MATEMÁTICA Recordar:
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Uma função f definida por f(x) = bx , b > 0 e b ≠ 1 é uma função
exponencial.
São exemplos de funções exponenciais:
f(x) = 2x f(x) = 3x f(x) = 5x
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GRÁFICO E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO
De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
Ana Paula Figueiredo
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• Gráfico de função exponencial
A construção de gráficos de função exponencial segue dois modelos, quando o valor da base é maior que 1 e quando o valor da base está entre 0 e 1. Veja esses modelos esboçados:
Dada a função f(x) = ax, veja como ficarão os gráficos dependendo do valor de a
(base).
Esse gráfico representa uma função
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GRÁFICO E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO
De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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• Imagem e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre (quando o valor da base é maior que 1) um valor real positivo diferente de zero.
• Esse gráfico representa uma função
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GRÁFICO E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO
De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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• Imagem e domínio: x1 e x2 são os valores do domínio dessa função e os valores de y1 e y2 são os valores da imagem dessa função, sendo que a imagem será sempre (quando o valor da base é maior que 1) um valor real positivo diferente de zero.
Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes, essas são características para qualquer gráfico de função exponencial. • O gráfico (curva) nunca irá intercetar o eixo x, pois a função exponencial não possui raiz.
• O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão positivos.
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GRÁFICO E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO
De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE e
Considere a função f definida por f(n) = (1 + 1/n)n com n ∈ IN .
Verificamos que, à medida que n aumenta indefinidamente, as suas imagens vão estabilizando num certo valor : 2,718 28...
Este valor que se representa pela letra e, é uma das constantes mais importantesda matemática. n f(n) 1 f(1) = ( 1 + 1/1)1 = 2 10 f(10) = ( 1 + 1/10)10= 2,593 743 102 f(102) = ( 1 + 1/102)100= 2,704 814 104 f(104) = 2,718 145 927 106 f(106) = 2,718 280 469 108 f(108) = 2,718 281 815
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De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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Diz-se que o limite da função f, quando n tende para mais infinito, é o número e e escreve-se:
lim ( 1 + 1/n)n = e
n→+∞
O número e que se designa por constante de Euler ou por número de Neper, é um número irracional (corresponde a uma dízima infinita não periódica.
e = 2,728 281 828 459 045 ...
Tem particular importância na modelação matemática a função exponencial de
base e. Esta função, definida por f(x) = ex , tem as propriedades já indicadas
para as funções do tipo y = ax , com a > 1.
f : IR e x
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De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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LOGARITMOS
Logaritmo de um número x numa base b é o expoente y a que é necessário
elevar b para obter x ( b > 0 e b ≠ 1).
b
y= x ⇔ y = log
bx
Exemplo:
Resolver a equação:
2x = 3
• x é o número a que é necessário elevar 2 para obter 3 e designa-se por
logaritmo de 3 na base 2.
2
x= 3 ⇔ x = log
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De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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Assim, temos:
log10100 = 2 , porque 102= 100 ou log
10100 = log10102 = 2
log232 = 5 , porque 25 = 32 ou log
232 = log225= 5
log1717 = 1 , porque 171= 17 ou log
1717 = log17171 = 1
log51 = 0 , porque 50 = 1 ou log
51 =log550 = 0
log93 = ½ , porque 91/2= 3 ou log
93 = log9 = log991/2 = ½
Donde, tendo em conta a definição, temos que:
logbbx = x blog
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De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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LOGARITMO DE BASE 10 E LOGARITMO DE BASE e
•No cálculo de logaritmos de base 10 (logaritmo decimal) a base pode ser suprimida.
•No cálculo de logaritmos de base e (logaritmo neperiano ou logaritmo
natural) a escrita a usar pode ser lnx em vez de logex.
Para calcular o logaritmo de um número na base 10 ou na base e, é possível usar directamente a calculadora.
Exemplos:
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De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou fechadas ou ausência de bolas para identificar o domínio e o contradomínio de uma função.
Exemplos: Df = IR Dg = ] -1 , 1 [ Dh = ] 0 , + [ D ‘f = { 3 } D’ g = { 2 } D’h = { 1 } x -2 -1 0 1 2 x 0 1 2 3 x f 0 1 2 3 g h
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