Modelo dinâmico estocástico

Para entender, num sentido estatístico, a forma como se dá a interação das componentes imunológicas envolvidas na tolerância oral é proposto um modelo baseado no fluxo de caminhantes nos vértices da rede que representam a totalidade das interações. Nesta seção é proposto um estudo do comportamento assintótico da caminhada aleatória no modelo de rede complexa da tolerância oral. Sobretudo, tal processo tem pretensão de gerar quantidades que são a noção de como a tolerância oral pode ser modelada por aspectos complexos dos pontos de vista organizacional e dinâmico.

Partindo do princípio de que a rede de interações imunológicas é uma rede fixa no tempo, o número de arestas e vértices se mantém constante com o passar do tempo. Notando que a rede ilustrada na Figura 5.1 é um grafo, sem vértices desconexos, haverá sempre um caminho que passa por cada vértice ou que chegue até ele. Para representar a conectividade entre os vértices da rede, é utilizada a matriz de adjacência, de modo que se houver uma aresta que conecte o vértice i ao vértice j, o valor do elemento da matriz será 1, e será zero se não

houver aresta.

Procurando entender o produto resultante entre a relação mútua das componentes da rede, é preciso saber o que determina tal interação mútua. Se um estímulo saiu de um vértice e atinge o outro, então deve haver uma aresta direcionada entre eles. Para tanto, é necessário redefinir o grau de saída kout. Considerando um vértice genérico i, seu grau de saída pode ser

denotado como

que constitui a soma dos elementos da linha i da matriz de adjacência. Pictoricamente, essa quantidade é expressa pelo número de arestas direcionadas que deixam o vértice i. Dados os conceitos de matriz de adjacência e grau de saída, é possível definir a caminhada aleatória para os propósitos destes estudos. Em casos gerais, a caminhada aleatória em redes complexas

pode ser entendida como um processo estocástico em tempo discreto ao qual um caminhante segue um caminho determinado pela configuração da rede complexa. Porém, diferentemente da caminhada aleatória usual, o modelo aqui proposto atribui um único vértice como fonte de criação de novos caminhantes em todos os tempos. Para formalizar esse processo, é preciso pré-determinar algumas regras de caminhadas para redes direcionadas. Estas regras podem ser organizadas na seguinte sequência:

I. Em um tempo inicial t, um caminhante genérico w localizado inicialmente em um vértice i da rede altera sua posição para outro vértice qualquer j da rede a medida que t muda para , desde que i e j estejam conectados por uma aresta;

II. Para os caminhantes contidos na rede, é permitido mudar de posição, de um vértice i para um vértice j, se j for um dos primeiros vizinhos de i. De modo que haja uma aresta saindo de i e alcançando j. Essa probabilidade pode ser escrita como , como explorado na próxima seção;

III. Adicionalmente, o caminhante deve respeitar a direcionalidade das arestas, seguindo da origem até a extremidade, conectando vértices;

IV. A cada intervalo de tempo, o caminhante sempre se encontra em um vértice, nunca entre vértices.

Com isso, quando são introduzidos caminhantes na rede, cada caminhante se encontra em uma posição e obedece à dinâmica. Com isso, é conveniente escrever um vetor de posições . Dado um tempo inicial t para um grafo G, o tamanho do vetor sempre será , pois para cada tempo é criado um caminhante e este caminha uma vez a cada instante discreto de tempo. As componentes deste vetor recebem o rótulo do vértice em que se encontram, logo

onde é o rótulo da posição do caminhante i inserido na rede. Com isso, a probabilidade de um caminhante mudar de i para j determina a frequência com a qual as interações imunológicas ocorrem, pois para cada tempo haverá um número de caminhantes por vértices.

À medida que o tempo do sistema passa, os caminhantes vão se concentrando nos vértices em quantidades diferentes. Para escrever o estado do sistema em termos do número de caminhantes em cada vértice, é definido um vetor de frequências , denotado por

onde representa o número de caminhantes no vértice i no tempo t. É notável que para cada instante de tempo, haverá um vetor de frequências associado, porém é necessário tornar essa quantidade mensurável entre si. Para isso, toma-se o valor relativo de caminhantes de um vértice em relação ao número de total de caminhantes na rede. A essa quantidade, atribui-se o nome de fluxo de caminhantes em i, denotado como

Ainda, se for definido um vetor de fluxo com entradas associadas aos fluxos de caminhantes para todos os vértices da rede, tem-se um vetor que captura mutuamente o estado da rede em termos do número relativo de estímulos recebidos em cada vértice:

De modo que altos valores de significam que o vértice i está sendo mais ativado num sentido imunológico. Também pode ser entendido como um maior aporte de informação passando pelo agente imunológico em termos da rede como um todo. O vetor de fluxos é de interesse estatístico para este trabalho, pois dá o estado dinâmico da rede como um todo em um instante de tempo t.

É importante notar que, quando o valor de fluxo tende a uma distribuição estacionária se todos os vértices forem conectados. Aqui, o sentido de distribuição estacionária significa que, dado um tempo suficientemente grande para o sistema, os valores dos fluxos de cada vértice aproximam-se a um valor constante, invariante no tempo. Explorando essa propriedade dinâmica na rede, é possível criar um método de análise de fluxos que dependa de modificações estruturais.