A teoria de conjuntos fuzzy foi introduzida em 1965 pelo matemático de origem iraniana Lotfi Asker Zadeh, professor da Universidade de Berkley, Estados Unidos (ZADEH, 1965), com a principal intenção de dar um tratamento matemático a certos termos linguísticos subjetivos, como “aproximadamente” e “em torno de”, dentre outros. Este seria um primeiro passo no sentido de se programar e armazenar conceitos vagos em computadores, tornando possível a produção de cálculos com informações imprecisas, a exemplo do que faz o ser humano. Simões e Shaw, (2007) colocam que as incertezas e verdades parciais dos fenômenos naturais são trabalhadas de maneira sistemática e rigorosa dentro da lógica fuzzy.
3.5.1 Conjuntos Fuzzy
A teoria clássica de conjuntos permite o tratamento de classes de objetos e suas inter-relações em um universo definido. Nessa teoria, a pertinência de um dado elemento com relação a um conjunto refere-se ao fato de tal elemento pertencer ou não a esse conjunto. Ao contrário da lógica convencional, a lógica fuzzy utiliza a ideia de que todas as grandezas físicas (temperatura, altura, velocidade etc.) admitem graus de pertinências que podem variar entre um intervalo fechado [0 , 1]. Em outras palavras, enquanto a
tomada de decisão na teoria clássica seria como a da Equação (10), a da lógica fuzzy seria como a da Equação (11), considerando um conjunto A e um elemento x com relação a esse conjunto (DUBOIS et al., 2000).
(10)
(11)
Segundo Barros e Bassanezi (2006), a característica mais evidente da lógica fuzzy é considerar que entre dois estados (zero e um) podem existir estados intermediários, e esses valores são analisados de acordo com um grau de pertinência, que indica o nível que a informação pertence a um conjunto específico em universo de discurso.
A teoria de conjuntos fuzzy provê um método para manipulação de conjuntos, cujos limites são imprecisos, em vez de restritos. A incerteza de um elemento, isto é, seu grau fracionário de pertinência, pode ser concebido como uma medida de possibilidade, ou seja, a possibilidade de que um elemento seja membro do conjunto (SIMÕES e SHAW, 2007).
3.5.2 Funções de Pertinência Fuzzy
O primeiro passo na representação de conjuntos fuzzy é a escolha da função de pertinência. A escolha dessa função depende do problema a ser modelado e também da capacidade computacional disponível para processar o que se deseja. Um conjunto fuzzy A caracteriza-se por uma função de pertinência a qual associa cada elemento do universo de discurso a um número no intervalo real [0, 1].
Uma função de pertinência é uma função numérica que atribui valores de pertinência para valores discretos de uma variável, em seu universo de discurso. A Figura 19 mostra alguns exemplos de funções de pertinência, onde o eixo vertical representa o
( )
1 se, e somente se,0 se, e somente se,
x A f x x A =
( )
1 se, e somente se, 0 se, e somente se,0 ( ) 1 se pertence parcialmente a x A f x x A x x A =
intervalor [0,1] e o eixo horizontal o universo de discurso. São, de longe, as mais comuns encontradas na prática.
Figura 19- Algumas funções de pertinência. (a – função triangular; b – função
trapezoidal; c – função gaussiana) Fonte: Adaptado de Ross (1995)
A principal razão para considerar outros tipos de funções de pertinência é que os valores usados são, muitas vezes, excessivamente precisos. Exigem que cada elemento do universo X no qual o conjunto fuzzy esteja definido seja atribuído um valor de grau de pertinência específico, μA (x) (ROSS, 1995). A quantidade de funções em um universo de discurso e seu formato são escolhidos com base na experiência e na natureza do processo a ser controlado ou representado.
3.5.3 Sistemas Fuzzy
Para muitos sistemas práticos as informações importantes vêm de duas fontes: uma são os especialistas humanos - que descrevem seu conhecimento sobre o sistema em linguagens naturais; e a outra são medidas sensoriais e modelos matemáticos propostos de acordo com leis físicas. Uma tarefa importante, portanto, é combinar esses dois tipos de informação em projetos de sistemas (HENDERSON, 2009).
O sistema de inferência fuzzy (Figura 20) consiste em uma interface de fuzzificação, uma base de regra, um banco de dados, uma unidade de tomada de decisão ou unidade de inferência e, finalmente, uma interface de defuzzificação.
Figura 20- Sistema fuzzy de inferência
Fonte: Adaptado de Ross (1995) A função de cada bloco é a seguinte:
o Uma base de regras contendo um número de regras fuzzy “se-então”;
o Uma base de dados que define as funções de associação dos conjuntos difusos utilizados nas regras fuzzy;
o Uma unidade de decisão que realize as operações de inferência nas regras;
o Uma interface de fuzzificação que transforma as entradas nítidas (crisp) em graus da correspondência com valores linguísticos e
o Uma interface de defuzzificação que transforma os resultados fuzzy da inferência em uma saída “crisp”.
3.5.4 Base de Regras
Os sistemas fuzzy são sistemas baseados em conhecimento ou baseados em regras. O coração de um sistema fuzzy é uma base de conhecimento, que consiste nas chamadas Regras de Produção - “se-então”. Talvez a maneira mais comum de representar o conhecimento humano seja formá-lo em expressões de linguagem natural do tipo SE premissa (antecedente) e ENTÃO conclusão (consequente). Um sistema fuzzy é construído a partir de uma coleção dessas regras fuzzy “se-então”. (ROSS, 1995). Em uma forma mais explícita, se houver n regras, cada uma com K premissas em um sistema, a i- ésima regra tem a seguinte forma mostrada pela Equação (12):
,1 ,2 ,
1 é i e 2 é i e ... e k é i k Então i
Se
a
A
a
A
a
A
B
(12)Ao utilizar se de variáveis linguísticas e de regras fuzzy SE-ENTÃO, o sistema fuzzy explora a tolerância à imprecisão e à incerteza e, dessa forma, imita a capacidade crucial da mente humana para resumir dados e se concentrar em informações relevantes para a decisão.
3.5.5 Fuzzificação
As entradas são limitadas no universo de discurso em questão e associada a um grau de pertinência em cada conjunto fuzzy através do conhecimento do especialista. Então, para obter o grau de pertinência de uma determinada entrada crisp, basta buscar esse valor na base de conhecimento do sistema fuzzy. Para o exemplo em questão, têm-se os conjuntos fuzzy e graus de pertinência para cada uma das variáveis de entrada, conforme mostrado na Figura 21.
Figura 21- Fuzzificação das variáveis entradas para domínio dos conjuntos fuzzy
Fonte: Adaptado de Simões e Shaw (2007)
A fuzzificação é um mapeamento do domínio de números reais (em geral discretos) para o domínio fuzzy (SIMÕES e SHAW, 2007). Essa etapa obtém o grau de pertinência a que cada entrada pertence em cada conjunto fuzzy.
3.5.6 Sistema de Inferência
A inferência é o módulo mais importante de um sistema fuzzy, pois é aqui que se calcula qual decisão tomar. Em um mecanismo de inferência fuzzy, os princípios da lógica
fuzzy são usados para combinar as regras fuzzy “se-então” na base da regra fuzzy em um
mapeamento de um conjunto fuzzy A de entrada com um universo de discurso U para um conjunto fuzzy B de saída, com um universo de discurso V. No estágio de inferência, ocorrem as operações com conjuntos fuzzy ao longo de regras “se-então” para processar as informações da entrada e produzir uma conclusão (JANG et al., 1997).
Há uma variedade de opções de mecanismos de inferência fuzzy, especificamente, têm-se as seguintes alternativas dentro da inferência baseada em composição: implicação de Dienes-Rescher; implicação de Lukasiewicz; Implicação de Zadeh; implicação de Gõdel; implicações de Mamdani ou implicações de Sugeno. Estas são algumas operações diferentes para as t-normas e s-normas nas várias fórmulas (WANG, 1996).
Os dois tipos mais importantes de método de inferência fuzzy são o método de inferência fuzzy de Mamdani e método Sugeno ou Takagi-Sugeno-Kang; o primeiro foi introduzido por Mamdani e Assilian no ano de 1975 (MAMDANI E ASSILIAN, 1975), e segundo por Sugeno no de 1985 (TAKAGI e SUGENO, 1985; SUGENO e KANG, 1988). A maioria dos sistemas baseados em regras envolve mais de uma regra e o processo de obtenção do consequente (conclusão) global dos consequentes individuais é conhecido como agregação de regras.
3.5.7 Defuzzificação
Defuzzificação é a conversão de uma quantidade fuzzy para uma quantidade precisa, assim como fuzzificação é a conversão de um valor crisp para uma quantidade fuzzy. A saída de um processo fuzzy pode ser a união lógica de duas ou mais funções de pertinência
fuzzy definidas no universo do discurso da variável de saída. Há muitos métodos
propostos na literatura nos últimos anos para defuzzificar funções de saída fuzzy (ROSS, 1995), e serão detalhados dois métodos mais usuais de defuzzificação, ou aqueles baseados no centro de gravidade do(s) conjunto(s) de saída (SIMÕES e SHAW, 2007).
Centro da Área – CoA (Center of Area): frequentemente chamado de método do
centro de gravidade, pois calcula o centroide da área composta pela união de todas as contribuições de regras, este cálculo é feito de acordo com a Equação (13):
(13)
em que = área de uma função de pertinência modificada pelo resultado da inferência fuzzy;
= posição do centroide da função de pertinência individual;
3.5.8 Método de Inferência Mamdani
Os sistemas Fuzzy Mamdani foram originalmente projetados para imitar o desempenho de operadores humanos encarregados de controlar certos processos industriais (MAMDANI e ASSILIAN, 1975). O método de inferência é o mais usado na prática e na literatura. O objetivo era resumir a experiência do operador em um conjunto de regras “Se-Então” (linguísticas) que poderiam ser usadas por uma máquina para controlar automaticamente o processo. Especificamente, usando esse conjunto de regras “Se-Então”, um sistema fuzzy Mamdani define uma função f que gera saídas numéricas y = f (x) a partir dos valores de entrada (geralmente numéricos) x. Assim, o método de inferência para um conjunto de regras conjuntivas para as r-ésima regras será dada pela Equação (14):
(14)
A Equação (14) tem uma interpretação gráfica muito simples, como visto na Figura 22. Ilustra a análise gráfica de duas regras, onde os símbolos 𝐴11 e 𝐴12 se referem ao
primeiro e segundo antecedentes fuzzy da primeira regra, respectivamente e o símbolo 𝐵1 refere-se ao consequente fuzzy da primeira regra. Os símbolos 𝐴21 e 𝐴22 referem-se ao
1 * 1 ( ) ( ) N i out i j N out i j u u u u = = =
( ) out ui i u 1 1 2 2 se é x Ak e é x Ak então yk é Bk para k =1, 2,...,rprimeiro e segundo antecedentes fuzzy, respectivamente, da segunda regra e o símbolo 𝐵2
refere-se ao consequente fuzzy da segunda regra.
Figura 22- Interpretação gráfica do método Mamdani
Fonte: Adaptado de Ross (1995)
Se o que se deseja é encontrar um valor discreto para a saída agregada, alguma técnica de defuzzificação apropriada poderia ser empregada para a função de associação agregada e um valor tal como y *.