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Figura - 5. 13. Distensão máxima das ligações químicas de um material antes de se romper, mostrando o tamanho crítico mínimo, lo, a partir do qual a ruptura acontece, segundo o modelo de Griffith para um monocristal. Figura adaptada a partir da original contida em MARDER [1996].
A partir da relação (5. 31), percebe-se que um material frágil ideal apresenta rigidez constante até a ruptura, enquanto que o dúctil não. Isto significa que, a separação entre os planos cristalinos do material frágil ideal se dá continuamente, sem que ocorra quase nenhum acúmulo de defeitos na forma de discordâncias ( Figura - 5. 13).
Os materiais dúcteis, por outro lado, são aqueles que após o limite elástico apresentam deformações plásticas por meio de discordâncias na rede cristalina, acumulando defeitos e se rompendo após o encruamento (processo irreversível, Figura - 5. 12). De acordo com a teoria do encruamento (hardening) a relação entre a tensão, , e a deformação,
, é dada por:
m p ref
ref
, (5. 32)
onde:
ref é a tensão inical e ref é a deformação inicial, p é a deformação plástica do material e m, é um expoente fracionário.
Observe que a relação (5. 32), mostra o termo em potência, que pode ser relacionada a uma auto-similaridade com a escala da deformação, ref, que afeta o aspecto microestrutural da superfície de fratura. Será mostrado, no modelamento fractal da superfície de fratura no Capítulo – IV, que este fato está relacionado com a rugosidade desta superfície, devido a auto-similaridade fractal onde o expoente de encruamento, m, estará relacionado com a dimensão fractal, D, da mesma. Porque o material encrua antes de abrir uma trinca rugosa.
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A partir da relação (5. 32), percebe-se que no caso do material dúctil, tanto a tensão de fratura, f, como a rigidez, E, passa a depender da presença, ou não, deste acúmulo de defeitos microscópicos.
5.4.2 – Determinação da rigidez e da flexibilidade de um material
Existem diferentes métodos experimentais para se determinar a rigidez ou a flexibilidade de um material. A Figura - 5. 14 apresenta uma montagem experimental que pode ser usada para determinar a rigidez por meio da equação (5. 33) [DOS SANTOS 1999] abaixo.
u X e w
E S
33
4 , (5. 33)
onde
S é a separação dos cilindros de apoio, w é a largura do corpo de prova, e é a sua espessura, X é a carga aplicada e u é a sua deflexão do ponto de aplicação da força na direção vertical.
Figura - 5. 14. Montagem experimental do ensaio de flexão a três pontos com entalhe plano.
Até o limite de ruptura, o valor da rigidez do material pode ser calculado pela equação (5. 33), conforme mostra na Figura - 5. 12. Caso ocorra um crescimento de trinca acima deste limite máximo de carga tolerável pelo material, o valor da equação (5. 33) passa a representar a flexibilidade do material ao invés do seu módulo elástico.
Para materias frágeis, ou até mesmo dúcteis, a relação (5. 31) é muito útil, porque ela constitue a base da mecânica da fratura elástica linear, conforme será visto a seguir.
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5.4.3 - A energia elástica armazenada em um sólido
Considere um corpo tracionado continuamente até o limite da sua ruptura, conforme mostra a Figura - 5. 13. A energia de deformação total armazenada em um material até este limite é dado pela área debaixo da curva mostrada na Figura - 5. 12, isto é, pela integral da curva, x E, ou seja:
o
d
u ( ) ( ) . (5. 34)
Embora existam diferentes comportamentos mecânicos, conforme mostra a Figura - 5. 12, é interessante, a princípio, entender o mais simples deles, que corresponde a um material frágil que segue a “lei elástica de Hooke”. Para este material frágil, pode-se supor que o corpo responde a solicitação externa de acordo com a equação (5. 31).
Portanto, substituindo a expressão (5. 31) em (5. 34) tem-se que a energia de deformação elástica total armazenada em um material frágil, até o limite de sua ruptura, calculada pela lei de Hooke, é dado por:
0 2
) 2
( E
d E u
o
, (5. 35)
reescrevendo (5. 35) em termos de (5. 31) tem-se:
u E ) 2 (
2 . (5. 36)
Considerando o corpo totalmente distendido até o limite máximo de sua resistência mecânica, tem-se que a tensão máxima de alongamento corresponde a tensão de fratura do material, f. Logo, para o caso da fratura elástica linear (material frágil ideal), de acordo com a lei de Hooke, dado em (5. 31), tem-se:
max
f
E
, (5. 37)
onde, f, é o módulo de ruptura ou a tensão de fratura(2) (para materiais frágeis), E é o seu módulo elástico, máx é o alongamento máximo do corpo em relação ao seu comprimento
2 limite de ruptura
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inicial. De acordo com a Figura - 5. 12 para os materiais frágeis, a integral é calculada susbtituindo-se (5. 37) em (5. 36) e obtendo-se a energia de deformação elástica total por unidade de volume que pode ser armazenada no corpo antes que ele se rompa, fornecendo
u
fE
f2
2 . (5. 38)
Para um corpo de volume, Vc, tem-se que a densidade volumétrica de energia é dada por::
dV
u dU , (5. 39)
Logo, substituindo-se (5. 38) em (5. 39) tem-se:
c f
f
V
U E 2
2 . (5. 40)
Esta é a quantidade máxima de energia por unidade de volume que um corpo pode armazenar, desde que se considere que este é formado por um material idealmente frágil, como uma cerâmica, por exemplo.
5.4.4 – A variação da flexibilidade de um material durante a fratura
Observando o gráfico da Figura - 7. 5 e Figura - 5. 15, percebe-se que a energia elástica armazenada (dado pela área sob o gráfico) aumenta para manter o mesmo nível de tensão no interior do corpo de prova, cujo tamanho do defeito, Lo, continua aumentando durante o ensaio. Como fica então a variação da energia elástica armazenada no corpo, UL, com o aumento no tamanho do defeito? Ou seja, o que acontece com a energia elástica armazenada no corpo (material frágil) quando uma trinca cresce?
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Figura - 5. 15. Gráfico do comportamento da deformação do corpo, =l/l em função da tensão externa aplicada, ext.
De acordo com a expressão ( ) a variação na energia elástica armazenada, UL, depende das grandezas, , Lo, e E. Considerando que, f, se mantém constante, resta apenas analisar a influência desta variação na energia elástica armazenada, na rigidez ou na flexibilidade do material.
Ao se aplicar uma tensão, , sobre um material que já possue uma trinca de tamanho Lo, se a energia fornecida for suficiente para produzir um aumento na trinca, observa-se que a rigidez E, ou a flexibilidade, do material diminuirá com o aumento no tamanho do defeito. Veja o exemplo da Figura - 7. 3 e Figura - 5. 16.
Figura - 5. 16. Corpos A e B de mesmo material e sujeitos as mesmas condições de carga. A) sem entalhe B) com entalhe.
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Figura - 5. 17. Comparação dos carregamentos entre os corpos A e B identicos conforme a Figura - 5. 16.
Considere o exemplo da Figura - 5. 16, onde dois corpos idênticos de mesmo material são submetidos a mesma condição de ensaio. Porém, o corpo A não possui entalhe, enquanto o corpo B já o possui. Veja, a partir do gráfico da Figura - 5. 17, que o corpo B possui um rigidez, E, menor do que o corpo A e ainda uma maior deformação. Logo, a energia elástica armazenada em B deve ser maior do que no corpo A, para o mesmo nível de tensão (tensão constante).
Comparando-se as áreas dos triangulos na Figura - 5. 17 tem-se que:
2 2 1
1
Q OP Q
OP
, (5.41)
logo
LB
LA
U
U , (5.42)
ou seja
B 2
A 2
E 2 1 E 2
1
, (5.43)
portanto
B
A
E
E . (5.44)
Por outro lado, quando o material está sujeito à transformações de fase, ou microtrincas, geradas na ponta da trinca principal durante o ensaio, existe ainda uma deformação residual, que não foi considerada nesta argumentação.
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