Formas esquemáticas de sentenças como cones

Agora que nós já sabemos como tratar raciocínios típicos da teoria de conjuntos, tais como subconjuntos e elementos, de forma categorial, nós estamos prontos para o passo seguinte. Nesse passo nós vamos mostrar como podemos construir esquemas de sentenças utilizando a noção de cones. A ideia aqui é mostrar que podemos converter a nossa intuição sobre o que significaria uma sentença tal como ‘𝑥 é vermelho’ em uma noção totalmente esquemática tal como um cone. Lembrem-se que nós estamos efetuando um passo a passo que envolve intuições perigosas como a de aglomerados, mas que tais intuições são completamente legítimas e necessárias. Assim, utilizando essas intuições, o que significaria dizer que algo é vermelho? Obviamente existem muitas respostas para essa pergunta, mas, vamos nos manter dentro do âmbito primitivo das nossas intuições e das nossas capacidades de classificação e abstração. Podemos dizer que ‘𝑥 é vermelho’ significa que 𝑥 faz parte do aglomerado das coisas que são vermelhas. Mas, intuitivamente, dizer que 𝑥 é vermelho é, antes de tudo, dizer

que 𝑥 é alguma coisa, digamos, um lápis, uma caneta, uma maçã etc.. Portanto, 𝑥 faz parte de um aglomerado que faz parte de outro aglomerado.

Também, intuitivamente, o aglomerado das coisas da qual 𝑥 faz parte (por exemplo, 𝑥 pode ser um lápis) é menor do que o aglomerado das coisas que são vermelhas (mas, mesmo que não seja o caso, é muito fácil pensar num aglomerado ao qual um objeto pertença que é menor do que o aglomerado de todas as coisas que são vermelhas; em todo caso, isso é apenas um exemplo intuitivo). Assim, a partir do aglomerado ao qual 𝑥 pertence podemos separar aqueles objetos que também são vermelhos, e podemos dizer que esse segundo aglomerado está contido no aglomerado de todas as coisas que são vermelhas. Dessa forma, como já dissemos, podemos dizer que ‘𝑥 é vermelho’ significa que 𝑥 é uma coisa que faz parte do aglomerado das coisas que são vermelhas. Note que aqui não estamos querendo saber como ou por que a coisa 𝑥 é vermelha, nós estamos querendo saber como podemos utilizar as nossas intuições e as nossas capacidades de classificação e abstração para mostrar o que significa dizer que 𝑥 é vermelho. Com o exposto acima em mente, vamos dar o passo adiante.

Como mencionado no tópico anterior, 𝑓 ⊆ 𝑔 exatamente quando 𝑓 fatora-se por meio de 𝑔. Isso nos diz, imediatamente, que a inclusão de sub-objetos é caracterizada por uma propriedade definidora de cones. Mais especificamente, se nós temos𝑓: 𝑎 ↣ 𝑑, 𝑔: 𝑏 ↣ 𝑑sub-objetos de 𝑑, dizer que 𝑓 ⊆ 𝑔 é afirmar que 𝑓: 𝑎 ↣ 𝑑, ℎ: 𝑎 ↣ 𝑏 formam um cone com vértice 𝑎 para 𝑔: 𝑏 ↣ 𝑑. Formalmente, a categoria indexadora deve ser 𝒥 =∗↣∗, onde ∗↣∗ é um monomorfismo, e o funtor 𝐹: 𝒥 → 𝒞 deve ser tal que preserva monomorfismos, e com 𝒞 sendo completa e cocompleta. Mantendo este parágrafo em mente, vamos definir uma relação esquemática e provar uma proposição que será crucial para os próximos passos.

Definição 4.1.2.1 (Relação Esquemática). Seja 𝒞 uma categoria arbitrária adequada, a formulação da relação fatora-se por meio de pode sempre ser dada em 𝒞 da seguinte forma:

Sejam 𝑓: 𝑑 → 𝑎 e 𝑔: 𝑑 → 𝑏 morfismos, dizemos que 𝑔 fatora-se por meio de 𝑓, se, e somente se, existe uma seta ℎ: 𝑎 → 𝑏, tal que o diagrama

𝑑

𝑓 𝑔

𝑎 𝑏 ℎ

comuta. Ou seja, 𝑔 = ℎ ∘ 𝑓. Se ℎ é única dizemos que 𝑔 fatora-se unicamente por meio de 𝑓.

A noção dual da relação fatora-se por meio de é dada abaixo:

Sejam 𝑓: 𝑎 → 𝑑 e 𝑔: 𝑏 → 𝑑 morfismos, dizemos que 𝑓 cofatora-se por meio de 𝑔, se, e somente se, existe uma seta ℎ: 𝑎 → 𝑏, tal que o diagrama

𝑑 𝑔 𝑓

𝑎 𝑏 ℎ

comuta. Ou seja, 𝑓 = 𝑔 ∘ ℎ. Se ℎ é única dizemos que 𝑓 cofatora-se unicamente por meio de 𝑔. A relação fatora-se por meio de, bem como sua dual, são puramente esquemáticas, e como tais, são ontologicamente neutras. Isso quer dizer que não faz nenhum sentido perguntar, por exemplo, se tais relações são um universal ou um particular.

Antes de continuarmos, será necessário falarmos sobre propriedades14 definidoras de cones. Sejam 𝒞, 𝒥 categorias e 𝐹: 𝒥 → 𝒞 um funtor. Vejamos o diagrama abaixo em 𝒞:

𝐹𝑖 𝐹𝑗 (4.1.2.2) 𝐹𝑢

Seja, agora, a propriedade 𝐺 definida sobre pares de morfismos com domínios comuns para 𝐹𝑖 e 𝐹𝑗, por exemplo, 𝜏 : 𝑐 → 𝐹𝑖 e 𝜏 : 𝑐 → 𝐹𝑗, como 𝐺 〈𝜏 , 𝜏 〉 = (𝐹𝑢 ∘ 𝜏 = 𝜏 ). Note que 𝐺 é exatamente a propriedade que define cones para o diagrama (4.1.2.2). Considere, agora, o par de morfismos 𝜆 : 𝑐´ → 𝐹𝑖 e 𝜆 : 𝑐´ → 𝐹𝑗, e o morfismo ℎ: 〈𝜏 , 𝜏 〉 → 〈𝜆 , 𝜆 〉, o qual se define por ℎ: 𝑐 → 𝑐´, tal que 𝜏 = 𝜆 ∘ ℎ e 𝜏 = 𝜆 ∘ ℎ. Dessa forma, podemos ver que 〈𝜏 , 𝜏 〉 fatora-se por meio de 〈𝜆 , 𝜆 〉. Se o morfismo ℎ é único, então, dizemos que a fatorização é única. A relação fatora-se por meio de é a relação15_{entre instâncias}16 _{da propriedade 𝐺. Vejamos o exposto acima em forma} diagramática: ℎ 𝑐 𝑐´ 𝜆 𝜏 𝜏 𝜆 𝐹𝑖 𝐹𝑗 . 𝐹𝑢

Agora podemos apresentar e provar a proposição que será essencial adiante. Proposição 4.1.2.3. O morfismo ℎ reflete a propriedade de comutar com 𝐹𝑢, ou seja, reflete a propriedade 𝐺. Isto é, se nós temos o par de morfismos 〈𝜆 , 𝜆 〉 tal que 𝐺 〈𝜆 , 𝜆 〉 , e se o morfismo ℎ: 〈𝜏 , 𝜏 〉 → 〈𝜆 , 𝜆 〉 existe, então, o par 〈𝜏 , 𝜏 〉 possui a propriedade 𝐺.

Prova. Se 𝐺 〈𝜆 , 𝜆 〉 , então, 𝐹𝑢 ∘ 𝜆 = 𝜆 , que implica 𝐹𝑢 ∘ 𝜆 ∘ ℎ = 𝜆 ∘ ℎ, mas, 𝜏 = 𝜆 ∘ ℎ e 𝜏 = 𝜆 ∘ ℎ, o que nos dá, 𝐹𝑢 ∘ 𝜆 ∘ ℎ) = 𝜆 ∘ ℎ = (𝐹𝑢 ∘ 𝜏 = 𝜏 ). ∎ Assim, a relação fatora-se por meio de reflete a propriedade, isto é: se 𝐺(〈𝜆 , 𝜆 〉) e 〈𝜏 , 𝜏 〉 fatora-se por meio de 〈𝜆 , 𝜆 〉, então 𝐺(〈𝜏 , 𝜏 〉).

15 _{Relação esquemática.}

16 _{Mais uma vez, note que G é uma propriedade esquemática, e o que é chamado aqui de instância é}

Agora, podemos continuar o nosso passo a passo. Vamos considerar o seguinte cenário: {𝑥} ℎ 𝑥 (4.1.2.4) 𝐵 𝐶 . 𝑣

Dizer que 𝑥 ⊆ 𝑣 é dizer que existe um ℎ: {𝑥} → 𝐵 tal que 𝑥 = 𝑣 ∘ ℎ. Podemos dizer, então, que 𝑥, um membro de 𝐵, é também um membro de 𝐶 porque existe uma seta 𝑣 ∘ ℎ que injeta 𝑥 em 𝐶, e essa seta é igual à seta 𝑥 do diagrama acima. Note que as setas ℎ e 𝑥 injetam, respectivamente, 𝑥 em 𝐵 e em 𝐶. De acordo com o que já expomos, nós podemos dizer que 〈ℎ, 𝑥〉 possui a propriedade de comutar com 𝑣, tal propriedade denotaremos por 𝑉. Assim, dizer que 〈ℎ, 𝑥〉 tem a propriedade 𝑉 é dizer que 𝑥 = 𝑣 ∘ ℎ; portanto, dizer que 〈ℎ, 𝑥〉 possui a propriedade 𝑉 é dizer que o objeto 𝑥 que é um membro de 𝐵 também é um membro de 𝐶.

Voltando ao nosso exemplo, digamos que 𝐵 seja um aglomerado de objetos, e 𝐶 seja o aglomeradode todos os objetos que são vermelhos. Assim, 𝑉〈ℎ, 𝑥〉 quer dizer ‘𝑥 é vermelho’17_{. Assim, a forma esquemática da sentença ‘𝑥 é vermelho’ é 𝑉〈ℎ, 𝑥〉.} Note que ao chegar nesse ponto não precisamos mais pensar em aglomerados, mas apenas no cone que expressa a forma esquemática de ‘𝑥 é vermelho’, ou seja, precisamos pensar apenas no diagrama (4.1.2.4). Mas, agora, para que possamos colocar em prática o que temos em mente, temos que encontrar uma maneira de relacionar esquemas de sentenças. Mais ainda, nós temos que definir uma categoria na qual esquemas de sentenças são objetos e as relações esquemáticas entre esses esquemas são setas. Sabendo que esquemas de sentenças são cones, fica fácil saber que tal categoria deve ser uma categoria onde os objetos são cones. O próximo tópico irá tratar disso.

17 _{x aqui não é uma variável, mas uma constante! É de suma importância que o leitor mantenha em}

mente que em todos os exemplos envolvendo formas esquemáticas de sentenças estaremos lidando com constantes, e não com variáveis!