Formula¸c˜ao Forte de Caminho - Conclus˜oes e notas finais

3.5 Conclus˜oes e notas finais

4.1.2 Formula¸c˜ao Forte de Caminho

Gouveia (1998) mostra como obter um modelo exacto para o sub-problema em es- tudo nesta seçcão usando a formula¸cão ”tradicional”de fluxos para o Problema do Caminho mais Curto (não restringido no número de arcos) definida sobre um grafo expandido adequado. Naturalmente, a formula¸cão obtida desta forma domina a for- mula¸cão F Caminho. Esta subseçcão dedica-se à apresenta¸cão dum tal modelo.

Gouveia modela o Problema do Caminho mais Curto entre dois vértices com, no máximo, Q arcos usando um grafo expandido semelhante ao grafo descrito na Sec- ¸cão 3.1. Assim, o grafo proposto por Gouveia é constitu´ıdo por n´ıveis incluindo, em cada n´ıvel, uma cópia dos vértices que podem ocupar a posi¸cão que lhe está associada e, entre n´ıveis consecutivos, cópias dos arcos do grafo original. Para modelar caminhos com um número de arcos inferior ao limite máximo admitido, Gouveia inclui lacetes (i.e. arcos do tipo (jh_{, j}h+1_{)) no conjunto dos arcos do grafo. No nosso trabalho, em}

lugar dos lacetes, consideramos a existência de um vértice fict´ıcio, f , ligado a cada uma das réplicas do vértice k. Desta forma, o arco (f, k) pode ser entendido como uma representa¸cão agregada do caminho 1 - k. Esta op¸cão facilita a compara¸cão futura deste modelo com o de circuito e daquele com F P QM .

Sumariando, para cada k ∈ V0_{, consideramos um grafo expandido G}

E = (VE, AE)

constitu´ıdo por um vértice fict´ıcio no n´ıvel 0; réplicas do vértice k nos n´ıveis 1, . . . , Q; réplicas dos vértices j ∈ {2, . . . , n} nos n´ıveis 2, . . . , Q; uma réplica do vértice 1 no

n´ıvel Q + 1; arcos do vértice fict´ıcio para cada uma das réplicas de k e arcos entre réplicas de vértices distintos colocados em n´ıveis consecutivos. Um grafo expandido como o que definimos permite representar o caminho k - 1 duma qualquer solu¸cão admiss´ıvel do PRVC-PU e permite associar, a qualquer caminho f - 1 em GE, um

caminho k - 1 com, no m´aximo, Q arcos no grafo original. A Figura 4.1 procura exemplificar esta rela¸c˜ao.

1 2 3 4 5 6 7 f 2 2 3 3 5 5 6 6 7 7 1d

Nível: Nível 1 Nível 2 Nível 3

4 4 4

Figura 4.1: Uma solu¸cão do PRVC-PU para n = 7 e Q = 3 e a correspondente representa¸cão num grafo expandido do caminho cliente 4 - 1. Observamos que a uma réplica do vértice 4 numa posi¸cão p está associado um conjunto de caminhos 4 - 1 com exactamente Q−p+1 = 3−p+1 arcos (observamos que p ≥ 2 pelo que Q−p+1 ≤ Q, ficando, assim, garantidas as restri¸cões ao comprimento do caminho).

Então, seguindo a linha de argumenta¸cão usada na Seçcão 3.1, percebemos que associando uma variável binária a cada um dos arcos do grafo expandido e escrevendo a formula¸cão que designamos por formula¸cão tradicional do Problema do Caminho Mais Curto numa Rede Orientada (doravante designada por formula¸cão tradicional de caminho) obtemos uma formula¸cão estendida para o problema da determina¸cão de um caminho entre os vértices k e 1 com no máximo Q arcos sobre o grafo original.

Seja, ent˜ao, k ∈ V0 _{e considerem-se vari´aveis v}hk

ij , definidas para (i, j) ∈ A, j 6=

k, i 6= 1 e h ∈ H(i,j). H(i,j) denota, recorde-se, o conjunto das poss´ıveis posi¸c˜oes do

arco (i, j), com H(k,j) = {2, . . . , Q} se j 6= 1, H(i,1) = {Q + 1} e H(i,j) = {3, . . . , Q}

nos restantes casos.

vhk ij =

1, se o arco (i, j) ´e usado na posi¸c˜ao h do caminho k − 1. 0, c. c.

Considerem-se, também, as variáveis associadas ao vértice fict´ıcio, f , definidas para h ∈ H(f,k) = {1, ...Q} como:

vhk f k =

1, se k est´a na posi¸c˜ao h da rota que o visita. 0, c. c.

Usando este conjunto de variáveis podemos modelar o Problema do Caminho Mais Curto (não necessariamente elementar) entre os vértices k e 1 com, no máximo Q, arcos, como: X h∈H(f,k) v_{f k}hk= 1 (4.8) vhk_{f k} =X i∈V v_kih+1,k h = 1, . . . , Q (4.9) X i∈V0 v_ijhk=X i∈V v_jih+1,k j 6= k, h = 2, . . . , Q (4.10) X i∈V0 v_i1Q+1,k = 1 (4.11) X h∈H(i,j) v_ijhk≤ xij (i, j) ∈ A, i 6= 1, j 6= k (4.12) vhk_ij ∈ {0, 1} (i, j) ∈ A, i 6= 1, j 6= k, h ∈ H_(i,j) (4.13) vhk_{f k} ∈ {0, 1} h ∈ H_(f,k) (4.14)

A restri¸cão (4.8) garante que é iniciado um caminho k - 1. As restri¸cões (4.9), (4.10) e (4.11) indicam que o caminho prossegue até que seja atingido o vértice 1 na posi¸cão Q + 1. As restri¸cões (4.12) relacionam as variáveis vhk

topológicas, xij, garantindo que os arcos usados no caminho estão na solu¸cão e, final-

mente, as restri¸c˜oes (4.13) e (4.14) definem as vari´aveis.

Seja F CaminhoF ortek o modelo que acab´amos de apresentar. ´E sabido que a

o conjunto das solu¸cões admiss´ıveis da relaxa¸cão em PL da formula¸cão tradicional de caminho tem pontos extremos inteiros (a matriz dos coeficientes das restri¸cões associada àquela formula¸cão é a matriz de incidência vértice-arco do grafo de suporte da rede, que sabemos ser totalmente unimodular), pelo que F CaminhoF orteké uma

formula¸cão exacta para o Problema do Caminho Mais Curto (não necessariamente elementar) entre os vértices k e 1 com, no máximo Q arcos sobre o grafo original. Com base nesta observa¸cão, podemos, então, enunciar o resultado que relaciona os dois modelos apresentados, F Caminhok e F CaminhoF ortek:

Resultado 4.1.1

texto invis´ıvel

Seja k ∈ V0 _{e sejam CaminhoF orte}

kL e CaminhokL os conjuntos das solu¸c˜oes

admiss´ıveis de F CaminhokL e de F CaminhoF ortekL, respectivamente. Ent˜ao,

P rojy(CaminhoF ortekL) ⊆ CaminhokL.

Substituindo a restri¸cão (2.4) de F Esquema pelo sistema (4.8) - (4.14) escrito para todo k ∈ V0_{, obtemos, então, a Formula¸cão Forte de Caminho (F F orteCaminho).}

Como já foi referido, o sistema (4.8) - (4.11), (4.13) e (4.14) admite caminhos não ele- mentares. Estes são, no entanto, eliminados do conjunto das solu¸cões de F F orteCaminho pela açcão conjunta das restri¸cões de liga¸cão, (4.12), e das restri¸cões de afecta¸cão (2.2) e (2.3). Notamos, também, que (4.11) é redundante na relaxa¸cão em PL de F F orteCaminho. Todavia, considerámo-la na formula¸cão por considerarmos que a torna mais intuitiva.

F ForteCaminho : min{ X

(i,j)∈A

cijxij : (2.2), (2.3), (4.8), (4.9), (4.10), (4.11), (4.12), (4.13),

(4.14), (2.5)}

A formula¸cão F F orteCaminho é uma formula¸cão compacta com O(Qn3_{) variá-}

Conjugando o Resultado 4.1.1 com o facto das restri¸cões (2.2), (2.3) e (2.5) serem comuns às formula¸cões F Caminho e F F orteCaminho, podemos enunciar o resul- tado que estabelece a rela¸cão de dominância entre as duas formula¸cões, bem como o correspondente corolário:

Resultado 4.1.2

texto invis´ıvel

A formula¸cão F F orteCaminho domina a formula¸cão F Caminho. Corolário 4.1.1 texto invis´ıvel

texto invis´ıvel

v(F F orteCaminhoL) ≥ v(F CaminhoL).

Na Seçcão 4.5 apresentamos resultados computacionais que mostram que a rela¸cão de ”≥”deste resultado se verificou em sentido estrito em todos os casos estudados. Os resultados mostram, também, que os limites inferiores obtidos são de fraca qualidade, quando comparados com os produzidos resolvendo as relaxa¸cões em PL dos restantes modelos apresentados neste trabalho. Na próxima seçcão, introduzimos um conjunto de formula¸cões que permitem obter limites inferiores de melhor qualidade.

No documento Modelos envolvendo variáveis com dependências temporais para problemas de roteamento (páginas 97-101)