28
SUMÁRIO
SUMÁRIO... 28
4. 2 - Introdução... 31
4. 3 – A História dos Navios Liberty ... 32
4. 4 – Uma Visão Geral da Mecânica da Fratura... 33
4. 6 - Revisão bibliográfica ... 41
5. 1 - Introdução... 48
5. 2 – Teoria Microscópica da Resistência dos Materiais ... 49
5.2.1 – Tensão de Ruptura dos Materiais ... 52
5.2.2 – Resitência Teórica dos Materiais Cerâmicos ... 53
5. 3 – Critérios Fenomenológicos de Fratura ... 58
5.3.1 - Estudo Fenomenológico das Trincas ... 58
5.3.2 - Critério de Fratura dos Materiais ... 61
5.3.3 - O Campo de Tensão ao Redor de uma Trinca Elíptica ... 62
5. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade... 63
5.3.1 - O comportamento mecânico dos sólidos... 63
5.4.2 – Determinação da rigidez e da flexibilidade de um material ... 65
5.4.3 - A energia elástica armazenada em um sólido... 66
5.4.4 – A variação da flexibilidade de um material durante a fratura... 67
5.5 - Introdução a Teoria Clássica da Mecânica da Fratura ... 70
5.5.1 - A teoria de Inglis para a fratura e a sua abordagem dos concentradores de tensão ... 71
5.5.2 – A geometria da zona de acúmulo de tensão... 72
5.6.3 - O critério de fratura de Inglis ... 75
5. 6 – Abordagem do Campo de Tensão Elástica... 78
6.3.1 – Dedução das equações do Campo de Tensão Elástico na ponta da Trinca ... 84
6. 7 – Condições de Contorno ... 88
6. 8 – Resultados Analíticos de Fratura Lisa ... 89
6.2.1 - Modo I
GIC KIC
... 926.2.2 - Modo II
GIIC KIIC
... 986.2.3 - Modo III – O Problema Antiplano
GIIIC KIIIC
... 1026.3.1 - Perfil de Tensões na ponta da Trinca ... 109
6.4.1 - Fator Geométrico ou de Forma... 113
6.4.2 - Critério de Fratura... 116
6.4.3 - A Zona Plástica e a Tenacidade a Fratura ... 118
7. 3 - O Balanço Energético do Modelo de Griffith ... 125
6.6.4 – Interpretação do balanço energético de Griffith para a fratura baseado na geometria do campo de tensão ao redor do defeito ... 125
6.6.5 - O processo de nucleação e crescimento da trinca, o tamanho crítico e a tensão de fratura ... 130
6.6.6 - O tamanho crítico mínimo da fratura ... 133
7.2.1 - O balanço energético de Griffith para a fratura ... 137
6.6.2 - Cálculo da energias envolvidas no balanço de Griffith ... 139
7.2.3 – A abordagem variacional do balanço energético de Griffith para a fratura ... 142
I) – Caso: Quando o deslocamento é constante e as forças externas não realizam trabalho (grampos fixos, F = Fo, constante) ... 143
29
II) – Caso: Quando a carga ou a tensão aplicada é constante (F = Xo.u). ... 145
7.2.4 – O tamanho crítico, e o critério energético de Griffith para o crescimento de trinca... 149
7.3.1 - Teorema de Clapeyron ... 152
7.3.2 - Taxa de Energia Elástica Liberada ... 154
7.3.3 - Principio Variacional da Energia Potencial Elástica... 160
7.3.4 - Curva R para um Corpo Totalmente Frágil... 162
7.5.1 – A modificação de Irwin para a teoria do balanço energético de Griffith ... 171
7.5.2 – A taxa de energia elástica liberada, G, para o caminho liso ... 172
7.5.3 – A resistência ao crescimento da trinca, R, para o caminho liso... 175
7.5.4 – O critério de fratura segundo Griffith-Irwin e a relação entre G e R, para o caminho liso... 176
7.5.5 - O fator de intensidade de tensão, KI , e a flexibilidade ou módulo elastico, E, para o caminho liso ... 177
7.5.6 - O fator de intensidade de tensão crítico, ou tenacidade a fratura, KIC, para o caminho liso... 178
7.5.7 - O crescimento de trinca em regime de fratura estável ou quase-estática e o conceito de curva G-R de Irwin... 180
6.8.8 – Cálculo do decaimento da carga com o comprimento da trinca ... 182
6.9.9 – Cálculo da Curva de Resistência a Fratura com o Comprimento da Trinca... 184
6.6.5 - Limitações da Teoria de Griffith-Irwin-Orowan para trincas não retilíneas ... 185
6.6.7 – O principio da máxima dissipação de energia na fratura... 192
2.8.1 – A teoria de Irwin-Orowan... 196
2.8.2 – A modificação de Irwin-Orowan do balanço energético da teoria de Griffith ... 196
2.8.3 – A taxa de energia elasto-plástica liberada, J, para o caminho liso ... 197
2.8.4 - O critério de Irwin-Orowan ... 198
2.8.5 – A integral de Eshelby-Rice, para o caminho liso ... 200
2.8.6 - O crescimento estável e o conceito de curva J-R, para o caminho liso ... 202
7.2.2 – As taxas de energia elástica e elasto-plástica liberada para um caminho de trinca projetada em um plano ... 205
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Capítulo IV
INTRODUCÃO À MECÂNICA DA FRATURA CLÁSSICA
E aconteceu que, acabando ele de falar todas estas palavras, a terra que estava debaixo deles se fendeu (Naum 16,31)
RESUMO
Palavras chave:
PACS números:
4. 1 – Objetivos do Capítulo
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4. 2 - Introdução
A MF representa uma das mais importantes áreas interdisciplinares de estudos da Ciência e Engenharia dos Materiais e da Engenharia Mecânica. Ela estuda o aparecimento de falhas e defeitos e a sua influência sobre as propriedades mecânicas dos materiais. De uma forma geral, a MF trata da descrição da formação, da propagação e do crescimento de trincas e de superfícies de fratura. O entendimento dos mecanismos de formação e interação das trincas e superfícies de fratura com a microestrutura do material, também é uma das suas principais preocupações. Este entendimento permite compreender as propriedades mecânicas dos materiais e os processos de dissipação de energia durante o crescimento e a propagação das trincas. Através do conhecimento das propriedades dos materiais na presença de defeitos, torna-se possível dar a cada material o uso correto adequando-os conforme a solicitação de suas aplicações. Porque, por meio da MF é possível conhecer além do emprego mecânico destinado aos diferentes materiais, as suas limitações, tanto para aqueles materiais desenvolvidos em laboratórios, como para aqueles utilizados ou fabricados pela indústria de uma forma geral, como prevê as suas limitações em serviço.
É importante lembrar que, a qualidade de um projeto em Engenharia está relacionada à correta escolha dos materiais envolvidos. A aplicação de cada material deve ser adequada às suas propriedades e limitações, a fim de preencher as necessidades e especificações do projeto e manter o controle dos riscos e danos, dentro de uma margem plausível, para que em uma situação crítica, seja possível prever quais são as consequências existentes no caso de falha de um de seus componentes. Com isso é possível evitar futuros acidentes (inclusive com vítimas), ou prejuízos, pelo uso indevido dos materiais além de suas limitações.
O interesse particular de se conhecer os diferentes mecanismos que podem levar um material à falha mecânica, ou a sua ruptura completa, tem a finalidade de otimizar as diversas propriedades mecânicas oferecidas, e fornecer subsídios para o projeto de novos materiais, os quais devem ser capazes de resistir a solicitações com limites superiores aos limites dos materiais já existentes. A modificação das propriedades de um material pode ser feita melhorando-se os mecanismos de tenacificação. A finalidade é proporcionar à peça, ou ao produto, uma resistência mecânica, uma tenacidade, uma durabilidade, e um melhor desempenho, conforme a especificação desejada.
As teorias e os modelos desenvolvidos na Mecânica da Fratura visam descrever as propriedades mecânicas dos materiais na presença de defeitos e conseqüentemente explicar os
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fenômenos ligados às falhas mecânicas, como por exemplo, o processo de dissipação de energia durante o crescimento e a propagação das trincas. Este modelos também procuram relacionar as medidas feitas em ensaios macroscópicos com os efeitos da fratura sobre a microestrutura do material. Com isto é possível saber se um dado material pode, ou não, resistir à solicitação externa desejada.
4. 3 – A História dos Navios Liberty
Esta é a história dos navios “Liberties” da Segunda Guerra Mundial – Estes foram os primeiros navios fabricados com chapas de aço soldadas e produzidos em série. Assim, graças à sua construção soldada, eles puderam ser fabricados numa produção superior à sua destruição pela ação do inimigo. E assim, foram decisivos em manter a Grã-Bretanha durante a guerra abastecida pela América do Norte.
A construção desses navios começou em 1941 e foram fabricados mais de 2700
“Liberties”. Em meados de 1943, começaram a surgir casos de fratura catastrófica. Isto ocorria espontaneamente e subitamente, isto é, sem nenhuma causa óbvia, e acompanhada por reportagens alarmantes publicadas nos principais jornais da época. Ao todo, cerca de 400 navios sofreram algum tipo de trincamento e cerca de 90 apresentaram danos de grandes proporções, incluindo casos em que o processo de fratura foi tão catastrófico que causou a separação do navio em duas partes.
Devido a essa crescente “epidemia” a Secretaria da Marinha Americana criou um Comitê de Investigação para revisar o projeto e os métodos de construção de navios mercantes fabricados com chapas de aço soldadas. Isto marcou o início dos estudos do comportamento à fratura de aços. E em um curto intervalo de tempo conseguiu-se amenizar o problema do colapso catastrófico deste tipo de navio, e a longo prazo, conseguiu-se aumentar os conhecimentos para o entendimento dos mecanismos responsáveis pelo comportamento frágil dos aços. O Comitê citado acima emitiu o seu relatório final em julho de 1946, mas as pesquisas tanto na Grã-Bretanha como nos Estados Unidos da América continuaram e, como conseqüência, forneceram os princípios básicos da ciência, hoje conhecida como “Mecânica da Fratura”.
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4. 4 – Uma Visão Geral da Mecânica da Fratura
A existência de falhas tipo trincas não pode ser excluída em qualquer engenharia de estrutura. Ao mesmo, o aumento na demanda para conservação da energia e material são fatores ditantes que as estruturas a serem projetadas com a menor margem de segurança.
Consequentemente, estimativas quantitativamente precisas ...
Os comportamentos de resistência à falhas de estruturas sujeitas à cargas mecânicas, podem ser tanto do tipo fratura-dominante como escoamento-dominante. Os defeitos são importantes para ambos os tipos de falhas. Mas aquele de importância primária para a fratura difere de uma forma extrema daqueles cuja influência de escoamento e da resistência ao fluxo plástico. Estas diferenças estão ilustradas esquematicamente na Figura - 4.
1.
Para falhas de escoamento-dominante os defeitos significantes são aqueles que tendem a deformar e interromper os planos da rede cristalina, interferindo então com o deslizamento de discordâncias e proporcionando uma resistência a deformação plástica que é essencial para a resistência de metais de alta resistência mecânica. Exemplos de tais defeitos são os átomos substitucionais “fora de tamanho” e os átomos intersticiais, contornos de grão, precipitados coerentes e rede de discordâncias. Grandes defeitos como inclusões, porosidade, superfícies riscadas e pequenas trincas podem influenciar na secção de bearing líquida efetiva da carga, mas de outra forma tem pouco efeito sobre a resistência ao escoamento.
Figura - 4. 1. Tipos de falhas Estruturais
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Para falhas de fratura-dominante, isto é, fratura antes do escoamento geral da secção líquida, a escala de tamanho dos defeitos que são de maior significância é essencialmente macroscópica, desde que a plasticidade geral não é envolvida mas somente os campos de tensão-deformação locais associados com os defeitos. Os pequenos defeitos de rede cristalina relacionados, que controlam a resistência ao fluxo plástico, não influenciam diretamente.
É importante enfatizar o quanto a resistência ao fluxo plástico está relacionada à susceptibilidade dos materiais a fratura.
A Mecânica da Fratura, que é o assunto deste curso, diz respeito à falha de fratura-dominante quase totalmente. O primeiro sucesso da análise de um problema de fratura-dominante foi o trabalho de Griffith em 1920, que considerou o crescimento de trincas frágeis em vidros. Griffith formulou o agora bem conhecido conceito de que uma trinca existente em um material cresce se, portanto a energia total do sistema é abaixada, e ele supôs que existe um simples balanço de energia consistindo de uma diminuição na energia elástica de deformação dentro do corpo tensionado, conforme a trinca se estende, em contrapartida a energia necessária para criar as novas superfícies das trincas. Sua teoria conduz a estimativa da resistência teórica dos sólidos frágeis e também em dá a correta relação entre a resistência a fratura e o tamanho do defeito.
O conceito de Griffith foi primeiro relacionado a fratura frágil de materiais metálicos por Zener e Hollman em 1944. Tão logo, Irwin apontou que o balanço de energia tipo Griffith deve estar entre
(1) a energia de deformação armazenada
(2) a energia de superfície mais o trabalho realizado na deformação plástica.
Irwin também reconheceu que para materiais relativamente dúcteis a energia requerida para formar novas superfícies de trincas é geralmente insignificante comparado ao trabalho realizado na deformação plástica. Ele definiu uma propriedade G do material como a energia total absorvida durante o trincamento, por aumento na unidade de comprimento e por unidade de espessura. G é chamada de “taxa de energia elástica liberada”
ou “força promotora do trincamento frágil”.
Na metade da década de 50 Irwin contribuiu com outro avanço maior, mostrando que a abordagem da energia é equivalente a abordagem do fator de Intensidade de tensão (K), de acordo com a qual a fratura ocorre quando uma distribuição de tensão crítica, KC, na frente da ponta da trinca é atingida. A propriedade do material que governa a fratura pode
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portanto ser estabelecida como um fator de intensidade de tensão crítico, KC, ou em termos da energia como um valor crítico, GC.
A demonstração da equivalência entre G e K fornece a base para o desenvolvimento da disciplina da Mecânica da Fratura Elástica Linear. Isto porque a forma da distribuição da tensão ao redor e próximo à ponta de uma trinca é sempre a mesma.
Então testes sobre formas adequadas e amostras carregadas para determinar KC torna possível determinar quais falhas são toleráveis em uma estrutura real sob dadas condições.
Além disso, materiais podem ser comparados conforme sua utilidade em situações onde a fratura é possível. Também tem sido descoberto que a sensibilidade de estruturas a trincamentos subcríticos, tais como crescimento de trinca por fadiga e tensão de corrosão podem, de alguma forma, ser predita com base nos testes usando a abordagem do fator de intensidade de tensão.
Os primóridios da Mecânica da Fratura Elasto-Plástica (EPFM) pode ser traçado com justiça ... no desenvolvimento da Mecânica da Fratura Elástica Linear, notavelmente com os trabalhos de Well sobre deslocamento de abertura de trinca (DAT), que foi publicado em 1961. Contudo, a grande complexidade dos problemas de análises tem necessáriamente levado a algo que reteve o progresso. A MFEP é ainda uma disciplina em grande desenvolvimento.
4.3.1 – O Significado da Mecânica da Fratura
No século dezenove a Revolução Industrial resultou em um enorme aumento no uso de metais (principalmente ferro e aço) para aplicações estruturais. Infelizmente, existiu também muitos acidentes, com perda de vidas, devido a falhas destas estruturas. Em particular, houve numerosos acidentes envolvendo explosões em Caldeiras de Vapor e equipamentos de ferrovias.
Alguns destes acidentes foram devido a designes deficientes, mas isto foi também gradualmente descoberto que as deficências nos materiais na forma de falhas pré-existentes poderiam iniciar trincamento e fratura. Prevenções de tais falhas por melhores métodos de produção reduziram o número de falhas a níveis mais aceitáveis.
Uma nova era de estruturas propensas a acidentes foi iniciada pelo advento de designes totalmente soldados, notavelmente os navios Liberty e tanques T-2 da 2ª guerra mundial. Cerca de 2500 navios Liberty, construídos durante a guerra, 145 quebraram em dois
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e quase 700 experimentaram fraturas sérias. Muitas pontes e outras estruturas também falharam. As falhas frequentemente ocorreram sob tensões muito baixas, por exemplo, mesmo quando um navio estava aportado, e esta anomalia levou a investigações extensivas as quais revelaram que as fraturas forma frágeis e que as falhas e concentrações de tensões foram responsáveis. Também foi descoberto que a fratura frágil nos tipos de aços usados foi promovida por baixas temperaturas. Isto é mostrado na Figura - 4. 2, acima de uma certa temperatura de transição os aços comportam-se de uma forma dúctil e a energia requerida para a fratura aumenta grandemente.
Figura - 4. 2. Esquema do efeito geral da temperatura sobre a resistência a fratura de metais estruturais.
Os procedimentos de fabricação e designes correntes podem prever a fratura intrinsecamente frágil de estruturas de aço soldadas assegurando que o material tenha uma temperatura de transição adequavelmente baixa e que o processo de soldagem não aumente esta condição. Contudo, a fragilidade induzida por serviço, como por exemplo efeitos de irradiação em containers de pressão nuclear e corrosão por fadiga em plataformas a pouca distância da costa, permanecem uma causa para se pensar a respeito.
Olhando a situação presente pode ser visto da Figura - 4. 3 que desde a 2ª guerra mundial o uso de materiais de alta resistência para aplicações estruturais tem sido grandemente aumentada.
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Figura - 4. 3. Introdução de materiais de alta resistência para aplicações estruturais.
Estes materiais são frequentementes selecionados para obter pesos econômicos.
Estruturas de aeronaves é um exemplo óbvio. Pesos econômicos adicionais têm vindo a partir de refinamento em análise de tensões, que tem designe adequados levados a aumentar.
Contudo, não foi reconhecido até o fim do ano de 1950 que, embora estes materiais não são intrinsecamente frágeis, a energia requerida para a fratura é comparativamente baixa, como mostra a s Fig.. A possibilidade, e realmente a ocorrência, desta baixa energia de fratura em materiais de alta resistência estimulou o moderno desenvolvimento da Mecânica da Fratura.
O objetivo da mecânica da fratura é fornecer respostas quantitativas a problemas específicos concernente a trincas em estruturas. Como uma ilustração, considere uma estrutura contendo falhas pré-existentes e/ou nas quais as trincas se iniciam em serviço. As trincas podem crescer com o tempo devido a várias causas (por exemplo, fadiga, tensão, corrosão, fluência) e geralmente crescerá progressivamente mais rápida, Figura - 4. 4a.
A resistência residual da estrutura, que é a resistência de falha como uma função do tamanho da trinca, diminuirá com o aumento no tamanho da trinca, como mostrado na Figura - 4. 4b. Depois de um tempo a resistência residual torna-se tão baixa que a estrutura pode falhar em serviço.
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4. 5 - O que estuda a Mecânica da Fratura e a sua importância tecnológica na Engenharia dos Materiais
A mecânica da fratura trata da previsão da vida mecânica dos componentes mecânicos e estruturas sólidas. Existem basicamente dois tipos de estruturas e componentes estudados pela MFC. O primeiro tipo, é aquele constituído de materiais cujas falhas são dominadas pela fratura e o segundo tipo, é aquele constituído de materiais cujas falhas são dominadas pela fluência ou escoamento, conforme mostra a Tabela - IV. 1.
A MFC possui aplicações tecnológicas e científicas, das mais diversas, dentre as quais destaca-se alguns exemplos:
- chips eletrônicos, elementos de estrutura, elementos de máquinas, pontes, aviões, navios, vasos, tanques, caldeiras, autoclaves utilizados na armazenagem de fluidos sob pressão, para acionamento de máquinas a vapor, etc. Em fim, todo tipo de elemento, objeto, ou estrutura, soldada ou rebitada, que pode ser quebrada ou trincada.
Tabela - IV. 1: Tipos de estruturas e componentes comumentes estudadas pela MFC
Falhas de Estruturas e Componentes Materiais Frágeis: dominados pela
fratura ou fratura-dominante
Materiais Dúcteis: dominados pelo escoamento ou escoamento-dominante - A plasticidade é altamente localizada
- Os tipos de defeitos que significantes controlam a resistência à fratura são essencialmente macroscópicos.
- Introdução de defeitos no material Ex: falhas e defeitos em soldas,
porosidades, defeitos superfíciais, trincas nucleadas por tensões, fadiga ou corrosão (com perda de massa), dobras em
forjamento
- A plasticidade é generalizada
- Os tipos de defeitos significantes que
controlam a resistência ao escoamento plástico são essencialmente microscópicos.
- Introdução de defeitos no material Ex: defeitos intersticiais, contorno de grão, precipitados, redes de discordâncias.
Na maioria das aplicações, os materiais são submetidos a esforços mecânicos monotônicos contínuos e lentos (estáveis), rápidos (instáveis) ou cíclicos, conforme mostra a Figura - 4. 4. Com isto, eles podem apresentar o fenômeno da fratura, lenta ou quase-estática, da fratura rápida ou catastrófica e da fadiga, respectivamente. Por esta razão, o estudo da fratura compreende, de uma forma geral, basicamente quatro áreas: (i) a fratura estável, (ii) a fratura instável ou a dinâmica da fratura, (iii) a fadiga e (iv) o estudo da fractografia.
(i) O estudo da fratura estável descreve o processo de crescimento de trincas em
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situações próximas ao equilíbrio, ou seja, em situações em que as taxas de deformação não dependem da velocidade de crescimento dessas trincas.
(ii) A dinâmica da fratura procura descrever o processo de formação crescimento e propagação de trincas que são produzidas por altas taxas de deformação, onde a sua velocidade de crescimento influencia os valores das grandezas energéticas, (caracterizando um fenômeno não-linear). A dinâmica da fratura, ou a fratura produzida em condições dinâmicas de instabilidade, por ser um fenômeno não-linear, apresenta situações de interesse para a Física e para a Engenharia de Materiais. Para a Física por se tratar de um exemplo de sistema instável, em processo de dissipação de energia. O entendimento deste processo de dissipação, pode contribuir para o estudo e a compreensão de fenômenos análogos, de complexidade ainda maior, como por exemplo, as avalanches, os terremotos e o movimento das placas tectônicas da crosta terrestre. Para a Engenharia de Materiais porque a compreensão deste fenômeno permite a otimização dos processos industriais e o projeto de novos materiais.
(iii) O estudo da fadiga leva em conta o processo de propagação de trincas pelo acúmulo de defeitos e trincas no material em função da velocidade, do tempo e da freqüência de oscilação dos carregamentos cíclicos.
(iv) A fractografia é uma parte da MF que procura estudar o fenômeno do ponto de vista mesoscópico. Ela envolve as três áreas citadas anteriormente e procura encontrar explicações para o processo de fratura na microestrutura do material, conforme será descrito, posteriormente, no Capítulo – IV.
A mecânica da fratura procura estudar o comportamento mecânico dos materiais e sua propriedades frente as diferentes condições de carregamento ( Figura - 4. 4) e geometrias de ensaio.
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Figura - 4. 4. Diagramas típicos de carga x deslocamento. a) trincamento estável com diminuição da carga b) trincamento estável com carga constante c) trincamento estável com aumento da carga d) trincamento instável com fratura catastrófica e) trincamento com carga cíclica.
Considere agora os diversos tipos de ensaios onde se obtém os gráficos de carga X (em Newtons) pela deflexão u (em milímetros) conforme mostra a Figura - 4. 4.
Os comportamentos representados nas Figura - 4. 4a) a Figura - 4. 4d) podem ser estudados a partir de uma montagem conforme mostrado na Figura - 5. 14.
Com respeito a Figura - 4. 4 e dentro destes estudos a Mecânica da Fratura deveria tentar fornecer respostas quantitativas para as seguintes perguntas:
1) Qual é a resistência residual do componente, ou estrutura, em função do tamanho da trinca?
2) Qual é o tamanho da trinca, que pode ser tolerada, sob um dado serviço de carregamento de forças externas? Isto é, qual é o tamanho máximo permissível da trinca?
3) Quão longo é levada uma trinca a crescer a partir de um certo tamanho inicial, por exemplo, o tamanho mínimo detectável de trinca, para o tamanho máximo permissível de trinca.
4) Qual é a vida média de serviço de uma estrutura quando um certo tamanho de falha pré- existente (por exemplo: defeito de fabricação) é suposto existir?
5) Qual é a velocidade de crescimento que uma trinca apresenta em função do meio ou das
41 condições de uso do material?
6) Qual é a taxa de crescimento que uma trinca apresenta por carregamento cíclicos em função do meio e das condições de uso do material
7) Finalmente, quanto tempo leva para a trinca alcançar um tamanho crítico, isto é, qual é a vida útil de um componente ou estrutura?
8) Durante o período disponível para a detecção de uma trinca quão frequentemente deveria a estrutura ser inspecionada por ... trincas?
Este curso é intencionado mostrar como os conceitos da mecânica da fratura podem ser aplicados tal que estas questões podem ser respondidas.
Nas secções remanescentes 1.4-1.10 deste capítulo introdutório uma visão geral dos conceitos básicos e aplicações da Mecânica da Fratura Elástica Linear são dadas em preparação para tratamentos mais detalhado em capítulos subseqüentes.
4. 6 - Revisão bibliográfica
A partir de agora será apresentado uma análise comparativa entre a Mecânica da Fratura Estável (ou Quase-Estática) Clássica (MFEC) e a Teoria Dinâmica da Fratura Instável (ou Catastrófica) Clássica (TDFIC)
4.5.1 - A Mecânica da Fratura Estável (ou Quase-Estática) Clássica
Griffith [1] e Irwin [2] desenvolveram os primeiros estudos teóricos e experimentais da fratura estável, enquanto que Mott [2], Dulaney e Brace [4] são apontados como os precursores dos estudos da fratura dinâmica ou instável, e são considerados como os responsáveis pela visão moderna sobre o assunto, que persiste até o presente.
Desde que Griffith em 1920 [1] quebrou bastões de vidro em seu laboratório na Inglaterra e percebeu que o crescimento de falhas somente é possível quando a energia liberada pelo avanço de uma trinca é maior do que a energia necessária para criar as novas superfícies [1]. A energia e a questão de como ela é dissipada, é tem sido no centro das preocupações para o desenvolvimento quantitativo da mecânica da fratura.
Em 1947 Mott [3] percebeu que a inclusão de um termo de energia cinética no formalismo de Griffith poderia estender a abordagem de Griffith para energia de forma a incluir a dinâmica da fratura [2]. Ele achou que a velocidade de uma trinca deveria aproximar- se assintoticamente de uma velocidade terminal. Em 1957 Stroh [3] propôs que esta
42
velocidade terminal deveria ser igual à velocidade das ondas de Rayleigh no material, resultado que já estava implícito nos cálculos de já antecipado por Yoffe em 1951 [44]. Em 1960 Dulaney e Brace [4] corrigiram os cálculos efetuados por Mott para a dependência da velocidade da trinca com o seu comprimento. Apesar do tremendo aumento na sofisticação matemática da mecânica da fratura dinâmica, durante os 60 anos que se seguiram, o argumento de escalonamento de Mott, permaneceu essencialmente inalterado, como é evidenciado por Freund [45]. Contudo, continuou havendo uma dificuldade Um problema que ainda se apresentava [46,47] era o fato de nunca se observar experimentalmente trincas em materiais amorfos e frágeis que atingissem a velocidade limite das ondas de Rayleigh, conforme previsto pela teoria. Gilman e Hull [48-51], mostraram que toda dificuldade em se fazer esta constação, devido à complexidade do fenômeno, era mais aparente do que real. Pois no caso de trincas que se propagam ao longo de planos de clivagem de cristais frágeis, ou ao longo de interfaces fracas, observa-se que a velocidade de crescimento se aproxima à velocidade limiar das ondas de Rayleigh quase é atingida [48-51]. Isto é facilmente explicado pelo fato de que nestes casos a energia liberada por unidade comprimento, durante o crescimento da trinca, é constante, conforme mostrado nas previsões feitas por Hall em 1953 [51], contrário ao que acontece em outras observações efetuadas em materiais amorfos e polímeros frágeis. Nestes materiais, esta energia tende a aumentar com a velocidade de crescimento, em virtude do surgimento de microtrincas e/ou discordâncias [46,52-55]. Além disto, Irwin et al [25] mostraram que em materiais tais como: plásticos frágeis de PMMA, Homalito 100, etc, as trincas não são bem definidas como nos exemplos anteriores, mas surgem ramificações que se originam na trinca principal e se desvanecem no seio do material, formando um certo angulo em relação a trinca principal [31-34]. Posteriormente, Doyle, Ravi- Chandar e Knaus [56, 57] mostraram que o aumento de energia está associado a formação destas ramificações. Por outro lado, nenhuma teoria da dinamica da fratura era capaz de fazer qualquer predição sobre a velocidade de uma trinca sem fazer uma presuposição sobre a energia por unidade de comprimento necessária para uma trinca se propagar. A maioria das equações dinâmicas supõe que esta quantidade é uma constante [31]. Contudo, os resultados experimentais indicam que esta suposição não é correta, ao contrário, a energia de fratura tende a aumentar com a velocidade. Por um longo tempo tem sido mostrado que trincas em polímeros frágeis com altos fatores de intensidade de tensão tendem a se ramificar, em ramos que se desvanecem subsequentemente no seio do material, deixando atrás uma série de curtas micro-trincas que formam um certo angulo em relação à trinca principal [26, 32-35]. Doyle
43
[36] e Ravi-Chandar e Knauss [37] mostraram que em plásticos frágeis de PMMA e Homalito-100, o aumento na energia de fratura está relacionado à geração de microtrincas logo abaixo da superfície de fratura.
Destas considerações concluiu-se que um dos problemas fundamentais da dinâmica da fratura é a elucidação da causa do aumento abrupto no consumo da energia, após atingida a velocidade crítica em que sugem as microtrincas. Ou, por que a velocidade média de crescimento pára de aumentar quando o fluxo de energia para a ponta da trinca exede um limiar crítico. Isto foi evidenciado em por meio de simulações em computador por Liu e Marder [58-66]. Nestas simulações reproduziram aspectos do crescimento da trinca observados em experimentos efetuados em laboratório., além do esperado, pois previam Inclusive o fenômeno do aprisionamento da trinca na rede [67-69]. Entretanto este resultado apenas é aparente (ou enganoso), pois conforme demonstrado por Hauch [70] este fenômeno é característico da tri-dimensionalidade, não podendo portanto surgir na simulação bi- dimensional. Este fato é um alerta ao excesso de confiança mostrado por alguns pesquisadores nas técnicas de simulação em computador.
Uma tentativa para responder a esta questão foi feita por Liu e Marder [37-42 ] no contexto do cálculo do crescimento de trincas em redes cristalinas. Usando modelos analiticamente solúveis, bem como em extensas simulações em computadores, mostrou-se que, quando o fluxo para a ponta da trinca ultrapassa um limiar crítico, surge uma instabilidade que aparece algumas vezes acompanhada de micro-trincas e outras vezes acompanhada de discordâncias [38-43]. Algumas das imagens produzidas por estas simulações são semelhantes às imagens obtidas experimentalmente para o PMMA passado o seu limiar de instabilidade [44, 45]. Os cálculos na escala atômica fizeram predições adicionais com melhor precisão. O mais impressionante é que segundo estes cálculos, deveria existir uma faixa de velocidade, rigorosamente entre 0% e 20% da velocidade das ondas Rayleigh, na qual um movimento estácionario de trinca seria impossível [40, 41], um processo também conhecido como aprisionamento na rede [46-48]. Hauch [ ] mostrou experimentamente, usando a técnica da queda do potencial elétrico que, para materiais cristalinos, este é um efeito tridimensional, e que este fenômeno do aprisionamento da rede não existe para materiais amorfos.
Um outro tratamento teórico de interesse é o apresentado por Runde em 1994 [71]
quando tratou do problema da instabilidade das trincas e da dissipação da energia. Utilizando um modelo de meio contínuo, mostrou que esta dissipação de energia por uma trinca é
44
semelhante à aquela que se verifica num flúido viscoso. Segundo este modelo, A instabilidade dinâmica está relacionada a um mecanismo de dissipação de energia, que ocorre em um regime caracterizado por um número de Reynolds suficientemente grande, de forma análoga ao que acontece em diversas situações na mecânica dos fluidos.
Recentemente Slepyan em 1993 [72] propôs um Princípio de Máxima Dissipação de Energia, para explicar a relação entre a inatingibilidade da velocidade das ondas Rayleigh, a instabilidade e a formação dos padrões ramificados (microtrincas) na de dissipação de energia. Esta idéia, da existência de um princípio físico geral capaz de explicar estes fenômenos existentes na fratura, rupturas dielétricas, etc. é de consenso entre outros pesquisadores do assunto [73], e é uma estratégia que pretendemos adotar.
Desta forma, as discrepâncias entre teoria e experimentos, que levam em conta a velocidade de crescimento de uma trinca, apenas foram explicadas por equações fenomenológicas para a dissipação. Até o presente momento nenhum mecanismo satisfatório para a dissipação foi proposto. O fenômeno da instabilidade de crescimento de trincas continua sendo um fenômeno obscuro, e segue-se a pesquisa procurando-se conhecer mais sobre os numerosos mecanismos de dissipação.
A MFEC tem ampliado os horizontes da descrição da fratura em materiais por meio da descrição analítica do fenômeno da fratura e da simulação computacional que se estendem desde a descrição atômica até a descrição macroscópica. Contudo, na forma como é usada comumente na Engenharia de Materiais ela trata da descrição da fratura, da propagação e do crescimento de trincas sob os aspectos de tipos de entalhes, condições de carregamento, campo de tensões, distribuição de defeitos no material, etc. É importante observar que esta área da ciência utiliza basicamente duas abordagems clássicas, que se consolidaram com o tempo e com os resultados experimentais. Estas abordagens são: a energética originalmente proposta por GRIFFITH [1920] e a teoria elástica linear clássica desenvolvida por IRWIN [1957] e WESTERGAARD [1989] e outros [OROWAN 1948; MUSKHELISVILI 1954;
BARENBLATT 1962]. Uma relação entre elas é feita pela integral G ou J (para materiais frágeis ou dúcteis respectivamente) desenvolvida por RICE [1968], que aparece tanto no formalismo da teoria elástica linear clássica, como no balanço energético de Griffith [GRIFFITH 1920; ATKINS 1985]. Sob este aspecto, a MFC está fundamentada nas grandezas que relacionam a área projetada(1) da fratura com as grandezas energéticas tais como: energia
1 A introdução da teoria fractal permite a consideração da área real da fratura ao invés da projetada, tornando a abordagem do problema mais autêntica, conforme será visto ao longo deste trabalho.
45
ou trabalho total de fratura, wof, energia efetiva de superfície, eff, taxa de liberação da energia elástica, G ou J, fator de intensidade de tensão, KI,II,III, (I, II, III, são os três modos de carregamento fundamentais) etc. Estas grandezas são admitidas como sendo independentes da velocidade de crescimento da trinca. Portanto, estas abordagens situam-se no campo da fratura elástica linear, em regime de fratura estável ou quase-estática.
Uma terceira abordagem da MFEC se encontra no campo das simulações em computador feitas por métodos numéricos de diferenças finitas, elementos finitos, etc.
[ANDERSON 1995] que não deixa de ser um modelo mesoscópico. Existem também modelagens computacionais na escala atômica ou molecular (microscópica).
4.5.2 - A Teoria Dinâmica da Fratura Instável (ou Catastrófica) Clássica
Em primeiro lugar é preciso distinguir a Teoria Dinâmica da Fratura Instável (ou Catastrófica) Clássica- TDFIC daquela que é estudada através dos ensaios cíclicos de fadiga.
A TDFIC inclui altas taxas de deformação e também a influência da velocidade de crescimento da trinca no cálculo das grandezas energéticas clássicas, estendidas para o caso dinâmico, sendo o impacto e a possível fragmentação um caso limite deste [KANNINEN 1985; ÅSTRÖM 1977; HORNIG 1996]. Tal abordagem, se encontra descrita nos livros textos de KANNINEN [1985] e de FREUND [1990].
Estabelecendo-se um paralelismo entre a MFEC e a TDFIC (vide o quadro resumo na Tabela - II.1), observa-se a existência de duas abordagens para a dinâmica da fratura, análogas àquelas mencionadas na secção - 2.2.1. A primeira, é aquela descrita por modelos elastodinâmicos não-lineares, também chamada de teoria elástica não-linear. Nela a velocidade da trinca é levada em consideração, sendo uma extensão da teoria elástica linear desenvolvida por WESTERGAARD [1939]. Trabalhos importantes nesta área, relacionados à dinâmica da fratura, tem sido desenvolvidos por IRWIN [1948] e FREUND [1972a, 1972b, 1973, 1974] e FLETCHER [1975]. A segunda, é a abordagem termodinâmica, que corresponde paralelamente a uma extensão dos trabalhos de Griffith [ANDERSON 1995], feita por MOTT [1947], DULANEY e BRACE [1960], CHEREPANOV [1967], NIKOLAEVSKIJ [1982, 1987] e outros. Extensões análogas, àquela mencionada na secção - 2.2.1, da integral G ou J de Rice, que conecta estas duas abordagens citadas acima, isto é, a elastodinâmica e a termodinâmica, para o caso de crescimento instável, também se encontram registradas na literatura [KANNINEN 1985; FREUND 1990; ANDERSON 1995]. Houveram
46
diferentes tentativas de se estender a integral G ou J de Eshelby-Rice para o caso elastodinâmico contudo, a mais geral e portanto a mais importante extensão da integral G ou J [RICE 1968; KANNINEN 1985, ANDERSON 1995] para o caso de fratura dinâmica tem sido feita por FREUND [1972 a, 1972b, 1973, 1974, 1990] e FLETCHER [1975].
Tabela - IV. 1. Quadro comparativo da mecânica da fratura quase-estática e dinâmica com os seus principais avanços matemáticos. (Campos não divididos são comuns às duas abordagens)
MECÂNICA DA FRATURA Fratura Quase-estática ou Estável
(MFEC)
Dinâmica da Fratura ou Instável (TDFIC)
Fractografia e Caracterização Fractal
Teoria Elástica Linear Teoria Elastodinâmica Não-Linear Integral G ou J de Eshelby-Rice
Teoria Termodinâmica de Griffith Teoria Termodinâmica de Nicolaesvsky Critério de Instabilidade de Nguyen-Slepyan
Métodos de Simulações em Computador: Numérica por Diferenças Finitas, Atomística e Dinâmica Molecular
Teoria dos Sistemas Não-Lineares e Teoria do Caos Deterministico
De forma análoga a secção - 2.2.1, a TDFIC está fundamentada nas grandezas que relacionam a área projetada da fratura com as grandezas energéticas, (estendidas para o caso dinâmico), tais como, K(I, II, III) D, GD, etc. Neste caso porém, estas grandezas, possuem uma forte depedência com a velocidade de crescimento da trinca. A TDFIC portanto, envolve altas taxas de liberação de energia elástica armazenada e se estende num âmbito entre a fratura quase-estática e o estudo de impacto propriamente dito.
Continuando o paralelismo com a MFEC, uma terceira abordagem dinâmica para o processo de fratura, se encontra no campo das modernas simulações em computador [MARDER 1993a e 1993b, 1994], feita pelos modelos atomísticos [ABRAHAM 1994;
GUMBSCH 1995] e de Dinâmica Molecular [GUMBSCH 1996 e 1997]. Esta abordagem, leva em conta os aspectos físicos de primeiros princípios existentes na fratura (considerações de interação em escala atômica ou molecular). Ela se preocupa em descrever tanto o processo de fratura estático quanto dinâmico. Considera-se juntamente com a fratura o aparecimento de vários fenômenos decorrentes deste processo, tais como, o movimento de discordâncias, instabilidades dinâmicas, emissão sonora, emissão de radiação, etc. Tais fenômenos tem sido atualmente estudados dentro do âmbito da Dinâmica Não-Linear e da Teoria do Caos [MOHAN 1994]. Neste sentido o processo de fratura tem sido tratado de forma análoga aos Sistemas Dinâmicos Não-Lineares da Física [TAN 1995].
47
Percebe-se nos parágrafos anteriores a descrição paralela de três tipos de abordagem diferentes da fratura, tanto para o caso estático como dinâmico, em que uma busca complementar o conhecimento da outra (vide o quadro da Tabela - II.1 acima). Portanto um estudo moderno da fratura deve envolver aspectos interdisciplinares entre a Física e a Engenharia de Materiais.
48
Capítulo - V
INTRODUÇÃO A TEORIA CLÁSSICA DA MECÂNICA DA FRATURA
RESUMO
5. 1 - Introdução
49
5. 2 – Teoria Microscópica da Resistência dos Materiais
Nós agora estamos interessados em saber quão forte e resistente é um material? E quais os principais fatores que influenciam fundamentalmente nesta resistência, ou seja, a resistência mecânica de um material é função de quais parâmetros?
Podemos responder a primeira pergunta acima dizendo que um material será tão forte quanto for forte e resistente as suas ligações químicas entre os átomos ou moléculas de sua estrutura. Desta forma nós recorremos a teoria das ligações químicas para descrever a resistência teórica dos materiais.
Nós sabemos da Física dos Sólidos que os componentes de um dado material são unidos por uma força de coesão resultante de uma parte atrativa e outra repulsiva entre os seus átomos ou moléculas da seguinte forma:
2
4 0 n
repulsão atração
e B
U r r
,
(5. 1)
onde, U é a energia total de coesão, e é a carga eletrônica, r, é a distância entre os íons, 0 é permitividade elétrica do vácuo, B é uma constante de repulsão e n10 é o expoente de repulsão.
Graficamente esta energia U é dada por:
Figura - 5. 1. Gráfico da energia potencial de coesão das partículas estruturais de um material.
Através desta curva explicaremos a expansão térmica e o ponto de fusão dos
50
materiais. Porque o poço de energia com altura Emin está relacionado com a energia de fusão do material. Pois quanto mais fundo o poço maior será o ponto de fusão do material. Usando a relação de Boltzmann para os três graus de liberdade de vibração dos átomos ou molécula de um material sólido nós temos 1
2kT para cada grau de liberdade. Portanto,
min
3
2 fusão
E kT
, (5. 2)
Portanto, uma medida brusca da temperatura de fusão de um material é dada pela altura do poço de energia.
2 min fusão 3 T E
K
, (5. 3)
onde, k1,308 10 23J K/ é a constante de Boltzmann.
Como calcular a força de ligação?
Mas a força de coesão das partículas estruturais esta relacionada com a energia potencial de coesão mda seguinte forma:
F U
, (5. 4)
ou
F dU
dr
, (5. 5)
logo derivando a expressão ( ) temos:
2
2 1
4 0 n
e nB
U r r
, (5. 6)
Graficando esta expressão nós temos:
51
Figura - 5. 2. Gráfico da força de coesão das partículas estruturais de um material.
Para efeito de ensaios mecânicos nós devemos graficar não a força versus distância interatômica ou intermoleculares, mas a tensão que é força por unidade de área versus distância interatômica ou intermolecular. Pois estamos interessados em comparar a teoria fundamental das ligações químicas com a fenomenologia da causa efeito e efeito.
Num ensaio de tração existe uma força tal que aplicada ao material é suficiente para romper as ligações químicas o valor desta força está relacionado com a resistência do material e ela mede exatamente a tensão de ruptura.
Teoricamente os materiais não se rompem por compressão pura, mas eles se rompem por cisalhamento que mudam a direção da força de compressão para uma direção favorável a ruptura.
52
5.2.1 – Tensão de Ruptura dos Materiais
É a tensão T de um corpo necessário para separá-lo em duas partes, ou seja, de forma a romper todas as ligações químicas que as une.
Figura - 5. 3. Gráfico da tensão de coesão das partículas estruturais de um material.
Figura - 5. 4.
53
5.2.2 – Resitência Teórica dos Materiais Cerâmicos
Baseado no que foi descrito até aqui, nós podemos perguntar
Qual é a resistência teórica dos materiais?
É possível calcular a resistência teórica fazendo uso de uma aproximação matemática sobre o gráfico da
Figura - 5. 5. Modelo aproximado para o gráfico da tensão versus distância interestrutural..
Esta curva pode ser associada com a função seno para podermos dar um modelamento matemático da resistência dos materiais e calcular qual é a tensão de ruptura.
Neste modelo nós aproximaremos a tensão
r por uma função seno. Mas nós sabemos que um material se rompe por tração ou cisalhamento e não por compressão, porque neste último caso ele se deforma sem romper. Logo devemos graficar em vez de r. Sendo que a nível microscópico é dado por:0 0
r r
r
, (5. 7)
54
Figura - 5. 6. Gráfico de para o modelo senoidal.
Considerando um corpo de área transversal unitária, a força de coesão entre dois planos varia com a distância interatômica, conforme mostra a . Parate desta curva pode ser aproximada pela relação:
0
sen / 2
coesão
r r
, (5. 8)
ou
0
sen 2
coesão
r r
, (5. 9)
Usando ( ) em ( ) temos que:
2 0 coesãosen
r
, (5. 10)
chamando de:
0 0
x r r r r
, (5. 11)
a distância a partir da posição de equilíbrio das partículas estruturais do material. Nós temos que:
para:
55
0 0
/ 4
/ 2 0
coesão
x x x
, (5. 12)
No caso de pequenos deslocamentos x em torno da posição de equilíbrio r0, isto é, xr0 nós temos que a parte inicial da curva válida a seguinte aproximação.
0 0
2 2
sen r r
, (5. 13)
Portanto, a expressão ( ) fica:
2 0 coesão
r
, (5. 14)
chamando de E0 o módulo elástico do material como sendo a grandeza
0 0
2
coesão
E r
, (5. 15)
A expressão ( ) é a expressào da Lei de Hooke onde temos:
E0
, (5. 16)
ou
0 0
E r
r
, (5. 17)
O que corresponde a aproximar a curva na parte inicial da Fig por uma reta para pequenos deslocamentos x em torno da posição de equilíbrio r0
56
Figura - 5. 7. Aproximação da parte inicial da curva pela Lei de Hooke.
0 0
0
r r
E r
, (5. 18)
Observe que se não fosse feito a aproximação o módulo elástico E0 definido pela lei de Hooke não seria constante e dependeria do deslocamento da seguinte forma.
Calculando E
pela tangente a cada ponto da curva isto é pela derivada em relação da expressão ( ):
2 0 coesãocos 2 0r r
E d
d
, (5. 19)
ou
0cos 0t
E E E
, (5. 20)
onde E0 corresponde a expressão ( ) isto é:
0 0
2
coesão
E r
, (5. 21)
Mas que ainda assim não corresponderia a uma expressão exata do que acontrece na realidade com os materiais, pois a curva de tensão x deformação é muito diferente de ( ) para deslocamentos muito grandes conforme mostra a
57
Figura - 5. 8. Curvas de tensão deformação para um material frágil e dúctil.
58
5. 3 – Critérios Fenomenológicos de Fratura
Vejamos agora como se comporta o rompimento de um corpo com a presença de trincas. Porque existe esta diferença entre o valor da resistência teórica experimental.
5.3.1 - Estudo Fenomenológico das Trincas
Considere dois corpos cilíndricos idênticos A e B sujeitos ambos a uma mesma solicitação de tração . Supondo que o corpo A possui secção transversal de área S e o corpo B possuem a mesma secção transversal, porém com um entalhe ou trinca na metade do seu comprimento, rodeando todo o corpo de formato cilíndrico, conforme mostra a Figura - 5. 9.
Figura - 5. 9. Ensaio de Tração em dois corpos idênticos a) sem entalhe ou trinca b) com entalhe ou trinca.
Nesta figura as tensões de ruptura dos mcorpos A e B são respectivamente A e B. Nós queremos saber se A é igual a B, porque a redução da área da secção transversal do corpo de prova B implica em uma redução proporcional na força necessária para romper o material?
Nós sabemos que a tensão é dada por:
F
S
, (5. 22)
Seja A a resisatência do corpo A dada por:
A A
A
F
S
, (5. 23)
onde FA é a força necessária para romper o corpo A e SA S é a área do corpo A sob
59 solicitação.
Seja B a resisatência do corpo A dada por:
B B
B
F
S
, (5. 24)
onde FB é a força necessária para romper o corpo B e SB S é a área do corpo A sob solicitação.
A princípio se poderia pensar que a força necessária para romper o corpo A é maior do que a força necessária para romper o corpo B. Pois sendo as áreas sob solicitação diferentes SA SB, na mesma proporção nós teríamos que B B, e, portanto a resistência do corpo não dependeria das suas condições físicas (sob entalhe ou não). Mas isto não é verdade, pois a força necessária para romper o corpo A é maior do que a força necessária para romper o corpo B, porém o entalhe no corpo B reduz a energia que deve ser empregada para romper este corpo, por causa dele algumas ligações químicas já foram quebradas e alguma energia de superfície já foi liberada na formação do entalhe. Portanto, a energia que ainda está contida no corpo A é maior do que a que está contida no corpo B.
A B
U U
, (5. 25)
mas na região de ruptura podemos escrever:
A A A
U V
, (5. 26)
e
B B B
U V
, (5. 27)
os volumes VA e VB são considerados iguais pois eles são volumes aparentes e não se faz distinção entre os corpos A e B a não ser pelas trincas. Portanto, substituindo ( ) e ( ) nem ( ) temos:
AVA AVB
, (5. 28)
Então
A B
, (5. 29)
Como as tensões são uma medida da densidade de energia, nós podemos dizer que
60
para a ruptura o corpo A precisa-se concentrar mais energia por unidade de volume do que para o corpo B. Como os corpos são do mesmo material nós podemos concluir que já existe um efeito latente de concentração de energia no corpo B para compensar a diferença entre os valores de A e B. Pois o valor de A corresponde ao que seria o valor teórico da resistência do corpo B.
Este efeito de concentração de energia se dá pela força aplicada e pela área atravessada por esta força no ponto de ruptura do corpo. Portanto, nós podemos dizer que o efeito de concentração latente de energia no corpo B se dá pela concentração das linhas de força na área do entalhe sob tração conforme mostra a Fig.
Figura - 5. 10. Trincas ou entalhe atuando como concentradores de tensão.
Pois para uma mesma força F aplicada igualmente nos dois corpos a tensão é maior para o corpo B na região do entalhe. Fazendo com que se necessite de menos energia para romper o corpo B na quela região do que o corpo A, conforme já foi visto antes. Desta forma nós podemos dizer que na região considerada:
A B
, (5. 30)
devido aos concentradores de tensão na broda do entalhe. Pois as trincas, os entalhes e os cantos vivos atuam ou funcionam como concentradores de tensão, conforme mostra a Fig.
61
5.3.2 - Critério de Fratura dos Materiais
62
5.3.3 - O Campo de Tensão ao Redor de uma Trinca Elíptica
Figura - 5. 11. Campos de tensão em torno de uma trinca elíptica, usado na descrição do modelo de Inglis.
63
5. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade
A teoria da elasticidade estuda o comportamento mecânico de um material em relação a solicitação de carga ou força externa, sob o ponto de vista da deformação elástica reversível, até o limiar da fluência ou ruptura. Esta teoria possui seu suporte fundamental na lei de Hooke.
5.3.1 - O comportamento mecânico dos sólidos
O comportamento mecânico para os materiais sólidos, no que diz respeito a deformação, é dividido em frágeis e dúcteis ( Figura - 5. 12). Os frágeis, são aqueles que se rompem logo após o fim do seu limite elástico, não apresentando quase nenhuma deformação plástica (processo reversível).
Figura - 5. 12. Comportamento típico da tensão x deformação dos materiais frágéis e dúcteis.
A lei de Hooke diz que, de acordo com a Figura - 5. 12 e a Figura - 5.
13, um material, dentro do seu limite elástico linear, atuado por uma força, F, ou tensão, , apresentará uma deformação dada por:
E , (5. 31)
onde = F/A é a tensão aplicada e A é a área da secção transversal do corpo sob ação da força F. E é o módulo elástico do material. O alongamento percentual ou deformação é dada por:
= l/l, conforme mostra a Figura - 5. 13.
64
Figura - 5. 13. Distensão máxima das ligações químicas de um material antes de se romper, mostrando o tamanho crítico mínimo, lo, a partir do qual a ruptura acontece, segundo o modelo de Griffith para um monocristal. Figura adaptada a partir da original contida em MARDER [1996].
A partir da relação (5. 31), percebe-se que um material frágil ideal apresenta rigidez constante até a ruptura, enquanto que o dúctil não. Isto significa que, a separação entre os planos cristalinos do material frágil ideal se dá continuamente, sem que ocorra quase nenhum acúmulo de defeitos na forma de discordâncias ( Figura - 5. 13).
Os materiais dúcteis, por outro lado, são aqueles que após o limite elástico apresentam deformações plásticas por meio de discordâncias na rede cristalina, acumulando defeitos e se rompendo após o encruamento (processo irreversível, Figura - 5. 12). De acordo com a teoria do encruamento (hardening) a relação entre a tensão, , e a deformação,
, é dada por:
m p ref
ref
, (5. 32)
onde:
ref é a tensão inical e ref é a deformação inicial, p é a deformação plástica do material e m, é um expoente fracionário.
Observe que a relação (5. 32), mostra o termo em potência, que pode ser relacionada a uma auto-similaridade com a escala da deformação, ref, que afeta o aspecto microestrutural da superfície de fratura. Será mostrado, no modelamento fractal da superfície de fratura no Capítulo – IV, que este fato está relacionado com a rugosidade desta superfície, devido a auto-similaridade fractal onde o expoente de encruamento, m, estará relacionado com a dimensão fractal, D, da mesma. Porque o material encrua antes de abrir uma trinca rugosa.
65
A partir da relação (5. 32), percebe-se que no caso do material dúctil, tanto a tensão de fratura, f, como a rigidez, E, passa a depender da presença, ou não, deste acúmulo de defeitos microscópicos.
5.4.2 – Determinação da rigidez e da flexibilidade de um material
Existem diferentes métodos experimentais para se determinar a rigidez ou a flexibilidade de um material. A Figura - 5. 14 apresenta uma montagem experimental que pode ser usada para determinar a rigidez por meio da equação (5. 33) [DOS SANTOS 1999] abaixo.
u X e w
E S
33
4 , (5. 33)
onde
S é a separação dos cilindros de apoio, w é a largura do corpo de prova, e é a sua espessura, X é a carga aplicada e u é a sua deflexão do ponto de aplicação da força na direção vertical.
Figura - 5. 14. Montagem experimental do ensaio de flexão a três pontos com entalhe plano.
Até o limite de ruptura, o valor da rigidez do material pode ser calculado pela equação (5. 33), conforme mostra na Figura - 5. 12. Caso ocorra um crescimento de trinca acima deste limite máximo de carga tolerável pelo material, o valor da equação (5. 33) passa a representar a flexibilidade do material ao invés do seu módulo elástico.
Para materias frágeis, ou até mesmo dúcteis, a relação (5. 31) é muito útil, porque ela constitue a base da mecânica da fratura elástica linear, conforme será visto a seguir.
66
5.4.3 - A energia elástica armazenada em um sólido
Considere um corpo tracionado continuamente até o limite da sua ruptura, conforme mostra a Figura - 5. 13. A energia de deformação total armazenada em um material até este limite é dado pela área debaixo da curva mostrada na Figura - 5. 12, isto é, pela integral da curva, x E, ou seja:
o
d
u ( ) ( ) . (5. 34)
Embora existam diferentes comportamentos mecânicos, conforme mostra a Figura - 5. 12, é interessante, a princípio, entender o mais simples deles, que corresponde a um material frágil que segue a “lei elástica de Hooke”. Para este material frágil, pode-se supor que o corpo responde a solicitação externa de acordo com a equação (5. 31).
Portanto, substituindo a expressão (5. 31) em (5. 34) tem-se que a energia de deformação elástica total armazenada em um material frágil, até o limite de sua ruptura, calculada pela lei de Hooke, é dado por:
0 2
) 2
( E
d E u
o
, (5. 35)
reescrevendo (5. 35) em termos de (5. 31) tem-se:
u E ) 2 (
2 . (5. 36)
Considerando o corpo totalmente distendido até o limite máximo de sua resistência mecânica, tem-se que a tensão máxima de alongamento corresponde a tensão de fratura do material, f. Logo, para o caso da fratura elástica linear (material frágil ideal), de acordo com a lei de Hooke, dado em (5. 31), tem-se:
max
f
E
, (5. 37)
onde, f, é o módulo de ruptura ou a tensão de fratura(2) (para materiais frágeis), E é o seu módulo elástico, máx é o alongamento máximo do corpo em relação ao seu comprimento
2 limite de ruptura
