O n´umero de n´ıveis de refinamento da malha bloco-estruturada ´e fixo e denotado por npl. Cada n´ıvel de refinamento, do mais grosso para o mais fino, ´e denotado por lb, lb+1, . . . , lt. Aqui abusa-se da linguagem dizendo que o n´ıvel base que cobre todo o dom´ınio computacional, lb, ´e o primeiro n´ıvel de refinamento. S˜ao selecionadas para refinamento c´elulas dos n´ıveis lt− 1, lt − 2, . . . , lb. Quando uma c´elula de um n´ıvel l ´e selecionada para ser refinada, o resultado deste refinamento s˜ao c´elulas correspondentes no n´ıvel l + 1.
Dada uma lista de c´elulas computacionais de um n´ıvel l selecionadas para refinamento, utiliza- se um m´etodo proposto por Berger e Rigoutsos (1991) que agrupa tais c´elulas em blocos do n´ıvel l (n˜ao discretizados) de tal forma que: o volume de todas as c´elulas computacionais dadas na lista ´e coberto. O volume do bloco que n˜ao precisa de refinamento e o n´umero de blocos gerados s˜ao t˜ao pequenos quanto poss´ıveis. Denota-se por ǫmino parˆametro que ajusta estas duas quantidades por
meio da express˜ao
ǫmin ≤
ncells
ncellm, (4.2)
onde ǫmin ∈ (0, 1), ncells ´e o n´umero de c´elulas computacionais selecionadas pelo crit´erio de um
bloco no n´ıvel l e ncellm ´e o n´umero total de c´elulas computacionais que formam este mesmo bloco no n´ıvel l. Assim, se ǫmin = 0.85 significa que pelo menos 85% das c´elulas computacionais de um
novo bloco de um n´ıvel l s˜ao c´elulas selecionadas pelo crit´erio, veja a Figura 4.4. Este m´etodo utiliza-se de t´ecnicas da ´area de vis˜ao computacional e de reconhecimento de padr˜oes. Para mais
4.2. Gera¸c˜ao de uma malha bloco-estruturada 49
detalhes veja Berger e Rigoutsos (1991). Cada um dos blocos do n´ıvel l, come¸cando pelos blocos do n´ıvel lt− 1 e decrescendo at´e lb, ´e discretizado com espa¸camento do n´ıvel l + 1. Pelo crit´erio de sele¸c˜ao de c´elulas para refinamento, sabe-se que para cada bloco de um n´ıvel l existem blocos do n´ıvel l− 1 que o cont´em. Para garantir a segunda restri¸c˜ao de malhas propriamente aninhadas, os blocos do n´ıvel l− 1 s˜ao aumentados com pelo menos duas c´elulas computacionais em todas as dire¸c˜oes.
(a) C´elulas selecionadas no n´ıvel l.
(b) Blocos do n´ıvel l. A ine-
qua¸c˜ao (4.2) est´a satisfeita.
(c) Blocos discretizados gera- dos no n´ıvel l + 1.
Figura 4.4: C´elulas computacionais selecionadas para a gera¸c˜ao n´ıvel mais fino.
4.2.1 Malha inicial do dom´ınio computacional
A malha bloco-estruturada inicial ´e gerada por meio de um refinamento est´atico, de maneira que o refinamento local contenha a regi˜ao de entrada do escoamento (denominada bocal), veja as Figuras 4.5(a)-4.5(b). Esse refinamento est´atico continua sendo gerado a cada remalhagem. Esta regi˜ao precisa de refinamento para que os fenˆomenos f´ısicos que ocorrem na regi˜ao de entrada do escoamento sejam bem capturados durante toda a simula¸c˜ao. Assim como as got´ıculas que s˜ao injetadas a cada passo de integra¸c˜ao devem estar contidas no n´ıvel de refinamento mais fino durante toda a simula¸c˜ao. Detalhes sobre a inje¸c˜ao das got´ıculas s˜ao dados na Se¸c˜ao 6.2.
(a) Vista frontal da entrada do escoamento. (b) Corte na central na dire¸c˜ao x1.
Figura 4.5: Zoom de uma malha inicial com quatro n´ıveis de refinamento adaptativo est´atico e velocidade do escoamento.
4.2.2 Sele¸c˜ao de c´elulas computacionais para refinamento
Para cada n´ıvel l come¸cando em lt− 1 e decrescendo at´e lb, c´elulas computacionais do n´ıvel l s˜ao selecionadas (se necess´ario) para refinamento. Uma c´elula computacional ´e selecionada para refinamento se ela satisfaz algum dos crit´erios descritos abaixo e for uma c´elula vis´ıvel. Isto ´e, n˜ao existe um n´ıvel mais fino que a cobre. Os crit´erios utilizados s˜ao descritos a seguir.
Figura 4.6: Exemplo de regi˜ao de se- guran¸ca bidimensional. A regi˜ao de seguran¸ca est´a contornada por uma linha tracejada.
Se o tensor de tens˜oes viscosas, a vorticidade ou a viscosi- dade turbulenta, denotadas por ψ satisfazem
˜
ψ≤ |ψijk| ψmax ≤ 1,
(4.3) onde ˜ψ ´e um valor no intervalo [0, 1]. O valor ˜ψ ´e o valor m´ınimo da propriedade ψ normalizada, escolhido apropriada- mente. Se a temperatura ou a componente da velocidade na dire¸c˜ao do escoamento satisfazem
ψijk≥ ˜ψ, (4.4)
sendo ˜ψ ´e um limite inferior da propriedade escolhido apropria- damente. Por exemplo, para a temperatura determinou-se ˜ψ = 800 K.
Os crit´erios n˜ao s˜ao utilizados todos ao mesmo tempo em
todas as simula¸c˜oes num´ericas. A escolha deles depende do problema que est´a sendo resolvido. Mais detalhes no Cap´ıtulo 6.
Quando trata-se de escoamentos com got´ıculas, mais um crit´erio de refinamento ´e considerado. Assume-se que todas as got´ıculas est˜ao contidas no n´ıvel de refinamento mais fino. Essa escolha inicial visa garantir que os operadores de interpola¸c˜ao e espalhamento (respons´aveis pelo acopla- mento entre as fases, veja a Se¸c˜ao 3.3.2) sejam aproximados no n´ıvel mais fino de refinamento. Para atender a essa restri¸c˜ao foi definida no n´ıvel mais fino da malha bloco-estruturada uma regi˜ao de seguran¸ca (veja um exemplo da regi˜ao de seguran¸ca em duas dimens˜oes na Figura 4.6). Se alguma got´ıcula estiver fora da regi˜ao de seguran¸ca, a c´elula computacional correspondente do n´ıvel lt− 1 que cont´em essa got´ıcula (mais uma vizinhan¸ca) ´e selecionada para refinamento.
4.2.3 Localiza¸c˜ao das got´ıculas na malha bloco-estruturada
As got´ıculas s˜ao armazenadas em uma lista encadeada com cabe¸ca a qual possui Np+ 1 c´elulas,
onde Np´e o n´umero de got´ıculas presentes na simula¸c˜ao. Uma lista encadeada ´e uma sequˆencia de
c´elulas, como mostra a Figura 4.7. Cada c´elula da lista ´e composta pelo conte´udo e pelo endere¸co da c´elula seguinte, para mais detalhes veja Feofiloff (2009).
Figura 4.7: Lista encadeada.
Para identificar a c´elula computacional que cont´em uma got´ıcula em uma malha Cartesiana estruturada, basta determinar os ´ındices desta c´elula computacional por meio da express˜ao (3.66).