Figure 8: Creatures evolved for jumping
1.3. Formas e Geometrias da Natureza
“O universo natural é prolifero em formas, de uma riqueza e exuberância, capazes de escapar à mais hábil e transbordante imaginação humana. No entanto, por detrás desta assombrosa variedade não existe um exercício expresso de «desenho», nem um empenho na originalidade [...] A Natureza aplica os critérios de «organização» e «economia» para desenvolver ferramentas simples que permitam produzir infinitas formas [...]”.58
Desde sempre, a Natureza revelou um complexo sistema de formação capaz de criar processos elaborados, os quais respondem às necessidades e fins específicos “exigidos” pelo universo que habitamos. A sua formação apoia-‐se nas leis universais, em que fenómenos como o nascimento do Universo, das estrelas e dos planetas são o resultado destes complexos fenómenos de auto-‐formação.
Estas formas naturais manifestam-‐se em diferentes escalas, desde a macro-‐escala de uma galáxia, à micro-‐escala de um floco de neve. Ainda assim, a variedade de escalas tem uma relação com o nosso planeta, diferente da escala deste planeta com o vasto universo. Ou seja, se considerarmos a Terra como um “macro objecto”, no qual a morfologia de escalas varia entre a decimamilésima parte de um milímetro e os 150 metros (como é o caso das árvores gigantes), apercebemo-‐nos de que a relação de escalas terrestres nada tem a ver com as distâncias e relação do universo e dos seus elementos.
A variedade de formas, escalas e relações desde muito cedo intrigou o conhecimento humano e é através da Geometria que tem sido possível medir e “catalogar” estas formas naturais. Esta ciência evoluíu graças ao contributo de René Descartes com a fusão da Álgebra e Geometria, dando origem à Geometria Analítica e ao sistema de coordenadas que ainda hoje tem o seu nome, tornando-‐se uma figura-‐ chave da Revolução Científica.
No que respeita à formação de geometrias naturais, estas surgem da interacção de forças e de funções durante a sua formação. Não existe uma geometria predominante, mas sim vários resultados optimizados por um processo de formação
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5.4 Kepler’s Platonic solid model of the solar system from Mysterium Cosmographi-cum (The Cosmographic Mystery, c. 1596). Image courtesy of Visual Language, www.visuallanguage.com.
the shapes of Platonic solids, he could determine their orbits, speed, and intersec-tions. This was one way to visually comprehend complex movements, bodies, and relationships of the universe beyond the perceptual abilities of people but within their intellectual reach.
Abstract thought allows you to study and conceptualize things that are beyond your everyday experience, and you do it all the time: planning your schedule for the week, creating different concepts for a design development, or imagining potential scenarios in an interaction you had or will have—all are examples.
CHAPTER 5 Shapes: Nature’s Vocabulary 145
↑ Fig.60 Modelo platónico do Sistema Solar realizado pelo astrónomo alemão Johannes Kepler. Este modelo é publicado na sua obra Mysterium Cosmographicum de 1596.
individual, adaptados a uma situação específica, que é responsável pela formação de uma geometria adaptada ao seu fim. Jorge Wagensberg (1948 -‐) Doutor da Faculdade de Ciências Físicas da Universidade de Barcelona, defende que todas as formas não são equiprováveis, mas sim adquiridas por um processo de formação e de selecção especifico, o qual é capaz de influenciar a forma adquirida de um ser ou elemento natural. Wagensberg define assim três tipos de selecção de formas :
Fundamental -‐ Tem uma relação directa com os fenómenos físicos básicos da envolvente à qual responde a forma.
Natural -‐ relaciona-‐se directamente com as teorias darwinianas e com o conceito de uma identidade viva, que luta contra o seu meio, desenvolvendo-‐se como tal. Cultural -‐ denominada através da selecção artificial baseada segundo as decisões humanas. 59
Algumas destas formas naturais acabam por ser estudadas na Arquitectura,
reflectindo-‐se em novos resultados arquitectónicos e também no uso das suas ferramentas -‐ por exemplo, o desenho assistido por computador (CAD).
De entre as várias formas da Natureza deve-‐se salientar a espiral, uma das formas ausentes da geometria clássica. A sua particularidade reside no factor movimento, concebido através das suas rotação e translação. Estas encontram-‐se presentes tanto no microcosmos como no macrocosmos do universo natural, dividindo-‐se em dois tipos: as constantes e as algorítmicas ou também conhecidas como espirais arquemidianas. A sua presença encontra-‐se em vários exemplos naturais (uma teia de aranha) como o caso das constantes, ou das espirais logarítmicas de Descartes (presentes nos nautilus, caracóis ou mesmo nas nuvens em tempestade). Enquanto que as espirais constantes (tal como o nome indica) têm um crescimento constante, as logarítmicas crescem segundo um somatório das partes, sendo uma parte delas de acordo com a sequência de Fibonacci.
59 Cf. COSTA, Mauro -‐ Analogias Biológicas en la Arquitectura – Del acercamiento biónico hacia los paradigmas de lo biodigital. p.71. [trad. do a.].
ptg6964689 9.19 The geometric ratios of phi as the
golden rectangle and the golden spiral.
9.20 Seed whorls, such as these in a sunflower head, display another version of the golden mean by tightly packing seeds as two opposite spirals entwined within the circular shape of the flower. This displays a Fibonacci sequence relationship.
© PH O TO EM PT /IS TO C KP H O TO .C O M
each number is formed by adding the previous two numbers together. These numbers create a Fibonacci spiral, a slight variation on the golden spiral. This sequence is yet another metaphor for the continuation of life. It also illustrates the proportion’s deep tie to the appeal of gestalt as 1+1=3, or that two, when combined, produce a completely new and independent third, which in turn com-bines with another and so on as the dance of life spirals into a sequence of similar generations recurring over time.
CHAPTER 9 Messaging: A Meaningful Medium 273
↑ Fig.61 O Rectângulo Dourado - representação gráfica da proporção áurea. ↓ Fig.62 O Modulor de Le Corbusier.
Estas formas estão presentes não só em variados exemplos da Natureza mas também em alguns exemplares arquitectónicos, como o Museu Guggenheim de Frank Lloyd Wright e o monumento à Terceira Internacional de Tatlin.
Este crescimento de proporções algorítmicas, apesar de repetir-‐se em diferentes exemplos e escalas, é traduzido segundo uma ordem matemática. Esta ordem matemática foi referida pela primeira vez no Ocidente, no início do séc. XIII, da autoria do matemático italiano Leonardo de Pisa (também conhecido por Fibonacci). A sequência de Fibonacci consiste numa sequência infinita de números, em que cada um é igual à soma dos dois números anteriores – 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... – capaz de exprimir em muitos casos o crescimento “modular” da Natureza, onde se inserem as espirais.
A sequência de Fibonacci também está, de certa forma, presente no sistema modelar de Le Corbusier (Le Modulor). O nome surge da palavra módulo e ouro. Este cresce em conformidade com as leis do rectângulo dourado, o qual pode ser interpretado como uma representação gráfica da sequência de Fibonacci ou também conhecida como proporção áurea.
O número φ ou número de ouro, cujo valor é 1,618, é a proporção próxima do rectângulo dourado, que consiste na divisão de um quadrado em dois rectângulos de partes iguais. O uso destas proporções foi adoptado ao longo da História da Arte, nas várias expressões artísticas como, por exemplo, nas pinturas de Botticelli, e também na Mona Lisa ou no Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci.
Através da proporção áurea, Corbusier procurou também criar um conjunto de proporções capaz de unificar a relação entre Homem e espaço, permitindo uma maior proporção e relação destes.
Um estudo feito pelo autor Gyorgy Doczi, publicado com o nome The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature Art and Architecture, revela um detalhado estudo de exemplos na natureza, arquitectura e objectos humanos, o qual demonstra a regularidade e frequência em que surgem as proporções do rectângulo dourado, quer nas “construções” naturais, quer nas humanas. Não deixa de ser interessante constatar e estudar esta repetição de proporções de crescimento espiralo, o qual acaba por reger tantos seres, modelos e acontecimentos, de que podemos apreender uma relação de
↑ Fig.63 Spiral Jetty de Robert Smithson, 1970.
↖ Fig.64 Galáxia Espiral. ↗ Fig.65 Exemplo da Proporção áurea numa planta. ↙ Fig.66 Forma espirálica do embrião de um rato. ↘ Fig.67 Frondes de um feto.
proporções de certa maneira coerente e harmónica com o todo, não só modelada pela Natureza como também pelo Homem.
Se analisarmos grande parte das plantas e também alguns animais inferiores, deparamo-‐nos com o crescimento espiralo na sua forma. No entanto, este crescimento é organizado segundo o pentágono. Ao observarmos estes exemplos, podemos associar o pentágono ao universo das formas vivas, pois quando observamos as formas da natureza inerte constatamos igualmente que grande parte destas provém não só do hexágono mas também do quadrado. Assim, quando observamos uma cúpula geodésica de Fuller, deparamo-‐nos com um dodecaedro composto essencialmente por pentágonos. Este constitui a geometria-‐chave para a sua construção.
O hexágono regular, como geometria construtiva, possui uma facilidade de composição muito superior à do pentágono. Este pode ser dividido em triângulos equiláteros, o que permite oferecer uma facilidade construtiva quando aplicado. Se observarmos, por exemplo, o Eden Project, reparamos como a malha é constituída por hexágonos, no entanto esta é subdividida em triângulos. Neste exemplo geodésico em concreto deve-‐se salientar que, em certos pontos, foi necessário utilizar pentágonos para a união das formas adjacentes. Sem estes, a configuração geodésica deste projecto não seria possível.
A simetria surge nos poliedros regulares como o elemento regedor destas formas geométricas. Todos os “edros” constituem, quando divididos, o reflexo de um dos lados. O mirror, que tanto utilizamos no CAD, é realizado também na geometria euclidiana, como nas formas vivas. Deste modo os poliedros encontram-‐se directamente relacionados com o círculo. Ao observarmos a representação do Homem Vitruviano, bem como o conceito ancestral chinês do quadrado inserido no círculo (através desta união resulta a representação cosmológica do Céu e da Terra -‐ Gai Tian), é possível observar graficamente esta relação.
O círculo ou esfera, quando falamos a três dimensões, é uma forma predominante na Natureza. Desde a micro escala das células à macro escala dos planetas, esta é repetida inúmeras vezes nas formas vivas. Podemos afirmar que é o principal elemento regedor das formas vivas, como também o mais ancestral.
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8.8 The human body has two similar sides: They are not exact replicas (have you ever tried mirroring a photo of your face—very odd!) but enough alike to facilitate effec-tive movement on two legs. Image: Visual Language, www.visuallanguage.com.
8.9 Animals without legs contain internal symmetry that allows limbless locomotion by undulating their bodies, such as that exhibited in this snake skeleton.
8.10 The hands represent bodywork, and wisdom is implied with the stylized representation of an owl’s face for the client, Body Wisdom. Design: Maggie Macnab.
© D R A SK O V IC /IS TO C KP H O TO .C O M
8.11 The reflection symmetry of the Christian cross perfectly and precisely captures a dominant Western philosophy that is based in linear thinking, which is driven by the left hemisphere of the brain that moderates sequen-tial tasks. For over 2,000 years, most Westerners have perceived the world through the either/or idea of oppo-sites: heaven/hell, good/evil, right/wrong.
CHAPTER 8 Symmetry: A Balancing Act in Two or More Parts 233
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8.8 The human body has two similar sides: They are not exact replicas (have you ever tried mirroring a photo of your face—very odd!) but enough alike to facilitate effec-tive movement on two legs. Image: Visual Language, www.visuallanguage.com.
8.9 Animals without legs contain internal symmetry that allows limbless locomotion by undulating their bodies, such as that exhibited in this snake skeleton.
8.10 The hands represent bodywork, and wisdom is implied with the stylized representation of an owl’s face for the client, Body Wisdom. Design: Maggie Macnab.
© D R A SK O V IC /IS TO C KP H O TO .C O M
8.11 The reflection symmetry of the Christian cross perfectly and precisely captures a dominant Western philosophy that is based in linear thinking, which is driven by the left hemisphere of the brain that moderates sequen-tial tasks. For over 2,000 years, most Westerners have perceived the world through the either/or idea of oppo-sites: heaven/hell, good/evil, right/wrong.
CHAPTER 8 Symmetry: A Balancing Act in Two or More Parts 233
↑ Fig.68 Exemplos de deformações paramétricas por acção do meio. D’Arcy Thompson. ↙ Fig.69 A assimetria do Homem.
“As construções da natureza viva baseia-‐se num sistema de construção único, relativamente simples: a célula. Os organismos unicelulares, plantas, animais mais complexos e os homens, são todos feitos de acordo com o mesmo sistema de construção.”60
Esta, tal como os poliedros, é inevitavelmente simétrica, pois que a simetria consiste essencialmente na delimitação de um eixo e a reprodução de um dos lados é realizado de forma idêntica no outro. Simetria deriva do grego summetria que significa harmonia de proporções. No entanto, o conceito de simetria difere nas diferentes ciências. Os matemáticos e físicos descrevem a simetria de forma diferente da dos arquitectos e biólogos. Citando Ian Stewart: “As simetrias são as que observamos nos
fragmentos naturais do grande universo de simetrias...[?]”. 61
Apesar das diferentes perspectivas científicas, as simetrias e padrões estão presentes na Natureza através das leis da Física e da Matemática, pelo que se encontram profundamente ligadas aos processos de formação da natureza viva e inerte. São divididas da seguinte maneira:
Simetria espelho – como o nome indica, é concebida através do efeito espelho; Simetria rotacional – rotação simétrica através de um ângulo;
Simetria de translação ou deslizamento – movimento de linha recta; Simetria rotacional e reflectiva – virando e “espelhando”;
Reflexão de deslize – movimento de linha recta e espelho;
Simetrias ornamentais – outras combinações de simetrias básicas ou
ornamentos.62
Na flora podemos encontrar vários exemplos de simetria. A forma cónica simétrica das árvores ou a simetria reflectiva das folhas são alguns dos exemplos de simetria floral. Nas flores também podemos constatar a presença da simetria, que regularmente
60 OTTO, Frei -‐ Architecture et Bionique: Constructions naturelles. p.19. [trad. do a.].
61 Cf. GRUBER, Petra -‐ Biomimetics in Architecture: Architecture of life and buildings. p.102. [trad. do a.].
conjuga a simetria reflectiva juntamente com a simetria rotativa pentagonal, sendo o resultado mais predominante nestes exemplos.
A simetria pentagonal, relativamente à fauna, apenas é encontrada em organismos marinhos invertebrados. A locomoção dos animais, tal como a gravidade, são factores fundamentais na distribuição da simetria animal, pelo que os factores simétricos são aplicados de forma diferente.
Na natureza inerte, um dos exemplos mais relevantes é a formação de cristais. Neste exemplo há que ter em consideração que a simetria exterior é baseada em função da simetria interior, a qual é determinada pelo alinhamento dos átomos e moléculas. 63 Outro exemplo (e possivelmente um dos exemplos esteticamente mais apelativos) é o das formações de flocos de neve. É curioso notar que, embora a forma dos flocos seja diversificada, constatou-‐se na actualidade que os vários resultados de simetrias e por sua vez, de geometrias, constituem uma geometria fechada. Ou seja, através do seu estudo verificou-‐se que possuem um número limitado de geometrias básicas com as quais se constroem todas as composições, reflectindo um total de 80 exemplos distintos.64
Na Arquitectura, tal como na natureza humana, a simetria é um factor constante presente em inúmeros exemplos. Desde os exemplos arquitectónicos da Grécia Antiga até ao exemplos oferecidos pelo Renascimento, é possível observar o uso constante da simetria, especificamente a simetria bilateral. Por outro lado, se avaliarmos a simetria ao nível formal e, sobretudo, ao nível estrutural, o uso da simetria poderá (em grande parte dos casos) oferecer maiores viabilidade estrutural e facilidade construtiva.
O equilíbrio estético e composicional que a simetria oferece revela-‐se como um elemento predominante para a harmonia estética dos produtos construídos pelo Homem. Desta forma, segundo Claudi Alsina, a natureza humana revela uma fixação pela simetria, que, é percepcionada segundo os variados factores cognitivos e culturais presentes no Homem. Este processo cognitivo, acostumado à regularidade e percepção lógica, absorve a simetria como um elemento tranquilizante, capaz de poupar ao Homem o esforço
63 GRUBER, Petra -‐ Biomimetics in Architecture: Architecture of life and buildings. p.102.
64 O primeiro estudo classificativo das geometrias básicas dos flocos de neve foi realizado pelo físico japonês Ukichiro Nakaya. Segundo a classificação de Nakaya existiam 41 tipologias geométricas distintas. Posteriormente, em 1966, os meteorologistas C. Magono and C. W. Lee completaram a classificação de Nakaya, distinguindo 80 tipologias geométricas. Esta classificação é ainda utilizada, nos dias de hoje.
↖ Fig.71 Couve Romanesca. ↑ Fig.72 Exemplo fractal da flor de Girassol. ↗ Fig.73 Ramificações fractais do glaciar Susitsa no Alaska. ↓ Fig.74 Padrão fractal von Karman vortex street.
cognitivo durante a contemplação de algo assimétrico, ou algo inarmónico aos parâmetros cognitivos da mente humana.
Através da geometria fractal é possível observar uma “nova” composição geométrica. O estudo dos fractais, embora presentes em inúmeros exemplos da Natureza, resulta da abordagem matemática e científica experienciada nas últimas décadas, tal como dos estudos obtidos na investigação da Teoria do Caos. A criação destes exemplos tornou-‐se possível graças aos avanços tecnológicos da Informática e dos estudos realizados nas áreas que implicam a Estatística.
É através do matemático francês Benoit B. Mandelbrot, que surge o termo fractal (derivado do latim frangere) e, com ele, novas tipologias de composições geométricas. Os fractais são possuidores de uma variedade infinita de formas, geralmente compostas segundo padrões torcidos, irregulares e exponencialmente crescentes. Assim, um fractal pode ser definido como a repetição de uma forma especifica, que, é repetida exponencialmente de forma infinita. Se fizermos o zoom (in ou out) de uma imagem fractálica, constatamos a presença da mesma forma, repetida a diferentes escalas.
Na Natureza podemos observar vários exemplos elucidativos da geometria fractal, tais como as nuvens, os raios, as montanhas, as dunas, as linhas costeiras, as árvores, as flores, os rios ou os sistemas arteriais. Os fractais possuem uma particularidade que os distingue das outras geometrias – as dimensões fraccionárias. Enquanto que os sólidos possuem um número limitado de dimensões, a geometria fractal poderá oferecer várias dimensões fraccionárias, repetidas a diferentes escalas. Esta característica demonstra a razão por que têm sido “excluídos” da geometria euclidiana e considerados como elementos individuais no estudo da Geometria.
Na Arquitectura, um dos exemplos mais constante da geometria fractal é a ramificação das formas. Seja o sistema de ramificação presente nas árvores, nas plantas ou nas nervuras das folhas, é possível observar e com ele apreender soluções capazes de grande eficiência estrutural. Se observarmos a arquitectura gótica ou a arquitectura Gaudíana, deparamo-‐nos com a presença de elementos estruturais ramificados, que possibilitam uma melhor distribuição das cargas exercidas pelos objectos arquitectónicos. Le Corbusier também recorre ao conceito de ramificação para a decomposição hierárquica dos problemas arquitectónicos. Podemos considerar a visão hierárquica de Corbusier como uma árvore, em que os problemas da arquitectura, do urbanismo, da
determinação das funções e classificação destas últimas, surgem dispostos segundo a sua prática arquitectónica, com a devida hierarquia.
Seria incontornável não mencionar Frei Otto e a utilização da ramificação de elementos: através das técnicas e estudos realizados ao longa da sua obra, como será exposto no próximo capítulo, utilizou a geometria fractal nos exercícios e projectos de estruturas ramificadas, tal como nos caminhos mínimos. Através desta ramificação fractal, foi possível optimizar parte das suas estruturas ao nível da forma, da estrutura, da matéria e, por consequência, da eficiência enérgica.
As formas e geometrias da natureza é um tópico constante na obra de Frei Otto, que estudou e observou, de forma exaustiva, ao longo da sua carreira. Esta variedade prolífera de formas geométricas constitui, em muitos dos seus exemplos, o ponto de