Exame da literatura
E- R com alocação simples
2.4.4 Formulação de Ebery (2001)
Ebery (2001) apresentou uma formulação mais concisa em relação a número de variáveis. Nessa formulação qik representa o custo de transferência do fluxo de demanda do nó i utilizando o concentrador k. minX k∈K fkzkk+X i∈N X k∈K (Oi+ Di) cik zik+X i∈N X k∈K qik (2.18)
2.5. PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS 29 sujeito a:(2.2), (2.3) e (2.7) (2.19) qik ≥ α X j∈N X m∈K wij ckm (zjm+ zik− 1) ∀ i ∈ N, k ∈ K (2.20) qik ≥ 0 ∀ i ∈ N, k ∈ K (2.21)
As equações de tal formulação também são semelhantes às já descritas anteriormente, exceto pelas restrições (2.20). Essas equações asseguram que o qik deve ser pelo menos o custo de transferência do fluxo originado no nó i via concentrador k se, e somente se, o nó i estiver alocado ao concentrador k.
2.5 Problema de roteamento de veículos
Devido à ligação do problema geral de roteamento de veículos, VRP do inglês Vehicle Routing Problem, com variantes do projeto de redes E-R abordadas nesta tese, a presente seção apre-senta um breve referencial teórico, bem como elenca algumas das principais variações desse problema.
O VRP é um problema muito importante no âmbito da logística de transporte e distribui-ção. O objetivo é determinar um conjunto de rotas de menor custo para uma determinada frota de veículos, a fim de satisfazer as demandas de entrega de um conjunto de consumidores.
Inúmeras pesquisas abordando o VRP vêm sendo publicadas desde sua introdução na literatura por Dantzig e Ramser (1959). Nesse trabalho, os autores propuseram a primeira for-mulação de programação matemática para o VRP, com o objetivo de solucionar um problema de distribuição de gasolina entre postos de abastecimento, minimizando a distância total per-corrida.
Resumidamente, o VRP pode ser definido como um conjunto de pontos de consumo, um conjunto de depósitos e uma frota limitada de veículos com capacidade também limitada. Assim sendo, o objetivo desse problema é definir rotas com menor custo possível que atendam às demandas dos pontos de consumo, sem que a capacidade dos veículos seja extrapolada. As características básicas do problema são:
• Cada ponto de consumo é visitado uma única vez por um único veículo; • Cada rota inicia e termina em um mesmo depósito;
• As demandas de todos os consumidores devem ser satisfeitas.
Diversas variantes do problema tradicional são encontradas na literatura considerando características específicas de cada caso:
• Rede: pode ser representada por um grafo valorado onde os vértices representam os pontos de demanda e também os depósitos. As arestas representam as conexões entre os vértices e cada uma delas possui um valor referente ao custo de utilização da conexão. Assim, a rede pode ser simétrica, assimétrica ou mista. Poderão existir, também, janelas de tempo associadas a cada aresta e/ou vértice. Assim, os veículos devem percorrer uma determinada aresta ou atender a uma demanda em um intervalo de tempo estipulado. • Demandas: podem ser fixas ou dinâmicas, ou seja, podem ser determinadas previamente,
antes da definição das rotas, ou durante o percurso do veículo. As demandas também podem estar associadas não só aos vértices, mas também às arestas e serem de um único ou vários produtos. Em geral, os veículos devem atender a um conjunto de demandas de entrega, mas existem problemas que requerem entrega e coleta de itens.
• Frota: pode ser composta por um ou vários veículos homogêneos ou heterogêneos. A uti-lização do veículo pode ser limitada em relação ao tempo, distância e capacidade. Alguns problemas podem apresentar outras restrições associadas a dependência entre veículos, produtos, arestas e vértices.
• Custos: além dos custos associados às arestas (definidos na rede) que podem indicar distância percorrida, tempo de utilização, consumo de combustível, podem também exis-tir outros custos concernentes ao atendimento com atraso ou atendimento incompleto de uma demanda. Por outro lado, pode haver um ganho (prêmio) associado às arestas ou vértices quando estes são percorridos ou visitados.
• Objetivos: os mais utilizados são minimização da distância percorrida ou tempo do per-curso, minimização do número de veículos, maximização da qualidade do serviço, ma-ximização dos lucros adquiridos. A função objetivo pode ser calculada em um único período ou em períodos diversos, dependendo se a demanda é fixa ou dinâmica, respec-tivamente. Em certos problemas existe a necessidade de avaliar mais de um objetivo simultaneamente, levando à uma abordagem multiobjetivo.
A variante básica do VRP é o problema de roteamento de veículos capacitado, CVRP do inglês Capacitated Vehicle Routing Problem, que deu origem a diversas outras variantes do problema. O CVRP consiste em encontrar um conjunto de rotas, cada uma realizada por um único veículo, que visa minimizar o custo total de transporte satisfazendo as restrições básicas descritas anteriormente e adicionando a restrição de capacidade no problema, seja ela de tempo e/ou distância máxima permitida em uma rota ou fluxo de demanda que o veículo suporta.
É fácil notar que o CVRP é incapaz de representar diversas situações cotidianas enfrenta-das pelos setores logísticos enfrenta-das empresas. Assim sendo, faz-se necessário contemplar algumas
2.5. PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS 31
restrições que podem estar associadas aos clientes, aos veículos e/ou aos depósitos, para que problemas reais possam ser modelados com mais fidedignidade:
• Requisição do cliente:
- diferentes tipos de produtos sejam entregues;
- apenas determinados tipos de veículos possam ser utilizados, devido a limitação de acesso, ou tipo de mercadoria transportada;
- serviço de carregamento e/ou descarregamento das mercadorias devem ser realiza-dos em determinado tempo;
- a coleta e/ou entrega dos produtos deve ser realizada em um determinado período do dia ou mês (janela de tempos), respeitando os horários de funcionamento do estabele-cimento, prazo de entrega, entre outras.
• Características dos veículos:
- podem ser de diferentes tipos ou possuírem capacidades diferentes;
- podem ser subdivididos em compartimentos, permitindo transporte de diferentes mercadorias em diversas quantidades;
- tempo máximo que suporta antes de ser submetido à revisão. • Características dos depósitos:
- pode existir mais de um depósito;
- veículos podem iniciar rota em um depósito e terminar em outro.
Como pôde ser visto, diversos atributos podem ser levados em consideração para mo-delar o VRP de acordo com aplicações reais. Diversos trabalhos na literatura têm focado em estratégias de classificação das variantes do problema. Bodin (1975) e Bodin e Golden (1981) propuseram um esquema de classificação baseado em 12 atributos relativos a tempo de serviço. Utilizando visão semelhante, Ronen (1988) apresentou uma taxonomia centrada em característi-cas práticaracterísti-cas do problema e discutiram alguns desafios para os métodos de resolução. Desrochers et al. (1990) e, posteriormente, Eksioglu et al. (2009) apresentaram uma estratégia de classifi-cação mais completa. Além do esquema de classificlassifi-cação, a revisão de Eksioglu et al. também contempla uma ilustração do crescimento do número de artigos, os principais autores e revistas abordando o tema.
Abaixo descreve-se algumas das principais variações do VRP exploradas na literatura, surgindo a partir da consideração de algumas características elencadas acima (Toth e Vigo, 2002a; Thibaut et al., 2012):
1. Problema de roteamento de veículos com janela de tempo, VRPTW do inglês vehicle rou-ting problem with time windows: nessa variante do problema acrescenta-se uma restrição incluindo um intervalo de tempo para início e término do atendimento de um consumi-dor, bem como um intervalo de tempo para saída e retorno do veículo ao depósito. Além disso, cabe ressaltar que existem versões em que a restrição da janela de tempo pode ser relaxada, ou seja, um cliente pode ser visitado antes que a janela seja aberta, existindo um tempo de espera para começar o atendimento; ou também o cliente pode ser visitado após o fechamento do prazo, implicando assim em pagamento de penalidades a serem consideradas na função objetivo. Mais detalhes sobre esse problema pode ser encontrado nos trabalhos (Braysy e Gendreau, 2005a,b; Gendreau e Tarantilis, 2010). Os métodos exatos mais eficientes, propostos por Kallehauge et al. (2006), Jepsen et al. (2008) e Bal-dacci e Mingozzi (2011), podem solucionar a maioria das instâncias com até 100 clientes e poucas instâncias com até 1000 clientes. É importante ressaltar que a resolução por métodos exatos é altamente dependente das características da instância e do tamanho do período de tempo da janela. Considerando métodos aproximativos, o estado da arte pode ser representado pelos trabalhos de Repoussis et al. (2009), Prescott-Gagnon et al. (2009), Nagata et al. (2010) e Vidal et al. (2011b).
2. Problema de roteamento de veículos com dependência de tempo, TDVRP do inglês time dependent vehicle routing problem: essa versão do VRP modela situações em que o tempo de transporte entre dois clientes não é dependente somente da distância entre eles, mas também da hora do dia em que a viagem ocorrerá. Tal versão é motivada pelo fato que em um contexto urbano as condições de tráfego possuem um importante papel, não po-dendo ser ignorada para modelagem de problemas mais realísticos (Malandraki e Daskin, 1992; Ichoua et al., 2003; Fleischmann et al., 2004). Entre os métodos heurísticos efici-entes, cabe ressaltar os algoritmos desenvolvidos nos trabalhos de Ichoua et al. (2003), Hashimoto et al. (2008) e Balseiro et al. (2011).
3. Problema de roteamento de veículo periódico, PVRP do inglês periodic vehicle routing problem: no PVRP visa-se planejar visitas aos clientes num dado horizonte de planeja-mento, ou seja, o período de planejamento é estendido de 1 para t dias, buscando deter-minar os dias em que cada cliente será atendido e as rotas que devem ser executadas por cada veículo durante o período (Francis et al., 2008). Baldacci et al. (2011) propôs um método exato capaz de solucionar instâncias com até 100 clientes e 6 períodos de tempo. Em relação à algoritmos aproximados, resultados eficientes são reportados nos seguintes trabalhos (Vidal et al., 2011a; Cordeau e Maischberger, 2011; Hemmelmayr et al., 2009). 4. Problema de roteamento de veículos com frota heterogênea, VRPHF do inglês vehicle
2.5. PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS 33
routing problem with heterogeneous fleet: nessa variante do VRP, clientes são associados a veículos com diferentes características: capacidade, tempo máximo em uma rota, custo fixo, entre outras (Golden et al., 1984; Baldacci et al., 2008). O algoritmo exato proposto por Baldacci e Mingozzi (2009) resolve a maioria das instância com até 75 clientes, bem como algumas instâncias com 100 clientes. Métodos heurísticos considerados estado-da-arte podem ser encontrados em (Penna et al., 2013; Brandão, 2011; Imran et al., 2009). 5. Problema de roteamento de veículos com múltiplos depósitos, MDVRP do inglês multiple
depot vehicle routing problem: no MDVRP existem múltiplos depósitos considerados. Cada veículo é associado a um depósito, que geralmente é tanto a origem quanto o destino da rota do veículo. Em algumas versões, permite-se que um veículo inicie a rota em um determinado depósito, podendo terminá-la em um depósito diferente. Questões recentes surgidas na literatura podem ser encontradas em (Ombuki-Berman e Hanshar, 2009; Vidal et al., 2011a). A melhor abordagem exata, proposta por Baldacci e Mingozzi (2009), é capaz de resolver instâncias com até 75 clientes, bem como algumas poucas instâncias com 199 clientes. Em relação à metaheurísticas, soluções com melhor qualidade foram encontradas pelos métodos apresentados por Cordeau e Maischberger (2011), Vidal et al. (2011a), Lau et al. (2010) e Pisinger e Ropke (2007).
6. Problema de roteamento de veículos com backhauls, VRPB do inglês vehicle routing pro-blem with backhauls: nessa variante do propro-blema, o conjunto de clientes é dividido em 2 subconjuntos. O primeiro subconjunto contém os clientes que requerem entrega de mer-cadorias. Já o segundo subconjunto de clientes requisitam coleta de mermer-cadorias. Dessa forma, os pontos de demanda podem ser de coleta ou entrega de produtos, sendo cada rota composta por uma junção de clientes para entrega e clientes para coleta. Outra caracterís-tica importante do VRPB é que as demandas de coleta só podem ser realizadas após todas as demandas de entrega terem sido satisfeitas (Toth e Vigo, 2002b; Parragh et al., 2008). Instâncias com até 100 clientes foram resolvidas de forma exata pelo métodos de Toth e Vigo (1997) e Mingozzi et al. (1999). As melhores metaheurísticas para o problema podem ser encontradas nos seguintes trabalhos (Ropke e Pisinger, 2006; Brandão, 2006; Gajpal e Abad, 2009; Zachariadis e Kiranoudis, 2012).
7. Problema de roteamento de veículo com coleta e entrega, VRPPD do inglês vehicle rou-ting problem with pickup and delivery: no VRPPD cada cliente possui demanda de coleta e demanda de entrega, tais demandas de coleta e entrega devem ser satisfeitas pelas ro-tas realizadas (Parragh et al., 2008; Cordeau et al., 2008; Berbeglia et al., 2010). Um exemplo clássico pode ser dado pela distribuição de bebidas, onde cada cliente requer a entrega de uma certa demanda de bebida, além da coleta dos recipientes e/ou cascos
vazios. Assim, ao efetuar a entrega das bebidas e coleta dos cascos simultaneamente tem-se grande economia nos custos de transporte. Ropke et al. (2007) propuseram um al-goritmo exato que resolveu instâncias com até 96 clientes. Nesse mesmo trabalho Ropke et al. também desenvolveram uma eficiente heurística. Outros algoritmos aproximativos desenvolvidos para o problema que merecem destaque são encontrados nos trabalhos de Bent e Van Hentenryck (2006), Parragh et al. (2010) e Nagata e Kobayashi (2011).
Em relação às metodologias de resolução, Laporte e Nobert (1987) apresentaram uma extensiva revisão sobre métodos exatos utilizados. Além disso, outras revisões, contemplando também algoritmos heurísticos, foram realizadas por Christofides et al. (1979), Fisher (1995), Toth e Vigo (1998), Golden et al. (1998), Laporte (1992), Yeun et al. (2008) e Kumar e Panne-erselvam (2012).
Mesmo existindo grande progresso no desenvolvimento de abordagens exatas, métodos heurísticos ainda são os mais utilizados para resolução do VRP. Isso pode ser justificado pelo fato de o VRP pertencer à classe dos problemas NP-difíceis. Grande parte das principais abor-dagens heurísticas desenvolvidas podem ser vistas com mais detalhes nos trabalhos (Cordeau et al., 2005; Cordeau e Laporte, 2005; Gendreau et al., 2002, 2008; Laporte, 2009; Laporte e Semet, 2002; Subramanian, 2012).