Nesta se¸c˜ao ser´a explicado a forma com que o c´odigo foi escrito para que pudesse simular de forma eficaz a evolu¸c˜ao temporal de um fluido. Em seguida, ser˜ao apresen- tados alguns exemplos que servir˜ao como testes. A unidade de medida para espa¸co ser´a f m(10−15m), e como estamos adotando a conve¸c˜ao de que c = 1 a unidade para tempo tamb´em ser´a de f m.
4.3.1 Escrevendo o C´odigo
Primeiramente, devemos ressaltar a importˆancia da escolha dos parˆametros num´ericos N ,h e dt. Onde, N ´e o n´umero de part´ıculas SPH escolhido para representar o fluido e dt ´e o tamanho do passo temporal, para este programa estamos utilizando os seguintes parˆametros num´ericos:
• h = 0, 02 • N = 5000 • dt = 0, 01
Temos que, quanto menor o passo temporal, maior precis˜ao teremos, por´em o custo computacional tamb´em aumenta. O mesmo vale para o h, por´em ao diminuir seu tamanho devemos aumentar o n´umero de part´ıculas, pois ´e necess´ario uma quantidade consider´avel de par´ıculas em cada elemento. Tendo em vista essas condi¸c˜oes, ´e necess´ario escolher os parˆametros de forma que haja uma precis˜ao boa mas que n˜ao exija tanto poder computacional.
O primeiro passo ´e definir a condi¸c˜ao inicial da entropia carregada por cada part´ıcula SPH (cada elemento de fluido). Ap´os isso, ´e feito o c´alculo da densidade de entropia e das demais grandezas termodinˆamicas. Durante a simula¸c˜ao iremos desprezar
o efeito das bordas, por conta disso elas n˜ao ser˜ao evoluidas no tempo. Al´em disso, ´e de suma importˆancia garantir que o choque n˜ao se aproxime das bordas.
Ap´os colocar esta condi¸c˜ao ´e feito o c´alculo das derivadas espaciais da velocidade e press˜ao em cada instante de tempo.Al´em disso, para aumentar a precis˜ao, cada passo temporal ´e separado em duas partes de igual tamanho.
Em seguida, ´e feito o c´alculo da derivada temporal da quadrivelocidade por meio da Eq. (4.32). Por fim, ´e calculado a nova posi¸c˜ao e velocidade de cada particula para que ent˜ao comece um novo passo temporal.
4.3.2 Exemplos
Nesta subse¸c˜ao ser˜ao apresentadas formas de solucionar alguns problemas ds hi- drodinˆamica utilizando o m´etodo de SPH. Logo em seguida, ser˜ao apresentados os dados obtidos nas simula¸c˜oes para comparar com a teoria desenvolvida ao longo dos cap´ıtulos anteriores.
4.3.2.1 Ondas de som
Primeiramente, come¸caremos com uma simula¸c˜ao de onda sonora. A condi¸c˜ao inicial escolhida foi uma pertuba¸c˜ao do tipo triangular. Coletamos dados a cada 1f m de tempo para poder montar o gr´afico que est´a ilustrado na (Figura 7).
Pode-se notar que a forma da onda foi preservada ao longo do tempo e a amplitude se mant´em constante e sendo metade da amplitude original, assim como foi previsto no cap´ıtulo.
Al´em disso, pelo gr´afico ´e possivel c´acular a velocidade da onda tendo a partir do deslocamento de seu pico no intervalo de 1f m. Podemos ver que a onda se propaga com velocidade constante e de magnitude aproximadamente 13, que ´e igual `a ∂p∂, como tamb´em foi previsto no cap´ıtulo 3. Sendo assim, concluimos que o m´etodo foi capaz simular com fidelidade a propaga¸c˜ao de uma onda sonora.
4.3.2.2 Ondas de choque
Nesta subse¸c˜ao ser´a orbordado o caso mais geral para propaga¸c˜ao de ondas em um fluido. Diferente da onda de som, que ´e uma aproxima¸c˜ao para pequenas oscila¸c˜oes, a
Figura 7: Propaga¸c˜ao de uma onda de som de formato triangular. O gr´afico mostra a densidade de entropia, normalizada pelo seu valor n˜ao perturbado.
onda de choque tˆem uma solu¸c˜ao anal´ıtica exata e apresenta maiores aplica¸c˜oes.
Diferente do caso anterior, a condi¸c˜ao inicial ser´a uma descontinuidade na origem como ilustrado na Figura 8 .
Como foi dito no cap´ıtulo anterior, por conta da descontinuidade ´e necess´ario a implementa¸c˜ao de uma viscosidade num´erica para seja poss´ıvel descrever a onda de choque com uma fun¸c˜ao cont´ınua. No m´etodo do SPH , a adi¸c˜ao desta pseudo-viscosidade faz com que o divergente da press˜ao precise ser somado de um termo Πab da seguinte forma,
∇pa = s∗a X b σb( pa s∗ a2 + pb s∗b2 + Πab) ∇W (rab, h) (4.33)
Onde o termo Π ´e referente `a essa viscosidade num´erica . Existem v´arias formas de se calcular esse termo, cada uma com suas devidas vantagens e desvantagens. Neste trabalho estaremos utilizando a seguinte f´ormula,
Πab = −αCabµab+βµa2b ρab , se vab· rab< 0; 0, se vab· rab> 0; (4.34)
Figura 8: Propaga¸c˜ao de uma onda de Choque. O gr´afico mostra a densidade de entropia, normalizada pelo seu valor antes do choque.
Sendo que,
µab =
hvab· ra− b
ra2b + η2
η2 ≈ 0.01h2, (4.35)
Onde α = 1 e β = 2. Essas constantes foram calculadas com base em diversos testes em busca dos parˆametros que melhor reproduziram resultados reais.
Temos que na Figura 9 ´e ilustrado a velocidade da onda de choque, como adotamos a conven¸c˜ao c = 1 a quadrivelocidade ´e expressa como adimensional e a velocidade ´e expressa como uma fra¸c˜ao de c. Podemos perceber que somente as part´ıculas dentro do choque tˆem suas velocidades variando, as regi˜oes suficientemente longe do choque tˆem velocidades constante.
Ap´os diversas simula¸c˜oes para diferentes tamanhos da descontinuidade foi montado um gr´afico da velocidade em fun¸c˜ao desse gap de entropia e ent˜ao comparamos com a equa¸c˜ao da velocidade do choque relativ´ıstico, Eq.(3.105) obtida no cap´ıtulo 3. O gr´afico est´a ilustrado na Figura 10.
Figura 9: Evolu¸c˜ao da Velocidade da onda de Choque
horizontal equivale `a velocidade da luz, lembrando que estamos utilizando a conven¸c˜ao de que c = 1, tde acordo com a teoria. Por´em, ´e percept´ıvel que h´a uma pequena diferen¸ca entre a fun¸c˜ao obtida num´ericamente e a obtida analiticamente.
Como estamos trabalhando com m´etodos num´ericos os resultados sempre ser˜ao aproximados. Todavia, ´e poss´ıvel minimizar esse erro aumentando o n´umero de particulas e diminuindo o fator h, ou/e diminuindo o passo temporal. Mas ambos os casos aumentam o custo computacional da simula¸c˜ao, cabe ent˜ao ao pesquisador escolher os parˆametros que lhe proporcionem o melhor custo benef´ıcio.
5 CONCLUS ˜AO E TRABALHOS FUTUROS
Nesta monografia foi possivel perceber a importˆancia da solu¸c˜ao num´erica para a hidrodinˆamica. Pois, as equa¸c˜oes obtidas, quando formulamos a mecˆanica dos flu´ıdos, s˜ao n˜ao-lineares, fazendo que existam poucas solu¸c˜oes.
Al´em disso, foi demonstrando que as ondas de choque s˜ao solu¸c˜oes exatas de on- das, sem a aproxima¸c˜ao de pequenas perturba¸c˜oes. Temos que, elas s˜ao de grande im- portˆancia para a astrof´ısica. Dois exemplos de sua aplica¸c˜ao s˜ao em supernovas e estrelas de nˆeutrons. Por´em, para uma descri¸c˜ao fiel do fenˆomeno, seria necess´ario fazer a gene- raliza¸c˜ao das equa¸c˜oes hidrodinˆamicas para o caso com dissipa¸c˜ao.
Por fim, ap´os a introdu¸c˜ao ao m´etodo SPH, pudemos comprovar sua efic´acia em resolver problemas relacionados `a mecˆanica dos flu´ıdos. Mais especificamente, no ˆambito desta monografia, realizamos simula¸c˜oes de ondas de som e de choque. Apesar da onda sonora ser uma aproxima¸c˜ao, sua simula¸c˜ao serviu ao intuito de testar o c´odigo cons- tru´ıdo. Como em ambos os casos os resultados obtidos est˜ao de acordo com a previs˜ao te´orica, podemos concluir que metodologia utilizada para a elabora¸c˜ao do programa ´e eficaz. Tendo isso em vista, ´e possivel, utilizando este programa como base, fazer uma generaliza¸c˜ao do c´odigo para resolver problemas al´em da hidrodinˆamica ideal.
Em um futuro trabalho seria possivel, com a implementa¸c˜ao das equa¸c˜oes do SPH com dissipa¸c˜ao, descrever fenˆomemos mais complexos. Como j´a foi dito anteriormente, essa metodologia ´e extremamente eficaz em resolver problemas de astrof´ısica, por conta disto um dos mais prov´aveis trabalhos futuros seria a descri¸c˜ao de uma onda de choque emitida na forma¸c˜ao de uma estrela de nˆeutrons. Por´em, tamb´em seria possivel aplicar para uma caso de f´ısica de particulas pois, como foi explicado pelo Landau,logo ap´os o choque entre dois ´ıons, o sistema se comporta como um fluido at´e termalizar.
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