Homogeneidade e pseudo-homogeneidade de t-normas intervalares e de t-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO. Lucélia Marques Lima da Rocha. Homogeneidade e Pseudo-Homogeneidade de T-Normas Intervalares e de T-Normas Intuicionistas de Atanassov Intervalarmente Valoradas. Tese apresentada ao Programa de Pósgraduação em Engenharia elétrica e de computação - PPGEEC - da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como prérequisito para obtenção do título de doutor em Engenharia Elétrica e de Computação.. ORIENTADOR: Prof. Dr. Benjamín René Callejas Bedregal. Número de Ordem do PPGEEC: D186 Natal 2016.

(2) Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede. Rocha, Lucélia Marques Lima da. Homogeneidade e pseudo-homogeneidade de t-normas intervalares e de t-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas / Lucélia Marques Lima da Rocha. - 2017. 113 f.: il. Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação. Natal, RN, 2017. Orientador: Prof. Dr. Benjamin René Callejas Bedregal.. 1. Lógica Fuzzy - Tese. 2. Homogeneidade - Tese. 3. Representação intervalar - Tese. I. Bedregal, Benjamin René Callejas. II. Título. RN/UF/BCZM. CDU 510.6.

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(4) "Don't ask what the world needs. Ask what makes you come alive, and go do it. Because what the world needs is people who have come alive." (Howard Thurman).

(5) Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado a vida. Em especial meu marido e sempre companheiro Marcus Rocha, pelo incansável incentivo principalmente nas horas difíceis e pela paciência sem m. A minha lha Ana Luísa, fonte inesgotável de alegria na minha vida. Aos meus pais Raimundo Lima e Olgarina Lima que transformaram essa oportunidade em realização, através de suas orações, incentivos e carinho. A todos meus amigos e familiares. Em especial Carla Regina, Vita Oliveira, Liliane Ribeiro, Ivanosca Andrade, Hélida, obrigada por torcerem sempre por esta conquista. De maneira especial a meu orientador Prof. Dr. Benjamín Callejas Bedregal. Pelas portas abertas no início deste trabalho, pela paciência, compreensão e atenção desprendidos durante toda a jornada, por acreditar em mim e por me fazer conar que este dia chegaria. Ao Prof. Dr. Regivan Santiago, ao Prof. Dr. Eduardo Palmeira, e a Prof ª Dra. Graçaliz Dimuro e ao Prof. Dr. Fagner de Santana. Pelas críticas e sugestões na defesa desta tese. Aos amigos e professores da Universidade Pública de Navarra, pela força e apoio. Em especial, Humberto Bustince, Edurne e Javier por terem me recebido muito bem em Pamplona-Espanha durante o período Sanduíche, obrigada pela atenção e contribuições. Aos colegas do doutorado, que, com momentos de alegria e tristeza, superamos juntos todos os obstáculos que encontramos. Em especial, Ivanosca e Hélida, obrigada pela amizade sincera, pela energia positiva, pelo companheirismo, carinho e contribuições. Ao programa de Pós-graduação e a todos os professores do PPgEEC. Enm, ao CNPQ pelo investimento em minha formação durante minha estadia na Espanha, que prometo retribuir da melhor forma possível..

(6) Lista de Símbolos e Abreviaturas (x, y)c L∗ -negação padrão 0L∗. Bottom de L∗. 1L∗. Topo de L∗. `(x, y) Projeção esquerda de (x, y) ∈ L∗ inf. Ínmo. ≤L∗. Ordem usual do conjunto L∗. ≤L. Ordem usual do conjunto L. G. Função usada na pseudo-homogeneidade intervalar. L. Conjunto de todos os subintervalos fechados de [0,1]. L∗. Conjuntos dos valores intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados. MC. Matriz coletiva intervalar. R+. Conjunto de todos os intervalos fechados de números reais com extremos positivos. TP M T-norma intervalar produto-mínimo G. Função de ignorância fraca intervalarmente valorada. xc. Negação fuzzy intervalar padrão. xd. Negação fuzzy intervalar degenerada. MCH Matriz coletiva fuzzy intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada homogênea. MC. Matriz coletiva fuzzy intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada. T. Classe das L∗ -t-normas iv.

(7) T. Classe das (L∗ , )-t-normas. A. Função de agregação de aridade n. G. Função usada na pseudo-homogeneidade. TM. T-norma mínimo. TP. T-norma produto. X. Conjunto de referência. µA (x) Grau de pertinência do elemento x ∈ X ao conjunto fuzzy A νA (x) Grau de não-pertinência do elemento x ∈ X ao conjunto A x. Extremo superior do intervalo x. φ(x) Imersão natural π1 (x) Projeção inferior do intervalo x π2 (x) Projeção superior do intervalo x ?xy. Ordem total sobre L∗ obtida a partir de xy. xy. Ordem de Xu e Yager para o conjunto L. ρ. Automorsmo intervalar. ⊆. Relação de subconjunto. ⊆∗. Relação de subconjunto entre L∗ -valores. sup. Supremo. τ. Gerador aditivo. x. Extremo inferior do intervalo x. ∗L. Ordem total sobre L∗. ∨. Operador join em (L, ≤L ). ∧. Operador meet em (L, ≤L ). fb. L-representação de f. el R. Relação de preferência fuzzy intervalar do especialista l v.

(8) Fe. L∗ -representação da função intervalar F. FT,S. Função de relação de preferência. r(x, y) Projeção direita de (x, y) ∈ L∗ Rl. Relação de preferência fuzzy do especialista l. g. Função de ignorância fraca. min. Mínimo. CF. Conjunto Fuzzy. CFIA Conjunto fuzzy intuicionista de Atanassov CFIAIV Conjunto fuzzy intuicionista de Atanassov intervalarmente valorado CFIV Conjunto fuzzy intervalarmente valorado R. Relação de preferência fuzzy. TCF Teoria dos conjuntos fuzzy TCFIA Teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov TCFIAIV Teoria do conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados TCFIV Teoria dos conjuntos fuzzy intervalarmente valorados. max. Máximo. vi.

(9) Lista de Figuras 3.1. Imagens originais (primeira coluna) e W-imagens (segunda e terceira colunas) obtidas depois de executar o Algoritmo 3 referente às t-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas do Caso A e Caso B . . . 46. 4.1. Imagens originais (primeira coluna) e W-imagens (segunda e terceira colunas) obtidas depois de executar os algoritmos do construtor inferior e superior com t-normas e t-conormas do Caso A e Caso B . . . . . . . . . . 54. 4.2. W-imagens. obtidas. depois. de. multiplicar. os. intervalos. λ-intervalar= [0.7488, 0.8128] por cada imagem intervalar . . . . . . . . . . 55 4.3. W-imagens obtidas depois de aplicar a propriedade homogênea . . . . . . . 56. vii.

(10) Lista de Tabelas 4.1. Relação de preferência fuzzy do especialista e1 . . . . . . . . . . . . . . . . 67. 4.2. Relação de preferência fuzzy do especialista e2 . . . . . . . . . . . . . . . . 67. 4.3. Relação de preferência fuzzy do especialista e3 . . . . . . . . . . . . . . . . 67. 4.4. Matriz λ. 4.5. Matriz intervalar associada a λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68. 4.6. Relação de preferência fuzzy intervalar associada ao especialista e1 . . . . . 68. 4.7. Relação de preferência fuzzy intervalar associada ao especialista e2 . . . . . 68. 4.8. Relação de preferência fuzzy intervalar associada ao especialista e3 . . . . . 68. 4.9. Matriz coletiva intervalar, MC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68. 4.10 Matriz coletiva intervalar, MC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.1. Matriz intervalar associada a λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. 5.2. Relação de preferência fuzzy intuicionista de Atanassov intervalar associada ao especialista, e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. 5.3. Relação de preferência fuzzy intuicionista de Atanassov intervalar associada ao especialista, e2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. 5.4. Relação de preferência fuzzy intuicionista de Atanassov intervalar associada ao especialista, e3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. 5.5. A matriz coletiva intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada ( MC ). 81. 5.6. A matriz coletiva intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada homogênea (MCH). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. viii.

(11) Resumo Na literatura, existem várias extensões da teoria dos conjuntos fuzzy (TCF) nas quais podemos citar a teoria dos conjuntos fuzzy intervalarmente valorados (TCFIV) e a teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov (TCFIA). Em 1989, Atanassov junto com G. Gargov integraram essas duas teorias, dando assim origem à teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorada (TCFIAIV). Uma norma triangular ou t-norma é um tipo especial de função associativa sobre o intervalo unitário fechado [0, 1] e é usada para denir a intersecção dos conjuntos fuzzy e tem sido usada em diversas aplicações da TCF, tais como sistemas fuzzy baseados em regras, tomada de decisão, morfologia matemática fuzzy, linguagens formais fuzzy, etc. Este conceito foi também generalizado para diferentes extensões da TCF, no entanto não há registros de que tenha sido feito para a TCFIAIV. Nesta tese introduzimos a noção de t-normas para a TCFIAIV. A homogeneidade é uma propriedade analítica que vem sendo teoricamente estudada ao longo do tempo e em particular a homogeneidade de t-normas tem sido estudada de forma exaustiva. Na literatura há diversas generalizações do conceito de homogeneidade de funções e entre elas tem-se a noção de pseudo-homogeneidade introduzida por A. Xie et al com o objetivo de generalizar as t-normas quase-homogêneas para as t-normas pseudo-homogêneas. Neste sentido, nesta tese são apresentados novos conceitos no que diz respeito à homogeneidade assim como, à extensão da noção de homogeneidade e pseudohomogeneidade para o contexto de TCFIV e TCFIAIV, tendo como foco principal as tnormas intervalares e as t-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas. Ilustramos nossos resultados com exemplos em processamento de imagens e em tomada de decisão.. Palavras-chave:. T-normas, Homogeneidade, Pseudo-homogeneidade, Intuicionista. de Atanassov intervalarmente valorada, Lógica fuzzy, Ordens admissíveis, Representação intervalar.. ix.

(12) Abstract There are several fuzzy extensions in literature, in which we can mention the intervalvalued fuzzy sets theory (IVFST) and Atanassov's intuitionists fuzzy set theory (AIFST). In 1989, Atanassov with G. Gargov integrated these two theories, thus giving rise to interval-valued Atanassov's intuitionistics fuzzy set theory (IVAIFST). A triangular norm or t-norm is a kind special associative function over the unit interval closed [0, 1] and is used to dene the intersection of fuzzy sets and has been used in various applications of FST such as rule-based fuzzy systems , decision making, fuzzy morphology, fuzzy formal languages, etc. This concept has also been generalized to dierent extensions of FST, however there are no records that have it has been made for IVAIFST. This thesis introduced the notion of t-standards for IVAIFST. Homogeneity is an analytical property that has theoretically been studied over time and in particular the homogeneity of t-norms has been studied exhaustively. In the literature there are several generalizations of the concept of homogeneity functions and among them there is the notion of pseudo-homogeneity introduced by Aifang Xie at al in order to generalize the quasi-homogeneous t-norms to pseudo-homogeneous t-norms. In this sense, this thesis are presented new concepts regarding the homogeneity as well as the extension of the concept of the homogeneity and pseudo-homogeneity in the context of AIFST and IVAIFST, focusing mainly on the interval t-norms and interval-valued Atanassov's intuitionistics t-norms. We illustrate our results with examples of image processing and decision making.. Keywords:. T-norms, Homogeneity, Pseudo-homogeneity, interval-valued Atanassov's In-. tuitionistic, Fuzzy Logic, Admissibles orders, interval representation.. x.

(13) Sumário 1 Introdução. 1. Introdução. 1. 1.1. Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Estado da arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Objetivo da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.4. Organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2 Fundamentos Teóricos. 8. 2.1. Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2. Funções de agregação, t-normas e t-conormas . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2.1. Funções de ignorância fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 2.3. Funções de agregações homogêneas: Os casos de t-normas e t-conormas . . 11. 2.4. Pseudo-homogeneidade: os casos de t-normas, t-conormas . . . . . . . . . 12. 2.5. Notações sobre conjuntos intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5.1. Negação fuzzy intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 2.6. Operações com conjuntos intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.7. T-normas e t-conormas intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 2.8. Conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados . . 21 2.8.1. Negação fuzzy intuicionista de Atanassov intervalar . . . . . . . . . 23. 2.8.2. Representação intervalar em L∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 3 T-normas Intuicionistas de Atanassov Intervalarmente Valoradas. 25. 3.1. Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 3.2. L∗ -t-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1. L∗ -t-normas representáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 3.2.2. Algumas classes de L∗ -t-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 3.3. L∗ -t-conorma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. 3.4. L∗ -t-normas e ordens admissíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 3.5. Exemplo ilustrativo: processamento de imagem . . . . . . . . . . . . . . . 41 xi.

(14) 3.5.1. Funções de ignorância fracas intervalares . . . . . . . . . . . . . . . 41. 3.5.2. Processamento de imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 4 Homogeneidade e Pseudo-homogeneidade de T-normas Intervalares. 47. 4.1. Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 4.2. Funções intervalares homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 4.3. 4.2.1. T-normas intervalares homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 4.2.2. T-conormas intervalares homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 4.2.3. Exemplo ilustrativo: processamento de imagem . . . . . . . . . . . 52. Funções intervalares homogêneas com multiplicador degenerado . . . . . . 56 4.3.1. 4.4. T-normas intervalares homogêneas com multiplicador degenerado . 58. T-normas intervalares pseudo-homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1. T-conormas intervalares pseudo-homogêneas . . . . . . . . . . . . . 63. 4.4.2. Exemplo ilustrativo: Tomada de decisão . . . . . . . . . . . . . . . 64. 5 Homogeneidade de T-normas Intuicionistas de Atanassov Intervalarmente Valoradas 72 5.1. Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. 5.2. Funções intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas homogêneas 5.2.1. 72. T-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. 5.2.2. Exemplo ilustrativo: Tomada de decisão . . . . . . . . . . . . . . . 78. 6 Conclusão. 83. 6.1. Contribuições à homogeneidade de funções intervalares . . . . . . . . . . . 83. 6.2. Contribuições à teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. 6.3. Artigos publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. 6.4. Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. Referências Bibliográcas. 86. xii.

(15) Capítulo 1 Introdução 1.1. Motivação. A teoria dos conjuntos fuzzy (TCF) tem se mostrado uma ferramenta útil, que pela sua própria natureza é adequada para lidar com incerteza, ignorância e vagueza presentes em problemas do mundo real, como por exemplo, processamento de imagens, controle ou tomada de decisão, entre outros. No entanto, um problema inerente a esta teoria é a diculdade para construir a função de pertinência mais adequada em cada situação. Em particular, se os especialistas devem lidar com informações imprecisas ou incompletas, a construção desta função de pertinência pode se tornar muito complicada. Dessa maneira, existem diversas propostas para solucionar este problema, entre as quais destacamos a teoria dos conjuntos fuzzy intervalarmente valorados (TCFIV) introduzida e estudada em 1975 por diversos pesquisadores [69, 72, 96, 124] e a teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas introduzida por Krassimir T. Atanassov (TCFIA) em 1986 [3, 7]. Em TCFIV é atribuido a cada elemento do universo um intervalo ao invés de um simples número, em que a amplitude do intervalo pode ser vista como uma medida da falta de conhecimento ou inacurácia. 1. no grau de pertinência. Já na TCFIA é acrescentado um grau extra (o. grau de não-pertinência) para os conjuntos fuzzy habituais, a m de modelar a hesitação e incerteza sobre o grau de pertinência, isto é, o grau de não-pertinência é, de certa forma, independente do grau de pertinência. Além disso, captura a diculdade intrínseca para determinar um grau de pertinência exato de um objeto para algum termo lingüístico, neste caso, um especialista fornece um intervalo que expressa a inacurácia intrínseca em seu grau de atribuição [20]. Em [5, 12, 26, 36, 48, 73, 81, 91, 102, 124], existem várias aplicações destas teorias. 1 Acurácia é a exatidão de uma medição ou de um instrumento de medição e portanto inacurácia seria a inexatidão de uma medição ou de um instrumento de medição [50].. 1.

(16) Em 1989, K. Atanassov e G. Gargov agregaram as duas teorias TCFIV e TCFIA dando assim, origem à teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas (TCFIAIV) e recentemente, esta extensão tem motivado diversas aplicações em várias áreas do conhecimento [42, 88, 120]. Em [27] é realizada uma análise histórica e comparativa dos mais importantes tipos de conjuntos fuzzy. Uma norma triangular (ou t-norma) é um tipo especial de função associativa sobre um intervalo unitário fechado [0, 1] [61]. Normas triangulares foram introduzidas por Menger [85], no contexto da teoria dos espaços métricos probabilísticos e são usadas para denir a intersecção dos conjuntos fuzzy [46] e também usadas em diversas aplicações da TCF, tais como, sistemas fuzzy baseados em regras [44, 45], tomada de decisão, morfologia matemática fuzzy [16], linguagens formais fuzzy [62], entre outros. Contudo, o conceito de t-normas também foi generalizado para diferentes extensões da TCF, porém não há registros de que se tenha feito para a TCFIAIV. Neste sentido, nesta tese introduzimos o conceito de t-normas para a TCFIAIV e estudamos algumas de suas classes e sua relação com algumas ordens admissíveis. A matemática intervalar [86] tem como objetivo obter um controle automático do erro computacional e tem sido amplamente utilizada para representar valores inacurados e/ou valores quantitativos tanto na computação cientíca e tecnológica como em outras áreas do conhecimento [21, 80, 86, 108]. Conjuntos fuzzy intervalarmente valorados (CFIV) foram introduzidos por Sambuc [96] e outros pesquisadores de forma independente [27]. Dessa forma, a utilização de intervalos faz com que seja possível lidar tanto com a incerteza quanto com a inacurácia e controlar erros de arredondamento e erros de truncamento causados no decorrer do processamento computacional [58, 87, 108, 110]. A extensão de alguns algoritmos bem conhecidos para conjuntos fuzzy intervalarmente valorados tem sido muito bem sucedida, e além disso, algoritmos intervalares, na verdade, se comportam melhor do que os seus homólogos fuzzy nos casos particulares em que a acurácia para determinar um grau de pertinência exato é muito relevante [9, 27, 32], como por exemplo, em problemas de classicações [103] ou de processamento de imagens [8, 26]. No entanto, algumas propriedades relevantes no caso fuzzy não têm uma contrapartida direta no caso intervalar. Este é o caso, em particular, da homogeneidade, a qual é uma propriedade analítica que tem sido teoricamente considerada e estudada ao longo do tempo [2]. Além disso, tem-se mostrado muito útil em diversas aplicações, tais como processamento de imagem [30] ou classicação [37, 39]. A homogeneidade também signica que, se todas as entradas são aumentadas ou diminuídas pelo mesmo fator λ, as saídas também são aumentadas ou diminuídas pelo mesmo factor λ [99]. Em processamento de imagem, por exemplo, a homogeneidade é crucial, pois implica que as entradas de um. 2.

(17) dado operador homogêneo de grau um, aplicada a uma imagem, permaneçam proporcionais às intensidades de pixels da imagem considerada, mesmo que escureça ou clareie [36]. Dentre as várias extensões da homogeneidade existentes na literatura, podemos destacar as funções pseudo-homogêneas introduzidas por Xie em [118] onde em particular foram estudadas as t-normas pseudo-homogêneas. Esta tese propôe uma extensão das noções de homogeneidade e da pseudo-homogeneidade para o espaço intervalar. Outra contribuição desta tese, é a introdução do conceito de t-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas como sendo uma integração das t-normas intervalares e das t-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas.. 1.2. Estado da arte. A teoria dos conjuntos fuzzy foi introduzida por Lofti A. Zadeh em 1965 [123] onde mostrou signicativas aplicações em diversos campos de estudos. Nesta teoria, a pertinência de um elemento para um conjunto fuzzy é um único valor entre zero e um. No entanto, na realidade, pode não ser sempre verdade que o grau de não-pertinência de um elemento em um conjunto fuzzy é igual a um menos o grau de pertinência, pois pode haver algum grau de hesitação. Portanto, uma generalização de conjuntos fuzzy foi proposta por Krassimir Atanassov [3, 7] denominada conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov (CFIA). A noção de denir conjuntos fuzzy intuicionistas como conjuntos fuzzy generalizados é bastante signicante e útil em muitas áreas de aplicação. O conhecimento e a representação semântica do conjunto fuzzy intuicionista tornar-se mais interessante, engenhoso e aplicável, uma vez que inclui o grau de pertinência e o grau de não-pertinência os quais em conjunto determinam a margem de hesitação [4, 5]. Szmidt e Kacprzyk [112] mostraram que conjuntos fuzzy intuicionistas são bastante úteis em situações quando a descrição de um problema por uma variável linguística dada em termos de uma função de pertinência parece ser muito rigída. Devido à exibilidade dos CFIA em manusear com a incerteza, são tidos como uma ferramenta a mais do raciocínio consistente humano sob fatos imperfeitamente denidos e conhecimentos imprecisos [113]. Conjunto fuzzy intuicionista é uma ferramenta de modelagem de problemas da vida real, como análise de venda, novo marketing de produto, serviços nanceiros, processo de negociação, investigações psicológicas, entre outros, uma vez que há uma boa chance da existência de uma parte de hesitação não-nula em cada momento da avaliação de um objeto desconhecido [111, 112]. Atanassov [5, 6] realizou rigorosas pesquisas com base na teoria e aplicações dos conjuntos fuzzy intuicionistas. Muitas aplicações são realizadas 3.

(18) utilizando abordagens de medidas de distância. Medir a distância entre conjuntos fuzzy intuicionistas é um importante conceito em matemática fuzzy devido as diversas aplicações no mundo real. Muitas medidas de distância entre conjuntos fuzzy intuicionistas têm sido propostas e pesquisadas nos últimos anos [111, 122] e usadas por exemplo em diagnósticos médicos [112, 113]. De et al [53] atribuiu uma abordagem dos conjuntos fuzzy intuicionistas em diagnóstico médico por meio de três passos, tais como; determinação dos sintomas, formulação do conhecimento médico baseado em relações fuzzy intuicionistas e determinação de diagnósticos com base na composição das relações fuzzy intuicionistas. Entre os vários tipos ou extensões dos conjuntos fuzzy, os conjuntos fuzzy intervalarmente valorados e os conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov são as mais conhecidas e estudadas. No entanto, ambas extensões são equivalentes do ponto de vista matemático, isto é, existe um isomorsmo entre os CFIV e os CFIA, porém do ponto de vista semântico eles são diferentes e portanto têm diferentes aplicações [27, 114]. Atanassov junto com Gargov integraram em 1989 ambas extensões por considerar em [7] um intervalo tanto para o grau de pertinência como para o grau de não-pertinência, permitindo dessa forma modelar a inacurácia ou incerteza que se pode ter no momento de atribuir esses valores. Nos últimos anos, esta integração, denominada de teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados (CFIAIV), tem motivado diversas aplicações, principalmente em tomada de decisão [42, 88, 120]. Karl Menger, em 1942 [85], introduziu as normas triangulares na literatura matemática e hoje em dia tem sido um importante conceito na lógica fuzzy. Normas triangulares (ou t-normas) eram originalmente usadas para generalizar a desigualdade triangular de espaços métricos clássicos para espaços métricos estatísticos (hoje em dia chamados de espaços métricos probabilísticos), que foram o aspecto fundamental de interesse em [85]. Atualmente, um conjunto diferente de axiomas é usado, isto é, t-normas são consideradas operações de semigrupos especiais em (0, 1] com elemento neutro 1. Esta denição é equivalente à dada por Berthold Schweizer e Abe Sklar em [105, 106, 107, 108]. Observe que os axiomas originais eram muito menos rigorosos: a associatividade não era necessária (isto é, t-normas não eram necessariamente operações de semigrupo), a condição de contorno era signicativamente mais fraca (incluindo, portanto, também conormas triangulares e outras operações sobre o intervalo unitário). Depois que Berthold Schweizer e Abe Sklar atribuiram esta denição e apresentaram os três exemplos de t-normas básicas (mínima. TM , produto TP e ukasiewicz TL ), foi possível construir t-normas contínuas por meio de transformações de isomorsmo e somas ordinais [82]. Muitos resultados especícos, tais como a caracterização da ordem ou teoremas de convergência, foram baseados nesta representação geral para t-normas contínuas. As t-normas não contínuas, tais como a t-norma fraca TW , foram consideradas desde o início [106]. Em Ling [82] até mesmo um 4.

(19) gerador aditivo para esta t-norma foi dado. Nas últimas decádas, pesquisas sobre t-normas e funções relacionadas continuaram em um rítmo constante, nas quais podemos citar os trabalhos de [77,78,84] em que os resultados mais marcantes sobre t-normas estão resumidos no livro [76], juntamente com alguns resultados mais recentes, as listas de problemas em aberto [1,78] e, por último, os trabalhos da conferência [79], que dão uma visão geral de t-normas e suas aplicações. Em matemática uma função homogênea é uma função com comportamento escalar multiplicativo, ou seja, uma função f : Rn → R é homogênea de grau λ se para qualquer. t ∈ R for válida a igualdade f (tx1 , tx2 , · · · , txn ) = tλ f (x1 , x2 , · · · , xn ). Esta fórmula nos mostra que se os argumentos são multiplicados por um fator, então o resultado é multiplicado por uma potência desse fator. Essa potência é chamada de grau da função homogênea. Uma função homogênea de algum grau tem uma propriedade que foi descoberta pelo matemático Leonhard Euler (1707-1783), conhecida como Teorema de Euler, e que tem importantes consequências e aplicações em economia e em outras áreas do conhecimento. No contexto de lógica fuzzy, uma função F : [0, 1]2 → [0, 1] é dita ser homogênea de grau k > 0 se satisfaz F (λx, λy) = λk F (x, y) para todo x, y, λ ∈ [0, 1]. Devido às funções homogêneas serem amplamente aplicadas em economia [41, 64], tomada de decisão [38] e em outros campos relevantes, é de suma importância estudá-las de um ponto de vista puramente teórico [118]. Até agora, alguns trabalhos têm sido feitos para funções associativas especícas tais como as t-normas [1] e Overlaps [14]. Foi provado em [1] que. T é uma t-norma homogênea se, e somente se k = 2 e T = TP (TP (x, y) = xy), ou k = 1 e T = TM (TM (x, y) = min{x, y}). Consequentemente, a propriedade de homogeneidade é bastante restritiva para t-normas [118]. Ebanks em 1998 propôs uma generalização de t-normas homogêneas, a qual foi chamada de t-normas quase-homogêneas. Para Ebanks, uma t-norma T é quase-homogênea se existe uma função ϕ : [0, 1] → [0, 1] e uma função contínua e injetiva Π : [0, 1] → [0, ∞) tal que T (λx, λy) = Π−1 (ϕ(λ)Π(T (x, y))) para todo x, y, λ ∈ [0, 1]. Se T é uma t-norma quase-homogênea, então Π(0) = 0 e ϕ(λ) = λα para algum α > 0 [61]. Portanto, uma t-norma T é quase-homogênea se, e somente se T (λx, λy) = Π−1 (λα Π(T (x, y))) para algum α > 0. Considerando que na denição de t-norma quase-homogênea, T (λx, λy) =. F (λ, T (x, y)) onde F é a função F (λ, z) = Π−1 (ϕ(λ)Π(z)), Xie et al. [118] a generalizou substituindo essa função especíca F por uma função F mais geral, introduzindo o conceito de t-normas pseudo-homogêneas. Uma t-norma T é chamada pseudo-homogênea se 5.

(20) satisfaz. T (λx, λy) = F (λ, T (x, y)), para todo x, y, λ ∈ [0, 1], onde F : [0, 1]2 → [0, 1] é uma função contínua e crescente que cumpre a condição de fronteira F (x, 1) = 0 ⇔ x = 0. Claramente, t-normas homogêneas e t-normas quasehomogênas são casos particulares de t-normas pseudo-homogêneas [118].. 1.3. Objetivo da tese. O objetivo principal desta tese é estender as noções de homogeneidade e de pseudohomogeneidade para extensões de lógica fuzzy, em particular para a TCFIV e TCFIAIV e estudar o caso especíco da homogeneidade e pseudo-homogeneidade estendidas de tnormas nessas extensões da TCF. Os objetivos secundários desta tese são: Generalizar o conceito de t-normas para o conceito de L∗ -t-normas, ou seja, tnormas em L∗. 2. considerando tanto a ordem usual em TCFIAIV como algumas. ordens admissíveis em L∗ . Estender a noção de homogeneidade e pseudo-homogeneidade de funções em [0, 1] para funções homogêneas e pseudo-homogêneas intervalares em L 3 , tendo como foco principal as t-normas intervalares homogêneas e pseudo-homogêneas. Fornecer uma base téorica sobre homogeneidade intervalarmente valorada que possibilite contribuir para aplicações em processamento de imagens, tomada de decisão ou outras áreas do conhecimentos.. 1.4. Organização da tese. Esta tese está dividida em 6 capítulos: Capítulo 2 - Apresentamos os conceitos básicos da teoria dos conjuntos fuzzy que são utilizados nesta tese. Capítulo 3 - Introduzimos o conceito de t-normas para a TCFIAIV, nas quais denominamos de t-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas ou 2 L∗. = {(x, y) ∈ L × L : x + y ≤ 1}.. 3 Conjunto de todos os subintervalos fechados de [0,1]. 6.

(21) L∗ -t-normas. Em seguida, estudamos as L∗ -t-normas que são representáveis e apresentamos também algumas classes de L∗ -t-normas e sua relação com algumas ordens admissíveis e no nal do capítulo ilustramos nosso resultado com um exemplo em processamento de imagens. Capítulo 4 - Estendemos a noção de homogeneidade de funções pontuais para as funções intervalares, tendo como foco principal, as t-normas intervalares homogêneas. E ainda, relaxamos o conceito de homogeneidade intervalar com o intuito de encontrar uma quantidade maior de t-normas intervalares homogêneas. Introduzimos o conceito de t-normas intervalares pseudo-homogêneas. E por m, ilustramos os resultados obtidos com exemplos em processamento de imagem e em tomada de decisão. Capítulo 5 - Introduzimos o conceito de funções intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas homogêneas de grau intervalar e mostramos alguns resultados sobre t-normas e t-conormas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas homogêneas. E, de forma análoga aos capítulos anteriores, ilustramos nossos resultados com um exemplo em tomada de decisão. Capítulo 6 - Neste capítulo apresentamos as conclusões, contribuições, artigos publicados e trabalhos futuros.. 7.

(22) Capítulo 2 Fundamentos Teóricos 2.1. Considerações iniciais. Desde que Zadeh [123] introduziu os conjuntos fuzzy (CF) em 1965, muitas abordagens [71, 92, 95, 98] e teorias [3, 7, 24, 116] que lidam com a inacurácia e incerteza têm sido propostas. Algumas dessas teorias, tais como conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov (CFIA) e conjuntos fuzzy intervalarmente valorados (CFIV), são extensões da teoria dos conjuntos fuzzy e as outras tentam lidar com a inacurácia e incerteza de maneiras diferentes [90]. O conceito de CFIA foi introduzido por Atanassov [3] como uma generalização dos CF. A primeira armação pública desta noção foi feita em 1983, quando os CFIA tornaram-se um tema popular de investigação na comunidade fuzzy [24, 97]. Mais tarde, Atanassov e Gargov [7] introduziram o conceito de conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados (CFIAIV), a qual é uma generalização dos conjuntos fuzzy intuicionistas. A característica fundamental da CFIAIV é que os valores de suas funções de pertinência e não-pertinência são intervalos, em vez de números exatos. Vamos rever os conceitos básicos da teoria dos conjuntos fuzzy que serão utilizados nesta tese.. 2.2. Funções de agregação, t-normas e t-conormas. Denição 2.1. Seja n ≥ 2. Uma função A : [0, 1]n → [0, 1] é chamada função de agregação de aridade n se satisfaz as seguintes condições: (A1) A(x1 , · · · , xn ) ≤ A(y1 , · · · , yn ) sempre que xi ≤ yi ∀ i = 1, · · · , n, (monotonicidade) (A2) A(0, · · · , 0) = 0 e A(1, · · · , 1) = 1. T-normas e t-conormas são exemplos particulares de classes gerais de funções de agregação. 8.

(23) Denição 2.2. Uma norma triangular (ou t-norma) é uma função T : [0, 1]2 → [0, 1] tal que (i) T é simétrica, ou seja, T (x, y) = T (y, x) para cada x, y ∈ [0, 1]; (ii) T é associativa, isto é, T (T (x, y), z) = T (x, T (y, z)) para cada x, y, z ∈ [0, 1]; (iii) T é crescente; (iv) 1 é um elemento neutro para T , isto é, T (1, x) = T (x, 1) = x para cada, x ∈ [0, 1]. Uma t-norma T é dita positiva se satisfaz a condição: T (x, y) = 0 se e somente se,. x = 0 ou y = 0.. Exemplo 2.1. Alguns exemplos de t-normas são: i) T-norma do mínimo : TM (x, y) = min(x, y); ii) T-norma produto : TP (x, y) = xy; iii) T-norma de ukasiewicz : TL (x, y) = max(x + y − 1, 0); iv) T-norma fraca: ( TW (x, y) =. min(x, y) se max(x, y) = 1. caso contrário.. 0. v) T-norma nilpotente mínima : ( TnM (x, y) =. min(x, y) se x + y > 1. caso contrário.. 0. Denição 2.3. Uma conorma triangular (ou t-conorma) é uma função S : [0, 1]2 → [0, 1] tal que é simétrica, associativa, crescente e 0 é um elemento neutro para S .. Exemplo 2.2. Alguns exemplos de t-conormas são: i) T-conorma do máximo : SM (x, y) = max(x, y); ii) T-conorma produto : SP (x, y) = x + y − xy; iii) T-conorma de ukasiewicz SL (x, y) = min(x + y, 1); iv) T-conorma fraca : ( SW (x, y) =. max(x, y) se x = 0 ou y = 0 1. caso contrário.. (. max(x, y) se x + y < 1. v) T-conorma nilpotente máxima SnM (x, y) =. caso contrário.. 1 9.

(24) 2.2.1. Funções de ignorância fraca. É bem sabido que uma diculdade da teoria dos conjuntos fuzzy é a escolha da função de pertinência. Em [103] o conceito de função de ignorância fraca apresenta uma forma de quanticar a falta de conhecimento que existe quando atribuímos um valor numérico para a pertinência de um elemento de um conjunto fuzzy.. Denição 2.4. [103] Uma função de ignorância fraca é uma função contínua g : [0, 1] → [0, 1] satifazendo:. 1. g(x) = g(1 − x) para todo x ∈ [0, 1]; 2. g(x) = 0 se, e somente se, x = 0 ou x = 1; 3. g(0.5) = 1.. Exemplo 2.3. A seguinte função g(x) = 2 · min(x, 1 − x) para todo x ∈ [0, 1]. (2.1). é uma função de ignorância fraca. Em [9] um método de construção de intervalos em [0, 1] por meios de dois números em [0, 1] é apresentado. Este método fornece intervalos sastisfazendo, pelo menos, duas propriedades (i) o primeiro valor é um ponto dentro do intervalo e (ii) o segundo valor é proporcional a largura do intervalo:. FT,S : [0, 1]2 → L denido por FT,S (x, y) = [T (x, 1 − y), S(x, y)],. (2.2). onde T é uma t-norma e S é uma t-conorma. Uma expressão que produz intervalos de amplitude igual ao segundo argumento é o seguinte:. FTP ,SP (x, y) = [TP (x, 1 − y), SP (x, y)] = [x · (1 − y), x + y − x · y].. (2.3). A principal contribuição desse método é que um conjunto fuzzy intervalarmente valorado pode ser construído a partir de um conjunto fuzzy. De fato, dado um conjunto e pode ser obtido usando uma fuzzy A, um conjunto fuzzy intervalarmente valorado A função de ignorância g , atribuindo a cada elemento u do universo de discurso a seguinte função de pertinência intervalarmente valorada: FTP ,SP (µA(u) , g(µA(u) )) = [TP (µA(u) , 1 −. g(µA(u) )), SP (µA(u) , g(µA(u) ))]. As Equações (2.1) e (2.3) serão usadas nos exemplos ilustrativos de processamento de imagens e tomada de decisão para construir intervalos a partir de um valor numérico e a ignorância associada a ele. 10.

(25) 2.3. Funções de agregações homogêneas:. Os casos de. t-normas e t-conormas. Denição 2.5. Uma função F : [0, 1]2 → [0, 1] é chamada homogênea de grau k ∈ R+ se a identidade F (λx, λy) = λk F (x, y),. (2.4). vale para quaisquer x, y, λ ∈ [0, 1].. Proposição 2.1. Sejam F1 e F2 funções homogêneas de grau k1 e k2 respectivamente. Então i) F1 F2 (x, y) = F1 (x, y)F2 (x, y) é uma função homogênea de grau k1 + k2 ; ii) F11/k1 (x, y) = (F1 (x, y))1/k1 é uma função homogênea de grau 1. iii) Se F1 ≤ F2 e F1 (1, 1) = F2 (1, 1) 6= 0 então k2 ≤ k1 . Demonstração. Seja x, y, λ ∈ [0, 1]. Então pela denição de homogeneidade temos: i). F1 F2 (λx, λy) = F1 (λx, λy)F2 (λx, λy) = λk1 +k2 F1 (x, y)F2 (x, y) = λk1 +k2 F1 F2 (x, y)· Portanto F1 F2 é uma função homogênea de grau k1 + k2 . ii) 1/k1. F1. (λx, λy) = (F1 (λx, λy))1/k1 = (λk1 F1 (x, y))1/k1 = λ F1 (x, y)1/k1 1/k1. = λ F1 1/k1. Logo, F1. (x, y)·. é uma função homogênea de grau 1.. iii) Seja λ ∈ (0, 1). Como F1 (λ, λ) ≤ F2 (λ, λ) então, pela homogeneidade, λk1 F1 (1, 1) ≤. λk2 F2 (1, 1). Como F1 (1, 1) = F2 (1, 1) 6= 0, então λk1 ≤ λk2 e portanto k2 ≤ k1 . No que diz respeito à homogeneidade de t-normas temos o seguinte resultado:. Proposição 2.2. [14] Uma função F : [0, 1]2 → [0, 1] é homogênea de grau k e tem 1 como elemento neutro se, e somente se, F (x, y) =.     0   . y k x x x k y y. se x = y = 0 se x = 6 0 ∧ y ≤ x, se y 6= 0 ∧ y > x, 11. (2.5).

(26) isto é, F (x, y) = min(x, y)max(x, y)k−1 . Note que na Equação (2.5) se k = 1, então F é TM , se k = 2, então F é TP e se k > 2, então F não é associativa.. Corolário 2.1. [1,Teorema 3.4.1.] Se uma t-norma T é homogênea de grau k, para algum k > 0, então ou k = 1 e T é a t-norma mínima, ou k = 2 e T é a t-norma produto. Para o caso de t-conormas satisfazendo a equação de homogeneidade (2.4), a situação é diferente.. Teorema 2.1. [1, Teorema 3.4.4.] Seja S uma t-conorma homogenêa de grau k, k > 0. Então k = 1 e S = SM . Em outras palavras a única t-conorma homogênea é a t-conorma do máximo.. 2.4. Pseudo-homogeneidade:. os casos de t-normas, t-. conormas. Em [118], t-normas e t-conormas pseudo-homogêneas foram denidas como segue.. Denição 2.6. [118] Uma t-norma T é dita ser pseudo-homogênea se T (λx, λy) = G(λ, T (x, y)),. para cada x, y, λ ∈ [0, 1], para algum G : [0, 1]2 → [0, 1] a qual é uma função contínua e crescente com G(x, 1) = 0 ⇔ x = 0.. Observação 2.1. Note que a exigência de que G seja crescente é desnecessária, pois se G satisfaz T (λx, λy) = G(λ, T (x, y)) para algum G, então G é necessariamente crescente,. como mostra a seguinte proposição.. Proposição 2.3. Seja T uma t-norma. Se existe G : [0, 1]2 → [0, 1] tal que para x, y, λ ∈ [0, 1] G(λ, T (x, y)) = T (λx, λy),. então G é uma função de agregação.. 12.

(27) Demonstração. De fato, mostramos que G é uma função de agregação 1) Se x = y = 0, temos. G(0, 0) = G(0, T (0, 0)) = T (0 · 0, 0 · 0) = 0. 2) Se x = y = 1, temos. G(1, 1) = G(1, T (1, 1)) = T (1 · 1, 1 · 1) = 1. 3) Se y ≤ z , então. G(x, y) = G(x, T (y, 1)) = T (x · y, x · 1) ≤ T (x · z, x · 1) = G(x, T (z, 1)) = G(x, z).. G(y, x) = G(y, T (x, 1)) = T (y · x, y · 1) ≤ T (z · x, z · 1) = G(z, T (x, 1)) = G(z, x). Portanto G é uma função de agregação.. Lema 2.1. Se T uma t-norma pseudo-homogênea com relação a uma função G contínua, crescente e satisfazendo a condição: G(x, 1) = 0 ⇔ x = 0. Demonstração. Suponhamos que existam x, y 6= 0 tais que T (x, y) = 0. Seja z = min(x, y), então z 6= 0 e devido a T ser crescente, T (z, z) = 0. No entanto, T (z, z) = G(z, T (1, 1)) = G(z, 1) 6= 0 o qual é uma contradição.. Lema 2.2. [118] Se T é uma t-norma pseudo-homogênea, então T é contínua. Teorema 2.2. [118] Seja T uma t-norma. T é pseudo-homogênea satisfazendo T (x, x) < x para cada x ∈ (0, 1) se, e somente se, quaisquer um dos seguintes itens vale:. (i) T (x, y) = TP (x, y) = xy e G(x, y) = x2 y . (ii) Para algum β < 0, ( T (x, y) =. 1. se x, y > 0 caso contrário,. (xβ + y β − 1) β 0. que é uma t-norma da família de t-normas de Schweizer-Sklar, e ( G(x, y) =. 1. ((xy)β + xβ − 1) β 0 13. se x, y > 0 caso contrário..

(28) Desde que t-conormas são duais a t-normas, encontramos resultados para t-conormas de uma forma similar.. Denição 2.7. [118] Uma t-conorma S é dita pseudo-homogênea se satisfaz S(λx, λy) = G(λ, S(x, y)),. para todo x, y, λ ∈ [0, 1], onde G : [0, 1]2 → [0, 1] é uma função crescente.. Observação 2.2. [118] Na denição 2.7, a função G não é exigida ser contínua, enquanto que na Denição 2.6, G é assumido como sendo uma função contínua satisfazendo a condição de fronteira G(x, 1) = 0 ⇔ x = 0.. Teorema 2.3. [118] Uma t-conorma S é pseudo-homogênea se, e somente se, S = SM e G(x, y) = xy.. 2.5. Notações sobre conjuntos intervalares. Denotamos por L = {[x, x]|0 ≤ x ≤ x ≤ 1} o conjunto de todos os subintervalos fechados de [0,1] e por R+ o conjunto de todos os intervalos fechados de números reais. Um conjunto fuzzy intervalarmente valorado (CFIV) com respeito a um conjunto de referência X é uma classe. A = {(x, µA (x))|x ∈ X}, tal que µA : X → L. L é associado com duas projeções: π1 , π2 : L → [0, 1] denidas por. π1 ([x, x]) = x e π2 ([x, x]) = x. E ainda adotamos L0 por L0 = L − {[0, 0], [1, 1]}. Sem perda de generalidade, dado um valor arbitrário x ∈ L, denotamos respectivamente π1 (x) e π2 (x) por x e x. Um intervalo x = [x, x] é dito degenerado se x = x. Em. L (e em R+ ) diferentes ordens parciais podem ser denidas. Em particular, e para esta tese, as seguintes ordens são relevantes Ordem Produto ou ordem Kulisch-Miranker [80]: x ≤L y ⇐⇒ x ≤ y e x ≤ y; Ordem de Inclusão : x ⊆ y ⇐⇒ y ≤ x e x ≤ y.. 14.

(29) Como é bem conhecido, hL, ≤L i é um reticulado completo e logo um conjunto L-fuzzy no sentido de Joseph Goguen [68]. Então, este reticulado pode também ser denido como uma estrutura algébrica (L, ∧, ∨) onde o operador meet ∧ e o operador join ∨ são denidos como seguem, por. x ∧ y = [min(x, y), min(x, y)] x ∨ y = [max(x, y), max(x, y)].. Denição 2.8. [33] Uma ordem sobre L é dita ser admissível se é linear e rena ≤L , isto é, se é uma ordem linear satisfazendo que para todo x, y ∈ L tal que x ≤L y vale x y. Note que a ordem produto pode ser estendida para uma ordem linear por meio das chamadas ordens admissíveis, isto é, ordens totais sobre L as quais renam ≤L [31, 33]. Algums exemplos de ordens admissíveis são dadas:. Exemplo 2.4. Sejam x, y ∈ L, então: 1. x L1 y ⇔ x < y ou (x = y e x ≤ y) [51] ; 2. x L2 y ⇔ x < y ou (x = y e x ≤ y) [51]; 3. x xy y ⇔ x + x < y + y ou (x + x = y + y e x − x ≤ y − y) (denida por Xu e Yager em [119]); 4. x α,β y ⇔ Kα (x) < Kα (y) ou (Kα (x) = Kα (y)) e Kβ (x) ≤ Kβ (y), sendo Kα : [0, 1]2 → [0, 1] uma função denida por Kα (x) = x + α(x − x) para α, β ∈ [0, 1] e α 6= β [25] 1 2.5.1. Negação fuzzy intervalar. Denição 2.9. [54, 93] Uma função N : L → L é uma negação fuzzy intervalar se ∀x, y ∈ L. 1. N([0, 0]) = [1, 1] e N([1, 1]) = [0, 0]· 2. Se x ≤ y então N(x) ≤ N(y)· A noção de negação fuzzy intervalar tem sido estudada em muitos artigos, tais como [10, 28, 117]. Em todos eles foi considerada uma negação fuzzy intervalar chamada de padrão e denida como xc = [1−x, 1−x] para cada x ∈ L. Outra negação fuzzy intervalar (com relação a ordem ≤L ) que usaremos nesta tese é a seguinte: xd = [1 − x, 1 − x] para cada x ∈ L, que chamamos de negação fuzzy intervalar degenerada. 1 Em [Prop. 2.5.][94] foi provado que. Kα. é um K-operador no sentido de [25].. 15.

(30) 2.6. Operações com conjuntos intervalares. A conexão entre as funções reais e funções intervalares neste trabalho é muito importante. Seguimos aqui uma formalização introduzida em [104], por meio da noção de representação de intervalos. Focamos no caso das funções denidas sobre [0, 1]n como no caso das t-normas e t-conormas, as quais constituem o principal objeto de estudo deste trabalho.. Denição 2.10. Seja f : [0, 1]n → [0, 1] uma função de aridade n. Uma função intervalar F : Ln → L é uma representação intervalar ou L- representação de f se, para cada (x1 , · · · , xn ) ∈ Ln e xi ∈ xi , com i ∈ Nn em que Nn = {1, . . . , n}, vale que f (x1 , · · · , xn ) ∈ F (x1 , · · · , xn ). Além disso, se considerarmos duas funções f, g : [0, 1]n → [0, 1] tais que f (x1 , . . . , xn ) ≤ g(x1 , . . . , xn ) para cada (x1 , . . . , xn ) ∈ [0, 1]n , podemos denir a função intervalar fcg : Ln → L como: fcg(x1 , · · · , xn ). =. [inf{f (x1 , · · · , xn )|xi ∈ xi , para i ∈ Nn }, sup{g(x1 , · · · , xn )|xi ∈ xi , para i ∈ Nn }].. Observação 2.3.. (i) Quando f e g são crescentes temos fcg(x1 , . . . , xn ) = [f (x1 , · · · , xn ), g(x1 , · · · , xn )] para cada x1 , . . . , xn ∈ L.. (ii) Observe que, se f = g , então fcf (x1 , . . . , xn ) = [inf{f (x1 , · · · , xn )|xi ∈ xi , para i ∈ Nn }, sup{f (x1 , · · · , xn )|xi ∈ xi , para i ∈ Nn }]. Além disso, se x1 , . . . , xn são intervalos degenerados, e se denotamos xi = [xi , xi ] segue que fcf (x1 , . . . , xn ) = [f (x1 , · · · , xn ), f (x1 , · · · , xn )].. Portanto a operação b· estende de uma forma natural funções de valores reais para as funções intervalares. Quando f = g , denotamos fc f por fb. De fato, a Observação 2.3 (ii) pode ser vista como um corolário particular do seguinte resultado [104].. Teorema 2.4. Seja n ≥ 2. Dadas f, g : [0, 1]n → [0, 1] tais que f ≤ g, então a função fcg é uma representação intervalar de cada função h : [0, 1]n → [0, 1] tal que f ≤ h ≤ g .. Corolário 2.2. Seja F : Ln → L uma representação intervalar de uma função f : [0, 1]n → [0, 1]. Então, segue que para todo x1 , . . . , xn ∈ L, fb(x1 , · · · , xn ) ⊆ F (x1 , · · · , xn ) 16.

(31) Denição 2.11. Seja F : Ln → L uma representação intervalar da função f : [0, 1]n → [0, 1]. Então F é a melhor L-representação de f se para toda L-representação G : Ln → L. de f e para todo (x1 , · · · , xn ) ∈ Ln temos F (x1 , · · · , xn ) ⊆ G(x1 , · · · , xn ). . A extensão de funções de valores reais para funções intervalares nos permite estender a estas últimas algumas operações conhecidas.. Denição 2.12. (Produto Intervalar) Para qualquer x, y ∈ L, o produto de x e y é denido por x · y = [x y, x y].. Denição 2.13. (Soma Intervalar) A adição de dois intervalos x, y ∈ L, é denido por x + y = [x + y, x + y].. Denição 2.14. (Subtração Intervalar) A subtração de dois intervalos x, y ∈ L, é denido por x − y = [x − y, x − y]. Observe que tanto a soma, a subtração como o produto intervalar são as melhores representações das respectivas operações reais. Outra relevante operação é a extensão de potências para conjuntos intervalares.. Denição 2.15. (Potência Intervalar) Seja x ∈ L e k ∈ R+ . A potência k de x é dada por xk = [xk , xk ].. Observação 2.4. Note que esta denição preserva a propriedade usual de potências, principalmente, para cada, x, y ∈ L e k1 , k2 , k ∈ R+ xk1 · xk2 = xk1 +k2. e (xy)k = xk yk . A extensão da noção de continuidade, automorsmo e gerador aditivo para L são denidos como segue.. Denição 2.16. Uma função intervalar F : Ln → L é Moore contínua se é contínua no sentido da métrica usual de Moore d([a, b], [c, d]) = max{|a − c|, |b − d|}. 17.

(32) Proposição 2.4. [Teorema 4.1. 10] Sejam f, g : [0, 1]n → [0, 1] tais que f ≤ g. fcg é Moore contínua se e somente se, f e g são contínuas.. Denição 2.17. [65] Uma função ρ : L → L é um automorsmo intervalar se é bijetiva e satisfaz x ≤L y se, e somente se ρ(x) ≤L ρ(y).. Denição 2.18. [58] Considere as funções τ : L → R+ e F : L2 → L. Dizemos que τ é um gerador aditivo de F se τ é uma função estritamente decrescente tal que, para todo x, y ∈ L, F (x, y) = τ (−1) (τ (x) + τ (y)),. onde τ (−1) é a pseudo-inversa de τ , isto é,. τ (−1) (y) =.     sup{x ∈ L|τ (x) ≪ y se τ ([x, x]) ≪ τ ([x, x]) sup{x ∈ L|τ (x) ≫ y se τ ([x, x]) ≫ τ ([x, x])    [x, x] caso contrário.. Onde ≪ é denido como em Eq.10 de [58].. 2.7. T-normas e t-conormas intervalares. T-normas intervalares são denidas analogamente ao caso dos valores em [0, 1].. Denição 2.19. Uma função T : L2 → L é uma t-norma intervalar se T é simétrica, associativa, monotônica com respeito à ordem de Kulisch-Miranker, e tem [1, 1] como elemento neutro.. Observação 2.5. Note que a m de denir uma t-norma intervalar, qualquer ordem pode ser considerada no conjunto L. No entanto, cada ordem diferente levaria a uma noção diferente de t-norma. Neste trabalho nos concentramos apenas na ordem de KulischMiranker, uma vez que é mais comumente utilizada na literatura.. Exemplo 2.5. [25] Exemplos de t-normas intervalares são: i) T-norma intervalar do mínimo : TM (x, y) = [min(x, y), min(x, y)]; ii) T-norma intervalar produto : TP (x, y) = [xy, xy]; iii) T-norma intervalar produto-mínima : TP M (x, y) = [xy, min(x, y)]; iv) T-norma intervalar fraca :     x. se y = [1, 1] TW (x, y) = y se x = [1, 1]    [0, 0] caso contrário. 18.

(33) Note que (i), (ii) e (iii) no Exemplo 2.5 corresponde as funções TbM , TbP e T\ P TM , respectivamente. A possibilidade de construir t-normas desta forma nos leva à seguinte denição.. Denição 2.20. [57] Uma t-norma intervalar T é t-representavél se existem t-normas T1 e T2 tais que T1 ≤ T2 e T = Td 1 T2 .. Proposição 2.5. [23] Seja T : [0, 1]2 → [0, 1] uma t-norma, então Tb é a melhor representação de T . T-normas intervalares representáveis podem ser completamente caracterizadas como segue.. Denição 2.21. [22] Uma t-norma intervalar T é inclusão monotônica se ∀x, y, z ∈ L, T(x, y) ⊆ T(x, z) quando y ⊆ z .. Teorema 2.5. [Corolário 33, 58] Uma t-norma intervalar T é t-representável se, e somente se, é inclusão monotônica. As propriedades que podem ser exigidas para t-normas intervalares, as quais são apenas extensões diretas das propriedades para t-normas pontuais são denidas a seguir. 1. Uma t-norma intervalar T tem divisores de zero se houver pelo menos um par de elementos x 6= [0, 0] e y 6= [0, 0], tal que T(x, y) = [0, 0].. Por exemplo,. TW ([0.4, 0.9], [0.6, 0.7]) = [0, 0]. Uma t-norma intervalar é positiva se T(x, y) = [0, 0] implica que x = [0, 0] ou y = [0, 0]. Claramente, T não tem zero divisores se, e somente se, T é positiva. 2. Seja T uma t-norma intervalar. T é Arquimediana se para cada x, y ∈ L0 , existe um inteiro positivo n tal que x(n) < y onde x(1) = x e x(k+1) = T(x, x(k) ). 3. Uma t-norma intervalar é idempotente se T(x, x) = x para cada x ∈ L, por exemplo. TM . 4. Uma t-norma intervalar T é cancelativa se para cada x, y, z ∈ L, temos que T(x, y) =. T(x, z) se, e somente se, x = [0, 0] ou y = z. 5. Uma t-norma intervalar T é join-morsmo se ∀x, y, z ∈ L, T(x, y ∨ z) = T(x, y) ∨. T(x, z). 6. Uma t-norma intervalar T é meet-morsmo se ∀x, y, z ∈ L, T(x, y ∧ z) = T(x, y) ∧. T(x, z). 19.

(34) 7. Uma t-norma intervalar T é estritamente crescente se ∀x, y, z ∈ L tal que x 6= [0, 0] e y <L z, T(x, y) <L T(x, z).. Proposição 2.6. [25] A única t-norma intervalar idempotente é a TM . Observação 2.6. É importante notar que o estudo das t-normas intervalares não se reduz a uma extensão direta dos resultados existentes para o caso de valor real. Por exemplo, considere a menor t-norma TW , a qual foi denida no Exemplo 2.1. A melhor representação seria Tc W , dada por:   x     y Tc (x, y) = W   [0, 0]      [0, min(x, y)]. se y = [1, 1] se x = [1, 1] se max(x, y) < 1 caso contrário.. No entanto, a menor t-norma intervalar é TW denida no Exemplo 2.5 (iv). No caso das t-conormas intervalares, temos que:. Denição 2.22. [22] Uma função S : L2 → L é uma t-conorma intervalar se S é simétrica, associativa, monotônica com relação a ≤L e tem [0,0] como elemento neutro.. Exemplo 2.6. [25] Exemplos de t-conormas intervalares são: i) SM (x, y) = [max(x, y), max(x, y)]; ii) SP (x, y) = [x + y − xy, x + y − xy].. Proposição 2.7. [Prop. 5.1.21] S é uma t-conorma intervalar se, e somente se, a função T : L2 → L denida por T(x, y) = S(xc , yc )c. (2.6). é uma t-norma intervalar. Neste caso, T e S são ditas duais. Em particular, TM e SM assim como, TP e SP também são ditas duais. Observe que desta dualidade entre t-normas intervalares e t-conormas intervalares, as diversas propriedades e noções vistas para t-normas intervalares têm uma dual para t-conormas intervalares. Por exemplo,. Denição 2.23. Uma t-conorma intervalar S é s-representável se existirem t-conormas S1 e S2 tal que S1 ≤ S2 e S = Sd 1 S2 .. Proposição 2.8. [25] A única t-conorma intervalar idempotente é SM . Denição 2.24. [55] Uma t-conorma intervalar S é join-morsmo se ∀x, y, z ∈ L, S(x, y ∨ z) = S(x, y) ∨ S(x, z).. Denição 2.25. [55] Uma t-conorma intervalar S é meet-morsmo se ∀x, y, z ∈ L, S(x, y ∧ z) = S(x, y) ∧ S(x, z). 20.

(35) 2.8. Conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados. Os CFIA podem ser estendidos para um quadro mais geral de lidar simultaneamente com a incerteza tanto nos valores de pertinência como nos valores de não pertinência [27]. Este fato leva ao conceito de conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados como os dados por Atanassov e Gargov em 1989 [7].. Denição 2.26. [7] Um CFIAIV A sobre um conjunto não vazio X é dado pela expressão: A = {(x, µA (x), νA (x)) : x ∈ X}. onde µ, ν : X → L são funções satisfazendo µA (x) + νA (x) ≤ 1. Uma abordagem alternativa para CFIA foi dada por Deschrijver e Kerre em [56] em termos de conjuntos L-fuzzy no sentido de Goguen [68]. Similarmente, podemos também ver CFIAIV nos mesmos termos considerando o reticulado completo hL∗ , ≤L∗ i, no qual:. L∗ = {(x, y) ∈ L × L : x + y ≤ 1}, e. (x1 , y1 ) ≤L∗ (x2 , y2 ) ⇔ x1 ≤L x2 e y1 ≥L y2 .. (2.7). associado com L∗ existem projeções: `, r : L∗ → L, onde:. `(x, y) = x e r(x, y) = y. E a ordem de "inclusão"que usamos para intervalos intuicionistas é dada por:. (x1 , y1 ) ⊆∗ (x2 , y2 ) se, e somente se x2 ≤L x1 e y2 ≤L y1 . Elementos de L∗ são chamados L∗ -valores e, existem alguns L∗ -valores e operações especiais, por exemplo: 0L∗ = ([0, 0], [1, 1]). e 1L∗ = ([1, 1], [0, 0]).. Para qualquer x ∈ L, φ(x) = (x, xd ) ∈ L∗ . Além disso, observe que se (x, y) ∈ L∗ então φ(x) ≤L∗ (x, y). λ(x, y) = (λx, λc y) para todo λ ∈ L. 21.

(36) E ainda denimos L∗0 por L∗0 = L∗ − {0L∗ , 1L∗ }. A extensão de funções intervalares para as funções intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas nos permite estender a estas últimas algumas operações triviais. A seguir mostramos algumas dessas operações.. Denição 2.27. (Produto intuicionista intervalar) Para qualquer (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ L∗ , o produto de (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) é denido por (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 + y2 − y1 y2 ). Denição 2.28. (Potência intuicionista intervalar) Seja (x, y) ∈ L∗ e k ∈ R+ . A potência k de (x, y) é dada por (x, y)k = (x[k,k] , ((yc )[k,k] )c ). Observação 2.7. Note que esta denição preserva a propriedade usual de potências, principalmente, para cada, (x, y) ∈ L∗ e k1 , k2 , k ∈ R+ (x, y)k1 · (x, y)k2 = (x, y)k1 +k2. e ((x, y) · (x, y))k = (x, y)k · (x, y)k . Equivalentemente, este reticulado hL∗ , ≤L∗ i pode também ser denido como uma estrutura algébrica (L∗ , u, t) onde os operadores u e t são denidos como segue:. (x1 , y1 ) u (x2 , y2 ) = (x1 ∧ x2 , y1 ∨ y2 ). (2.8). (x1 , y1 ) t (x2 , y2 ) = (x1 ∨ x2 , y1 ∧ y2 ). (2.9). Denição 2.29. [51] Uma ordem sobre L∗ é dita ser uma ordem L∗ -admissível se é uma ordem linear e rena a ordem parcial dada por Atanassov para CFIAIV (2.7). Observe que, se temos uma ordem L∗ -admissível sobre L∗ , como na Denição 2.29, então o botom de (L∗ , ) é 0L∗ e o topo é 1L∗ . Algums exemplos de ordens admissíveis sobre L∗ são dadas [49, 50, 52]:. Exemplo 2.7. Sejam (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ L∗ , então: 1. (x1 , y1 ) L∗ (x2 , y2 ) se, e somente se (x1 + x1 − y1 − y1 < x2 + x2 − y2 − y2 ), ou. 22.

(37) (x1 + x1 − y1 − y1 = x2 + x2 − y2 − y2 e x1 + x1 + y1 + y1 = x2 + x2 + y2 + y2 ), ou (x1 + x1 − y1 − y1 = x2 + x2 − y2 − y2 , x1 + x1 + y1 + y1 = x2 + x2 + y2 + y2 e x2 + x2 − y2 − y2 < x1 + x1 − y1 − y1 ), ou. (x1 +x1 −y1 −y1 = x2 +x2 −y2 −y2 , x1 +x1 +y1 +y1 = x2 +x2 +y2 +y2 , x2 +x2 −y2 −y2 = x1 + x1 − y1 − y1 e x1 − x1 − y1 + y1 ≤ x2 − x2 − y2 + y2 ) denida em [49].. 2. (x1 , y1 ) ∗L (x2 , y2 ) se, e somente se (x1 < x2 ), ou (x1 = x2 e x1 < x2 ), ou (x1 = x2 , x1 = x2 e y2 < y1 ), ou (x1 = x2 , x1 = x2 , y2 = y1 e y2 = y1 ) denida em [49].. 3. (x1 , y1 ) ?xy (x2 , y2 ) se, e somente se (x1 − y1 < x2 − y2 ), ou (x1 − y1 = x2 − y2 e x1 + y1 < x2 + y2 ), ou (x1 − y1 = x2 − y2 , x1 + y1 = x2 + y2 e x1 − y1 < x2 − y2 ), ou (x1 − y1 = x2 − y2 , x1 + y1 = x2 + y2 , x1 − y1 = x2 − y2 e x1 + y1 ≤ x2 + y2 ) denida. em [50].. 4. (x1 , y1 ) ≤Q2 (x2 , y2 ) se, e somente se (x1 < x2 ), ou (x1 = x2 e x1 < x2 ), ou (x1 = x2 , x1 = x2 e y2 < y1 ), ou (x1 = x2 , x1 = x2 , y2 = y1 e y2 ≤ y1 ) denida em [52].. 2.8.1. Negação fuzzy intuicionista de Atanassov intervalar. Denição 2.30. [93] Uma função N : L∗ → L∗ é uma negação fuzzy intuicionista de Atanassov intervalar, ou apenas L∗ -negação, se é decrescente com relação à ordem ≤L∗ , N (0L∗ ) = 1L∗ e N (1L∗ ) = 0L∗ . Em particular, a função N denida por N (x, y) = (y, x) é uma L∗ -negação denominada de padrão. Por simplicidade de notação escrevemos (x, y)c ao invés de N (x, y) quando N é L∗ -negação padrão.. 23.

(38) 2.8.2. Representação intervalar em. L∗. Denição 2.31. Uma função F : L∗ × L∗ → L∗ é representável ou L∗ -representável se existem funções F1 , F2 : L2 → L tais que F((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (F1 (x1 , x2 ), F2 (y1 , y2 )). (2.10). para todo (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ L∗ . Neste caso, chamamos o par (F1 , F2 ) de representantes ] de F e denotamos F por F 1 F2 . Observe que existem funções F1 , F2 : L2 → L tais que (F1 (x1 , x2 ), F2 (y1 , y2 )) 6∈ L∗ para algum (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ L∗ . Por exemplo, as funções F1 (x, y) = F2 (x, y)) = [1, 1] são tais que (F1 (x1 , x2 ), F2 (y1 , y2 )) = ([1, 1], [1, 1]) 6∈ L∗ para todo (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ L∗ .. Proposição 2.9. Seja F : L∗ × L∗ → L∗ uma função crescente com respeito à ordem ≤L∗ . Se F é L∗ -representável então seus representantes são crescentes com respeito à. ordem ≤L . Demonstração. Sejam F1 , F2 : L2 → L os representantes de F e x, y, z ∈ L tais que y ≤L z. Então como (y, [0, 0]) ≤L∗ (z, [0, 0]) então F1 (x, y) = `(F1 (x, y), F2 ([0, 0], [0, 0])) = `(F((x, [0, 0]), (y, [0, 0]))) ≤L `(F((x, [0, 0]), (z, [0, 0]))) = F1 (x, z) Analogamente, como ([0, 0], z) ≤L∗ ([0, 0], y) então. F2 (x, y) = r(F1 ([0, 0], [0, 0]), F2 (x, y)) = r(F(([0, 0], x), ([0, 0], y))) ≤L r(F(([0, 0], x), ([0, 0], z))) = F2 (x, z).. 24.

(39) Capítulo 3 T-normas Intuicionistas de Atanassov Intervalarmente Valoradas 3.1. Considerações iniciais. Em [3], Atanassov estendeu a noção de conjuntos fuzzy acrescentando um grau extra (ou grau de não-pertinência) para estes conjuntos, a m de modelar a hesitação e incerteza sobre o grau de pertinência de um elemento ao conjunto. Desse modo, em teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov, este grau extra captura a diculdade intrínseca para determinar um grau de pertinência exato de um objeto para algum termo lingüístico [20]. A teoria do conjuntos fuzzy intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados (TCFIAIV) foi apresentada em [50] como sendo uma generalização da teoria dos conjuntos fuzzy, teoria dos conjuntos fuzzy intuicionistas de atanassov e teoria dos conjuntos fuzzy intervalarmente valorados, onde foi estabelecido um método para transformar operadores fuzzy, intuicionistas de Atanassov e intervalarmente valorados para operadores intuicionistas de Atanassov intervalarmente valorados. Neste sentido, este capítulo generaliza estes conceitos para o caso particular das t-normas intuicionistas de Atanassov intervalarmente valoradas ou L∗ -t-normas.. 3.2. L∗-t-normas. Denição 3.1. Uma função T : L∗ × L∗ → L∗ é uma t-norma intuicionista de Atanassov intervalarmente valorada, ou apenas uma L∗ -t-norma, se satisfaz as seguintes condições. (T 1) T ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = T ((x2 , y2 ), (x1 , y1 )). 25.