Grafos e redes complexas: histórico e desenvolvimento

Tradicionalmente, o estudo de redes complexas tem sido domínio, em verdade, da teoria de grafos [11]. Nos últimos anos, diversas classes de cientistas como físicos, químicos, biólogos, matemáticos e sociólogos, têm construído uma teoria de redes complexas baseando- se em redes reais e resultados analíticos em teoria de grafos [12]. O estudo de redes tem um histórico de longa data influenciada pela matemática e ciências da época. Em 1736, um renomado matemático, Leonard Euler, se interessou pelo enigma associado ao problema de ponte de Köningsberg. Nesta cidade, sete pontes conectavam as massas de terra circundadas por rios na região da antiga Prússia, e havia um ditado comum: “Há algum caminho único no qual seja possível atravessar as sete pontes apenas uma vez?” Muitos tentaram responder essa pergunta até que Euler provar que não há meios para atravessar as sete pontes passando por elas uma única vez. A prova que pode parecer trivial nos tempos atuais, não era tão óbvia em

1736, pois a resposta depende do conceito de grafo até então inexistente. Grafo, o objeto matemático composto por pontos e linhas que conectam pontos. Apesar de ser um conceito simples, permite poderosas formas de resolução de problemas como o caso da ponte de Königsberg. Porém, dado o conceito de grafo, o problema pode ser reformulado neste novo aspecto matemático do problema: a questão é se há um caminho euleriano na rede associada às pontes. Um caminho euleriano, em teoria de grafos, é precisamente a sequência de vértices que passa por cada aresta apenas uma vez no grafo todo. Euler observou no grafo associado ao problema das pontes (figura 2.3), que não há caminho euleriano [9]. Isso significa que pode haver no máximo dois vértices com número ímpar de arestas conectadas. Como no grafo associado às pontes, todos os vértices têm número impar de arestas incidentes, então o problema não tem solução. Esta interpretação só foi possível com o uso do conceito de grafo e de caminho euleriano e caracterizou o marco inicial desta nova ramificação da matemática: a teoria de grafos. Desde então a teoria de grafos têm sido a principal teoria que estuda redes reais. Os elementos do grafo vértice e arestas, pareados, podem assumir qualquer configuração, como: pessoas e relações humanas, computadores e redes físicas, compostos químicos e reações químicas, espécies biológicas e relações tróficas, etc.

Figura 2.3 Esquema das Pontes de Köningsberg e seu grafo associado: os vértices são porções de terra e as pontes as arestas.

Fonte: figura adaptada de Newman et al. 2006, referência [33].

O método analítico permeado pela teoria de grafos é poderoso, sendo a possibilidade de aplicação em diversas áreas do conhecimento a prova desta afirmação. Em detrimento da diversidade de aplicação dos métodos analíticos gerados pela teoria de grafos e então teoria de redes complexas, em 1950, houve um florescimento no interesse de geradores de quantificadores especialmente nas áreas de ciências sociais e antropologia. Onde os padrões de relações entre pessoas puderam ganhar uma profundidade analítica maior [13].

Posteriormente, estes tipos de estudos se espalharam para outras áreas de pesquisa em que o conceito de grafo pudesse ser aplicado.

Os grafos randômicos foram primeiramente estudados pelos matemáticos húngaros Paul Erdös e Alfréd Rényi, em 1959; de acordo com seu modelo, considera-se um número N de vértices iniciais de modo a conectar cada par de vértices com uma probabilidade p, criando, no processo, um grafo de aproximadamente arestas distribuídas randomicamente [14]. Este foi o primeiro modelo proposto como descritor para sistemas complexos reais, porém era sabido que a não trivialidade das interações entre os vértices destes grafos não fazia sentido na condição complexa dos sistemas reais. Era sabido que havia relações muito complexas entre as componentes de uma célula ou de um ecossistema, citando exemplos: relações tróficas complexas, relações de coevolução, relações inseto-planta, etc. Numa instância primária, é apreensível que os sistemas reais devem ter um princípio organizacional que reflete no modelo do grafo que o descreve. Este elemento é totalmente perdido no modelo de grafos randômicos à medida que as ligações têm mesma probabilidade de ocorrer em quaisquer vértices, imagina-se que poucos fenômenos naturais se adaptem a esta fenomenologia estrutural.

Apesar da impossibilidade de se modelar honestamente um sistema real por meio do modelo de Erdös e Rényi, esta aproximação ainda se torna útil se é requerido quantificar o grau de complexidade de uma rede construída empiricamente por coleta de dados direta em detrimento da mesma rede (i.e., mesmo número de vértices) criada randomicamente. De modo que com os grafos, calcula-se a diferença entre suas distribuições de graus possibilitando muitos quantificadores de complexidade [12].

Interessantemente, a ciência computacional e suas tecnologias associadas tiveram papel fundamental na construção do corpo teórico que hoje é denominada Teoria de Redes Complexas. A primeira importante contribuição foi a possibilidade de armazenamento de grandes quantidade de informação. Em segundo lugar foi a possibilidade de analisar vários dados ao mesmo tempo. E finalmente, em terceiro lugar, a quebra do paradigma reducionista em prol da ciência multidisciplinar. Com estas considerações, as formas de análise propostas pela teoria de grafos e então teoria de redes complexas, são muito necessárias quando é pretendido o estudo da complexidade em fenômenos naturais e humanos.

Desta preocupação com a relação do modelo com a realidade, três conceitos fundamentais foram proeminentes no atual estado da arte da teoria de redes complexas. A primeira delas é o fenômeno “small world”, que enfatiza o fato de que apesar de as redes poderem ser grandes, os caminhos entre quaisquer dois vértices tendem a ser pequenos. A

segunda é a tendência de redes reais estarem constituídas por “clusters”, ou aglomerados. Isso é caracterizado pela tendência de os vértices se organizarem em grupos de vértices com alto grau entre eles, enquanto que as relações entre estes grupos são menos densas, ou seja, relação de baixo grau. A terceira é a forma da distribuição de grau: foi verificado extensamente que a maior parte das redes reais tem distribuição de grau seguindo uma lei de potência, o que caracteriza o fenômeno conhecido como “free scale”. Este fenômeno, em verdade, pode ser entendido como a tendência de a rede possuir poucos vértices muito conectados, isto é, alto grau, e muitos vértices pouco conectados. A seguir são tratados os modelos de redes complexas mais detalhadamente.