Fun¸c˜ ao Corrente e Velocidade: ψ − v

As Figs. 49, 50 e 51 ilustram o efeito do n´umero de n´ıveis (L) sobre o tempo de CPU paraRe= 100, 400 e 1000, respectivamente. O s´ımbolo “estrela” indica o Lque resultou no menor tempo de CPU em cada curva, ou seja, oL_otimo´ . Para Re= 100, Fig. 49, assim como verificado no estudo doσ, se¸c˜ao 5.2.1.1, as curvas exibem um padr˜ao coerente com a literatura em estudos feitos com outros problemas, independente de N (SANTIAGO e

MARCHI, 2008;PINTOeMARCHI, 2007): o valor ´otimo do n´umero de n´ıveis foi obtido com omultigrid percorrendo todos os n´ıveis de malhas, ou seja, L_´otimo =L_m´aximo. Contudo, a diferen¸ca relativa entre o tempo de CPU paraL_´otimo eL_m´aximo−(1 a 4) ´e em m´edia 5%, para qualquer malha. QuandoL < L_m´aximo−4 o tempo de CPU apresenta um aumento significativo.

As Figs. 50 e 51 ilustram os resultados para Re = 400 e 1000, respectivamente.

Nota-se que o tempo de CPU tamb´em apresenta uma varia¸c˜ao pouco significativa `a medida

127

Figura 49: Efeito do n´umero de n´ıveis sobre o tempo de CPU na formula¸c˜aoψ−vcomRe= 100.

que se diminui o n´umero de n´ıveis at´e um certo L, ficando praticamente est´avel quando L > Lm´aximo−(1 a 4). Ou seja, o n´umero de n´ıveis ´otimo pode ser considerado Lotimo´ = L_m´aximo−(1 a 4). QuandoN = 513×513, observa-se um intervalo maior para o n´umero de n´ıveis ´otimo, isto ´e, L_otimo´ =L_m´aximo−(1 a 6), permanecendo com o tempo de CPU praticamente est´avel com uma varia¸c˜ao, em m´edia, menor que 3% entre L_m´aximo−(1 a 6) eL´otimo. QuandoN = 129×129 ´e mais evidente que o menor tempo de CPU ocorre com o m´aximo n´umero de n´ıveis, isto ´e, L_otimo´ =L_m´aximo.

Figura 50: Efeito do n´umero de n´ıveis na formula¸c˜aoψ−vcom Re= 400.

Os resultados obtidos para o parˆametro L na formula¸c˜ao ψ−v, com o multigrid, est˜ao coerentes com resultados da literatura, mais precisamente para Re= 100.

Tannehill et al. (1997) afirmam que o uso de L = 4 ou 5 n´ıveis na equa¸c˜ao de

128

Figura 51: Efeito do n´umero de n´ıveis na formula¸c˜aoψ−vcom Re= 1000.

Laplace bidimensional, com N = 129×129 pontos, requer quase que o mesmo tempo de CPU que com L = 7 n´ıveis. Em um estudo do multigrid realizado com o problema bidimensional de advec¸c˜ao-difus˜ao Rabi e De-Lemos (2001) sugerem n˜ao menos que 4 n´ıveis. Pinto e Marchi (2006, 2007) tamb´em encontraram que o tempo de CPU L_´otimo ´e pr´oximo do tempo de CPU L_m´aximo no problema de Laplace bidimensional. Santiago e Marchi (2007, 2008) encontraram os mesmos resultados para as equa¸c˜oes de Navier e de Burgers. Os resultados encontrados para este parˆametro concordam com os resultados de Pinto e Marchi (2006, 2007), principalmente quandoRe= 400 ou 1000.

5.2.2.2 Fun¸c˜ao de Corrente e Vorticidade: ψ−ω

As Figs. 52, 53 e 54 ilustram a influˆencia do n´umero de n´ıveis (L) sobre o tempo de CPU, para Re= 100, 400 e 1000, respectivamente. O s´ımbolo “estrela” indica o L que resultou no menor tempo de CPU em cada curva, ou seja, o L_´otimo.

As curvas apresentam padr˜oes semelhantes em todos os tamanhos de malha testado, independente do n´umero de Reynolds. O n´umero de n´ıveis que resultou no menor tempo de CPU, em qualquer malha e qualquer n´umero de Reynolds, foi o m´aximo poss´ıvel, ou seja, em qualquer caso,L_otimo´ =L_m´aximo. A varia¸c˜ao do tempo de CPU entreL_m´aximo−(1 a 3) e L_´otimo mant´em-se praticamente est´avel de uma malha para a outra. Na malha N = 513×513 por exemplo, considerando os trˆes n´umeros de Reynolds, a varia¸c˜ao m´edia foi de 7,4%; na malha 257×257 foi de 8,3% e na malha 129×129 a varia¸c˜ao m´edia foi de

129

Figura 52: N´umero de n´ıveis com Re= 100, formula¸c˜ao ψ−ω.

Figura 53: N´umero de n´ıveis com Re= 400 na formula¸c˜ao ψ−ω.

17,3%, sendo maior quandoRe= 1000. Aparentemente, quanto mais fina a malha, menor ser´a a diferen¸ca do tempo de CPU entreL_otimo´ eL_m´aximo−(1 a 3), com qualquer n´umero de Reynolds.

5.2.3 Tamanho do problema (N)

A presente an´alise ´e concernente `a influˆencia do tamanho do problema sobre o tempo de CPU. S˜ao considerados o n´umero ´otimo de itera¸c˜oes internas (σotimo´ ) e o n´umero ´otimo de n´ıveis de malha (L_´otimo) obtidos nas se¸c˜oes 5.2.1 e 5.2.2. Para malhas muito grossas, em alguns casos, n˜ao foi poss´ıvel obter solu¸c˜ao num´erica para Re = 400 ou 1000. Altos

130

Figura 54: N´umero de n´ıveis com Re= 1000 na formula¸c˜ao ψ−ω.

n´umeros de Reynolds em malhas muito grossas produzem erros de discretiza¸c˜ao grosseiros ou o processo iterativo diverge.

Por outro lado, o m´etodo singlegrid requer tempo de CPU demasiadamente alto em malhas finas (quando N ´e grande), por isso, a an´alise limitou-se a problemas de tamanhosN = 17×17 at´e N = 129×129 na formula¸c˜aoψ−v; e at´e N = 513×513 na formula¸c˜ao ψ−ω. No m´etodo multigrid os resultados s˜ao mostrados para N = 17×17 at´e N = 1025×1025 nas duas formula¸c˜oes. Na Fig. 55, s˜ao apresentadas as curvas do tempo de CPU dos m´etodos multigrid esinglegrid das duas formula¸c˜oes.

(a) Formula¸c˜aoψ−v (b) Formula¸c˜aoψ−ω Figura 55: Tempo de CPU (s) versustamanho do problema N.

De acordo com Ferziger e Peric (2001), quanto mais fina a malha, isto ´e, quanto maior o n´umero de pontos da malha computacional, maior ´e a vantagem do m´etodo multigrid em rela¸c˜ao ao m´etodo singlegrid, ou seja, maior ´e o valor de S na Eq. (5.1).

131

Esta propriedade pode ser observada nas curvas da Fig. 55, sendo mais acentuada na Fig.

55a da formula¸c˜ao ψ −v e menos acentuada na Fig. 55b da formula¸c˜ao ψ −ω. Nota-se que as curvas relativas ao singlegrid se distanciam das curvas do m´etodo multigrid, crescendo muito mais r´apido, na medida em que a malha ´e refinada, independente do n´umero de Reynolds. Por exemplo, na formula¸c˜ao ψ−v, com Re= 100 e 400, na malha 65×65, verificou-se que o m´etodo multigrid´e 203 e 60 vezes mais r´apido que osinglegrid;

e na malha 129×129 esses valores s˜ao 1543 e 185, respectivamente. Estes resultados s˜ao suficientes para dar uma id´eia do qu˜ao demorado seria encontrar a solu¸c˜ao em malha muito refinada, sem usar o m´etodo multigrid. Com a formula¸c˜ao ψ−v, Gupta e Kalita (2005) obtiveram solu¸c˜oes com o m´etodo singlegridem malhas com no m´aximo 161×161 pontos. No presente trabalho apresenta-se an´alises dos parˆametros do m´etodo multigrid em malhas com at´e 1025 ×1025 pontos e Re ≤ 1000. Na malha 513 × 513 pontos, apresenta-se solu¸c˜ao inclusive com Re= 5000 (se¸c˜ao 4.2 e Tab. 4 do apˆendice A), neste caso o tempo de CPU foi de 5,3 horas de processamento. Solu¸c˜oes comRe > 5000 tamb´em foram obtidas em malhas mais grossas, no entanto, para elevados n´umeros de Reynolds foi necess´ario θ 1, como observado tamb´em por Gupta e Kalita (2005).

No caso da formula¸c˜ao ψ −ω, o desempenho do m´etodo multigrid em rela¸c˜ao ao singlegridn˜ao foi t˜ao bom quanto o esperado, mas semelhante ao encontrado tamb´em por Ghia et al. (1982). Este comportamento pode estar relacionado com o tipo de formula¸c˜ao, ou seja, resolu¸c˜ao de duas equa¸c˜oes diferenciais parciais do tipo Poisson e o c´alculo das condi¸c˜oes de contornos da vorticidade, que ´e acoplado com a fun¸c˜ao de corrente e calculado iterativamente. Na Fig. 55b pode-se observar o desempenho do m´etodo multigrid nessa formula¸c˜ao. A partir de N = 65 × 65, percebe-se uma melhora com o aumento do n´umero de pontos da malha, mas diminui com o aumento do n´umero de Reynolds; este comportamento tamb´em foi observado por outros autores (VANKA, 1986;YAN et al., 2007).

Destaca-se que para Re > 100, o tempo de CPU para obter a solu¸c˜ao num´erica com a formula¸c˜ao ψ −ω ´e, em geral, menor que com a formula¸c˜ao ψ −v. Na Tab. 10 est˜ao os fatores de acelera¸c˜ao (S), Eq. (5.1), encontrados para as duas formula¸c˜oes. Como j´a comentado anteriormente, obter solu¸c˜oes num´ericas na formula¸c˜ao ψ−v, em malhas refinadas, s˜ao demoradas para alcan¸car convergˆencia.

Na Tab. 10 tem-se uma vis˜ao geral do tempo de CPU do m´etodo multigrid e singlegrid e os respectivos fatores de acelera¸c˜ao. Nas duas formula¸c˜oes, observa-se que o tempo de CPU cresce significativamente com o aumento do n´umero de Reynolds, em qualquer malha. O mesmo ocorre com o fator de acelera¸c˜ao: ele aumenta com o aumento do n´umero de pontos da malha, mas diminui com o aumento do n´umero de Reynolds.

132

Tabela 10: Tempo de CPU (s) dos m´etodos multigridesinglegrid das duas formula¸c˜oes com os respectivos fatores de acelera¸c˜ao.

Malha Re ψ−v ψ−ω

MG/CPU SG/CPU S MG/CPU SG/CPU S

33×33

100 0,12 4,64 38,7 0,3 0,05 0,2

400 0,31 87,78 283,2 0,11 0,09 0,8

1000 12,7 139,48 11,0 — — —

65×65

100 1 203,42 203,4 0,25 0,67 2,7

400 2,59 154,3 59,6 0,86 1,14 1,3

1000 55,25 4878,89 88,3 4,45 4,12 0,9

129×129

100 6,55 10108,77 1543,3 2,81 10,88 3,9

400 42,25 7805,25 184,7 4,84 14,04 2,9

1000 108,55 7506,58 69,2 18,44 29,89 1,6

257×257

100 51,45 — — 43,34 197,36 4,6

400 599,8 — — 59,64 229,8 3,9

1000 2465,28 — — 121,33 322,92 2,7

513×513

100 496,33 — — 826,06 5152,58 6,2

400 1888,52 — — 1080,89 6646,33 6,1

1000 6839,41 — — 1727,64 9147,41 5,3

Comportamento como este foi observado tamb´em por outros autores (VANKA, 1986; YAN et al., 2007). Deve-se ressaltar que apesar da formula¸c˜aoψ−v apresentar maiores fatores de acelera¸c˜ao que a formula¸c˜aoψ−ω, o tempo de execu¸c˜ao do singlegrid com aψ −ω ´e menor que a de ψ−v.

5.2.4 Esfor¸co computacional

A ordem do solver associado ao m´etodo e o comportamento da curva em fun¸c˜ao do tempo de CPU, ´e feito aqui da mesma forma como na se¸c˜ao 5.1.5, ou seja, realizou-se um ajuste geom´etrico da curva de m´ınimos quadrados cuja fun¸c˜ao considerada ´e dada pela Eq. (5.2). O coeficiente c e a ordem p do solver, dado pela Eq. (5.2), para as duas formula¸c˜oes comN >17×17 pontos, ent˜ao mostrados na Tab. 11.

Os resultados da Tab. 11 indicam que o tempo de CPU do m´etodo multigridcom o solverSOR n˜ao cresce proporcionalmente com o aumento do n´umero de pontos da malha.

Para um crescimento linear o valor depdeveria ser igual a 1 ou muito pr´oximo da unidade, que ´e o ideal para o m´etodo multigrid. Pode-se observar na Tab. 11 que a ordem p no m´etodo multigrid decresce com o aumento do n´umero de Reynolds nas duas formula¸c˜oes.

133

Tabela 11: Expoente (p) da Eq. 5.2 para o solverSOR.

Re

ψ−v ψ−ω

MG SG MG SG

c p c p c p c p

100 2,1E-06 1,6 2,1E-08 2,8 1,4E-08 2,0 9,0E-09 2,2 400 1,5E-05 1,5 1,1E-02 1,3 4,0E-07 1,7 5,4E-08 2,0 1000 7,3E-04 1,3 2,0E-05 2,3 8,2E-06 1,5 5,9E-07 1,9

Verifica-se no caso do multigrid, que a ordem p aproxima-se do valor esperado (p = 1) quando Re = 1000, mas para os n´umeros de Reynolds menores os valores de p n˜ao s˜ao bons. No caso dosinglegrid na formula¸c˜aoψ−vverifica-se uma oscila¸c˜ao significativa no valorp com a varia¸c˜ao do n´umero de Reynolds. Na formula¸c˜aoψ−ω os valores de pno m´etodo singlegrid apresentam um comportamento mais est´avel, pr´oximo de 2.

Ainda que os resultados obtidos para o multigrid n˜ao tenham se aproximado da desej´avel convergˆencia linear, deve-se destacar que houve uma consider´avel redu¸c˜ao no tempo de CPU em rela¸c˜ao ao m´etodosinglegrid. O ganho tende a ser menor com elevados n´umeros de Reynolds, mas continua sendo importante `a medida que um n´umero maior de pontos ´e utilizado na malha computacional, como pode ser observado na Fig. 55