Formula¸c˜ oes alternativas para Navier-Stokes

1.2 REVIS ˜ AO DA LITERATURA

1.2.3 Formula¸c˜ oes alternativas para Navier-Stokes

Encontram-se na literatura, por exemplo Fortuna (2000), McDonough (2003) e Tan-nehill et al. (1997), algumas formula¸c˜oes alternativas para as equa¸c˜oes de Navier-Stokes.

Além da formula¸cão em fun¸cão das variáveis primitivas, que envolve a pressão e veloci-dade,p−v, destacam-se também as formula¸cões fun¸cão de corrente e vorticidade,ψ−ω, e vorticidade e velocidade ω − v, que geralmente são referenciadas como formula¸cões alternativas para Navier-Stokes.

As formula¸cões baseadas em vorticidade possuem a vantagem da transforma¸cão das três equa¸cões da formula¸cão baseada na p−v, que envolve as equa¸cões de conserva¸cão

da Quantidade de Movimento Linear nas dire¸cões x (QML-x) e y (QML-y) e equa¸cão da continuidade, em apenas duas. Essas formula¸cões evitam o cálculo da pressão pela sua elimina¸cão das equa¸cões da QML, porém, de acordo com Fortuna (2000), apresentam algumas dificuldades, apesar de possu´ırem o atrativo de não necessitarem de tratamento especial para a pressão. As condi¸cões de contorno da vorticidade requerem tratamento especial e a pressão não é obtida diretamente, devendo ser calculada após o campo da fun¸cão de corrente ou das velocidades ter sido determinado, ou seja, no pós-processamento.

De acordo com Palma et al. (2001) e Ponta (2005), o primeiro a aplicar a formula¸c˜ao vorticidade e velocidade para as equa¸c˜oes de Navier-Stokes incompress´ıvel foi Fasel (1976).

Palma et al. (2001) apresentaram um estudo sobre a acurácia e eficiência do escoamento viscoso transiente usando a formula¸cãoω−v, em malha não ortogonal e com o Método dos Volumes Finitos. Para acelerar a taxa de convergência, eles usaram o método multigrid associado ao método iterativo Gauss-Seidel por linha alternada (TROTTENBERG et al., 2001) somente nas equa¸cões das velocidades que, neste caso, são equa¸cões do tipo Poisson.

Meitz e Fasel (2000) usaram a formula¸cão vorticidade e velocidade para desenvolver um método numérico para as equa¸cões de Navier-Stokes. O método é aplicável à simula¸cão de escoamento em camada limite e é baseado em um esquema de discretiza¸cão de Diferen¸cas Finitas Compacto. Meitz e Fasel (2000) afirmaram que esta formula¸cão é particularmente atrativa em duas dimensões, onde o número de variáveis é reduzido de três para duas.

Ern e Smooke (1993) apresentaram as equa¸cões de Navier-Stokes tridimensionais na formula¸cão ω−v para simular escoamentos de fluido compress´ıveis. Essa formula¸cão gerou sete equa¸cões diferenciais acopladas que foram discretizadas com o Método de Di-feren¸cas Finitas. Napolitano e Catalano (1991) aplicaram um método multigrid com o solver Gauss-Seidel por linha para resolver as equa¸cões de Navier-Stokes, em duas e três dimensões, com a formula¸cão vorticidade e velocidade em regime permanente. Napolitano e Pascazio (1991) desenvolveram um método para resolver as equa¸cões de Navier-Stokes, em regime permanente com a formula¸cão vorticidade e velocidade. Eles utilizaram o m´ e-todo multigrid com o solver Gauss-Seidel por linha alternada por dire¸cão (FERZIGER e

PERIC, 2001) para acelerar a convergência em malha desencontrada. Souza (2003) usou a formula¸cão ω−v modelada para um escoamento sobre uma placa curva. Ele aplicou o método multigrid apenas nas equa¸cões de Poisson, para as componentes de velocidade, que surgem quando se usa este tipo de formula¸cão. De acordo com Souza, o método mul-tigridfoi aplicado na equa¸cão de Poisson porque é onde precisa de maior tempo de CPU para obter a solu¸cão numérica. Uma revisão sobre a formula¸cão vorticidade e velocidade pode ser encontrada em Speziale (1987), Gatski (1991) e Davies e Carpenter (2001). Estes

autores afirmam que a elimina¸cão da pressão é uma das principais vantagens quando se usam as equa¸cões de Navier-Stokes bidimensional na forma de uma equa¸cão de transporte de vorticidade.

Erturk et al. (2005) e Erturk e Gokcol (2006) resolveram as equa¸cões de Navier-Stokes com a formula¸cão ψ −ω. Eles apresentaram um esquema de Diferen¸cas Finitas Compacto de quarta ordem e resultados com número de Reynolds de até 20000. Ghia et al. (1982) usaram o método multigrid na formula¸cão ψ −ω com um solver impl´ıcito fortemente acoplado (do inglês,Coupled Strongly Implicit - CSI) (RUBINeKHOSLA, 1981).

As equa¸cões foram discretizadas com o Método de Diferen¸cas Finitas e a malha mais fina adotada foi de 257×257 pontos. As análises foram feitas com o número de Reynolds variando de 100 a 10000. Eles reduziram o tempo de CPU por um fator de quatro em rela¸cão ao método singlegrid (SG), ou malha única. As solu¸cões obtidas no trabalho de Ghia et al. (1982) foram consideradas acuradas e tornaram-se referência para grande parte dos estudos posteriores sobre métodos numéricos para problemas de escoamentos.

Zhang (2003) resolveu o problema da cavidade quadrada com a formula¸cão ψ − ω e números de Reynolds variando de a 7500 usando o método multigrid e esquema de Diferen¸cas Finitas Compacto de quarta ordem. Zhang comparou a acurácia de suas solu¸cões com as de outros autores que usaram esquemas de Diferen¸cas Finitas de segunda, quarta e sexta ordem. Kumar et al. (2009) usaram a formula¸cão nas variáveis primitivas com um esquema de alta ordem para os fluxos convectivos e segunda ordem para os fluxos difusivos. Eles analisaram a acurácia das solu¸cões numéricas com número de Reynolds até 10000 em malhas com até 513×513 pontos. Todos os testes foram feitos com 2 e 4 n´ıveis de malhas e observaram que aumentar o número de n´ıveis não paga o custo adicional. Na malha 129×129 pontos, com 4 n´ıveis de malha, eles encontraram fatores de acelera¸cão 10,41, 7,95, 8,06 e 9,01, paraRe= 1000, 3200, 5000 e 7500, respectivamente. Concluiram que é poss´ıvel obter solu¸cões com discretiza¸cão de alta ordem em malhas muito finas usando o método multigrid.

Recentemente Gupta e Kalita (2005) apresentaram a formula¸cão fun¸cão de corrente e velocidade, ψ−v, como um novo paradigma para a resolu¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes. As equa¸cões são expressas apenas em termos da fun¸cão de corrente, envolvendo derivadas de até quarta ordem e derivadas mistas de terceira ordem. Nesta formula¸cão evitam-se as dificuldades associadas com os cálculos dos valores da vorticidade, especi-almente em contorno sólido, quando é empregada com a formula¸cão ψ −ω, além das dificuldades associadas à resolu¸cão da equa¸cão da pressão. Para obter a solu¸cão num´

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rica, eles discretizaram a equa¸cão com um Método de Diferen¸cas Finitas Compacto com acurácia de segunda ordem e resolveram o sistema discreto com o método do Gradiente Bi-Conjugado Estabilizado (Bi-CGSTAB) (VORST, 1992). O problema da cavidade qua-drada foi utilizado com duas configura¸cões, onde encontraram solu¸cões com o método singlegrid, cujo maior tamanho de malha foi 161×161 pontos, com vários números de Reynolds. O objetivo deles foi verificar a precisão da solu¸cão usando o esquema compacto na nova formula¸cão.

Uma nova abordagem numérica para a formula¸cão ψ−v em geometria irregular e complexa, usando o Método de Diferen¸cas Finitas Compacto de segunda e quarta ordem, comsinglegrid, foi desenvolvida por Pandit (2008). Pandit afirmou que a vantagem desta formula¸cão não é somente se livrar do acoplamento pressão-velocidade e formula¸cãoψ−ω, mas também por ser aplicável a geometrias complexas.

V´arios autores (GUJeSTELLA, 1993; ERNeSMOOKE, 1993;SUHeKIM, 1999; SHEU et al., 2000; DAVIESeCARPENTER, 2001;PONTA, 2005;WANG et al., 2006; KIM et al., 2007;

ERTURK e DURSUN, 2007; ERTURK, 2008, 2009) têm resolvido as equa¸cões de Navier-Stokes usando formula¸cões alternativas, entretanto, o foco de tais pesquisas, na maioria dos casos, não é necessariamente a redu¸cão do tempo de CPU, e tampouco estudos siste-máticos de parâmetros do método multigrid. Em geral, o foco é apresentar e testar novas metodologias numéricas, como por exemplo o método LBM (do inglês,Lattice Boltzmann Method) (CHEN e DOOLEN, 1998) que não requer suavizador, e o método da proje¸cão, introduzido por Chorin (1968). Muitos trabalhos concentram-se também em estudos para valores do número de Reynolds, acurácia de solu¸cões próximas dos contornos e diferentes geometrias.

A Tab. 1 traz um resumo de pesquisas realizadas com as equa¸cões de Navier-Stokes na forma bidimensional nos últimos anos, incluindo a formula¸cão utilizada, op¸cão por multigrid ou não, números de Reynolds, tamanho máximo da malha, tipo de malha e solver.

Tabela1:Resumodetrabalhosrealizadoscomasequa¸cõesdeNavier-Stokesnosúltimosanos. AutorFormula¸cãoReMultigridMalhaMétodo/SolverPrincipaiscontribui¸cões Ghiaetal.(1982)ψ−ω100a10000Sim2572 MDF/CSIMostraramqueomultigridé4vezesmaisrápidoque singlegrid. Vanka(1986)p−v100a5000Sim3212 MDF/SCGSConstatoulentataxadeconvergênciaparaaltosRey- nolds. Gupta(1990)ψ−ω1a2000Não412 MDF/SORVerificouqueaproxima¸cõesde4oordemsãomaisacu- radas. NapolitanoePascazio (1991)

ω−v100a3200Sim1292 MDF/Gauss-SeidelMostrouem2De3Dqueométodousadofoieficiente emuitoacurado. Stortkuhletal.(1993)ψ−ω20Sim1292 MEF/Gauss-SeidelMostraramquesuassolu¸cõesnuméricasseaproximam dasolu¸cãoanal´ıticapróximaaoscantosdacavidade. Wood(1996)p−ve100a20000Sim1012 MDF/Gauss-SeidelVerificouquecomomultigridataxade ψ−ω(3n´ıveis)Simétricoconvergênciaéaceleradaemmalhasfinas. BotellaePeyret(1998)ψ−ω100a1000Não1602 Métododecoloca¸cãoApresentaramsolu¸cõesaltamenteprecisas. deChebyshev Zhang(2003)ψ−ω100a7500Sim2572 MDFCompacto/SORVerificouqueaproxima¸cõesde4oordememmalha grossasãocomparadascomoutrasaproxima¸cõesem malhafina. GuptaeKalita(2005)ψ−v100a10000Não1612 MDFCompactode2o ordem/Bi-CGStab

Mostrouqueoesquemacompactode2oordemproduz solu¸cõesacuradasemmalhasgrossasnaformula¸cão ψ−v. continuanapróximapágina...

Tabela1 AutorFormula¸cãoReMultigridMalhaMétodo/SolverPrincipaiscontribui¸cões Erturketal.(2005)ψ−ω1000a21000Não6012 MDF/TDMAMostrouváriascaracter´ısticasdoescoamentodesta- candooaparecimentodevórticequartenárioeterciá- rio. Wangetal.(2006)ψ−ω1a1000Não1292 MDFCompactodeMostrouqueosresultadoscomoesquemade4o 4o ordem/GMRESordem,usandomalhasnãouniformes,comparamfa- voravelmentecomosresultadosemmalhasfinasutili- zandométodosdediscretiza¸cãopadrão. Yanetal.(2007)p−v100a1000Sim2562 MVF/SORMelhorouofatordeacelera¸cãodoFMG-FASemcerca de40%. Pandit(2008)ψ−v100a3200Não1292 MDFCompactodeEmgeometriairregular,mostrouqueassolu¸cões 2o ordem/Bi-CGStabsãomuitoacuradasemmalhasgrossas. Chenetal.(2008)ψ−ω50a2000Não2572 LBMMostrouaperformancedométodoLBMcomvários problemastestes. Erturk(2009)ψ−ω100a1000Não5132 MDF/TDMAMostrou,emmalhanão-uniforme,quepode-seobter solu¸cãonuméricadoescoamentonacavidadecomaltos númerosdeReynoldsquandomalhasfinassãousadas. Kumaretal.(2009)p−v1000a10000Sim5132 MVF/SIMPLEC/TDMAMostrouqueéposs´ıvelobtersolu¸cõesdealtaordem emmalhamuitofina. Marchietal.(2009)p−v0.01a1000Não10242 MVF/SIMPLEC/MSIReduziramoerrodediscretiza¸cãousandoMúltiplas Extrapola¸cõesdeRichardson(MER).

No presente trabalho o método multigrid é aplicado a cinco modelos matemáticos, incluindo as equa¸cões de Navier-Stokes nas formula¸cões ψ −v e ψ −ω, em que alguns parâmetros são estudados. Uma das principais contribui¸cões da presente pesquisa é a apli-ca¸cão do métodomultigridna formula¸cãoψ−v. Para esta formula¸cão, não foi encontrado na literatura nenhum trabalho com o uso domultigrid.

No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN Á COSMO DAMI ÃO SANTIAGO ESTUDO DE PAR ÂMETROS DO MÉTODO MULTIGRID PARA SISTEMAS DE EQUA ¸C ÕES 2D EM CFD (páginas 34-40)