Aqui introduzimos o conceito de funções intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas homogêneas de grau k ∈ R+.
De nição 5.1. F : L∗
× L∗
→ L∗ é uma função intuicionista de Atanassov intervalar-
mente valoradas homogênea de grau k ∈ R+ se ∀(x
1, y1), (x2, y2) ∈ L∗ e λ ∈ L temos
que:
F (λ(x1, y1), λ(x2, y2)) = λkF ((x1, y1), (x2, y2)).
Proposição 5.1. Sejam F1 e F2 funções intuicionistas de Atanassov intervalarmente
1. F1F2((x1, y1), (x2, y2)) = F1((x1, y1), (x2, y2))F2((x1, y1), (x2, y2)) é uma função
intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada homogênea de grau k1+ k2,
2. F1/k1
1 ((x1, y1), (x2, y2)) = F1((x1, y1), (x2, y2))1/k1 é uma função intuicionista de
Atanassov intervalarmente valorada homogênea de grau [k1/k1, k1/k1]. Em parti-
cular, quando k1 é degenerado, então [k1/k1, k1/k1] = [1, 1].
3. Para todo α ∈ [0, 1], se k = k1 = k2 então a soma convexa de F1 e F2, ou seja a
função F : L∗
× L∗
→ L∗ de nida por
F ((x1, y1), (x2, y2)) = αF1((x1, y1), (x2, y2)) + (1 − α)F2((x1, y1), (x2, y2)),
é uma função intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada homogênea de grau k
Demonstração. 1. Sejam (x1, y1), (x2, y2) ∈ L∗ e λ ∈ L. Logo, pela de nição de
homogeneidade intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada, temos que:
F1F2(λ(x1, y1), λ(x2, y2)) = F1((λ(x1, y1), λ(x2, y2)))F2((λ(x1, y1), λ(x2, y2)))
= λk1F
1((x1, y1), (x2, y2))λk2F2((x1, y1), (x2, y2))
= λk1+k2F
1F2((x1, y1), (x2, y2)) pela Observação 2.7·
Logo, F1F2((x1, y1), (x2, y2)) é uma função intuicionista de Atanassov intervalar-
mente valorada homogênea de grau k1+ k2.
2. Sejam (x1, y1), (x2, y2) ∈ L∗ e λ ∈ L. Então temos:
F1/k1 1 (λ(x1, y1), λ(x2, y2)) = (F1(λ(x1, y1), λ(x2, y2)))1/k1 = (λk1F 1((x1, y1), (x2, y2)))1/k1 = (λk1)1/k1F1/k1 1 ((x1, y1), (x2, y2)) = λ[k1/k1,k1/k1]F1/k1 1 ((x1, y1), (x2, y2))· Portanto, F1/k1
1 ((x1, y1), (x2, y2))é uma função intuicionista de Atanassov interva-
larmente valorada homogênea de grau [k1/k1, k1/k1].
F (λ(x1, y1), λ(x2, y2)) = αF1(λ(x1, y1), λ(x2, y2)) + (1 − α)F2(λ(x1, y1), λ(x2, y2)) = αλkF 1((x1, y1), (x2, y2)) + (1 − α)λkF2((x1, y1), (x2, y2)) = λk(αF 1((x1, y1), (x2, y2)) + (1 − α)F2((x1, y1), (x2, y2))) = λkF ((x1, y1), (x2, y2))
As funções intervalares homogêneas podem ser estendidas para o conjunto de funções intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas homogêneas como mostra o próximo resultado.
Teorema 5.1. Sejam F1, F2 : L2 → L os representantes de uma função ]F1F2 : L∗× L∗ →
L∗. Se ]F1F2 é homogênea de grau k ∈ R+ então a função intervalar F1 é homogênea
intervalar de grau k e F2 é homogênea intervalar de grau k se, e somente se, k = [1, 1].
Demonstração. Considere ` : L∗
→ L e ]F1F2 : L∗ × L∗ → L∗ de nido de acordo com a
Equação (2.10). Então, para todo x, y, λ ∈ L temos:
F1(λx, λy) = `(F1(λx, λy), F2(λc[0, 0], λc[0, 0])) = `(]F1F2((λx, λc[0, 0]), (λy, λc[0, 0]))) = `(]F1F2(λ(x, [0, 0]), λ(y, [0, 0]))) = `(λkF]1F2((x, [0, 0]), (y, [0, 0]))) = λk`(]F1F2((x, [0, 0]), (y, [0, 0]))) = λk`(F1(x, y), F2([0, 0], [0, 0])) = λkF1(x, y). F2(λx, λy) = r(F1(λc[0, 0], λc[0, 0]), F2(λx, λy)) = r(]F1F2((λc[0, 0], λx), (λc[0, 0], λy))) = r(]F1F2(λc([0, 0], x), λc([0, 0], y))) = r((λc)kF]1F2(([0, 0], x), ([0, 0], y))) = r((λc)k(F1([0, 0], [0, 0]), ((λc)k)cF2(x, y))) = ((λc)k)cF2(x, y)
Uma vez que ((λc)k)c = λk para todo λ ∈ L se, e somente se, k = [1, 1], temos que:
Teorema 5.2. Sejam F1, F2 : L2 → L funções intervalares homogêneas de grau k. Então
]
F1F2 é um função intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada homogênea de grau
kse e somente se k = [1, 1].
Demonstração. Sejam λ ∈ L e (x1, y1), (x2, y2) ∈ L∗. Então,
(⇒) (λkF1(x1, x2), (λk)cF2(, y1, y2)) = λk(F1(x1, x2), F2(y1, y2)) = λkF] 1F2((x1, y1), (x2, y2))) = ]F1F2(λ(x1, y1), λ(x2, y2))) = ]F1F2((λx1, λcy1), (λx2, λcy2))) = (F1(λx1, λx2), F2(λcy1, λcy2)) = (λkF1(x1, x2), (λc)kF2(, y1, y2))
Portanto, (λk)c= (λc)k, o que só é possível se k = [1, 1], pois k ∈ R+.
(⇐) ] F1F2(λ(x1, y1), λ(x2, y2))) = ]F1F2((λx1, λcy1), (λx2, λcy2))) = (F1(λx1, λx2), F2(λcy1, λcy2)) = (λF1(x1, x2), λcF2(, y1, y2)) = λ(F1(x1, x2), F2(, y1, y2)) = λ]F1F2((x1, y1), (x2, y2))
5.2.1 T-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente va-
loradas homogêneas
Do Teorema anterior, sai de forma imediata o seguinte corolário.
Corolário 5.1. A única L∗-t-norma representável homôgenea de algum grau é T M.
Demonstração. Direta dos Teoremas 4.2, 4.3 e 5.2.
Nosso principal objetivo agora é caracterizar t-normas intuicionistas de Atanassov in- tervalarmente valoradas homogêneas . Sendo que, para fazer isto, a princípio introduzimos vários lemas auxiliares.
Lema 5.1. Seja F : L∗2
→ L∗ comutativa, crescente e com 1
L∗ como elemento neutro.
Então as funções F`, Fr : L2 → L dadas por
F`(x, y) = `(F ((x, xd), (y, yd))) (5.1)
Fr(x, y) = r(F ((xd, x), (yd, y))). (5.2)
são comutativas, crescentes e têm 1L e 0L, respetivamente, como elementos neutros.
Demonstração. É imediato que F`é comutativa e tem 1
Lcomo elemento neutro. Seja z ∈
L. Se y ≤Lz, então z d≤ L y d. Logo, (y, yd) ≤ L∗ (z, z d)e portanto, F((x, xd), (y, yd)) ≤ L∗ F ((x, xd), (z, zd)). Consequentemente, F`(x, y) = `(F ((x, xd), (y, yd))) ≤ L `(F ((x, x d), (z, zd))) = F`(x, z).
Analogamente, é imediato que Fr é comutativa e tem 0
L como elemento neutro.
Seja z ∈ L. Se y ≤L z então (z d, z) ≤ L∗ (y d, y) e portanto, F((xd, x), (zd, z)) ≤ L∗ F ((xd, x), (yd, y)). Logo, Fr(x, y) = r(F ((xd, x), (yd, y))) ≤ L r(F ((x d, x), (zd, z))) = Fr(x, z).
Observação 5.1. Observe que não estamos assumindo F representável. Se este for o caso, ou seja, se F = ]F1F2 para algumas funções crescentes F1, F2 : L2 → L, então das
Equações (5.1) e (5.2) e De nição 2.31 segue que F` = F
1 e Fr = F2.
Teorema 5.3. Sejam T : L∗2
→ L∗ uma L∗-t-norma representável e T`, Tr de nidas
como nas Equações (5.1) e (5.2). T é uma L∗-t-norma representável homogênea de grau
[1, 1], se e somente se T` e Tr são funções intervalares homogêneas de grau [1, 1].
Demonstração. Direto da Observação 5.1 podemos concluir que T = ]T`Tr. Assim, do
Corolário 5.1 temos que T é uma L∗-t-norma representável homogênea de grau [1, 1] se,
e somente se, T = TM e portanto se e somente se T` = TM e Tr = SM.
Assim as funções intervalares F` e Fr de nidas nas Equações (5.1) e (5.2) não herdam
a homogeneidade de F quando k 6= [1, 1]. O seguinte lema mostra uma função intervalar que sim herda a homegeneidade de F.
Lema 5.2. Se F : L∗2
→ L∗ é uma função intuicionista de Atanassov intervalarmente
F`(x, y) = `(F ((x, [0, 0]), (y, [0, 0])))
é intervalar homogênea de grau k. Demonstração. Seja λ, x, y ∈ L. Então,
F`(λx, λy) = `(F ((λx, [0, 0]), (λy, [0, 0]))) = `(F ((λx, λc[0, 0]), (λy, λc[0, 0]))) = `(F (λ(x, [0, 0]), λ(y, [0, 0]))) = `(λkF ((x, [0, 0]), (y, [0, 0]))) = λk`(F ((x, [0, 0]), (y, [0, 0]))) = λkF`(x, y).
Teorema 5.4. Seja T uma L∗-t-norma tal que T (([0, 0], [0, 0]), ([0, 0], [0, 0])) = ([0, 0], [0, 0]).
Então, T` é uma t-norma intervalar. Ainda, se T é homogênea de grau k ∈ K então T` é
homogênea intervalar de grau k.
Demonstração. Seja x, y, z ∈ L, então mostraremos que T` é uma t-norma.
T` é comutativa
T`(x, y) = `(T ((x, [0, 0]), (y, [0, 0])))
= `(T ((y, [0, 0]), (x, [0, 0]))) = T`(y, x).
T` tem [1, 1] como elemento neutro.
T`(x, [1, 1]) = `(T ((x, [0, 0]), ([1, 1], [0, 0])))
= `(x, [0, 0]) = x.
Para y ≤ z temos que (y, [0, 0]) ≤L∗ (z, [0, 0]). Logo, T ((x, [0, 0]), (y, [0, 0])) ≤L∗
T ((x, [0, 0]), (z, [0, 0])) e portanto T`(x, y) ≤LT`(x, z). Portanto, T` é crescente.
T` é associativa.
T`(x, T`(y, z)) = `(T ((x, [0, 0]), (`(T ((y, [0, 0]), (z, [0, 0])), [0, 0]))))
= `(T ((x, [0, 0]), T ((y, [0, 0]), (z, [0, 0])))) pelo Lema 3.1 = `(T (T ((x, [0, 0]), (y, [0, 0]), (z, 0))))
= `(T ((`(T ((x, [0, 0]), (y, [0, 0])), [0, 0]), (z, [0, 0]))))pelo Lema 3.1 = T`(T`(y, x), z).
Homogênea de grau k: Direto do Lema 5.2.
Analogamente ao caso de F` e Fr, a função
Fr(x, y) = r(F (([0, 0], x), ([0, 0], y)))
herda a homogeneidade de F se, e somente se, k = [1, 1].
5.2.2
Exemplo ilustrativo: Tomada de decisão
Nesta seção utilizamos um problema de tomada de decisão de multi-especialistas para ilustrar o conceito de L∗-t-normas homogêneas introduzido na seção anterior. Os dados
de entrada referentes aos especialistas como, por exemplo: valores e conceitos, serão os mesmos estabelecidos no Exemplo Ilustrativo 4.4.2.
O algoritmo 4 mostra um método para resolver o problema de tomada de decisão multi-especialistas onde a propriedade de homogeneidade intuicionista de Atanassov in-
tervalarmente valorada pode modelar o processo de consenso entre os especialistas. Algoritmo 4: Algoritmo de tomada de decisão multi-especialistas usando relações de preferências fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas (RPFIAIV) e L∗-t-norma homogênea
Entrada: l = {e1, · · · , en} (n > 2) conjunto de especialistas; X = {x1, · · · , xp}
(p ≥ 2) conjunto de alternativas; Rl = (R
i,j)l∈ F R(X × X) com
l ∈ {e1, · · · , en}, i, j ∈ {1, · · · , p} relações de preferência intervalar; g:
função de ignorância fraca; uma L∗-t-norma mínima homogênea T M;
uma função de agregação intervalar M; uma ordem admissível entre intervalos intuicionistas de Atanassov.
Saída: Soluções alternativas: xseleo 1 início
2 Cálculo da matriz λ: λij = 1 − (maxnl=1(Ri,j)l− minnl=1(Ri,j)l) para cada
i, j ∈ {1, · · · , p}; Cálculo da matriz intervalar λ por meio da Eq.(2.3):
3 λi,j = [(λi,j) · (1 − gij(λi,j)), λi,j + gij(λi,j) − (λi,j) · gij(λi,j)] para cada
i, j ∈ {1, · · · , p};
4 para cada especialista l ∈ {e1, · · · , en} faça
5 Cálculo das relações de preferência fuzzy intervalar por meio da Eq.(2.3): 6 ( eRi,j)l = [(Ri,j)l· (1 − gij((Ri,j)l)), (Ri,j)l+ gij((Ri,j)l) − (Ri,j)l· gij((Ri,j)l)]
para cada i, j ∈ {1, · · · , p}; Cálculo das RPFIAIV associada a cada especialista por meio da Eq.(3.18):
7 (FTP,Ggid(( eRi,j) l))l = (TP( eRi,j)l, Ggid(( eRi,j) l)d ), SP(xd, Ggid( eRi,j) l))para
cada i, j ∈ {1, · · · , p} Construir a matriz coletiva fuzzy intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada:
8 MCi,j = T((FTP,Ggid( eRi,j)) 1· · · (F TP,Ggid( eRi,j)) n )S((FTP,Ggid( eRi,j)) 1· · · (F TP,Ggid( eRi,j)) n),
para cada i, j ∈ {1, · · · , p}; Construir a matriz coletiva fuzzy intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada homogêena:
9 MCHi,j = λi,jMCi,j, para cada i, j ∈ {1, · · · , p};
10 m
11 Obter a pontuação nal de cada alternativa xi, que denotaremos por Vi, com
i = 1, · · · , pusando M e :
xseleção = arg maxi Mi,j∈{1,··· ,p} 1≤i6=j≤p
MCHij;
12 m
com suas respectivas relações de preferências L∗-valoradas
e Re1
F IAIV, ReeF IAIV2 , ReeF IAIV3 , apresentadas nas Tabelas 5.2, 5.3 e 5.4, respectivamente (passo 6).
Tabela 5.1: Matriz intervalar associada a λ
λ λ1 λ2 λ3 λ4
λ1 [1.0000, 1.0000] [0.3750 , 0.8750] [0.3168 , 0.8768] [0.5950 , 0.8950]
λ2 [0.3750, 0.8750] [1.0000 , 1.0000] [0.6688 , 0.9088] [0.3358 , 0.8758]
λ3 [0.5248, 0.8848] [0.6688 , 0.9088] [1.0000 , 1.0000] [0.1638 , 0.9038]
λ4 [0.7728, 0.9328] [0.3358 , 0.8758] [0.1638 , 0.9038] [1.0000 , 1.0000]
Tabela 5.2: Relação de preferência fuzzy intuicionista de Atanassov intervalar associada ao especialista, e1 e Re1 F IAIV x1 x2 x3 x4 x1 ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.09, 0.69] [0.23, 0.30]) ([0.06, 0.67] [0.26, 0.33]) ([0.05, 0.77] [0.19, 0.23] ) x2 ([0.06, 0.67] [0.26, 0.33]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.04, 0.84] [0.14, 0.16]) ([0.05, 0.74] [0.21, 0.26] ) x3 ([0.09, 0.69] [0.23, 0.30]) ([0.05, 0.85] [0.13, 0.15]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.06, 0.67] [0.26, 0.33] ) x4 ([0.07, 0.79] [0.17, 0.21]) ([0.07, 0.76] [0.19, 0.24]) ([0.09, 0.69] [0.23, 0.30]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00] )
Tabela 5.3: Relação de preferência fuzzy intuicionista de Atanassov intervalar associada ao especialista, e2 e Re2 F IAIV x1 x2 x3 x4 x1 ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.06, 0.67] [0.26, 0.33]) ([0.05, 0.32] [0.45, 0.68]) ([0.06, 0.67] [0.26, 0.33] ) x2 ([0.09, 0.69] [0.23, 0.30]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.07, 0.79] [0.17, 0.21]) ([0.05, 0.32] [0.45, 0.68] ) x3 ([0.09, 0.69] [0.23, 0.30]) ([0.05, 0.77] [0.19, 0.23]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.06, 0.67] [0.26, 0.33] ) x4 ([0.09, 0.69] [0.23, 0.30]) ([0.12, 0.39] [0.33, 0, 61]) ([0.09, 0.69] [0.23, 0.30]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00] )
Tabela 5.4: Relação de preferência fuzzy intuicionista de Atanassov intervalar associada ao especialista, e3 e Re3 F IAIV x1 x2 x3 x4 x1 ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.06, 0.49] [0.36, 0.51]) ([0.07, 0.76] [0.19, 0.24]) ([0.05, 0.85] [0.13, 0.15]) x2 ([0.12, 0.54] [0.29, 0.45]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.01, 0.97] [0.03, 0.03]) ([0.07, 0.79] [0.17, 0.21]) x3 ([0.05, 0.74] [0.21, 0.26]) ([0.01, 0.97] [0.03, 0.03]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00] ) ([0.07, 0.15] [0.34, 0.85]) x4 ([0.12, 0.55] [0.29, 0.45] ) ([0.05, 0.77] [0.19, 0, 23] ) ([0.02, 0.09] [0.56, 0.90] ) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00])
A matriz coletiva fuzzy intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada, MC, é apresentada na Tabela 5.4 (passo 7) e calculada da seguinte forma:
Ex1 - Memória de Cálculo de MC:
x11,2 = ([0.09, 0.69] [0.23, 0.30]) x21,2 = ([0.06, 0.67] [0.26, 0.33]) x31,2 = ([0.06, 0.49] [0.36, 0.51]) MC1,2 = ([0.06, 0.49], [0.36, 0.51])
Tabela 5.5: A matriz coletiva intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada ( MC).
MC x1 x2 x3 x4
x1 ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.06, 0.49] [0.36, 0.51]) ([0.05, 0.32] [0.45, 0.68]) ([0.05, 0.67] [0.26, 0.33])
x2 ([0.06, 0.55] [0.29, 0.45]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.01, 0.79] [0.17, 0.21]) ([0.05, 0.32] [0.45, 0.68])
x3 ([0.05, 0.70] [0.23, 0.30]) ([0.01, 0.77] [0.19, 0.23]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00]) ([0.06, 0.15] [0.34, 0.85])
x4 ([0.07, 0.55] [0.29, 0.45]) ([0.05, 0.39] [0.33, 0.61]) ([0.02, 0.10] [0.56, 0.90]) ([0.00, 0.00] [1.00, 1.00])
Tabela 5.6: A matriz coletiva intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada homo- gênea (MCH). MCH x1 x2 x3 x4 x1 ([0.00, 0.00] [0.00, 0.00]) ([0.02, 0.43] [0.05, 0.32]) ([0.02, 0.28] [0.06, 0.47]) ([0.03, 0.60] [0.03, 0.13]) x2 ([0.02, 0.48] [0.04, 0.28]) ([0.00, 0.00] [0.00, 0.00]) ([0.007, 0.72] [0.01, 0.07]) ([0.02, 0.28] [0.06, 0.45]) x3 ([0.03, 0.62] [0.03, 0.14]) ([0.006, 0.70] [0.01, 0.07]) ([0.00, 0.00] [0.00, 0.00]) ([0.01, 0.13] [0.03, 0.71]) x4 ([0.05, 0.51] [0.02, 0.10]) ([0.02, 0.34] [0.04, 0.41]) ([0.003, 0.09] [0.05, 0.75]) ([0.00, 0.00] [0.00, 0.00])
Na Tabela 5.6 mostramos a matriz coletiva fuzzy intuicionista de Atanassov interva- larmente valorada homogênea, MCH (passo 8). Por exemplo, o cálculo de MCH foi feito como segue no Ex2.
Ex2 - Memória de Cálculo de MCH:
MCH1,2 = ([λ1,2· min(MC1,2), λ1,2· max(MC1,2)], [(1 − λ1,2) · min(MC1,2, (1 − λ1,2) · max(MC1,2)])
MCH1,2 = ([0.37.0.06, 0.87.0.49], [0.13.0.36, 0.63.0.51])
MCH1,2 = ([0.02, 0.43], [0.04, 0.32])
O vetor V com a pontuação nal de cada alternativa usando M (passo 10) é o seguinte: V1 = ([0.02, 0.44][0.04, 0.30])
V2 = ([0.01, 0.49][0.03, 0.27])
V3 = ([0.01, 0.48][0.02, 0.31])
Ex3 - Memória de Cálculo de V:
V1 = ([(0.02 + 0.02 + 0.03)/3, (0.43 + 0.28 + 0.60)/3][(0.05 + 0.06 + 0.03)/3, (0.32 + 0.47 + 0.13)/3])
V1 = ([0.02, 0.44][0.04, 0.30])
Com o objetivo de mostrar diferentes resultados obtidos com o Algoritmo 4 executamos o passo 11 considerando a L∗-t-norma homogênea para as seguintes ordens admissíveis
intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas: L∗, ∗ L,
?
xy, ≤Q2:
Para a ordem admissível L∗, temos: S(V1) = 0.12, S(V2) = 0.20, S(V3) = 0.16 e
S(V4) = −0.11, logo o ranking obtido é o seguinte
x2 x3 x1 x4
Para a ordem admissível ∗
L, temos: S(V1) = 0.44, S(V2) = 0.49, S(V3) = 0.48 e
S(V4) = 0.31, logo o ranking obtido é o seguinte
x2 x3 x1 x4
Para a ordem admissível ?
XY, temos: S(V1) = −0.28, S(V2) = −0.26, S(V3) = −0.30
e S(V4) = −0.40, logo o ranking obtido é o seguinte
x2 x1 x3 x4
Para a ordem admissível ≤Q
2, temos: S(V1) = 0.44, S(V2) = 0.49, S(V3) = 0.48 e
S(V4) = 0.31, logo o ranking obtido é o seguinte
x2 x3 x1 x4
Portanto, há um consenso de que a melhor alternativa é x2 e de que a pior alternativa
é x4. Porém não há um consenso entre qual é a segunda e a terceira melhor alternativa.
No entanto, a maioria concorda que x3 é melhor de que x1. Logo, o ranking mais razoável
Capítulo 6
Conclusão
Neste capítulo, mostramos as contribuições desta tese tanto para à homogeneidade de funções intervalares quanto para a teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados. Também apresentamos algumas das possíveis contribuições desta tese que serão abordados em trabalhos futuros.
6.1 Contribuições à homogeneidade de funções interva-
lares
Em lógica fuzzy, uma função F é dita ser homogênea de grau k > 0 se satisfaz F (λx, λy) = λkF (x, y)para todo x, y, λ ∈ [0, 1], ou seja, se todas as entradas são aumenta- das ou diminuídas pelo o mesmo fator λ, as saídas também são aumentadas ou diminuídas pelo mesmo factor λ [99]. A homogeneidade vem sendo teoricamente estudada ao longo do tempo e em particular, a homogeneidade de t-normas tem sido estudada de forma exaus- tiva. Foi provado em [1] que as únicas t-normas que são homogêneas, são as t-normas mínima e produto. Além disso, na literatura há diversas generalizações do conceito de homogeneidade de funções e entre elas tem-se a noção de pseudo-homogeneidade intro- duzida por Xie [118] com o objetivo de generalizar as funções quase-homogêneas para as funções pseudo-homogêneas, em particular, as t-normas pseudo-homogêneas. Neste sentido, e baseado em registros já existentes na literatura no que se diz respeito à ho- mogeneidade e pseudo-homogeneidade em [0,1], foi que no Capítulo 4 apresentamos uma extensão desses conceitos para a homogeneidade intervalar e pseudo-homogeneidade in- tervalar. Dessa forma, conseguimos identi car todas as t-normas intervalares homogêneas que são representáveis. Em seguida, relaxamos o conceito de homogeneidade intervalar para de nir as t-normas intervalares homogêneas com multiplicador degenerado a m de
obter um maior número de t-normas intervalares que são homogêneas. Portanto, conclui- mos que toda t-norma intervalar homogênea é representável. Para ilustrar os resultados obtidos, apresentamos dois exemplos: um em processamento de imagens, usando a pro- priedade de homogeneidade intervalar e outro em tomada de decisão, usando o conceito de pseudo-homogeneidade intervalar.