Nesta se¸c˜ao vamos nos aprofundar um pouco no caso particular de quando queremos usar a representa¸c˜ao matricial apenas para obter uma mudan¸ca na base em que os vetores ser˜ao escritos. Defini¸c˜ao 13.1. Sejam U um espa¸co vetorial e B := {b1, ..., bn} e C := {c1, ..., cn} bases ordena- das para U . Chamamos de matriz de mudan¸ca de base de C para B a matriz [Id]BC, onde Id : U −→ U ´e tal que Id(u) := u para todo u ∈ U .
Segue imediatamente da defini¸c˜ao que, dado u ∈ U temo que, se A ´e a matriz de mudan¸ca de base de C para B, A[u]B= [u]C.
Proposi¸c˜ao 13.2. Sejam U um espa¸co vetorial e B := {b1, ..., bn} e C := {c1, ..., cn} bases ordenadas para U . Se A ´e a matriz de mudan¸ca de base de C para B, ent˜ao A−1 (a matriz inversa de A) existe e ´e a matriz de mudan¸ca de base de B para C.
Dem.: Lembre-se que X ´e a inversa de A se, e somente se, AX = I onde I ´e a matriz formada por aij com i = 1, ..., n e j = 1, ..., n tal que
aij =
1 se i = j 0 se i 6= j
Lembre-se tamb´em que Y = I se, e somente se, para todo r ∈ Rntemos que Y r = r. Assim, para mostrarmos o resultado, basta mostrarmos que AXr = r para todo r ∈ Rnonde X ´e a matriz de mudan¸ca de base de C para B. Seja r ∈ Rn. Seja u ∈ U tal que [u]C = r. Temos:
AXr = AX[u]C = A(X[u]C) = A([u]B) = [u]C = r Assim, temos o resultado.
Corol´ario 13.3. Sejam U um espa¸co vetorial e B := {b1, ..., bn} e C := {c1, ..., cn} bases orde- nadas para U . Seja T : U −→ U uma transforma¸c˜ao linear. Seja P a matriz de mudan¸ca de base de C para B. Ent˜ao [T ]BB= P−1[T ]CCP .
Dem.: Basta mostrarmos que, dado u ∈ U , P−1[T ]CCP [u]B= [T (u)]B. De fato, temos P−1[T ]CCP [u]B = P−1[T ]CC[u]C
= P−1[T (u)]C = [T (u)]B
13.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 13.1. Considere R3 com as opera¸c˜oes usuais. Seja B := {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} base do R3. Calcule:
(a) A matriz de mudan¸ca de base de B para a canˆonica. (b) A matriz de mudan¸ca de base da canˆonica para B.
(c) [u]B onde u := (6, 1, 2)
(d) (1, 4, 10)B expresso da maneira usual.
Exerc´ıcio 13.2. Considere R4 com as opera¸c˜oes usuais. Sejam B := {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, −1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} e C := {(2, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 0), (0, 4, 6, 0), (0, 0, 2, 8)} bases para R4. Cal- cule:
(a) A matriz de mudan¸ca de base de B para a canˆonica. (b) A matriz de mudan¸ca de base de C para a canˆonica. (c) A matriz de mudan¸ca de base da canˆonica para B. (d) A matriz de mudan¸ca de base da canˆonica para C.
(e) A matriz de mudan¸ca de base de B para C. (f) A matriz de mudan¸ca de base de C para B. (g) [u]B onde u := (1, 0, 0, 0).
(h) [u]B onde u := (1, 0, 0, 0)C. (i) [u]C onde u := (1, 0, 0, 0). (j) [u]C onde u := (1, 0, 0, 0)B.
Exerc´ıcio 13.3. Considere R3 com as opera¸c˜oes usuais. Considere A := 2 1 0 0 1 1 1 0 0 e C := {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Sabendo que A ´e a matriz de mudan¸ca de base de B para C, calcule B.
14
O espa¸co L(U, V )
Nesta se¸c˜ao veremos um importante exemplo de espa¸co vetorial, o espa¸co das transforma¸c˜oes lineares entre dois espa¸cos.
Proposi¸c˜ao 14.1. Sejam U e V espa¸cos vetoriais. Seja F (U, V ) o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : U −→ V . Considere em A as seguintes opera¸c˜oes, dadas f, g ∈ F (U, V ), u ∈ U e α ∈ R:
(f + g)(u) := f (u) + g(u) (αf )(u) := αf (u) Ent˜ao (F (U, V ), +, ·) ´e um espa¸co vetorial.
Dem.: Esta demonstra¸c˜ao fica como exerc´ıcio. Repare que n˜ao ´e muito diferente do caso em que U = V = R que n´os j´a fizemos.
Defini¸c˜ao 14.2. Sejam U e V espa¸cos vetoriais. Denotamos por L(U, V ) o conjunto de todas as transforma¸c˜oes lineares T : U −→ V .
Proposi¸c˜ao 14.3. Sejam U e V espa¸cos vetoriais. Ent˜ao L(U, V ) ´e um subespa¸co de F (U, V ). Dem.: Note que a fun¸c˜ao identicamente nula ´e o elemento neutro de F (U, V ). Como tal fun¸c˜ao ´
e linear, temos que ela pertence a L(U, V ). Sejam T, F ∈ L(U, V ). Vamos mostrar que (T + F ) ∈ L(U, V ), isto ´e, vamos mostrar que (T + F ) ´e linear. Sejam a, b ∈ U . Temos
(T + F )(a + b) = T (a + b) + F (a + b)
= T (a) + T (b) + F (a) + F (b) = (T + F )(a) + (T + F )(b) Sejam α ∈ R. Temos
(T + F )(αa) = T (αa) + F (αa) = αT (a) + αF (a) = (α(T + F ))(a)
Seja λ ∈ R. Vamos mostrar que (λT ) ∈ L(U, V ). Sejam a, b ∈ U . Temos (λT )(a + b) = λT (a + b)
= λT (a) + λT (b) = (λT )(a) + (λT )(b)
Seja α ∈ R. Temos
(λT )(αa) = λT (αa) = λαT (a) = α(λT )(a)
Apesar de ter uma constru¸c˜ao mais complicada, o espa¸co L(U, V ), do ponto de vista de espa¸cos vetoriais, ´e bem simples1:
Proposi¸c˜ao 14.4. Sejam U e V espa¸cos vetoriais finitamente gerados. Sejam n := dim U e m := dim V . Temos que L(U, V ) ´e isomorfo a Mm×n.
Dem.: Sejam B e C bases para U e V respectivamente. Vamos definir ϕ : L(U, V ) −→ Mm×n. Seja T ∈ L(U, V ) definimos ϕ(T ) := [T ]BC. Vamos ver que ϕ assim definida ´e um isomorfismo. Comecemos mostrando que ϕ ´e linear. Sejam T, F ∈ L(U, V ). Temos que mostrar que [T ]BC + [F ]BC = [T + F ]BC. Para isso, ´e suficiente mostrar que, dado u ∈ U temos que ([T ]BC + [F ]BC)[u]B= [T + F ]BC[u]B (por12.5). Seja u ∈ U . Temos:
([T ]BC+ [F ]BC)[u]B = [T ]BC[u]B+ [F ]BC[u]B = [T (u)]C+ [F (u)]C
∗
= [T (u) + F (u)]C = [T + F ]BC[u]B
A demonstra¸c˜ao de ∗ segue do exerc´ıcio8.5. Vamos deixar a demonstra¸c˜ao de que, dado α ∈ R temos que αϕ(T ) = ϕ(αT ) como exerc´ıcio.
Para mostrar que ϕ ´e injetora, basta notar que a ´unica trasforma¸c˜ao T ∈ L(U, V ) tal que ϕ(T ) = [0]BC ´e a transforma¸c˜ao nula. Para mostrar que ϕ ´e sobrejetora, basta aplicar12.7.
14.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 14.1. Sejam m, n ∈ N. Para cada i, j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, considere Eij ∈ Mm×n tal que, se apq ´e a entrada da p-´esima linha e q-´esima coluna de Eij, ent˜ao
apq =
1 se p = i e q = j 0 caso contr´ario
Mostre que {Eij ∈ Mm×n : 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n} ´e uma base para Mm×n. Conclua que dim Mm×n= mn.
Exerc´ıcio 14.2. Sejam U e V espa¸cos vetoriais finitamente gerados. Sejam m := dim V e n := dim U . Sejam B := {u1, ..., un} e C := {v1, ..., vm} bases para U e V respectivamente. Para cada i, j ∈ N tais que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, seja Tij : U −→ V tal que
Tij(uk) =
vi se j = k 0 caso contr´ario
Mostre que {Tij ∈ L(U, V ) : 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n} ´e uma base para L(U, V ).
Exerc´ıcio 14.3. Sejam U e V espa¸cos vetoriais finitamente gerados. Sejam m := dim V e n := dim U . Mostre que L(U, V ) ´e isomorfo a Mm×n a partir dos dois exerc´ıcios anteriores.
Exerc´ıcio 14.4. Seja U um espa¸co vetorial e seja S ⊂ U um subespa¸co vetorial. Considere A := {T ∈ L(U, U ) : T (s) ∈ S para todo s ∈ S}.
(a) Se S 6= {0}, mostre que existe T 6= 0 tal que T ∈ S. (b) Mostre que S ´e subespa¸co vetorial de L(U, U ).
15
Diagonaliza¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao vamos desenvolver um m´etodo em que, quando poss´ıvel, mudamos a base do espa¸co para uma em que a matriz associada a uma transforma¸c˜ao dada fique mais f´acil de se fazer contas.
Defini¸c˜ao 15.1. Sejam U um espa¸co vetorial e seja T : U −→ U uma transforma¸c˜ao linear. Dizemos que λ ∈ R ´e um auto valor de T se existe u ∈ U , u 6= 0 tal que T (u) = λu. Neste caso, dizemos que u ´e um auto vetor de T associado a λ.
Exemplo 15.2. Considere R2 com as opera¸c˜oes usuais. Seja T : R2 −→ R2 dada por T (a, b) := (4b, 4a). Observe que 4 ´e um auto valor de T e (1, 1) ´e um auto vetor associado a 4 j´a que T (1, 1) = 4(1, 1).
Proposi¸c˜ao 15.3. Sejam U um espa¸co vetorial, T : U −→ U uma transforma¸c˜ao linear. Seja λ um auto valor de T . Dado u ∈ U , u 6= 0, temos que u ´e um auto vetor associado a λ se, e somente se, u ∈ N uc(λId − T ).
Dem.: Seja u ∈ U , u 6= 0 tal que T (u) = λu. Temos
(λId − T )(u) = λId(u) − T (u) = λu − λu = 0 Logo, u ∈ N uc(λId − T ).
Agora suponha que exista u 6= 0 tal que u ∈ N uc(λId − T ). Ent˜ao 0 = (λId − T )(u) = λu − T (u). Portanto, T (u) = λu.
Corol´ario 15.4. Sejam U um espa¸co vetorial e T : U −→ U uma transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao λ ∈ R ´e um auto valor de T se, e somente se, N uc(λId − T ) 6= {0}.
Corol´ario 15.5. Sejam U um espa¸co vetorial e T : U −→ U uma transforma¸c˜ao linear. Seja λ ∈ R um auto valor de T . Ent˜ao {0} ∪ {u ∈ U : u ´e auto valor associado a λ} ´e um subespa¸co vetorial de U .
Nota¸c˜ao: Dados U um espa¸co vetorial finitamente gerado, B uma base para U e T : U −→ U uma transforma¸c˜ao linear, denotamos por [T ]B a matriz [T ]BB.
Proposi¸c˜ao 15.6. Sejam U um espa¸co vetorial finitamente gerado e T : U −→ U uma trans- forma¸c˜ao linear. Seja B uma base para U . Seja λ ∈ R. Temos que λ ´e auto valor de T se, e somente se, λ ´e raiz de det[xId − T ]B.
Dem.: Ver [3] p. 135.
O pr´oximo resultado mostra que a escolha da base B no resultado anterior n˜ao influencia o polinˆomio.
Proposi¸c˜ao 15.7. Sejam U um espa¸co vetorial finitamente gerado e T : U −→ U uma trans- forma¸c˜ao linear. Sejam B e C bases para U . Ent˜ao det[xId − T ]B= det[xId − T ]C.
Dem.: Seja M := [Id]BC. Note que M−1 = [Id]CB. Observe que detM detM−1 = 1 e que [T ]B= M−1[T ]CM . Seja I a matriz identidade dim U × dim U . Temos
det[xId − T ]B = det(xI − [T ]B)
= det(xM−1IM − M−1[T ]CM ) = det(M−1(xI − [T ]C)M ) = det(M−1)det(xI − [T ]C)detM = det(xI − [T ]C)
Defini¸c˜ao 15.8. Seja U um espa¸co vetorial finitamente gerado, T : U −→ U uma transforma¸c˜ao linear e B uma base para U . Ent˜ao p(x) := det[xId − T ]B ´e dito o polinˆomio caracter´ıstico de T .
Lema 15.9. Sejam V um espa¸co vetorial e T : V −→ V uma transforma¸c˜ao linear. Sejam λ1, ..., λn∈ R auto valores de T distintos. Sejam v1, ..., vn auto vetores de associados a λ1, ..., λn respectivamente. Ent˜ao {v1, ..., vn} ´e linearmente independente.
Dem.: Vamos mostrar o resultado por indu¸c˜ao sobre n. Caso n = 1, temos o resultado j´a que todo auto vetor ´e n˜ao nulo. Suponha que temos o resultado para n e vamos mostrar para n + 1. Suponha que v1, ..., vn, vn+1sejam linearmente dependentes. Ent˜ao existem i tal que 1 ≤ i ≤ n+1 e α1, ..., αn+1 tais que vi= n+1 X j = 1 j 6= i αjvj. (2)
Aplicando T dos dois lados da equa¸c˜ao e usando o fato que cada vj ´e auto vetor, obtemos:
λivi = n+1 X j = 1 j 6= i αjλjvj.
Temos dois casos. Primeiro, suponha que λi = 0. Ent˜ao, como {vj : j 6= i} ´e linearmente independente (pela hip´otese de indu¸c˜ao), temos que cada αj = 0 para j 6= i (pois todo λj 6= 0 para j 6= i, j´a que todos os auto valores s˜ao distintos). Substituindo tais valores em (2) temos que vi = 0, contradi¸c˜ao.
Agora vamos fazer o caso λi 6= 0. Temos que
vi = n+1 X j = 1 j 6= i αj λj λi vj.
Subtraindo esta equa¸c˜ao de (2) e novamente usando o fato de {vj : j 6= i} ser linearmente independente, obtemos que, para cada j 6= i, temos que αj = αjλλji. Assim, cada λj = λi, contradi¸c˜ao com o fato deles serem todos distintos.
Teorema 15.10. Sejam U um espa¸co vetorial finitamente gerado e T : U −→ U uma trans- forma¸c˜ao linear. Sejam λ1, ..., λn∈ R auto valores distintos de T . Para cada i = 1, ..., n, seja Bi conjunto linearmente independente formado por auto vetores associados a λi. Ent˜ao B1∪ · · · ∪ Bn ´
Dem.: Para cada i = 1, .., n, sejam {b1i, ..., bmii} = Bi. Sejam α11, ..., αm11, ..., α1n, ..., αmnn∈ R tais que m1 X i=1 αi1bi1+ · · · + mn X i=1 αinbin = 0. Para cada i = 1, ..., n, seja vi := P
mj
j=1αjibji. Observe que vj ´e auto vetor associado a λi ou vi = 0 (por15.5). Se vi= 0, temos que α1i= · · · = αmii = 0, j´a que {b1i, ..., bmii} ´e linearmente independente. Assim, s´o precisamos cuidar do caso em que algum vi 6= 0. Seja u a soma de todos os vi tais que vi 6= 0. Observe que u = 0 (pois os que foram ignorados na conta j´a eram 0). Como cada vi ´e auto vetor associado a um auto valor diferente, temos uma contradi¸c˜ao com o lema.
Defini¸c˜ao 15.11. Seja U um espa¸co vetorial finitamente gerado e T : U −→ U uma trans- forma¸c˜ao linear. Dizemos que T ´e diagonaliz´avel se existem λ1, ..., λn∈ R auto valores distintos de T e B1, ..., Bn⊂ U tais que cada Bi ´e um conjunto linearmente independente de auto vetores associados a λi e B1∪ · · · ∪ Bn´e uma base para U .
Exemplo 15.12. Seja T : R3−→ R3 uma transforma¸c˜ao linear tal que
[T ]B := 1 2 0 0 1 0 3 −4 2
onde B ´e uma base para R3. Vamos calcular o polinˆomio caracter´ıstico de T :
det[xId − T ]B = det x − 1 −2 0 0 x − 1 0 −3 4 x − 2 = (x − 1)2(x − 2)
Assim, os auto valores de T s˜ao 1 e 2. Vamos procurar agora os auto vetores associados. Da defini¸c˜ao de auto vetor, temos que, se (a, b, c) ´e um auto vetor associado a 1, ent˜ao T (a, b, c) = 1(a, b, c). Observe que o mesmo vale na base B (veja o exerc´ıcio 15.1), assim, se (a, b, c) s˜ao as coordenadas de um auto vetor na base B, temos:
1 2 0 0 1 0 3 −4 2 a b c = a b c De onde obtemos o seguinte sistema:
a + 2b = a b = b
De onde obtemos que b = 0 e c = −3a. Assim, temos que os auto vetores associados a 1 s˜ao da forma (a, 0, −3a). Note que (1, 0, −3) ´e um auto vetor associado a 1 e que n˜ao ´e poss´ıvel encontrar um segundo auto vetor associado a 1 e que seja linearmente independente com esse.
Agora procuremos os auto vetores associados a 2. Temos 1 2 0 0 1 0 3 −4 2 a b c = 2a 2b 2c De onde obtemos o seguinte sistema:
a + 2b = 2a b = 2b 3a − 4b + 2c = 2c
Assim, temos que os auto vetores associados a 2 s˜ao da forma (0, 0, c). Assim, o vetor (0, 0, 1) ´
e um auto vetor associado a 2. Observe que C = {(1, 0, −3), (0, 0, 1)} nˆao ´e uma base para R3 e n˜ao ´e poss´ıvel encontrar uma base para R3 formada apenas por auto vetores. Logo, T nˆao ´e diagonaliz´avel.
Exemplo 15.13. Considere T : R3 −→ R3 dada por T (a, b, c) := (a + b − c, 2b, b − a + c). Vamos verificar se T tem auto valores. Primeiramente, calculamos [T ]B onde B ´e a base canˆonica do R3. Temos [T ]B = 1 1 −1 0 2 0 −1 1 1 Agora calculamos o polinˆomio caracter´ıstico:
det[xId − T ]B = det x − 1 −1 1 0 x − 2 0 1 −1 x − 1 = (x − 1)(x − 1)(x − 2) − (x − 2) = (x2− 2x + 1)(x − 2) − (x − 2) = x3− 2x2− 2x2+ 4x + x − 2 − x + 2 = x3− 4x2+ 4x = (x2− 4x + 4)x
Assim, as raizes do polinˆomio s˜ao 0 e 2. Vamos calcular os auto vetores associado a 0: 1 1 −1 0 2 0 −1 1 1 a b c = 0 0 0
Assim, obtemos o sistema: a + b − c = 0 2b = 0 −a + b + c = 0
De onde concluimos que b = 0 e a = c. Logo, os auto vetores associados a 0 s˜ao da forma (a, 0, a). Logo, {(1, 0, 1)} ´e um conjunto linearmente independente maximal de auto vetores associados a 0.
Agora vamos calcular os auto vetores associados a 2. Temos 1 1 −1 0 2 0 −1 1 1 a b c = 2a 2b 2c Assim, obtemos o sistema:
a + b + −c = 2a 2b = 2b −a + b + c = 2c
De onde obtemos que c = b − a. Logo, os auto vetores associados a 2 s˜ao da forma (a, b, b − a). Assim, {(1, 0, −1), (0, 1, 1)} ´e um conjunto linearmente independente maximal de auto vetores associados a 2.
Com isso, temos que o conjunto C := {(1, 0, 1), (1, 0, −1), (0, 1, 1)} ´e uma base para R3formada por auto vetores de T . Logo, T ´e diagonaliz´avel. Temos tamb´em que
[T ]C = 0 0 0 0 2 0 0 0 2
Defini¸c˜ao 15.14. Sejam U um espa¸co vetorial finitamente gerado e T : U −→ U uma trans- forma¸c˜ao linear diagonaliz´avel. Chamamos de forma diagonal de T a matriz [T ]B onde B = {b1, ..., bn} ´e uma base para U formada por auto vetores de T . Observe que [T ]B ´e uma matriz diagonal, isto ´e, se aij ´e uma entrada de [T ]B, onde i representa a linha e j a coluna, temos que
aij =
0 se i 6= 0
λi se i = j e λi ´e o auto valor associado a bi
15.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 15.1. Seja U um espa¸co vetorial finitamente gerado. Sejam B base para U e n := dim U . Sejam u, v ∈ U e λ ∈ R. Sejam α1, ..., αn, β1, ..., βn ∈ R tais que [u]B = (α1, ..., αn)B e [v]B= (β1, ..., βn)B. Mostre que u = λv se, e somente se, αi = λvi para todo i = 1, ..., n.
Exerc´ıcio 15.2. Sejam U um espa¸co vetorial e T : U −→ U uma transforma¸c˜ao linear. Suponha que T n˜ao ´e injetora. Mostre que T admite um auto valor.
Exerc´ıcio 15.3. Seja T : R3 −→ R3 uma transforma¸c˜ao linear. Suponha que 1, 2 e 3 sejam auto valores para T . Suponha tamb´em que (1, 1, 0) ´e um auto vetor associado a 1, (0, 1, 1) ´e um auto vetor associado a 2 e que (0, 0, 1) ´e um auto vetor associado a 3. Seja (a, b, c) ∈ R3. Calcule T (a, b, c).
Exerc´ıcio 15.4. Seja B a base canˆonica de R2. Seja T : R2 −→ R2 uma transforma¸c˜ao linear. Seja M = [T ]B. Verifique, em cada caso, se T ´e diagonaliz´avel:
(a) M = 1 2 2 1 (b) M = 0 1 2 3 (c) M = 0 0 0 0
Exerc´ıcio 15.5. Seja U um espa¸co de dimens˜ao n ∈ N. Seja T : U −→ U tal que o polinˆomio caracter´ıstico tenha n ra´ızes reais distintas. Mostre que U ´e diagonaliz´avel.
Exerc´ıcio 15.6. Seja T : U −→ U um operador linear tal que [T ]B´e sempre uma matriz diagonal para toda base B. Mostre que existe λ ∈ R tal que T = λId.
Exerc´ıcio 15.7. Sejam U um espa¸co vetorial de dimens˜ao 2 e T : U −→ U um operador linear n˜ao diagonaliz´avel que tem um ´unico autovalor λ ∈ R.
(a) Mostre que existe base B tal que
[T ]B = λ 0 c λ , onde c 6= 0.
(b) Mostre que existe base C tal que
[T ]C = λ 0 1 λ .