chaves e outros s˜ao agrupados em redes de informa¸c˜ao. No grupo das redes biol´ogicas s˜ao encontradas as redes bioqu´ımicas, neurais e ecol´ogicas. E nas chamadas redes sociais est˜ao presentes todos os tipos de sistemas que utilizam o relacionamento pessoal como aresta, seja por relacionamentos amorosos, transmiss˜ao de doen¸cas contagiosas, com´ercio, rela¸c˜oes econˆomicas e outros [3].
De algum modo essas redes foram agrupadas levando-se em conta alguma propriedade em comum. Em redes do tipo tecnol´ogico, apesar de rede de internet e de transportes parecerem bem distintas na sua natureza, ambas possuem a fun¸c˜ao de levar algo de um lugar a outro. A internet envia pacotes de dados de um computador ou servidor a outro, j´a a redes de transporte carrega pessoas ou cargas de um lugar a outro, e assim por diante.
J´a Barthelemy [39] define redes de transporte de forma mais geral, tal que redes de transportes s˜ao estruturas que transmitem energia, mat´eria ou informa¸c˜ao de um ponto a outro. Essas redes controlam muitos aspectos da sociedade e influenciam muitos problemas modernos, tais como o cont´agio de doen¸cas, congestionamentos, espalhamento urbano e estrutura de cidades. Ele inclui as redes tecnol´ogicas como um subgrupo das redes de transporte e n˜ao o contr´ario. Por serem redes cuja a distˆancia influencia na defini¸c˜ao da topologia, ele as considera como redes espaciais.
Ou seja, nessa classifica¸c˜ao s˜ao agrupadas rede el´etrica, rede neural, redes de comunica¸c˜ao e redes sociais. Em comum essa redes possuem alguma dependˆencia da defini¸c˜ao da topologia associada `a distˆancia. Por exemplo, na rede de relacionamentos, ´e comum que se fa¸ca amizade com as pessoas da vizinhan¸ca. O custo do transporte de pessoas de uma regi˜ao ´e associada tamb´em a distˆancia, em geral, o custo ´e maior quanto mais se desloca. Da mesma forma, para a distribui¸c˜ao de energia el´etrica ou internet a cabo, os custos aumentam com a distˆancia, visto que ser´a necess´ario mais cabos, postes, e outros materiais quanto maior ´e a distˆancia da fonte ao consumidor.
Embora n˜ao haja um consenso na classifica¸c˜ao de redes reais, um ponto importante a se observar ´e o uso cada vez mais frequente de dados reais para investigar de forma emp´ırica as propriedades de redes complexas de v´arios sistemas.
2.3 Grafos e matrizes ´
E natural que a representa¸c˜ao matem´atica de grafos seja feita por matriz bidimensionais, pois cada elemento da matriz representa uma intera¸c˜ao a cada dois ele-
mentos.
2.3.1 Grafos
A rigor, um grafo ´e um par de conjuntos G = {N, E}, onde N = N (G) ´e o conjunto de n n´os (ou v´ertices) e E = E(G) ´e o conjunto de m arestas (ou arcos) que conectam n´os dois a dois. Se o grafo ´e finito, ent˜ao N e E tamb´em s˜ao finitos [4]. Uma aresta {i, j} conecta os n´os i e j e ´e denotada por ij. Assim, ij e ji s˜ao exatamente a mesma aresta, os n´os i e j s˜ao os n´os finais dessa aresta.
Figura 2.2 - Ilustra¸c˜ao de um grafo com 5 n´os e 5 arestas. Onde temos N = {1, 2, 3, 4, 5} e E = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 5}}. (Fonte: [40])
A representa¸c˜ao ilustrativa de um grafo ´e feita geralmente por um con- junto de pontos ligados um ao outro quando existe algum tipo de conex˜ao entre os n´os e n˜ao ligados quando n˜ao h´a conex˜ao. Na Figura (2.2), temos N = {1, 2, 3, 4, 5} e E = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 5}}.
2.3.2 Estrutura de uma rede
As redes podem ser classificadas conforme crit´erios estruturais, tais como [24]:
• Dire¸c˜ao: as redes podem ser direcionadas ou n˜ao direcionadas. Se o sentido da conex˜ao representa alguma informa¸c˜ao relevante, ent˜ao ela ´e direcionada, caso contr´ario, ´e n˜ao direcionada. Em outras palavras, isso significa que existir˜ao n´os origens e n´os destinos, de forma que haver´a diferen¸ca entre uma aresta do n´o i ao n´o j e uma aresta do n´o j ao n´o i.
(a) Grafo direcionado (b) Grafo n˜ao direcionado
Figura 2.3 - Dire¸c˜ao de arestas, existˆencia ou ausˆencia de n´o alvo e n´o fonte; 2.3(a): Grafo direcionado;
2.3(b): Grafo n˜ao direcionado. (Fonte: [40])
existˆencia de aresta entre dois n´os. Uma conex˜ao pode ser mais forte que outra, por meio de algum parˆametro. Quando ´e levado em considera¸c˜ao o peso das conex˜oes, dizemos que a rede ´e ponderada. O peso pode equivaler `a quantidade de arestas existentes na conex˜ao de um par de n´os [41, 42]. Estudos de redes ponderadas s˜ao bastante comuns na literatura, podendo abordar desde redes de colaboradores [43] a redes world wide web (www ) e transportes a´ereos [44].
(a) Grafo com multiarestas ares- tas
(b) Grafo com peso
Figura 2.4 - Rede com multiarestas arestas pode ser representada por um rede ponderada;2.4(a): Rede com multiarestas arestas;2.4(b): Rede ponderada, onde cada n´umero vinculado `a aresta representa o n´umero de arestas entre n´o i e o n´o j. (Fonte: [40])
• Conex˜ao: as redes podem ser ou n˜ao conectadas. Se uma rede ´e conectada, ent˜ao n˜ao existem n´os isolados, havendo apenas um ´unico aglomerado. Se ela ´e n˜ao
conectada, ent˜ao existem n´os isolados, podendo existir mais de um aglomerado na rede.
• Auto-arestas: n˜ao ´e muito raro grafos apresentarem n´os que possuem arestas consigo mesmo, s˜ao os chamados auto-aresta.
• Multiarestas: quando existem m´ultiplas arestas conectando um par de n´os.
Quando um grafo n˜ao apresenta nem auto-arestas e nem multiarestas, s˜ao chamados de grafos simples ou redes simples. J´a os grafos que apresentam multiarestas s˜ao chamados de multigrafos [3].
2.3.3 Matriz de adjacˆencias
Para a representa¸c˜ao num´erica dos n´os e arestas de um grafo, s˜ao utilizados como ferramenta matem´atica as matrizes bidimesionais. A matriz mais conhecidas ´e a Matriz de Adjacˆencias, A, que ´e uma matriz n × n, cujos os elementos aij representam a conex˜ao entre os n´os i e j, tal que ai,j = 0, se n˜ao existe nenhuma aresta entre os n´os i e j, e aij = 1, se existem arestas entre i e j [4].
Para ilustrar, podemos construir a matriz de adjacˆencias A para representar o grafo da Figura (2.2). Percebemos que A ´e sim´etrica, pois a rede n˜ao direcionada. Isso, porque num grafo n˜ao direcionado a conex˜ao de i para j ´e igual ao de j para i.
A = 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
A matriz de adjacˆencias possui os elementos da diagonal principal, aij = 0 quando i = j, pois, em geral, representam grafos simples. Isso significa que o grafo n˜ao possui nem auto-arestas nem multiarestas. Quando o grado ´e n˜ao direcionado, a matriz adjacente ´e sim´etrica em rela¸c˜ao `a diagonal principal. Se, por sua vez, o grafo ´e direcionado, a matriz pode ser n˜ao sim´etrica. Como ilustra¸c˜ao, podemos construir a matriz A0 para representar o grafo direcionado na Figura (2.3(a)).
A’ = 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ´
E poss´ıvel, ainda, trabalhar com uma rede ponderada por meio de matrizes. Para isso podemos usar como exemplo a Figura (2.4). Nesse caso, basta construir uma matriz ponderada W do grafo G, cujos elementos wij representam n˜ao apenas a existˆencia de conex˜ao entre os n´os i e j, mas o peso ou for¸ca de suas conex˜oes. Uma rede com multiarestas entre dois n´os quaisquer pode tamb´em ser representada por uma matriz W, desde que o valor de wij seja definido como a quantidade de arestas entre i e j.
W = 0 1 0 2 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 4 2 1 0 0 0 0 3 4 0 0
Se wij = 0, significa que n˜ao h´a conex˜ao, e se wij 6= 0, h´a conex˜ao. Quando multiarestas entre dois n´os s˜ao equiprov´aveis, podemos definir wij como a soma da quan- tidade de arestas entre i e j.