Hidrodinâmica Relativística

(1)

Bacharel em F´ısica

Solu¸

c˜

oes Num´

ericas de

Hidrodinˆ

amica Relativ´ıstica

Trabalho de Conclus˜

ao de Curso de Gradua¸c˜

ao

por

Davi Dion´ısio de Oliveira

Orientador: Gabriel Silveira Denicol

(2)

Solu¸cões Numéricas de Hidrodinâmica Relativ´ıstica

Monografia apresentada ao Bacharel em F´ısica, como requisito parcial para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de Bacharel em F´ısica, Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Gabriel Silveira Denicol

Niter´oi 2020

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Bibliotecário responsável: Mario Henrique de Oliveira Castro - CRB7/6155

Soluções Numéricas de Hidrodinâmica Relativística . / Davi Dionísio de Oliveira ; Gabriel Silveira Denicol, orientador. Niterói, 2019.

59 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2019.

1. Hidrodinâmica Relativística. 2. Hidrodinâmica Newtoniana. 3. Hidrodinâmica Numérica. 4. Método SPH. 5. Produção intelectual. I. Denicol, Gabriel Silveira,

orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física. III. Título.

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-Primeiramente, gostaria de agradecer `a minha fam´ılia, pelo suporte ao longo de minha jornada.

Agrade¸co ao meu orientador Gabriel Silveira Denicol, por todo suporte e paciˆencia na elabora¸c˜ao deste trabalho .

Agrade¸co `a todo corpo docente da UFF, pelo ensino de alta qualidade, e pela dedica¸c˜ao com os alunos.

Por fim, agrade¸co `a minha melhor amiga Thayn´a Cabral que me incentivou a seguir meu sonho de fazer F´ısica e me apoiou nos momentos mais dif´ıceis.

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O objetivo desta monografia é desenvolver os conhecimentos relacionados à hidrodinâmica relativ´ıstica, além de propor métodos númericos para solucionar suas equa¸cões. Temos que, a importância de estudar tal área da f´ısica é que muitos fenômenos são descritos através da mecânica dos fluidos, como supernovas, estrelas de nêutrons etc. Porém suas equa¸cões muitas vezes não têm solu¸cão anal´ıtica. Neste trabalho serão deduzidas as equa¸cões da mecânica dos flu´ıdos para o regime Newtoniano e depois faremos a genera-liza¸cão relativ´ıstica para as mesmas. Então, a partir das equa¸cões encontradas, abordare-mos duas aplica¸cões para elas que são a propaga¸cão da onda de som onda de choque. Por fim, será introduzido o método númerico SPH ,que permite encontrar a solu¸cão destas equa¸cões e simular seus fenômenos. Então serão apresentados os resultados obtidos a partir de simula¸cões computacionais, utilizando este método,para testar sua eficácia.

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The main goal of this monograph is to improve the knowledge of relativity hydrody-namics,besides to propose numerical methods to solve yours problems. The importance of this study is the description of several phenomena in psychics like supernova, shock wave etc, however yours equations usually haven’t analytic solution. In this work the fluid mechanics’ basic equations ’ll be deduced and we ’ll find yours relativity’s generali-sation. Following, we ’ll see two applications for these expressions, the shock wave and the sound wave. Then, ’ll be introduced the numerical method Smoothed-particle hydrody-namics(SPH), that allow us to find the solutions for the problems in hydrodynamics and simulate her phenomena. Finally, ’ll be shown the results of computational’s simulation, using the SPH, for test his efficiency.

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Figura 1 Diagrama de um Volume de controle de formato gen´erico [5]. . . 11

Figura 2 For¸cas externas atuando sobre um elemento de fluido infinitesimal de forma c´ubica [6]. . . 13

Figura 3 Posi¸c˜ao do elemento de fluido ao longo do tempo [7] . . . 14

Figura 4 Esquema ilustrando a transformada de Galileu . . . 19

Figura 5 Diagrama ilustrando a contra¸c˜ao de Lorentz [3]. . . 22

Figura 6 Exemplo Onda de Choque [8]. . . 35

Figura 7 Propaga¸cão de uma onda de som de formato triangular. O gráfico mostra a densidade de entropia, normalizada pelo seu valor não perturbado. . . 54

Figura 8 Propaga¸c˜ao de uma onda de Choque. O gr´afico mostra a densidade de entropia, normalizada pelo seu valor antes do choque. . . 55

Figura 9 Evolu¸c˜ao da Velocidade da onda de Choque . . . 56

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 9

2 MEC ˆANICA DOS FLUIDOS . . . 10

2.1 Fluidos ideiais . . . 10

2.1.1 Equa¸c˜ao da Continuidade . . . 10

2.1.2 Equa¸c˜ao de Euler . . . 12

2.1.3 Nota¸c˜ao Tensorial . . . 15

2.2 Fluidos viscosos . . . 16

2.3 Mecˆanica dos Fluidos Relativ´ıstica . . . 18

2.3.1 Leis de Conserva¸c˜ao . . . 23

2.3.2 Equa¸c˜ao de movimento para densidade energia. . . 25

2.3.3 Equa¸c˜ao de movimento para Quadrivelocidade . . . 26

3 ONDAS SOM E CHOQUE . . . 29

3.1 Ondas de Som . . . 29

3.1.1 Ondas sonoras no regime N˜ao-relativist´ıco . . . 29

3.1.1.1 Onda de Som Relativ´ıstica . . . 30

3.1.2 Propaga¸c˜ao de ondas de som . . . 32

3.2 Ondas de Choque . . . 34

3.2.1 Ondas de Choque N˜ao-Relativ´ıstica . . . 35

3.2.1.1 Solu¸c˜ao anal´ıtica para gases ideais . . . 38

3.2.1.2 Velocidade do Choque n˜ao-relativistico . . . 40

3.2.2 Ondas de Choque Relativ´ıstica . . . 41

3.2.2.1 Velocidade do choque relativ´ıstico . . . 43

4 M´ETODO SPH . . . 46

4.0.1 Equa¸c˜oes B´asicas do SPH . . . 46

4.0.2 Equa¸c˜oes de Movimento . . . 47

4.1 Equa¸c˜ao de estado . . . 50

4.2 Equa¸c˜ao de movimento para o caso unidimensional . . . 50

(11)

4.3.2.1 Ondas de som . . . 53 4.3.2.2 Ondas de choque . . . 53 5 CONCLUS ˜AO E TRABALHOS FUTUROS . . . 58

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A hidrodinâmica é uma teoria de suma importância é diversas áreas da f´ısica, como na astrof´ısica onde podemos descrever a onda de choque emitida no nascimento de uma supernova, ou na f´ısica de part´ıculas onde a colisão de 2 ´ıons pesados é descrita como um fluido. Este trabalho têm como objetivo introduzir os conceitos básicos de hidrodinâmica, além de discutir métodos númericos para resolver as equa¸cões encontradas.

Come¸caremos com a dedu¸cão das equa¸cões básicas para a Hidrodinâmica Newtoni-ana. Para o caso ideal, um fluido com viscosidade desprez´ıvel, partiremos da conserva¸cão e da aplica¸cão da segunda lei de Newton para um elemento de fluido para encontrar tais equa¸cões. Já para um fluido real, será feita a generaliza¸cão das equa¸cões obtidas, levando em conta os termos de viscosidade.

Em seguida, será feita a generaliza¸cão relativistica para a mecânica dos fluidos ideal. Nesta monografia, nós nos restringiremos ao caso ideal para a mecânica dos fluidos relativ´ıstica, por conta da instabilidade das equa¸cões com termos referentes à dissipa¸cão. Então, procuraremos solu¸cões das equa¸cões da hidrodinâmica que satisfa¸cam à equa¸cão de onda. Encontraremos dois casos em que ela é satisfeita. O primeiro é referente `

a onda de som, todavia este caso é uma aproxima¸cão que só vale no regime de pequenas oscila¸cões. Já o segundo caso é referente às ondas de choque, que são causadas por conta de descontinuidades de grandezas termodinâmicas (como pressão, densidade de energia, entre outras) no sistema. Temos que o segundo caso é de maior interesse , pois suas solu¸cões são exatas e valem em qualquer regime. Um dos exemplos de sua aplica¸cão é na descri¸cão da forma¸cão de estrelas de Nêutrons, que emitem ondas de choque nos processos explosivos que levam à sua forma¸cão.

Por fim, como as equa¸cões da hidrodinâmica não são lineares em geral não terão solu¸cão anal´ıtica, por conta disso buscamos solu¸cões numéricas. Então, será introduzido um método numérico que permite a solu¸cão destas equa¸cões, conhecido como Smoothed particle hydrodynamics (SPH) que é muito utilizado na área de astrof´ısica. Tal modelo consiste em descrever as intera¸cões entre as particulas do sistema e formas de interpola¸cão para transformar as equa¸cões não lineares em equa¸cões ordinárias. E então, faremos simula¸cões computacionais das ondas de som e de choque com o intuito praticar formas de encontrar solu¸cões numéricas na f´ısica.

(13)

2 MEC ˆANICA DOS FLUIDOS

Neste cap´ıtulo serão apresentados os conceitos básicos referentes à mecânica dos fluidos, que são imprescind´ıveis para a compreensão e modelagem de ondas de choque.

Para esta monografia, é suficiente considerar um fluido como um conjunto de mui-tas part´ıculas (em princ´ıpio, o número de part´ıculas é considerado como infinito, de tal modo que podemos supor que o limite termodinâmico é satisfeito) que, observado sob es-calas macroscópicas, pode ser efetivamente descrito como um sistema continuo e usando poucos graus de liberdade. Nas se¸cões abaixo, descreveremos como obter as equa¸cões de movimento para tais fluidos.

2.1 Fluidos ideiais

Fluidos ideais correspondem a uma simplifica¸cão na qual cada elemento de fluido pode ser considerado como sempre estando em equil´ıbrio termodinâmico, de tal modo que trocas de calor e outros fenômenos fora do equil´ıbrio podem ser sempre desprezados. Além disso, um conceito importante para os fluidos é o de viscosidade, que quantifica o atrito interno que um elemento de fluido exerce sobre outro, ela é responsável pelas for¸cas de cisalhamento quando os elementos de fluido estão em movimento. Quando consideramos um fluido como ideal, estas for¸cas de cisalhamento são efetivamente ignoradas. Na prática, isto é equivalente à considerar o limite de viscosidade nula.

2.1.1 Equa¸c˜ao da Continuidade

Na descri¸cão de sistemas macroscópicos, quantidades conservadas exercem um pa-pel fundamental. Quando uma quantidade é conservada, podemos estabelecar uma rela¸cão entre a varia¸cão no tempo de uma determinada grandeza conservada em um volume fe-chado com o fluxo associado à densidade de corrente associada à quantidade conservada passando pelo mesmo volume.

Abaixo, vamos considerar a quantidade conservada como sendo a massa, pois é a quantidade mais útil para usar em uma descri¸cão hidrodinâmica não-relativ´ıstica. Ainda assim, enfatizamos que as demonstra¸cão abaixo valem para qualquer quantidade conser-vada.

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Figura 1: Diagrama de um Volume de controle de formato gen´erico [5].

Consideramos que a massa de um elemento de fluido em um determinado volume V delimitado por uma superf´ıcie ∂V ´e,

Z

ρ dV, (2.1)

onde ρ é a densidade de massa do fluido. A varia¸cão de massa com o tempo no volume de controle é a devirada temporal da massa total,

dM dt = d dt Z ρ dV = Z _∂ρ ∂tdV, (2.2) A quantidade dM

dt é análoga à corrente elétrica, quando a quantidade conservada é a carga

el´etrica. Naturalmente, a corrente de massa pode ser descrita em termos do fluxo de uma densidade de corrente de massa, que aqui chamaremos de j. Considerando fluidos ideais, podemos expressar a densidade de corrente como,

j = vρ. (2.3)

onde v ´e a velocidade do elemento de fluido.

O fluxo de j atravessando a superf´ıcie ∂V ´e dada pela seguinte integral,

− I

j · dS, (2.4)

(15)

superf´ıcie, de tal modo que o produto escalar j · dS ´e negativo se a densidade de corrente de massa estiver entrando no volume e positivo se estiver saindo. Tal esquema est´a representado na Figura 1.

Utilizando o teorema de Gauss, podemos escrever o fluxo de um campo atraves-sando um superf´ıcie fechada como a integral da divergˆencia do campo no volume inteiro, isto ´e,

I

j · dS = Z

∇ · j dV, (2.5)

Finalmente, igualando as duas express˜oes obtidas para vaz˜ao massica, Z

∂ρ

∂t dV = − Z

∇ · j dV, (2.6)

Como a expressão acima foi obtida para um elemento de volume arbitrário, para a igual-dade seja sempre verigual-dadeira, os integrandos têm de ser iguais. Com isso, obtemos uma equa¸cão diferencial parcial, que relaciona as densidades de massa e de corrente de massa,

∂ρ

∂t + ∇ · j = 0, (2.7)

A equa¸cão acima é chamada de equa¸cão de continuidade e é uma representa¸cão diferencial de uma lei de conserva¸cão.

Na f´ısica há diversos exemplos de equa¸cões da continuidade, como para carga ou momento linear. Notamos que a demonstra¸cão acima foi desenvolvida para uma grandeza conservada escalar. Se a grandeza conservada for um tensor de ranque n, a única mo-dica¸cão é que seu fluxo não será mais um tensor de ranque (um vetor) e sim um tensor de ranque n+1.

2.1.2 Equa¸c˜ao de Euler

O próximo passo é encontrar as equa¸cões dinâmicas para um elemento de fluido. Elementos de fluidos também satisfazem as leis de Newton, de tal modo que, se deseja-mos encontrar a acelera¸cão de um elemento de fluido, devemos primeiro calcular a for¸ca resultante que atua sobre ele. No nosso caso, tais for¸cas podem ser for¸cas externas, como a gravidade ou a for¸ca eletromagnética, ou as próprias for¸cas que os elementos de fluido

(16)

Figura 2: For¸cas externas atuando sobre um elemento de fluido infinitesimal de forma c´ubica [6].

exercem um no outro. Abaixo, vamos desprezar as for¸cas externas e considerar somente as for¸cas internas exercidas pelos elementos de fluidos.

Inicialmente, consideraremos apenas fluidos ideiais, nos quais podemos desprezar as for¸cas tangenciais (for¸cas de atrito) entre elementos de fluido. Nesse caso, apenas for¸cas normais são exercidas, que podem ser descritas pela pressão.Sem perder a generalidade, podemos considerar elementos de fluido infinitesimais de forma cúbica. Nesse caso, a for¸ca externa resultante atuando sobre o elemento de fluido na dire¸cão x é,

dFx = p(x, y, z) dydz − p(x + dx, y, z) dydz, (2.8)

Conforme ilustrado na Figura 2. Expandindo o segundo termo em Serie de Taylor obter-mos,

dFx = −

∂p

∂xdxdydz, (2.9)

o mesmo racioc´ınio pode ser aplicado para as demais dire¸cões, isto é, as dire¸cões y e z. Deste modo, usando a segunda lei de Newton leva à seguinte equa¸cão,

dm a = dFresult = −∇p dV, (2.10)

onde dm é a massa infinitesimal do elemento de fluido em questão e dV = dxdydz seu volume infinitesimal. Usando que a densidade de massa é dada pela razão ρ = dm/dV , obtemos a conhecida equa¸cão de Euler,

(17)

Figura 3: Posi¸c˜ao do elemento de fluido ao longo do tempo [7]

ρdv

dt = −∇p. (2.11)

´

E comum substituir a derivada total da velocidade utilizando a regra da cadeia, pois a posi¸cão do elemento do fluido também varia com o tempo (como ilustrado na Figura 3), d dtv(t, r(t)) = ∂v ∂t + dr dt · ∇ v = ∂v ∂t + (v · ∇) v, (2.12) de tal modo que expressamos a equa¸cão de Euler na sua forma mais tradicional,

∂v

∂t + (v · ∇) v = − 1

ρ∇p. (2.13)

A equa¸cão de Euler é uma equa¸cão não linear e com raras solu¸cões anal´ıticas. Desta forma, ela é comumente resolvida utilizando técnicas computacionais, como demonstrare-mos mais tarde nesta monografia. Note que a equa¸cão de Euler somente pode ser resolvida, se a pressão puder ser especificada em termos da densidade de massa, p = p(ρ). Nesse caso, a equa¸cão de Euler pode ser resolvida acoplada à equa¸cão de continuidade para a massa, Eq. (2.7). Naturalmente, para resolver estas equa¸cões acopladas é necessário fornecer uma condi¸cão inicial para a densidade de massa e para o campo de velocidades.

(18)

2.1.3 Nota¸c˜ao Tensorial

Nesta subse¸cão definimos a nota¸cão para tensores que será utilizada neste trabalho e iremos reescrever as equa¸cões anteriores. Temos então as seguintes nota¸cões,

∂t = ∂ ∂t ∂i = ∂ ∂xi ∂iFi = ∇ · F ∂iA = (∇A)i. (2.14)

Além disso, utilizamos a nota¸cão de Einstein, na qual ´ındices repetidos estão sempre sendo somados,

N

X

i=1

aibi ≡ aibi. (2.15)

Nesta monografia, os ´ındices romanos correm de 1 `a 3.

Nesta nota¸c˜ao, temos que as equa¸c˜ao de continuidade(2.7) e a de Euler(2.13) tornam-se, respectivamente,

∂tρ = −∂kjk. (2.16)

∂tvi = −vk∂kvi−

1

ρ∂ip. (2.17)

A seguir, demonstraremos que a equa¸cão de Euler pode ser reescrita na forma de uma equa¸cão de continuidade. Neste caso, veremos que a equa¸cão de Euler nada mais é do que uma equa¸cão de continuidade relacionada à conserva¸cão de momento linear. Aplicando a regra do produto da derivada temos,

ρ∂tvi = ∂t(ρvi) − vi∂tρ = ∂t(ρvi) + vi∂j(ρvj), (2.18)

onde utilizamos a equa¸c˜ao de continuidade para a densidade de massa e a express˜ao para a densidade de corrente, ji = ρvi. Nesse sentido, podemos provar que a derivada total da

velocidade (multiplicada pela densidade de massa) pode ser expressa como,

(19)

Note que a expressão acima já possui uma forma bem semelhante à de uma equa¸cão de continuidade. Expressando a i-ésima componente do gradiente de pressão como,

∂ip = ∂j(pδij), (2.20)

onde δij ´e a delta de Kroenecker, que satisfaz as seguintes propriedades,

δij =      0, se i 6= j; 1, se i = j;

Finalmente, expressamos a equa¸c˜ao de Euler como,

∂t(ρvi) + ∂j(ρvjvi+ pδij) = 0, (2.21)

e, definindo o tensor Πij como,

Πij = pδij + ρvivj.. (2.22)

Nesse caso, temos que a equa¸c˜ao de Euler pode ser escrita explicitamente na forma de uma equa¸c˜ao de continuidade

∂t(ρvi) + ∂j(Πij) = 0. (2.23)

Portanto, identificamos ρvi como a densidade associada `a quantidade conservada (nesse

caso, é a i-ésima componente da densidade de momento do fluido) e Πij é a densidade de

corrente de momento. Como o momento ´e um vetor, a densidade de corrente de momento tem de ser um tensor de ranque 2. Em particular, interpretamos Πij como a j-´esima

componente da densidade de corrente da component i de momento.

2.2 Fluidos viscosos

Apesar de nesta monografia estarmos nos restringindo à descri¸cão de fluidos consi-derados ideais, este conceito é idealizado e não existe na realidade. Para uma abordagem mais condizente com a realiadade é necessario levar em considera¸cão as for¸cas de cisalha-mento entre os elecisalha-mentos de fluido no sistema.

(20)

Para obter as equa¸c˜oes de movimento para este caso precisamos generalizar o tensor das tens˜oes, incluindo na densidade de corrente de momento os termos associadas `

a dissipa¸c˜ao. Vamos supor que, para um fluido n˜ao ideal, seu tensor Πij seja o tensor do

caso ideal, mas corrigido por um termo σi0j que está relacionado às tensões de cisalhamento,

que ´e a for¸ca que um elemento de fluido realiza em outro quando ocorre o movimento.

Πij = pδij + ρvivk. − σik0

Πij = −σij+ ρvivk, (2.24)

No qual

σik = −pδij+ σik0 . (2.25)

O tensor σ0 é o tensor das tensões do fluido, que está relacionado à tranferência de mo-mento sem a transferência de massa. Como este tensor está relacionado ao atrito entre os elementos de fluido, podemos supor que ele é uma fun¸cão da velocidade relativa entre os elementos de fluido. Nesse caso, este tensor deve depender de gradientes da velocidade, que quantificam a varia¸cão de velocidade entre elementos de fluidos. Em uma primeira aproxima¸cão, será feita a suposi¸cão de uma dependência linear com gradientes de veloci-dade. Esta aproxima¸cão será boa no limite em que as derivadas espaciais da velocidade não são muito grandes. Tal suposi¸cão, que também pode ser chamada de ansatz, pelo menos garante que os termos relacionados à σ0 se anulam para os casos de velocidade constante ou de movimento circular uniforme. O tensor mais geral que é compativel com essas caracterist´ıcas é:

σ_ij0 = η(∂jvi+ ∂ivj −

2

3δij∂kvk) + ζδij∂kvk. (2.26) Expresso desta forma para separar em uma parte com tra¸co e uma parte sem tra¸co. Sua derivada ´e,

∂iσij0 = −∂ip + ∂kη(∂kvi+ ∂ivk−

2

3δik∂lvl) + ∂i(ζ∂lvl), (2.27) Onde as variavéis η e ζ, introduzidas na equa¸cão acima, são constantes positivas inde-pendentes da velocidade e relacionadas à viscosidade do fluido. Para obter as equa¸cões de movimento basta acrescentar o termo de viscosidade na equa¸cão de Euler

(21)

ρ(∂tvi+ vk∂kvi) = −∂ip + ∂kη(∂kvi+ ∂ivk−

2

3δik∂lvl) + ∂i(ζ∂lvl), (2.28) esta é a forma mais geral da equa¸cão de movimento para um fluido viscoso, mas é poss´ıvel fazer aproxima¸cões que simplifiquem essa fórmula. Assumindo que esses coeficientes de viscosidade são constantes obtemos a equa¸cão de Navier-stokes

ρ(∂tvi+ vk∂kvi) = −∂ip + η∂k ∂kvi + ∂ivk− 2 3δik∂lvl + ζ∂i(∂lvl). (2.29)

Esta equa¸cão não é linear, por conta disto existem poucas solu¸cão anal´ıticas. Além disso, ela viola a causalidade mas isto é irrelevante no regime Newtoniano. Por fim, sua generaliza¸cão relativ´ıstica é instável. Sendo assim, na próxima se¸cão será feita a generaliza¸cão relativ´ıstica apenas para as equa¸cões hidrodinâmicas para fluidos ideais.

2.3 Mecˆanica dos Fluidos Relativ´ıstica

Nesta parte do trabalho será abordada a formula¸cão relativ´ıstica da mecânica dos fluidos. Estaremos trabalhando com a relatividade restrita e não com a relatividade geral. Nesta se¸cão, faremos uma breve revisão de relatividade especial.

Os dois postulados que Einstein propôs que servem de base para está teoria são:

1 – As leis da F´ısica s˜ao as mesmas em todos os referˆenciais Inerciais.

2 – Constˆancia da Velocidade da Luz.

O principal objetivo deste capitulo é escrever as leis de conserva¸cão e as equa¸cões de movimento no formato tensorial. Pois, assim elas serão invariantes ao trocarmos de referêncial.

Na mecânica Newtoniana, a troca de referenciais é mediada pela transformada de Galileu, como ilustrado na Figura 4, onde adotamos a conven¸cão de que termos com ’ estão se referindo ao referencial em movimento e os termos sem ’ estão se referindo ao referencial em repouso,

(22)

Figura 4: Esquema ilustrando a transformada de Galileu

t0 = t (2.30)

r’ = r + vt. (2.31)

onde v ´e a velocidade relativa entre os referenciais.

Todavia, está transforma¸cão não está de acordo com o segundo postulado de Eins-tein, já que ela não mantêm o módulo da velocidade da luz constante ao trocar de re-ferencial. A nova transforma¸cão que será responsável pela troca de referenciais e que preservará a constância da velocidade da luz é conhecida como transforma¸cão de Lorentz Λµ_ν [3], Λµ_ν ≡            γ −β1γ −β2γ −β3γ −β1γ 1 + (γ − 1) β2 1 β2γ (γ − 1) β1β2 β2 (γ − 1) β1β3 β2 −β2γ (γ − 1)β1_ββ22γ 1 + (γ − 1) β2 2 β2γ (γ − 1) β2β3 β2 −β3γ (γ − 1)β_β1β23 (γ − 1) β2β3 β2 1 + (γ − 1) β2 3 β2γ .            (2.32)

Sendo que, os ´ındices 1, 2, 3 se referem ,respectivamente, à coordenadas espaciais x, y, z . Além disso o fator gamma é definido como,

γ ≡ 1

[1 − β2_]12

, (2.33)

onde β ´e definido por,

β ≡ v

c (2.34)

βi =

vi

(23)

sendo que v continua sendo a velocidade relativa entre os referenciais.

´

E comum orientar os eixos das coordenadas do sistema de forma que a velocidade associada à transforma¸cão fique alinhada com um dos eixos (no exemplo abaixo, o eixo-x), assim simplificando a transforma¸cão de Lorentz. A mesma, neste caso, torna-se :

Λµ_ν =         γ −βγ 0 0 −βγ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         . (2.36)

Uma consequência desta transformada é que o tempo também é afetado pela mu-dan¸ca de referencial. Assim, espa¸co e tempo estão relacionados e é conveniente definir um novo objeto matemático, chamado de quadrivetor, xµ _{= (ct, r), sendo c a magnitude}

da velocidade da luz. Deste modo, a transforma¸c˜ao de coordenadas entre dois referen-ciais inerreferen-ciais (que se movem com velocidade relativa v) pode ser expresso pela seguinte rela¸c˜ao,

x0µ = Λµ_νxν. (2.37)

Toda quantidade que se transforma do mesmo modo que xµ _{em uma mudan¸ca de}

referencial ´e chamada de quadrivetor. De maneira similar, quantidades que se transfor-mam [4],

A0µν = Λµ_αΛν_βAαβ, (2.38) são tensores de ranque 2. De maneira análoga, podemos definir tensores de ranque 3 ou mais. Neste trabalho, utilizaremos a conven¸cão de que ´ındices com letras gregas assumem os valores de 0,1,2,3 enquanto os ´ındices com letras romanas assumem somente os valores de 1,2,3.

Existem 2 tipos de 4-vetores: (i) contravariantes, que acabamos de definir, Aµ_{, e}

(ii) covariantes, definidos pela rela¸c˜ao Aµ = gµνAν. Na defini¸c˜ao ao lado, introduzimos

a métrica gµν que, na nossa conven¸cão, é dada por gµν ≡ diag(1, −1, −1, −1). Como

definimos, 4-vetores contravariantes são expressos com ´ındice em cima enquanto 4-vetores covariantes são expressos com ´ındice em baixo. Um exemplo notório de 4-vetor covariante

(24)

´e formado pelas derivadas temporais e espaciais da seguinte forma, ∂µ ≡ 1 c∂t, ∇ . (2.39)

Note que, quando o ´ındice ´e colocado em cima (4-vetor contravariante), o 4-vetor se trans-forma utilizando a matriz de Lorentz direta. Caso o ´ındice seja colocado em baixo (4-vetor covariante) ele se transformar´a mediado pela matriz de Lorentz inversa.

Um 4-vetor muito importante para a descri¸cão hidrodinâmica relativ´ıstica é a 4-velocidade ou quadri4-velocidade usualmente representada pela letra u,

uµ≡ dx

µ

dτ , (2.40)

onde τ ´e o tempo pr´oprio. A quadri-velocidade apresenta as seguintes propriedades,

ui = γdx i dt = γv i (2.41) u0 = γc, (2.42)

ou seja, as componentes espacias da quadrivelocidade não são representadas pela velo-cidade em si, mas pelo produto da velovelo-cidade com o fator γ. A componente zero deste quadrivetor é o próprio fator γ multiplicado pelo módulo da velocidade da luz.

Note que a quadrivelocidade ´e normalizada, no sentido que,

uµuµ= 1, (2.43)

e satisfaz a seguinte rela¸c˜ao de ortonogalidade,

uν∂µuν = 0, (2.44)

´

E tamb´em ´util definir a derivada total relativ´ıstica

uµ∂µ ≡

d dτ = γ

d

dt, (2.45)

(25)

Figura 5: Diagrama ilustrando a contra¸c˜ao de Lorentz [3].

Além da quadrivelocidade outro 4-vetor de grande importãncia para este trabalho é o quadrimomento que têm a seguinte forma:

Pµ= E c, p

. (2.46)

Onde E se refere à energia e p ao momento. Assim, energia e momento estão relacionados de forma semelhante à forma que espa¸co e tempo. Pois, agora não são mais grandezas independentes e sim componentes de um 4-vetor.

´

E conhecido que a troca de referêncial causa uma dilata¸cão temporal e uma con-tra¸cão espacial, conhecida como contra¸cão de lorentz. Por conta disto temos que a den-sidade de particulas não pode ser um invariante sob transforma¸cões de Lorentz, como ilustrado na Figura 5.

Na verdade, a densidade de uma quantidade conservada e a sua respectiva densi-dade de corrente devem formar um quadrivetor. Um ansatz simples que pode ser usado ´e o do produto da densidade da quantidade conservada, n, multiplicado pela quadrivelo-cidade, uµ,

jµ= nuµ. (2.47)

Nesse caso, a densidade da quantidade conservada em um referencial arbitrário é γn, evidenciando os efeitos da contra¸cão de Lorentz na densidade, enquanto a densidade de corrente é dada por γnv.

Temos que na relatividade o c´alculo para soma de velocidades muda, pois a vers˜ao Newtoniana v0 = v + W pode violar o segundo postulado da relatividade geral. Onde v

(26)

e v0 são as velocidades de dois referênciais vistas de um de um terceiro referêncial e W é a velocidade relativa entre os 2 referências observados.

Para deduzir a soma de velocidades relativistica vamos partir da transforma¸cão de lorentz para calcular a vari¸cão de tempo e espa¸co, para o caso de velocidade em apenas uma dire¸cão, como :

dx0 = γ(dx − vdt) (2.48) dt0 = γ dt − v c2dx . (2.49)

Temos que a velocidade v0 = dx_dt00 e v = dx_dt, logo podemos reesccrever a soma de velocidades relativistica como, [3]

v0 = v − W 1 − W v_c2

. (2.50)

Neste trabalho estaremos utilizando a conven¸c˜ao de c = 1.Por conta disso ele ser´a omitido a partir de agora.

2.3.1 Leis de Conserva¸c˜ao

Vimos nas se¸cões passadas, que as equa¸cões da hidrodinâmica ideal são essenci-almente compostas por equa¸cões de continuidade. Equa¸cões de continuidade são consis-tentes com a relatividade, pois o conceito de quantidade conservada é universal e não é afetado pelas mudan¸cas impostas por Einstein à mecânica Newtoniana. Deste modo, deveria ser poss´ıvel expressar a equa¸cão de continuidade para uma quantidade conservada escalar em uma forma explicitamente covariante, i.e. em termos de quadrivetores.De fato, a equa¸cão de continuidade pode ser expressa como,

∂µjµ= 0, (2.51)

onde jµ _´_{e um quadrivetor composto pela densidade da quantidade conservada, n, e sua}

respectiva densidade de corrente, j, como discutido na se¸c˜ao anterior. Isto ´e,

jµ = (n, j). (2.52)

(27)

uti-lizada como quantidade conservada, pois ela pode ser convertida em energia. O próprio número de part´ıcula não é conservado, pois é permitido produzir part´ıculas do vácuo, pela energia do campo. Nesse sentido, as quantidades escalares realmente conservadas na F´ısica são as cargas elétrica, bariônica, dentre outras.

A equa¸cão de movimento para fluidos, dada pela equa¸cão de Euler, nada mais é do que uma manisfeta¸cão da lei de conserva¸cão de momento linear. Esta lei de conserva¸cão não está expressa em termos de uma igualdade entre quadrivetores (ou entre tensores, no sentido da transforma¸cão de Lorentz) e tem de ser generalizada. Da mesma forma que no caso Newtoniano temos o tensor Πij, que representa a densidade de corrente de momento

linear, será definido um tensor que têm o mesmo papel e que se transforme como um tensor por transforma¸cões de Lorentz.

Sabemos que energia e momento não são quantidades independentes na relativi-dade, de tal modo que se transformam conjuntamente sob transforma¸cões de Lorentz (formando um quadrivetor). De maneira similar, esperamos que as leis de conserva¸cão de energia e momento, na relatividade, não apare¸cam como equa¸cões de continuidade distintas, como no caso não relativ´ıstico, mas componham uma mesma equa¸cão. Para isso, definimos um tensor de ranque 2, chamado de tensor de Energia-Momento, Tµν_{, tal}

que a lei de conserva¸c˜ao de energia e de momento possam ser expressas unicamente pela seguinte equa¸c˜ao de continuidade,

∂µTµν = 0. (2.53)

Nesse caso, a componente ν = 0 representa a conserva¸c˜ao de energia e as componentes espaciais, ν = 1, 2, 3 representam a conserva¸c˜ao de momento. Desse modo, interpretamos as componentes deste tensor da seguinte forma:

T00 como a densidade de energia,

Ti0 _{como a i-´}_{esima componente da densidade de corrente de energia,}

T0i como a i-´esima componente da densidade de momento,

Tj i _{como a j-´}_{esima componente da densidade de corrente da i-´}_{esima componente}

do momento.

Para o caso de um fluido ideal, Tµν _{pode ser encontrado como uma generaliza¸c˜}_ao

(28)

Tµν = ( + p)uµuν − gµνp, (2.54) onde é a densidade de energia do fluido, P é a pressão termodinâmica, u a quadrive-locidade e gµν é a métrica. Neste trabalho, vamos adotar uma nota¸cão diferente para

a métrica comumente usada em espa¸cos plano, a métrica Minkowski, que aqui chamare-mos de ηµ nu. Este ansatz garante que o fluido está em equil´ıbrio termodinâmico no seu

referencial de repouso.

Note que, na forma matricial, o tensor T adquire a seguinte forma no seu referencial de repouso, Tµν =         0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p         . (2.55)

que representa exatamente as densidades de energia e momento e suas respectivas densi-dades de corrente em equil´ıbrio termodinâmico. Assim como antes, a pressão satisfaz um equa¸cão de estado, P = P (n, ).

´

E conveniente definir um operador de proje¸c˜ao ao subspa¸co ortogonal `a quadrive-locidade, ∆µν_{, como,}

∆µν ≡ ηµν_{− u}µ_uν_, _(2.56)

Como este operador retorna apenas a parte ortogonal `a quadrivelocidade, ao aplicarmos o mesmo na pr´opria quadrivelocidade ele retorna 0,

∆µνuν = 0. (2.57)

Assim, podemos reescrever o Tensor energia momento em fun¸c˜ao deste operador

Tµν = uµuν− ∆µνp. (2.58)

2.3.2 Equa¸c˜ao de movimento para densidade energia ´

E conveniente decompor a equa¸cão de conituidade associada à conserva¸cão de ener-gia e momento, (2.53), em uma componente paralela e outra ortogonal à quadrivelocidade.

(29)

A componente paralela ser´a obtida nesta se¸c˜ao da seguinte forma,

uν∂µTµν = 0. (2.59)

A partir da regra do produto encontramos a seguinte rela¸c˜ao,

∂µ(uνTµν) = uν∂µTµν+ Tµν∂µuν, (2.60)

substituindo pela express˜ao do tensor Energia-Momento , dado pela Eq. (2.54):

uν∂µ(Tµν) = ∂µ[( + P )uνuµuν − uνηµνP ] − [( + P )uνuµ∂µuν − ηµνP ∂µuν]

= ∂µ(uµ) − ( + P )uµuν∂µuν + P ∂νuν, (2.61)

utilizando a propriedade de ortogonalidade(Eq. (2.44)) encontramos ,

uν∂µTµν = ∂µ(uµ) + P ∂νuν, (2.62)

utilizando novamente a regra do produto,

uν∂µTµν = ∂µuµ+ uµ∂µ + P ∂νuν = 0, (2.63)

Utilizando a defini¸c˜ao de derivada total relativ´ıstica, Eq. (2.45), chegamos na equa¸c˜ao, ∂

∂τ + ( + p)∂µu

µ_{= 0,} _(2.64)

onde a expressão acima é referente à equa¸cão de movimento para a densidade de energia.

2.3.3 Equa¸c˜ao de movimento para Quadrivelocidade

O processo para encontrar esta equa¸cão é similar ao processo anterior, entretanto será feito para a parte ortogonal à quadrivelocidade.

(30)

Pela regra do produto na deriva¸c˜ao obtemos a seguinte rela¸c˜ao,

∂µTµν = ∆λν∂µTµν + Tµν∂µ∆λν, (2.66)

assim, obtemos a seguinte igualdade:

∂µ∆λνT

µν_{− T}µν_∂

µ∆λν = 0. (2.67)

Comen¸cando pelo c´alculo da derivada do operador projetor,

∂µ∆λν = −∂µuλ.uν. (2.68)

agora, fazendo a derivada do outro termo da equa¸c˜ao,

∂µ∆λνT µν _{= ∂} µ(δνλ− u λ_u ν)[( + p)uνuµ− pηµν] ∂µ∆λνT µν _{= −∂} µ[pηµλ− puλuµ] ∂µ∆λνT µν _{= −∂} µ∆λµp. (2.69)

Utilizando novamente a regra do produto,

∂µ∆λµP = −(∆λµ∂µ+ P ∂µ∆λµ). (2.70)

Calculando as derivadas do operador ∆µν_,

∂µ∆λµ = −∂µuλuµ. (2.71)

assim, podemos reescrever a Eq. (2.67) como,

∂µ∆λνT µν_{− T}µν_∂ µ∆λν = −(∆ λµ_∂ µp − p∂µuλuµ) + [( + p)uνuµ]∂µ(uλuν) = 0 ∂µ∆λνT µν_{− T}µν_∂ µ∆λν = −∆ λµ_∂ µp + ( + p)uνuµ∂µ(uλuν) = 0, (2.72)

(31)

onde,

uνuµ∂µ(uλuν) = uµuνuν∂µuλ+ uµuλuν∂µuν

uνuµ∂µ(uλuν) = uµ∂µuλ. (2.73)

Assim, obtemos a seguinte qua¸c˜ao de movimento,

( + p)uµ∂µuλ− ∆λµ∂µp = 0, (2.74)

(32)

3 ONDAS SOM E CHOQUE

Neste cap´ıtulo ser˜ao abordados as formas com que as oscila¸c˜oes se comportam dentro de um fluido.

Há duas formas de expressar matematicamente estes fenômenos. A primeira é através da abordagem de onda de som, que é uma solu¸cão aproximada que funciona para casos de pequenas oscila¸cões.

A outra forma é a onda de choque. Diferentemente da onda de som, esta apresenta uma solu¸cão exata e funciona para grandes oscila¸cões, além de se propagar mais rápido que o caso anterior.

3.1 Ondas de Som

Estudadaremos primeiramente as ondas de som. Segundo Landau : ”Um movi-mento oscilatório de aplitude pequena em um fluido compressivel é chamado de Onda de som” [1]. As oscila¸cões precisam ter pequena amplitude para que sejam desprezadas os fenômenos de compressão no fluido, assim podemos considerar as varia¸cões que ocorrem dentro do elemento de fluido como pertuba¸cões. Ao longo desta se¸cão serão abordadas as formas de se obter as equa¸cões de onda sonora para os regimes relativisticos e Newtoniano.

3.1.1 Ondas sonoras no regime N˜ao-relativist´ıco

Primeiramente iremos resolver para o caso não-relativ´ıstico, entretando a solu¸cão para o caso relativ´ıstico pode ser obtida seguindo o mesmo procedimento. Iremos assumir uma pequena pertuba¸cão que se propaga no fluido que está inicialmente em repouso, de tal forma que podemos reescrever a pressão , a densidade e a velocidade de cada elemento do sistema da seguinte forma.

ρ = ρ0+ δρ (3.1)

v = δv (3.2)

p = p(ρ0+ δρ) ≡ p0+ δp. (3.3)

onde, os termos p0 ≡ p(ρ0) e ρ0 s˜ao constantes referentes aos valores da press˜ao e da

(33)

uma pertuba¸cão pequena de tal forma que possamos desprezar termos de segunda ordem. Nesse caso, podemos aproximar a corre¸cão à pressão como,

≈ ∂p0 ∂ρ0

δρ. (3.4)

Desprezando termos quadráticos ou de ordem superior nas perturba¸cões, as equa¸cões de Euler (2.21) , e de continuidade(2.7), simplificam do seguinte modo,

∂δρ ∂t + ρ0∇.δv = O(2) (3.5) ρ0 ∂δv ∂t + ∂p0 ∂ρ0 ∇δρ = O(2). (3.6)

Onde O(2) denota os termos de ordem 2 ou maior nas perturba¸cões. Como mencionado acima, tais termos serão omitidos na nossa análise.

Derivando a primeira equa¸c˜ao no tempo ∂2 ∂t2 δρ ρ0 = −∇.∂δv ∂t . (3.7)

E substituindo a derivada temporal da velocidade, dada pela equa¸c˜ao de Euler, ∂2 ∂t2 δρ ρ0 = ∇ · ∂p0 ∂ρ0 ∇δρ ρ0 ∂2 ∂t2 δρ ρ0 = ∂p0 ∂ρ0 ∇2δρ ρ0 . (3.8)

Esta ultima expressão é uma equa¸cão de onda e, portanto, podemos interpretar o termo

∂p0

∂ρ0 como sendo o quadrado da velocidade do som( C

2

s).Note que essa express˜ao obtida ´e

uma aproxima¸cão que só vale para pequenas oscila¸cões, isto é, a equa¸cão de onda acima não é uma solu¸cão exata das equa¸cões hidrodinâmicas.

3.1.1.1 Onda de Som Relativ´ıstica

Esta subse¸cão têm como objetivo encontrar a generaliza¸cão relativistica para a equa¸cão da onda de som. Como foi anteriormente o processo realizado aqui será o mesmo da se¸cão anterior, porém aplicado nas equa¸cões da Cap´ıtulo 2.2. Vamos considerar

(34)

per-tuba¸c˜oes na densidade de energia de um fluido inicialmente em repouso, sem carga,

= 0 + δ (3.9)

ui = δui. (3.10)

Onde 0 é a densidade de energia não pertudada e δ,i são referentes à pequena varia¸cão

na densidade de energia e na quadrivelocidade. N˜ao consideraremos perturba¸c˜oes da densidade de carga.

Desprezando termos de segunda ordem nas perturba¸c˜oes, o fator de Lorentz pode ser simplificado da seguinte forma,

γ = √1 + δu2 _{≈ 1 +} 1

2δu

2 _{≈ 1.} _(3.11)

Além disso, temos que a pressão p é uma fun¸caõ da densidade de energia, p = p(). Semelhante ao caso Newtoniano, podemos expandir a pressão em série de Taylor para encontrar a pertuba¸cão na pressão,

δp = ∂p0 ∂0

δ + O(2), (3.12)

Podemos escrever o tensor de energia e momento (Eq.2.54) como,

Tµν = 0 + δ + (p0+ δp)δuµδuν − (p0+ δp)ηµν. (3.13)

Desprezando os termos quadr´aticos nas perturba¸c˜oes, temos

T00 = δ + O(2) (3.14)

T0i = (0+ p0)δui+ O(2) (3.15)

Tij = ∂p0 ∂0

δδij+ O(2). (3.16)

Abrindo a equa¸cão da continuidade, Eq. (2.53), obtemos as seguintes equa¸cões de movi-mento linearizadas. Para ν = 0, obtemos uma equa¸cão para as flutua¸cões de densidade

(35)

de energia ∂t δ 0+ p0 + ∂jδuj = O(2), (3.17)

Enquanto, para ν = i, obtemos uma equa¸c˜ao para a velocidade,

∂tδui+ ∂p0 ∂0 ∂i δ 0+ p0 = O(2). (3.18)

Para não sobrecarregar as equa¸cões, vamos adotar a seguinte nota¸cão, δ

0+ p0

= δ∗. (3.19)

Assim, ficamos com as seguintes equa¸c˜oes para resolver:

∂tδ∗+ ∂jδuj = 0 (3.20)

∂tδui+

∂p0

∂0

∂iδ∗ = 0. (3.21)

Derivando a primeira equa¸cão no tempo e substituindo a segunda equa¸cão, obtemos uma equa¸cão somente para as perturba¸cões de energia,

∂_t2δ∗− ∂p0 ∂0

∂j∂jδ∗ = 0, (3.22)

Na nota¸c˜ao usual esta equa¸c˜ao se torna,

∂_t2δ∗− ∂p0 ∂0

∇2_δ∗

= 0. (3.23)

Que é a equa¸cão de ondas de som relativist´ıca. A partir desta equa¸cão podemos interpretar o termo ∂p0

∂0 como sendo o quadrado da velocidade do som (Cs), ∂p0

∂0

= C_s2. (3.24)

3.1.2 Propaga¸c˜ao de ondas de som

Para estudar a propaga¸cão da onda de som a partir de uma determinanda condi¸cão inicial iremos supor que a solu¸cão para a equa¸cão de onda seja do tipo onda plana. Para

(36)

o caso unidimensional a solu¸c˜ao pode ser escrita como:

ψ = eiω t−ik x. (3.25)

Substituindo a equa¸cão acima na equa¸cão de onda, obtemos uma rela¸cão entre a frequência e o número de onda, chamada de rela¸cão de dispersão,

− ω2_{ψ + C}2

sk2ψ = 0. (3.26)

A partir desta equa¸c˜ao encontramos dois valores possiveis para ω que satisfazem esta equa¸c˜ao,

ω2 = C_s2k2 (3.27)

ω+ = Csk (3.28)

ω− = −Csk. (3.29)

Temos ent˜ao 2 classes de solu¸c˜ao,

ψ+= e−ik(x−Cst) (3.30)

ψ−= e−ik(x+Cst). (3.31)

Temos que ψ+ representa solu¸c˜oes que propagam no sentido positivo do eixo x e

ψ− representa solu¸cões que propagam no sentido negativo. A solu¸cão mais geral é uma

combina¸c˜ao linar destes 2 casos, para todos os poss´ıveis k,

ψ(t, x) = Z dk 2π[A+(k)ψ++ A−(k)ψ−] ψ(t, x) = Z dk 2π[A+(k)e −ik(x−Cst)_{+ A} −(k)e−ik(x+Cst)]. (3.32)

Como a equa¸cão de onda é de ordem 2, a condi¸cão inicial pode ser expressa em termos do valor do campo e da sua derivada em t = 0,

ψ(0, x) = Z dk 2π[A+(k) + A−(k)]e −ikx (3.33) dψ(0, x) dt = Z dK 2πiw(k)[A+(k) − A−(k)]e −ikx , (3.34)

(37)

Considerando solu¸cões onde a derivada temporal é inicialmente nula, isto é, dψ(0, x) dt = Z _dk 2πiω(k)[A+(k) − A−(k)]e −ikx = 0. (3.35)

Utilizando a transformada de Fourier inversa, podemos mostrar que a condi¸c˜ao acima implica em,

[A+(k) − A−(k)]ikCs = 0, (3.36)

onde já utilizamos a rela¸cão de dispersão da equa¸cão de onda. Portanto, conclu´ımos que

A + (k) = A−(k) ≡ A(k). (3.37)

Assim, podemos reescrever a Eq. 3.32 como,

ψ(t, x) =

Z _dK

2πA(k)(e

−ik(x−Cst)_{+ e}−ik(x+Cst)_), _(3.38)

e a sua respectiva condi¸c˜ao inicial, dada pela Eq. (3.33), como 1 2ψ(0, x) = Z _dK 2π A(k)e −ikx . (3.39)

Vemos que a solu¸cão geral tem a mesma forma da condi¸cão inicial, com a posi¸cão sendo apenas transladada por vt. Podemos expressa-lá da seguinte forma,

ψ(t, x) = 1

2ψ(0, x − Cst) + 1

2ψ(0, x + Cst). (3.40) A partir da equa¸cão acima se conclui que dado uma pertuba¸cão de pequena amplitude, a mesma se propagará com a velocidade do som, sem se deformar, porém com a metade da amplitude. Depois, verificaremos estas propriedades de ondas de som numericamente, resolvendo as equa¸cões de continuidade e de Euler para pequenas perturba¸cões iniciais.

3.2 Ondas de Choque

Na última se¸cão consideramos solu¸cões hidrodinâmicas que emergem no regime de pequenas perturba¸cões. Nesta se¸cão, consideraremos outras solu¸cões de onda no regime

(38)

Figura 6: Exemplo Onda de Choque [8].

hidrodinâmico, que não estão restritas ao regime linear. Estas solu¸cões são chamadas de ondas de choque.

Veremos que tais ondas se propagam mais rápido que o som. Quando a velocidade de movimento do fluido é próxima ou superior à velocidade do som temos que levar em considera¸cão os efeitos da compressibilidade na descri¸cão f´ısica do sistema. As ondas de choque são fenômenos que ocorrem nesse regime, um exemplo dela está ilustrado na Figura 6.

3.2.1 Ondas de Choque N˜ao-Relativ´ıstica

Nesta se¸cões será abordado o caso de uma onda de choque unidimensional cuja forma não muda ao longo da trajetória. Esse tipo de onda de choque é conhecido como Steady Chock Wave. Vamos checar se é possivel escrever uma fun¸cão cont´ınua para descrever esta onda, além de calcular analiticamente velocidade do choque.

Vamos come¸car escrevendo as equa¸cões da hidrodinâmicas para o caso unidimen-sional, porém com um termo q adicional que está ligado aos efeitos da compressibilidade;

(39)

No final desta se¸cão será discutido sua importância para a descri¸cão de ondas de choque. Vamos assumir que este termo pode ser depende de qualquer variável termodinâmica e de suas respectivas derivadas espaciais. Nesse caso, as equa¸cões de continuidade e de Euler podem ser expressas (em uma dimensão) como ,

∂ρ ∂t = − ∂ ∂x(ρv), (3.41) ρ ∂v ∂t + v ∂v ∂x = − ∂ ∂x(p + q), (3.42) ∂ ∂t 1 2ρv 2₊ = − ∂ ∂x ρv 1 2v 2₊ + p + q ρ . (3.43)

A última é a equa¸cão de continuidade relacionada à conserva¸cão de energia.

O objetivo desta se¸cão é procurar solu¸cões de ondas na hidrodinâmica sem supor o regime de pequenas perturba¸cões. Ou seja, procuramos solu¸cões para a densidade de massa e para a velocidade que satisfa¸cam as condi¸cões,

ρ = ρ(x − st), v = v(x − st). (3.44)

A variável s, definida acima, é a velocidade de propa¸cão da onda.

Fazendo a troca de v´ariaveis para w = x − st, as equa¸c˜oes de movimento ficam na seguinte forma, d dw[ρ(v − s)] = 0 (3.45) ρ(v − s)dv dw = − d dw(p + q) (3.46) −s d dw 1 2ρv 2 + = − d dw ρv 1 2v 2 + + p + q ρ . (3.47)

A Eq. (3.46) pode ser simplificada usando a Eq.(3.45), d

dwρ(v − s)

2_{= −} d

dw(p + q). (3.48)

Al´em disso, podemos reescrever a Eq. (3.47) como, d dw 1 2(v − s) 2₊ + p + q ρ = 0. (3.49)

(40)

A partir das Eqs. (3.45), (3.48) e (3.49) obtemos as condi¸c˜oes, ρ(v − s) = C1 (3.50) ρ(v − s)2+ (p + q) = C2 (3.51) 1 2(v − s) 2 + + p + q ρ = C3, (3.52) onde C1, C2 e C3 s˜ao constantes.

Vamos adotar a seguinte nota¸cão: grandezas com o ´ındice i se referem à região que não foi afetada pelo choque, e por isso mantêm seus valores iniciais. Já as com ´ındice f estão ligadas à parti¸cão que já sofreu influência do choque, e por isso têm seus valores alterados. Como a velocidade do choque é s, a região que ainda não foi afetada pelo choque corresponde à x > st. Em outras palavras, são as regiões de w positivo e negativo. Vamos analizar os dois casos limites, o primeiro é w −→ −∞ que corresponde `

a x st, que representa a região que nunca será afetada pelo choque. Impondo a restri¸cão de que q = 0, pois na regiões suficientemente distante do choque não há o efeito e compressibilidade. Assim, podemos determinar as constantes de integra¸cão,

ρi(vi − s) = C1 (3.53) ρi(vi− s)2+ pi = C2 (3.54) 1 2(vi − s) 2₊i+ pi ρi = C3. (3.55)

O outro caso limite é o exato oposto, se refere a região já afetada pelo choque, que pode ser expresso como w −→ −∞ que corresponde à st x. Vamos exigir a mesma condi¸cão para o q , pelo mesmo motivo anterior.Neste caso obtemos,

ρf(v − s) = C1 (3.56) ρf(vi− s)2+ (pi) = C2 (3.57) 1 2(vf − s) 2 + f + pf ρf = C3, (3.58)

(41)

Logo, igualando ambos os casos, ρi(v − s) = ρf(v − s) (3.59) ρi(vi− s)2+ (pi) = ρf(vi− s)2+ (pi) (3.60) 1 2(vi− s) 2 +i + pi ρi = 1 2(vf − s) 2 + f + pf ρf , (3.61)

Esse sistema representa as condi¸cões de continuidade na interface de descontinuidade, no referencial onde a onda está em repouso. Além disso, com o ansatz de que q se anula nos casos limites, não é necessário saber sua forma.

3.2.1.1 Solu¸c˜ao anal´ıtica para gases ideais

Definindo uma nova vari´avel, A ≡ v − s, temos

ρA = C1 (3.62) ρA2+ p + q = C2 (3.63) 1 2A 2 ₊ + p + q ρ = C3, (3.64) ´

E necessária uma equa¸cão de estado para solucionar o sistema, para fim de exemplificar será utilizada a equa¸cão de estado para um gás ideal não-relativ´ıstico.

p = nT, (3.65)

= 3

2nT. (3.66)

Onde colocamos a constante de Boltzmann como sendo igual a 1 e T ´e a temperatura. Assim,

= 3

2p. (3.67)

e, isolando a vari´avel A,

− 4 3A 2₋ 2 3C3+ 5C2 3C1 A = 1 ρq. (3.68)

Ao invés de obtermos uma equa¸cão diferencial para a fun¸cão A, encontramos uma equa¸cão algébrica de segundo grau. Portanto, não encontramos como solu¸cão nenhuma fun¸cão

(42)

cont´ınua e sim, dois valores constantes. A única fun¸cão que pode satisfazer esta condi¸cão é uma fun¸cão discont´ınua que vai de um valor para outro. Esse fato implica que a onda de choque só ocorre quando temos uma descontinuidade, o sistema varia abruptamente entre os dois valores de A. Temos que, pela condi¸cão que q = 0 nos casos limites, ou seja se A = Ai ou A = Af. Logo Ai e Af são ra´ızes da equa¸cão,

q ρ = −

4

3(A − Ai)(Af − A). (3.69) Impondo o ansatz de que a viscosidade q tˆem a mesma forma da viscosidade volumetrica (tipo Bulk):

q = −αρ∂v

∂x = −αρ ∂A

∂x, (3.70)

onde o coeficiente α pode ser encontrado através de teorias mais fundamentais sobre o estudo da viscosidade. Além disso, temos que ∂A_∂x = ∂A_∂w, logo pdemos reescrever a equa¸cão do segundo grau como uma equa¸cão diferencial ordinária (EDO)

αdA dw =

4

3(A − Ai)(Af − A). (3.71) Com o uso desse ansatz é poss´ıvel encontrar uma fun¸cão cont´ınua para A. A viscosidade q também é conhecida como viscosidade numérica ou Pseudo-Viscosidade. A vantagem de utilizá- la é que remove a descontinuidade da solu¸cão de onda e torna calcúlos numéricos fact´ıveis.

A EDO encontrada têm solu¸cão anal´ıtica. Fazendo as seguinte troca de váriaveis é possivel encontrar sua solu¸cão,

Ψ = A − Ai− Af 2 (3.72) ψ0 = Ai− Af 2 (3.73) ψ = Ψ ψ0 . (3.74)

A EDO pode ser reescrita como dΨ dw = 4 3α(Ψ 2_{− Ψ}2 0) 1 Ψ0 dψ dw = 4 3α(ψ 2_{− 1).} _(3.75)

(43)

Onde est´a ultima equa¸c˜ao pode ser resolvida integrando ambos os lados, Z _dψ

ψ2 _{− 1} =

4Ψ0

3α w, (3.76)

temos que esta integral pode ser resolvida através de uma substitui¸cão trigonométrica . Sua solu¸cão é,

ψ = − tanh 4Ψ0w 3α

, (3.77)

retornando para a vari´avel A temos,

A = Ai− Af 2 − Ai− Af 2 tanh 2Ai− Af 3α w . (3.78)

Vamos checar se esta fun¸c˜ao satisfaz as condi¸c˜oes para os casos limites. Assumindo que o choque se propaga para a direita, temos que Ai−Af < 0. Assim, no limite w −→ ∞

temos que tanh2Ai−Af

3α w

= −1. Desta forma A = Ai para este caso. Enquanto, no

limite w −→ −∞, temos que tanh2Ai−Af

3α w

= 1.Como esperado obtemos A = Af.

Vemos que ambos os casos limites estão condizentes com o esperado. Portanto, a introdu¸cão de uma viscosidade númérica remove a singularidade da onda choque, in-troduzindo um tamanho para o choque relacionado ao parâmetro α. A utiliza¸cão desta viscosidade numérica será de suma importância na hora de fazer as simula¸cões computa-cionais no cap´ıtulo posterior.

3.2.1.2 Velocidade do Choque n˜ao-relativistico

Agora, iremos buscar uma uma equa¸cão para a velocidade do choque. Temos que sua velocidade será a velocidade relativa entre as duas interfaces no referêncial onde o choque está em repouso.

Pelas condi¸c˜oes de continuidade, do fluxo de massa e momento, na interface do choque

ρivi = ρfvf ≡ j (3.79)

pi+ ρivi2 = pf + ρfvf2, (3.80)

(44)

E assim, encontrar as velocidades,

vi = jVi, vf = jVf, (3.81)

Onde o j pode ser encontrando a partir do sistema acima,

j = s

pf − pi

Vi− Vf

, (3.82)

Como foi dito no inicio do cap´ıtulo, a velocidade do choque ´e dada pela velocidade relativa entre as duas interfaces, S ≡ vf − vi, assim obtemos a express˜ao

S = q

(pf − pi)(Vi− Vf). (3.83)

Note que esta equa¸c˜ao viola o postulado de que nenhuma velocidade pode ser superior `

a velocidade da luz no vácuo. Ao fazermos a generaliza¸cão relat´ıvista, esse problema desaparece, por conta da nova forma de somar velocidades que a relatividade propõe.

3.2.2 Ondas de Choque Relativ´ıstica

Nesta subse¸cão será feita a generaliza¸cão relativ´ıstica para as ondas de choque. A metodologia é análoga ao caso anterior e os resultados obtidos nessa se¸cão serão utili-zados para compara¸cão com os resultados obtidos numéricamentes no cap´ıtulo seguinte. Novamente vamos utilizar a nota¸cão: ´ındice i para a região que ainda não foi afetada pelo choque e ´ındice f para as que já foram.

Assim como no caso não-relativ´ıstico, buscamos solu¸cões que se propagam como onda a partir das equa¸cões hidrodinâmicas. Ou seja, solu¸cões do tipo w = x − st, onde s é a velocidade do choque. Assim como no caso anterior, vamos ter uma psdeudo-viscosidade chamada de Π. O tensor energia momento, com o acrescimo deste novo termo, se torna,

Tµν = ( + p + Π)uµuν− ηµν_{(p + Π),} _(3.84)

Fazendo a seguinte troca de váriaveis: β = p + Π e ρ = + p + Π, e, nos restringindo ao caso unidimensional, a equa¸cão de conserva¸cão para o tensor acima pode ser escrita

(45)

como,

∂t(ργ2− β) + ∂x(ργ2v) = 0

∂t(ργ2v) + ∂x(ργ2v2+ β) = 0, (3.85)

Primeiramente, vamos verificar se esta equa¸cão é consistente com a mudan¸ca de variáveis proposta, onde, ∂

∂w = ∂ ∂x − s

∂

∂t. Assim , as equa¸c˜oes acima , nessa nova coordenada, se

torna, ∂ ∂w−(ργ 2_{− β)s + ργ}2_v = 0 ∂ ∂w−ργ 2_{vs + ργ}2_v2_{+ β} = 0, (3.86)

A velocidade relativa do choque (vr), no referencial onde ele parado, ´e dado pela soma de

velocidades relativ´ıstica,

vr =

v − s

1 − vs (3.87)

Escrevendo as equa¸c˜oes acima em fun¸c˜ao de vr,

∂ ∂w ργ 2 rvr = 0 ∂ ∂wργ 2 rv 2 r + β = 0, (3.88) Sendo γr = √1 1−v2 r

. Essas equa¸c˜oes acima implicam que,

ργ_r2vr = C1

ργ_r2v_r2+ β = C2, (3.89)

Onde C1 e C2 são constantes independentes da variável w. Vamos procurar solu¸cões deste

sistema para um gás ultrarelat´ıstico, cuja equa¸cão de estadado para densidade de energia é dada por = 3p. Na ausência de viscosidade, o sistema acima pode ser reescrito como uma equa¸cão do segundo grau para vr

C1

C2

(46)

Temos, ent˜ao, as seguintes solu¸c˜oes: v1 = 2C2 3C1 + r 4C2 2 9C12 − 1 3 v2 = 2C2 3C1 − r 4C2 2 9C12 − 1 3. (3.91)

Similar ao caso Newtoniano, n˜ao encontramos uma fun¸c˜ao para vr e sim dois poss´ıveis

valores. Isso implica que, para que haja uma propaga¸cão de onda em um fluido, torna-se necessário que exista alguma descontinuidade na forma da onda. Porém, também como no caso anterior, é possivel remover essa descontinuidade com uma viscosidade numérica, tornando poss´ıvel utilizar cálculos numéricos para resolver essas equa¸cões. Não discutiremos isso nesse cap´ıtulo.

3.2.2.1 Velocidade do choque relativ´ıstico

Vamos, agora, encontrar os valores para as velocidade em fun¸cão da pressão e densidade de energia. O processo é semelhante ao caso clássico e segue a metodologia utilizada no livro do Landau [1].

Come¸caremos escrevendo um sistema similar ao caso anterior, porém envolvendo as equa¸cões da relatividade. Para simplificar as equa¸cões faremos a seguinte substitui¸cão de variaveis, ρ ≡ + p. Utilizando as expressões para fluxos vistas no cap´ıtulo 2 podemos escrever a seguinte condi¸cão de continuidade para os fluxos na superficie do choque (em uma dimensão),

niui = nfui (3.92)

T_ixx = T_fxx (3.93)

T_i0x = T_f0x. (3.94)

Esse sistema ´e an´alogo ao encontrado no caso Newtoniano

viγi 1 Vi = vfγf 1 Vf . (3.95) ρiv2iγ 2 i + pi = ρfvf2γ 2 f + pf. (3.96) ρiviγi2 = ρfvfγf2. (3.97)

(47)

onde V se refere ao volume espec´ıfico, de forma que V ≡ _n1, . Al´em disso, teremos diferentes γ para cada regi˜ao,

γi = 1 p1 − v2 i , (3.98) γf = 1 q 1 − v2 f . (3.99) (3.100)

Agora, combinando as Eqs. (3.97) e (3.96), podemos encontrar uma expressão para a velocidade, em cada região, como fun¸cão da energia e pressão,

vi = s (pi− pf)(i+ pf) (i− f)(f + pi) , (3.101) vf = s (pi− pf)(f + pi) (i− f)(i+ pf) . (3.102)

A velocidade de propaga¸cão do choque é a velocidade relativa entre as duas regiões do fluido, no referêncial onde a onda de choque está em repouso. Para isso, fazemos uso da soma de velocidades relativisticas, dada pela Eq.(2.50). Assim, a velocidade relativa entre as interfaces se torna: vif = s (pi− pf)(i− f) (f + pi)(i+ pf) . (3.103)

Como exemplo, vamos calcular essa velocidade para um um gás de fótons ultra-relativ´ıstico cuja equa¸cão de estado é dada, p = ₃ . Nesse caso, podemos simplificar as solu¸cões acima na seguinte forma,

vif =

s

(i− f)2

(f+i)(i+ 3f)

. (3.104)

Vamos reescrever a equa¸cão anterior em fun¸cão da razão f

i para fazer uma rela¸c˜ao entre o tamanho do descontinuidade e da velocidade do choque

v = s (1 − f i) (3f i + 1)( f i + 3) , (3.105)

Temos que no limite f

(48)

relatividade, diferente do caso Newtoniano.

Essas equa¸cões e propriedades, referentes à onda de choque, serão utilizadas, no próximo cap´ıtulo, para fazer compara¸cões com os dados obtidos através de simula¸cões numéricas.

(49)

4 M´ETODO SPH

Neste cap´ıtulo será introduzido o método numérico que foi utilizado para realizar as simula¸cões computacionais, além de explicar como utilizar o método serão apresentados exemplos de simula¸cões e os dados obtidos serão comparados com teoria elaborada nos cap´ıtulos anteriores.

O método SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS (SPH) é um método númerico criado por Lucy (1977 ), Gingold Monaghan (1977) com o objetivo de solucio-nar problemas relacionados à astrof´ısica. Neste método,o cálculo das derivadas parciais, diferente do método usual, é feito a partir da derivada de uma fun¸cão que interpola as part´ıculas. Este fator junto das intera¸cões entre as part´ıculas nos permite escrever as equa¸cões hidrodinâmicas como equa¸cões ordinárias.

4.0.1 Equa¸c˜oes B´asicas do SPH

O princ´ıpio fundamental por trás do método é aproximar as variáveis hidrodinâmicas através de um kernel. Dado um kernel de interpola¸cão W, temos que o valor de qualquer fun¸cão dependente da posi¸cão, A(r), é aproximado pela integral:

A(r) = Z

A(r’)W(r-r’,h)dr’, (4.1)

Este é um processo de suaviza¸cão onde o parâmetro h está relacionado à escala m´ınima que será descrita numericamente. Existem diversos Kerneis, fun¸cões que inter-polam pontos, que podem ser utilizados neste método, mas todos devem obedecer as seguintes propriedades: Z W(r-r’,h)dr’ = 1 lim h→0W(r-r’,h) = δ(r − r 0 ). (4.2)

Além disso, esses Kerneis devem ser escolhidos de forma que caiam rápidamente para 0, facilitando o custo computacional da simula¸cão. O Kernel utilizado nesta monografia é dado por,

(50)

W (r, h) = 2 3h              1 − 3₂ _hr2+ ₄3 _hr3, se 0 ≤ r_h ≤ 1; 1 4[2 − r h] 3_, _{se 1 ≤} r h ≤ 2;

0, Qualquer outro caso;

(4.3)

Para a aplica¸cão númerica a integral é substituida por um somatório que engloba todas as particulas: Aa(ra) = X b mb A(rb) ρb W (ra− rb, h.), (4.4)

onde os termos com ´ındice a indicam os valores refentes a part´ıcula que estamos ob-servando e os termos com ´ındices b são referentes à todas as demais particulas. Para simplificar será introduzida a seguinte nota¸cão, seja F uma grandeza qualquer temos que:

Fab= Fa− Fb (4.5)

Al´em disso, podemos escrever a densidade por particula da grandeza A como σa:

Z

Ad3r =X b

mbW (rab, h) (4.6)

Uma das grandes vantagens do método é que as derivadas espaciais podem ser expressas e calculadas por meio de somatórios:

∇Aa(ra) = X b mb A(rb) ρb ∇W (rab, h). (4.7)

Todavia, como dito no artigo do Monaghan [2] é melhor utilizar a seguinte rela¸cão, pro-veniente da regra do produto da derivada, para se obter melhor precisão:

∇A = 1

ρ[∇(ρA) − A∇(ρ)]. (4.8)

4.0.2 Equa¸c˜oes de Movimento

Para o caso estudado as equa¸cão de movimento serão cálculadas a partir da den-sidade entropia (s) e a entropia por particula (σ). Será adotada a seguinte conven¸cão:

(51)

Váriaveis com * serão referentes ao seu valor medido com rela¸cão ao referencial do la-boratório e as váriaveis sem * são referentes ao referencial de repouso do elemento de fluido.

m → σ

ρ → s, (4.9)

Onde a rela¸cão entre o referencial do laboratório e da part´ıcula é encontrada a partir da contra¸cão de Lorentz:

s∗ = sγ (4.10)

vj = u

j

γ . (4.11)

Sendo v a velocidade da part´ıcula e u a quadrivelocidade. O c´alculo da densidade de entropia se d´a por:

s∗_a(ra) =

X b

σbW (rab, h). (4.12)

Temos que a entropia escrita desta maneira já é por si só compat´ıvel com a equa¸cão da continuidade.

Podemos utilizar a Eq. (4.8) para calcular o valor da derivada da velocidade com maior precis˜ao

s∗∇ · (v) = ∇.(s∗_{v) − v∇(s}∗_), _(4.13)

O primeiro termo pode ser c´alculado da forma:

∇ · (s∗_ava) =

X b

σbvb∇W (rab, h), (4.14)

Enquanto o segundo termo ´e :

va∇ · (s∗a) =

X b

vaσb∇W (rab, h), (4.15)

(52)

velo-cidade. ∇.(va) = 1 s∗ a X b σbvba∇W (rab, h). (4.16)

Já para o cálculo da derivada da pressão temos um problema. Se utilizarmos o mesmo procedimento acima seria obtido a seguinte expressão,

s∗_a∇pa=

X b

σbpba∇W (rab, h), (4.17)

Lembrando que o F = −∇p, logo para o caso onde a pressão é constante a for¸ca é igual à zero. Todavia, os momentos linear a angular deixam de ser conservados exatamente, com poss´ıveis erros numéricos. A forma mais vantajosa de escrever o gradiente da pressão é em fun¸cão de ∇_s∗p, tal conclusão foi feita pelo Monaghan [2]. Existem inúmeras formas de escrever derivadas númericas e cada uma delas acarreta em uma precisão diferente, após várias tentativas com diferentes expressões para a derivada numérica da pressão, esta foi a que apresentava menor erro percentual,

1 s∗∇p = ∇ p s∗ + p s∗2∇s ∗ . (4.18)

O primeiro termo ´e c´alculado da seguinte forma: pa s∗ a2 ∇(s∗_a) = pa s∗ a2 X b σb∇W (rab, h), (4.19)

enquanto o segundo se d´a por:

∇(pa s∗ a ) = X b pb s∗_b σb s∗_b∇W (rab, h), (4.20)

somando as equa¸c˜oes acima , obtemos que:

∇pa = s∗a X b σb( pa s∗ a2 + pb s∗_b2)∇W (rab, h). (4.21)

Para utiliza¸cão do método SPH para solucionar um problema de hidrodinâmica é necessário aplicar a equa¸cão de Euler em cada elemento de fluido utilizando as expressões vistas acima para o cálculo das derivadas. Porém, é imprescind´ıvel fornecer uma equa¸cão

(53)

de estado para a solu¸c˜ao do problema, pois sem ela n˜ao ter´ıamos um sistema poss´ıvel de ser resolvido.

4.1 Equa¸c˜ao de estado

Nesta se¸cão, será introduzida a equa¸cão de estado que serviu de base para as simula¸cões numéricas feitas neste trabalho.

Uma equa¸cão de estado nos dá as rela¸cões entre as grandezas termodinâmicas de uma determinada substância em um de seus estados da matéria. Sendo assim, ela funciona como uma forma de caracterizar o objeto de estudo. Para esta Monografia iremos trabalhar com um gás de fótons cujas equa¸cões de estado são [9]:

= 3 π2T 4 s = 4 ∗ g π2 T 3 p = 1 3. (4.22)

Onde o g ´e o fator de degenerescˆencia. No caso abordado neste trabalho vamos supor que g = 1.

4.2 Equa¸c˜ao de movimento para o caso unidimensional

Neste trabalho será abordado o caso unidimensional para as solu¸cões da equa¸cão de movimento.

A partir da equa¸cão de estado referente ao gás ultrarelativ´ıstico, citada acima, encontramos a seguinte rela¸cão entre as derivadas da densidade de energia e pressão :

d dτ = 3

dp

dτ. (4.23)

Abrindo a equa¸c˜ao de movimento para energia, Eq. (2.64), para o caso unidimensional,

3dp

dτ + ( + p)∂µu

µ _{= 0,} _(4.24)

(54)

momento, Eq. (2.74), se torna, ( + p)uµ∂µuλ− ηλµ∂µp − uλ ( + p) 3 ∂µu µ = 0, (4.25)

Abrindo o somat´orio da equa¸c˜ao acima para λ = x, temos que o primeiro termo utilizando a derivada material pode ser escrito como,

( + p)uµ∂µu = ( + p)γ

du

dt, (4.26)

Temos que o segundo termo equivale `a,

ηxµ∂µp = −∂xp. (4.27)

E, por fim, o terceiro somat´orio fica como,

u( + p) 3 ∂µu

µ _{= u}( + p)

3 [∂tγ + γ∂xv + v∂xγ]. (4.28) Como o fator γ pode ser escrito da forma γ = [1 + u2_]1₂_{, a sua derivada temporal ´}_{e dada}

por

∂tγ =

u

γ∂tu. (4.29)

O mesmo vale para sua derivada espacial. Desta forma, a equa¸c˜ao acima pode ser reescrita como, u( + p) 3 ∂µu µ _{= u}( + p)u2 3γ du dt + u ( + p)uγ 3 ∂xv. (4.30) assim, podemos reescrever a equa¸c˜ao (4.25) como,

( + p)γdu dt + ∂xp − u ( + p)u2 3γ du dt − u ( + p)uγ 3 ∂xv = 0, (4.31) e, finalmente, obtemos, ( + p) 1 − u 2 3γ2 γdu dt = −∂xp + u (p)uγ 3 ∂xv. (4.32)

(55)

Esta é forma da equa¸cão de movimento que será aplicada para cada elemento de fluido (discretizado em termos de pat´ıculas, no método SPH), e nos proporcionará a evolu¸cão temporal do sistema. As derivadas da velocidade da pressão serão obtidas através das Eqs. (4.16) e (4.21).

4.3 Formula¸c˜ao do Programa e An´alise dos Dados Obtidos

Nesta se¸cão será explicado a forma com que o código foi escrito para que pudesse simular de forma eficaz a evolu¸cão temporal de um fluido. Em seguida, serão apresen-tados alguns exemplos que servirão como testes. A unidade de medida para espa¸co será f m(10−15m), e como estamos adotando a conve¸cão de que c = 1 a unidade para tempo também será de f m.

4.3.1 Escrevendo o C´odigo

Primeiramente, devemos ressaltar a importância da escolha dos parâmetros numéricos N ,h e dt. Onde, N é o número de part´ıculas SPH escolhido para representar o fluido e dt é o tamanho do passo temporal, para este programa estamos utilizando os seguintes parâmetros numéricos:

• h = 0, 02 • N = 5000 • dt = 0, 01

Temos que, quanto menor o passo temporal, maior precisão teremos, porém o custo computacional também aumenta. O mesmo vale para o h, porém ao diminuir seu tamanho devemos aumentar o número de part´ıculas, pois é necessário uma quantidade considerável de par´ıculas em cada elemento. Tendo em vista essas condi¸cões, é necessário escolher os parâmetros de forma que haja uma precisão boa mas que não exija tanto poder computacional.

O primeiro passo é definir a condi¸cão inicial da entropia carregada por cada part´ıcula SPH (cada elemento de fluido). Após isso, é feito o cálculo da densidade de entropia e das demais grandezas termodinâmicas. Durante a simula¸cão iremos desprezar