Nesta se¸c˜ao vamos estudar um caso particular de transforma¸c˜oes lineares, a saber, o caso em que o contra dom´ınio ´e o conjuntos dos n´umeros reais.
Defini¸c˜ao 16.1. Seja V um espa¸co vetorial. Considere R com as opera¸c˜oes usuais. Dizemos que f : V −→ R ´e um funcional linear se f ´e uma transforma¸c˜ao linear.
Defini¸c˜ao 16.2. Seja V um espa¸co vetorial. Chamamos de espa¸co dual de V o conjunto de todos os funcionais lineares de V . Denotamos tal espa¸co por V∗.
Note que V∗= L(V, R) e, portanto, ´e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes usuais de fun¸c˜oes.
Proposi¸c˜ao 16.3. Seja V um espa¸co vetorial finitamente gerado. Seja B := {b1, ..., bn} uma base para V . Sejam e1, ..., en∈ V∗ tais que
ei(bj) =
1 se i = j 0 se i 6= j
Ent˜ao B∗:= {e1, ..., en} ´e uma base para V∗. B∗ ´e dita a base dual de B.
Dem.: Poder´ıamos aqui usar o que j´a temos por 14.4, mas optamos por uma demonstra¸c˜ao direta. Comecemos por mostrar que B∗ ´e linearmente independente. Sejam α1, ..., αn ∈ R tais que α1e1+ · · · + αnen = 0. Ou seja, para todo v ∈ V , temos que α1e1(v) + · · · + αnen(v) = 0. Substituindo v por bj com j = 1, ..., n, temos que αj = 0. Logo, α1 = · · · = αn = 0 e, portanto, temos que B∗ ´e linearmente independente.
Vamos agora mostrar que [B∗] = V∗. Sejam f ∈ V∗. Para cada i = 1, ..., n, seja αi ∈ R tal que αi := f (bi). Vamos mostrar que f = Pni=1αiei. Seja v ∈ V . Sejam β1, ..., βn ∈ R tais que v = β1b1+ · · · + βnbn. Note que, assim, temos que ei(v) = ei(Pnj=1βjbj) =Pnj=1βjej(bj) = βi. Assim, temos: f (v) = f ( n X i=1 βibi) = β1f (b1) + · · · + βnf (bn) = β1α1+ · · · + βnαn = α1e1(v) + · · · + αnen(v) ∗
Proposi¸c˜ao 16.5. Sejam V um espa¸co vetorial finitamente gerado e B uma base ordenada para V . Considere B∗ = {e1, ..., en} a base dual de B. Dado v ∈ V temos que [v]B = (e1(v), ..., en(v))B.
Dem.: Seja {v1, ..., vn} = B. Sejam α1, ..., αn ∈ R tais que v =Pni=1αivi. Temos que mostrar que, para cada i = 1, ..., n, vale αi= ei(v). Seja i tal que 1 ≤ i ≤ n. Temos
ei(v) = ei( n X j=1 αjvj) = n X j=1 αjej(vj) = αi
Proposi¸c˜ao 16.6. Sejam V um espa¸co vetorial finitamente gerado e B = {b1, ..., bn} base para V . Seja B∗ = {e1, ..., en} a base dual de B. Seja f ∈ V∗. Ent˜ao [f ]B∗ = (f (b1), ..., f (bn))B∗. Dem.: Seja f ∈ V∗. Sejam α1, ..., αn ∈ R tais que, para qualquer v ∈ V , temos que f(v) = α1e1(v) + · · · αnen(v). Temos que mostrar que, para cada i = 1, ..., n, αi = f (bi). Seja i = 1. Temos
f (bi) = α1e1(bi) + · · · αnen(bi) = αiei(bi)
= αi
Proposi¸c˜ao 16.7. Sejam U e V espa¸cos vetoriais. Seja B := {b1, ..., bn} uma base para V e B∗ := {e1, ..., en} base dual para B. Seja T : U −→ V uma fun¸c˜ao. Temos que T ´e uma transforma¸c˜ao linear, se, e somente se, para cada i = 1, ..., n temos que ei◦ T : U −→ R ´e um elemento de U∗.
Dem.: ⇒) Como cada ei ´e uma transforma¸c˜ao linear, temos que ei ◦ T ´e uma transforma¸c˜ao linear e, portanto, elemento de U∗.
⇐) Vamos mostrar que T ´e uma transforma¸c˜ao linear. Observe que, dado u ∈ U temos que T (u) = e1(T (u))b1+ · · · + en(T (u))bn. Assim, sejam u, v ∈ U . Temos
T (u + v) = e1(T (u + v))b1+ · · · en(T (u + v))bn
= e1(T (u))b1+ · · · en(T (u))bn+ e1(T (v))b1+ · · · en(T (v))bn = T (u) + T (v)
Agora sejam u ∈ U e α ∈ R. Temos
T (αu) = e1(αu)b1+ · · · + en(αu)bn = αe1(u)b1+ · · · + αen(u)bn = α(e1(u)b1+ · · · + en(u)bn) = αT (u)
Defini¸c˜ao 16.8. Seja V um espa¸co vetorial. Seja H ⊂ V um subespa¸co vetorial tal que existe v /∈ H tal que [H ∪ v] = V . Neste caso, dizemos que H ´e um hiperplano de V .
Exemplo 16.9. No R3, qualquer subespa¸co de dimens˜ao 2 (ou seja, um plano) ´e um hiperplano.
Proposi¸c˜ao 16.10. Seja V um espa¸co de dimens˜ao finita. Seja S ⊂ V um subespa¸co vetorial de V . Temos que S ´e um hiperplano de V se, e somente se, existe f ∈ V∗r {0} tal que S = N ucf . Dem.: ⇒) Como S ´e hiperplano, existe v /∈ S tal que V = [{v} ∪ S]. Seja {b1, ..., bn} base para S. Note v /∈ [b1, ..., bn] e, portanto, {v, b1, ..., bn} ´e linearmente independente. Note tamb´em que V = [{v} ∪ S] = [v, b1, ..., bn]. Assim, {v, b1, ..., bn} ´e base para V . Defina f : V −→ R tal que, f (v) = 1 e f (bi) = 0 para todo i = 1, ..., n. Vamos verificar que N ucf = S. Seja u ∈ N ucf . Sejam α0, ..., αn ∈ R tais que u = α0v + α1b1+ · · · + αnbn. Aplicando T em ambos os lados, temos que 0 = α0. Logo, u ∈ [b1, ..., bn] = S. Assim, temos que N ucf ⊂ S. Por outro lado, temos que, dado u ∈ S, existem α1, ..., αn∈ R tais que u = α1b1+· · ·+αnbn. Aplicando f em ambos os lados, obtemos que f (u) = α1f (b1) + · · · + αnf (bn) = 0. Logo, S ⊂ N ucf .
⇐) Seja f ∈ V∗
r {0}. Precisamos mostrar que N ucf ´e um hiperplano. Como f 6= 0, temos que dim Imf = 1 e, portanto, dim N ucf = dim V − 1. Seja v ∈ V r N ucf . Assim, dim[N ucf ∪ {v}] = dim V e, portanto, [N ucf ∪ {v}] = V .
J´a vimos que, em espa¸cos de dimens˜ao finita, dada uma base, podemos encontrar uma base para o espa¸co dual. Vamos terminar esta se¸c˜ao mostrando que o caminho inverso tamb´em pode ser feito. Mais que isso, vamos mostrar que ao se tomar a base dual para a base encontrada, recuperamos a base original.
Proposi¸c˜ao 16.11. Seja V espa¸co vetorial. Seja v ∈ V . Temos que gv : V∗ −→ R dada por gv(f ) = f (v) ´e um elemento de (V∗)∗.
Dem.: Observe que, de fato, gv tem dom´ınio V∗ e contra dom´ınio R. Resta verificarmos se gv ´e linear. Sejam f, h ∈ V∗. Temos que mostrar que gv(f + h) = gv(f ) + gv(h).
gv(f + h) = (f + h)(v) = f (v) + h(v) = gv(f ) + gv(h)
A demonstra¸c˜ao de que, dado α ∈ R temos que αgv(f ) = gv(αf ) para qualquer f ∈ V∗ fica como exerc´ıcio.
Proposi¸c˜ao 16.12. Seja V espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Seja B = {f1, ..., fn} base para V∗. Ent˜ao existe A ⊂ V base para V tal que A∗ = B.
Dem.: Defina T : V −→ (V∗)∗ tal que, dado v ∈ V temos que T (v) = gv (onde gv ´e a fun¸c˜ao definida no resultado anterior). Observe que, de fato, T ´e uma fun¸c˜ao com dom´ınio V e contra dom´ınio (V∗)∗. Vamos mostrar que T ´e um isomorfismo. Come¸camos mostrando que ela ´e linear. Sejam α ∈ R, f ∈ V∗ e u, w ∈ V . Temos (T (u + w))(f ) = gu+w(f ) = f (u + w) = f (u) + f (w) = gu(f ) + gw(f ) = (T (u))(f ) + (T (w))(f ) (T (αu))(f ) = gαu(f ) = f (αu) = αf (u) = (αT (u))(f )
Vamos agora mostrar que ela ´e bijetora. Como temos que dim V = dim V∗ = dim(V∗)∗, basta mostrar que T ´e injetora. Para isso, basta notar que gv(f ) = 0 para toda f ∈ V∗ implica que v = 0 (exerc´ıcio).
Vamos agora mostrar o resultado. Seja B∗ = {w1, ..., wn} base dual de B (ou seja, ´e uma base para (V∗)∗. Seja A = {b1, ..., bn} onde, para cada i = 1, ..., n temos que bi = T−1(wi). Podemos fazer isso j´a que T ´e um isomorfismo. Como T−1´e injetora, temos que A ´e linearmente independente e, portanto, base para V . Vamos mostrar que A∗= B. Sejam i, j = 1, ..., n. Temos:
fi(aj) = gaj(fi) = (T (aj))(fi) = wj(fi) Assim, temos que
fi(aj) =
1 se i = j 0 caso contr´ario
16.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 16.1. Mostre que todo funcional linear n˜ao nulo ´e sobrejetor (mesmo para espa¸cos de dimens˜ao infinita).
Exerc´ıcio 16.2. Seja V um espa¸co vetorial finitamente gerado. Seja v ∈ V tal que f (v) = 0 para todo f ∈ V∗. Mostre que v = 0.
Exerc´ıcio 16.3. Seja B = {b1, b2, b3} onde b1 := (2, 2, 0), b2 := (0, 3, 3) e b3 := (0, −1, 0) base para R3. Seja B∗ = {e1, e2, e3} base dual de B. Seja (a, b, c) ∈ R3. Calcule e1(a, b, c), e2(a, b, c) e e3(a, b, c).
Exerc´ıcio 16.4. Considere R com as opera¸c˜oes usuais. Mostre que toda transforma¸c˜ao linear T : R −→ R ´e da forma T (x) = rx onde r ∈ R.
Exerc´ıcio 16.5. Considere A := {e1, e2} ⊂ (R2)∗ onde e1(a, b) := 2a + b e e2(a, b) := a − 3b. (a) Mostre que A ´e base para (R2)∗.
(b) Determine B base para R2 tal que B∗ = A.
17
Produto interno e norma
Come¸camos definindo uma nova opera¸c˜ao no espa¸co vetorial.
Defini¸c˜ao 17.1. Seja V um espa¸co vetorial. Um produto interno sobre V ´e uma fun¸c˜ao h·, ·i : V × V −→ R que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes, dados u, v, w ∈ V e λ ∈ R:
(a) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi (b) hλu, vi = λhu, vi
(c) hu, vi = hv, ui (d) hu, ui > 0 se u 6= 0
(i) h0, vi = 0
(ii) hv, vi = 0 se, e somente se, v = 0 (iii) hu, λvi = λhu, vi
(iv) hu, v + wi = hu, vi + hu, wi
Dem.: (i) h0, vi = h0v, vi = 0hv, vi = 0.
(ii) Suponha que hv, vi = 0. Pela propriedade (d) da defini¸c˜ao de produto interno, temos que v = 0. Por outro lado, temos que, se v = 0, ent˜ao hv, vi = h0, 0i = 0.
(iii) hu, λvi = hλv, ui = λhv, ui = λhu, vi.
(iv) hu, v + wi = hv + w, ui = hv, ui + hw, ui = hu, vi + hu, wi.
Exemplo 17.3. Considere Rncom as opera¸c˜oes usuais. Sejam a := (a1, ..., an), b := (b1, ..., bn) ∈ Rn. Definimos ha, bi := n X i=1 aibi
Vamos mostrar que h·, ·i assim definido ´e de fato um produto interno. Sejam a := (a1, ..., an), b := (b1, ..., bn), c := (c1, ..., cn) ∈ Rn e λ ∈ R. Temos
(a) ha + b, ci =Pn
i=1(ai+ bi)ci=Pni=1aici+Pni=1bici = ha, ci + hb, ci. (b) hλa, bi =Pn
i=1(λai)bi= λPni=1aibi = λha, bi. (c) ha, bi =Pn
i=1aibi= Pn
i=1biai= hb, ai.
(d) Suponha a 6= 0. Ent˜ao, existe j tal que aj 6= 0. Temos ha, ai = n X i=1 a2i ≥ a2 j > 0 Este ´e o produto interno usual sobre Rn.
Proposi¸c˜ao 17.4. Sejam U e V espa¸cos vetoriais. Sejam h·, ·i um produto interno sobre V e T : U −→ V uma transforma¸c˜ao linear injetora. Ent˜ao h·, ·iT : U × U −→ R dada por
ha, biT := hT (a), T (b)i para a, b ∈ U ´e um produto interno sobre U .
(a) ha + b, ciT = hT (a + b), T (c)i = hT (a) + T (b), T (c)i = hT (a), T (c)i + hT (b), T (c)i = ha, ciT + hb, ciT.
(b) hλa, biT = hT (λa), T (b)i = hλT (a), T (b)i = λhT (a), T (b)i = λha, biT. (c) ha, biT = hT (a), T (b)i = hT (b), T (a)i = hb, aiT.
(d) Suponha a 6= 0. Temos que T (a) 6= 0, pois T ´e injetora. Logo, hT (a), T (a)i > 0. Assim ha, aiT = hT (a), T (a)i > 0.
Proposi¸c˜ao 17.5. Sejam V um espa¸co vetorial e h·, ·i um produto interno sobre V . Dados u, v ∈ V , temos que vale a seguinte desigualdade:
hu, vi2 ≤ hu, uihv, vi
Dem.: Sejam u, v ∈ V . Sejam α, β ∈ R. Se v = 0, temos o resultado. Agora suponha que v 6= 0. Temos:
hαu − βv, αu − βvi = hαu, αu − βvi − hβv, αu − βvi
= hαu, αui − hαu, βvi − hβv, αui + hβv, βvi = α2hu, ui − 2αβhu, vi + β2hv, vi
Fazendo α := hv, vi e β := hu, vi temos:
0 ≤ hαu − βv, αu − βvi
= hv, vi2hu, ui − 2hv, vihu, vihu, vi + hu, vi2hv, vi = hv, vi2hu, ui − hv, vihu, vi2
= hv, vi(hv, vihu, ui − hu, vi2)
Como hv, vi > 0, temos que hv, vihu, ui − hu, vi2≥ 0. Isto ´e, temos hu, vi2≤ hv, vihu, ui.
Defini¸c˜ao 17.6. Seja V um espa¸co vetorial. Dizemos que ||·|| : V −→ R ´e uma norma sobre V se, dados u, v ∈ V e α ∈ R s˜ao satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:
(a) ||v|| ≥ 0.
(b) Se ||v|| = 0, ent˜ao v = 0. (c) ||αv|| = |α|||v||.
Exemplo 17.7. Considere em R2 a seguinte norma: ||(a, b)|| := |a| + |b|
Vejamos que ela, de fato, ´e uma norma. Sejam (a, b), (c, d) ∈ R2 e λ ∈ R. (a) ||(a, b)|| = |a| + |b| ≥ 0.
(b) Suponha ||(a, b)|| = 0. Ent˜ao |a| + |b| = 0 e, portanto, a = b = 0.
(c) ||λ(a, b)|| = ||(λa, λb)|| = |λa| + |λb| = |λ||a| + |λ||b| = |λ|(|a| + |b|) = |λ|||(a, b)||.
(d) ||(a, b) + (c, d)|| = ||(a + c, b + d)|| = |a + c| + |b + d| ≤ |a| + |b| + |c| + |d| = ||(a, b)|| + ||(c, d)||.
Teorema 17.8. Sejam V um espa¸co vetorial e h·, ·i um produto interno sobre V . Ent˜ao ||·|| : V −→ R dado por
||v|| :=phv, vi
para v ∈ V ´e uma norma sobre V . Chamamos ||·|| de norma induzida por h·, ·i. Dem.: Sejam u, v ∈ V e λ ∈ R. Temos
(a) ||v|| =phv, vi ≥ 0.
(b) Suponha que ||v|| = 0. Ent˜ao hv, vi = 0. Logo, v = 0. (c) ||λv|| =phλv, λvi =pλ2hv, vi = |λ|phv, vi = |λ|||v||.
(d) ||u + v||2 = hu + v, u + vi = hu, ui + 2hu, vi + hv, vi 17.5≤ hu, ui + 2phu, uihv, vi + hv, vi = ||u||2+ 2||u||||v|| + ||v||2 = (||u|| + ||v||)2.
Exemplo 17.9. Considere h(a, b), (c, d)i := ac + bd o produto interno usual em R2. Temos que a norma induzida por tal produto interno ´e
17.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 17.1. Considere R3 com as opera¸c˜oes usuais. Verifique se h·, ·i ´e um produto interno, justificando suas respostas, onde, dados (a, b, c), (d, e, f ) ∈ R3:
(a) h(a, b, c), (d, e, f )i := |a| + 2|b| + 10|c| (b) h(a, b, c), (d, e, f )i := a + b + c
(c) h(a, b, c), (d, e, f )i := |a|
(d) h(a, b, c), (d, e, f )i := |a| − |b| + |c|
Exerc´ıcio 17.2. Seja V um espa¸co vetorial com um produto interno h·, ·i. (a) Mostre que h0, vi = 0 para qualquer v ∈ V .
(b) Mostre que se u ∈ V ´e tal que hu, vi = 0 para qualquer v ∈ V , ent˜ao u = 0.
Exerc´ıcio 17.3. Seja V um espa¸co vetorial com produto interno h·, ·i e com ||·|| a norma induzida. Mostre que, dados u, v ∈ V , temos
hu, vi = 1
4||u + v|| 2−1
4||u − v|| 2
Exerc´ıcio 17.4. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Mostre que V admite uma norma induzida por um produto interno.
18
Ortogonaliza¸c˜ao e funcionais lineares versus produto interno
Defini¸c˜ao 18.1. Sejam V um espa¸co vetorial e h·, ·i um produto interno sobre V . Dizemos que u, v ∈ V s˜ao ortogonais se hu, vi = 0. Nota¸c˜ao u⊥v.
Proposi¸c˜ao 18.2. Sejam V um espa¸co vetorial e seja h·, ·i um produto interno sobre V . Seja A ⊂ V tal que 0 /∈ A e, dados u, v ∈ A distintos, temos que u e v s˜ao ortogonais. Ent˜ao A ´e linearmente independente.
Dem.: Suponha que n˜ao vale o resultado. Ent˜ao existem v, v1, ..., vn ∈ A e α1, ..., αn ∈ R tais que v =Pn
i=1αivi = 0 e v 6= vi para i = 1, ..., n. Considere ||·|| a norma induzida pelo produto interno. Temos ||v||2 = hv, vi = hv, n X i=1 αivii = n X i=1 hv, αivii = n X i=1 αihv, vii = 0
Mas, como v 6= 0, temos que ||v|| 6= 0, contradi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 18.3 (Processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schimdt). Seja V um espa¸co vetorial com um produto interno h·, ·i e seja A := {a1, ..., an} um conjunto linearmente indepen- dente. Ent˜ao B := {b1, ..., bn} onde
b1:= a1 bk+1 := ak+1− hak+1, b1i ||b1||2 b1− · · · − hak+1, bki ||bk||2 bk
para k = 1, ..., n − 1, ´e tal que bk e bj s˜ao ortogonais se i 6= j, bk6= 0 para k = 1, ..., n e [B] = [A]. Dem.: Vamos mostrar o resultado por indu¸c˜ao sobre n. Caso n = 1, nada h´a para mostrar. Agora suponha que j´a temos os resultado para n e vamos mostrar para n + 1. Como [b1, ..., bn] = [a1, ..., an] e {a1, ..., an+1} ´e linearmente independente, temos que an+1 ∈ [b/ 1, ..., bn]. Assim, bn+1 = an+1−Pni=1
han+1,bii
||bi||2 bi ´e diferente de 0. Vamos agora mostrar que bn+1 ´e ortogonal a bi para todo i = 1, ..., n. hbn+1, bii = han+1− n X j=1 han+1, bji ||bj||2 bj, bii = han+1, bii − n X j=1 han+1, bji ||bj||2 hbj, bii = han+1, bii − han+1, bii ||bi||2 hbi, bii = 0
Assim, pela hip´otese de indu¸c˜ao, temos que bie bj s˜ao ortogonais para todo i, j = 1, ..., n + 1 com i 6= j. E, como cada bi 6= 0, temos que {b1, ..., bn+1} ´e linearmente independente. Observe que [B] ⊂ [A]. Como dim B = dim A, temos que [A] = [B].
Defini¸c˜ao 18.4. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n ≥ 1. Dizemos que B := {b1, ..., bn} ´e uma base ortonormal se seus elementos s˜ao ortogonais entre si e, dado bi ∈ B temos ||b|| = 1.
Corol´ario 18.5. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n ≥ 1 com um produto interno h·, ·i. Ent˜ao V tem uma base ortonormal.
Dem.: Seja B = {b1, ..., bb} uma base para V . Por18.3, existe C = {c1, ..., cn} tal que [C] = [B] e os elementos de C s˜ao ortogonais entre si. Considere D := {d1, ..., dn} onde, dado i = 1, ..., n temos:
di := 1 ||ci||ci Sejam i e j distintos. Temos que hdi, dji = h||c1
i||ci, 1 ||cj||cji = 1 ||ci||||cj||hci, cji = 0. Seja i = 1, ..., n. Temos ||di|| =phci, cii = q h 1 ||ci||ci, 1 ||ci||cii = 1
||ci||||ci|| = 1. Assim, temos que C ´e um conjunto for- mado por n elementos ortogonais entre si e todos n˜ao nulos. Assim, C ´e linearmente independente e, portanto, ´e base para V .
Proposi¸c˜ao 18.6. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n ≥ 1 com um produto interno h·, ·i. Seja B : {b1, ..., bn} uma base ortonormal para V . Sejam u, v ∈ V . Ent˜ao hu, vi = Pn
i=1αiβi, onde [u]B= (α1, ..., αn)B e [v]B= (β1, ..., βn)B.
Dem.: Sejam u, v ∈ V . Sejam α1, ..., αn, β1, ..., βn ∈ R tais que [u]B = (α1, ..., αn)B e [v]B = (β1, ..., βn)B. Temos hu, vi = h n X i=1 αibi, n X i=1 βibii = n X i=1 αihbi, n X j=1 βjbji = n X i=1 αiβi
Proposi¸c˜ao 18.7. Seja V um espa¸co vetorial com um produto interno h·, ·i. Seja v ∈ V . Ent˜ao f : V −→ R dada por
f (u) := hu, vi para u ∈ V ´e um funcional linear.
Dem.: Seja a, b ∈ V e λ ∈ R. Temos f (a + b) = ha + b, vi = ha, vi + hb, vi = f (a) + f (b) f (λa) = hλa, vi = λha, vi = λf (a)
Teorema 18.8. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita n ≥ 1. Seja f ∈ V∗. Ent˜ao existe v ∈ V tal que, para todo u ∈ V , f (u) = hu, vi.
Dem.: Seja B = {b1, ..., bn} uma base ortonormal para V . Seja v := Pni=1f (bi)bi. Vamos mostrar que v satisfaz o enunciado. Para isso, vamos mostrar que g(bi) = f (bi) para todo i = 1, ..., n onde g(u) := hu, vi para u ∈ V . Note que isso ´e suficiente pois B ´e base. Seja bi∈ B.
g(bi) = hbi, vi = hbi, n X j=1 f (bj)bji = f (bi) 18.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 18.1. Seja V um espa¸co vetorial. Seja v ∈ V . Mostre que S := {u ∈ V : u ´e ortogonal a v} ´e um subespa¸co de V .
Exerc´ıcio 18.2. Mostre que a base canˆonica do R3, com rela¸c˜ao ao produto interno usual, ´e uma base ortonormal.
Exerc´ıcio 18.3. Seja V um espa¸co vetorial e A = {a1, ..., an} um conjunto cujos elementos s˜ao ortogonais entre si. Seja λ ∈ R, com λ 6= 0. Mostre que B := {λa1, ..., λan} tamb´em ´e um conjunto cujos elementos s˜ao ortogonais entre si.
Exerc´ıcio 18.4. Considere R3 com as opera¸c˜oes usuais. Seja f : R3 −→ R um funcional linear tal que f (a, b, c) := a + 2b − 3c para a, b, c ∈ R. Encontre v ∈ R3 tal que f (u) = hu, vi onde h·, ·i ´
e o produto interno usual de R3.
19
Somas diretas e espa¸cos ortogonais
Come¸camos esta se¸c˜ao definindo uma forma de se obter um subespa¸co vetorial a partir de outros dados.
Defini¸c˜ao 19.1. Sejam V um espa¸co vetorial e S, W ⊂ V subespa¸cos vetoriais. Definimos S + W := {v ∈ V : ∃s ∈ S e w ∈ W v = s + w} a soma de S e W .
Vejamos que, de fato, S + W define um subespa¸co vetorial.
Proposi¸c˜ao 19.2. Sejam V um espa¸co vetorial e S, W ⊂ V subespa¸cos vetoriais. Ent˜ao S + W ´
e um subespa¸co de V .
Dem.: Primeiramente, observe que 0 ∈ S + W j´a que 0 = 0 + 0 e 0 ∈ S, W . Agora sejam a, b ∈ S + W e vamos mostrar que a + b ∈ S + W . Sejam s1, s2 ∈ S e w1, w2 ∈ W tais que a = s1+ w1 e b = s2+ w2. Temos
a + b = (s1+ w1) + (s2+ w2) = (s1+ s2) + (w1+ w2)
Como s1+ s2∈ S e w1+ w2 ∈ W , temos o que desejamos. A demonstra¸c˜ao de que αa ∈ S + W para qualquer α ∈ R fica como exerc´ıcio.
Vejamos agora um caso espec´ıfico de soma de subespa¸cos vetoriais.
Defini¸c˜ao 19.3. Sejam V espa¸co vetorial e S, W ⊂ V subespa¸cos vetoriais. Se S ∩ W = {0} denotamos o espa¸co S + W por S ⊕ W . Este espa¸co ´e chamado de soma direta de S e W .
Uma vantagem da soma direta ´e o seguinte resultado:
Proposi¸c˜ao 19.4. Sejam V espa¸co vetorial e S, W ⊂ V subespa¸cos vetoriais tais que S ∩ W = {0}. Sejam v ∈ S ⊕ W , s1, s2 ∈ S e w1, w2 ∈ W tais que v = s1+ w1 = s2+ w2. Ent˜ao s1 = s2 e w1 = w2 (ou seja, a escrita ´e ´unica).
Dem.: Sejam v ∈ S ⊕ W , s1, s2 ∈ S e w1, w2 ∈ W tais que v = s1+ w1= s2+ w2. Temos s1− s2 = s1− s2+ v − v
= s1− s2+ s2+ w2− s1− w1 = w2− w1
Observe que temos que s1 − s2 ∈ S. E, como s1 − s2 = w2− w1 ∈ W , temos que s1 − s2 ∈ S ∩ W = {0}. Assim, s1 = s2. Para provar que w1= w2 ´e an´alogo (exerc´ıcio).
Proposi¸c˜ao 19.5. Seja V espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Suponha que V = S ⊕ W . Ent˜ao dim V = dim S + dim W .
Dem.: Sejam {s1, ..., sn} base para S e {w1, ..., wm} base para W . Vamos provar que {s1, ..., sn, w1, ..., wm} ´e base para S ⊕ W = V . Note que isso mostra o resultado.
Seja v ∈ V . Temos que existem s ∈ S e w ∈ W tais que v = s + w. Assim, existem α1, ..., αn, β1, ..., βm ∈ R tais que s = Pni=1αisi e w = Pmi=1βiw1. Assim, temos que v = Pn
i=1αi+Pmi=1βiw1e, portanto, {s1, ..., sn, w1, ..., wm} gera V . Resta mostrar que ´e linearmente independente. Suponha que n˜ao, ent˜ao existe algum elemento em {s1, ..., sn, w1, ..., wm} que pode ser escrito como combina¸c˜ao linear dos outros. Vamos supor que seja um dos si’s (o outro caso ´
e an´alogo). Assim, temos que si = s + w, onde s ∈ [{s1, ..., sn} r {si}] e w ∈ [w1, ..., wm]. Por outro lado, sabemos que si = si+ 0, onde si ∈ S e 0 ∈ W . Assim, pelo resultado anterior, s = si e w = 0. Ou seja, temos que si ∈ [{s1, ..., sn} r {si}], contradi¸c˜ao com o fato de {s1, ..., sn} ser base.
Vamos agora `a defini¸c˜ao do espa¸co ortogonal.
Defini¸c˜ao 19.6. Seja V um espa¸co vetorial com um produto interno. Seja S subespa¸co de V . Denotamos por S⊥ o espa¸co ortogonal a S, isto ´e, o conjunto {v ∈ V : ∀s ∈ S v⊥s}.
Vejamos que, de fato, o espa¸co ortogonal ´e um espa¸co vetorial:
Proposi¸c˜ao 19.7. Seja V um espa¸co vetorial com um produto interno. Seja S subespa¸co de V . Ent˜ao S⊥ ´e um subespa¸co de V .
Dem.: Note que 0 ∈ S⊥. Sejam a, b ∈ S⊥. Vamos mostrar que a + b ∈ S⊥. Para isso, seja s ∈ S. Precisamos mostrar que (a + b)⊥s. De fato, temos ha + b, si = ha, si + hb, si = 0 + 0 = 0. Seja a ∈ S⊥ e α ∈ R. Temos que αa ∈ S⊥ pois, dado s ∈ S temos hαa, si = αha, si = α0 = 0.
Proposi¸c˜ao 19.8. Seja V espa¸co vetorial com produto interno. Seja S subespa¸co de V . Ent˜ao valem as seguintes propriedades:
(ii) S ∩ S⊥= {0}.
Dem.: (i) Seja s ∈ S. Temos que, dado a ∈ S⊥, a⊥s. Assim, s ∈ (S⊥)⊥.
(ii) Seja v ∈ S ∩ S⊥. Como v ∈ S⊥, temos que hv, si = 0 para todo s ∈ S. Em particular, hv, vi = 0 e, portanto, v = 0.
Proposi¸c˜ao 19.9. Seja V espa¸co vetorial de dimens˜ao finita com produto interno. Seja S subespa¸co de V . Temos que V = S ⊕ S⊥.
Dem.: Temos que S ∩ S⊥= {0} pelo resultado anterior. Resta mostrar que, dado v ∈ V exitem s ∈ S e t ∈ S⊥ tais que v = s + t. Seja B1 base para S e B2 conjunto linearmente independente tal que B1∪ B2 seja uma base para V . Por 18.3, existe C = C1 ∪ C2 base ortogonal para V tal que C1 ´e base para S. Assim, temos que, dado v ∈ V , existem s ∈ [C1] e t ∈ [C2] tais que v = s + t. Note que s ∈ S, j´a que C1 ´e base para S. Resta mostrar que t ∈ S⊥. O exerc´ıcio19.4 diz que t ´e ortogonal a qualquer elemento de [C1] = S, logo t ∈ S⊥.
Corol´ario 19.10. Seja V espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e com produto interno. Seja S ⊂ V . Ent˜ao temos que (S⊥)⊥= S.
Dem.: J´a temos que S ⊂ (S⊥)⊥. Resta mostrar a outra inclus˜ao. Seja v ∈ (S⊥)⊥. Pelo resultado anterior, temos que existem s ∈ S e t ∈ S⊥ tais que v = s + t. Se mostrarmos que t = 0, teremos o resultado. Para isso, vamos mostrar que ht, ti = 0. Como s ∈ S e t ∈ S⊥, temos que ht, si = 0. E, como t ∈ St e v ∈ (S⊥)t, temos que ht, vi = 0. Assim
ht, ti = ht, v − si = ht, vi − ht, si = 0 + 0
= 0
19.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 19.1. Mostre que a condi¸c˜ao de que S ∩ W = {0} em19.4´e necess´aria. Isto ´e, dˆe um exemplo de um espa¸co V , S, W ⊂ V subespa¸cos e v ∈ V que possa ser escrito de duas maneiras distintas na forma v = s + w com s ∈ S e w ∈ W .
Exerc´ıcio 19.2. Sejam V um espa¸co vetorial e S, W ⊂ V subespa¸cos vetoriais. Mostre que S + W = [S ∪ W ].
Exerc´ıcio 19.3. Use o exerc´ıcio anterior e o exerc´ıcio 7.8 para mostra que, dados V espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e S, W ⊂ V temos que dim(S + W ) = dim S + dim W − dim(S ∩ W ). Use este resultado para dar outra demonstra¸c˜ao do caso particular de 19.5.
Exerc´ıcio 19.4. Seja V espa¸co vetorial com produto interno. Sejam A, B ⊂ V tais que, para quaisquer a ∈ A e b ∈ B temos que a⊥b. Ent˜ao, dado v ∈ [B] temos que v⊥w para qualquer w ∈ [A].
Exerc´ıcio 19.5. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e com produto interno. Seja S ⊂ V subespa¸co vetorial. Considere T : V −→ S e F : V −→ S⊥dadas por T (v) = s e F (v) = t para v = s + t onde s ∈ S e t ∈ S⊥.
(a) Mostre que T e F s˜ao transforma¸c˜oes lineares. (b) Calcule N ucT e N ucF .
20
Grafos
Nesta se¸c˜ao vamos fazer uma aplica¸c˜ao de ´algebra linear `a teoria dos grafos. Um grafo, informal- mente falando, ´e uma cole¸c˜ao de pontos que podem, ou n˜ao, ser ligados por arestas. ´E comum tais arestas terem uma dire¸c˜ao, isto ´e, a aresta que sai de um ponto A e chega num ponto B ´e diferente da aresta que sai do ponto B e chega no ponto A. Vejamos uma maneira mais formal de se definir um grafo.
Defini¸c˜ao 20.1. Dizemos que G ´e um grafo se G = (P, A) onde P ´e um conjunto de pontos e A ´
e um conjunto de fun¸c˜oes que chamaremos de arestas. As arestas s˜ao da forma a : {i, f } −→ G onde a(i) ´e o ponto de in´ıcio da aresta e a(f ) ´e o ponto final da aresta.
Defini¸c˜ao 20.2. Seja G = (P, A) um grafo. Dizemos que C = {a1, ..., an} ⊂ A ´e um caminho de g1 para g2 em G se a1(i) = g1, an(f ) = g2 e, para todo j = 1, ..., n − 1 temos que aj(f ) = aj+1(i). Neste caso, dizemos que {a1, ..., an} ´e um caminho de tamanho n. Dizemos que G ´e conexo se, para dados g, h ∈ G, existe um caminho de g para h.
Defini¸c˜ao 20.3. Seja G = (P, A) um grafo finito (isto ´e, tanto P como A s˜ao finitos). Fixamos {p1, ..., pn} uma ordem para P . Chamamos de matriz de conectividade de G a matriz M ∈ Mn×n onde cada elemento mjk da matriz ´e dado por
mjk = |{a ∈ A : a(i) = pj e a(f ) = pk}|
Ou seja, na linha j pela coluna k fica o n´umero de arestas que saem de pj e chegam em pk.
Proposi¸c˜ao 20.4. A quantidade de caminhos de tamanho r entre os elemento pj e pk num grafo G({p1, ..., pn}, A) ´e o elemento da linha j na coluna k da matriz Mr onde M ´e a matriz de conectividade de G.
Dem.: Por indu¸c˜ao sobre r. Caso r = 1, segue diretamente da defini¸c˜ao de matriz de conectivi- dade. Agora suponha que j´a temos o caso r e vamos provar o caso r + 1. Sejam (ust)s,t=1,...,n e (vst)s,t=1,...,nas matrizes Mr e M respectivamente. Observe que o elemento na linha j da coluna da k de Mr+1 ´e dado por
n X s=1
ujsvsk
Pela hip´otese se indu¸c˜ao, ujs representa quantos caminhos de tamanho r existem ligando pj e ps. E note que vsk representa quantas arestas existem ligando ps e pk. Temos que vsk = 0 se, e somente se n˜ao existe uma aresta ligando ps e pk. Assim, ujsvsk representa quantos caminhos existem de tamanho r saindo de pj e chegando em ps e que podem ser extendidos (com mais uma aresta s´o) para pk. Como somamos o resultado para todos os ps poss´ıveis, temos o que desejamos.
Corol´ario 20.5. Seja G um grafo com n pontos. Ent˜ao G ´e conexo se, e somente se, M + M2+ · · · + Mn−1, onde M ´e a matriz de incidˆencia de G, tem todos os seus elementos n˜ao nulos. Dem.: Se todos os elementos de tal matriz s˜ao n˜ao nulos, ´e claro que o grafo ´e conexo. Por outro lado, se G ´e conexo, dados dois pontos seus, existe um caminho que os une com no m´aximo n − 1 pontos (pois, se o caminho tiver mais pontos que isso, ele passa duas vezes por um mesmo ponto, podendo assim ser encurtado). Assim, o elemento da matriz correspondente a esse caminho ´e n˜ao nulo.
21
Continuidade
Defini¸c˜ao 21.1. Sejam U e V espa¸cos vetoriais normados. Sejam f : U −→ V uma fun¸c˜ao e u ∈ U . Dizemos que f ´e cont´ınua no ponto u se dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para qualquer a ∈ U tal que ||u − a|| < δ temos que ||f (u) − f (a)|| < ε. Dizemos simplesmente que f ´e cont´ınua se f ´e cont´ınua em todo ponto u ∈ U .
Note que essa defini¸c˜ao coincide com a usual para fun¸c˜oes de R em R (quando tomamos em R a norma usual).
Proposi¸c˜ao 21.2. Sejam U e V espa¸cos vetoriais normados. Seja T : U −→ V uma trans- forma¸c˜ao linear. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) T ´e cont´ınua no 0.
(ii) Existe M > 0 tal que, para qualquer u ∈ U , ||T (u)|| ≤ M ||u||. (iii) T ´e cont´ınua.
Dem.: (i) ⇒ (ii): Seja ε > 0. Seja δ > 0 tal que, se ||0 − v|| = ||v|| < δ, ent˜ao ||T (0) − T (v)|| = ||T (v)|| < ε. Seja M := 2εδ. Seja u ∈ U . Se u = 0, temos o resultado. Assim, suponha u 6= 0. Observe que ||2||u||δ u|| < δ. Assim, temos
||T (u)|| = ||T (2||u||δ δ 2||u||u)|| = 2||u||δ ||T (2||u||δ u)|| < 2||u||δ ε
= M ||u||
(ii) ⇒ (iii): Seja u ∈ U . Vamos mostrar que T ´e cont´ınua em u. Seja ε > 0. Seja M como no item anterior. Considere δ = Mε. Seja a ∈ U tal que ||u − a|| < δ. Note que podemos supor a 6= u. Temos:
||T (u) − T (a)|| = ||T (u − a)|| ≤ M ||u − a|| < M δ = MMε = ε
(iii) ⇒ (i): Imediato.
Proposi¸c˜ao 21.3. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Sejam || · ||1 e || · ||2 duas normas sobre V . Ent˜ao existem α, β > 0 tais que, para qualquer v ∈ V , temos:
||v||1 < α||v||2 e ||v||2 < β||v||1
Proposi¸c˜ao 21.4. Sejam U e V espa¸cos vetoriais normados. Suponha dim U = n. Seja T : U −→ V uma transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao T ´e cont´ınua.
Dem.: Seja B := {b1, ..., bn} uma base para U . Considere || · ||0 : U −→ R dada por ||u||0:=
n X
i=1 |αi|
onde [u]B = (α1, ..., αn)B. Note que || · ||0 definida assim ´e uma norma sobre U . Seja α tal que para qualquer u ∈ U temos que ||u||0 < α||u||. Seja A := max{||T (b1)||, ..., ||T (bn)||} + 1. Considere M := Aα. Seja u ∈ U . Vamos mostrar que ||T (u)|| < M ||u||. Temos
||T (u)|| = ||T (α1b1+ · · · αnbn)|| ≤ ||T (α1b1)|| + · · · + ||T (αnbn)|| = |α1|||T (b1)|| + · · · + |αn|||T (bn)|| < |α1|A + · · · |αn|A = A||u||0 < Aα||u||