caderno de atividades 7ano.pdf

CADERNO

CADERNO

DE ATIVIDADES

DE ATIVIDADES

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

7

7

º

º

.

.

A

A

N

N

O

O

Fátima Cerqueira Magro

Fátima Cerqueira Magro

Fernando Fidalgo

Fernando Fidalgo

Pedro Louçano

Pedro Louçano

     D

     D

    e

    e

    a

    a

    c

    c

    o

    o

    r

    r

     d

     d

    o

    o

    c

    c

    o

    o

    m

    m

     M

     M

    e

    e

    t

    t

    a

    a

    s

    s

     C

     C

    u

    u

    r

    r

    r

    r

     i

     i

    c

    c

    u

    u

     l

     l

    a

    a

    r

    r

    e

    e

    s

    s

    e

    e

     N

     N

    o

    o

    v

    v

    o

    o

     P

     P

    r

    r

    o

    o

    g

    g

    r

    r

    a

    a

    m

    m

    a

    a

     d

     d

    e

    e

     2

     2

     0

     0

     1

     1

     3

     3

 N

 N

 O

 O

 V

 V

A

A

 E

Números

Números

Resumir Resumir 44 Praticar Praticar 88 1.

1.Multiplicação e divisão de números racionais relativosMultiplicação e divisão de números racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 19, 20, 216, 7, 8, 16, 19, 20, 21

2.

2.Propriedades da adição e multiplicação de númerosPropriedades da adição e multiplicação de números

racionais relativos

racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 71, 2, 3, 4, 5, 6, 7

3.

3.Potências de base racional e Potências de base racional e expoente naturalexpoente natural 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 208, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

4.

4.Quadrados perfeitos e raiz Quadrados perfeitos e raiz quadradaquadrada 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 3531, 33, 35

5.

5.Cubos perfeitos e raiz cúbicaCubos perfeitos e raiz cúbica 22, 23, 24, 26, 32, 3422, 23, 24, 26, 32, 34

Testar Testar 1414

Funções

Funções

Resumir Resumir 1616 Praticar Praticar 1818 1.

1.Referencial cartesianoReferencial cartesiano

2.1

2.1Correspondências e funçõesCorrespondências e funções 11

2.2

2.2Modos de representar correspondênciasModos de representar correspondências 1, 8, 9, 251, 8, 9, 25

2.3

2.3Análise de algumas correspondênciasAnálise de algumas correspondências 1, 7, 311, 7, 31

3.

3.FunçõesFunções 2, 3, 15, 17, 18, 192, 3, 15, 17, 18, 19

4.

4.Operações com funçõesOperações com funções 44

5.

5.Função afimFunção afim 5, 14, 20, 25, 305, 14, 20, 25, 30

6.

6.Proporcionalidade direta como funçãoProporcionalidade direta como função 6, 7, 9, 11, 13, 21, 29, 30, 31, 336, 7, 9, 11, 13, 21, 29, 30, 31, 33

7.

7.Interpretação de gráficosInterpretação de gráficos 10, 13, 16, 21, 22, 26, 27, 2810, 13, 16, 21, 22, 26, 27, 28

Testar Testar 3434

Sequências e regularidades

Sequências e regularidades

Resumir Resumir 3636 Praticar Praticar 3838 1. 1.SequênciasSequências 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 133 1.1

1.1Gráfico de uma sequência numéricaGráfico de uma sequência numérica

2. 2.SucessõesSucessões 3, 4, 83, 4, 8 Testar Testar 4444

Figuras geométricas

Figuras geométricas

Resumir Resumir 4646 Praticar Praticar 4848 1. 1.DemonstraçõesDemonstrações 19, 30, 3219, 30, 32 2.

2.Linha poligonal e polígonoLinha poligonal e polígono 1, 2, 31, 2, 3

3.

3.Ângulos internos e externos de um polígonoÂngulos internos e externos de um polígono 6, 11, 13, 17, 21, 22, 26, 286, 11, 13, 17, 21, 22, 26, 28

4.1

4.1Algumas propriedades dos paralelogramosAlgumas propriedades dos paralelogramos 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18,4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18,

20, 23, 30

20, 23, 30

4.2

4.2Áreas de alguns quadriláterosÁreas de alguns quadriláteros 26, 27, 29, 3226, 27, 29, 32

Testar Testar 5858 UNIDADE 4 UNIDADE 4 UNIDADE 3 UNIDADE 3 UNIDADE 2 UNIDADE 2 U UNNIIDDAADDEE11 AAttiivviiddaaddeess PPáággiinnaa

ÍNDICE

ÍNDICE

Tratamento de dados

Resumir 60 Praticar 62 1.1Média e moda 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13 1.2Mediana 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11 Testar 70

Equações

Resumir 72 Praticar 74 1.Noção de equação 6, 12, 15, 20, 26, 29, 34

2.Raiz ou solução de uma equação 1, 3, 4, 19, 22

3.Equações equivalentes 19

4.Adição de termos semelhantes 25

5.Princípios de equivalência de equações 2, 3, 4, 25, 26

6.Classificação de equações 19, 20, 33

7.Equações lineares a uma incógnita 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 8.Resolução de problemas com equações 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32

Testar 84

Figuras semelhantes

Resumir 86

Praticar 88

1.Comparação entre segmentos de reta 1 (Testar) 2.Segmentos de reta comensuráveis

3.Segmentos de reta proporcionais 4.Decomposição de um triângulo

5.Teorema de Tales 15, 6 (Testar)

6.Figuras semelhantes 1, 4, 7

7.Semelhança de triângulos 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 27, 29 30, 31, 32, 34, 35, 37, 38 8.Semelhança de polígonos 8, 9, 16, 17, 18, 19, 24, 28

9.Círculos semelhantes 22

10.Como dividir um segmento de reta?

11.Homotetias 4, 21

12.Perímetros e áreas de figuras semelhantes 22, 23, 25, 37 13.Determinação de distâncias aplicando semelhanças 12, 27, 28, 31, 33, 36, 38 14.Incomensuráveis Testar 102

Provas globais

104 Prova global 1 106 Prova global 2 108 Prova global 3 110

Soluções disponíveis em: www.pi7.asa.pt UNIDADE 7

UNIDADE 6

Multiplicação e divisão de números racionais relativos

Para multiplicar números racionais positivos representados por frações, multiplicam-se os numeradores e os

de-nominadores das frações.

Exemplo:

¥

=

=

2

5

11

3

2

¥

11

5

¥

3

22

15

Resumir

Unidade 1 Números

O simétrico da diferença entre dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer

q

e

r 

números racionais, –(

q

–

r 

) = (–

q

) +

r 

.

Exemplo:

–

(

4 –

7

)

= (–4) +

5

7

5

Exemplo:

:

=

¥

=

=

3

7

11

2

33

14

2

11

3

7

3

¥

11

7

¥

2

Exemplo:

–

(

2

+ 3

)

=

(

–

)

+ (–3)

5

2

5

Exemplo:

¥

(–5) =

(

–

2

)

¥

5 = –

(

¥

5

)

3

2

3

2

3

Para dividir números racionais representados por frações, basta multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.

Operações com números racionais relativos

O simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos, ou seja, para quaisquer

q

e

r 

nú-meros racionais, –(

q

+

r 

) = (–

q

) + (–

r 

).

Para quaisquer números racionais

q

e

n

,

n ¥

(–

q

) = (–

q

)

¥ n

= –(

n ¥ q

).

O produto de dois quaisquer números racionais é o número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos

valores absolutos dos fatores, sendo o sinal deste produto

positivo

se os fatores tiverem o

mesmo sinal

e

ne-gativo

no caso contrário.

Exemplos:

1.

–

2

¥

(

–

)

=

2.

5

¥

(

–

)

= –

3

1

5

2

15

2

7

10

7

5

Propriedades da adição e da multiplicação de números racionais

Exemplo:

=

8

= –

–5

8

5

–8

5

Para quaisquer números racionais

q

e

r 

,

–

q

=

= – .

r  q

–

r  q r 

Exemplos:

1.

1

:

( )

=

¥

5 =

2.

–11 :

= –

(

11

¥

)

= –2

3

5

3

2

11

1

5

1

3

11

2

Existência de elemento neutro Propriedade associativa Propriedade comutativa Propriedades da adição Sendoaum qualquer número racional: a+ 0 = 0 +a=a Para quaisquer números

racionaisa,bec: a+ (b+ c) = (a+b) +c Para quaisquer números racionaisaeb: a+b=b+a Exemplo: + 0 = 0 + = 11 5 11 5 11 5 Exemplo:

(

– 2

)

+ = +

(

– +

)

= 5 1 5 2 3 2 5 1 5 2 3 7 15 Exemplo: 3 +

(

– 2

)

=

(

–

)

+ 3 = – + = 5 2 5 2 5 15 5 13 5

Exemplos:

1.

0 : (–3) = 0

2.

0 : 1,8 = 0

3.

0 : = 0

5

4.

0 :

(

–

)

= 0

3

6

7

O quociente entre um número racional e um número racional diferente de zero é o número racional cujo valor

ab-soluto é igual ao quociente entre os valores abab-solutos, sendo o sinal desse quociente positivo se os números

ti-verem o mesmo sinal e negativo no caso contrário.

O quociente entre zero e um qualquer número racional diferente de zero, é igual a zero.

Quadro-resumo

(+)×(+) = (+) (+)×(–) = (–) (–)×(+) = (–) (–)×(–) = (+) (+) : (+) = (+) (+) : (–) = (–) (–) : (+) = (–) (–) : (–) = (+) 0 : (+) = 0 0 : (–) = 0 (–) : 0 é impossível (+) : 0 é impossível Multiplicação Divisão

Resumir

Unidade 1 Números

Quadro-resumo:

par ímpar + + sinal da potência positiva (+) base

Expoente par ímpar

+ –

negativa (–)

Potências

Sejam a e b números racionais e

m

e

n

números naturais.

•

an_{¥ a}m

=

_an+m

•

_an_{¥ b}n

= (

_{a ¥ b}

)

n

•

an

:

_am

=

_an–m

,

_n

>

_m

,

_a≠

0

•

_an

:

_bn

= (

_a

:

_b

)

n

,

_b≠

0

Existência de elemento inverso Existência de elemento absorvente Existência de elemento neutro Propriedade associativa Propriedade comutativa Propriedades da multiplicação _Sendo a≠0 um qualquer número racional, o seu

inverso é igual a 1 a Sendoaum qualquer número racional: a ¥0 = 0¥a=a Sendoaum qualquer número racional: a ¥1 = 1¥a=a Para quaisquer números

racionaisa,bec: a ¥(b ¥c) = (a¥b)¥c Para quaisquer números racionaisaeb: a¥b=b¥a Exemplo: O inverso de – é 1 :

(

–

)

= = 1¥

(

–

)

= – 2 7 2 7 7 2 7 2 Propriedade distributiva em relação à adição

Para quaisquer números racionaisa,bec: a ¥(b+c) =a ¥b+a ¥c Exemplo: ¥

(

+

)

= ¥ + ¥ = = + = + = 3 2 7 5 3 2 15 20 29 20 1 2 1 2 1 2 7 5 3 4 7 10 14 20 Propriedade distributiva em relação à subtração

Para quaisquer números racionaisa,bec: a ¥(b–c) =a ¥b–a ¥c Exemplo: ¥

(

–

)

= ¥ + ¥

(

–

)

= = – = – = 3 2 7 5 7 10 15 20 1 20 1 2 7 5 1 2 3 2 1 2 3 4 14 20 Exemplo: – 3 ¥0 = 0¥

(

–

)

= 0 7 3 7 Exemplo: ¥1 = 1¥ = 2 5 2 5 2 5 Exemplo:

(

–3¥ 2

)

 ¥ = –3¥

(

¥

)

= – 7 4 5 2 7 24 35 4 5 Exemplo:

(

– 3

)

 ¥ = ¥

(

–

)

= – 7 2 5 2 5 6 35 3 7

Exemplo:

3

₌

3 3

27

64

√∫

7

Quadrados perfeitos e raízes quadradas

Chama-se

quadrado perfeito

a um número que é quadrado de um número inteiro positivo.

A

raiz quadrada

de um número

a

(não negativo) é um número

b

(não negativo) tal que

b2

=

b ¥ b

=

a

e

repre-senta-se por

a

ou

2

• Sejam

m

e

n

quocientes de quadrados perfeitos. Então,

m ¥ n

e ,

n≠

0, também são quocientes de

quadra-dos perfeitos.

m n

• Sejam

q

e

r 

dois números racionais positivos. Então,

q q ¥ r 

.

• Sejam

q

e

r 

dois números racionais positivos com

r ≠

0. Então,

q

=

.

r 

√∫

Cubos perfeitos e raízes cúbicas

Chama-se

cubo perfeito

a um número que é cubo de um número inteiro positivo.

Exemplo: 25 é um quadrado perfeito porque 25 = 5

2

_.

Exemplo:

6

= 64.

Exemplo:

3

4

4

¥

9

Exemplo:

25

=

2

49

√∫

Exemplos:

1.

16

¥

=

¥

=

=

2.

:

=

:

=

¥

=

=

9

1

4

4

2

3

2

1

2

2

2

(4

¥

1)

2

(3

¥

2)

2

4

2

6

2

16

9

1

4

4

2

3

2

1

2

2

2

4

2

3

2

2

2

1

2

8

2

3

2

(4

¥

2)

2

(3

¥

1)

2

Exemplo:

27 é um cubo perfeito porque 27 = 3

3

_.

A

raiz cúbica

de um número

a

é um número

b

tal que

b3

=

b ¥ b ¥ b

=

a

e representa-se por

3

Exemplo:

3 3

_{= 64.}

• Sejam

m

e

n

quocientes(ou simétricos de quocientes) de cubos perfeitos. Então,

m¥ n

e ,

n≠

0, também são

quocientes de cubos perfeitos.

m n

Exemplos:

1.

8

¥

=

¥

=

=

2.

:

=

¥

=

¥

=

=

27

1

125

2

3

3

3

1

3

5

3

(2

¥

1)

3

(3

¥

5)

3

2

3

15

3

1

343

8

27

(1

¥

3)

3

(7

¥

2)

3

3

3

14

3

1

343

27

8

1

3

7

3

3

3

2

3

• Sejam

q

e

r 

dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então,

3

=

3  ¥3

• Sejam

q

e

r 

dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos perfeitos. Então,

3

=

, para

r ≠

0.

3 3 q r 

√∫

Exemplo:

3 3

• Sejam

q

e

r 

dois quocientes ou simétricos de quocientes de cubos. Então,

3

= –

3

Exemplo:

3

27

64

a

.

¥ r 

=

q r 

4 = 8, porque 8

2

6 =

¥

9 =

5

49

a

.

64 = 4, porque 4

q¥ r  q r 

.

q r 

8

¥

27 =

3

8

¥

27

–

q q

.

–8 = –

3

₈

Praticar

Unidade 1 Números

1

Completa as duas tabelas seguintes.

2

Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas.

2.1

(–3)

¥

(

+

)

= _________________

2.3

(+2)

¥

(

+

)

= _________________

2.5

(

–

)

¥

(

–

)

= _______________

2.7

(

– + 2

)

¥

(–0,7) = ____________

2.9

(

–0,2 –

)

+

(

–7 +

)

= _______

_________________________________

2.2

(

–

)

¥

(

–

)

= _________________________

2.4

(

+

)

¥

(

–

)

= _________________________

2.6

(

–

)

¥

(

+

)

¥

0,3 = ___________________

2.8

(+5)

¥

(

+4 – 2

)

= ______________________

2.10

(–2)

¥

(

– +

)

–

(

– –

)

= _________

__________________________________________

4

5

7

2

20

7

3

9

5

7

5

4

4

3

5

3

3

4

6

3

8

7

2

3

5

2

1

5

3

4

8

10

5

2

3

5

3

Completa o esquema sabendo que em cada retângulo se escreve o produto dos dois números que estão

imediatamente por baixo dele.

4

Completa a tabela, identificando a propriedade da multiplicação que permite escrever cada uma das

igualdades.

+2

–2 –2

–1

×

+

+8

–0,7

–0,6

–2

–1

(–7)

¥

5

=

¥

(–7)

2

5

2

(

–

2

¥

)

¥

(–3) =

(

–

)

¥

(

¥

(–3)

)

7

9

5

2

7

9

5

Propriedade Igualdade

–2

0

+2 –0,3 –4 2

:

+4

+

–12

0

4

3

8

5

3

5

1

3

1

3

(–2)

¥

(

– +

4

(

–

))

= (–2)

¥

(

–

)

+ (–2)

¥

(

–

)

5

6

11

4

5

6

11

9

6

Completa os espaços com um número inteiro de forma a tornar verdadeiras as igualdades.

7

Completa a tabela, indicando, em cada caso, os valores de

a

,

b

e

c

que tornam as igualdades verdadeiras.

8

Faz corresponder cada expressão da coluna da esquerda a uma expressão da coluna da direita, de modo

que cada uma das expressões fique associada a outra com o mesmo valor.

9

Completa cada uma das seguintes frases de modo a obteres afirmações verdadeiras. Para isso, utiliza

os termos:

ímpar/positivo/quadrado perfeito/par/ cubo perfeito/zero

.

6.1

–3

¥

_____ = –

6.3

_____ :

(

–

)

= +1

6.5

(

–

+ 3

)

¥

_____ = –36

6.2

–

: _____ = +15

6.4

_____ :

(

– –

)

= –2

6.6

_____ : (–14

¥

(–1)) = –3

9

7

30

7

15

2

15

3

1

6

3

5

9.1

Uma potência de base positiva é sempre um número _________________________.

9.2

Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre _________________________.

9.3

Uma potência de base negativa e expoente _________________________ é um número positivo.

9.4

Uma potência de base negativa e expoente _________________________ é um número negativo.

9.5

Um número que é quadrado de um número inteiro diz-se um _________________________.

9.6

Um número que é cubo de um número inteiro positivo diz-se um _________________________.

5

Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas, utilizando, sempre que possível, a

pro-priedade distributiva da multiplicação.

5.1 ¥

(

– + 5

)

  5.2

–

¥

(

– + 6

)

  5.3

–

(

– +

)

+ (–4)

¥

(

– –

)

  5.4

(

–

)

2 ¥

(

–2

2

–

)

+ (–1)

7

+

2

3

3

5

8

7

5

2

3

2

5

3

3

5

7

3

3

2

5

7

7

2

a b c a ¥ b

= 1,5

c ¥ b ¥

(–4) =

a

:

c

= –2

b

(

a

:

b

)

¥ c

= –

Expressão

(–2)

2

_{+ (–1)}

5 _l

: (–1,5)

×

(–1)

200 l

(–2)

2 _l

–16 : (–4)

×

(

–

)

l

9

2

1

5

l

(–3)

2

– (2

2×

3)

l

–

l

–16

×

(–1) – 13

l

(

–

)

2

:

(

–

)

2

2

2

5

16

5

8

5

3

2

30

7

13

Uma potência de base negativa é: (Escolhe a opção correta.)

[A]

sempre positiva.

[B]

sempre negativa.

[C]

positiva se o expoente for um número par.

[D]

negativa se o expoente for um número par.

Praticar

Unidade 1 Números

14

Considera as potências

a x

e

_a y

, de expoente inteiro, sendo

_a

um número inteiro positivo.

Se

 x

–

 y

= 3 , então

é igual a: (Escolhe a opção correta.)

[A] a3 [B] a [C]

1

[D]

0

a x

a y

15

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

[A]

–1,4

>

–

1

[B]

(–1)

207

= –207

[C]

–1

20

= +1

[D]

(–7)

4

= –7

4

2

16

Escreve em linguagem matemática e calcula:

16.1

a soma de –2 com o dobro de – ;

16.2

o produto da soma de + com – pelo triplo de –7;

16.3

o triplo do quadrado de – ;

16.4

a soma do cubo de – com o quadrado de + ;

16.5

o quadrado da soma de – com o dobro do seu simétrico.

3

2

3

5

5

4

1

5

5

4

7

2

5

7

10

Escreve

64

como uma potência de expoente 2. Explica como procedeste.

25

11

Escreve 64 como uma potência de base 2. Explica como procedeste.

12

Uma potência de expoente ímpar e base positiva é sempre: (Escolhe a opção correta.)

11

19

Considera um número racional

a

.

19.1

Mostra que o simétrico de

a

– 1 é 1 –

a

.

19.2

Calcula cada um dos números referidos na alínea anterior no caso de

a

= 3.

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

20

Sabendo que

 x

= –

(

– +

)

,

 y

= –

2

–

(

–

)

2

e

w

= –3

¥

(

– –

)

, determina o valor de cada uma

das seguintes expressões.

20.1 x

+

 y

+

w 20.2 x ¥ y

+

w 20.3 x2

–(

 y

–

w

)

2

2

3

5

2

2

5

2

3

1

5

5

2

21

Dentro de um saco estão quatro cartões de igual textura e formato. Em cada um deles está escrito um dos

números +1, –1, –2 e +2. Num outro saco estão também quatro cartões de igual textura e formato, mas

todos com o número –3 escrito.

17

A expressão

(

– –

)

2

é igual a: (Escolhe a opção correta.)

[A]

(

–

)

2

–

(

–

)

2 [B]

(

–

)

2

+

(

–

)

2 [C]

–

[D]

+

3

2

4

5

3

2

4

5

3

2

4

5

23

10

23

10

18

Utiliza um dos símbolos

>

,

<

ou = para completar os espaços, tornando as afirmações verdadeiras.

18.1

(

–

)

3

_____

(

–

)

2 18.2

1,5 _____

(

–

)

5 18.3

0

30

_____

(

–

)

301 18.4

(–1)

4002

_____ (+1)

25 18.5

–3

3

_____ (–3)

3 18.6

–3

4

_____ (–3)

4

2

3

2

3

7

2

3

5

21.1

Sem olhar, a Ana retirou dois cartões, um de cada saco, e somou os números neles escritos.

Ob-teve –5. Que números estavam escritos nos cartões?

21.2

Da mesma forma, o Pedro retirou dois cartões, um de cada saco, e multiplicou os números neles

escritos. Qual o valor máximo que o Pedro pode ter obtido? Explica o teu raciocínio.

21.3

A Carlota afirmou que, na experiência descrita na alínea anterior, o Pedro tinha mais hipóteses

de obter um produto positivo do que um produto negativo. Concordas com a Carlota? Explica o

teu ponto de vista.

23

Completa a tabela, apresentando, sempre que necessário, os valores arredondados às décimas.

Praticar

Unidade 1 Números

64

a

3

√∫a

5

3_{√∫a (√∫a)}2 ₍3_√∫a)3

24

Considera as seguintes afirmações.

A.

9 é um cubo perfeito.

B.

A raiz quadrada de cinco é vinte e cinco.

C.

A raiz cúbica de 64 é 4.

D.

36 é um quadrado perfeito.

Escolhe a opção correta.

[A]

As afirmações A e B são verdadeiras.

[B]

As afirmações C e D são verdadeiras.

[C]

As afirmações A e D são verdadeiras.

[D]

Nenhuma das opções anteriores.

25

Qual é o perímetro de um quadrado com 36 cm

2

de área? (Escolhe a opção correta.)

[A]

6 cm

[B]

9 cm

[C]

24 cm

[D]

36 cm

26

Qual é o volume de um cubo cuja aresta tem o dobro do comprimento da aresta de um cubo com

125 cm

3

_{de volume? (Escolhe a opção correta.)}

[A]

250 cm

3 [B]

1000 cm

3 [C]

10 cm

3 [D]

20 cm

3

27

Dado um número racional

q

, mostra que 5

¥

(–

q

) = –(5

¥ q

).

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico 28

Calcula o valor exato de cada uma das seguintes expressões numéricas.

28.1

[(

–

)

¥

( )]

:

28.2 ¥

(

–3 +

)

28.3

(

+

3 28.4

(

(–

28.5

–3 + 3

24

3

√∫

3

3

5

2

3

7

–4

2

7

4

5

22

Completa os espaços em branco.

22.1

√∫8 ∫1 = _____ porque 9

2

= _____ ;

  22.2

√∫_ ∫_ ∫_ ∫_ ∫_ = 7 porque 7

2

= _____ ;

22.3 3

√∫

_ ∫_ ∫_ ∫_ ∫_ = 3 porque 3

3

= _____ ;

  22.4 3

√∫

8 = _____ porque _____

3

= _____

3)

2

_{6 ∫4 – (}

3

₅₎

3

8 ∫1)

¥

1 ∫0 ∫0 –

3

1 ∫2 ∫5)

 ∫

6 :

3

_{2 ∫7 + (–5)}

_¥

35

Na figura ao lado estão representados três quadrados.

Sabe-se que o quadrado menor tem 121 cm

2

_{de área e que o quadrado}

maior tem 144 cm

2

_{. Sabe-se ainda que}

   _–

_CB

₌

   _–

_B A

_.

35.1

Determina o comprimento do lado do quadrado maior.

35.2

Determina a área do quadrado do lado [

BD

]. Explica o teu raciocínio.

13

29

Indica dois quadrados perfeitos cuja soma seja um quadrado perfeito e dois cuja soma não seja um

qua-drado perfeito.

30

Sabe-se que 3

<3

√∫

6 ∫2

<

4. Sem utilizar a calculadora, indica outros quatro números cuja raiz cúbica

tam-bém seja maior que 3 e menor que 4. Explica o teu raciocínio.

31

Sabendo que

p

=

,

q≠

0, determina o valor de

. Apresenta o resultado sob a forma de fração.

q

√∫

p

25

36

√∫

32

Mostra que se

p

e

q

são cubos perfeitos não nulos, então também é um cubo perfeito.

p q

33

Considera o número racional .

33.1

Calcula

( )

2

.

33.2

Que relação existe entre o quadrado de e o quadrado do seu simétrico?

5

7

5

7

5

7

34

A Joana comprou um perfume para oferecer ao João Nuno no dia

dos namorados. Na perfumaria, para embrulhar o perfume,

utiliza-ram uma caixa com a forma de um cubo, tal como ilustra a figura.

Sabendo que a caixa utilizada tem 2197 cm

3

_{de volume, e que para}

fazer o laço foram utilizados 30 cm, determina o comprimento total

da fita utilizada no embrulho. Explica como procedeste.

B A C D

1

“O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.”

Prova que a afirmação anterior é falsa, apresentando um contraexemplo.

2

Sem efetuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.

3

Determina o valor de cada uma das seguintes expressões.

3.1

[

(–3)

2¥

(

–

)]

¥

(

– +

)

3.2

[

–5

¥

(

–2 +

)]

3

:

(

–

)

3.3

0

456

+ (–1)

789¥

(

–

)

+ (+1)

178¥

(

–

2

+ 3

3.4 4

Observa a figura.

Como podes observar, a figura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem

36 mm

2

_{de área, determina o perímetro da figura.}

7

2

5

3

6

5

1

2

5

2

3

4

√ 

 _∫

125

27

3

Testar

Unidade 1 Números Potência

(–9)

2

(–35)

457

(+2,4)

223 Sinal

(

+

27

)

24

9

(

–

)

¥

(

–

)

+

–

( )

3

3

2

2

3

√∫

27

64

3

√∫

3

2

3

√∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

 _∫

 ∫

6

)

15

5

Seja

p

um número racional. Mostra que 2

¥

(–

p

) = –(2

¥ p

).

6

Escreve

na forma de dízima.

7

Calcula, utilizando a definição de produto de dois números racionais,

( )

¥

(

–

)

e verifica que é

igual a –

(

¥

)

.

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

8

Observa o polígono [

RSTU 

].

O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos geometricamente iguais, [

RR’U 

] e [

SS’T 

],

e um quadrado, [

RR’S’S

], tal como mostra a figura seguinte.

Sabendo que

   –

U R’ 

= 4 cm e que a área do quadrado [

RR’S’S

] é igual a 16 cm

2

, determina

   –

U T 

.

4

3

5

7

5

7

4

3

√∫

4

25

3 R S U  R R’  R R’  U  S S’  S S’ T  T 

Cada ponto do gráfico fica definido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este é formado por uma

abcissa

e por uma

ordenada

.

(

 x

,

 y

)

abcissa ordenada

Coordenadas cartesianas

Referencial cartesiano

Um referencial cartesiano é composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um deles

com uma orientação indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduação,

habitual-mente igual em ambos.

Resumir

Unidade 2 Funções

Funções

Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos, o conjunto de partida e o conjunto de chegada. Numa

função, a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Para representar uma função podem utilizar-se

diagramas sagitais

,

tabelas

,

gráficos cartesianos

ou

ex-pressões analíticas

:

Numa correspondência que é função, o conjunto de partida designa-se por

domínio

da função e representa-se porD _{. Os elementos deste conjunto chamam-se}

objetos

_{ou originais. A cada objeto, x, a função fará} corres-ponder um e um só elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objeto. A

imagem

de xrepresenta-se por f 

(

 _x

)

_{. O conjunto das imagens chama-se}

contradomínio

_{da função, e representa-se por}C.D._ouD _’.

Veículo Bicicleta Número de rodas 2 Triciclo 3 Automóvel 4 f 

(

 x

) = 2

 x Tempo        A        l      t     u      r      a Número de pernas Elefante Gato Aranha Polvo Homem 4 8 2 2.o _quadrante Origem do referencial

Eixo das ordenadas

Eixo das abcissas

 x   y

1.o _quadrante

3.o _{quadrante 4.}o _quadrante

A

origem

do referencial tem

coordenadas

(0, 0)

.

17

Operações com funções

• A soma de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a imagem de cada x ∈ Aé a soma das imagens. (a+b)( x) =a( x) +b( x)

• A diferença entre funções numéricas com o mesmo domínio é uma função com o mesmo domínio tal que a ima-gem de cada x ∈ Aé a diferença das imagens. (a–b)( x) =a( x) –b( x)

• O produto de funções numéricas com o mesmo domínio é uma função de mesmo domínio tal que a imagem de cada x ∈ Aé o produto das imagens. (a ¥ b)( x) =a( x)¥ b( x)

Proporcionalidade direta

As grandezas X eY são diretamente proporcionais se a razão entre os valo-res corvalo-respondentes das duas, tomados pela mesma ordem, for constante e não nula. Ao valor dessa razão dá-se o nome de constante de proporciona-lidade direta.

Qualquer função com uma expressão algébrica do tipo y=k  ¥ xou, de forma equivalente,f ( x) =k ¥ x,k ≠0, diz-se uma função de proporcionalidade direta. Para xnão nulo, = =k diz-se a constante de proporcionalidade direta. Uma funçãof de proporcionalidade direta é igual, no seu domínio, a uma fun-ção linear de coeficientea=f (1).

Num gráfico de proporcionalidade direta, todos os pontos estão sobre uma reta que passa pela origem do refe-rencial.

f ( x)  x

k  ¥ x  x

Uma dada funçãof : A→_{Bdiz-se uma função numérica quandoBé um conjunto de números e uma função de} variável numérica quando Aé um conjunto de números.

O gráfico de uma funçãof : A→_{Bé o conjunto dos pares ordenados ( x, y), com x ∈ Ae y=f ( x). xdesigna-se por} variável independente e y, porque depende de x, designa-se por variável dependente.

Função afim

Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional btal quef ( x) =b, para todo o racional x, diz-se uma função constante.

Uma função numérica de variável numérica para a qual existe um número racional a tal que f ( x) =a x, para todo o racional x, diz-se uma função linear.f ( x) =a xdiz-se a forma canónica da função linear e a diz-se o coeficiente da função.

A soma e a diferença de funções lineares são funções lineares de coeficientes iguais, respetivamente, à soma e à diferença dos coeficientes das funções dadas.

O produto de uma função linear por uma função constante é uma função linear cujo coeficiente é igual ao pro-duto pela constante do coeficiente da função linear.

Uma função afim é a soma de uma função linear com uma função constante. f ( x) =a x+bdiz-se a forma ca-nónica da função afim, ondeaé o coeficiente da função linear ebo valor da constante. a diz-se o coeficiente de x ebo termo independente.

O produto por uma função constante, a soma e a diferença de funções afins são funções afins de coeficientes da variável e termos independentes respetivamente iguais ao produto pela constante, à soma e à d iferença dos coeficientes das funções dadas.

 y1 = k  x 1  y2 = k  x 2  y3 = k  x 3  y  x 1  y3  y2  y1  x 2 x 3 x 

Praticar

Unidade 2 Funções

1

Indica quais das seguintes correspondências são funções. Justifica a tua resposta.

   C    o    r    r    e    s    p    o    n    d     ê   n    c    i    a    1    C    o    r    r    e    s    p    o    n    d     ê   n    c    i    a    2    C    o    r    r    e    s    p    o    n    d     ê   n    c    i    a    3    C    o    r    r    e    s    p    o    n    d     ê   n    c    i    a    4    C    o    r    r    e    s    p    o    n    d     ê   n    c    i    a    5    C    o    r    r    e    s    p    o    n    d     ê   n    c    i    a    6    C    o    r    r    e    s    p    o    n    d     ê   n    c    i    a    7 A –2 –1 0 B 1 2 0 2 1

É função

Não é função

Justificação

 y  x  1 –1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 1 2 –

É função

Não é função

Justificação

É função

Não é função

Justificação

 y  x 

É função

Não é função

Justificação

C –2 4 5 D 8 3 9 7

É função

Não é função

Justificação

E F 3 7 9 –2 8 5 4

É função

Não é função

Justificação

 y  x 

É função

Não é função

Justificação

 x y

–2

4

–2

0

–2

1

–2

35

2 Considera a funçãof : A→_{Bdefinida pelo diagrama ao lado.}

Identifica o domínio, o contradomínio, o conjunto de chegada e o gráfico def .

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico

3 Dados os conjuntos A= {–2, –1, 0, 1, 2} eB= {–6, –3, 0, 3, 6}, a funçãoi : A→_{Bé definida pela} expres-sãoi ( x) = 3 x.

3.1 Determina o contradomínio dei .

3.2 Determina o gráfico dei .

4 Considera os seguintes referenciais cartesianos, onde se representaram, respetivamente, os gráficos das funçõesf eg.

4.1 Indica o domínio def e deg.

4.2 Identifica o contradomínio de cada uma das funções.

4.3 Completa com números, por forma a obteres igualdades verdadeiras. (f +g)(2) =f (2) +g(__) = ___ + ___ = ___  A f  ₃ 1 4 B 7 a c b  y  x  0 _{1 2 3 4} 1 2 3 4  y  x  0 _{1 2 3 4} 1 2 3 4

4.4 Preenche a tabela e indica o contradomínio da funçãof +g.

 x  1

f ( x )

2 3 4

g( x )

6 Comenta cada uma das afirmações seguintes.

A. O comprimento de um lado de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu perí-metro.

B. O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional à sua área.

C. O comprimento do raio de um círculo é diretamente proporcional ao seu perímetro.

20

Praticar

Unidade 2 Funções

5 Quais dos seguintes gráficos representam uma função linear? Justifica a tua resposta.

g h f  i   j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  y  x 

4.6 Identifica o domínio e determina o contradomínio de cada uma das seguintes funções.

a) f – g b) f  ¥ g c) f 2

Adaptado de Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico 4.5 Representa num referencial cartesiano o gráfico da função f + g.

7 A Matilde inscreveu-se numworkshopde dança. Esteworkshopde 50 h decorre às terças-feiras e cada sessão tem uma duração de 5 horas. O número Pde horas que falta para terminar o workshopé dado pela fórmulaP(n) = 50 – 5n, sendono número de sessões já realizadas.

7.1 Quantas sessões terá oworkshop?

7.2 Se já se tivessem realizado quatro sessões, quantas horas faltariam para terminar o workshop?

7.3 Quantas sessões é que já se teriam realizado se apenas faltassem 10 horas para terminar o

workshop?

8.2 Sendo x o preço do artigo sem desconto eg( x ) o valor do desconto, escreve uma expressão

al-gébrica para a função g.

8.3 Sendo x o preço do artigo sem desconto ef ( x ) o preço do artigo com desconto, escreve uma

ex-pressão algébrica para a funçãof .

8.4 Justifica que as funções f e gsão funções de proporcionalidade direta e indica as respetivas constantes de proporcionalidade.

8.5 Determina o preço final a pagar por um MP3 cujo preço de venda inicial é 180 €.

8 Uma loja de eletrodomésticos está em liquidação de stock . Assim, durante três dias, todos os artigos expostos têm um desconto de 70%.

8.1 Qual é o valor do desconto de um frigorífico que cus-tava 650 €?

9 Indica uma expressão algébrica que defina:

9.1 a área do quadrado, A, em função do comprimento do seu lado,l.

22

Praticar

Unidade 2 Funções

12 O Sr. Fernando produz e vende batatas.

12.1 A tabela seguinte relaciona a quantidade de batatas vendidas, em quilogramas, com a quantia recebida pelo Sr. Fernando, em euros. Completa-a.

12.2 Sejaha função que à quantidade de batatas vendidas (em quilogramas) associa o valor a rece-ber pelo Sr. Fernando (em euros). Escreve uma expressão algébrica de h.

12.3 Se alguém comprar três sacos de 20 kg, quanto terá que pagar? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

12.4 Na última venda que realizou, o Sr. Fernando recebeu 30 €. Quantos quilogramas de batatas vendeu?

Peso (kg) 0 Valor recebido (€) 2 0,60 1,5 PREÇO ESPECIAL 0,15 €/kg

10 Observa o gráfico ao lado.

Qual das seguintes interpretações pode resultar da observação do gráfico?

[A]O Jorge ganha 20 € por cada hora de trabalho.

[B]Por cada 10 rebuçados, a Filipa paga 1 €.

[C]Por cada 10 alunos presentes, são necessários 2 professores.

[D]Um atleta corre a uma velocidade constante de 4 km por hora.

Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Primavera de 2006)

0 1020 30 40 50 60 70 80 1 2 3 4 5 6 7 8  y  x 

11 Quais das seguintes variáveis são diretamente proporcionais? (Escolhe a(s) opção(ões) correta(s).)

[A]Número de horas de estudo e nota obtida no exame.

[B]O peso das laranjas e o preço a pagar por elas.

[C]A altura de uma pessoa e o seu peso.

13

Considera os quatro retângulos seguintes.

No gráfico ao lado, cada ponto

 A

,

B

,

C

e

D

é definido pela base e pela altura dos

retângulos I, II, III e IV.

Completa a tabela seguinte, fazendo corresponder cada ponto a cada

retân-gulo.

IV III II I Base        A        l      t     u      r      a D C B  A Ponto  A Retângulo B C D

14

Os pais do Gonçalo foram passar uns dias a Évora e ficaram instalados num hotel mesmo no centro da

cidade. Na tabela que se segue estão registados os preços, em euros, a pagar, por noite, nesse hotel.

0 _{1 2 3 4 5} 50 100 150 200 Preço a pagar (€) Números de noites 14.1

Desenha o gráfico da função representada pela tabela.

Número de noites ( x )

1

2

3

4

Preço a pagar, em euros ( y)

45 €

90 €

135 €

180 €

Évora

14.2

Indica, justificando, qual das seguintes expressões define a expressão analítica da função

re-presentada pela tabela.

[A] y

= 45

 x [B] y

= 5

 x

[C] y

= 90

 x [D] y

=

1

 x

16 Em janeiro, o Vítor, depois de ter vindo do b arbeiro, decidiu estudar o crescimento do seu cabelo, registando todos os meses a sua medida. O gráfico seguinte representa o crescimento do cabelo do Vítor, desde o mês de janeiro (mês 0) até ao mês de junho (mês 5).

16.2 Em cada mês, quantos centímetros cresceu o cabelo do Vítor?

24

Praticar

Unidade 2 Funções (M) – Mês Janeiro (C) – Comprimento do cabelo 0 Fevereiro 1 4,4 Março 2 5,8 Abril 3 7,2 Maio 4 8,6 Junho 5 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10     C  –     C   o    m    p    r     i   m    e    n    t    o     d   o    c    a     b   e     l   o     (   c   m     ) M – Mês  janeiro fevereiro março abril maio  junho

16.1 Completa a tabela de acordo com os dados representados no gráfico.

16.3 Assinala a expressão que representa o comprimento do cabelo do Vítor, em cada um dos pri-meiros seis meses.

[A] C= 1,4M  [B] C= 3 + 1,4M  [C] C= 1,4 + 3M [D] C= 3M

16.4 O João foi cortar o cabelo no mesmo dia do Vítor, mas o seu cabelo ficou mais curto, com apenas 2 cm. Constrói o gráfico que representa o crescimento do cabelo do João desde janeiro até maio, supondo que cresce 1,5 cm em cada mês.

0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10     C  –     C   o    m    p    r     i   m    e    n    t    o     d   o    c    a     b   e     l   o     (   c   m     ) (M) – Mês

 janeiro fevereiro março abril maio

11 12

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o_{Ciclo, 2004}

15 Considera a funçãoh, representada pela tabela.

15.1 Indica o domínio e o contradomínio deh.

15.2 Completa:

a) h(3) = _______ b) h(_______) = 1

15.3 Qual é a imagem, porh, do objeto 2?

15.4 Qual é o objeto que, porh, tem imagem 0?

 x  0 h( x ) 4 2 3 3 5 4 0 5 1

17 Considera o gráfico de uma função gdefinido porG_g= {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}.

17.1 Identifica o domínio e o contradomínio deg.

17.2 Representa a função gpor um diagrama de setas, supondo que o contradomínio coincide com o conjunto de chegada.

17.3 Supõe que o contradomínio degnão coincide com o conjunto de chegada. Representa por um dia-grama de setas um possível exemplo d eg.

17.4 Determina uma expressão algébrica que defina o valor de g( x) para qualquer xno domínio deg.

18 Considera a funçãogde domínio A=

{

– , 0, , 2

}

e conjunto de chegadaQ_{, definida porg( x) = 2 x– 1.}

18.1 Determina o contradomínio deg.

18.2 Representa o gráfico da função f num referencial cartesiano. 1

2 3 2

Praticar

Unidade 2 Funções     C   e    n    t     í   m    e    t    r    o Polegada 8,89 7,62 6,35 5,08 3,81 2,54 1,27 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3   D  i a g o  n a  l

21 Por vezes, o comprimento da diagonal do ecrã de um televisor é indicado em polegadas. No gráfico que se segue, podes ver a relação aproximada existente entre esta unidade de comprimento e o centímetro.

20 Para cada uma das funções, deQ_emQ_{, definidas em cada uma das seguintes alíneas, indica se se trata}

de uma função afim, linear ou constante, apresentando a respetiva forma canónica.

20.1 f ( x) = 2 – ( x+ 1) + x 20.2 g( x) = 1 – 3 x+ (4 x– 2) – 1 20.3 h( x) = 20.4 i ( x) = 2 x2– (2 x2+ 1) – x 2 x– (3 x– 1) + 3 2

19 Na figura está representado o gráfico de uma função gnum refe-rencial cartesiano.

19.1 Indica o domínio deg.

19.2 Completa as igualdades:

a) g(3) = ____ b) g(__) = 4

19.3 Completa com um número de forma a obteres uma afirma-ção verdadeira: “____________ é o objeto cuja imagem é 0.”

19.4 Indica se é verdadeira ou falsa afirmação: “2 é a imagem de um único objeto”.  y  x  0 _{1 2 3 4 5} 1 2 3 4

21.1 Qual das quatro igualdades que se seguem permite calcular a diagonal do ecrã de um televisor, em centímetros (c), dado o seu comprimento em polegadas (p)?

[A] c= 1,27p [B] c= p [C] c= 2,54p [D] c= p

21.2 O Gonçalo comprou um televisor com 106,68 cm de diagonal. A Marta também comprou um, mas com 40 polegadas de diagonal. Qual dos dois comprou o televisor com maior diagonal? Explica o teu raciocínio.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico , 1.a_{chamada, 2007} 1

2,54 1

27

22 O Sr. Marques é alfarrabista.

No final de cada ano, o Sr. Marques estuda as vendas do ano anterior e regista a informação que obtém através de um gráfico. O gráfico ao lado é referente às vendas do ano passado.

22.1 Em que mês foram vendidos mais livros?

22.2 Em que mês foram vendidos menos livros?

22.3 Quantos livros foram vendidos em outubro?

22.4 Em dois dos meses foram vendidos o mesmo número de livros. Quais foram esses meses?

22.5 A determinada altura houve um grande crescimento nas v endas, que terminou com a tendência de descida que se observava há alguns meses. Em que mês isso aconteceu?

22.6 No total, quantos livros foram vendidos nesse ano?

23 No seu telemóvel, o Marco tem atualmente um tarifário em que cada chamada custa 0,18 €, por minuto, independente da rede para que ligue.

O Marco está em dúvida. Não sabe se deve aderir a uma promoção em que, pagando 50 € mensais, pode ligar, sem restrições de tempo, para quem quiser. Ajuda o Marco, determinando o número de minutos de conversação a partir do qual o seu tarifário atual deixa de ser vantajoso. Explica o teu raciocínio.

24 Na bilheteira de um circo, em vez da habitual tabela de preços, estava afixado o seguinte cartaz informativo:

24.1 A Eliana comprou cinco bilhetes. Quanto pagou?

24.2 A Sofia pagou 9 €. Quantos bilhetes comprou?

24.3 Completa a seguinte tabela, que será afixada na bilhe-teira do circo, em substituição do cartaz informativo.

 J  a  n  e    i  r o

   M  a  r ç   o    F  e  v  e

  r  e   i  r o   A   b  r   i    l

   M  a   i o _J  u  n   h o   A  g  o  s   t o  J  u   l   h o   S  e  t  e   m   b  r  o   O  u  t  u    b  r o    N o  v  e   m   b  r  o    D  e  z  e   m   b  r  o Meses do Ano     N     ú   m    e    r    o     d   e     l     i   v   r   o    s    v    e    n     d     i     d   o   s 3000 2500 2000 1500 1000 500 0

Número de bilhetes comprados (n)

1 2 3 4 … n Preço a pagar (P ) …

Praticar

Unidade 2 Funções

26 Imagina que um recipiente com a forma da pirâmide, inicialmente vazio, se vai encher com água. A quantidade de água que sai da torneira, por unidade de tempo, até o recipiente ficar cheio, é constante. Qual dos seguintes gráficos poderá traduzir a variação da altura da água, no recipiente, com o tempo que decorre desde o início do seu enchimento? Explica, numa pequena composi-ção, a razão por que não escolheste nenhum dos outros três gráficos.

altura

Exame Nacional de Matemática, 3.o_{Ciclo, 2007}

Gráfico

A

Gráfico

B

Gráfico

C

Gráfico

D

Tempo        A        l      t     u      r      a Tempo        A        l      t     u      r      a Tempo        A        l      t     u      r      a Tempo        A        l      t     u      r      a

25 Representa graficamente cada uma das funçõesf egdefinidas por:

29

27 Na realização de uma determinada experiência, foi necessário encher, com água, três recipientes de di-ferentes formas. Todos os recipientes se encontravam completamente vazios e, para os encher, utili-zou-se uma torneira que debitava água de forma constante. Para cada um dos recipientes, indica o gráfico que pode representar a variação da altura da água em função do tempo decorrido desde o ins-tante em que se abriu a torneira.

   R    e    c    i    p    i    e    n    t    e    1 Tempo     A     l   t   u    r    a Tempo     A     l   t   u    r    a Tempo     A     l   t   u    r    a    R    e    c    i    p    i    e    n    t    e    2 Tempo     A     l   t   u    r    a Tempo     A     l   t   u    r    a Tempo     A     l   t   u    r    a    R    e    c    i    p    i    e    n    t    e    3 Tempo     A     l   t   u    r    a Tempo     A     l   t   u    r    a Tempo     A     l   t   u    r    a

28 O Paulo e a Teresa são dois irmãos gémeos de 20 anos de idade. Os seguintes gráficos permitem calcular a evolu-ção dos pesos de ambos, desde o nascimento até hoje.

28.1 Com que idade o Paulo e a Teresa pesavam o mesmo?

28.2 Observa o gráfico e assinala a afirmação correta sobre o aumento de peso da Teresa, entre os 5 e os 10 anos de idade.

[A]A Teresa aumentou mais do que 10 kg e menos do que 15 kg.

[B]A Teresa aumentou exatamente 15 kg.

[C]A Teresa aumentou mais do que 15 kg e menos do que 20 kg.

[D]A Teresa aumentou exatamente 20 kg.

Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o_{Ciclo, 2003}

80 70 60 50 40 30 20 10 0     P   e    s    o     (     k   g     ) Idade (anos) 0 5 10 15 20 Paulo Teresa [A] [B] [C] [A] [B] [C] [A] [B] [C]

Praticar

Unidade 2 Funções

29 O intervalo de tempo que decorre entre o momento em que o condutor de um automóvel vê um obstá-culo na estrada e o momento em que carrega no travão denomina-se

tempo de reação

. Durante o tempo de reação, o automóvel continua a circular à mesma velocidade e percorre uma distância a que se chama

distância de reação

(Dr ). Quanto menor for a distância de reação, mais depressa se imobi-liza o automóvel. Existe uma fórmula, aceite internacionalmente, que relaciona a velocidade (v ) a que um automóvel circula e a distância de reação (Dr ). O gráfico dessa relação está representado na figura seguinte.

30 Dados dois números racionaisbek , sejaf a função definida emQ_{porf ( x) =b xega função constante}

igual ak . Prova que a funçãog ¥ f é linear e identifica o respetivo coeficiente.

Caderno de Apoio às Metas Curriculares do Ensino Básico 0 80 Dr _(m) v  40 0 100 200 (km/h)

De acordo com o gráfico, responde às seguintes questões.

29.1 Qual é a distância que um automóvel percorre quando se desloca a uma velocidade de 100 km/h, desde o instante em que o condutor vê um obstáculo até que inicia a travagem?

29.2 A que velocidade seguiria um automóvel que percorreu 45 m desde o instante em que o condu-tor viu um obstáculo até que iniciou a travagem?

29.3 A distância de reação é diretamente proporcional à velocidade a que um automóvel circula. In-dica qual das seguintes expressões relaciona a distância de reação (Dr ) com a velocidade a que um automóvel circula (v ). [A] Dr = v [B] Dr = v [C] Dr = v [D] Dr = v Projeto 1000 itens 30 100 3 100 100 3 100 30

31

31

O F-16 Fighting Falcon, avião de combate supersónico, é um

dos melhores aviões da atualidade para o combate aéreo e

também para o ataque ao solo, dada a sua extraordinária

manobrabilidade, avançadas características aerodinâmicas

e elevada capacidade de suportar acelerações até 9G.

Força Aérea Portuguesa, consultado em junho de 2009

Um caça F-16 da Força Aérea Portuguesa encontrava-se a fazer testes no espaço aéreo do Alentejo. A

determinada altura, o avião atingiu certa velocidade, que se manteve constante por alguns segundos.

Nessa altura, registou-se o seguinte:

31.1

Sabendo que

velocidade

=

, determina a velocidade atingida pelo avião.

31.2

Se o avião mantivesse a mesma velocidade durante três minutos, quantos quilómetros

percor-reria?

31.3

Mantendo a velocidade constante, quanto tempo, em horas, demoraria o avião a percorrer 4500 km?

31.4

Técnicos especializados, que estudavam a hipótese de melhorar a descolagem do avião,

regis-taram as diferentes alturas a que o avião se encontrava,

t 

segundos após ter iniciado o seu

mo-vimento. Alguns desses registos encontram-se na tabela seguinte.

Seja

 A

a função que ao tempo,

t 

, decorrido desde o instante em que o avião iniciou as manobras

necessárias à descolagem, faz corresponder a altura do avião.

a)

Completa as expressões seguintes, indicando o seu significado no contexto da situação.

i.  A

(20) = ___________

Significado: ________________________________________________________________

ii. A

(___________) = 1000

Significado: ________________________________________________________________

b)

Comenta a afirmação: “A função

 A

é uma função de proporcionalidade direta”.

distância tempo

f – Tempo decorrido (segundos)

0

d – Distância percorrida (metros)

0

2

1056

4

2112

6

3168

Tempo decorrido (segundos)

0

Altura do avião (metros)

0

10

0

20

100

40

1000

Praticar

Unidade 2 Funções

32

O tempo que um

modem

leva a transferir um ficheiro via internet depende do tamanho do ficheiro e da

velocidade de transferência do

modem

. A tabela seguinte indica o tempo que o

modem

da Bárbara

de-mora a transferir alguns ficheiros.

33

Considera um polígono regular cujo lado tem 3,4 cm de comprimento e cujo perímetro é 20,4 cm.

33.1

De que polígono regular se trata?

33.2

Escreve uma expressão algébrica que represente a função que a cada valor do comprimento do

lado associa o perímetro deste polígono regular.

33.3

Representa graficamente essa função.

32.1

Calcula a velocidade de transferência do

modem

, em kB por segundo (kB/s). Explica o teu raciocínio.

32.2

Quantos segundos demora o

modem

da Bárbara a transferir um ficheiro de 1000 kB? Apresenta

todos os cálculos que efetuares e explica a tua resposta. Indica o resultado com uma casa decimal.

32.3

Cada 1024 bytes correspondem a 1 kB (Kilobyte), mas, normalmente, toma-se um valor

apro-ximado, considerando 1 kB = 1000 bytes, e estabelecem-se as seguintes equivalências entre as

diversas unidades de medida:

Tendo em conta as equivalências da tabela, assinala a igualdade verdadeira.

[A]

1 kB = 10

6

bytes

[B]

1 MB = 10

6

bytes

[C]

1 GB = 10

6

bytes

[D]

1 byte = 10

6

MB

t – Tempo (segundos)

2,5

f – Tamanho (em kB)

72

100

288

25

720

60

1728

105

3024

Gigabyte (GB)

0,001

Megabyte (MB)

1

Kilobyte (kB)

1000

Byte (B)

1 000 000

33

33.4

Observa agora o gráfico no qual estão representadas as relações

entre o comprimento do lado e o perímetro de quatro polígonos

re-gulares.

a)

Indica a que polígono regular corresponde cada uma das

fun-ções representadas graficamente na figura.

b)

Indica uma expressão algébrica que represente cada uma das

funções de proporcionalidade direta representadas.

c)

Indica a constante de proporcionalidade referente a cada uma das quatro situações.

d)

À medida que o valor da constante de proporcionalidade aumenta o que acontece ao gráfico

de uma função do tipo

 y

=

k  x

?

Retirado deBrochura de Apoio ao NPMEB – Sequências e Funções 0 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 d () c() b() a()

34

Um táxi A cobra 2 € de bandeirada e 0,78 € por quilómetro percorrido. Um táxi B não cobra bandeirada

mas cobra 1,1 € por quilómetro percorrido.

34.1

Quanto paga um consumidor que faça uma viagem de 20 km no táxi A? Explica o teu raciocínio.

34.2

O dono do táxi B pretende colar uma tabela informativa dos preços que pratica, no vidro do seu

táxi. Essa tabela está representada de seguida. Completa-a.

34.3

O carro do Rui avariou. Para se deslocar para o emprego, o Rui tem de chamar um táxi. Qual dos

dois táxis deve chamar? Justifica a tua resposta.

Número de quilómetros percorridos

1

Preço a pagar (€)

1,1

2

1

Qual das seguintes correspondências não define uma função?

[A] [B] [C] [D]

2

Observa a representação gráfica da função

g

.

2.1

Indica o domínio e o contradomínio da função

g

.

2.2

Qual a imagem, por

g

, do objeto –1?

2.3

Qual é o objeto que, por

g

, tem imagem 2?

2.4

Completa as seguintes expressões:

a) g

(3) = _______

b) g

(_______) = 1

3

Numa papelaria todos os artigos escolares estão em promoção. A quantia a pagar por cada artigo

mar-cado originalmente com o preço v, em euros, é dada, também em euros, pela expressão

C

(

v 

) = 0,85

v 

.

3.1

Se um determinado artigo estiver marcado com o preço de 4,5 € e lhe for aplicado o desconto,

qual é o preço a pagar?

3.2

Podemos afirmar que o preço a pagar,

C

(

v 

), e o preço de marcado,

v 

, são grandezas

direta-mente proporcionais? Justifica.

3.3

Qual é a percentagem de desconto aplicada a cada artigo?

3.4

Comenta a afirmação: “O desconto e o preço marcado são grandezas diretamente proporcionais”.

Testar

Unidade 2 Funções  y  x   y  x   y  x   y  x  0 1 2 –1 0 1 2 3 –1 –2  y  x 

35

4

A Sofia é veterinária e vai estagiar, durante sete dias, na clínica Miau-Miau. No gráfico seguinte pode

observar-se a correspondência entre o tempo de trabalho, em horas, e a quantia a receber pela Sofia,

em euros.

4.1

Que valor recebe a Sofia por cada hora de trabalho?

4.2

Se a Sofia, num determinado dia, trabalhar cinco horas, quanto receberá nesse dia?

4.3

A Sofia, depois de combinar com o gerente da clínica o seu horário de trabalho, fez uns

cál-culos e verificou que, pelos sete dias em que vai estagiar na referida clínica, receberá um total

de 315 €. Em média, quantas horas por dia trabalhará a Sofia?

4.4

Comenta a afirmação: “A quantia a receber pela Sofia é diretamente proporcional ao número

de horas que trabalhará”.

5

O Álvaro tem o seu ioiô na mão e lança-o. Quando o lança pela terceira vez, o fio quebra-se e o ioiô cai

no chão.

5.1

Indica qual o gráfico que pode representar a variação da altura do ioiô, em relação ao chão,

desde o momento em que o Álvaro o lança pela primeira vez, até cair ao chão.

5.2

Explica, numa breve composição, a razão pela qual consideras errado cada um dos outros três

gráficos.

Adaptado deProva de Aferição de Matemática– B 40     Q   u    a    n    t     i   a    a    r    e    c    e     b   e    r     (     €     ) Tempo de trabalho (h) 30 20 10 0 2 4 6 8  y  x  Tempo Altura Tempo Altura Tempo Altura Tempo Altura [A] [B] [C] [D]

Resumir

Unidade 3 Sequências e regularidades

Sequências numéricas

Numa sequência numérica, cada número tem o nome de

termo

, pelo que dois números seguidos dizem-se

termos

consecutivos

. Cada termo obtém-se a partir da

lei de formação

da sequência. 11, 21, 31, 41, 51, …

Lei de formação:

Com exceção do 1.o_{termo, cada termo obtém-se adicionando} 10 unidades ao termo anterior.

Os termos de uma sequência relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressão algébrica. Essa expressão designa-se por

termo geral

.

O termo geral de uma sequência é muito útil, pois permite determinar qualquer termo da sequência, desde que se conheça a sua ordem. O termo geral também permite verificar se um número é, ou não, termo da sequência.

11, 21, 31, 41, 51, … →Termo geral: 10n+ 1

Modos distintos de analisar a sequência podem conduzir a expressões diferentes para a representação do termo geral. Essas expressões são equivalentes, ou seja, são expressões que, depois de simplificadas, são iguais.

11, 21, 31, 41, 51, … 11 + (n– 1)¥10 = 11 + 10n– 10 = 10n+ 1→11 + (n– 1)¥10 é equivalente a 10n+ 1. 1.o_termo ou termo de ordem 1 2.o_termo ou termo de ordem 2 3.o_termo ou termo de ordem 3 4.o_termo ou termo de ordem 4 5.o_termo ou termo de ordem 5 Termo geral: 10n+ 1 Termo geral: 11 + (n– 1)¥10 …

37

Gráfico de uma sequência numérica

O gráfico de uma sequência numérica é constituído pelo conjunto dos pares ordenados (a,b), em queaé a ordem do termo ebé o próprio termo da sequência.

(

a

,

b

)

Sucessões

Uma sequência numérica infinita diz-se uma

sucessão

.

Assim, uma

sucessão

é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.

3 1.o_termo u1 5 2.o_termo u2 7 3.o_termo u3 9 4.o_termo u4 11 5.o_termo u5 13 6.o_termo u6 15 7.o_termo u7 Ordem do termo 17 8.o_termo u8 Termo …

Estes pares ordenados de números podem ser representados num referencial cartesiano, obtendo-se assim a representação gráfica da sequência.

Repara que, da definição de gráfico, a representação gráfica é um conjunto de pontos isolados, como na repre-sentação da figura, correspondente à sequência de termo geral 2n+ 1.