Fun¸ c˜ ao inversa do cosseno - Fun¸ c˜ oes Trigonom´ etricas Inversas

6.5 Fun¸ c˜ oes Trigonom´ etricas Inversas

6.5.2 Fun¸ c˜ ao inversa do cosseno

A fun¸cão cos-seno ´_{e definida por f : R → R tal que f (x) = cos x, não é bijetora e, portanto, não tem} inversa. Observe graficamente:

Restringindo o contradom´ınio ao intervalo [−1; 1], a fun¸cão é sobrejetora. Convencionamos restringir o dom´ınio ao intervalo [0; π], no qual a fun¸cão é injetora. Dessa forma temos a fun¸cão:

Então, a fun¸cão é bijetora e, portanto, tem inversa:

F−1: [−1; 1] → [0; π] tal que F−1(y) = arc cos y O gráfico da fun¸cão inversa do cosseno é o seguinte

Exemplo 27 Determinar y : a) y = arc cos 1 2 Solu¸c˜ao: y = arc cos 1 2 ⇒          0 6 y 6 π e ⇒ y =π 3 cos y = 1 2 Portanto: y =π 3rad b) y = arc cos − √ 3 2 ! Solu¸c˜ao: y = arc cos − √ 3 2 ! ⇒            0 6 y 6 π e ⇒ y =5π 6 cos y = − √ 3 2 Portanto: y =5π 6 rad

6.5.3 Fun¸c˜ao inversa da tangente

A fun¸c˜ao tangente ´_{e definida: f : R}1→ R tal que f(x) = tan x, com R1= {x ∈ R|x 6=

2 + k ∗ π, k ∈ Z} e seu gr´afico ´e o seguinte:

PET Matem´atica - UFSM 63

Nessas condi¸cões a fun¸cão é sobrejetora, pois tan x assume qualquer valor real, mas não é injetor. Desse modo não é bijetora e, portanto não tem inversa. Vamos restringir o dom´ınio a um intervalo onde ela assume todos os valores reais e, além disso, seja injetora. Existem infinitos intervalos onde isso ocorre. Convencionamos restringir o dom´ınio ao intervalo abertoi−π

2, π 2 h

. A fun¸c˜ao fica assim determinada: F :i−π

2, π 2 h

→ R, definida por F (x) = tan x A fun¸c˜ao agora ´e bijetora e, portanto, tem inversa:

F−1:i−π 2,

π 2 h

, definida por F−1(y) = arc tan y O gráfico da fun¸cão inversa da tangente é o seguinte

Exemplo 28 Determinar y : a) y = arc tan√3 Solu¸c˜ao: y = arc tan√3 ⇒    −π 2 < y < π 2 tan y =√3 Portanto: y =π 3rad

b) y = arc tan 1 + arc tan √

3 3

Solu¸c˜ao: Chamando z = arc tan 1, temos que:          −π 2 < z < π 2 e ⇒ z = π 4rad tan z = 1

Chamando t = arc tan √ 3 3 ! , temos que:            −π 2 < t < π 2 e ⇒ t = π 6rad tan t = √ 3 3 Como y = z + t ⇒ y =π 4rad + π 6rad ⇒ y = 5π 12rad

6.6 Fun¸c˜oes Hiperb´olicas

As fun¸cões hiperbólicas são definidas como combina¸cões de fun¸cões exponenciais e estão diretamente relacionadas com a hipérbole, da mesma maneira com que as fun¸cões trigonométricas estão relacionadas com o circulo.

As fun¸cões seno e cosseno hiperbólicos são denotadas e definidas, respectivamente, como:

f (x) = senh(x) = e

x_{− e}−x

2 f (x) = cosh(x) =

ex_{+ e}−x

2 sendo que Dom(senh) = Dom(cosh) = R, Im(senh) = R e Im(cosh) = (1, +∞). Os gráficos das fun¸cões seno e cosseno hiperbólicos são, respectivamente:

Importante ´

Cap´ıtulo 7

Fun¸c˜oes Polinomiais

Uma fun¸cão f é chamada de fun¸cão polinomial se para um número n, inteiro e não negativo, temos: f (x) = anxn+ an−1xn−1+ an−2xn−2+ ... + a2x2+ a1x1+ a0

Observe que a fun¸cão polinomial está definida em todos os valores reais e, por isso, o dom´ınio desta fun¸cão é o conjunto dos n´_{umeros reais, ou seja, Dom(f ) = R. A imagem, no entanto, depende diretamente do} grau do polinômio e do coeficiente an. Se tomarmos, por exemplo, as fun¸cões f (x) = x4−2 e g(x) = x5+1,

teremos: Os números a0, a1, ..., ansão constantes reais chamadas de coeficientes do polinômio. O grau do

(e) f (x) = x4_{− 2} _{(f) g(x) = x}5_{+ 1}

polinˆomio ´e determinado pelo maior expoente j tal que aj 6= 0.

7.1 Gr´aficos

O gráfico, da mesma maneira que a imagem de f é determinado pelo grau do polinômio e pelo coeficiente an. Assim, é interessante observar que:

. Sempre que um valor k é multiplicado por esta fun¸cão ela tende a se contrair ou se expandir. Assim, quanto maior o valor de k, mais contra´ıdo será o gráfico da fun¸cão. Consequentemente, quanto menor o valor de k mais expandido será o gráfico da fun¸cão. Graficamente, temos:

7.2 Resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes polinomiais de grau n

A resolu¸cão de uma equa¸cão de 1o grau é feita apenas isolando-se a variável x. Para uma equa¸cão de grau 2 podemos fazer uso da equa¸cão de Báscara e obter as solu¸cões. Mas quando a equa¸cão é de grau superior a 2, ou seja, uma equa¸cão cúbica, quadrática, ...?

7.2.1 O algoritmo de Briot-Ruffini

Para resolver equa¸cões de grau maior que 2, podemos fazer uso do algoritmo de Briot-Ruffini, que per- mite, a partir do conhecimento de uma das ra´ızes da equa¸cão, diminuir o grau desta equa¸cão de forma a torná-la mais simples, e, por consequencia, descobrir as demais ra´ızes. Assim, na parte superior coloca-se os coeficientes do termos da equa¸cão de xm _at´_{e x}0_{, preenchendo com zeros os coeficientes que est˜}_ao

faltando. Em seguida, no canto superior esquerdo coloca-se a raiz que já é conhecida. A partir disto, a sequencia de passos é a seguinte:

1. Copia-se o primeiro coeficiente (Coef.1) para a linha de baixo; 2. Multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz;

3. O valor obtido na multiplica¸cão é somado ao segundo coeficiente (Coef.2); 4. O valor final desta soma é colocado logo abaixo o segundo coeficiente (Coef.2); 5. O valor obtido no processo anterior é multiplicado pela raiz de f (x);

6. Este resultado ´e somado ao valor do terceiro coeficiente (Coef.3);

7. O valor final desta soma ´e colocado logo abaixo do terceiro coeficiente (Coef.3); e assim, sucessivamente at´e o ultimo coeficiente.

PET Matem´atica - UFSM 67

onde Coef.1, Coef.2,..., Coef.n correspondem aos coeficientes de xm_{, x}m−1_,...,x1_,x0_{, nesta ordem. A raiz}

de f (x) corresponde ao valor da raiz da equa¸cão já conhecido e o valor de p é o resultado da soma. Note que o grau da equa¸cão vai diminuindo após cada etapa, até tornar-se uma equa¸cão do 2o_{grau e ser}

resolvido utilizando a f´ormula de B´ascara.

Exemplo 29 Determinar as ra´ızes da seguinte fun¸c˜ao f (x) = x4− 9x3_{+ 29x}2_{− 39x + 18 = 0.}

Utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini temos:

Assim, a equa¸c˜ao f (x) = x4_{− 9x}3_{+ 29x}2_{− 39x + 18 = (x − 1)(x − 2)(x − 3)}2_{= 0 e, portanto, suas ra´ızes}

s˜ao x = 1, x = 2 e x = 3.

Exerc´ıcio 38 Resolva as seguintes equa¸c˜oes utilizando o dispositivo pr´atico de Briot-Ruffini: a) g(x) = 2x3+ 3x2− 3x + 2 b)

Exerc´ıcios Propostos

1. Mostre que a fun¸c˜ao f (x) = x2₊ 1

x2 ´e uma fun¸c˜ao par.

2. Seja f : R → R uma fun¸cão bijetora tal que f (5) = 2. Se g : R → R é a fun¸cão inversa da fun¸cão f , então g−1(5) é igual a:

a) 2 b) 7 c) 5 d) 3

3. Dadas as fun¸c˜oes f (x) = x2_{− 1 e g(x) = 2x + 1. Ent˜}_{ao a fun¸}_c˜_{ao composta f ◦ g assume o menor}

valor em um ponto do intervalo: a) ] − 1, 0[ b) ]0, 1[ c) ]1 2, 2[ d) ] − 1, −1 2[

4. Dadas as fun¸cões f (x) = 4x − k e g(x) = 1 − x. Determine o valor de k de modo que f ◦ g = g ◦ f . 5. Demonstrar que a composi¸cão de fun¸cões afins ainda é uma fun¸cão afim.

6. Se f (x) = 5x_{, com x ∈ R, o valor de f (x + 2) − f (x + 1) ´e:} a) 30 ∗ f (x)

b) 24 ∗ f (x) c) 20 ∗ f (x) d) 9 ∗ f (x) e) 5 ∗ f (x)

7. Dada a inequa¸c˜ao (x − 2)7∗ (x − 10)4_{∗ (x + 5)}3_{< 0, o conjunto solu¸}_c˜_{ao ´}_e:

a) {x ∈ R | x < −5}

PET Matem´atica - UFSM 69

b) {x ∈ R | 2 < x < 10} c) {x ∈ R | −5 < x < 2} d) {x ∈ R | −5 < x < 10} e) ∅

[1] BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval; Matemática: São Paulo, Editora Moderna, 1996. [2] FERNANDEZ, Vicente Paz; YOUSSEF, Antonio Nicolau; Matemática - conceitos e fundamen-

tos: S˜ao Paulo, Editora Scipione, 1995.

[3] MACHADO, Antonio dos Santos; Matem´atica na escola do segundo grau: S˜ao Paulo, Editora atual, 1996.

[4] PAIVA, Manoel; Matemática - conceitos, linguagem e aplica¸cões: São Paulo, Editora Moder- na, 2002.

No documento Funções elementares com o Winplot (páginas 61-70)