Para Khosla e Volpe (1988) o principal interesse do uso de campos de potencial ar- tificiais ´e evitar obst´aculos (obstacle avoidance). Afirmam que a adi¸c˜ao dos campos de potencial atractivo e repulsivo podem resultar no maior problema dos campos de
2.5. FUNC¸ ˜OES DE POTENCIAL ARTIFICIAIS SUPERQUADR ´ATICAS 19 potencial: existˆencia de um m´ınimo local, fazendo com que o robˆo pare antes de atingir a posi¸c˜ao desejada, i.e., o alvo. Em (Khosla e Volpe, 1988) e (Khosla e Volpe, 1990) ´e proposto que os campos de potencial repulsivos em vez de tenderem para infinito `a medida que o robˆo se aproxima da superf´ıcie do obst´aculo, tendam suavemente para um valor finito.
Consideram dois tipos de campos de potencial atractivos: quadr´aticos (ou parab´olicos) e c´onicos. Os campos de potencial parab´olicos7, apresentam as seguintes vantagens:
(i) proporcionam uma lei de controlo constante; (ii) todos os campos de potencial s˜ao parab´olicos para pequenos deslocamentos.
De facto, se considerarmos o potencial parab´olico
U (x) = 1
2k x · x (2.23)
onde k ´e uma constante positiva e x ´e o vector posi¸c˜ao. A for¸ca induzida por este potencial ´e
F = −∇U (x) = −k x (2.24)
que corresponde a uma lei de controlo constante (Lei de Hooke).
Para verificar (ii), considere-se a expans˜ao em s´erie de Taylor numa dimens˜ao U (x0+ 4x) = U (x0) + 4x dU (x) dx x=x0 +4x 2 2 d2U (x) dx2 x=x0 + . . . (2.25) Para pequenos deslocamentos, 4x, os termos de ordem mais elevada podem ser negli- genciados. A for¸ca induzida ´e
F (x0+ 4x) = − dU (x) dx x=x0 − 4xd 2U (x) dx2 x=x0 − . . . (2.26) Mas dU (x) dx x=x0 = 0 e d 2U (x) dx2 x=x0 = k (2.27)
Donde (2.26) se reduz `a Lei de Hooke.
Portanto, campos de potencial parab´olicos s˜ao bons campos de potencial pois tˆem uma forma simples e porque todos os outros campos de potencial reduzem-se a estes para pequenos deslocamentos.
7
Quanto aos campos de potencial c´onicos, estes s˜ao parab´olicos num determinado limite e depois aumentam linearmente
U (x) = k x · x, kxk < d0 2 k d0kxk − k d20 kxk ≥ d0 (2.28)
Este campo potencial c´onico proporciona um campo de for¸cas de magnitude constante, para distˆancias superiores a d0, e para pequenas distˆancias tem as vantagens dos campos
de potencial parab´olicos.
Volpe e Khosla (1988, 1990) consideram campos repulsivos el´ıpticos que devem obe- decer `as seguintes condi¸c˜oes:
(1) os campos de potencial devem ter simetria esf´erica longe da superf´ıcie do obst´aculo; (2) as linhas de equipotencial pr´oximas da superf´ıcie do obst´aculo devem convergir
para a fronteira do obst´aculo;
(3) os campos de potencial devem ter a sua influˆencia limitada a uma dada distˆancia; (4) os campos de potencial e o seu gradiente devem ser cont´ınuos.
A primeira condi¸c˜ao evita a cria¸c˜ao de m´ınimos locais quando o potencial repulsivo ´e adicionado a outros campos de potencial. Vejamos porquˆe. Considere-se o caso em que o robˆo se move num subconjunto de R2, e em que existe um ´unico obst´aculo, O, e um alvo situado por detr´as desse obst´aculo. Suponha-se ainda que a origem do referencial se encontra no centro do obst´aculo e o eixo-x ´e orientado segundo o maior lado de O (Figura 2.8). Podemos verificar que as linhas de equipotencial do campo potencial atractivo parab´olico s˜ao c´ırculos centrados na posi¸c˜ao do alvo. As linhas de equipotencial do campo potencial repulsivo utilizado por Khatib (1986) s˜ao rectˆangulos com os cantos arredondados. A Figura 2.9 foi adaptada de (Latombe, 1991) e ilustra o m´ınimo local criado pela composi¸c˜ao dos campos de potencial atractivos e repulsivos. Considerando o arco P Q, onde P pertence `a fronteira do obst´aculo, e Q est´a em infinito. Seja x ∈ P Q a uma distˆancia finita, n˜ao nula, de P . O potencial U (x) ´e finito, e `a medida que x tende para P ou para Q, U (x) → ∞. Consideremos um ponto C de P Q a uma distˆancia finita, n˜ao nula, de P . `A medida que x se move de A para B,
2.5. FUNC¸ ˜OES DE POTENCIAL ARTIFICIAIS SUPERQUADR ´ATICAS 21 o potencial decresce at´e C e cresce de C a B. Portanto, a fun¸c˜ao potencial tem um m´ınimo para algum xmin entre P e Q. Este m´ınimo resulta do facto da curvatura das
linhas de equipotencial do potencial repulsivo serem maiores que o raio da curvatura das linhas de equipotencial do potencial atractivo em xmin. Assim, o campo potencial
total ´e n˜ao convexo embora tanto o campo potencial atractivo como o repulsivo serem convexos (Latombe, 1991).
Obstáculo
Alvo
Figura 2.8: As linhas de equipotencial do campo potencial atractivo parab´olico s˜ao c´ırculos centrados na posi¸c˜ao do alvo. As linhas de equipotencial do campo potencial repulsivo utilizado por (Khatib, 1986) s˜ao rectˆangulos com os cantos arredondados.
Para evitar o aparecimento de m´ınimos locais as linhas de equipotencial do campo repulsivo deveriam ser circulares (condi¸c˜ao 1), pois deste modo bastaria escolher a distˆancia de influˆencia dos obst´aculos menor do que metade da distˆancia m´ınima entre dois obst´aculos (se esta informa¸c˜ao estivesse dispon´ıvel!) e do que a distˆancia m´ınima entre o alvo e os obst´aculos. No entanto, isto n˜ao resultaria no caso de obst´aculos n˜ao circulares, especialmente em obst´aculos alongados, pois o robˆo ficaria impedido de aceder a muitos locais. Um potencial el´ıptico ir´a satisfazer as condi¸c˜oes 1 e 2. Designemos por L e H as medidas dos lados mais e menos longo, respectivamente. O campo potencial el´ıptico ser´a definido em dois passos: especifica¸c˜ao das linhas de equipotencial e defini¸c˜ao do potencial em cada linha equipotencial. Comecemos por definir n-elipse.
Uma n-elipse ´e uma curva tal que: x a 2n +y b 2n = 1 (2.29)
Figura 2.9: M´ınimo local criado pela composi¸c˜ao dos campos de potencial atractivos e repulsivos. Dado x ∈ P Q a uma distˆancia finita de P , U (x) ´e finito, e `a medida que x tende para P ou para Q, U (x) → ∞. `A medida que x se move de A para B, o potencial decresce at´e C e cresce de C a B, portanto, a fun¸c˜ao potencial tem um m´ınimo para algum xminentre P e Q.
onde a ´e o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor. Fazendo a = L 2 2 1 2n e b = H 2 2 1 2n (2.30)
obtemos uma n-elipse que toca nos quatro cantos do obst´aculo rectangular. Para tornar a n-elipse num c´ırculo, para n = 1, basta multiplicar o termo em y por (b/a)2. Assim, a n-elipse torna-se x a 2n + b a 2 y b 2n = 1 (n ≥ 1) (2.31)
Note-se que, para n = 1, a n-elipse ´e um c´ırculo e se n → ∞, ela converge para a fronteira do obst´aculo. Consideremos a pseudo-distˆancia
ξn(x, y) = " x a 2n + b a 2 y b 2n # 1 2n − 1 (2.32)
Esta pseudo-distˆancia ´e uma n-elipse e tende para infinito `a medida que nos afastamos dela. Tomando K = ξn(x, y), o equipotencial repulsivo, para um dado n ´e
n = 1
1 − e−αK (2.33)
2.6. FUNC¸ ˜OES DE POTENCIAL HARM ´ONICAS 23 • quando K → ∞, n → 1 e a linha de equipotencial tende para um c´ırculo;
• quando K → 0, n → ∞ e a linha de equipotencial tende para a fronteira do obst´aculo.
Desta forma, temos a forma das linhas de equipotencial definidas. Passemos `a especi- fica¸c˜ao do valor do potencial em cada uma dessas linhas. Anteriormente t´ınhamos visto que os campos de potencial devem ter a sua influˆencia limitada a uma dada distˆancia (condi¸c˜ao 3) e deveriam ser inversamente dependentes da distˆancia ao obst´aculo, assim
Urep(K) = η
e−α K
K (2.34)
onde η ´e uma constante. O termo exponencial faz com que o potencial tende para zero mais rapidamente que K−1, `a medida que K aumenta. Note-se que K ´e a pseudo- distˆancia dada por (2.32).
Somando a este campo potencial repulsivo um potencial atractivo, ainda pode ocorrer a existˆencia de m´ınimo local (ou de m´ınimos locais), mas o tamanho do dom´ınio de atrac¸c˜ao deste m´ınimo local pode ser modificada atrav´es do ajuste de η e α.
No entanto, os campos de potencial el´ıpticos tˆem v´arias desvantagens. Latombe (1991) aponta as seguintes: (i) os campos de potencial el´ıpticos podem apenas ser generalizados para obst´aculos de formas convexas simples (como por exemplo, trap´ezios) utilizando parˆametros n˜ao constantes (para mais detalhes ver (Khosla e Volpe, 1988) ou (Volpe e Khosla, 1990)); (ii) os obst´aculos devem estar suficientemente afastados, de modo que n˜ao estejam dentro da distˆancia de influˆencia uns dos outros.
Uma outra desvantagem ´e o facto de ser necess´ario ter informa¸c˜ao acerca de toda a geometria do ambiente, nomeadamente, as posi¸c˜oes e dimens˜oes dos obst´aculos.