Gradualidade e sequencialidade do ensino e agrupamento de escolas

4.3.1 Notations.

Soit xo € r i.e. Xo = (0,yo)- On se place au voisinage de (yo,»?o) € T*(RJ)). Pour

r)o)^Vo)-On suppose que l’on connaît le ^ en un p>oint de 7„, pour tout : 1 < < ifco

et on veut déterminer le H' le long de pour kc < i' < k.

On se ramène au cas où le problème aux limites est de la forme 5" de la proposition

2-2. La solution v du système S" se sépare en v = suivant les blocs de

H. On & donc que chaque v, est solution d’un système

Dtv, - HiV, € (i;-"') (4.1)

t’+ et V- sont solutions des systèmes paraboliques rétrograde et direct respectivement.

Définition 3-1.

Pour tout J/ 1 < »/ < A:, on pose :L^{t,y,r)) l’espace propre de associé à la

valeur propre Pour {t,y, fiy{t,y,r]),Tj) € 7^ et C^{t,y,r]) le symbole de la

projection propre sur L^,{i^y^ri). L±{i,y,r}) est la somme des espaces propres généralisés

associés aux valeurs propres de çi {t, y,7) à parties imaginaires positives respectivement

négatives et £±(t,y,»?) est le symbole de la projection propre sur L±.

On note aussi la projection v —♦ (0,t’t,,0) et jr+, 7t_ les projections t; —+ v —> i’_.

Ly est donc avec les notations du I

£± = 5-'7t±5.

Lemme 3-2. Soit u 6 ) solution de S. Alors V(7<s-|-p-|-m —

Vi/ € {i,y,T,Tj) € 7t,, et même conclusions en remplaçant v par ±.

Preuve :

On raisonne sur v et on utilise (4.1) qui entréiîne que v^f est sur 71, pour v v'

car au-dessus de Dt — H^> est elliptique. Par suite :

^'•^pol^ = -^pol^" ^ - /f^)(t,y,T,T?) = L^{t,y,t]).

d’où le résultat.

Lemme 3-3. Les orbites H&miltoDiennes de tIs — H au-dessus de7», pour tout 1 < < k

sont de la forme (0,..., 0, lu*,, 0..., 0) où uv est une orbite bamiltoDienne de rla^ — H^.

Preuve :

Si w est une orbite hamiltonienne de ris—H, on a : en posant w — (t^i,..., w^,,..., tr+, u?_)

que tv € Ker o(5"). Or au-dessus de 7»,, cr{S") est idliptique les u>^< pour 1/ ^ v sont

nulles.

4.3.2 Réfiexion.

Définition 3-4.

On dira qu’on a réflexion du front d’onde poleu-isé H‘ si on peut déterminer le front

d’onde polarisé Ti‘ de u sur les bicaractéristiques sortantes en fonction de sa valeur sur

les caractéristiques entrantes.

Comme dans le cas scalaire, on ne peut pas toujours avoir réflexion, il faut donc

imposer des conditions sur les conditions aux limites pour avoir les résultats en vue.

Les conditions que nous allons donner ne portent que sur le symbole principal ^0 du

linéarisé des conditions aux limites. Ces conditions sont les mêmes que celles prises par

Gérard [G-2] dans le cas liné^ûre : car ne portent que sur le symbole principal.

1. Première condition suffisante.

Vu' € C'^ dans un voisinage conique de {yo,Vo)i

/3o(y,J?)u'= 0 =î> ît'(î/,»?)u'= A4(y,i?)7r(î/,t/)tr'-t-A/ (y,T?)7r_(y,T?)i£;. (4.2)

où T{y.T])u' est la projection de w sur la somme des espaces L^{0,y,r]) pour 1 <

U < ko, T'{y,T])w est la projection surla somme des espaces Li,{0,y,rj) ko < v < k,

M et M~ sont des matrices homogènes de degré 0 en »/.

2. Deuxième condition suffisante (plus forte)

La condition (4.2) est réalisée avec une matrice M inversible en (

xo

,

t

?

o

) qui envoie

chaque esp«ice propre de Ç\ sur un espace propres de gi. Vu que le ^ est

connu en un point de 7^ 1 < */ < ibo, il existe donc une matrice d^, x N : €

de symbole principal o^(f,y,T,f?) tel que :

X.u € H" et en (<o),f‘.(<o,!l.(lo)'î.(to)).'?(to))

= Kera.(^;). (4.3)

Soit Vv(0 le flot associé aux orbites hamiltoniennes de tIj^ — G tracé au-dessus des

bicaractéristiques de T — /i„. Pour {y,rj) dans un voisinage conique de (yot»?o)i 1^

bicajactéristique nulle de

t

— issue de {0,y,Hi,{0,y,Tj),r]) coupe l’hypersurface

{< = <o} en un point unique Pv{y,r)). On note alors W ^^ol «(y» *7.7./) l’espace :

rl>~^{to){ Ker o^(p^(y,i?)).

Avec ces notations, les résultats de réflexion sont les suivants :

Théorème 3-5. Soient (r,s deux réels tels que s > j + 2, et soit u € U

^ ^ solution du problème aux limites (5) vérifiant la condition (4.2). Si la

dimension de F^{y,r}) image par jC40,y,rf) o M(y,r/) de K(y,rj) =

est constante dans un voisinage conique de (yo,qo) pour un v > ko, alors : pour tout

^ ^ au-dessus de j,,, le est contenu dans les orbites hamiltoniennes

de DJ — G issues de points (0,yo, Pu(0,yo,qo),Vo,^') svec

tt’ 6

Fy(yo,Tjo)-Preuve ;

Pour V = K • Su, le faut de connaître le ^ en un point de 7^ 1 < t/ < ibo entraîne

la connaissance de celui de en un point de 7„ d’après le lemme 3-2. On peut donc

appliquer le théorème 2-1 à chaque tv : pour 1 < ^ < ibo- H existe donc pour chaque

V < ko une matrice homogène de degré 0, un opérateur

A. €

de symbole a„ telles que :

AJy,DJv.eH‘’{K;)

W'-f’pol^‘'(0)(yo,»?o) = Ker

aJyo,qo)-avec = 7t^o S{0,yo,T)o) o

W"/'pQ|ti(0,î/o,»7o,7*')-Comme 0o vérifie la condition de réflexion (4.2), on a ;

(4.4)

(4.5)

(4.6)

éo = Â)‘5(0,y,T/) vérifie :

6o{y,q)w = 0

_•

= »^(y,»?) ^•

V J l ^ko /

-I- rh{y,q)w..

vu que u_ est solution d’un système parabolique rétrograde la proposition (4-1) p. 48 de

S-Tougeron [S-T] nous donne :

pour a<s-|-m + p — |et par suite :

^ t'io+i \

: (0) = M(y,D,)

\ Vk )

Vl \

(0).

OÙ M est un opérateur de symbole principal rh{y,rj).

Lemme 3-7. Il existe une matrice N € (R^) eülptlqve en (yo,»?o) de

symbole principal Tj{y,r]) tel que si

V /

N{y,Dy)v

alors les I = di A ... A di^ premières composantes de v sont

H‘'{yo,f)o)-Preuve :

Soient a,, 1 < r < fcc les matrices définies par (4.3). Posons alors

\

\

et complétons U] par une matrice i>(y,q) pour que la matrice n2{y,i]) carrée formée par :

«2(y,»?) = Cj)

soit inversible en

(yo,Vo)-Si l’on pose n(p,q) = nj^(y,r/) et si on prend un op>érateur N € op{Afp,p(E°)} [R^)

de symbole principal n(y,q), N vérifie alors les hypothèses du lemme 3-7.

Soit K le sous-espace “•) formé des vecterus dont les / premières composantes

sont nulles, où / = di. On obtient de plus que :

n{yo,rio)K = K.

car K = VVF"^ju(î/o,qo,

7j)-Lemme 3-8. II existe une matrice P^{y,rj) homogène de degré 0 en rj de la classe ^3°

telle que :

P^ov^omo{T}{y,ri)\f;) = 0

dans un voisinage conique de

(yo,Vo)-Preuve :

Tout d’abord, on constate que la matrice de m o n(y,est une matrice de la forme

c = (0|y4) ou 0 est une matrice identiquement nulle de I colonnes. On cherche donc P tel

que P X 7T^ X c = 0. Ici t», représente abusivement la matrice associée à la projection

0 0 \

0 lo. 0

VO 0 ₀ /

avec h > ko et où lo^est la matrice identité de Si on pose (p,j) = P la matrice

de P X 7T^ est donnée par

h <j < h'

sinon

h > ko car v > ko

D’autre part, en effectuant le produit (P x ■K^,) x C, on obtient une matrice =

(P X 7T^) X C vérifiant :

k

comme Ckj = 0 Vj < /, on obtient que

= 0 V; < /.

Si jf > / ^ 0 et vu que l < h :

h'

f*: =

k=h

pour que (tpij) soit identiquement nulle, il faut que

Ptk = 0 ^Wh\

La matrice cherchée est donc de la forme

Les autres pij peuvent alors être choisi de sorte que P soit homogène de degré 0, la

régularité P en fonction de y,»/ ét2int alors assurée par le fait que est de dimension

constante. On termine alors la démonstration du théorème 3-5 comme suit :

•5(0,y,»?)iv(y,»?) = 5(0,y,t?)o£^(y,»;)oM(y,T7) < A'(y,T?) >

= ïr^o5(0,y,i?)o A/(y,T?) </i'(y,f?) >

= T^o5(0,y,T7)o;X7(y,T?)o A'(y,T?) < K{y,r}) > .

Donc

S{^,y,r])F^{y,r])= Kerp^(y,T/).

car S 0 M = M. Donc si € op{M{E°)] (RJ)) a pour symbole principal p„{y,r}), on

obtient que

P^(y, DJtv(O) = P, O TT, O A/ O Nv G (4.7)

à cause du lemme 3-7 pour les / premières composantes de v et du fait du lemme 3-8 et

de l’hypothèse u G pour les autres composantes car le symbole principal de

Pj, O 7To O A/ O A’ = 0 sur k.

De (4.7) on déduit que

W'Ppoitv(0)(yo,T?o) C Ker P^{yQ,r)o).

et par suite grâce à (4.1), on peut appliquer le théorème 2-1 à Uj, ce qui démontre le

théorème 3-5. Avec la condition (4.4), on obtient le résultat suivant :

Théorème 3-6. Soit u G ))^ solution du problème (S) et

vérifiant la condition (4.3). Alors au-dessus de i/ > ko, Je est égal à Punion

des orbites hamiltoniennes de DJ — G issues de points (0,yo,p„,(0,yo,T}o),T}o,^) avec

tt’ € FJyo,Vo)

c’est-à-dire les orbites issues de jj pour j < ko se réfiéchissent sur y„ et ce pour tout

Pour la preuve du théorème 3-6 on utilise le fait que la condition (4.3) implique que

m(y,T7) se décompose en blocs

avec de plus Vz/ > io Bi/* < ko, 3n^ Bymbole homogène de degré 0 de tel que ;

= n^{y,T})w^^.

On a donc que

ü»,(0) = N„{y,Dy)Vi,^{0) module /^"(F)

où un opérateur de symbole principal n„{u,rj). Or d’après la proposition 1-3-7 du

chapitre 3 on a :

o•5(0,yo,»/o)W'/’"Q|ti(î/o,»?o,7^J•

Donc W’F" |tV4(0)(î/Oî^o) est connu on i>eut alors appliquer le théorème 2-1 à ce qui

démontre Je théorème 3-6.

[A-1] A. ALABIDI: Thèse de 3' cycle. Rennes, France.

[A-2] A. ALABIDI: Réflexion transverse pour les problèmes aux limites non linéaires

d’ordre 2. C. R. A. S. Paris t. SOO Série I, n 10. 1985.

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[CH-1] J. V. CHEMIN: Calcul paradifférentiel précisé et applications. Thèse de

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[G-2] C. GÉRARD: Réflexion du WFpoi des solutions de systèmes d’équations aux

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[GO-1] P. GODIN: “Subelliptic nonlinear oblique dérivative problem”.

[GO-2] P. GODIN: Propagation of C°^ singularities for fully nonlinear 2“* order strictly

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[H-2] L. HÔRMANDER: “Pseudo-differential operators and non elliptic boundary prob-

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[S-T] H. SABLÉ-TOUGERON: Thèse d’état de l’Université de Rennes, 1984.

[SJ] J. SJÔSTRAND: Operators of principal type with interior boundary conditions. Acta

Mathematica, 130- 1-2, 1973.

0 PRÉLIMLNAIRES. 3

0.1 Espaces de Hôlder, Espaces de Sobolev... 3

0.1.1 Espaces de Hôlder... 3

0.1.2 Espaces de Sobolev... 3

0.2 Notion de Front d’onde... 4

0.2.1 Op>érateur pseudo-différentiel tangentiel... 4

0.2.2 Microsupport... 4

0.2.3 Front d’onde //*’* dans R" x (R"\0)... 4

0.2.4 Front d’onde tangentiel ... 5

0.3 Opérateurs paradifférentiels tangentiels... 6

0.3.1 Opérateurs paradifférentiels... 6

0.3.2 Opérateurs paradifférentiels tangentiels... 7

0.3.3 Opérateurs paradifférentiel matriciel... 9

0.3.4 Courbe bicaractéristique... 10

1 THÉORÈME D’APPROXIMATION TANGENTIEL. 11

1.1 Introduction... 11

1.2 Carau:térisation des espaces H*'* (R")... 11

1.2.1 Définition 1... 11

1.2.2 Caractérisation des espaces /7*’*(R")... 12

1.2.3 Remarque... 14

1.3 Approximation tangentielle... 14

2 PROPAGATION DU WF;^^ POUR LES SYSTÈMES SEMI-LINÉAI­

RES. 25

2.1 Généralités... 25

2.1.1 Opérateurs paradifférentiels associés à la classe E”*) de

Boulkhe-madr [BL-1]...25

2.2

2.1.3 Front d’onde polarisé H*...27

2.1.4 Opérateurs de typ>e principal réel,

orbites hamiltoniennes... 30

Propagation du pour les systèmes semi-linéaires... 31

S PROPAGATION DU FRONT D’ONDE POLARISÉ POUR DES SYSTÈ­

MES NON LINÉAIRES. 38

3.1 Généralités...38

3.1.1 Front d’onde... 38

3.1.2 Front d’onde polarisé d’une distribution vectorielle...41

3.2 Opérateur de type principal réel, orbites Hamiltoniennes... 49

3.2.1 Opérateur de type principal réel...49

3.2.2 Propagation du front d’onde polarisé H' pour les problèmes non

linéaires... 52

4 PROPAGATION ET RÉLEXION DU POUR DES PROBLÈMES

AUX LIMITES NON LINÉAIRES TRANSVERSES.

4.1 Position du problème...

4.2 Propagation jusqu’au bord du ...

4.3 Réflexion du ...

4.3.1 Notations...

4.3.2 Réflexion...

66

66

68

71

71

73

82

No documento Articulação no ensino básico : estudo de caso (páginas 65-70)