Glaeser e Maré (2001) apresentaram um modelo econométrico para a estimação do prêmio salarial urbano e seu efeito sobre o retorno à educação nas áreas metropolitanas dos EUA. Com o objetivo de medir o prêmio salarial urbano a nível individual, para trabalhadores dos EUA, foi adotada a seguinte especificação:
A_ (Y! ) = U! + ^! Γ + ! Ux! θ + ∅!+ $! . (1) Na equação, log (Wkt) é o logaritmo do salário por hora do individuo k no tempo t, Xkt é um vetor de características individuais (educação, experiência e gênero) e é o parâmetro que representa preço destas características no mercado de trabalho. O vetor Lkt inclui uma variável
dummy indicando se o indivíduo reside em uma área metropolitana densa e outra variável dummy para a área metropolitana não densa. No modelo, uma região metropolitana é
considerada densa se possui pelo menos uma cidade com mais 500 mil habitantes. O vetor Γ é o parâmetro que representa o aumento de produtividade associado à localização do trabalhador. O termo ∅! representa o efeito da produtividade individual específica devido à habilidade individual do trabalhador. O vetor Ux! é um subconjunto de Xkt que inclui a escolaridade e experiência, enquanto ! é uma variável dummy que indica se o indivíduo pertence a uma área metropolitana. O parêmetro „ representa o efeito da interação entre ! e Ux! . O termo de erro do modelo é $! . Os retornos à experiência e educação nas áreas metropolitanas serão definidos por + „, considerando apenas os parâmetros do vetor referentes à educação e à experiência.
Especificação 2 - Rauch (1993)
Rauch (1993) formalizou um modelo para a estimação econométrica das externalidades de capital humano sobre os salários individuais. A especificação é dada por:
Na equação, …t é o logaritmo do salário médio por hora do trabalhador i da cidade j em uma área metropolitana, t é um vetor de características observadas do trabalhador, incluindo o capital humano, †t é um vetor de características observadas da cidade, ‡t representa as características relevantes não observadas da cidade e ˆt é o termo de erro do modelo. O nível médio de capital humano é assumido como o nível médio de escolaridade local mais o nível médio local de experiência no trabalho.
ANEXO C – Métodos de estimação econométrica para dados em painel
Este anexo do trabalho apresentada as principais características dos métodos de estimação econométrica para dados em painel. Considerando o modelo abaixo, com efeitos não observados (heterogeneidade individual), a estimação por MQO para dados em painel (Pooled
OLS) pode ser realizada, assumindo os seguintes supostos:
… = + + + , = 1, 2, . . . , Š; (1)
( | , ) = 0; ( ′ ) = 0.
Para garantir a exogeneidade estrita, o primeiro suposto da equação (1) deve assumir ( ′Œ ) = 0, para , = 1, … , Š e ≠ , ou seja, não haverá correlação entre as variáveis explicativas e o termo de erro em qualquer período do tempo. Se a heterogeneidade não observável (ci) não estiver correlacionada com as variáveis explicativas, os parâmetros do modelo podem ser estimados consistentemente por MQO Pooled. Assumindo um modelo onde representa as variáveis explicativas e Ž = + o seu termo de erro composto, cuja heterogeneidade não observada estaria incluída, os parâmetros poderiam ser consistentemente estimados por MQO Pooled, desde que ( ′ Ž ) = 0. Este suposto requer que ( ′ ) = 0 e ( ′ ) = 0. Se ci é correlacionado com qualquer variável explicativa do modelo, a estimação por MQO Pooled será inconsistente e viesada. Mesmo que os supostos se mantenham, os erros compostos serão serialmente correlacionados devido à presença de ci em cada período de tempo, ou seja, não seria garantido (Ž ŽŒ) = 0, para
≠ e , = 1, … , Š (WOOLDRIDGE, 2002; WOOLDRIDGE, 2010).
Se há garantia de que a heterogeneidade não observada é realmente exógena e aleatória, sem a necessidade de assumir isto como um suposto, o método de efeitos aleatórios seria o mais adequado. Este método adiciona ci no termo de erro para encontrar estimativas não-viesadas dos parâmetros. O primeiro suposto é o de estrita exogeneidade das variáveis explicativas do modelo, ou seja, (Ž | ) = 0, sendo Ž = + , para = 1, 2, . . . , Š. O segundo garante a ortogonalidade entre e , ou seja, ( | ) = ( ) = 0. Este último suposto implica que ci é independente das variáveis explicativas, sejam elas fixas ao longo do tempo ou não. O estimador de efeito aleatório explora a correlação serial no termo de erro composto
em uma estrutura de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG). Esse estimador assume exogeneidade estrita para encontrar estimativas consistentes dos parâmetros. Nessas condições, nos casos em que não existe correlação entre e as variáveis explicativas do modelo, em todos os períodos de tempo do painel, o método de efeitos aleatórios é geralmente mais eficiente do que o MQO Pooled (WOOLDRIDGE, 2010; WOOLDRIDGE, 2002).
Entretanto, em aplicações econométricas que utilizam dados em painel pode existir correlação entre e alguma variável explicativa. Uma análise de efeitos fixos alcança tais casos. O método de estimação por efeitos fixos assume os seguintes supostos:
( | , ) = 0, = 1, 2, . . . , Š; (2) ( | ) = j( ) ≠ 0. (3) O primeiro suposto (2) é o da estrita exogeneidade das variáveis explicativas condicionadas a . Sob a hipótese de exogeneidade estrita, o estimador de efeitos fixos será não viesado: o erro idiossincrático uit deve ser não correlacionado com cada variável explicativa ao longo do tempo, assim como na estimação por efeitos aleatórios. A diferença é que agora não é mais necessário assumir que ( | ) = ( ) = 0. Para a análise de efeitos fixos é permitido que ( | ) seja uma função qualquer de . Dessa forma, a hipótese de ausência de correlação de com pode ser relaxada e os parâmetros podem ser estimados consistentemente, na presença de variáveis omitidas constantes no tempo, mesmo sendo arbitrariamente relacionadas com as explicativas observáveis. Portanto, a análise de efeitos fixos é mais robusta do que a análise de efeitos aleatórios (WOOLDRIDGE, 2002; WOOLDRIDGE, 2010).
O preço a ser pago pela robustez da estimação por efeitos fixos é a restrição à inclusão de fatores constantes no tempo como variáveis explicativas, sem supostos adicionais. Se ci pode ser arbitrariamente correlacionado com , não existe meio para distinguir os efeitos observáveis constantes no tempo dos efeitos não observáveis constantes no tempo. Nesse sentido, o estimador de efeito fixo elimina o efeito não observável, ao custo de também eliminar variáveis invariantes no tempo (WOOLDRIDGE, 2002).
A estratégia para estimar os parâmetros β sob o suposto de exogeneidade estrita é transformar a equação de interesse para eliminar o efeito não observado, ci, desde que pelo menos dois períodos de tempo estejam disponíveis. A transformação de efeitos fixos, ou transformação por dentro (within), é obtida através da equação média, onde:
…• = ̅ + + • , = 1, 2, . . . , Š; (4) …• = ŠW ∑‘ …
} ; ̅ = ŠW ∑‘} e • = ŠW ∑‘} ; … − …• = ( − ̅ ) + ( − ) + ( − • ) ⟹ …“ = “ + “ . (5) Com essa estratégia, o efeito específico individual, , será removido da equação (4) e o estimador de efeito fixo consistirá na aplicação de MQO Pooled na equação transformada (5). Para garantir que a estimação por MQO Pooled será consistente, nesse caso, é necessário assumir que b “′ “ e = 0. Isto significa que e • são não correlacionados com e ̅ . Mantendo esse suposto e a condição de que ( | , ) = 0, a estimação da equação média por MQO Pooled deve gerar estimadores consistentes (WOOLDRIDGE, 2002).
ANEXO D – Estatística do teste de Hausman
O teste de Hausman faz a comparação entre os parâmetros de um modelo econométrico estimados pelos métodos de efeitos fixos e aleatórios, assumindo a hipótese nula (Ho) de que não existe diferença sistemática nos coeficientes estimados. A estatística do teste de Hausman é dada por:
i = b Q”• − Q–•e ′
— ˜> b Q”•e − ˜> ( Q–•)™W b Q”•− Q–•e. (1) Na expressão (1) acima, H se apresenta assintoticamente com uma distribuição qui-quadrado (š!). Os Q’s são os vetores paramétricos e a matriz ˜> b Q”•e − ˜> ( Q–•) é positiva definida. É possível obter uma estatística de rejeição ao nível de 5%, com as diferenças entre as estimativas de efeitos fixos e efeitos aleatórios sendo praticamente pequenas. A rejeição da hipótese nula é uma evidência favorável ao método de efeitos fixos (WOOLDRIDGE, 2002).