2.6 Sum´ario dos modelos matem´aticos
2.6.3 Modelo matem´atico para um escoamento reativo com baixo n´ umero de Mach
Mach
O modelo matem´atico para um escoamento reativo com baixo n´umero de Mach usado no presente trabalho ´e dado pelas equa¸c˜oes
∂ρ ∂t + ∂(ρuj) ∂xj = 0, (2.96) ρ ∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj =−∂p2 ∂xi + ∂ ∂xj µ ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi − 2 3δij ∂uk ∂xk , para i = 1, 2, 3, (2.97) ∂(ρz) ∂t + ∂(ρuiz) ∂xi = ∂ ∂xi ρD ∂z ∂xi , (2.98) p0 = ρTR W , (2.99)
onde ρ ´e a massa espec´ıfica, u = (u1, u2, u3) ´e o campo de velocidade do escoamento, p2 ´e a press˜ao
dinˆamica, z ´e o escalar conservado, p0 ´e a press˜ao termodinˆamica (press˜ao ambiente constante),
T ´e a temperatura, R ´e constante universal dos gases, W ´e o peso molecular da mistura e µ ´e a viscosidade do escoamento (constante). Para o caso turbulento µ inclui a viscosidade turbulenta, veja o Apˆendice A. As equa¸c˜oes (2.96)-(2.99) possuem no total seis vari´aveis, a massa espec´ıfica ρ, a press˜ao p2, as trˆes componentes do campo de velocidade u e o escalar conservado z, para um
total de seis equa¸c˜oes. A temperatura T e as esp´ecies qu´ımicas YC, YO e YP s˜ao obtidas por meio
das express˜oes (2.64)-(2.69).
Nos pr´oximos cap´ıtulos s˜ao apresentadas a metodologia num´erica proposta, uma t´ecnica de refinamento adaptativo de malhas para a resolu¸c˜ao destes problemas, a verifica¸c˜ao num´erica e os resultados num´ericos obtidos.
2.7. Nomenclatura 23
2.7
Nomenclatura do presente cap´ıtulo
cp Calor espec´ıfico `a press˜ao constante (J/Kg× K ou J/Kmol × K)
cs Velocidade do som (m/s)
cv Calor espec´ıfico ao volume constante (J/Kg× K ou J/Kmol × K)
C Esp´ecie qu´ımica combust´ıvel Ca Coeficiente de arrasto
CS Constante de Smagorinsky
dp Diˆametro da got´ıcula p (m)
D Coeficiente de difus˜ao de massa (m2/s)
et Energia total (J ou J/kg)
f For¸cas externas (N )
g Acelera¸c˜ao gravitacional (m/s2)
h Entalpia absoluta (J/K) hs Entalpia sens´ıvel (J/K)
ht Entalpia total absoluta (J/K)
I Esp´ecie qu´ımica inerte ˙
m Fluxo de massa (kg/s)
m Massa (kg)
N N´umero de esp´ecies qu´ımicas np N´umero de got´ıculas
O Esp´ecie qu´ımica oxidante p Press˜ao (atm )
p0 Press˜ao termodinˆamica (atm)
p2 Press˜ao dinˆamica (atm)
P Esp´ecie qu´ımica produto ˙q Fluxo de calor (W/kg)
˙
Q Taxa de transferˆencia de calor (por radia¸c˜ao) (W/kg) rp Raio da got´ıcula (m)
R Constante universal dos gases (J/Kmol× K)
RM Parˆametro da equa¸c˜ao do estado termodinˆamico (J/kg× K)
s Raz˜ao estequiom´etrica entre a fra¸c˜ao m´assica de oxidante e combust´ıvel S Tensor taxa de deforma¸c˜ao filtrado
t Tempo (s)
T Temperatura (K)
u Velocidade do escoamento (m/s)
vd Velocidade de difus˜ao das esp´ecies (m/s)
V Volume (m3)
W Peso molecular (kg/Kmol) xp Posi¸c˜ao de uma got´ıcula (m)
Y Fra¸c˜ao m´assica de uma esp´ecie qu´ımica z Escalar conservado normalizado
Letras Gregas
δij Delta de Kronecker
∆ Tamanho do filtro
∆h Entalpia de forma¸c˜ao (J/Kg ou J/Kmol) Φ Raz˜ao de equivalˆencia
γ Raz˜ao entre cp e cv
κ Condutividade t´ermica (kg/m× s) µ Viscosidade dinˆamica (N × s/m2)
µt Viscosidade turbulenta (N × s/m2)
ρ Massa espec´ıfica, densidade (kg/m3) τji Tensor de tens˜oes viscosas (N/m2)
τp Tempo de rea¸c˜ao de uma got´ıcula (s)
˙ω Taxa de produ¸c˜ao/consumo das esp´ecies (kg/s× m3)
˙ωT Calor liberado devido `as rea¸c˜oes qu´ımicas (W/m3)
Adimensionais
M a N´umero de Mach Le N´umero de Lewis P r N´umero de Prandtl Re N´umero de Reynolds Sc N´umero de Schimdt St N´umero de Stokes ´Indices
a Adimensional c Fase cont´ınua
d Fase dispersa i, j, k Nota¸c˜ao indicial
l Esp´ecie qu´ımica p Got´ıcula
est Valores estequiom´etricos ∗ Valores caracter´ısticos ⋆ Valores na entrada da zona de rea¸c˜ao C Esp´ecie qu´ımica combust´ıvel
O Esp´ecie qu´ımica oxidante P Esp´ecie qu´ımica produto
Operadores D Dt = ∂ ∂t + ui ∂ ∂xi Derivada total Tabela de Convers˜oes
25
Cap´ıtulo 3
Metodologia num´erica
Neste cap´ıtulo s˜ao apresentadas as metodologias que ser˜ao aplicadas para obter as solu¸c˜oes num´ericas dos modelos apresentados no cap´ıtulo anterior. As fases do escoamento s˜ao aproxi- madas por um m´etodo Euleriano-Lagrangiano. A fase cont´ınua ´e aproximada na forma euleriana, ou seja, por meio das equa¸c˜oes que descrevem um escoamento reativo com baixo n´umero de Mach discretizadas em uma malha Cartesiana bloco-estruturada. A fase dispersa ´e aproximada na forma lagrangiana, onde as propriedades de cada got´ıcula (posi¸c˜ao, velocidade e diˆametro) s˜ao calcu- ladas em termos da sua trajet´oria. Para a discretiza¸c˜ao temporal da fase cont´ınua s˜ao utilizados esquemas Implic´ıtos-Expl´ıcitos, (IMEX), de segunda ordem, descritos por Ascher et al. (1995) e Wang e Ruuth (2008). Para a fase dispersa, ´e utilizado o m´etodo de Euler Modificado que tamb´em possui segunda ordem de aproxima¸c˜ao. Uma vers˜ao da extens˜ao do m´etodo da proje¸c˜ao, proposto por Pember et al. (1998), ´e utilizado para desacoplar a press˜ao na equa¸c˜ao da quantidade do movi- mento linear. Este m´etodo ´e baseado no m´etodo da Proje¸c˜ao de Chorin (1968) e Temam (1968). Para o acoplamento entre as fases cont´ınua e dispersa ´e utilizada a fun¸c˜ao Delta de Dirac (veja Griffith (2005) e Roma (1996)). A discretiza¸c˜ao espacial ´e feita por meio do esquema de diferen¸cas finitas de segunda ordem (veja Strikwerda (2004)). As solu¸c˜oes dos sistemas lineares origina- dos das discretiza¸c˜oes temporal e espacial ´e aproximada por meio do m´etodo Multigrid conforme Roma (1996) e N´os (2007), para mais detalhes veja Briggs e McCormick (2000) e Trottenberg et al. (2001).
O cap´ıtulo ´e dividido em trˆes se¸c˜oes. A Se¸c˜ao 3.1 apresenta o m´etodo da proje¸c˜ao de Chorin- Teman e uma vers˜ao da extens˜ao do m´etodo da proje¸c˜ao para escoamento reativos com baixo n´umero de Mach. A Se¸c˜ao 3.2 apresenta a metodologia num´erica utilizada para aproximar a fase cont´ınua do escoamento. Esta metodologia inclui: a discretiza¸c˜ao temporal da fase cont´ınua, a discretiza¸c˜ao espacial e o m´etodo Multigrid para a solu¸c˜ao dos sistemas lineares. A Se¸c˜ao 3.3 apresenta a metodologia num´erica para a fase dispersa, a qual inclui a discretiza¸c˜ao temporal e os operadores de interpola¸c˜ao e espalhamento, respons´aveis pela troca de informa¸c˜oes entre as fases.
3.1
M´etodo da Proje¸c˜ao
A solu¸c˜ao num´erica das equa¸c˜oes que modelam um escoamento reativo com baixo n´umero de Mach s˜ao calculadas por meio de uma vers˜ao estendida de um m´etodo da proje¸c˜ao (veja Pember et al. (1998)), o qual ´e uma varia¸c˜ao do m´etodo da Proje¸c˜ao de Chorin-Temam para um escoamento incompress´ıvel (veja Roma (1996), Griffith (2005), N´os (2007) e Ceniceros et al.
(2010b)).
O objetivo do m´etodo da proje¸c˜ao ´e desacoplar, na equa¸c˜ao da quantidade de movimento linear (2.5), os c´alculos do campo de velocidade e da press˜ao. Em trabalhos independentes, Chorin (1968) e Temam (1968) constataram que para escoamentos incompress´ıveis a press˜ao n˜ao possui significado termodinˆamico, mas for¸ca a condi¸c˜ao de incompressibilidade.
O m´etodo da proje¸c˜ao pode ser resumido em dois passos:
1. Determinar uma aproxima¸c˜ao para um campo de velocidade auxiliar u⋆ solucionando um problema parab´olico.
2. Resolver uma equa¸c˜ao el´ıptica para garantir a condi¸c˜ao de incompressibilidade e obter uma corre¸c˜ao usada para determinar a press˜ao e corrigir o campo de velocidade u.
O m´etodo da proje¸c˜ao ´e um m´etodo de passo fracionado, diferindo dos demais m´etodos na maneira de avan¸car o campo de velocidade auxiliar e corrigir a press˜ao, conforme apresentam Chorin (1968), Kim e Moin (1985), Roma (1996), Bell et al. (1989) e Griffith (2005). Alguns m´etodos de passo fracionado resolvem a press˜ao diretamente na equa¸c˜ao el´ıptica, como descreve Ferziger e Peri´c (1999).
O m´etodo da Proje¸c˜ao de Chorin-Temam para escoamentos incompress´ıveis ´e baseado no Teo- rema da Decomposi¸c˜ao de Helmholtz-Hodge descrito pelo Teorema 1.
Teorema 1 Seja Ω uma regi˜ao no espa¸co (ou no plano) com fronteira ∂Ω suave. Um campo vetorial w em Ω pode ser decomposto de maneira ´unica como
w = ud+∇φ, (3.1)
onde ∇ · ud= 0, φ ´e uma propriedade escalar e ud satisfaz ud· n = 0 em ∂Ω.
Para a demonstra¸c˜ao do Teorema 1 veja Chorin e Marsden (1993).
A decomposi¸c˜ao descrita na express˜ao (3.1) pode ser vista como a proje¸c˜ao do campo vetorial no espa¸co dos campos vetoriais com divergente nulo. Desta forma, o campo de velocidade auxiliar obtido no passo 1 ´e projetado no espa¸co dos campos vetoriais com divergente nulo. A transforma¸c˜ao que leva o campo de velocidade auxiliar no espa¸co dos campos vetoriais com divergente nulo ´e o operador de proje¸c˜aoP dado por
P = I − 1ρ∇ ( ∇ · 1 ρ∇ −1) ∇ · . (3.2)
Desta maneira, a decomposi¸c˜ao do campo de velocidade auxiliar ´e dada por u⋆ = u + 1
ρ∇φ, (3.3)
sendo φ uma corre¸c˜ao para o campo de velocidade u e para a press˜ao p. Para determinar a corre¸c˜ao φ, aplica-se o operador ∇· na equa¸c˜ao (3.3) obtendo-se
∇ · 1 ρ∇φ =∇ · u⋆, (3.4) pois∇ · u = 0.
3.1. M´etodo da Proje¸c˜ao 27