg´ebrico e p : A → Rk_{, uma aplica¸c˜ao cont´ınua semialg´ebrica. Ent˜ao existe uma}

parti¸c˜ao finita de semialg´ebricosC1, ..., Cm de Rk tal quep´e semialg´ebrico trivial em cada

Ci. Al´em disso, seja B1, ..., Bq uma quantidade finita de subconjuntos semialg´ebricos de

A, ent˜ao cada trivializa¸c˜ao hi :p−1(Ci)→Ci×Fi ´e compat´ıvel com todo Bj.

Em particular, se x0 e y0 est˜ao na mesma Ci, ent˜ao p−1(x0) e p−1(y0) s˜ao

semialg´ebricamentes homeomorfos , uma vez que ambos s˜ao semialg´ebricamentes homeo-morfos a Fi.

2.2 Germes de Conjuntos e Aplica¸c˜oes

SejaX um espa¸co topol´ogico ex_∈X um ponto. No conjunto _P(X) de todos os subconjuntos de X, iremos definir uma rela¸c˜ao de equivalˆencia:

A ∼

X B se, e somente se,A∩U =B∩U para alguma vizinhan¸ca U dex. Defini¸c˜ao 2.6. A classe de equivalˆencia da rela¸c˜ao ∼

X ´e chamada de germe de subconjunto de X no ponto x.

Normalmente iremos denotar a classe de equivalˆencia do subconjunto A_⊂ X

como sendoA e o ponto x como sendo a origem.

Seja agora Y um conjunto e considere todos os paresM =_{(U, f)_}, onde U ´e uma vizinhan¸ca dexef ´e qualquer fun¸c˜aof :U _→Y. Iremos introduzir uma rela¸c˜ao de equivalˆencia emM. Dizemos que:

(U1, f1) ≈X (U2, f2) se, e somente se, f1|U0 =f2|U0 para alguma vizinhan¸ca U0

dex, com U0 ⊂U1∩U2.

Defini¸c˜ao 2.7. A classe de equivalˆencia da rela¸c˜ao ≈

X ´e chamada germe de aplia¸c˜ao de

X em Y no ponto x.

Normalmente iremos denotar a classe de equivalˆencia de (U, f) porf.

2.3 Tipos Topol´ogicos

Defini¸c˜ao 2.8. Sejam X, Y dois subconjuntos topol´ogicos do Rn_{. Dizemos que X e Y}

O estudo das classes de equivalˆencia se torna bastante interessante, pois re-presentantes de uma mesma classe preservam certas propriedades. Essas propriedades, chamaremos de Invariantes por determinada rela¸c˜ao. Citaremos alguns Invariantes To-pol´ogicos.

Proposi¸c˜ao 2.2. Sejam X, Y dois subconjuntos topol´ogicos do Rn_{. Suponha que X e Y}

tenham o mesmo tipo topol´ogico.

i) Se X ´e compacto, ent˜ao Y ´e compacto.

ii) Se X ´e conexo, ent˜ao Y ´e conexo.

iii) Se X tem exatamente m componentes conexas, ent˜ao Y tem exatamente

m componentes conexas.

Finitude dos tipos Topol´ogicos

Teorema 2.3. (HARDT (1980)) Para quaisquer inteiros positivos d e n, existe um in-teiro positivo p = (n, d) e subconjuntos alg´ebricos V1, ..., Vp ⊂ Rn, definido por equa¸c˜oes polinomiais de grau _≤ d, tais que, para qualquer subconjunto alg´ebrico W _⊂ Rn _definido por equa¸c˜oes polinomiais de grau_≤d, existei_{∈ {}1, ..., p_}e homeomorfismo semialg´ebrico

h:Rn _→Rn _{tal que h(W) =Vi.}

Demonstra¸c˜ao. SejaV um subconjunto doRn_{definido pelas equa¸c˜oesP1 =. . .=Pq= 0}

de grau_≤d pode sempre ser considerado definido por uma ´unica equa¸c˜ao de grau _≤2d, isto ´e, P12+. . .+Pq2 = 0. O polinˆomio de grau 2d em n vari´aveis tem C(2d+n, n) =

N(n, d) coeficientes. Iremos identificar esses coeficientes com RN _{e denotaremos por} Pa∈R[X1, ..., Xn] o polinˆomio de grau ≤2d correspondendo ao a∈RN. O conjunto

A=_{(a, x)_∈RN _×Rn_{|Pa(x) = 0}}

´e um subconjunto semialg´ebrico do RN _×Rn_{. Seja p :}RN _×Rn _→ RN _{a proje¸c˜ao. Pelo}

Teorema de Hardt’s 2.2, temos uma parti¸c˜ao finita semialg´ebrica RN _=C

1∪...∪Cq tais que, para cada i= 1, ..., q existe uma trivializa¸c˜ao semialg´ebrica hi :Ci×Rn →Ci×Rn depem Ci, compat´ıvel com A. Escolha um pontoai, tal quePai, ´e a soma dos quadrados

dos polinˆomios em cada Ci contendo tais pontos, digamos C1, ..., Cp. Para i = 1, ..., p, defina

Vi ={x∈Rn|Pai(x) = 0}.

Qualquer conjunto alg´ebricoW pode ser escrito da forma:

W ={x∈Rn_{|Pa(x) = 0},}

homeo-morfismo semialg´ebricop−1_(a)→p−1_{(ai) que manda A∩p}−1_{(a) em A∩p}−1_{(ai), que por}

sua vez, gera um homeomorfismo semialg´ebrico h:Rn _→Rn _{tal que h(W) = Vi.}

Defini¸c˜ao 2.9. Seja V1, ..., Vp, W1, ..., Wp subconjuntos alg´ebricos do Rn. A sequˆencia de conjuntos alg´ebricos (V1, ..., Vp) ´e dita fortemente topol´ogicos equivalente a sequˆencia

(W1, ..., Wp) se existir um germe de homeomorfismo h: (Rn,0)→(Rn,0)tal que h(V1) = W1, ..., h(Vp) =Wp.

Dizemos que um subconjunto alg´ebricoV _⊂Rn _{tem complexidade limitada se}

o grau do polinˆomiof : (Rn_{,0)→(R,0) ´e limitado, onde f}−1_{(0) =V.}

Teorema 2.4. Seja Ft = (Vt1, ..., Vtp) uma fam´ılia de subconjuntos alg´ebricos do Rn,

com complexidade limitada. Ent˜ao, o conjunto de classes de equivalˆencia com respeito a rela¸c˜ao fortemente topol´ogica ´e finito.

Lema 2.1. Sejamf = (f1, ..., fp), g = (g1, ..., gp) : (Rn,0)→(Rp,0)germes de aplica¸c˜oes

polinomiais. Seja (X1, ..., Xp), (Y1, ..., Yp) duas sequˆencias de conjuntos alg´ebricos, tais

que Xi = fi−1(0), Yi = gi−1(0) para todo i = 1, ..., p. Suponha que exista um germe de homeormofismo H : (Rn_×Rp_,0)→(Rn_×Rp_{,0) tal que:}

1) Os subconjuntos alg´ebricos Rn_{× {0}}p_, Rn_×Rp−1_{× {0},} Rn_×Rp−2_{× {0} ×} R_{, ...,} Rn_{× {0} ×}Rp−1 _{s˜ao invariantes por H.}

2) H(graf(f)) =graf(g)

Ent˜ao, (X1, ..., Xp) e (Y1, ..., Yp) s˜ao fortemente topol´ogicos equivalentes.

Demonstra¸c˜ao. Seja πn : (Rn ×Rp,0) → (Rn,0) a proje¸c˜ao canˆonica usual. Seja

h : (Rn_{,0) → (}Rn_{,0) o germe de homeomorfismo definido por h(x) = πn(H(x, f(x))).}

Mostraremos queh(Xi) =Yi para todo i= 1, ..., p. De fato, tome x∈Xi. Ent˜ao o ponto (x, f(x)) _∈ graf(f)_∩Rn_×Ri−1 _{× {0} ×R}p−i_{. Como a aplica¸c˜ao H leva graf(f) no}

graf(g) e o espa¸coRn_×Ri−1_×{0}×Rp−i_{´e invariante porH, obtemos que (g(x), g◦h(x))∈} graf(g)_∩Rn_×Ri−1_{× {0} ×}Rp−i_{. Isto ´e, gi◦h(x) = 0. Logo h(x)∈Yi. O caso contr´ario}

´e an´alogo, basta aplicar o germe de homeomorfismo h−1_.

Observa¸c˜ao 2.3. A equivalˆencia de conjuntos definida no Lema 2.1 ´e chamada equi-valˆencia topologica dos gr´aficos, com respeito a fam´ılia de conjuntos alg´ebricos Rn _×

{0}p, Rn_×Rp−1_{× {0},} Rn_×Rp−2_{× {0}, ...,} Rn_{× {0} ×}Rp−1_.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.4. Suponha, por absurdo, que existam infinitas classes de equivalˆencia. Ent˜ao podemos tomar uma infinidade de representantes

(X11, ..., X1p),(X21, ..., X2p), ...,(Xn1, ..., Xnp), ...

(Rn_,0)→(Rp_{,0) uma sequˆencia de aplica¸c˜oes polinomiais, tais que:} Xir =fir−1(0), para todo i∈N e 1 ≤r ≤p. Defina uma aplica¸c˜aoFi :Rn+p →Rp, como sendo:

Fi(x, y) = (fi1(x)−y1, ..., fip(x)−yp),

observe que Fi−1(0) = graf(fi). Um polinˆomio de grau menor ou igual a k, com n+p vari´aveis temN(k, n, p) coeficientes. Iremos identificar esses coeficientes com RN _e

deno-taremos por Pa ∈ R[X1, ..., Xn+p] o polinˆomio de grau ≤ k correspondendo ao elemento a_∈RN_{. O conjunto}

A={(a, z)∈RN _×Rn+p_{;Pa(z) = 0}}

´e um subconjunto semialg´ebrico do RN_×Rn+p_{. A sequˆencia dada abaixo s˜ao de}

subcon-juntos alg´ebricos do RN _×Rn+p_.

B0 =RN ×Rn× {0}p, B1 =RN ×Rp−1× {0}, ... , Bp =RN ×Rn× {0} ×Rp−1 Portanto, pelo Teorema de trivializa¸c˜ao Semialg´ebrica de Hardt’s 2.2, existe uma parti¸c˜ao finita semialg´ebrica doRN _{=C1∪...∪Cqtais que, para cada i= 1, ..., q existe uma}

trivia-liza¸c˜ao semialg´ebricahi :Ci×Rn+p →Ci×Fi depemCi, compat´ıvel comA, B0, B1, ..., Bp.

Sem perda de generalidade, podemos supor queaFi, aFj ∈Cs, para algumi6=j.

RN _×Rn+p _⊃p−1_(Cs)

p

)

)

hs _/

/_Cs×Fk

π

x

x

Rk _⊃Cs

A trivializa¸c˜ao semialg´ebricahs induz um homeomorfismo semialg´ebrico de p−1(aFi) em

p−1_(a

Fj). Al´em disso, esse homeomorfismo manda:

1) A_∩p−1_(a

Fi) em A∩p−

1_(a

Fj). Isto ´e, manda

(aFi, X(aFi)) em (aFj, X(aFj)), onde X(aFj) ={z ∈R

n+p _{|Fj(z) = 0}} 2) B0∩p−1(aFi) em B0∩p−

1_(a

Fj). Isto ´e, manda

{aFi} ×R

n_{× {0}}p _{em {a}

Fj} ×R

n_{× {0}}p 3) B1∩p−1(aFi) em B1∩p−

1_(a

Fj). Isto ´e, manda

{aFi} ×R

n_×Rp−1_{× {0}em {a}

Fj} ×R

n_×Rp−1_{× {0}}

... ... ... p+2) Bp∩p−1(aFi) em Bp∩p−

1_(a

Fj). Isto ´e, manda

{aFi} ×R

n_{× {0} ×R}p₋1 _{em {a}

Fj} ×R

n_{× {0} ×R}p₋1

1) h(Fi−1(0)) =Fj−1(0) ⇒ h(graf(fi)) =graf(fj). 2) h(Rn_{× {0}}p_{) =}Rn_{× {0}}p_.

3) h(Rn_×Rp−1_{× {0}) =} Rn_×Rp−1_{× {0}.}

... ... ...

p+2) h(Rn_{× {0} ×R}p−1_{) = R}n_{× {0} ×R}p−1_.

Pelo Lema 2.1, (Xi1, ..., Xip) e (Xj1, ..., Xjp) s˜ao fortemente topol´ogicos equivalentes.

Ab-surdo!

2.4 Tipos bi-Lipschitz

Defini¸c˜ao 2.10. Sejam X, Y dois subconjuntos do Rn_{. Dizemos que X e Y possuem o}

mesmo tipo bi-Lipschitz quando existir um homeomorfismo bi-Lipschitz h :Rn _→Rn _tal

queh(X) = Y.

A defini¸c˜ao de homeomorfismo bi-Lipschitz acima ´e uma rela¸c˜ao de equi-valˆencia entre os subconjuntos do Rn_{, a qual dizemos que detecta o tipo bi-Lipschitz} dos subconjuntos.

Examplo 2.3. Seja Sr ={x∈Rn |x12 +. . .+xn2 =r}. Ent˜ao Sri e Srj tem o mesmo

tipo bi-Lipschitz, para todo ri, rj ∈ R∗₊. A saber, tome o homeomorfismo bi-Lipschitz

Hij : (Rn,0)→(Rn,0)como sendo Hij(x) = r_rj

i(x1, . . . , xn).

Proposi¸c˜ao 2.3. Sejam S1, ..., Sr : (Rn+1,0)→(Rn+1,0) e h : (Rn,0)→ (Rn,0) germes de homeomorfismos bi-Lipschitz. Suponha que Si(x, yi) = (h(x), Hi(x, yi)), para todo

i= 1, ..., r. Ent˜ao, a aplica¸c˜ao H : (Rn+r_,0)→(Rn+r_{,0), definida como sendo H(x, y) =}

(h(x), H1(x, y1), ..., Hr(x, yr))´e um germe de homeomorfismo bi-Lipschitz.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente mostraremos que H ´e um germe de homeomorfismo e

logo em seguida que satisfaz a propriedade bi-Lipschitz.

1) Continuidade: H ´e cont´ınua, pois cada germe de fun¸c˜ao coordenada ´e. 2) Injetividade: Suponha que H(x, y1, ..., yr) =H(z, w1, ..., wr). Ent˜ao: h(x) =h(z) _⇒ x=z

H1(x, y1) =H1(z, w1), como x=z, temos y1 =w1

... ... ...

3) Sobrejetividade: Tome (z, w) _∈ Rn_×Rr_{. Como h ´e bijetiva, temos que}

existe x _∈ Rn _{tal que h(x) = z. Para cada (z, wi), temos tamb´em que existe (x, yi) tal}

queSi(x, yi) = (z, wi), poisSi ´e bijetiva. Portanto,Hi(x, yi) = wi.Logo,H(x, y1, ..., yr) =

(z, w1, ..., wr).

4) Inversa Cont´ınua: Defina a aplica¸c˜ao T : (Rn_×Rr_,0)→(Rn_×Rr_{,0) como} sendo S(z, w1, ..., wr) = (h−1(z), M1(z, w1), ..., Mr(z, wr)), onde Mi ´e dada pela aplica¸c˜ao

Si−1(z, w) = (h−1(z), Mi(z, w)).

Claramente T ´e um germe de aplica¸c˜ao cont´ınua e al´em disso,

H_◦T(z, w) =H(h−1_{(z), M}

1(z, w1), ..., Mr(z, wr))

= (z, H1(h−1(z), M1(z, w1)), ..., Hp(h−1(z), Mp(z, wp))) = (z, w1, ..., wp).

De um modo an´alogo, mostramos queT _◦H(x, y) = (x, y).

5) Propriedade Lipschitz: ComoS1, ..., Sr e hs˜ao germes de homeomorfismos bi-Lipschitz, existem constantes positivas a, btais que;

a_k(x, y1)−(u, v1)k ≤ kS1(x, y1)−S1(u, v1)k ≤ bk(x, y1)−(u, v1)k

∀x, u_∈Rn_{, ∀ y1, v1 ∈}R

... ... ...

a_k(x, yr)₋(u, vr)_{k ≤ k}Sr(x, yr)₋Sr(u, vr)_{k ≤} b _k(x, yr)₋(u, vr)_k ∀x, u∈Rn_{, ∀ yr, vr ∈}R

akx−uk ≤ kh(x)−h(u)k ≤ b kx−uk ∀ x, u∈Rn_{. Portanto,}

kH(x, y)₋H(u, v)_k = _k(h(x), H1(x, y1), ..., Hr(x, yr))

−(h(u), H1(u, v1), ..., Hr(u, vr))k

= [ _kh(x)₋h(u)_k2+ (H1(x, y1)−H1(u, v1))2

+_{· · ·}+ (Hr(x, yr)₋Hr(u, vr))2 ]

1 2

≤ [ r_kh(x)₋h(u)_k2+ (H1(x, y1)−H1(u, v1))2

+_{· · ·}+ (Hr(x, yr)₋Hr(u, vr))2 ]

1 2

≤ [ _kh(x)₋h(u)_k2+ (H1(x, y1)−H1(u, v1))2

+_{· · ·}+ _kh(x)₋h(u)_k2+ (Hr(x, yr)₋Hr(u, vr))2 ]

1 2

≤ [ b2_(kx−uk2

+ (y1−v1)2)

+_{· · ·}+ b2_(kx−uk2

+ (yr−vr)2) ]

≤ [ rb2_kx−uk2

+b2_(y

1−v1)2+· · ·+b2(yr−vr)2 ]

1 2

≤ [ rb2_kx−uk2

+rb2_(y

1−v1)2+· · ·+rb2(yr−vr)2 ]

1 2

≤ b√r [ _kx₋u_k2+ (y1−v1)2+· · ·+ (yr−vr)2 ]

1 2

≤ b√rk(x, y)−(u, v)k Por outro lado,

kH(x, y)₋H(u, v)_k = _k(h(x), H1(x, y1), ..., Hr(x, yr))

−(h(u), H1(u, v1), ..., Hr(u, vr))k

= [ _kh(x)₋h(u)_k2+ (H1(x, y1)−H1(u, v1))2

+_{· · ·}+ (Hr(x, yr)₋Hr(u, vr))2 ]12

≥ [ _kh(x)₋h(u)_k2+ 1

r(H1(x, y1)−H1(u, v1))

2

+_{· · ·}+ 1

r(Hr(x, yr)−Hr(u, vr))

2

]12

≥ [ 1

rkh(x)−h(u)k

2

+ 1

r(H1(x, y1)−H1(u, v1))

2

+· · ·+ 1_r(h(x)−h(u))2+1_r(Hr(x, yr)−Hr(u, vr))2 ]

1 2

≥ [ 1_ra2_(kx−uk2_{+ (y}

1−v1)2)

+· · ·+ 1_ra2_(kx−uk2

+ (yr−vr)2) ]

1 2

≥ [a2_kx−uk2

+1_ra2_(y

1−v1)2+· · ·+1_ra2(yr−vr)2 ]

1 2

≥ [ 1_ra2_kx−uk2₊1

ra

2_(y

1−v1)2+· · ·+1_ra2(yr−vr)2 ]

1 2

≥ _√a

r [ kx−uk

2

+ (y1−v1)2+· · ·+ (yr−vr)2 ]

1 2

≥ _√a

r k(x, y)−(u, v)k

Portanto, H ´e um germe de homeomorfismo bi-lipschitz.

Finitude dos tipos bi-Lipschitz

Teorema 2.5. ( MOSTOWSKI (1985)) Dado c > 0, considere o conjunto de todos os conjuntos semialg´ebricos com complexidade ≤ c. Ent˜ao, o conjunto do tipos bi-Lipschitz ´e finito.

Examplo 2.4. Seja aj ∈Ruma sequˆencia infinita de pontos distintos dois a dois. Defina um a fun¸c˜ao polinomialf1 :R2 →R como sendo f1(x, y) =y−a1x e fj+1:R2 →R dada

por:

fj+1(x, y) =fj(x, y)(y−aj+1x) para todo j ∈N.

Assim, obtemos uma sequˆencia infinita de fun¸c˜oes polinomiais, tais que:

f1−1(0) ={y =a1x},

f2−1(0) ={y =a1x} ∪ {y =a2x},

... ... ...

fk−1(0) ={y=a1x} ∪ {y=a2x} ∪...∪ {y =akx}, ... ... ...

Observe que: fk−1(0)\{(0,0)}tem exatamente2k componentes conexas, para todok ∈N. Portanto, fi−1(0) e fj−1(0) tem tipos bi-Lipschitz diferentes, para todo i6=j.

Defini¸c˜ao 2.11. Sejam V1, ..., Vp, W1, ..., Wp subconjuntos alg´ebricos do Rn. A sequˆencia de conjuntos alg´ebricos (V1, ..., Vp) ´e dita fortemente bi-lipschitz equivalente a sequˆencia

(W1, ..., Wp), se existir um germe de homeomorfismo bi-lipschitz h: (Rn,0)→(Rn,0) tal

queh(V1) =W1, ..., h(Vp) = Wp.

Teorema 2.6. Seja Ft = (Vt1, ..., Vtp) uma fam´ılia de subconjuntos alg´ebricos do Rn,

com complexidade limitada. Ent˜ao, o conjunto de classes de equivalˆencia com respeito a fortemente bi-lipschitz equivalˆencia ´e finito.

Lema 2.2. Sejamf = (f1, ..., fp), g = (g1, ..., gp) : (Rn,0)→(Rp,0)germes de aplica¸c˜oes

polinomiais. Sejam (X1, ..., Xp), (Y1, ..., Yp) duas sequˆencias de conjuntos alg´ebricos, tais

que Xi = fi−1(0), Yi = gi−1(0) para todo i = 1, ..., p. Suponha que exista um germe de homeormofismo bi-lipschitz H : (Rn_×Rp_,0)→(Rn_×Rp_{,0) tal que:}

1) Os subconjuntos alg´ebricos Rn_{× {0}}p_, Rn_×Rp−1_{× {0},} Rn_×Rp−2_{× {0} ×} R_{, ...,} Rn_{× {0} ×R}p−1 _{s˜ao invariantes por H.}

2) H(graf(f)) =graf(g)

Ent˜ao, (X1, ..., Xp) e (Y1, ..., Yp) s˜ao fortemente bi-lipschitz equivalentes.

Demonstra¸c˜ao. Seja πn : (Rn × Rp,0) → (Rn,0) a proje¸c˜ao canˆonica usual. De-fina h : (Rn_{,0) → (}Rn_{,0) como sendo h(x) = πn(H(x, f(x))). Note que h ´e um germe}

de homeomorfismo bi-lipschitz. De fato, como g ´e um germe de aplica¸c˜ao Lipschitz, a proje¸c˜ao πn_|graf(g) ´e um germe de aplica¸c˜ao bi-Lipschitz. Pelo mesmo argumento, a aplica¸c˜ao x _7→ (x, f(x)) ´e bi-Lipschiz. J´a a aplica¸c˜ao H ´e bi-Lipschitz por defini¸c˜ao. Logo, a aplica¸c˜aoh´e um germe de homeomorfismo bi-Lipschitz. Mostraremos agora que

graf(f)_∩ Rn_× Ri−1 _{× {0} ×} Rp−i_{. Como a aplica¸c˜ao H leva graf(f) no graf(g)}

e o espa¸co Rn _×Ri−1 _{× {0} ×}Rp−i _{´e invariante por H, obtemos que (g(x), g◦h(x)) ∈} graf(g)∩Rn_×Ri−1_{× {0} ×}Rp−i_{. Isto ´e,gi◦h(x) = 0. Logo h(x)∈Yi. O caso inverso ´e}

an´alogo, basta aplicar ah−1_.

Observa¸c˜ao 2.4. A equivalˆencia de conjuntos definida no Lema 2.2 ´e chamada equi-valˆencia bi-lipschitz dos gr´aficos, com respeito a fam´ılia de conjuntos alg´ebricos Rn _×

{0_}p,Rn_×Rp−1_{× {0},}Rn_×Rp−2_{× {0}, ...,}Rn_{× {0}×}Rp−1_{.Para p= 1, um demonstra¸c˜ao}

para o caso de conjuntos semialg´ebricos foi fornecida por MOSTOWSKI (1985).

Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.6. Pelo Teorema de Trivialidade Lipschitz de

VA-LETTE (2005), o n´umero de classes de equivalˆencia com respeito a equivalˆencia lipschitz dos gr´aficos, com respeito a fam´ılia de conjuntos alg´ebricos descrita na Observa¸c˜ao 2.4 ´e finito. Pelo Lema 2.2, conclu´ımos que o n´umero de classes de equivalˆencia, pela rela¸c˜ao

3 _R EQUIVALˆENCIA E _A EQUIVALˆENCIA

´

E natural pensarmos em uma rela¸c˜ao de equivalˆencia onde mudamos as coordenadas do dom´ınio e contra dom´ınio, por difeomorfismos locais de classe Cs_{, ondes = 1,2, ...,∞, w,} e_Cw _{significa analiticidade real.}

3.1 _R equivalˆencia

Defini¸c˜ao 3.1. Dois germes de aplica¸c˜oes cont´ınuas f, g : (Rn_{,0) → (}Rp_{,0) s˜ao ditos}

Cs_{-R equivalentes se existir um difeomorfismo de classe C}s_{, φ: (R}n_,0)→(Rn_{,0) tal que} o diagrama seguinte comuta

(Rn_,0)

φ

f

/

/₍Rp_,0)

(Rn_,0)

g

9

9

Se φ ´e um germe de homeomorfismo bi-Lipschitz, respectivamente germe de homeomorfismo, ent˜ao dizemos quef eg s˜ao bi-LipschitzRequivalentes, respectivamente C0_{-R equivalentes.}

Observa¸c˜ao 3.1. Pela pr´opria defini¸c˜ao, temos as seguintes implica¸c˜oes:

C0_{-eq. ⇐ bi-Lipschitz eq. ⇐ C}1_{-eq. ⇐ C}2_{-eq. ⇐ · · · ⇐ C}∞_{-eq. ⇐ C}w_{- eq.}

As implica¸c˜oes inversas da Observa¸c˜ao 3.1 n˜ao s˜ao verdadeiras. Examplo 3.1. Sejamf, g : (R2_,0)→(R_{,0) fun¸c˜oes polinomiais definidas por}

f(x, y) = (x2_+y2₎2_{, g(x, y) = (x}2_+y2₎2 _+xs+4

para s ∈ N_{. O trabalho de KUIPER (1968) e TAKENS (1971) mostram que f e g s˜ao}

Cs_{-R equivalentes, mas n˜ao s˜ao C}s+1_{-R equivalentes.}

HENRY and PARUSINSKI (2003) mostraram que a bi-Lipschitz-_Requivalˆencia de germes de fun¸c˜oes anal´ıticas reais tem moduli, isto ´e, existem infinitas classes de bi-Lipschitz-_R equivalˆencia para estes germes.

Examplo 3.2. Considere a fam´ılia de 1-parˆametro Ft : (R2,0) → (R,0) dada por

Ft(x, y) = x3 _{− 3t}2_xy4 _+y6_{, t ∈ R. Ent˜ao, para quaisquer t 6= t}′

, t, t′ > 0 temos que

Ft n˜ao ´e bi-Lipschitz R equivalente a Ft′, ou seja, n˜ao existe um germe de homeomor-fismo bi-Lipschitz H : (R2_,0)→(R2_{,0) tal que Ft=Ft}′ ◦H.

fun¸c˜oes anal´ıticas reais admite moduli cont´ınuo.

Por outro lado, ja vimos que os tipos bi-Lipschitz de germes de conjuntos semi-alg´ebricos n˜ao tem moduli MOSTOWSKI (1985), PARUSINSKI (1988a), PARUSINSKI (1988b). Consequˆencia direta do Teorema 2.5.

Considere um germe de fun¸c˜ao anal´ıticaf : (Rn_,0)→(R,0)

f(x) =fm(x) +fm+1(x) +...,

onde fi ´e uma forma homogˆenea de graui e fm 6≡0. A multiplicidade de f, mf ´e definia por mf := m(f) := m. O Teorema 3.1 mostra que a multiplicidade ´e um invariante da bi-LipschitzR equivalˆencia.

Teorema 3.1. ( FERNANDES and RUAS (2004)) Sejam f, g : (Rn_,0)→(R_{,0) germes}

de fun¸c˜oes anal´ıticas. Sef e g s˜ao bi-Lipschitz _R-equivalentes, ent˜ao f e g tem a mesma multiplicidade.

Proposi¸c˜ao 3.1. Sejam f, g: (Rn_{,0)→(R,0) germes de fun¸c˜oes anal´ıticas, dadas por:}

f(x) =fm(x) +fm+1(x) +· · · , fm 6≡0,

g(x) =gk(x) +gk+1(x) +· · · , gk 6≡0,

Suponha quef e g s˜ao _C1_{-R-equivalentes. Ent˜ao k=m. Al´em disso, f}

m egm s˜ao linearmentes equivalentes.

Em particular, se fun¸c˜oes polinomiais homogˆeneas s˜ao_C1_{-R-equivalentes, ent˜ao}

s˜ao linearmentes equivalentes.

Demonstra¸c˜ao. Como a _C1_{-R equivalˆencia implica na bi-Lipschitz-R equivalˆencia,}

temos pelo Teorema 3.1 que k = m. Seja h : (Rn_{,0) → (}Rn_{,0) difeomorfismo local, de}

classe C1_{, tal que f =g◦h. Escreva:} hi(x) =

n X

j=1

aijxj +θi(x)

onde h(x) = (h1(x), ..., hn(x)) e j1θi(0) = 0, para todo i= 1, ..., n. Defina, A(x) = (

n X

j=1

a1jxj, ..., n X

j=1

anjxj). Como h´e um difemorfismo local de classe C1, A´e uma transforma¸c˜ao linear deRn_{. Portanto,}

fm(x) +fm+1(x) +· · ·=f(x) =g(h(x)) =gm(A(x)) +G(x)

onde fm+1(x) + · · · = o(|x|m) e G(x) = o(|x|m). Ent˜ao, temos que fm(x) = gm(A(x)).

bi-Lipschitz.

A rec´ıproca da Proposi¸c˜ao 3.2 ´e falsa.

Examplo 3.3. Sejam f, g : (R2_{,0) → (}R_{,0) dadas por f(x, y) = x}4k _+y2p_{, g(x, y) =} x4k_+y4p _{onde k, p ∈ N e k > p. Por um lado, temos f−}1_{(0) = g}−1_{(0) = {(0,0)}. Por}

outro lado, m(f) = 2p e m(g) = 4p. Logo, pelo Teorema 3.1, f e g n˜ao podem ser bi-LipschitzR-equivalentes.

3.2

A

equivalˆ

encia

Defini¸c˜ao 3.2. Dois germes de aplica¸c˜oes cont´ınuas f, g : (Rn_{,0) → (}Rp_{,0) s˜ao ditos}

Cs_{-A-equivalentes se existem difeomorfismos de classe C}s

h: (Rn_,0)→(Rn_{,0) e ϕ : (}Rp_,0)→(Rp_,0)

tais que o diagrama seguinte comuta

(Rn_,0)

h

f

/

/(Rp_,0)

ϕ

(Rn_,0)

g //(Rp,0)

Se h e ϕ s˜ao germes de homeomorfismos bi-Lipschitz, respectivamente germes de home-omorfismos, ent˜ao dizemos que f e g s˜ao bi-Lipschitz _A-equivalentes, respectivamente C0_{-A-equivalentes.}

SejaPk_{(n, p) o conjunto das aplica¸c˜oes polinomiais f = (f}

1, ..., fp) : (Rn,0)→ (Rp_{,0) onde o grau das fun¸c˜oes polinomiais f1, ..., fp s˜ao menores ou iguais a k ∈} N_.

O conjunto quociente dePk_{(n, p) quocientado pela C}0_{-A equivalˆencia ser´a denotado por} Pk_{(n, p)/C}0_{-A. THOM (1962) mostra que P}12_(3,3)/C0_{-A ´e um conjunto infinito.}

FU-KUDA (1976) prova que Pk_(n,1)/C0_{-A ´e um conjunto finito para quaisquer inteiros}

po-sitivosn, k. Nakai prova os sequintes resultados.

Teorema 3.2. (NAKAI (1984)) Pk_{(n, p)/C}0_{-A, ´e um conjunto infinito se n, p, k≥3 ou} n_≥3, p_≥2, k _≥4.

Examplo 3.4. (NAKAI (1984)) Caso (n, p, k) = (3,2,4). Seja fa : (R3,0) → (R2,0) dado por

fa(x, y, z) = ((a1x−y)(a2x−y)(a3x−y),(a4x−y)(a5x−y)(a6x−y)z)

suponha a1 < a2 < ... < a6. Esta fam´ılia admite infinitas classes com respeito a C0-A

equivalˆencia.

Examplo 3.5. (NAKAI (1984)) Caso (n, p, k) = (3,3,3). Seja fb : (K3,0) → (K3,0) dado por

fb(x, y, z) = (b1x2+b2xy+b3y2,(b4x2+b5xy+b6y2)z,(b7x2+b8xy+b9y2)z)

onde b1, ..., b9 s˜ao n´umeros positivos tais que; 4b1b3 −b22, 4b4b6 −b52, 4b7b9 −b82 > 0

e b denota a 9-upla (b1, ..., b9). Esta fam´ılia admite infinitas classes com respeito a C0-A

equivalˆencia.

BENEDETTI and SHIOTA (1991) prova o mesmo resultado que FUKUDA (1976), s´o que para fun¸c˜oes semialg´ebricas. Em 2010, S. Alvarez, L. Birbrair, J. C. F. Costa, A. Fernandes deram modelos simples para a classe de equivalˆencia com respeito a C0_{-A-equivalˆencia de fun¸c˜oes semialg´ebricas.}

Proposi¸c˜ao 3.3. A C0_{-R equivalˆencia implica na C}0_{-A equivalˆencia.}

A rec´ıproca da Proposi¸c˜ao 3.3 ´e falsa.

Examplo 3.6. Sejam f, g : (R2_{,0) → (}R2_{,0) germes de aplica¸c˜oes dadas por f(x, y) =}

(x(x₋y),₋x2 _{+xy+y), g(x, y) = (y}3_{, x(x−y}3_{)). Ent˜ao f e g s˜ao C}0_{-A-equivalentes.}

Com efeito, defina os homeomorfismos h : (R2_{,0)→ (}R2_{,0), ϕ : (}R2_{,0)→ (}R2_{,0) como}

sendo h(x, y) = (x, y3_{), ϕ(x, y) = (x+y, x). Portanto,} ϕ◦f ◦h(x, y) =ϕ◦f(x, y3₎

=ϕ(x(x₋y3_),−x2_+xy3_+y3₎

= (x(x₋y3_)−x2_+xy3_+y3_{, x(x−y}3₎₎

= (y3_{, x(x−y}3₎₎

=g(x, y)

Entretanto,f eg n˜ao s˜aoC0_{-R equivalentes. Suponha, por absurdo, que exista um germe}

de homemorfismoh: (R2_,0)→(R2_{,0)tal quef =g◦h. Portanto,(f1, f2) = (g1◦h, g2◦h).}

Ent˜ao, f1 = g1 ◦ h. Absurdo! Pois, f1−1(0,0)\ {(0,0)} tem 4 componentes conexas,

4 _C0_{-K EQUIVALˆENCIA E BI-C}0_{-K EQUIVALˆENCIA}

4.1 C0_{-K equivalˆencia}

A quest˜ao central na Teoria de Singularidade ´e a classifica¸c˜ao local de aplica¸c˜oes por difeomorfismos. Contudo, ´e um problema bastante dif´ıcil, pois requer uma certa ri-gidez. Ent˜ao ´e natural investigar a classifica¸c˜ao de aplica¸c˜oes dadas por rela¸c˜oes de equivalˆencias que pedem aplica¸c˜oes mais fracas do que difemorfismos.

Neste cap´ıtulo, estudaremos a C0_{-K equivalˆencia. Esta rela¸c˜ao ´e uma vers˜ao}

topol´ogica da cl´assica K-equivalˆencia introduzida por MATHER (1969). Note que tanto aC0_{-R equivalˆencia quanto a C}0_{-A equivalˆencia existem casos em que h´a infinitas classes}

de equivalˆencias. Visto agora uma nova rela¸c˜ao de equivalˆencia, o que podemos dizer quanto a suas classes? Elas aparecem em uma quantidade infinita? Essa quantidade ´e enumer´avel? Ou ser´a que ela se difere das rela¸c˜oes de equivalˆencia definidas no Cap´ıtulo 3 e aparecem em uma quantidade finita de classes?

Defini¸c˜ao 4.1. Dois germes de aplica¸c˜oes continuas f, g : (Rn_{,0) → (}Rp_{,0) s˜ao C}0_-K

equivalentes se existem dois germes de homeomorfismos

H : (Rn+p_,0)→(Rn+p_{,0) e h: (}Rn_,0)→(Rn_,0)

tais que o diagrama seguinte comuta,

(Rn_,0) h

(idn,f)

/

/ ₍Rn_×Rp_,0) H

πn _/

/ ₍Rn_,0) h

(Rn_,0)

(idn,g)

/

/ ₍Rn_×Rp_,0)

πn

/

/ ₍Rn_,0)

onde idn ´e o germe da aplica¸c˜ao identidade do Rn ; πn ´e a proje¸c˜ao usual em Rn. Al´em disso, H1(x,0) = 0 para todo x∈Rn, ondeH(x, y) = (h(x), H1(x, y)).

Quando o germe de homeomorfismo h = idn, dizemos que f e g s˜ao _C0_-C

equivalentes.

Proposi¸c˜ao 4.1. Dois germes de aplica¸c˜aof, g : (Rn_,0)→(Rp_,0)s˜aoC0_{-Kequivalentes,}

se e s´o se, existir um germe de homeomorfismo h: (Rn_,0)→(Rn_{,0) tal quef e g◦h s˜ao}

C0_{-C equivalentes.}

BIRBRAIR, FERNANDES, and COSTA (2009), provam que o conjuntoPk_(n,2) quocientado com C0_{-K equivalˆencia ´e um conjunto finito. Esse resultado mostra a}

fini-tude das classes da_C0_{-K equivalˆencia para germes de aplica¸c˜oes do R}n _{em R}2_{. Ser´a que}

Teorema 4.1. (BIRBRAIR, FERNANDES, and COSTA (2009)) Seja Pk_{(n,2) o} con-junto de todos os germes de aplica¸c˜ao polinˆomial f : (Rn_{,0)→ (}R2_{,0), onde f = (f1, f2)}

e os graus de f1 e f2 s˜ao menores ou iguais a k ∈ N. Ent˜ao, o conjunto das classes de

equivalˆencia de Pk_{(n,2), com respeito a C}0_{-K equivalˆencia ´e finito.}

Lema 4.1. (NISHIMURA (1997)) Sejam U uma vizinhan¸ca da origem de Rn _{e f, g :} U → (Rp_{,0) duas aplica¸c˜oes cont´ınuas. Suponha que exista uma familia de aplica¸c˜oes}

continuasFt:U →Rp (t∈[0,1]) que satisfa¸ca as seguintes senten¸cas;

i) F0 =f e F1 =g.

ii) Ft−1(0) =f−1(0) ∀ t∈[0,1].

iii) Para todo t∈[0,1],o vetor Ft(x)n˜ao esta incluido no conjunto {αF0(x)| α_∈R_{−} para qualquer x∈U \f}−1_{(0), onde} R_−={s∈R_{|s <0}.}

Ent˜ao, dois germesFt e F_t′ na origem, s˜aoC0-Kequivalentes, para todo t, t ′

∈[0,1]. Em particular, f e g s˜ao C0_{-K equivalentes.}

Observa¸c˜ao 4.1. O resultado apresentado por Nishimura no Lema 4.1 ´e ainda mais im-pactante, pois no decorre da demonstra¸c˜ao observamos que f e g ser˜aoC0_{-C equivalentes.}

Defini¸c˜ao 4.2. Diremos que dois germes de aplica¸c˜oes cont´ınuas f, g: (Rn_,0)→(Rp_,0)

s˜ao ditos _Cs_{-V-equivalentes se existir um difeomorfismo de classe C}s_,

h: (Rn_,0)→(Rn_{,0) tal que h(f}−1_{(0)) =g}−1_(0).

Se h ´e um germe de homeomorfismo bi-Lipschitz, respectivamente germe de homeomorfismo, ent˜ao dizemos quef eg s˜ao bi-Lipschitz-_V equivalentes, respectivamente C0_{-V equivalentes.}

Examplo 4.1. Sejam f, g : (R2_{,0) → (}R_{,0) fun¸c˜oes polinomiais dadas por f(x, y) =} y(x−ay)(x−by), g(x, y) =y(x−cy)(x−dy), onde a, b, c, d s˜ao constantes reais, dois a dois, distintos. Portanto,f eg s˜ao bi-Lipschitz-V equivalentes. De fato, defina um home-omorfismo bi-Lipschitz h : (R2_{,0) → (}R2_{,0) como sendo h(x, y) = (}(ad−cb)

(b−a) y+x, (d−c) (b−a)y).

Ent˜ao, h(g−1_{(0)) =f}−1_(0).

Proposi¸c˜ao 4.2. A _C0_{-R equivalˆencia implica na C}0_{-K equivalˆencia.}

Demonstra¸c˜ao. Sejam f, g: (Rn_,0)→(Rp_{,0) germes de aplica¸c˜oes C}0_{-R equivalentes.}

Ent˜ao, existe um germe de homeomorfismo h : Rn _→ Rn _{tal que f = g ◦h. Defina a}

aplica¸c˜ao H : (Rn+p_{,0) → (}Rn+p_{,0), como sendo H(x, y) = (h(x), y). Claramente, H ´e}

um germe de homeomorfismo. Al´em disso,

i)H(x, f(x)) = (h(x), g_◦h(x))