O governo, como foi apresentado, possui um importante papel na produção da economia, já que seus gastos em manutenção de infra-estrutura exercem papel de insumo dentro da função de produção.
E como gestor da política econômica não se utiliza de empréstimos ou emissão de moeda para financiar tais gastos, e sim da tributação sob as variáveis econômicas como salário, consumo e renda do capital. Isto significa que, o conjunto das seqüências relativas aos parâmetros fiscais são dados endógenos do modelo.
Como os indivíduos desta economia possuem a mesma função de utilidade (2.1) podemos utilizá-la como a função objetivo do planejador central que no modelo é representado pelo governo.
O governo maximiza a função de utilidade indireta dos indivíduos em função dos impostos, escolhendo, desta forma, o nível de tributação que maximize a utilidade de steady state dos indivíduos.
A única restrição imposta ao governo é o nível de gasto público ofertado na economia que não pode exceder os impostos arrecadados sob as variáveis econômicas (salário, consumo e renda do capital).
Desta forma temos gasto público igual a:
Como estamos trabalhando com os parâmetros no formato per capita, temos
que o gasto público per capita será:
Como foi explicado na seção 1 o número de indivíduos no período t é . E a taxa de crescimento populacional é . Isto implica que .
Para facilitar o estudo normalizamos a população para um e consideramos nulo o crescimento populacional .
Como o problema do governo será escolher o nível de tributação que maximize a utilidade em steady state dos indivíduos, temos que apresentar o gasto
público também em steady state, fazendo Façamos o mesmo com as demais variáveis que compõe este gasto :
Substituindo as equações (2.27), (2.28), (2.30) e (2.31) na equação acima teremos:a equação (2.35):
Agora podemos armar o problema do governo, que se resume na maximização da utilidade de steady state dos indivíduos sujeito as restrições
impostas aos agentes bem como, a restrição do próprio governo representada pelo gasto público em capital (infra-estrutura).
Max
Sujeito a
(2.28)
Resolvemos a equação acima substituindo as restrições na função de utilidade e derivando em relação aos impostos
C.P.O
A solução, destas equações, não foi aqui exposta por causa de sua complexidade, já que temos como resultado do imposto sobre o salário ( ) uma função não linear, ou seja, além de ter como variável dependente os outros dois impostos ele depende de si mesmo. Com isso, foi necessária a utilização de métodos computacionais para solucionar o problema.
3 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO
Este capítulo apresenta a metodologia a ser empregada para conduzir as simulações propostas. Devido à complexidade da solução do problema relatado na última seção do capítulo anterior foi-se necessário a utilização de métodos computacionais5 para solucionar o problema, que será apresentado neste capítulo.
Na seção 3.1 utilizaremo – nos do método Grid Search para encontramos a
solução do problema de maximização do governo. Trata-se de um mecanismo que incorpora uma rede de tentativas para solucionar o problema proposto.
Na seção 3.2 será realizada a calibração dos parâmetros do modelo de forma que tenhamos alguma relação com a economia real.
Por fim buscaremos apresentar na última seção as simulações do modelo.
3.1 Algoritmo de solução
O algoritmo implementado para o cômputo numérico do equilíbrio é conhecido como Grid Search. Trata-se de um dos mais primitivos processos para maximizar
(ou minimizar) uma função. Este método envolve uma seleção sistemática de entradas de dados para obter a solução do problema, no qual, será exata ou muito próxima disso.
No método Grid Search uma rede de pontos é apresentado, exemplo 1000
tentativas, e avalia-se a função nestes pontos escolhendo o maior (ou menor) valor (dependendo do problema) como solução da função.
Segundo Judd (1998, p. 100), apesar de termos uma inclinação natural em tentarmos utilizarmo-nos primeiro de métodos supostamente melhores, o autor sugere ser uma boa idéia começar com o método Grid Search para qualquer
problema. Em seu livro é citado, como exemplo, a maximização da função likelihood,
pois, o resultado deste método pode indicar a curvatura geral desta funçã,”if the Grid Search indicates that the function is flat over a wide range, there is little reason to proceed with more sophisticated method. If the Grid Search indicates that there are multiple local optima, than we need to work hard to find the global optimum”.6
5
Nas simulações contidas neste trabalho, utilizou-se o programa MatLab.
6
Se o método Grid Seach indicar que a função é plana, há pouca razão para prosseguir com métodos mais sofisticados. Se o Grid Search indicar que há múltiplos ótimos locais, então nós precisaremos trabalhar arduamente para encontrar o ótimo global.
Para tal método Kim (1997), em sua tese de doutorado intitulada Iterated Grid Search Algorithm on unimodal criteria, recomenda que seja feito no mínimo 100
tentativas e cresça este número de entradas de dados até que o resultado não tenha nenhuma mudança significativa.
O método Grid Search também é conhecido como Brute Force Method, pois,
examina meticulosamente cada valor possível antes de chegar a uma resposta. Diante do exposto, e pela simplicidade do método, decidimos utilizar o Grid Search Algorithm para encontrarmos a solução do problema que, como relatamos,
trata-se da melhor seleção de valores da taxa de impostos possíveis que maximize a função de utilidade em steady state dos agentes da economia.
Com os códigos de linguagem do MatLab montamos o que o programa chama de M-file. Trata-se de uma função que aceita argumentos e produz
resultados. Para iniciar o nosso algoritmo optamos por utilizar a função “for”. O “loop for” executa uma declaração ou um grupo de declarações em um predeterminado
número de vezes, desta forma é aplicado o método Grid Search já que teremos uma
rede de pontos que soluciona o problema. A sentença da função “for” é a seguinte:
for índice=começo:incremento:final
declaração
end;
Para tal função, quando utilizamos índices positivos, a execução do loop
termina quando o valor indexado excede o valor final.
No algoritmo deste modelo decidimos utilizar uma rede de tentativas que vai de 1 a 100.000 dentro do subconjunto do espaço euclidiano no como forma de encontrarmos o resultado exato ou aproximado do problema de maximização do governo:
for7 i=1:100000
7
A função “rand” também utilizada nesta simulação gera uma variedade de
números aleatórios que estão uniformemente distribuídos em um intervalo entre (0,1). Como esta função está indexada , a “loop for” produzirá de 1 a 100000
combinações de números dentro deste intervalo. Foi preciso utilizar a função “rand”
pois as variáveis a serem estimadas são as taxas de impostos que não podem exceder o intervalo citado.
A variável representa uma matriz 3X1 que tem como entrada os impostos dispostos na seguinte ordem:
Com posse das 100.001 tentativas de valores dos impostos o programa calcula as variáveis do modelo (g,w,s,k, U). Para melhor organização dos dados
coletamos cada resultado na tabela “Z” que possui “i” linhas e 10 colunas (variáveis
estimadas). Com os resultados dispostos na matriz “Z” buscamos encontrar a melhor utilidade possível para os agentes e conseqüentemente as demais variáveis.
Temos como ponto final da solução do problema a escolha da melhor utilidade, pois, por definição a utilidade constitui uma forma de descrever as preferências do consumidor. Varian (2000) apresenta em seu livro a função de utilidade como um modo de atribuir um número a cada possível cesta de consumo, de modo que se atribuam às cestas mais preferidas números maiores que os
atribuídos as menos preferidas. Isto é, a cesta será preferida à se e somente se a utilidade de for maior que a utilidade de
Varian (2000, p. 57) completa a sua análise afirmando que:
A única propriedade de uma atribuição de utilidade que interessa é o modo como ela ordena as cestas de bens. A grandeza da função de utilidade só tem importância na medida em que ela hierarquiza as diferentes cestas de consumo. A extensão da diferença de utilidade entre quaisquer duas cestas não importa.
Por isso, torna-se tão importante em nosso trabalho escolher a melhor utilidade do algoritmo. Quanto ao valor de cada utilidade, só serve para ordenar as cestas não tendo problema algum se forem negativos, e na verdade o será, pois, a função de utilidade explicitada neste modelo é uma função logarítmica cujos argumentos (c1, c2) estão entre 0 e 1.
Para achar esta maior utilidade dentro da matriz “Z” utilizamos a função
“ ” oferecida pelo MatLab.
3.2 Calibragem do Modelo
Para obtermos um equilíbrio numérico do modelo precisamos especificar os valores dos parâmetros. O estudo realizado para que tenhamos estes resultados é chamado de calibragem do modelo.
Utilizaremos como principal fonte de referência dos nossos estudos o artigo apresentado por Lledo (2001) onde o autor usa o modelo de Auerbarch e Kotlikoff (1987) aplicado à economia brasileira para analisar os efeitos macroeconômicos de curto e longo prazo e os efeitos distributivos entre gerações de uma reforma tributária por ele proposta.
A calibragem apresentada em seu artigo corresponde a uma média entre os anos de 1994 e 1998, a escolha deste período foi realizada por dois motivos principais. Primeiramente por se tratar dos mais recentes dados macroeconômicos confiáveis necessária ao exercício de calibragem e segundo por 1998 ter sido um ano muito instável devido à crise financeira mundial que fez com que o Brasil adotasse o regime de câmbio flexível no começo de 1999 e por tanto variáveis financeiras e fiscais foram afetadas sensivelmente pela crise.
Assim, tendo como base o período proposto pelo autor os parâmetros serão estimados, na medida do possível, utilizando-se de dados da economia brasileira.
3.2.1 Resultado da Calibragem
A média histórica até 1998 nos mostra que o crescimento populacional (ƾ) foi estabelecido em 1,9%. Quanto à medida utilizada para calcular a taxa de juros real foi levado em consideração as taxas de juros de longo prazo fixado pelo Banco Central Brasileiro no qual temos como, a média entre os anos de 1994 – 1998, o valor de 16,5%.
O parâmetro que é a da taxa de desconto, a qual sinaliza o grau de preferência pelo consumo ao longo do tempo, foi estimado levando-se em consideração os resultados obtidos por outros autores tanto na economia brasileira com em outras economias.
Lledo apresenta em seu trabalho a taxa de desconto sendo 0,02 e afirma que este valor é relativamente menor do que o encontrado por Araújo e Ferreira (1999 apud LLEDO, 2001, p.10) 0.07, mas bem próximo ao que foi calibrado para a economia colombiana de 0,03, de acordo com (SHMIDT-HEBBEL, 1994 apud LLEDO, 2001, p.10) e idêntico ao encontrado para o Chile, de acordo com (CIFUENTES, 1993 apud LLEDO. 2001, p.10).
Quanto a economia americana, estudos revelaram que este parâmetro está entre 0,01, de acordo com (MCGRATTAN, 1994 apud LLEDO, 2001, p.10 ), e 0,06, de acordo com (COOLEY; PRESCOTT, 1995 apud LLEDO, 2001, p.10).
Para encontrar o valor da participação do capital privado na função de produção o autor utilizou a fórmula encontrada para a taxa de juros que é obtida através da produtividade marginal do capita.
A razão entre capital e produto é aproximadamente 38, e a média da taxa de juros entre os anos de 1994 – 1998 é 16,54% fazendo com que a participação do capital privado na economia seja 50% (49,62%).
No nosso modelo temos a função de produção per capita (equação 2.18):
A taxa de juros, paga ao capital, do nosso modelo também é obtida através da produtividade marginal do capital (equação 2.20):
Logo podemos utilizar os mesmos valores e dizer que em nosso modelo a participação do capital privado na economia é 50% (49,62%).
Com base neste resultado e tomando como referência a tabela abaixo, temos que a participação do capital público na economia entre os anos de 1995 – 1998 é de 0,13.
Tabela 1 - Participação do Setor Público e do Setor Privado no Investimento Formação bruta de Capital (% do PIB) 1995 1996 1997 1998 Média entre 1995-1998 Setor Público 4,7 4,6 4,5 4,4 4,55 Setor Privado 17,5 16,3 17 16,7 16,88 Total 22,2 20,9 21,5 21,1 21,43 Fonte: AFONSO et al.(2007).
É importante ressaltar que, neste período, houve um importante processo de privatização no país que foi responsável, em parte, pelas decrescentes taxas de investimento público (AFONSO et al., 2007).
Para o cálculo dos impostos dos agentes da economia sob o salário, a renda do capital privado e o consumo o autor apresenta no anexo do seu trabalho a conversão da taxa do imposto corporativo em taxa de impostos pagas pelos agentes.
8
A média do imposto sob o consumo foi calculada dividindo a média de todos os impostos (federal, estadual e municipal) cobrados sob o consumo entre os anos de 1994-1998 e o resultado foi de 15,7%.
Quanto os impostos pagos pelos indivíduos sob o salário e sob a renda o resultado, neste mesmo período, foi de, respectivamente, 7,6% e 9,2%.
Abaixo, apresentaremos o resumo dos resultados obtidos.
Tabela 2 - Definição dos valores da calibragem
Símbolo Definição Valor
ƽ Crescimento populacional 0,019 Participação do capital privado na economia 0,50 Participação do capital público na economia 0,13 Taxa de desconto intertemporal 0,021 Taxa de imposto sob o consumo 0,157 Taxa de imposto sob a renda do capital privado 0.092 Taxa de imposto sob o salário 0,076 Fonte: A autora
3.3 Simulação
Diante do algoritmo exposto na seção anterior realizamos simulações com objetivo de encontrar a melhor combinação possível de impostos cobrado pelo governo que resulte na maximização da função de utilidade indireta em steady state
dos agentes desta economia.
Para encontrarmos o melhor resultado foram realizados dez loops, de
100.000 (cem mil) tentativas cada, do método Grid Search de forma que se pudesse
apurar os nossos resultados até o ponto em que houvesse uma pequena diferença entre um grupo de 100.000 tentativas e outro.
Para realizar esta simulação foi necessário utilizar três parâmetros advindos da calibragem realizada para economia brasileira, porém lembramos que em nosso modelo decidimos não inserir o crescimento populacional, normalizando – o para zero:
Tabela 3 - Parâmetros da simulação
Símbolo Definição Valor
Taxa de desconto intertemporal 0,021 Participação do capital privado na economia 0,50 Participação do capital público na economia 0,13 Fonte: A autora
Os melhores resultados (maior utilidade) encontrados, para cada série de tentativas, estão expostos no gráfico abaixo:
Gráfico 1 - Utilidade dos agentes em steady state
Fonte: A autora
Como vemos no gráfico acima a cada grupo de tentativa o valor da utilidade foi sendo apurado. Foi necessário repetir o processo várias vezes (total de 10 loops)
até que o melhor resultado da penúltima e última tentativa não tivesse nenhuma diferença significativa.
Os valores encontrados para as variáveis econômicas na 10º tentativa estão expostos no quadro abaixo:
Tabela 4 - Variáveis econômicas da simulação do modelo (10 º loop)
Símbolo Definição Tentativa10º
U Função de Utilidade Indireta dos agentes em Steady State -8,0051
Tc Taxa de Imposto sob o consumo 0,013836
Tr Taxa de imposto sob a renda do capital privado 0,56971
Tw Taxa de imposto sob a remuneração do trabalhador 0,001023
G Investimento em capital-público 0,35774
c1 Consumo dos agentes no primeiro período 0,012051
c2 Consumo dos agentes no segundo período 0,025687
W Remuneração do trabalhador 0,024208
S Poupança 0,011966
K Estoque de capital privado em steady state 0,011966 Fonte: A autora
As variáveis, investimento em capital-público, consumo dos agentes no primeiro e segundo período, remuneração do fator produtivo trabalho, poupança, estoque de capital privado, bem como a utilidade, depende diretamente dos parâmetros apresentados na tabela 3 e do resultado dos impostos que foram obtidos através da simulação, que também estão expostos na tabela acima (tabela 4).
Diante do resultado apresentado acima e com intuito de comparação, buscamos encontrar, utilizando os parâmetros da tabela 3 e os valores dos impostos (calibrado para a economia brasileira) da tabela 2, as variáveis econômicas segundo a calibragem realizada para a economia brasileira, lembrando mais uma vez que não levaremos em consideração o crescimento populacional.
A tabela abaixo compara estes dois resultados:
Tabela 5 - Comparação entre a calibragem e o resultado da simulação.
Símbolo Definição Modelo Calibragem
U Função de Utilidade Indireta dos agentes em steady state -8,0051 -8,4455
Tc Taxa de Imposto sob o consumo 0,013836 0,157
Tr Taxa de imposto sob a renda do capital privado 0,56971 0,092
Tw Taxa de imposto sob a remuneração do trabalhador 0,001023 0,076
G Investimento público - capital público 0,35774 0,29443
c1 Consumo dos agentes no primeiro período 0,012051 0,0074352
c2 Consumo dos agentes no segundo período 0,025687 0,026827
W Remuneração do trabalhador 0,024208 0,018429
S Poupança 0,011966 0,0084256
K Estoque de capital privado em steady state 0,011966 0,0084256 Fonte: A autora
4 CONCLUSÃO
No modelo aqui proposto o governo, como gestor da política econômica e buscando maximizar o bem-estar dos agentes da economia, teve como principal problema escolher o nível de oferta de capital público e a combinação ideal de impostos que proporcionasse a maximização da função de utilidade indireta dos agentes em steady state .
Através das simulações, utilizando o método Grid Search, conseguimos
selecionar este nível de tributação ótimo e temos como resultado deste método que a utilidade encontrada na calibragem realizada para a economia brasileira no período de 1994-1998 está aquém do valor ótimo encontrado em nosso modelo.
Ao analisarmos a variável estoque de capital privado em steady state temos
que, a sua acumulação não é afetado pela taxa de juros paga pela remuneração deste capital. Mas, um aumento do imposto sob o salário reduz esta acumulação já que o agente, tendo a remuneração do seu trabalho reduzida, disporá de menos recurso para poupar e por conseqüência reduzirá o capital na economia.
O nosso modelo apresenta a proposta de redução do imposto sob o salário para que seja alcançado um nível de estoque de capital de steady state maior do
que foi obtido para a calibragem da economia brasileira no período proposto.
Temos ainda que, a oferta de capital público afeta diretamente o estoque de capital privado em steady state. Esta ligação entre o capital público e privado mostra
a importância da retomada dos investimentos público para o próprio capital privado. Além disso, Cruz e Pommert (2006) mostrou em seu artigo que o governo tem um importante papel na economia, já que ele reduz parte das incertezas enfrentadas pelas firmas, “(...)observing that the positive correlation between opennes of economies and the government size of theses economies is stronger when terms-of- trade risk is higher, he deduces that government spending may play a risk-reducing role”. (RODRIK, 1998 apud CRUZ E POMMERT, 2006, p.8).9
Este resultado de elevação do estoque de capital privado per capita em steady state se repete mesmo reduzindo o imposto sob consumo e sob o salário e
fazendo com que o próprio capital privado “pague” (através do aumento do imposto sob a remuneração deste capital) pelo investimento público.
9
(...) observando que a correlação positiva entre a abertura da economia e o tamanho do governo desta economia é forte quando o termo risco é alto, ele deduz que o gasto do governo pode agir como redutor de risco.
Quando analisamos a variável consumo temos que, o consumo realizado no segundo período teve uma pequena redução, se comparado aos dados encontrados na calibragem, enquanto foi observada uma elevação no consumo do primeiro período, também em comparação aos resultados obtidos nesta calibragem. Este resultado pode ser fruto do aumento da taxa de imposto sob a remuneração do capital privado, já que este imposto altera os preços relativos do consumo entre os dois períodos. Ou seja, quando temos uma elevação deste imposto, o agente desta economia decidirá poupar menos aumentando o nível de consumo no primeiro período e reduzindo, conseqüentemente, a quantidade de recursos a ser usufruído no consumo de segundo período.
Além disso, o baixo nível de consumo na economia aqui modelada é justificado pelo fato de não incorporarmos na função de utilidade dos agentes qualquer tipo de herança ou transferência. Tendo, os indivíduos desta economia, que poupar todo o capital a cada período.
Quanto à produtividade marginal do trabalhador temos que ela varia diretamente com nos níveis de capital, tanto público quanto privado. E como foi percebida em nosso modelo, a oferta de capital privado está, também, diretamente relacionada à oferta de capital público. Logo, uma elevação destes dois capitais provocará um aumento da produtividade marginal do trabalhador e por conseqüência a remuneração paga a eles pelas firmas.
Com estes resultados temos que, o investimento do capital público na economia aparece como um impulsionador ao desenvolvimento econômico confirmando os resultados dos estudos citados ao longo desta dissertação.
Porém sabemos que trabalhos futuros poderão refinar ainda mais a abordagem teórica aqui apresentada, de forma que se possa analisar, entre outras questões, o impacto positivo, como foi relatado por Arraes e Teles (1999), do investimento em capital humano sobre a produtividade marginal do trabalhador e qual seria o nível ideal de steady state em que este investimento juntamente com o
investimento do governo, em infra-estrutura, deveria ser aplicado e financiado para