Gráfico de uma sequência numérica

O gráfico de uma sequência numérica é constituído pelo conjunto dos pares ordenados (a,b), em queaé a ordem do termo ebé o próprio termo da sequência.

(a,

b)

Sucessões

Uma sequência numérica infinita diz-se uma

sucessão

.

Assim, uma

sucessão

é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.

3 1.o_termo u1 5 2.o_termo u2 7 3.o_termo u3 9 4.o_termo u4 11 5.o_termo u5 13 6.o_termo u6 15 7.o_termo u7 Ordem do termo 17 8.o_termo u8 Termo …

Estes pares ordenados de números podem ser representados num referencial cartesiano, obtendo-se assim a representação gráfica da sequência.

Repara que, da definição de gráfico, a representação gráfica é um conjunto de pontos isolados, como na repre- sentação da figura, correspondente à sequência de termo geral 2n+ 1.

Praticar

Unidade 3 Sequências e regularidades

1 Considera as seguintes sequências numéricas e supõe que se mantém a regularidade entre termos con- secutivos.

Sequência 1: 7, 14, 21, 28, … Sequência 2: 11, 8, 5, 2, … Sequência 3: , , , , …

1.1 Indica os próximos três termos de cada uma das sequências. Sequência 1: _________________________

Sequência 2: _________________________ Sequência 3: _________________________

1.2 Indica o termo de ordem 100 de cada uma das sequências. Explica o teu raciocínio. Sequência 1: _________________________

Sequência 2: _________________________ Sequência 3: _________________________

1.3 Indica um possível termo geral para cada uma das sequências. Sequência 1: _________________________ Sequência 2: _________________________ Sequência 3: _________________________ 5 9 4 7 3 5 2 3

2 O termo geral de uma sequência finita é 3n+ 2. O último termo dessa sequência é 17. Quantos termos tem a sequência?

3 Considera a sucessão (a_n) de termo gerala_n= 4n– 1.

3.1 Determina os quatro primeiros termos da sucessão e repre- senta-os graficamente.

3.2 Determina o décimo quinto termo da sucessão.

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5 Observa a sequência de figuras.

Cada uma das figuras apresentadas é formada por triângulos equiláteros com 1 unidade de medida de comprimento de lado.

5.1 Quantos triângulos equiláteros são necessários para formar uma figura com 20 unidades de pe- rímetro? Explica o teu raciocínio.

5.2 Descobre uma regra que permita determinar o perímetro de uma qualquer figura desta sequência.

4 Considera as sucessões, cujos termos gerais são:

a_n= 3n+ 6

b_n=

c_n=n2_{+ 1}

4.1 Para cada uma das sucessões, determina, a partir do seu termo geral, os cinco primeiros termos.

a_n: _________________________________________________________________

b_n: _________________________________________________________________

c_n: _________________________________________________________________

4.2 Considera, agora, apenas a sucessão (a_n). Verifica se os números 22, 31, 144, 186 e 211 são ter- mos da sucessão e, caso o sejam, indica a ordem que corresponde a cada um. Apresenta todos os cálculos ou esquemas que efetuares.

n n+ 1

Figura1 Figura2 Figura3

6 Considera as seguintes sequências.

I. 4, 9, 14, 19, ...

II. 19, 15, 11, 7, ...

6.1 Para cada uma delas, indica:

a)o primeiro termo;

b)o vigésimo termo;

c)o termo de ordemn.

6.2 Considera, agora, a sequência em que cada termo resulta da soma dos termos de igual ordem das duas sequências da alínea anterior. Determina o termo de ordem ndesta nova sequência.

7.1 Representa as figuras 4 e 5 desta sequência e indica o número de palitos que as constituem.

7.2 Por quantos palitos é formada a 40.a_{figura? Explica o teu raciocínio.}

7.3 Descobre uma regra que permita determinar o número de p alitos de uma qualquer figura.

7.4 Para construir uma figura desta sequência foram necessários 122 palitos. Qual é o número da figura? Explica o teu raciocínio.

7.5 Considera agora os retângulos que limitam as figuras da sequência anterior.

Praticar

Unidade 3 Sequências e regularidades

7 Observa a sequência de figuras.

A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.

Figura1 Figura2 Figura3

1 2 3

Número da figura

7 12 17

Número de palitos

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Descobre uma regra que permita determinar a área de cada um desses retângulos. (considera 1 palito como unidade de medida de comprimento).

41

8 Considera as três primeiras figuras de uma sequência.

Figura1 Figura2 Figura3

8.1 Completa a tabela.

8.2 Descreve o padrão que observas.

8.3 Considera a sucessão (a_n) do número de pontos de cada figura.

a)Determina o termo geral da sucessão.

b)Calculaa5e interpreta o resultado no contexto do problema. c)Determina o número de pontos da figura 5.

d)Existirá alguma figura com 90 pontos? Justifica a tua resposta.

8.4 Determina o termo geral da sucessão (b_n) do número de segmentos de ligação de uma figura de qualquer ordem.

A tabela seguinte refere-se a figuras da mesma sequência.

1 2 3 Número da figura 5 8 11 4 5 Número de pontos 5 9 13

Número de segmentos de ligação

9 Observa a sequência de figuras.

9.1 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados brancos de uma figura de qualquer ordem.

9.2 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados amarelos de uma fi- gura de qualquer ordem.

9.3 Escreve uma expressão que permita determinar o número de quadrados total de uma figura de qualquer ordem.

Figura 4 Figura 3

Figura 2 Figura 1

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Unidade 3 Sequências e regularidades

10 Durante as férias de Natal, a Catarina foi a Barcelona. Uma das zonas que visitou foi a Praça de Espanha, onde se en- contram duas magníficas torres. Tal como a figura sugere, as torres da Praça de Espanha têm a forma de uma pirâ- mide quadrangular no topo de um prisma quadrangular, for- mando uma torre de quatro lados.

De seguida apresenta-se um modelo das referidas torres.

10.1 O modelo apresentado respeita a Fórmula de Euler?(Fórmula de Euler: Vértices + Faces = Arestas + 2)

10.2 Determina o número de vértices, arestas e faces de um modelo de uma torre de 5 lados.

10.3 Descobre uma expressão que permita calcular:

a)o número de vértices do modelo de uma torre com nlados;

b)o número de arestas do modelo de uma torre comnlados;

c)o número de faces do modelo de uma torre comnlados.

10.4 Averigua se a Fórmula de Euler se verifica no modelo de uma torre de nlados.

11 O irmão do João pintou a seguinte sequência de desenhos em papel quadriculado.

Quantas quadrículas pintadas tem o décimo desenho? Explica o teu raciocínio.

Adaptado de Olimpíadas Portuguesas da Matemática – Pré-Olimpíadas

Figura1 Figura2 Figura3

… Barcelona

43

12 O Superchocolate é uma caixa de doces constituída por chocolates e caramelos. As caixas são organi- zadas da seguinte forma: cada caramelo é colocado no centro d e cada conjunto de quatro chocolates, tal como sugere a figura seguinte.

As dimensões de cada uma das caixas dizem-nos o número de colunas e de linhas de chocolates que cada caixa possui.

Descreve um método para encontrar o número de caramelos de qualquer caixa, conhecidas as suas di- mensões. Exemplifica e justifica o teu método através de palavras, diagramas ou expressões.

Adaptado de Principles and Standards, NCTM , 2000

2 2 2 4

3 5

13 De regresso ao Colégio, depois das férias do Natal, todos os colegas de turma da Margarida se cumpri- mentaram com um abraço. Cada um cumprimentou cada colega uma só v ez. A tabela seguinte esque- matiza parte da situação descrita.

Número de colegas 2 3 4 5 Esquema Número de abraços 1 3 6

13.1 Completa a tabela anterior.

13.2 Observa com atenção o esquema constituído por

quatro

colegas. Quantos abraços deu

cada

colega? E no esquema constituído por

cinco

colegas?

13.3 Quantos abraços se tinham dado, no momento em que se encontravam na sala 10 meninos? Ex- plica o teu raciocínio.

13.4 Escreve uma expressão algébrica que permita determinar o número de abraços dados por um qualquer número de colegas.

1 Observa as sequências e supõe que se mantém a regularidade entre termos consecutivos.

I. 26, 24, 22, 20, …

II. , , , , …

1.1 Indica os próximos três termos de cada uma das sequências.

I. II.

1.2 Indica um possível termo geral para cada uma das sequências.

I. II.

2 Considera uma sequência em que o primeiro termo é 126. Sabendo que a lei de formação dos res- tantes termos da referida sequência ésubtrair seis ao termo anterior e dividir por três, determina o seu quarto termo. Explica o teu raciocínio através de palavras, cálculos ou diagramas.

3 Considera a seguinte sequência de pontuações obtidas pela Joana nas primeiras seis vezes em que  jogou um determinado jogo: 65, 35, 25, 20, 17, 15.

3.1 Verifica se alguma das expressões seguintes permite gerar esta sequência de números.

[A]95 – 30n [B] [C]55 – 10n [D]5 +

3.2 Admitindo que a sequência foi gerada por uma das expressões indicadas na alínea anterior e se a Joana continuasse a jogar e as pontuações continuassem a seguir este mesmo modelo, que pontuação iria obter na 10.a _jogada?

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

5 25 4 16 3 9 2 4 60 n 5n+ 60 2n– 1

Testar

45

4 Considera as sequências: Sequência 1: 5n– 3 Sequência 2: + 1

4.1 Para cada uma das anteriores sequências, determina, a partir do seu termo geral, os cinco primeiros termos.

Sequência 1: _________________________________________________________________ Sequência 2: _________________________________________________________________

4.2 Considera, agora, apenas a sequência 1. Verifica se os números 33, 72 e 222 são termos da se- quência e, em caso afirmativo, indica a ordem que corresponde cada um. Apresenta todos os cálculos ou esquemas que efetuares.

5 De seguida apresentam-se as primeiras figuras de uma sequência.

5.1 Encontra o número de pontos da 20.a_{figura. Explica o teu raciocínio.}

5.2 Escreve uma expressão que permita determinar o número de pontos de uma figura de qual- quer ordem.

5.3 Para construir uma figura desta sequência foram necessários 128 pontos. Qual é o número da figura? Explica o teu raciocínio.

1

n

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Unidade 4

Unidade 4 Figuras geométricasFiguras geométricas

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