Função de Fluência e Coeficiente de Fluência

De acordo com Cavalcante e Ramos (2010), o estudo de fluência para finalidades práticas inclui modelos reológicos, físicos e empíricos, geralmente descrevendo apenas um estágio de comportamento. Inicialmente estes modelos fundamentaram-se no comportamento dos metais que posteriormente foram adaptados para a mecânica do concreto. Os métodos físicos foram abordados no início deste capítulo, em 3.3.1. Os modelos reológicos são modelos que representam de forma macroscópica o comportamento mecânico dos corpos sólidos em termos de tensão, deformação e tempo. Um exemplo desse modelo é o viscoelástico23 _{de Maxwell, representado por uma mola e um amortecedor, ambos}

conectados em série. O modelo prevê um aumento da deformação sem limites. Isso é uma característica de muitos fluidos e, por essa razão, o material descrito na equação é conhecido como fluido de Maxwell (SAMPAIO, 2004). Os modelos empíricos nada mais são que equações matemáticas deduzidas de observação e ajuste entre o comportamento de uma curva típica de fluência e o seu resultado experimental. De acordo com a função matemática dominante, a equação empírica pode ser subdividida em: potencial, logarítmica e exponencial. A lei empírica potencial é o modelo que melhor representa o comportamento nos primeiros estágios de fluência. A equação (112), desenvolvida por Lomenick24 (1969 apud

23 _{Viscoelasticidade é muito similar à fluência, mas parte da deformação é recuperada quando o}

carregamento é retirado. Um material viscoelástico muito comum é o vidro e alguns plásticos (ANSYS INC., 2013)

24 _{LOMENICK, T. F.; BRADASHAW, R. L. Deformation of Rock Salt in Openins Mined for the Disposal}

GRAVINA, 1997), utiliza três constantes empíricas para o seu melhor ajuste e relaciona a deformação com a tensão, temperatura e tempo.





Onde:  é a deformação transiente de fluência;  é a tensão diferencial; t é o tempo; T é a temperatura; K, a, b e c são constantes empíricas.

A lei potencial vem sendo aplicada bastante na fase transiente da curva de deformação por fluência. O Abaqus® (programa comercial para modelagem em elementos) propõe o “power-law model”, um modelo de fluência que leva em consideração a tensão diferencial (') e o tempo (t). O modelo “power law model” do Abaqus® pode ser utilizado em duas versões: “time-hardening” e strain-hardening”. A versão “time-hardening” é mais apropriada quando o estado de tensão permanece essencialmente constante, enquanto que a versão “strain-hardening” é mais recomendada quando o estado de tensões varia durante as análises. Nas simulações realizadas levou-se em consideração a taxa de deformação de fluência na versão “time-hardening”, visto que nas análises considera-se uma variação muito pequena no estado de tensão.

3.3.6.2 Princípio da Superposição e Representação Integral

Devido à pouca fidelidade com que os ensaios retratam as condições reais de uma estrutura de concreto, como, por exemplo, a carga de uma estrutura real não se manterá constante como em um ensaio de fluência, nem a deformação se manterá constante como em um ensaio de relaxação, Mchenry25 _{(1943 apud}

MEHTA; MONTEIRO, 2008) postulou o Princípio da Superposição. Este método de cálculo possibilita encontrar o valor da deformação em um dado tempo a partir de um histórico de tensão conhecido.

Pelo princípio, as deformações geradas no concreto em um tempo t qualquer, por um incremento na tensão em um tempo t0 qualquer, não dependem de

qualquer tensão aplicada antes de ou depois de t0. As tensões que se aproximam da

resistência limite são excluídas.

25 _{MCHENRY, D. A. New Aspect of Creep in Concrete and Its Application to Design. ASTM Proc., v.}



Figura 23 – Aplicação Incremental de Carga ao Longo do Tempo

Fonte: Adaptada de Mehta e Monteiro (2008).

Resultados experimentais mostraram que o princípio da superposição funcionou bem para corpos de prova de concreto selado, que servem para testar a fluência básica. Se a fluência estiver associada à retração por secagem, devem-se aplicar outros métodos.

De acordo com Sharma26 _{(1964 apud MEHTA e MONTEIRO, 2008), a}

seguinte formulação também é aplicável ao princípio da superposição: “O efeito da soma das causas é igual à soma dos efeitos de cada uma destas causas”.

Pode-se entender que independe a ordem em que os cálculos de diferentes modelagens de estruturas são realizados. Se o princípio da superposição for aplicável, as análises podem ser realizadas separadamente e depois somadas.

Considere-se _{e as deformações que resultam dos históricos de} tensão _{e , respectivamente. Se o material for viscoelástico linear, pode-se} simplesmente somar os dois históricos de tensão, como na equação (113):

(113)

Utilizando-se o princípio da superposição, o seguinte histórico de deformações é obtido:

26 _{SHARMA, M. G. Viscoelasticity and Mechanical Properties of Polymers. Pensylvania, PA:} University Park, 1964.

(114) Após isso, usando o princípio da superposição e uma função de fluência conhecida, pode-se determinar, em qualquer tempo, a deformação para um histórico de tensão. Para um ensaio de fluência, pode-se escrever a seguinte expressão:

(115)

Onde:

: é a deformação em função dos seguintes valores: : tensão no tempo inicial;

t: tempo de carregamento; e : idade de carregamento.

No intervalo linear, a equação (115) pode ser escrita de acordo com a equação (116):

(116)

Onde:

: é a função de fluência específica.

A Figura 23 ilustra uma tensão qualquer variando ao longo do tempo. Desmembrando o histórico de tensões em pequenos intervalos, tem-se:

∑

(117) Sendo:

.

Utilizando a expressão da equação (117), o histórico de deformações é formulado conforme a equação seguinte:

∑

(118) Para obter as variações de deformação para qualquer variação de tensão, escreve-se:

∫ (119)

A integral da equação (119) costuma ser chamada de integral hereditária ou de Volterra. Ela expressa que, no tempo t, a deformação não depende só da

tensão _{, mas de todo o histórico de tensões. Integrando a equação (119) por} partes, tem-se:

_∫ (120) Onde:

(121)

3.4 MODELO DE CONCRETO E FLUÊNCIA