Funções elementares com o Winplot

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - RS GRUPO PET MATEM ´ATICA DA UFSM

Fun¸c˜

oes elementares com o Winplot

Antonio Carlos Lyrio Bidel

D´

ebora Dalmolin

Fabricio Fernando Halberstadt

Fernanda Somavilla

(2)

1 Fun¸c˜oes 5

1.1 Produto Cartesiano . . . 5

1.2 Rela¸c˜ao entre dois conjuntos . . . 5

1.3 Fun¸c˜ao . . . 5

1.4 Dom´ınio, Imagem, Contradom´ınio . . . 7

1.4.1 Dom´ınio de Fun¸c˜oes com quociente e radicais . . . 7

1.4.2 Identifica¸cão pelo gráfico do dom´ınio e imagem de uma fun¸cão . . . 8

1.5 Teste da reta vertical . . . 10

1.6 Fun¸c˜ao Bijetora, Injetora, Sobrejetora . . . 10

1.6.1 Injetividade . . . 10

1.6.2 Sobrejetividade . . . 10

1.6.3 Bijetividade . . . 11

1.7 Crescimento e Decrescimento de uma fun¸c˜ao . . . 13

1.8 Fun¸c˜oes pares e ´ımpares . . . 14

1.9 Propriedades . . . 15

2 Fun¸c˜oes elementares 17 2.1 Fun¸c˜oes de 1◦ grau . . . 17

2.1.1 Fun¸c˜ao Afim . . . 17

2.1.2 Fun¸c˜ao Linear . . . 22

2.1.3 Fun¸c˜ao constante . . . 23

2.2 Fun¸c˜ao Modular ou Valor Absoluto . . . 24

2.2.1 Gr´aficos . . . 24

2.2.2 Propriedades de m´odulo . . . 24

2.2.3 Equa¸c˜ao Modular . . . 25

2.3 Fun¸c˜ao Inversa . . . 26

2.3.1 M´etodo para determinar a inversa de uma fun¸c˜ao . . . 26

2.4 Fun¸c˜ao Composta . . . 28

2.5 Inequa¸c˜oes do 1o _{grau . . . .} ₂₉

2.5.1 Inequa¸c˜ao-produto . . . 30

(3)

2.5.2 Inequa¸c˜ao-quociente . . . 31

2.5.3 Inequa¸c˜ao-potˆencia . . . 32

3 Fun¸cão Quadrática 33 3.1 Ra´ızes da fun¸cão do 2o grau . . . 33

3.1.1 Resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes de 2◦ grau . . . 34

3.2 Gr´aficos . . . 35

3.2.1 Concavidade . . . 35

3.2.2 V´ertice da par´abola . . . 35

3.2.3 Eixo de Simetria . . . 36

3.3 Estudo do sinal da fun¸c˜ao . . . 37

3.3.1 Transla¸c˜oes . . . 38

3.4 Inequa¸c˜oes do 2o _{grau . . . .} ₄₀

4 Fun¸c˜ao Exponencial 41 4.1 Gr´aficos . . . 42

4.2 Equa¸c˜oes exponenciais . . . 43

4.3 Inequa¸c˜oes Exponenciais . . . 44

5 Fun¸c˜ao Logar´ıtmica 46 5.1 Logaritmos . . . 46

5.1.1 Propriedades dos logaritmos . . . 46

5.1.2 Propriedades operat´orias dos logaritmos . . . 47

5.1.3 Logaritmos Decimais e Neperianos . . . 49

5.2 Fun¸c˜ao Logar´ıtmica . . . 49

5.2.1 Condi¸c˜ao de existˆencia . . . 49

5.3 Gr´aficos . . . 50

5.4 Equa¸c˜oes Logar´ıtmicas . . . 51

6 Fun¸cões Trigonométricas 52 6.1 Seno e Co-seno de um arco trigonométrico . . . 52

6.2 Tangente de um arco trigonom´etrico . . . 54

6.2.1 Varia¸c˜ao do sinal da tangente . . . 54

6.3 Identidades Trigonom´etricas . . . 55

6.4 As Fun¸c˜oes Seno, Co-seno e Tangente . . . 57

6.4.1 Gr´afico da Fun¸c˜ao y = sin x . . . 58

6.4.2 Gr´afico da Fun¸c˜ao y = cos x . . . 58

6.4.3 Gr´afico da Fun¸c˜ao y = tan x . . . 59

6.5 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas Inversas . . . 59

6.5.1 Fun¸c˜ao inversa do seno . . . 60

6.5.2 Fun¸c˜ao inversa do cosseno . . . 61

(4)

6.5.3 Fun¸cão inversa da tangente . . . 62 6.6 Fun¸cões Hiperbólicas . . . 64

7 Fun¸c˜oes Polinomiais 65

7.1 Gráficos . . . 65 7.2 Resolu¸cão de equa¸cões polinomiais de grau n . . . 66 7.2.1 O algoritmo de Briot-Ruffini . . . 66

(5)

Cap´ıtulo 1

Fun¸

c˜

oes

1.1 Produto Cartesiano

Considere os conjuntos A = {0, 4, 6} e B = {1, 3}. Ao conjunto C = {(0, 1), (0, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)} formado por todos os pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo a B chamamos de produto cartesiano de A por B e indica-se por A × B.

1.2 Rela¸

c˜

ao entre dois conjuntos

Para dois conjuntos A e B não-vazios denominamos rela¸cão de A em B todo subconjunto R de A × B. No exemplo anterior, a rela¸cão R1= {(x, y) ∈ A × B | y = x₂} é o subconjunto de A × B formado pelos

pares ordenados em que o segundo elemento (y) ´e a metade do primeiro (x). Assim: R1= {(6, 3)}.

1.3 Fun¸

c˜

ao

Estudar-se-á um tipo particular de rela¸cão entre conjuntos denominada fun¸cão. Observe a rela¸cão f : A → B, representada pelo diagrama abaixo.

(6)

Note que todo elemento de A está associado através de f a um único elemento de B. Esta propriedade caracteriza uma fun¸cão.

Portanto:

Defini¸cão 1 Dados dois conjuntos A e B, denominamos fun¸cão toda rela¸cão f : A → B na qual, para todo elemento de A, existe um único correspondente em B. (NOTAÇ ÃO: ∀x ∈ A, ∃! y ∈ B | (x, y) ∈ f ).

Toda fun¸cão é uma rela¸cão, mas nem toda rela¸cão é uma fun¸cão.

Uma fun¸cão f : A → B pode também ser representada por: f = {(x, y) ∈ A × B | “lei de forma¸cão”}. A lei de forma¸cão de uma fun¸cão é o critério utilizado para a obten¸cão dos pares ordenados (x, y) e é representada por y = f (x) onde x é denominado variável independente e y, variável dependente. Assim,uma fun¸cão f é uma lei que associa um elemento x de um conjunto A não-vazio a um único elemento f (x) de um conjunto B também não vazio.

Nota¸c˜ao: f : A → B ou y = f (x) tal que x ∈ A e f (x) ∈ B

Exemplo 1 S˜ao dados A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e f : A → B, definida por: f = {(x, y) ∈ A × B | y = 2x + 1}. Para se obter os pares ordenados de f, substitui-se cada elemento x de A na lei de forma¸c˜ao y = 2x + 1, obtendo o valor de y = f (x) correspondente ao valor de cada elemento x.

(7)

PET Matem´atica - UFSM 7

x ∈ A y = 2x + 1 0 y = 2 ∗ 0 + 1 = 1 1 y = 2 ∗ 1 + 1 = 3 2 y = 2 ∗ 2 + 1 = 5 Assim, a fun¸c˜ao f ´e representada pelos pares f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5)}.

Exerc´ıcio 1 Dados os conjuntos A = {0, −1, 1, −3, 3} e B = {0, 3, 27, −3, −9, 1}, quais das rela¸cões seguintes são fun¸cões de A em B?

a) f = {(x, y) ∈ A × B | y = 3x2_}

b) f = {(x, y) ∈ A × B | y = x} c) f = {(x, y) ∈ A × B | x > y + 3} d) f = {(x, y) ∈ A × B | y = 3}

1.4 Dom´ınio, Imagem, Contradom´ınio

Defini¸cão 2 O conjunto A é chamado dom´ınio da fun¸cão e denota-se por D(f ) = A. O contradom´ınio da fun¸cão é o conjunto B = CD(f ) que contém todos os números que podem, eventualmente, ser relacionados aos elementos do dom´ınio via f (x). A imagem da fun¸cão é o conjunto de valores f (x) quando x varia no dom´ınio de f . Denotamos a imagem da fun¸cão por Im(f ).

Exemplo 2 Este diagrama representa f : A → B:

Nesse caso, temos: D(f ) = A = {−1, 2, 3, 5} CD(f ) = B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} Im(f ) = {4, 5, 6}

Desta maneira, dada uma fun¸cão qualquer y = f (x), onde x ∈ A, o número a pertence ao conjunto Im(f ) se a equa¸cão f (x) = a tem pelo menos uma solu¸cão em A. Além disso, observa-se uma estreita rela¸cão entre o contradominio e a imagem de f . Em particular, Im(f ) ⊂ CD(f ).

1.4.1 Dom´ınio de Fun¸

c˜

oes com quociente e radicais

Caso 1 Quando a variável aparece do denominador de uma fra¸cão, a condi¸cão é de que o denominador da fra¸cão deve ser diferente de zero.

(8)

Caso 2 Quando a variável aparece no radicando de um radical de ´ındice par, a condi¸cão é de que este radicando deve ser um número maior ou igual a zero.

Caso 3 Quando a variável aparece no radicando de um radical de ´ındice par e este se encontra no denominador de uma fra¸cão, a condi¸cão exigida é que este radicando deve ser maior que zero. Exemplo 3 Determinar o dom´ınio da fun¸cão f (x) = 1

x − 8.

O dom´ınio de f ´e o conjunto de todos os n´umeros x, reais, de modo que 1

x − 8 tamb´em seja real. Tem-se que 1

x − 8 ∈ R ⇔ x ∈ R e x − 8 6= 0, ou seja, x 6= 8. Portanto, D(f) = {x ∈ R | x 6= 8}. Exemplo 4 Determinar o dom´ınio da fun¸c˜ao g(x) =

√ x − 4 x2_{− 49}.

O dom´ınio de g ´e o conjunto de todos os n´umeros x, reais, tais que √

x − 4

x2_{− 49} tamb´em seja real. Assim:

√ x − 4

x2_{− 49} ∈ R ⇔ x − 4 ≥ 0 e x

2_{− 49 6= 0, ou seja, x ≥ 4 e x 6= −7 e x 6= 7. Fazendo a intersec¸c˜}_{ao, temos:}

Portanto, D(f ) = {x ∈ R | x ≥ 7 e x 6= 7}.

Exerc´ıcio 2 Determinar o dom´ınio de cada uma das fun¸c˜oes: a) f (x) =√x − 2 b) g(x) = x + 1 c) h(x) = 1 −x2_{+ 25} d) i(y) =3 y + 5 y2_{− 1}+ √ y + 3

1.4.2 Identifica¸

c˜

ao pelo gr´

afico do dom´ınio e imagem de uma fun¸

c˜

ao

Quando temos o gr´afico de uma fun¸c˜ao f podemos ler nos eixos coordenados o dom´ınio e a imagem de f .

(9)

. O dom´ınio é constitu´ıdo pelas abscissas x dos pontos do gráfico. . A imagem é formada pelas ordenadas y dos pontos do gráfico.

Exemplo 5 Analise graficamente o dom´ınio e a imagem das seguintes fun¸c˜oes: a) f (x) = xsen (x)

b) g(x) = ex+x 2

a) Tomando o gr´afico de f (x) = xsen (x)

temos que Dom(f ) = R e Im(f ) = [−∞, 2). b) Observando o gr´afico da fun¸c˜ao g(x) = ex+x

2

temos que Dom(f ) = Im(f ) = R.

Exerc´ıcio 3 Analise graficamente o dom´ınio e a imagem das seguintes fun¸c˜oes: a) f (x) = 3x+ 1 b) g(x) = 1 − xln (x) c) h(x) =√ 1 x4_{+ x}2_{+ 1} d) b(x) = 1 1 +√x

(10)

1.5 Teste da reta vertical

Uma curva no plano xy será uma fun¸cão y = f (x) se, e somente se, nenhuma reta vertical intercepta a curva mais do que uma vez. A validade deste teste está diretamente ligada a defini¸cão de fun¸cão pois, se tivermos uma reta vertical interceptando a curva em mais de um ponto, teremos dois valores distintos para y associados a um valor único de x. E, isto não caracteriza uma fun¸cão. Por exemplo: x2+ y2= 4 não representa uma fun¸cão do plano xy, pois temos dois valores de y para um valor de x. Observe que qualquer reta vertical intercepta o c´ırculo em dois pontos distintos. Porém, se tomarmos y =√4 − x2 _e

y = −√4 − x2_{e as considerarmos separadamente teremos que ambas s˜}_{ao fun¸}_c˜_{oes, pois s˜}_{ao interceptadas}

apenas uma vez por qualquer reta vertical. Observe:

1.6 Fun¸

c˜

ao Bijetora, Injetora, Sobrejetora

1.6.1 Injetividade

Para quaisquer dois elementos x 6= y pertencentes ao dom´ınio de f (x) correspondem dois elementos f (x) 6= f (y) na imagem de f .

Teste da fun¸c˜ao injetora

Se ao tra¸car retas paralelas ao eixo das abscissas (x), e elas interceptarem o gráfico da fun¸cão uma só vez, então a fun¸cão é injetora.

1.6.2 Sobrejetividade

Para cada elemento y pertencente ao contradom´ınio da fun¸cão existe um elemento x no dom´ınio da fun¸cão de tal maneira que f (x) = y. Ou seja, o contradom´ınio de f (x) é exatamente igual a imagem.

(11)

1.6.3 Bijetividade

Uma fun¸cão f : A → B é bijetora quando cada elemento do contradom´ınio B é a imagem de um único elemento do conjunto A. Ou seja, a fun¸cão apresenta as propriedades injetiva e sobrejetiva. Observando os diagramas de flechas podemos ter uma visão mais geral de cada caso:

Exerc´ıcio 4 Quais das fun¸c˜oes abaixo s˜ao injetora, sobrejetora ou bijetora?

Exemplo 6 Considere a fun¸c˜_{ao g : R → R definida por g(x) = 2x + 3. Esta fun¸cão é injetora? E} sobrejetora? É bijetiva?

Injetividade:

(12)

◦ Caso particular

Para provar se uma fun¸cão é injetora, deve-se mostrar que dados dois números a e b distintos do dom´ınio suas imagens também são distintas.

Por exemplo, como o dom´ınio de g é o conjunto dos números reais podemos tomar a = 2 e b = 3. Assim, g(2) = 2 ∗ 2 + 3 = 7 e g(3) = 2 ∗ 3 + 3 = 9. Note, g(2) 6= g(3) e, portanto, a fun¸cão é injetora para estes valores.

◦ Teste da fun¸c˜ao injetora

Observe que as retas paralelas ao eixo x tra¸cadas interceptam o gr´afico da fun¸c˜ao em apenas um ponto.

Logo, g(x) ´e injetora. . Demonstra¸c˜ao

Tome a, b ∈ R, a 6= b. Para provar que a fun¸cão é injetora é preciso mostrar que g(a) 6= g(b). Suponha o contrário, ou seja, g(a) = g(b).

Assim, g(a) = 2a + 3 = 2b + 3 = g(b) ⇔ a = b, o que contradiz a hipótese inicial de a 6= b. Logo, g(a) 6= g(b) e, portanto, a fun¸cão é injetora.

Sobrejetividade:

. No¸c˜ao intuitiva ◦ Caso particular

Para provar se uma fun¸c˜ao ´e sobrejetora, deve-se mostrar que para cada elemento y do con-tradom´ınio existe um elemento x no dom´ınio tal que g(x) = y.

Por exemplo, como o contradom´ınio de g é o conjunto dos números reais podemos tomar y = 5. Para que fun¸cão seja sobrejetora devemos encontrar um valor de x real tal que g(x) = 2x + 3 = 5 ⇔ x = 1. Como 1 ∈ R, a fun¸cão é sobrejetora.

(13)

. Demonstra¸c˜_{ao Seja y ∈ R. Para mostrarmos que a fun¸cão é sobrejetora é necessário encontrar} um valor de x ∈ R de modo que y = g(x). Como, g(x) = 2x+3, tem-se que y = 2x+3 ⇔ x =y − 3₂ que pertence ao dom´ınio da fun¸cão. Portanto, a fun¸cão é sobrejetora.

Bijetividade:

Pelo fato da fun¸cão ser injetora e sobrejetora, por defini¸cão, a fun¸cão é bijetora. Exerc´ıcio 5 Verifique se as fun¸cões são bijetoras.

a) g : R → R definida por g(x) = x2 b) h : R+→ R definida por h(x) = x2 c) f : R → R definida por f (x) = x3 d) j : R+→ R definida por j(x) = √ x e) c : R → R definida por c(x) =_{x + 1}2

1.7 Crescimento e Decrescimento de uma fun¸

c˜

ao

Defini¸cão 3 Uma fun¸cão é dita crescente sempre que dados x > y, ambos pertencentes ao dom´ınio de f , teremos f (x) ≥ f (y).

As fun¸cões f (x) = x e g(x) = x3 são exemplos de fun¸cões crescentes.

Defini¸cão 4 Uma fun¸cão é dita decrescente sempre que dados x < y, ambos pertencentes ao dom´ınio de f , teremos f (x) ≤ f (y).

As fun¸c˜oes f (x) = −5x + 3 e g(x) = −x3 _s˜_{ao exemplos de fun¸}_c˜_{oes decrescentes.}

Existem muitas fun¸c˜oes que possuem intervalos de crescimento e decrescimento, como por exemplo a fun¸c˜ao h(x) = x2_{. Observe:}

Esta fun¸c˜ao ´e decrescente no intervalo (−∞, 0] e crescente no intervalo [0, +∞).

Exerc´ıcio 6 Determine o intervalo de crescimento e decrescimento das fun¸c˜oes abaixo: a) g : R → R definida por g(x) = −x2_{+ 4}

(14)

b) h : R → R definida por h(x) =2x₃ + 1

c) g : R → R definida por g(x) =_x1

d) g : R → R definida por g(x) =_{2x + 1}x − 1

1.8 Fun¸

c˜

oes pares e ´ımpares

Defini¸cão 5 Uma fun¸cão f é dita par se, para todo x ∈ Dom(f ), então −x ∈ Dom(f ), e: f (−x) = f (x)

Defini¸cão 6 Uma fun¸cão f é dita ´ımpar se, para todo x ∈ Dom(f ), então −x ∈ Dom(f ), e: f (−x) = −f (x)

Tomando por base as defini¸cões acima de fun¸cão par e ´ımpar, podemos, facilmente, observar que: . A fun¸cão par é simétrica em rela¸cão ao eixo y.

LEMBRETE: Toda fun¸cão par não é injetora

(15)

Exemplo 7 Verifique se a fun¸c˜ao h(x) = x3_{+ x ´}_{e par ou ´ımpar? Graficamente podemos ver que esta ´}_e

uma fun¸c˜ao ´ımpar.

Analiticamente temos que:

h(x) = x3_{+ x e assim h(−x) = (−x)}3_{+ (−x) = −x}3_{− x = −(x}3_{+ x) = −h(x). Como h(−x) = −h(x)}

a fun¸c˜ao ´e ´ımpar.

Exerc´ıcio 7 Verifique gr´afica e analiticamente sobre a paridade das seguintes fun¸c˜oes: a) h(x) = 2x

b) k(x) = 3x c) j(x) = x4_{+ x}2

1.9 Propriedades

Sejam f (x) e g(x) duas fun¸cões. Define-se: . Adi¸cão e Subtra¸cão de fun¸cões

(f ± g)(x) = f (x) ± g(x) . Multiplica¸c˜ao de fun¸c˜oes

(f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g(x) Em particular, tomando k ∈ R, teremos:

(k ∗ g)(x) = k ∗ g(x) . Divis˜ao de fun¸c˜oes

f g

(x) =f (x)

(16)

Os respectivos dom´ınios destas novas fun¸c˜oes s˜ao:

Dom(f ± g) = Dom(f ∗ g) = Dom(f ) ∩ Dom(g).

Dom f g

= (Dom(f ) ∩ Dom(g)) − {x ∈ Dom(g) | g(x) = 0}.

Geometricamente, o gráfico da soma, diferen¸ca, produto ou quociente de f e g tem, em cada ponto, uma ordenada que é respectivamente, a soma, a diferen¸ca, produto ou o quociente das ordenadas de f e g nos pontos correspondentes. Observe os gráficos da soma e do produto de fun¸cões:

(17)

Cap´ıtulo 2

Fun¸

c˜

oes elementares

2.1 Fun¸

c˜

oes de 1

◦

grau

A figura mostra um retângulo ABCD de lados 12cm e 18cm. Sobre AB marcou-se um ponto M a x cm de B. Através de M tra¸cou-se M N // BC, obtendo desta forma dois retângulos.

O per´ımetro y do retângulo M N CB é y = 2x + 24, que é uma fun¸cão de x. Assim, para cada valor de x teremos um per´ımetro diferente para o retângulo. A área z do mesmo retângulo em cm2, também é uma fun¸cão de x e é definida por z = 12x. Novamente, para cada valor de x teremos um único valor de área associado a ele. Cada uma destas duas fun¸cões é um exemplo de fun¸cão de 1o _{grau .}

2.1.1 Fun¸

c˜

ao Afim

Tamb´em conhecida com fun¸c˜ao de primeiro grau, uma fun¸c˜_{ao f : R → R chama-se afim quando existem} constantes a e b reais, (a 6= 0), tais que

f (x) = ax + b

para todo x ∈ R. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular e b é chamado coeficiente linear. Exerc´ıcio 8 Dada a fun¸cão f (x) = 5x − 2, determine:

a) f (−3)

(18)

b) f (0) c) f (√2) d) f (x) = 13 e) f (x) = −12

Zero da fun¸c˜ao

Chama-se zero ou raiz da fun¸c˜ao de 1◦ grau f (x) = ax + b o valor de x para o qual f (x) = 0. Assim: f (x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x = −b

a.

Além disso, o gráfico de uma fun¸cão afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox e que intercepta este eixo exatamente no ponto x = −b

a. Portanto, a raiz da fun¸c˜ao f (x) = ax + b ´e a abscissa do ponto (−b

a, 0) em que o gr´afico corta o eixo dos x. Exemplo 8 Determinar a raiz de f (x) = 2x + 1. Temos:

2x + 1 = 0 ⇔ 2x = −1 ⇔ x = −1 2. Portanto, a raiz ´e x = −1

2 e o gr´afico corta o eixo x exatamente no ponto (− 1

2, 0). Observe:

Existem diversas maneiras de determinar a lei da fun¸c˜ao tendo apenas o gr´afico e dois pontos da mesma. A seguir, uma das maneiras mais comumente utilizadas:

Exemplo 9 Na figura, é indicado o pre¸co pago por uma corrida de táxi, em fun¸cão da distância percor-rida. Nestas condi¸cões, o valor a ser pago num trajeto de 5 Km é, em reais:

(19)

Como o gráfico é uma reta, a fun¸cão é do 1◦ grau, cuja lei é y = ax + b. Para determinar a e b, substitui-se nesta lei os pontos (3, 6.25) e (6, 10). Veja: 

 

6.25 = 3a + b 10 = 6a + b

A resolu¸cão deste sistema fornece a = 1.25 e b = 2.5. Logo, a lei da fun¸cão é y = 1.25x + 2.5.

Para calcular o valor a ser pago num trajeto de 5 Km toma-se x = 5 e, assim, y = 1.25 ∗ 5 + 2.5 = 8.75. Exerc´ıcio 9 Um grupo de estudantes dedicado a confeçcão de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida e, além disso, tem-se um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro de R$ 800,00?

a) 7 b) 10 c) 12 d) 18 e) 20

Crescimento e decrescimento da fun¸c˜ao

Observa-se uma rela¸cão entre o sinal do coeficiente angular e o crescimento/decrescimento da fun¸cão. Se o sinal de a for positivo então a fun¸cão será crescente e seu gráfico será do tipo:

(20)

Mas se o sinal de a for negativo então a fun¸cão será decrescente e seu gráfico será do tipo:

An´alise do sinal da fun¸c˜ao

A an´alise do sinal da fun¸c˜ao depende inicialmente do sinal que acompanha o coeficiente angular, ou seja, o valor de a. Assim, tome inicialmente o caso de a > 0:

Note que:

• Temos a fun¸cão f (x) > 0 sempre que x > −b a • Temos a fun¸cão f (x) = 0 sempre que x = −b a • Temos a fun¸cão f (x) < 0 sempre que x < −b a

(21)

ou seja:

Tomando o caso em que a < 0:

Note que:

• Temos a fun¸cão f (x) > 0 sempre que x < −b a • Temos a fun¸cão f (x) = 0 sempre que x = −b a • Temos a fun¸cão f (x) < 0 sempre que x > −b a

(22)

Exerc´ıcio 10 Determine para que valores de p as fun¸c˜oes reais abaixo s˜ao crescentes. a) f (x) = (p + 2)x + 3 b) f (x) = (5 − 3p)x + 1 c) f (x) = −2x + 2p d) f (x) =2 px − 1

2.1.2 Fun¸

c˜

ao Linear

Uma fun¸c˜ao de primeiro grau ´_{e dita linear sempre que b = 0, ou seja, quando f : R → R ´e definida como} f (x) = ax

O crescimento ou decrescimento da fun¸cão é determinado pelo sinal do coeficiente angular da fun¸cão. Assim:

(23)

Observe que:

. Por ser uma fun¸cão cujo coeficiente linear é nulo, o gráfico deste tipo de fun¸cão é sempre uma reta que passa pela origem do plano cartesiano.

. Para todo x1, x2∈ R temos que f(x1+ x2) = f (x1) + f (x2).

. f (1) = a, f (2) = f (1) + f (1) = 2a e, em geral, f (nx) = nf (x) para x ∈ R e n ∈ Z.

Um caso particular de fun¸cão linear é a fun¸cão identidade, ou seja, uma fun¸c˜_{ao f : R → R tal que} f (x) = x. Neste caso, temos a = 1 e Dom(f ) = Im(f ).

Exerc´ıcio 11 Determine k e m reais, para que cada fun¸c˜ao abaixo seja linear. a) y = kx + m

b) y = (2k − 4)x − 2m + 3 c) y = m − 5 − (4k − 1)x d) y = (3k − 9)x + (m2− 1)

2.1.3 Fun¸

c˜

ao constante

Uma fun¸c˜ao f ´_{e dita constante sempre que f : R → R for definida por} f (x) = b

Ou seja, quando o coeficiente angular for nulo (a = 0). O gráfico de uma fun¸cão constante é sempre uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Assim, os gráficos de y = 2 e x = 3 são, respectivamente:

(24)

2.2 Fun¸

c˜

ao Modular ou Valor Absoluto

Esta fun¸c˜ao ´_{e definida por f : R → R}+ tal que

f (x) = |x| Relembremos a defini¸cão de módulo de um número qualquer: |a| =    a, se a > 0 −a, se a < 0

Observe que sendo o valor absoluto de um n´_{umero qualquer sempre positivo, temos Dom(f ) = R e} Im(f ) = (0, +∞).

2.2.1 Gr´

aficos

O gráfico de uma fun¸cão modular é formado por duas semi-retas de coeficientes angulares 1 e −1, re-spectivamente, que se interceptam em (0, 0). Desta forma, o gráfico de f coincide com a reta y = x nos pontos de abscissas x > 0 e com a reta y = −x nos pontos de abscissas x < 0.

2.2.2 Propriedades de m´

odulo

Dado um n´umero real positivo a, tem-se que: . |x| = a ⇐⇒ x = ±a

(25)

. |x| < a ⇐⇒ −a < x < a

. |x| > a ⇐⇒ x > a ou x < −a

Exerc´ıcio 12 Sabendo que f (x) = −|x + 1|, construir o gr´afico, identificar o dom´ınio, e o conjunto imagem de f .

Anima¸cão 1 Execute as seguintes anima¸cões e verifique o que acontece no gráfico: a) f (x) = |x| + a

b) g(x) = |x + a| c) h(x) = (|x|)2

d) m(x) = a(|x|)

2.2.3 Equa¸

c˜

ao Modular

Exemplo 10 Resolver a equa¸c˜ao f (x) = 2x + |x − 1| = −2. Como |x − 1| =    x − 1, se x > 1 −(x − 1), se x < 1

(26)

• Caso x > 1

Neste caso temos a equa¸c˜ao 2x + (x − 1) = −2, cuja raiz ´e x = −1

3. Mas esta raiz não satisfaz a condi¸c˜_{ao x > 1; portanto, não pertence ao conjunto solu¸cão.}

• Caso x < 1

Neste caso temos a equa¸cão 2x + [−(x − 1)] = −2, cuja raiz é x = −3. Esta raiz satisfaz a condi¸cão x < 1; logo, pertence ao conjunto solu¸cão.

Portanto, S = {−3}.

Exerc´ıcio 13 Resolver a equa¸c˜ao |x2_{− 2x − 5| = 6.}

2.3 Fun¸

c˜

ao Inversa

Defini¸cão 7 Considerando a fun¸cão f : A → B bijetora , chamamos de fun¸cão inversa de f a fun¸cão g : B → A tal que f (m) = n se, e somente se, g(n) = m para todo m ∈ A e n ∈ B. Observe que Im(f ) = Dom(g) e Im(g) = Dom(f ).

Se f for uma fun¸c˜ao invert´ıvel denotamos a sua inversa por f−1_{(x). Al´}_{em disto, o gr´}_{afico de f}−1_{(x) ´}_e

simétrico ao gráfico de f (x) em rela¸cão a reta y = x. Observe:

2.3.1 M´

etodo para determinar a inversa de uma fun¸

c˜

ao

Para fun¸cões mais simples, convém fazer o teste da fun¸cão injetora para avaliar a existência ou não de uma fun¸cão inversa. Caso alguma reta intercepte o gráfico de f em mais de um ponto, então esta fun¸cão não é injetora e, consequentemente, não será bijetora, contrariando a condi¸cão inicial.

(27)

. Escrever a fun¸c˜ao y = f (x) que define a fun¸c˜ao. . Permutar y com x.

. Obter, novamente, uma fun¸cão de x, ou seja, isolando a variável y no primeiro membro da equa¸cão. Exemplo 11 Dados A = {−2, −1, 0, 1, 2} e B = {−3, −1, 1, 3, 5}, consideremos a fun¸cão f : A → B definida por f (x) = 2x + 1.

f = {(−2, −3); (−1, −1); (0, 1); (1, 3); (2, 5)}. Como f é uma fun¸cão bijetora, podemos associar a todo elemento y de B um único elemento x de A, tal que y = f (x).

A essa nova fun¸cão de B em A chamaremos fun¸cão inversa da fun¸cão f e indicaremos por f−1(x). Portanto:

f−1(x) = {(−3, −2); (−1, −1); (1, 0); (3, 1); (5, 2)}.

Observe que se o par (a, b) ∈ f , ent˜ao o par (b, a) ∈ f−1(x). Determinemos ent˜ao a lei que define f−1(x), no caso em que f (x) = 2x + 1.

Permutando x por y na equa¸cão obtemos x = 2y + 1. Isolando a variável y no primeiro membro da equa¸cão temos y = x − 1

2 , que ´e a fun¸c˜ao inversa de f (x).

Exerc´ıcio 14 Algumas das figuras abaixo representam gráficos de fun¸cões. a) Quais dos gráficos representam fun¸cões?

b) Quais representam fun¸c˜oes que admitem fun¸c˜ao inversa?

(28)

Exerc´ıcio 15 Dada f (x) =x 3 − 3 4, obtenha f −1_{(x) e calcule:} a) f (f−1(10)) b) f−1(f (10)) c) f (f−1(x)) d) f−1(f (x))

2.4 Fun¸

c˜

ao Composta

Defini¸cão 8 Considerando as fun¸cões f : A → B e g : B → C temos que a fun¸cão composta de g com f é a fun¸cão g ◦ f : A → C sendo

(29)

(g ◦ f )(x) = g[f (x)]

Note que Im(f ) ⊂ Dom(g) e, por isso, a defini¸c˜ao (g ◦ f )(x) = g[f (x)] tem sentido. OBS: Em geral, (f ◦ g)(x) 6= (g ◦ f )(x).

Exemplo 12 Sendo f (x) = 5x e g(x) = x3_{, obter:}

a) (g ◦ f )(2) b) (f ◦ g)(2)

a) Primeiramente, calcula-se f (2). Temos que f (2) = 5 ∗ 2 = 10. Ent˜ao g(f (2)) = g(10) = 103_{= 1000.}

Assim, (g ◦ f )(2) = 1000.

b) Primeiramente, calcula-se g(2). Temos que g(2) = 23= 8. Ent˜ao f (g(2)) = f (8) = 5 ∗ 8 = 40.

Assim, (f ◦ g)(2) = 40

Exerc´ıcio 16 Considere as fun¸c˜oes f (x) = x2_{, g(x) = 2x + 1 e h(x) =} x − 1

2 , de R → R, determine as leis de defini¸c˜ao:

a) (g ◦ f )(x) b) (h ◦ f )(x) c) (g ◦ g)(x) d) (f ◦ h) ◦ (h ◦ g)

Exerc´ıcio 17 Dadas f (x) =x + 1

2 e (f ◦ g)(x) = 2x

2_{+ 1, determine a fun¸}_c˜_{ao g(x).}

2.5 Inequa¸

c˜

oes do 1

o

grau

Chama-se inequa¸c˜ao do 1o _{grau na vari´}_{avel x toda inequa¸}_c˜_{ao que se reduz a uma das formas:}

ax + b > 0, ax + b > 0, ax + b 6 0, ax + b < 0 em que a e b s˜ao n´umeros reais quaisquer, com a 6= 0.

(30)

Exemplo 13 Resolver a inequa¸c˜_{ao −5x + 10 > 0 em U = R.} Temos:

−5x + 10 > 0 ⇔ −5x > −10 ⇔ 5x 6 10 ⇔ x 6 2. Logo, S = {x ∈ R | x 6 2}.

2.5.1 Inequa¸

c˜

ao-produto

Dadas as fun¸cões f (x) e g(x), chama-se inequa¸cão-produto toda inequa¸cão do tipo: f (x) ∗ g(x) > 0, f (x) ∗ g(x) > 0, f (x) ∗ g(x) 6 0 ou f (x) ∗ g(x) < 0.

Para obter o conjunto solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao, determina-se o sinal do produto f (x) ∗ g(x) analisando-se o sinal de f (x) e g(x).

Exemplo 14 Resolver a inequa¸c˜_{ao (x + 2) ∗ (−2x + 3) > 0 em U = R.} Dados f (x) = (x + 2) e g(x) = (−2x + 3), estudaremos o sinal de cada fun¸c˜ao:

Zero de f (x) Zero de g(x)

x + 2 = 0 ⇔ x = −2. −2x + 3 = 0 ⇔ x = 3

2

Como a = 1 > 0, a fun¸cão é crescente. Como a = −2 < 0, a fun¸cão é decrescente. Analisando o sinal de cada fun¸cão e determinando o sinal do produto, temos:

Assim, a solu¸c˜ao ´_{e S = {x ∈ R | −2 6 x 6} 3 2}.

Exerc´ıcio 18 Dê o conjunto solu¸cão das inequa¸cões-produto: a) (−x + 8) ∗ (−2x + 6) ∗ (−4 + 3x) > 0

b) (2 − x) ∗ (1 − x) ∗ (3 − x) < 0 c) (−2x + 4) ∗ (3 − 2x) ∗ (−x) > 0

(31)

2.5.2 Inequa¸

c˜

ao-quociente

Dadas as fun¸cões f (x) e g(x), chama-se inequa¸cão-quociente toda inequa¸cão do tipo: f (x) g(x) > 0, f (x) g(x) > 0, f (x) g(x) 6 0 ou f (x) g(x) < 0

Para obter o conjunto solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao, determina-se o sinal do quociente f (x)

g(x) analisando-se o sinal de f (x) e g(x).

Exemplo 15 Resolver a inequa¸c˜ao 3x − 4 x − 2 > 0.

Dados f (x) = 3x − 4 e g(x) = x − 2, estudaremos o sinal de cada fun¸c˜ao:

Zero de f (x) Zero de g(x)

3x − 4 = 0 ⇔ x =4

3. x − 2 = 0 ⇔ x = 2

Como a = 3 > 0, a fun¸cão é crescente. Como a = 1 > 0, a fun¸cão é crescente. Analisando o sinal de cada fun¸cão e determinando o sinal do quociente, temos:

Assim, a solu¸c˜ao ´_{e S = {x ∈ R | x <} 4

3 ou x > 2}. Exerc´ıcio 19 O conjunto solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao 2x − 3

3x − 2 > 1 ´e o seguinte intervalo: a) ]−∞, −1] b) −∞,2 3 c) −1,2 3 d) [−1, +∞[ e) 2 3, 1

(32)

2.5.3 Inequa¸

c˜

ao-potˆ

encia

Dada a fun¸cão f (x) e o n´_{umero natural n (n > 2), chama-se inequa¸c˜}ao-potência toda inequa¸cão do tipo:

[f (x)]n

> 0, [f (x)]n _{> 0, [f (x)]}n

6 0 ou [f (x)]n_{< 0}

Observe que:

. Se n for par, então a potência nunca será negativa, será positiva para f (x) 6= 0 e nula se f (x) = 0. . Se n for ´ımpar, o sinal que a potência assumirá dependerá do sinal da base. Ou seja, será negativa

se f (x) < 0, será positiva se f (x) > 0 e será nula se f (x) = 0. Exemplo 16 Resolver as inequa¸cões abaixo:

a) (2x − 6)4_{> 0} b) (2x − 6)4< 0 c) (2x − 6)4_{> 0}

d) (2x − 6)4

6 0

Como n = 4(par), ent˜ao a potˆencia (2x − 6)4 _{nunca ser´}_{a negativa. Ela ser´}_{a positiva se (2x − 6) 6= 0}

e ser´a nula se (2x − 6) = 0. Assim, temos: a) (2x − 6)4

> 0 ⇒ S = R. b) (2x − 6)4_{< 0 ⇒ S = ∅.}

c) (2x − 6)4_{> 0 ⇒ (2x − 6) 6= 0 ⇒ x 6= 3. Logo, S = {x ∈ R | x 6= 3}.} d) (2x − 6)4_{6 0 ⇒ 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3. Logo, S = {3}.}

Exerc´ıcio 20 Dada a inequa¸c˜ao (x − 2)7_{∗ (x − 10)}4_{∗ (x + 5)}3_{< 0, o conjunto solu¸}_c˜_{ao ´}_e:

a) {x ∈ R | x < −5} b) {x ∈ R | 2 < x < 10} c) {x ∈ R | −5 < x < 2} d) ∅

(33)

Cap´ıtulo 3

Fun¸

c˜

ao Quadr´

atica

A figura mostra um quadrado com 20cm de lado. Dele foram retirados: • de cada canto superior, um quadrado cujo lado mede x cm. • de cada canto inferior um retˆangulo de 12cm por x cm.

A área y do pol´ıgono em forma de cruz é uma fun¸cão de x, definida por y = 400−2(12x)−2(x2_{), onde 400}

corresponde a área do quadrado, 2(12x) corresponde a área dos retângulos dos cantos inferiores, 2(x2₎

corresponde a área dos quadrados dos cantos superiores. A fun¸cão y definida acima é um exemplo de fun¸cão do 2o grau .

Defini¸cão 9 Uma fun¸c˜_{ao f : R → R é dita fun¸}cão quadrática ou de 2o _{grau quando existem}

constantes a, b e c reais, (a 6= 0), tais que

f (x) = ax2_{+ bx + c}

para todo x ∈ R.

3.1 Ra´ızes da fun¸

c˜

ao do 2

o

grau

Dada a fun¸cão f (x) = ax2+ bx + c, os valores de x para os quais f (x) = 0 são chamados ra´ızes ou zeros da fun¸cão.

(34)

3.1.1 Resolu¸

c˜

ao de equa¸

c˜

oes de 2

◦

grau

Equa¸c˜oes incompletas

As equa¸c˜oes do 2o _{grau que tˆ}_{em b = 0 ou c = 0 s˜}_{ao chamadas de equa¸}_c˜_{oes incompletas e tem forma de}

resolu¸c˜ao distinta. . Caso c = 0

Exemplo 17 Resolver a equa¸c˜ao x2_{− 2x = 0.}

Coloca-se a variável x em evidência: x ∗ (x − 2) = 0. Lembrando que um produto é igual a zero somente se pelo menos um dos fatores for zero, assim tem-se:

x = 0 ou x − 2 = 0

Logo o conjunto solu¸c˜ao ser´a S = {0; 2}.

. Caso b = 0

Exemplo 18 Resolver a equa¸c˜ao 4x2_{− 1 = 0.}

Temos: 4x − 1 = 0 ⇔ x2₌1 4 ⇔ x = ± r 1 4 = ± 1 2. O conjunto solu¸cão é S = {−1 2; 1 2}. Equa¸cões completas

Para equa¸c˜oes completas da forma f (x) = ax2+ bx + c = 0 resolvemos da seguinte maneira: Dividimos ambos os membros por a:

x2+ b ax + c a = 0 ⇒ x 2₊b ax = − c a Somando b 2

4a2 a ambos os membros, temos:

x2₊ b ax + b2 4a2 = − c a+ b2 4a2 ⇒ x + b 2a 2 = b 2_{− 4ac} 4a2

Caso b2_{− 4ac > 0, vem que:}

x + b 2a = ± √ b2_{− 4ac} 2a ⇒ x = − b 2a± √ b2_{− 4ac} 2a x = −b ± √ b2_{− 4ac} 2a

Esta f´ormula que permite obter ra´ızes de equa¸c˜ao do 2o_{grau, ´}_{e conhecida como f´}_{ormula de Bh´}_askara.

Denominamos de discriminante de uma equa¸cão do 2ograu, ao número b2− 4ac, que se representa pela letra grega ∆ (lê-se: delta). Assim, através da fórmula de Bháskara calcula-se as ra´ızes e infere-se que:

(35)

∆ > 0 ⇒ as duas ra´ızes são números reais e distintos. ∆ = 0 ⇒ as duas ra´ızes são números reais iguais. ∆ < 0 ⇒ não existem ra´ızes reais.

3.2 Gr´

aficos

O gráfico de uma fun¸cão quadrática é uma curva aberta chamada parábola.

3.2.1 Concavidade

A concavidade da par´abola est´a diretamente relacionada com o sinal que acompanha o coeficiente a do termo x2_{. Ou seja, se o coeficiente a for positivo, ent˜}_{ao a concavidade da par´}_{abola ser´}_{a voltada para}

cima. Caso o coeficiente a for negativo, ent˜ao a concavidade ser´a voltada para baixo.

Anima¸cão 2 Fa¸ca a anima¸cão das seguintes fun¸cões e observe o que ocorre com o gráfico das mesmas: a) f (x) = a(x2_{) + 2x + 1}

b) g(x) = x2_{+ ax + 1}

c) h(x) = x2_{+ 2x + a}

3.2.2 V´

ertice da par´

abola

Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou m´ınima. A esse ponto dá-se o nome de vértice da parábola e será representado por V (xv; yv).

C´alculo da abscissa do v´ertice

Dada a fun¸cão do 2o grau y = ax2+ bx + c, sendo xv a abscissa do vértice da parábola correspondente,

(36)

Assim: a(xv− p)2+ b(xv− p) + c = a(xv+ p)2+ b(xv+ p) + c ax2v −2axvp+ ap2 + bxv −bp = ax2v +2axvp+ ap2 + bxv +bp −2axvp − 2axvp = bp + bp −4axvp = 2bp ⇒ 2axvp = −bp ⇒ xv= −b 2a

Cálculo da ordenada do vértice Substituindo x por xv= −b 2a na fun¸cão y = ax 2_{+ bx + c, temos:} yv= a −b 2a 2 + b −b 2a + c = ab 2 4a2 − b2 2a + c = −b2_{+ 4ac} 4a

Lembre que na equa¸c˜ao do 2o _{grau ∆ = b}2_{− 4ac, dessa forma podemos escrever} _y v=

−∆ 4a

Portanto o vértice V da parábola da fun¸cão y = ax2_{+ bx + c ´}_{e o ponto:}

−b 2a ; f −b 2a ou − b 2a ; −∆ 4a

onde a fun¸cão tem seu valor máximo ou m´ınimo, dependendo da concavidade da parábola.

3.2.3 Eixo de Simetria

(37)

Os pontos que possuem abscissas simétricas em rela¸cão a abscissa do vértice possuem ordenadas iguais e os pontos da parábola que têm a mesma ordenada possuem abscissas simétricas em rela¸cão a abscissa do vértice. Ou seja, f (xv+ p) = f (xv− p), para qualquer valor de p. Em razão disto, pode-se dizer que

a parábola é simétrica em rela¸cão a reta que passa por xv, paralelamente ao eixo y. A esta reta dá-se o

nome de eixo de simetria.

3.3 Estudo do sinal da fun¸

c˜

ao

O estudo do sinal da fun¸cão do 2ograu é feito determinando-se as suas ra´ızes (se existirem) e analisando o esbo¸co do gráfico.

. Caso ∆ > 0 ⇒ h´a duas ra´ızes reais e distintas.

Neste caso, a par´abola corta o eixo x nos pontos de abscissas x0 e x00. . Caso ∆ = 0 ⇒ h´a duas ra´ızes reais e iguais.

Neste caso, a parábola tangencia o eixo x no ponto de abscissa x0. . Caso ∆ < 0 ⇒ não há ra´ızes reais.

(38)

3.3.1 Transla¸

c˜

oes

Transla¸c˜oes horizontais

Dada uma fun¸c˜ao f (x) = ax2_{+ bx + c, uma fun¸}_c˜

ao g(x) = f (x ± k), k ∈ R, possui um gráfico transladado horizontalmente em rela¸cão a fun¸cão f . Observe:

(39)

Transla¸c˜oes verticais

Dada uma fun¸cão f (x) = ax2+ bx + c, uma fun¸c˜_{ao g(x) = f (x) ± k, k ∈ R, possui um gráfico transladado} verticalmente em rela¸cão a fun¸cão f . Observe:

Anima¸cão 3 Execute as seguintes anima¸cões e observe as transla¸cões dos gráficos: a) f (x) = (x + a)2

b) f (x) = x2_{+ a}

Exerc´ıcio 21 De forma semelhante a fun¸cão quadrática, verifique se ocorre transla¸cão horizontal e/ou vertical nos gráficos das seguintes fun¸cões:

a)√x − 4 + 1 b) 4 − |x − 2| c) x2+ 6x d) √3_{x + 5}

(40)

3.4 Inequa¸

c˜

oes do 2

o

grau

Chama-se inequa¸c˜ao do 2o _{grau na vari´}_{avel x toda inequa¸}_c˜_{ao que se reduz a uma das formas:}

ax2_{+ bx + c > 0, ax}2+ bx + c > 0, ax2_{+ bx + c 6 0, ax}2+ bx + c < 0 em que a, b e c s˜ao n´umeros reais quaisquer, com a 6= 0.

Resolve-se uma inequa¸c˜ao do 2o _{grau aplicando-se as propriedades de desigualdade, de forma an´}_{aloga as}

inequa¸c˜oes do 1o _grau.

Exerc´ıcio 22 Resolva as inequa¸c˜oes: a) x2_{+ 7x < x − 8}

b) x2

+ 7x 6 x − 8 c) x2+ 7x > x − 8 d) x2_{+ 7x > x − 8}

(41)

Cap´ıtulo 4

Fun¸

c˜

ao Exponencial

Numa certa cultura de bact´erias, observou-se que o n´umero de indiv´ıduos duplicava a cada hora.

Considerando uma popula¸c˜ao inicial de 4 bact´erias, teremos:

• Após a 1ahora, o número de bactérias será de: y1= 4 ∗ 2 = 8 bactérias;

• Após a 2ahora, o número de bactérias será de: y2= (4 ∗ 2) ∗ 2 = 4 ∗ 22= 16 bactérias;

• Ap´os a 3a_{hora, o n´}_{umero de bact´}_{erias ser´}_{a de: y}

3= (4 ∗ 22) ∗ 2 = 4 ∗ 23= 32 bact´erias;

A lei que expressa o número de bactérias y em fun¸cão do tempo em horas x é definida por y = 4 ∗ 2x_.

Outro acontecimento que pode ser expressado de forma semelhante a esta é o cálculo do montante de dinheiro existente numa caderneta de poupan¸ca que rende 5 % ao mês M = C ∗ (1 + 0.05)x_{, onde C}

corresponde ao capital empregado e x o número de meses da aplica¸cão. Cada uma destas duas fun¸cões é um exemplo de fun¸cão exponencial .

(42)

Defini¸c˜ao Propriedades

Sendo a ∈ R∗+, m ∈ Z e n ∈ Z∗+, temos Sendo a e b n´umeros reais e positivos,

se m > 1 ent˜ao am_{= a ∗ a ∗ a...a;} _{com m e n n´}_{umeros racionais, s˜}_{ao v´}_alidas

se m = 1 ent˜ao am_{= a;} _{as seguintes propriedades:}

se m = 0 então am= 1; am∗ an_{= a}m+n_; se m = −1 então am= 1 a; a m_{: a}n_{= a}m−n_; se m < −1 então am₌ 1 a −m ; (a ∗ b)m_{= a}m_{∗ b}m_; amn = n √ am_; a b m =a m bm (am)n = am∗n

Defini¸c˜ao 10 Dado um n´_{umero real a, (a ∈ R}∗₊, a 6= 1), chama-se fun¸c˜ao exponencial de base a a fun¸c˜_{ao f : R → R}∗₊ definida por

f (x) = ax

4.1 Gr´

aficos

Observe os gr´aficos das fun¸c˜oes f (x) = (2)x_{e g(x) =} 1

3 x

(c) f (x) = 2x (d) g(x) = 1

3 x

Observe que no gráfico de f (x), quanto menor o valor de x mais os pontos do gráfico se aproximam do eixo x, sem atingi-lo. Isto ocorre pelo fato de não existir nenhum valor de x real tal que f (x) = 2x_{= 0.}

No gráfico de g(x), no entanto, quanto maior o valor de x mais os pontos do gráfico se aproximam do eixo x, sem atingi-lo. Isto ocorre pelo fato de não existir nenhum valor de x real tal que f (x) = 1

3 x

= 0. Quando isto ocorre, a reta Ox ´e chamada ass´ıntota `a curva.

(43)

. Quando a > 1, como em f (x), a fun¸cão é crescente, ou seja, quanto maior o expoente x, maior é a potência ax_.

. Quando 0 < a < 1, como em g(x) a fun¸cão é dita decrescente, ou seja, quanto maior o expoente x, menor é a potência ax.

Para uma fun¸c˜ao f (x) = ax:

. O dom´ınio de uma fun¸c˜ao exponencial ´_{e R, ou seja, Dom(f ) = R.}

. A imagem de uma fun¸c˜ao exponencial ´_{e R}∗₊_{, ou seja, Im(f ) = R}∗₊_{. Como ∀x ∈ R, temos a}x_{> 0 e}

por isso o gráfico da fun¸cão fica todo acima do eixo x. . A fun¸cão é injetora, pois se x16= x2, então ax1 6= ax2.

. A fun¸c˜ao ´_{e sobrejetora, pois ∀y ∈ R}∗₊ _{existe x ∈ R tal que y = a}x_.

. No caso de a > 1, a fun¸cão é crescente, pois se x1> x2, então ax1 > ax2.

. No caso de 0 < a < 1, a fun¸cão é decrescente, pois se x1> x2, então ax1 < ax2.

4.2 Equa¸

c˜

oes exponenciais

Denominamos equa¸c˜ao exponencial a senten¸ca ax _{= b em que a eb s˜}_{ao n´}_{umeros reais conhecidos (a > 0}

e a 6= 1) e x é a incógnita. Se conseguimos expressar o número b como uma potência de base a, b = aα_,

ent˜ao reca´ımos em

ax= aα cuja única solu¸cão é x = α.

Exemplo 19 Resolver a equa¸c˜ao 9x₌√_3.

Como√3 = 312 e 9x= (32)x= 32x, temos: 9x₌√_{3 ⇔} ₃2x_{= 3}1 2 ⇔ 2x = 1 2 ⇔ x = 1 4. Logo S = 1 4 . Exerc´ıcio 24 Resolver as equa¸c˜oes:

a) 6x2−2x+1_{= 1} b) 2 ∗ 4x_{− 3 ∗ 9}x_{= 0} c) 9 x+1_{∗ 3}x+2 27x_{∗ 3}x−5 = 1 d)√2x+1_{= 4}√₂

(44)

Exemplo 20 Determine o conjunto solu¸cão da equa¸cão (3 ∗ 2x+1_{) − (4 ∗ 2}x−2_{) − (6 ∗ 2}x_{) = −4. Como} 2x+1_{= 2}x_{∗ 2} _e ₂x−2₌2 x 2 = 2x 4 , então: (3 ∗ 2x_{∗ 2) − (4 ∗} 2 x 4 ) − (6 ∗ 2 x_{) = −4. Fazendo 2}x_{= y, obtemos:} (6 ∗ y) − y − (6 ∗ y) = −4 ⇒ −y = −4 ⇒ y = 4.

Como y = 2x ⇒ 2x= 4 ⇒ x = 2. O conjunto solu¸cão é S = {2}. Exerc´ıcio 25 Determine o conjunto solu¸cão das equa¸cões:

a) 9x_{− (4 ∗ 3}x_{) + 3 = 0}

b) 4x_{+ (6 ∗ 2}x_{) = 16}

c) 2

x_{+ 2}−x

2x_{− 2}−x = 3

Exemplo 21 Sejam x e y os n´umeros reais que tornam verdadeiras as senten¸cas   

2x+y_{− 2 = 30}

2x−y_{− 2 = 0}

Observe que 2x+y = 30 + 2 = 32 ⇒ 2x+y = 25 x + y = 5. Al´em disso, 2x−y= 2 ⇒ x − y = 1. Assim, temos

  

x + y = 5 x − y = 1 Resolvendo o sistema, obteremos x = 3 e y = 2.

Exerc´ıcio 26 Encontre a solu¸c˜ao dos seguintes sistemas propostos: a)    2x+y_{= 16} 3x−y= 9 b)    2x_{− 2}y_{= −2} x + y = 3 c)    3x_{= 81y} 9x+1_{= 9y}

4.3 Inequa¸

c˜

oes Exponenciais

Denominamos inequa¸c˜oes exponenciais `as senten¸cas

ax> b, ax< b, ax_{> b, a}x_{6 b}

em que a e b são números reais conhecidos (a > 0 e a 6= 1) e x é a incógnita. Se conseguimos expressar o número b como uma potência de base a, b = aα_{, ent˜}_{ao reca´ımos respectivamente em : a}x_{> a}α_{, a}x_{< a}α_,

ax

> aα_{, a}x

6 aα_.

A resolu¸cão destas inequa¸cões e, em geral, de inequa¸cões do tipo af (x) _{> a}g(x)_{, a}f (x) _{< a}g(x)_{, a}f (x)

> ag(x)_{, a}f (x)

6 ag(x) _{baseia-se na propriedade do crescimento ou decrescimento da fun¸}_c˜_{ao exponencial de}

(45)

Caso a > 1: af (x)> ag(x) ⇔ f (x) > g(x) conserva-se Caso 0 < a < 1: af (x)_{> a}g(x) _⇔ _{f (x) < g(x)}

inverte-se

Exemplo 22 Obter o conjunto-solu¸cão da inequa¸cão 1 2 4x+4 < 1 8 x+3 . Como 1 2 4x+4 < " 1 2 3#x+3 ⇒ 1 2 4x+4 < 1 2 3x+9 . Pelo fato da base a da potência ser 0 < a < 1, temos:

1 2 4x+4 < 1 2 3x+9 ⇒ 4x + 4 > 3x + 9 ⇒ x > 5.

Assim, o conjunto solu¸c˜_{ao S = {x ∈ R | x > 5}.} Exerc´ıcio 27 Obtenha o conjunto solu¸c˜ao de: a) 2x+1+ 2x+2_{> 48} b) 32x_{− 12(3}x ) + 27 > 0 c) 5 2 x+1 < 8 125 d) 1 3 6 3

−x _{< 9}x+1 _{(Dica: Resolva a primeira com a segunda inequa¸}_c˜_{ao, ap´}_{os fa¸}_{ca a segunda com}

(46)

Fun¸

c˜

ao Logar´ıtmica

Considere o seguinte problema:

O número de indiv´ıduos de uma popula¸cão de bactérias no instante t é definido pela fun¸cão f (t) = 30 ∗ 3t, em que t é o tempo em minutos. Deseja-se saber após quantos minutos esta popula¸cão chegará a 11100 bactérias. Do problema temos:

11100 = 30 ∗ 3t _=⇒ ₃t_{= 370.}

Veja que não é poss´ıvel obter potências de bases iguais nos dois membros. Para resolver o problema faremos o uso de logaritmos. O número t que é solu¸cão da equa¸cão 3t_{= 370 ´}_{e denominado logaritmo}

de 370 na base 3. Representamos:

t = log₃370 (leia-se: log de 370 na base 3)

5.1 Logaritmos

Defini¸c˜_{ao 11 Seja a ∈ R}∗₊, (a 6= 1). Se b > 0, o número x que é solu¸cão da equa¸cão ax _{= b ´}_e

denominado logaritmo de b na base a.

log_ab = x ⇐⇒ ax_{= b}

Exemplo 23 Calcule log5

1 25. log₅ 1 25 = x ⇐⇒ 5 x₌ 1 25 ⇐⇒ 5 x_{= 5}−2 _⇐⇒ _{x = −2.}

5.1.1 Propriedades dos logaritmos

Propriedades de logaritmo log_a1 = 0 log_aa = 1 log_aam_{= m(log} aa) = m alogab_{= b} 46

(47)

5.1.2 Propriedades operat´

orias dos logaritmos

Logaritmo de um produto

log_a(m ∗ n) = log_am + log_an ; m > 0, n > 0, a > 0 e a 6= 1 Aplicando a defini¸c˜ao de logaritmos, temos:

log_am = x ⇔ ax_{= m} ₍₁₎

log_an = Y ⇔ ay_{= n} ₍₂₎

log_a(m ∗ n) = z ⇔ az_{= m ∗ n} ₍₃₎

Substituindo (1) e (2) em (3), temos: az= ax∗ ay _⇒ _az_{= a}x+y _⇒ _{z = x + y}

Logo, loga(m ∗ n) = logam + logan

Essa propriedade vale tamb´em para n fatores reais positivos:

log_a(m1∗ m2...mn) = logam1+ logam2+ ... + logamn

Logaritmo de um quociente loga(

m

n) = logam − logan, onde n 6= 0 ; m > 0, n > 0, a > 0 e a 6= 1 Aplicando a defin¸c˜ao de logaritmo:

log_am = x ⇔ ax_{= m} ₍₁₎ log_an = Y ⇔ ay_{= n} ₍₂₎ log_a(m n) = z ⇔ a z₌ m n (3) Substituindo (1) e (2) em (3), temos: az₌ ax ay ⇒ az= ax−y ⇒ z = x − y Logo,

log_a(m_n) = log_am − log_an

Cologaritmo

O logaritmo do inverso de um n´umero m > 0, ou ainda, o oposto do logaritmo de m ´e denominado cologaritmo de m na base a.

cologam = loga( 1

m) = − logam, a > 0 e a 6= 1

Observe que:

loga(m1) = loga1 − logam = − logam

Logaritmo de uma potˆencia log_a(m)n_{= n ∗ log}

am, m ∈ R∗+, n ∈ R∗+, a ∈ R∗+ e a 6= 1

Observe a demostra¸c˜ao dessa propriedade: log_am = x ⇔ ax_{= m} ₍₁₎

log_a(m)n= Y ⇔ ay= (m)n (2) Substituindo (1) em (2), temos:

(48)

ay _{= (a}x₎n_{⇒ a}y_{= a}x∗n_{⇒ y = n ∗ x}

Logo, log_a(m)n_{= n ∗ log} am

Mudan¸ca de base log_am =logbm

logba

, m > 0, n > 0, a > 0, a 6= 1, b > 0 e b 6= 1 Vamos demostrar essa propriedade:

log_am = x ⇔ ax_{= m} ₍₁₎

Aplicando logaritmo de base b nos dois membros da igualdade (1): log_b(a)x_{= log}

bm ⇒ x ∗ logba = logbm ⇒ x =

log_bm log_ba Logo,

x = logbm log_ba

Exerc´ıcio 28 Sabendo que log_ab = 5, determine o valor de x, solu¸c˜ao de ax+1₌ b

a. Exerc´ıcio 29 O número real x que satisfaz a equa¸cão log2(12 − 2x) = 2x é:

a) log32

b) log23

c) log34

d) log43

Exerc´_{ıcio 30 Sendo U = {(x, y) ∈ R × R}, o conjunto solu¸c˜ao do sistema}    4x−y _{= 16} log₂(x − 1) + log₂y = 1 ´e: a) {(4, 2), (1, −1)} b) {(1, 3)} c) {(3, 1)} d) {(0, 2), (3, 1)}

Exerc´ıcio 31 Dadas as afirma¸c˜oes:

1. Se log a = x e log b = y, ent˜ao log(a + b) = x + y.

2. Se x e y são números reais positivos e diferentes de 1, então log_xy ∗ log_yx = 1. 3. log x − log y + log z = log x

y ∗ z. As afirma¸c˜oes verdadeiras s˜ao: a) 1, 2 e 3

b) 1 e 2 c) 2 e 3

d) Somente a afirma¸c˜ao 2 e) Somente a afirma¸c˜ao 3

(49)

5.1.3 Logaritmos Decimais e Neperianos

Os logaritmos na base 10 s˜ao tamb´em chamados logaritmos decimais. Costuma-se representar o logaritmo sem indicar o valor da base

log b = log₁₀b

Os logaritmos na base e são também chamados logaritmos naturais ou logaritmos neperianos, em homenagem a John Napier (1550-1617), um escocês que foi um dos iniciadores da teoria dos logaritmos. Representa-se pelo s´ımbolo ln não escrevendo a base

ln b = log_eb

5.2 Fun¸

c˜

ao Logar´ıtmica

Defini¸cão 12 Dado um número a, a > 0 e a 6= 1, chamamos fun¸cão logar´ıtmica de base a a fun¸cão f (x) = log_ax

definida para todo x > 0.

Note que a fun¸cão logar´ıtmica y = log_ax é a inversa da fun¸cão exponencial y = ax_{. Observe graficamente}

que estas s˜ao sim´etricas independente do valor da base a.

5.2.1 Condi¸

c˜

ao de existˆ

encia

Quando definimos o número log_ab, colocamos algumas restri¸cões sobre os números a e b: tomando b > 0, a > 0 e a 6= 1. As condi¸cões a > 0 e a 6= 1 resultam da fun¸cão exponencial f (x) = ax_{, enquanto que}

b > 0 é a condi¸cão para que a equa¸cão ax_{= b tenha solu¸}_c˜_{ao. Assim,}

log_ab existe, se e somente se, b > 0, a > 0 e a 6= 1

Desta forma, o dom´ınio de f (x) = logax ´e definido de tal forma que x > 0. Assim, satisfeitas estas

(50)

Caso a > 0 Caso 0 < a < 1

log_ax = log_aα ⇐⇒ x = α > 0 log_ax = log_aα ⇐⇒ x = α > 0 log_ax > log_aα ⇐⇒ x > α > 0 log_ax > log_aα ⇐⇒ 0 < x < α log_ax < log_aα ⇐⇒ 0 < x < α log_ax < log_aα ⇐⇒ x > α > 0

conserva-se inverte-se

Exemplo 24 Estabelecer o dom´ınio da fun¸cão f (x) = log(2x − 4). Notemos que f é a fun¸cão composta da fun¸cão logar´ıtmica (de base 10) com a fun¸cão g(x) = 2x − 4:

f (x) = log(g(x))

Para estabelecer o dom´ınio devemos impor a condi¸c˜ao de existˆencia do logaritmo: log(g(x)) existe se, e somente se, g(x) > 0

Então devemos ter 2x − 4 > 0, isto é, x > 2. O dom´ınio ´_{e, portanto, D = {x ∈ R | x > 2}.} Exerc´ıcio 32 Dê o dom´ınio de cada uma das fun¸cões:

a) f (x) = log8( x 2 − 1 3) b) g(x) = log(x2− 6x + 9) c) h(x) = log_3x+53 d) j(x) = log_x−1(16 − x2₎ e) m(x) = log_x2₋₉(x2− 3x − 10)

Exerc´ıcio 33 Determine os valores reais de a tais que: a) y = log_a−3x ´e crescente.

b) y = log_2−ax ´e crescente. c) y = log_1−a2x ´e decrescente.

5.3 Gr´

aficos

Observe os gr´aficos das fun¸c˜oes f (x) = log2x e g(x) = log1 3x

(51)

Tanto no gráfico de f (x), quanto no gráfico de g(x), quanto menor o valor de x mais os pontos do gráfico se aproximam do eixo y, no entanto, sem atingi-lo. Isto ocorre pelo fato do dom´ınio de f (x) estar definido nos valores de x > 0. A reta Oyé chamada ass´ıntota à curva.

Al´em disso, pode-se examinar que:

. Quando a > 1, como em f (x), a fun¸c˜ao ´e crescente, ou seja, quanto maior o logaritmando x, maior ´

e o valor de log2x.

. Quando 0 < a < 1, como em g(x), a fun¸cão é dita decrescente, ou seja, quanto maior o logarit-mando x, menor é o valor de log1

3x.

Para uma fun¸c˜ao f (x) = log_ax:

. O dom´ınio de uma fun¸c˜ao logar´ıtmica ´_{e R}∗₊, ou seja, somente os n´umeros positivos.

. A imagem de uma fun¸cão logar´ıtmica ´_{e R, ou seja, qualquer n´}umero real é logaritmo de algum número real positivo, em uma certa base. Como ∀x > 0, temos log_ax o gráfico da fun¸cão fica todo `

a direita do eixo y.

. A fun¸cão é injetora, pois se x16= x2, então logax16= logax2.

. A fun¸c˜ao ´_{e sobrejetora, pois ∀y ∈ R existe x ∈ R}∗

+ tal que y = logax.

. No caso de a > 1, a fun¸cão é crescente, pois se x1> x2, então logax1> logax2.

. No caso de 0 < a < 1, a fun¸cão é decrescente, pois se x1> x2, então logax1< logax2.

5.4 Equa¸

c˜

oes Logar´ıtmicas

Usando as seguintes equivalˆencias, v´alidas para a > 0 e a 6= 1. 1. logaf (x) = k ⇐⇒ f (x) = ak (k ∈ R)

2. log_af (x) = log_ag(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) > 0

Resolve-se equa¸cões envolvendo fun¸cões compostas com a fun¸cão logar´ıtmica. Exemplo 25 Resolver a equa¸cão log₂(x2_{− 2x + 1) = 2.}

(52)

Fun¸

c˜

oes Trigonom´

etricas

6.1 Seno e Co-seno de um arco trigonom´

etrico

Considere na circunferˆencia trigonom´etrica (raio r = 1) um arco dAM de medida α, com 0◦< α < 90◦.

No triˆangulo retˆangulo tem-se:

cos α =cateto adjacente hipotenusa =

OP 1 = OP sin α = cateto oposto

hipotenusa = M P

1 = M P

Verifica-se que as medidas OP e MP s˜ao abscissas e ordenadas do ponto M, respectivamente.

Defini¸c˜ao 13 Dado um arco trigonom´etrico dAM de medida α, denominam-se seno e cosseno de α a abscissa e ordenada do ponto M, respectivamente.

(53)

cos α = abcissade M = xm

sin α = ordenada M = ym

Da defini¸c˜ao de seno e co-seno teremos:

cos 0◦= 1 sin 0◦= 0 cos 90◦= 0 sin 90◦= 1 cos 180◦= −1 sin 180◦= 0 cos 270◦= 0 sin 270◦= −1 cos 360◦= 1 sin 360◦= 0

Podemos para cada valor de α associar um ponto (x, y), com x = cos α e y = sin α, no plano cartesiano da circunferência trigonométrica. Assim, tem-se a seguinte distribui¸cão de sinais nos quadrantes para os pares ordenados (x, y).

(54)

6.2 Tangente de um arco trigonom´

etrico

Considere na circunferˆencia trigonom´etrica um arco dAM de medida β.

• Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A.

• O prolongamento do raio OM intercepta a reta t no ponto T . No triˆangulo retˆangulo temos:

tan β = AT OA Como OA = 1, obtemos:

tan β = AT

1 =⇒ tan β = AT

• Considere como eixo das tangentes o eixo real t, perpendicular ao eixo das abscissas, com origem A e a mesma orienta¸c˜ao das ordenadas.

Defini¸cão 14 Dado um arco trigonométrico dAM , M 6= B e M 6= B0 (onde B e B0 estão na figura 6.1 na página 53), de medida α, chama-se tangente de α (tan α) a ordenada do ponto T obtido pela interseçcão do prolongamento do raio OM com o eixo das tangentes.

Observe que o ponto M não pode coincidir com B nem com B0, pois os prolongamentos dos raios OB e OB0 não interceptam o eixo das tangentes. Portanto, não existem x, y ∈ R tais que tan 90◦ = x e tan 270◦= y.

6.2.1 Varia¸

c˜

ao do sinal da tangente

1. Se um arco dAM tiver extremidade no 1o ou no 3o quadrante, ent˜ao o valor da tangente do arco ser´a positiva.

(55)

2. Se um arco dAM tiver extremidade no 2o _{ou no 4}o _{quadrante, ent˜}_{ao o valor da tangente do arco}

ser´a negativo.

Em resumo, tem-se a seguinte distribui¸c˜ao de sinais:

6.3 Identidades Trigonom´

etricas

(56)

Alguma Identidades Trigonom´etricas

tan α = sin α

cos α, com cos α 6= 0

sin2α + cos2α = 1 cot α = 1 tan α= cos α sin α, sin α 6= 0 sec α = 1 cos α, cos α 6= 0 csc α = 1 sin α, sin α 6= 0

Lembre-se tamb´em que:

Seno, Co-seno e Tangente da soma e da diferen¸ca

sin(a + b) = sin a ∗ cos b + sin b ∗ cos a

sin(a − b) = sin a ∗ cos b − sin b ∗ cos a

cos(a + b) = cos a ∗ cos b − sin a ∗ sin b

cos(a − b) = cos a ∗ cos b + sin a ∗ sin b

tan(a + b) = tan a + tan b 1 − tan a ∗ tan b

tan(a − b) = tan a − tan b 1 + tan a ∗ tan b

(57)

Outras f´ormulas importantes

Dado Achar cos a sina 2 = ± r 1 − cos a 2 cos a cosa 2 = ± r 1 + cos a 2 cos a tana 2 = ± r 1 − cos a 1 + cos a tana 2 sin a = 2 tana 2 1 + tan2a 2 tana 2 cos a = 1 − tan2a 2 1 + tan2a 2 tana 2 tan a = 2 tana 2 1 − tan2a 2

6.4 As Fun¸

c˜

oes Seno, Co-seno e Tangente

A cada número real x podemos associar um único seno, um único co-seno e, obedecida a condi¸cão de existência, uma única tangente. Desse modo, defini-se três fun¸cões trigonométricas:

(58)

6.4.1 Gr´

afico da Fun¸

c˜

ao y = sin x

D = R e _{Im = {y ∈ R | −1 ≤ y ≤ 1}} Note que a fun¸c˜ao seno satisfaz as condi¸c˜oes:

sin(2π + x) = sin x sin(4π + x) = sin x sin(6π + x) = sin x ...

sin(2kπ + x) = sin x, com k ∈ Z.

Por isso dizemos que a fun¸cão seno é periódica e seu per´ıodo é 2π.

Também, pode-se observar que ∀x ∈ R: f (−x) = −f (x), por isso a fun¸cão é dita ´ımpar.

Exerc´ıcio 34 Esboce o gráfico, diga qual o dom´ınio e imagem das fun¸cões abaixo e fa¸ca uma análise com rela¸cão ao gráfico da fun¸cão y = sin x.

a) f (x) = 2 sin x b) g(x) = 3 + sin x c) h(x) = sin 2x d) i(x) = sin(π

2 − x)

6.4.2 Gr´

afico da Fun¸

c˜

ao y = cos x

D = R e _{Im = {y ∈ R | −1 ≤ y ≤ 1}}

(59)

Exerc´ıcio 35 Esboce o gráfico, diga qual o dom´ınio e imagem das fun¸cões abaixo e fa¸ca uma análise com rela¸cão ao gráfico da fun¸cão y = cos x.

a) f (x) = 3 cos x b) g(x) = −2 cos(x +π

4) c) h(x) = −1 + 2 cos 2x d) i(x) = | − 1 + 2 cos 2x|

6.4.3 Gr´

afico da Fun¸

c˜

ao y = tan x

D = {x ∈ R | x 6=π

2 + kπ, com k ∈ Z} e Im = R Observe que tangente n˜ao est´a definida nos pontos π

2, 3π 2 , 5π 2 .... π 2 + 2kπ

, pois o valor de co-seno destes ˆangulos ´e zero e tan α = sen α

cos α. As retas verticais que passam pelos pontos de abscissas ..., − π 2, π 2, 3π 2 , 5π

2 , ... não têm ponto em comum com o gráfico e, quando x se aproxima indefinidamente de uma dessas retas, a distância entre essa reta e o gráfico tende a zero. Essas retas são chamadas de ass´ıntotas verticais do gráfico.

Além disso, a fun¸cão tangente é ´ımpar e possui per´ıodo π.

Exerc´ıcio 36 Esboce o gráfico, diga qual o dom´ınio e imagem das fun¸cões abaixo e fa¸ca uma análise com rela¸cão ao gráfico da fun¸cão y = tan x.

a) h(x) = tan 2x b) h(x) = − tan 2x c) g(x) = tanx

2

6.5 Fun¸

c˜

oes Trigonom´

etricas Inversas

Quando, em estudos anteriores, aprendemos os conceitos de fun¸cão inversa, vimos que somente as fun¸cões bijetoras (injetoras e sobrejetoras) admitem uma fun¸cão inversa. Veremos agora, como ajustar esses conceitos para as fun¸cões trigonométricas aprendidas.

(60)

6.5.1 Fun¸

c˜

ao inversa do seno

Lembre-se da defini¸c˜ao da fun¸c˜ao seno

f : R → R tal que f (x) = senx e de seu gr´afico

Pode-se ver que a fun¸cão não é sobrejetora pois a Im(f ) = [−1, 1], enquanto que seu contradom´ınio ´_{e R.} A fun¸cão também não é injetora pois para um mesmo valor de x1∈ R existem infinitos valores de x, tais

que sin x = sin x1, como por exemplo,

sinπ 2 = sin −3π 2 = 1 Desta forma, a fun¸c˜ao y = sin x n˜ao possui inversa.

Podemos entretanto, através de artif´ıcios matemáticos torná-la invers´ıvel.

Observe que podemos restringir o contradom´ınio ao conjunto [−1, 1], intervalo onde est˜ao todos os valores de sin x para qualquer x ∈ R. Feito isso, a fun¸c˜ao torna-se sobrejetora.

Vamos, agora, restringir o dom´ınio de tal forma que a fun¸c˜ao passe a ser injetora. Existem infinitos inter-valos onde tal peculiaridade ocorre, como por exemplo π

2; 3π

2

. Convencionou-se adotar para dom´ınio o intervaloh−π

2; π 2 i

, no qual esta mesma peculiaridade ocorre. Desta forma, temos a fun¸c˜ao F :h−π 2;

π 2 i → [−1, 1], definida por F (x) = sin x, invert´ıvel. Nestas condi¸c˜oes temos a inversa da fun¸c˜ao F , definida assim F−1: [−1, 1] → h−π 2; π 2 i

tal que F−1(x) = arcsen x (entende-se: arco cujo seno é x). O gráfico da fun¸cão inversa do seno é o seguinte

(61)

Exemplo 26 Encontre o valor de y nos seguintes casos: a) y = arcsen 1₂ b) y = 3 ∗ cos arcsen4 7 a) y = arcsen 1 2 ⇒          −π 2 6 y 6 π 2 e sin y = 1 2

Observe que o valor de y pertencente ao intervalo −π 2 6 y 6

π

2 e tal que sin y = 1 2 ´e y =

π 6. b) Considere na fun¸c˜ao y = 3 ∗ cos

arcsen4 7 , z = arcsen4 7 , e temos: y = arcsen 4 7 ⇒                −π 2 6 z 6 π 2 sin z = 4 7 e y = 3 cos z

Lembremos que cos2_{z + sin}2_{z = 1} _⇒ _{cos z = +}p

1 − sin2z, pois como −π

2 6 z 6 π

2, ent˜ao seu cosseno ´e positivo. Observe que sin z = 4

7, logo sin 2 z = 16 49. E, portanto cos z = r 1 −16 49 = √ 33 7 . Logo, y =3 √ 33 7 .

Exerc´ıcio 37 Determine o valor de y nos casos: a) arcsen √ 2 2 ! b) arsen1

6.5.2 Fun¸

c˜

ao inversa do cosseno

A fun¸cão cos-seno ´_{e definida por f : R → R tal que f (x) = cos x, não é bijetora e, portanto, não tem} inversa. Observe graficamente:

Restringindo o contradom´ınio ao intervalo [−1; 1], a fun¸cão é sobrejetora. Convencionamos restringir o dom´ınio ao intervalo [0; π], no qual a fun¸cão é injetora. Dessa forma temos a fun¸cão:

(62)

Então, a fun¸cão é bijetora e, portanto, tem inversa:

F−1: [−1; 1] → [0; π] tal que F−1(y) = arc cos y O gráfico da fun¸cão inversa do cosseno é o seguinte

Exemplo 27 Determinar y : a) y = arc cos 1 2 Solu¸c˜ao: y = arc cos 1 2 ⇒          0 6 y 6 π e ⇒ y =π 3 cos y = 1 2 Portanto: y =π 3rad b) y = arc cos − √ 3 2 ! Solu¸c˜ao: y = arc cos − √ 3 2 ! ⇒            0 6 y 6 π e ⇒ y =5π 6 cos y = − √ 3 2 Portanto: y =5π 6 rad

6.5.3 Fun¸

c˜

ao inversa da tangente

A fun¸c˜ao tangente ´_{e definida: f : R}1→ R tal que f(x) = tan x, com R1= {x ∈ R|x 6=

π

2 + k ∗ π, k ∈ Z} e seu gr´afico ´e o seguinte:

(63)

Nessas condi¸cões a fun¸cão é sobrejetora, pois tan x assume qualquer valor real, mas não é injetor. Desse modo não é bijetora e, portanto não tem inversa. Vamos restringir o dom´ınio a um intervalo onde ela assume todos os valores reais e, além disso, seja injetora. Existem infinitos intervalos onde isso ocorre. Convencionamos restringir o dom´ınio ao intervalo abertoi−π

2, π 2 h

. A fun¸c˜ao fica assim determinada: F :i−π

2, π 2 h

→ R, definida por F (x) = tan x A fun¸c˜ao agora ´e bijetora e, portanto, tem inversa:

F−1:i−π 2,

π 2 h

, definida por F−1(y) = arc tan y O gráfico da fun¸cão inversa da tangente é o seguinte

Exemplo 28 Determinar y : a) y = arc tan√3 Solu¸c˜ao: y = arc tan√3 ⇒    −π 2 < y < π 2 tan y =√3 Portanto: y =π 3rad

b) y = arc tan 1 + arc tan √

3 3

!

Solu¸c˜ao: Chamando z = arc tan 1, temos que:          −π 2 < z < π 2 e ⇒ z = π 4rad tan z = 1